Aritmética - MCD - MCM

MCD – MCM • Si los números A; B y C son PESI dos a dos
entonces: MCM(A; B; C) = A.B.C
MARCO TEÓRICO:
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCD Y MCM
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
Calcule el MCD y MCM de: 80; 120 y 200
Dado un conjunto de cantidades se define el - El MCD:

MCD de estas como aquel número que cumple

con las siguientes condiciones:

I. Es un divisor común de las cantidades.

II. Es el mayor de los divisores comunes.

Ejemplo 1

Sean los números: 30 y 45

Hallando sus divisores:

30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45

Divisores comunes: 1; 3; 5; 15 MCD (30; 45) = 15

Divisores de 15: 1, 3, 5 y 15 Cada número del conjunto de números se
puede expresar en función al MCD del
Propiedades: conjunto de números:
80 = 40x2
• Los divisores comunes de un conjunto de 120 = 40x3
200 = 40x5
cantidades son los divisores de su MCD.

• El MCD está contenido en los números.

En general: Para los números A, B y C

MCD(A,B,C)=K

• Si A, B y C son PESI entonces MCD(A; B; C) = 1 En general: Sean los números A, B y C.
MCD(A;B;C)=k, luego:
0 0 0
• Si entonces
A= B; C=B MCD(A; B;C) = B

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) A=Kp
B=Kq
Dado un conjunto de cantidades se define el C=Kr son PESI
- MCM:
MCM de estas como aquel que cumple lo

siguiente:

I. Es un múltiplo común de las cantidades

II. Es el menor de estos múltiplos comunes.

Ejemplo:

Sean 4 y 6.

Hallemos sus múltiplos. MCM (80; 120; 200) = 1200
Expresamos al MCM en función de cada
4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,... número:
1200 = 80 x 15
6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... 1200 = 120 x 10 son PESI
1200 = 200 x 6
Múltiplos comunes: 12; 24; 36; …
En general: sean los números A, B y C donde
MCM (4;6) = 12 el MCM(A, B, C) = m. Luego:
m=Ax p
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, ... m = B x q Son PESI
m=Cx r
Propiedades: Podemos afirmar que para dos números A y
• Los múltiplos comunes de un conjunto de B

cantidades son múltiplos de su MCM.
• El MCM es un número que contiene a los

números.
• Si dos números A y B son PESI entonces el

MCM(A; B)= A.B

ARITMÉTICA 1 Docente:WILMER BANCES CAMPOS

Centro Preuniversitario “THALES” Urb. Cipreses Mz F Lte 01- Nuevo Chimbote (Plaza Mayor)

Si MCD (A; B) = k A= K x p PESI No olvidar que las divisiones se puedan realizar
MCM(A; B) = m B= K x q
Entonces: por defecto o exceso.
I. m = k . p . q
Propiedades Importantes:
II. A . B = k. m
Si MCD(A; B; C) = k Sean los números:
"a"cifras 
 MCD (An; Bn; Cn) = k.n
Dónde: n es Z+ A = (n − 1)(n − 1)(n − 1)...(n − 1)n = na − 1

Si MCM (A; B; C) = m "b"cifras 
 MCM (An; Bn; Cn) = m.n
Dónde: n es Z+ B = (n −1)(n −1)(n −1)...(n −1)n = nb −1

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA "c"cifras 
Ejemplo:
Halle el MCD y MCM de los números A, B y C C = (n −1)(n −1)(n −1)...(n −1)n = nc −1
donde:
MCD(A; B;C) = nMCD(a,b,c) −1
A = 25 . 32 . 53 • Si MCM(A; B;C) = m entonces
B = 23 . 34 . 52 . 72
C = 24. 36. 9 . 11 MCM(An;Bn;Cn ) = mn

Entonces • Solo para el MCM se
MCD (A,B,C) = 23. 32 . 5
MCM [A, B, C] = 25. 36. 53. 72 . 11 cumple: MCM(A; B) = MCM(A;nB) entonces

En general: Dadas las descomposiciones 0
canónicas de varios números:
A=n
• El MCD de dichos números es el producto
de sus divisores primos comunes elevados PROBLEMAS PROPUESTOS .
cada uno a su menor exponente.
01. Si el MCD de 45 A y 63 B es igual a 36. Hallar
• El MCM de dichos números es el producto
de sus divisores primos comunes y no el MCD de 25 A y 35B
comunes elevados cada uno a su mayor
exponente. A) 21 B) 32 C) 20

DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES D) 15 E) 25
Teorema: En toda división entera inexacta el MCD
del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el 02. El MCM de 2 números es 630 y su diferencia
residuo.
Si: es 56. Hallar el menor.

DD A) 60 B) 70 C) 21
Rq
MCD (D;d) = MCD(d;r) D) 80 E) 35
En general. Sean los números A y B donde A>B
03. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son

. ¿Cuál es el menor número de

estos ladrillos para formar un cubo

compacto?

A) 210 B) 240 C) 250

D) 270 E) 280

04. Los cocientes sucesivos que se obtienen en la

determinación del MCD de 2 números cuya

suma es 5 633 son: 4, 2, 1 y 2. Hallar el mayor

A) 4 521 B) 4 548 C) 4 583

D) 4 581 E) 4 585

q1 q2 q3 q4 Cocientes 05. Hallar “K”
A B r1 r2 R3 MCD
Si: MCD(A ; B) = K
r1 r2 r3 0 Residuos
MCD(C ; D) = K/4

MCD (A; B) = r3 MCD(A; B; C; D) = 12

A) 48 B) 36 C) 12

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D) 18 E) 64 A) 3 B) 2 C) 1
D) 4 E) 5
06. Calcular a + b, sabiendo que el MCM de 14. Si se cumple:

es 336.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14 Calcular cuántos valores toma “N” si es

07. Hallar 2 números A y B primos entre sí, tales menor que 1 200

que el MCM de A y B es 330 y A – B = 7 A) 89 B) 81 C) 80

A) 33 y 26 B) 22 y 15 C) 29 y 22 D) 90 E) 88

D) 45 y 38 E) 28 y 21 15. Sabiendo que:

08. Si 2 números enteros se multiplican por 4, su A2B + AB2 = 1920
MCD(A, B) = 4
MCD y MCM aumentan 54 y 11 934

respectivamente. Determinar el mayor Hallar: MCM ( A; B; A + B)

número si es de 3 cifras.

A) 308 B) 310 C) 306 A) 110 B) 115 C) 180

D) 316 E) 286 D) 120 E) 130

09. El producto del MCM y MCD de 2 números es 16. El MCD y el MCM de

16 940 y el cociente del MCM entre el MCD ab y (a −1)(b +1) es 9 y 504.

ES 35. Hallar la suma de los dos números. Luego (a – b) es:

A) 245 B) 260 C) 262 A) 5 B) 3

D) 264 E) 268 C) 2

10. La diferencia de 2 números es 44 y la D) 1

diferencia entre su MCM y su MCD es 500. E) 4

¿Cuál de los siguientes números es uno de 17. Si el MCM de

ellos? es 1 148.

A) 24 B) 73 C) 72 Calcular ( a + b + c)

D) 80 E) 48 A) 11
B) 12
11. La suma del MCD y el MCM de 2 números es C) 10
D) 9
434. Si el cociente entre los dos números es E) 13

. Hallar el mayor de dichos números.

A) 140 B) 120 C) 115

D) 130 E) 150 18. La suma de 2 números de 1 250. Determinar

12. Hallar “n” , si: el mayor de ellos sabiendo que los cocientes

A) 40 B) 50 C) 35 obtenidos al calcular el MCD por el Algoritmo

D) 60 E) 70 de Euclides son: 3, 1, 4 y 5

13. Si el MCM de es A) 980
B) 960
divisible por 2 187, pero no por 6 561. Hallar C) 930
D) 990
E) 970

“K”

19. Si:

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Calcular en cuántas cifras ceros termina D) 6 E) 9

A) 6 02. El producto del MCM por el MCD de ab y
B) 10 abab es 17 069. Halle a + b
C) 13
D) 11 A) 1 B) 2 C) 3
E) 9 D) 4 E) 5

03. Halle a + b + c, si al calcular el MCD de

a (a + 4) a y (a + 4)bc por el algoritmo de

Euclides se obtuvieron 1; 1; 1 y 3 como

cocientes sucesivos.

20. Dados tres números A, B y C se sabe que A) 10 B) 13 C) 18

MCD(A; B) = 30 y MCD(B;C) =198 . ¿Cuál D) 12 E) 14

es el MCD de A, B y C? ( )04. Si MCD aba;cc0 = 15 , además, a < c < b,
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 calcule a+b+c.

21. Al calcular el MCD de los números a2b y A) 19 B) 16 C) 17

D) 15 E) 20

cd6 por el método del algoritmo de Euclides, 05. Si

se obtuvo por cocientes 2; 3; 1 y 5. Calcular a ( ) ( )MCM ababab − 6; B = MCM ababab − 6;99 B

+b+c+d Halle b – a, si a y b son primos.

A) 17 B) 18 C) 19 A) 4 B) 1 C) 3
D) 5 E) 2

D) 20 E) 21 06. Sean

22. Halle dos números enteros A y B que MCD  3A; 5 B  = 8
 2 
cumplan con las siguientes relaciones:

A2 + B2 =10530 y MCM (A; B) = 297 . MCD  A; 2 B  = 2
 4 7 
Calcule la suma de cifras de la suma de
Calcule el menor valor de B, si se sabe que
dichos números.
tiene 3 cifras.

A) 29 B) 27 C) 18 A) 112 B) 132 C) 135

D) 25 E) 9 D) 120 E) 110

( )23. Si MCD ab!;(a + b)! = 18!, determine 07. Tres ciclistas A, B y C parten al mismo tiempo

y de un mismo punto de circuito elíptico de 5

( )MCM 400m de contorno. Si las velocidades de A, B

( a − 1) ( b − 1) ; ab(b +1) y C son respectivamente 51; 86,4 y 64,8 km/h.
a
Entonces, el número de minutos que debe

A) 99 B) 198 C) 1278 transcurrir para que los tres ciclistas coincidan

D) 5679 E) 7920 por tercera vez, es:

PROBLEMAS DOMICILIARIA . A) 72 B) 84 C) 86

D) 90 E) 96

01. Calcule en qué cifra termina el MCM de 08. Si MCM ( A; B) = ab  MCD ( A; B)2

41311 −1 y 4532 −1 además, A×B=18 144

A) 3 B) 5 C) 7 Halle el MCM(A; B)

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Hallar la cantidad de divisores que posee el
A) 3020 B) 3200 C) 3024

D) 3131 E) 3240

09. Al calcular el MCD de los números (a +1) bcd A) 12 B) 10 C) 14

y aa (a + 6) (a + 6) mediante divisiones D) 20 E) 18

15. Al calcular el MCD de dos números por el

sucesivas se obtuvieron como cocientes 1; 1; algoritmo de Euclides se obtuvieron como

2 y 3. Halle el mayor de los números si la cocientes 4, 2, 1 y 3. Si la diferencia de los

tercera división se hizo por exceso. Dé como números tiene 3 divisores. ¿Cuántos divisores

respuesta la suma de sus cifras. posee el mayor de los números?

A) 16 B) 17 C) 18 A) 16 B) 18 C) 20

D) 19 E) 20 D) 22 E) 24

10. Roxana quiere empaquetar en cajas cúbicas 16. Al calcular el MCD de los números

idénticas 12 000 barras de jabón, cuyas y mediante

dimensiones son 20 cm, 15 cm y 12 cm, de divisiones sucesivas se obtuvo como

modo que todas estén completamente cocientes 1, 1, 2 y 3. Determinar la suma de

llenas. ¿Cuántas cajas cúbicas, como cifras del mayor, si la tercera división se hizo

máximo, se podrán utilizar? por exceso.

A) 200 B) 210 C) 240 A) 12 B) 15 C) 17

D) 260 E) 180 D) 18 E) 13

11. Tres ciclistas recorren un velódromo circular

de 3600 m de longitud cuyas velocidades

son 36 m/s, 24 m/s y 30 m/s. Si a las 11:59 a.

m. pasan los 3 ciclistas por el mismo punto,

¿cuántas veces más se encontraron en

dicho punto desde las 12:00 p. m. hasta las

3:00 p. m.?

A) 17 B) 6 C) 12

D) 18 E) 24

12. Se tienen tres recipientes que contienen 300;

480 y 600 litros de vino, y se desea envasar los

contenidos en recipientes más pequeños

cuyo volumen sea una cantidad entera en

litros y esté comprendida entre 24 y 36 litros.

¿Cuántos envases se necesitarán?

A) 46 B) 23 C) 44

D) 45 E) 40

13. Dos motociclistas corren en 2 pistas

circulares. Un joven muy observador se da

cuenta que ellos siempre practican a partir

de las 10:00 a.m , sin embargo cierto día uno

de ellos se adelantó un minuto; sabiendo

que este da 20 vueltas por hora y el otro 12

vueltas por hora.

¿A qué hora coincidirán por quinta vez en

pasar cada uno por su punto de partida?

A) 30 min B) 60 min C) 40 min

D) 55 min E) 70 min

14. Si:

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