ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์

2 May 2018

สารบญั

ประพจน์ ................................................................................................................................................................................... 1
การเช่ือมประพจน์ .................................................................................................................................................................... 2
ตารางคา่ ความจริง ................................................................................................................................................................... 8
สมมลู ..................................................................................................................................................................................... 10
การทาประพจน์เป็นรูปอยา่ งงา่ ย .......................................................................................................................................... 13
สจั นิรันดร์............................................................................................................................................................................... 23
การอ้างเหตผุ ล....................................................................................................................................................................... 27
ตวั บง่ ปริมาณ ........................................................................................................................................................................ 31
ประโยคเปิดสองตวั แปร......................................................................................................................................................... 35
นิเสธของตวั บง่ ปริมาณ ......................................................................................................................................................... 41

ตรรกศาสตร์ 1

ประพจน์

ในเร่ืองตรรกศาสตร์นี ้เราจะสนใจหาวา่ ประโยคตา่ งๆ เป็นจริง หรือ เทจ็
แตก่ ่อนอ่นื ต้องรู้วา่ ไมใ่ ชท่ กุ ประโยค ที่จะเอามาหาความจริงได้
เชน่ ถ้าอยากรู้วา่ ประโยค “กินอะไรดี” เป็น จริง หรือ เทจ็ คงตอบลาบาก

“ประพจน์” คือ ประโยคที่เป็นจริง หรือ เทจ็ ได้อยา่ งใดอยา่ งหนงึ่ เพยี งอยา่ งเดยี ว

เช่น ประเทศไทยอยใู่ นทวปี เอเชีย → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้วา่ เป็นจริง

3 > 5 → เป็นประพจน์ เพราะบอกได้วา่ เป็นเทจ็

ขณะนี ้มีผ้หู ญิง 3,674,196 คน ใน กทม. → เป็นประพจน์ ถงึ จะไมร่ ู้วา่ จริงหรือเทจ็ แตถ่ ้าชว่ ยกนั นบั ดกู ็จะรู้วา่

จริงหรือเท็จซกั อยา่ ง แนน่ อน

ประโยคทไ่ี มใ่ ชป่ ระพจน์ คือ ประโยคทีท่ ายงั ไงก็บอกไมไ่ ด้วา่ จริงหรือเท็จ

เชน่ ประโยคคาถาม คาสง่ั คาขอร้อง คาอทุ าน สภุ าษิต รวมถึงประโยคทม่ี ตี วั แปร

เช่น กินอะไรดี → ไมใ่ ช่ประพจน์ เพราะเป็นประโยคคาถาม

> 5 → ไมใ่ ช่ประพจน์ เพราะมตี วั แปร (ถ้า เป็น 8 จะจริง แตถ่ ้า เป็น 1 จะเท็จ)

ในเรื่องตรรกศาสตร์นี ้เราจะสนใจศกึ ษาเฉพาะประโยคทเ่ี ป็นประพจน์เทา่ นนั้
โดยเรานยิ มใช้ ตวั อกั ษร , , เป็นสญั ลกั ษณ์แทนประโยคทีเ่ ป็นประพจน์
เช่น ให้ แทนประพจน์ “เมอ่ื วานฝนตก”

ให้ แทนประพจน์ “ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั ” เป็นต้น

แบบฝึกหดั 2. 4 + 7 = 12
1. จงพจิ ารณาวา่ ข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นประพจน์ 4. เชียงใหม่ ไมใ่ ชเ่ มืองหลวงของไทย
6. สนุ ขั ปกติมี 3 ขา
1. ปิดหน้าตา่ งให้หนอ่ ย 8. หนง่ึ วนั มี 30 ชว่ั โมง
3. หนงั สอื เรียนวชิ าคณิตศาสตร์
5. สนุ ขั ปกติ มี 4 ขา
7. เขาเป็นคนดี

2 ตรรกศาสตร์

การเชื่อมประพจน์

เราสามารถนาประพจน์ตา่ งๆ มา “เช่ือม” กนั ได้ เช่น “เมอื่ วานฝนตก และ ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั ”

คาเชื่อมท่ีจะได้เรียนในบทนี ้ ได้แก่

 ...... และ ......  ...... หรือ ......

 ถ้า ...... แล้ว ......  ...... ก็ตอ่ เม่อื ......  ไม่ ......

และ

ประพจน์ทเ่ี ชื่อมด้วย “และ” จะเป็นจริงเมอื่ ทกุ ประพจน์ทม่ี าเช่ือม เป็นจริง

เชน่ 2 > 1 และ 4 < 5 เป็นจริง เพราะ ทงั้ 2 > 1 กบั 4 < 5 เป็นจริง

ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั และ เชียงใหมอ่ ยภู่ าคใต้ เป็นเทจ็ เพราะ เชียงใหมอ่ ยภู่ าคใต้ เป็นเทจ็

2+2 = 5 และ คนปกตมิ ี 6 ขา เป็นเทจ็ เพราะ 2+2 = 5 เป็นเท็จ

เราจะแทนตวั เชื่อม “และ” ด้วยสญั ลกั ษณ์ ∧ ∧
เช่น ถ้าให้ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ แทนประพจน์ “4 < 5”
“2 > 1 และ 4 < 5” จะเขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ∧ TT T
จะเหน็ วา่ ∧ จะเป็นจริง เม่ือ กบั เป็นจริงทงั้ คนู่ น่ั เอง TF F
FT F
FF F

หรือ

ประพจน์ที่เช่ือมด้วย “หรือ” จะเป็นจริงเมอื่ อยา่ งน้อยหนงึ่ ประพจน์ทมี่ าเช่ือม เป็นจริง

เช่น ประเทศไทยอยใู่ นทวปี ยโุ รป หรือ 2+5 > 4 เป็นจริง เพราะ 2+5 > 4 เป็นจริง

1 วนั มี 24 ชวั่ โมง หรือ เมือ่ วานฝนตก เป็นจริง เพราะ 1 วนั มี 24 ชว่ั โมง เป็นจริง

2+2 = 5 หรือ คนปกตมิ ี 6 ขา เป็นเทจ็ เพราะ ทกุ ประพจน์ทม่ี าเช่ือม เป็นเทจ็

เราจะแทนตวั เช่ือม “หรือ” ด้วยสญั ลกั ษณ์ ∨ ∨
เช่น ถ้าให้ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ แทนประพจน์ “4 < 5”
“2 > 1 หรือ 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ∨ TT T
จะเหน็ วา่ ∨ จะเป็นจริง เมอ่ื กบั เป็นจริงอยา่ งน้อย 1 ประพจน์นนั่ เอง TF T
FT T
FF F

ถ้า แล้ว
ประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ถ้า ...... แล้ว ......” จะมคี วามหมายในลกั ษณะของ ถ้า (เงื่อนไข) แล้ว (ผลลพั ธ์)
ถ้าเง่ือนไข เป็นจริง ผลลพั ธ์ต้องจริง แตถ่ ้าเง่ือนไขเป็นเทจ็ ผลลพั ธ์จะเป็นยงั ไงก็ได้
ดงั นนั้ ประพจน์ท่เี ช่ือมด้วย “ถ้า ...... แล้ว ......” จะเป็นเทจ็ ได้เพยี งกรณีเดียว คอื เมอื่ ข้างหน้าเป็นจริง แตข่ ้างหลงั เป็นเทจ็
กรณีทีป่ ระพจน์หน้าเป็นเท็จ เราไมต่ ้องสนใจประพจน์หลงั ให้ตอบได้เลยวา่ ผลลพั ธ์เป็นจริง
หรือกรณีท่ีประพจน์หลงั เป็นจริง ก็ไมต่ ้องสนใจประพจน์หน้า ให้ตอบได้เลยวา่ ผลลพั ธ์เป็นจริง
เช่น ถ้า ฉนั เป็นคนปกติ แล้ว ฉนั มี 6 ขา เป็นเท็จ เพราะ ประพจน์หน้าเป็นจริง ประพจน์หลงั เป็นเทจ็

ถ้า ฉนั เป็นคนปกติ แล้ว ฉนั มี 2 ขา เป็นจริง เพราะ ประพจน์หลงั เป็นจริง
ถ้า หมบู ินได้ แล้ว ฉนั สอบได้ที่หนง่ึ เป็นจริง เพราะ ประพจน์หน้าเป็นเทจ็

ตรรกศาสตร์ 3

ถ้า หมบู ินได้ แล้ว ฉนั มี 2 ขา เป็นจริง เพราะ ประพจน์หน้าเป็นเทจ็

เราจะแทนตวั เชื่อม “ถ้า ...... แล้ว ......” ด้วยสญั ลกั ษณ์ → (หรือ ⇒ ก็ได้) →
เชน่ ถ้าให้ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ แทนประพจน์ “4 < 5”
“ถ้า 2 > 1 แล้ว 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น → TT T
จะเห็นวา่ → จะเป็นเทจ็ เพยี งกรณีเดยี ว คอื เมอื่ เป็นจริง และ เป็นเท็จ TF F
FT T
FF T

ก็ตอ่ เมอื่

ประพจน์ทเี่ ช่ือมด้วย “ก็ตอ่ เมือ่ ” จะเป็นจริงเมอื่ ทงั้ สองประพจน์ทม่ี าเช่ือม เป็นจริงหรือเทจ็ เหมือนๆกนั

เชน่ ไทยเป็นแชมป์ บอลโลก ก็ตอ่ เม่ือ หมบู นิ ได้ เป็นจริง เพราะ ทงั้ สองประพจน์ เป็นเทจ็ เหมือนกนั

2 < 9 ก็ตอ่ เม่อื 6 + 8 = 14 เป็นจริง เพราะ ทงั้ สองประพจน์ เป็นจริงเหมือนกนั

ช้างออกลกู เป็นไข่ ก็ตอ่ เมือ่ ช้างกินกล้วย เป็นเทจ็ เพราะ ประพจน์หน้าเป็นเทจ็ แตป่ ระพจน์หลงั เป็นจริง

เราจะแทนตวั เชื่อม “ก็ตอ่ เมือ่ ” ด้วยสญั ลกั ษณ์ ↔ ↔
เชน่ ถ้าให้ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ แทนประพจน์ “4 < 5”
“2 > 1 ก็ตอ่ เมื่อ 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ↔ TT T
จะเห็นวา่ ↔ จะเป็นจริง เมื่อ กบั เป็นจริงหรือเทจ็ เหมือนกนั นน่ั เอง TF F
FT F
FF T

ไม่

“ไม”่ หรือ บางคนนยิ มเรียกสนั้ ๆวา่ “not” หรือมีอกี ชื่อวา่ “นิเสธ” จะทากบั ประพจน์แคป่ ระพจนเ์ ดยี ว

โดย ประพจน์ ท่เี ตมิ “ไม”่ เข้าไป จะเปลยี่ นจากจริงเป็นเท็จ เทจ็ เป็นจริง

เชน่ หมบู นิ ไมไ่ ด้ เป็นจริง เพราะ ประพจน์ “หมบู นิ ได้” เป็นเท็จ

2 ไมน่ ้อยกวา่ 3 เป็นเท็จ เพราะ ประพจน์ “2 น้อยกวา่ 3” เป็นจริง

เราจะแทน “ไม”่ ด้วยสญั ลกั ษณ์ ~

เช่น ถ้าให้ แทนประพจน์ “2 มากกวา่ 1” ~
“2 ไมม่ ากกวา่ 1” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ~ TF
จะเหน็ วา่ กบั ~ จะมคี า่ ความจริงตรงข้ามกนั เสมอ FT

กอ่ นอืน่ ต้องจาตารางผลลพั ธ์ ∧ , ∨ , → , ↔ , ~ ทงั้ 5 ตารางให้ได้กอ่ น

T ∧ F เป็น ......... T → T เป็น ......... F ∨ F เป็น ......... T ↔ T เป็น .........
T ↔ F เป็น .........
F → T เป็น ......... T ∧ T เป็น ......... ~F เป็น ......... T ∨ T เป็น .........
F → F เป็น .........
T ∨ F เป็น ......... F ∧ T เป็น ......... T → F เป็น .........

F ↔ F เป็น ......... ~T เป็น ......... F ∧ F เป็น .........

อยา่ งไรก็ตาม โจทย์มกั จะนา ตวั เชื่อมหลายๆแบบมาถามผสมๆกนั เชน่ ~T → (~F ∧ T) เป็น .........
ลาดบั การทาคอื ถ้ามวี งเลบ็ ให้ทาในวงเลบ็ ก่อน
ถ้ามี “ไม”่ ให้ทา “ไม”่ เป็นลาดบั ถดั มา
ตามด้วย “และ” , “หรือ” , “ถ้า แล้ว” , “ก็ตอ่ เมือ่ ” ตามลาดบั

4 ตรรกศาสตร์

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ เป็นจริง , เป็นเท็จ , เป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ → ( ∧ ↔ ~ ∨ )

วธิ ีทา → ( ∧ ↔ ~ ∨ ) แทนคา่ ความจริงให้กบั ประพจน์แตล่ ะตวั

T TF TF แล้วคอ่ ยๆหาผลลพั ธ์ ตามลาดบั ดงั รูป

FF

F

T จะได้ → ( ∧ ↔ ~ ∨ ) เป็นจริง #
T

บอ่ ยครัง้ เราไมจ่ าเป็นต้องรู้ , , ครบทกุ ตวั กย็ งั สามารถหาคา่ ความจริงของประพจน์ทีเ่ กิดจาก , , ได้

เช่น ไมว่ า่ เป็นอะไรก็ตาม T ∨ เป็นจริงเสมอ F ∧ เป็นเท็จเสมอ

F → เป็นจริงเสมอ → T เป็นจริงเสมอ

ไมว่ า่ จะเป็นอะไร ∧ ~ เป็นเทจ็ เสมอ ∨ ~ เป็นจริงเสมอ → เป็นจริงเสมอ
↔ เป็นจริงเสมอ ↔ ~ เป็นเท็จเสมอ

และบางครงั้ ถ้าเรารู้คา่ ความจริงของประพจน์ที่เกิดจาก , , เราอาจย้อนกลบั ไปหา , , ได้
เช่น ถ้า ∧ เป็นจริง แปลวา่ ทงั้ กบั ต้องเป็นจริง

ถ้า ∨ เป็นเทจ็ แปลวา่ ทงั้ กบั ต้องเป็นเท็จ
ถ้า → เป็นเทจ็ แปลวา่ ต้องเป็นจริง , ต้องเป็นเทจ็

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ( → ) → (( → ) ∨ )

วิธีทา ( → ) → (( → ) ∨ ) ข้อนี ้บอกแค่ ตวั เดียว แตโ่ ชคดที ่ยี งั พอจะทาได้
เพราะ F → ? ได้ T เสมอ
F

T T ∨ ? ได้ T เสมอ

T ? → T ได้ T เสมอ

T ดงั นนั ้ จะได้ ( → ) → (( → ) ∨ ) เป็นจริง #

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ↔ ~) → (~ ∨ ) เป็นเทจ็ จงหา , ,

วิธีทา ข้อนี ้รู้ผลลพั ธ์สดุ ท้าย โจทย์ให้เราสบื กลบั ไปหา , , ( ↔ ~) → (~ ∨ )
การที่ ( ↔ ~) → (~ ∨ ) จะเป็นเทจ็ ได้ F
เป็นไปได้กรณีเดยี ว คอื ( ↔ ~) ต้องเป็นจริง
และ (~ ∨ ) ต้องเป็นเทจ็ TF

การท่ี ( ↔ ~) จะเป็นจริง มไี ด้หลายกรณี ( ↔ ~) → (~ ∨ )
คอื T ↔ T กบั F ↔ F ดงั นนั้ อนั นยี ้ งั ไปตอ่ ไมไ่ ด้ F
ข้ามมาอกี ฝ่ัง (~ ∨ ) เป็นเท็จ จะมีได้กรณีเดียว
คอื ~ เป็นเท็จ และ เป็นเท็จ TF
ดงั นนั้ จะได้วา่ ต้องเป็นจริง และ ต้องเป็นเทจ็
?? FF

T

ตรรกศาสตร์ 5

กลบั มาที่ ( ↔ ~) ใหม่ คราวนเี ้รารู้แล้ววา่ เป็นจริง ( ↔ ~) → (~ ∨ )
ดงั นนั้ (T ↔ ~) ต้องเป็นจริง F
จะได้ ~ ต้องเป็นจริง ซง่ึ ทาให้ ต้องเป็นเทจ็
ดงั นนั้ เป็นจริง เป็นเท็จ และ เป็นเทจ็ TF

TT FF

FT #

แบบฝึกหดั

1. กาหนดให้ เป็นเท็จ , เป็นจริง , เป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี ้

1. ~ ∧ ( ∨ ~) 2. ~( → ) → (~ → )

3. (~ ∧ ~) ↔ ( ↔ ) 4. ~ ((~ ∨ ~) → ( → ( ∧ )))

2. กาหนดให้ เป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี ้

1. (~ ∧ ) → (~ ∨ ) 2. ( ∨ ) ↔ ( ∧ ~)

3. ( → ) → ( → ) 4. (~ → ) ↔ ( ∨ ~)

6 ตรรกศาสตร์ 2. ( → ( → )) ∨ ( ↔ ~) เป็นเท็จ

3. จงหาคา่ ความจริงของ , , เมอื่ กาหนดให้
1. ( → ~) ∧ ~( → ) เป็นจริง

3. ( ∧ ~) → (~ ∨ ~) เป็นเทจ็ 4. ↔ ( ∧ ) เป็นเท็จ

4. กาหนดให้ และ เป็นจานวนจริง โดยท่ี > 0

ให้ แทนประพจน์ “ถ้า < แล้ว 1 > 1 ” และ แทนประพจน์ “√ = √√ ”

ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนีม้ คี า่ ความจริงเป็นจริง [PAT 1 (มี.ค. 57)/2]

1. ( ⇒ ) ∨ ( ∧ ~) 2. (~ ⇒ ~) ∧ (~ ∨ )

3. ( ∧ ~) ∧ ( ⇒ ) 4. (~ ⇒ ) ⇒ ( ∧ )

5. กาหนดให้ , , และ เป็นประพจน์ท่ี ประพจน์ ( ∨ ) ⇒ ( ∨ ) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ และ

ประพจน์ ⇔ มีคา่ ความจริงเป็นจริง ประพจน์ในข้อใดมคี า่ ความจริงเป็นจริง [PAT 1 (ก.ค. 53)/1]

1. ( ⇒ ) ∧ ( ⇒ ) 2. ⇒ [ ∨ ( ∧ ~)]

3. ( ⇒ ) ⇔ ( ⇔ ) 4. ( ⇔ ) ∧ [ ⇒ ( ∧ )]

ตรรกศาสตร์ 7

6. กาหนดให้ , และ เป็นประพจน์ใดๆ โดยท่ี ~ → มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ ข้อสรุปใดถกู ต้อง
[PAT 1 (ธ.ค. 54)/1]
1. ( ↔ ) → [( ∨ ) → ] มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็
2. ( → ) → (~ → ) มีคา่ ความจริงเป็นจริง

7. กาหนดให้ , , , และ เป็นประพจน์ ซง่ึ → ( ∧ ) มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ

↔ ( ∨ ) มีคา่ ความจริงเป็น จริง

ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็น จริง [PAT 1 (เม.ย. 57)/3]

1. ( ∧ ) → ( ∧ ) 2. ( ∧ ) → ~

3. ( ∨ ) ↔ 4. ( → ) →

8 ตรรกศาสตร์

ตารางคา่ ความจริง

เราเรียกตารางที่บอกคา่ ความจริงในทกุ ๆกรณี ของประพจน์ทีส่ นใจ วา่ “ตารางคา่ ความจริง”
ในหวั ข้อทีแ่ ล้ว เราได้เห็นตารางคา่ ความจริงของ ∧ , ∨ , → , ↔ และ ~ มาแล้ว

∧ ∨ → ↔ ~
TF
TT T TT T TT T TT T FT
TF F TF T TF F TF F
FT F FT T FT T FT F
FF F FF F FF T FF T

ในเรื่องนี ้เราจะหดั สร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์อนื่ ๆ ที่ซบั ซ้อนมากขนึ ้
เนอ่ื งจาก ตารางคา่ ความจริง จะต้องคลมุ ทกุ กรณีของตวั แปร , ,
ดงั นนั้ จานวนแถวในตาราง จะเป็นทวีคณู ของจานวนตวั แปร
โดย สตู รในการหาจานวนแถว คอื จานวนแถว = 2จานวนตวั แปร

1 ตวั แปร 2 ตวั แปร 3 ตวั แปร 4 ตวั แปร

T
T TT TT F
F TF TT T TTTT
FT TF F TTTF
FF TF T TTFT
FT F TTFF
FT T TFTT
FF F TFTF
FF TFFT
TFFF
FTTT
FTTF
FTFT
FTFF
FFTT
FFTF
FFFT
FFFF

และเรามกั นิยมเพมิ่ ชอ่ งสาหรับ “ทดคา่ ” ลงในตาราง เพอื่ ชว่ ยให้การคดิ งา่ ยขนึ ้ อกี ด้วย

ตวั อยา่ ง จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ ~ → (~ ∧ )
วธิ ีทา เน่ืองจาก ~ → (~ ∧ ) มี 2 ตวั แปร คอื กบั ดงั นนั้ จะมกี รณีทเี่ ป็นไปได้ทงั้ หมด 4 กรณี

และ เนื่องจากประพจน์นี ้มคี วามซบั ซ้อน เราจะสร้างช่อง ~ กบั ~ ∧ สาหรับทดคา่ ดงั นี ้

~ ~ ∧ ~ → (~ ∧ )

TT
TF
FT
FF

โดยเราจะ ใช้ชอ่ ง หาคา่ ของ ~
ใช้ช่อง ~ และชอ่ ง หาคา่ ของ ~ ∧
ใช้ชอ่ ง ~ และช่อง ~ ∧ หาคา่ ของ ~ → ~ ∧

ตรรกศาสตร์ 9

และจะได้ตารางทเ่ี ติมเสร็จสมบรู ณ์ ดงั นี ้ #

~ ~ ∧ ~ → (~ ∧ ) #

TT F F T
TF T T T
FT F F T
FF T F F

ตวั อยา่ ง จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ ( → ~) ∨ ~( ↔ ~)
วิธีทา ข้อนมี ้ ี , , รวมเป็น 3 ตวั แปร ดงั นนั้ จะมที งั้ หมด 8 กรณี ดงั นี ้

~ → ~ ~ ↔ ~ ~( ↔ ~) ( → ~) ∨ ~( ↔ ~)

TTT F F F F T T
TTF F F F T F F
TFT T T F F T T
TFF T T F T F T
FTT F T T T F T
FTF F T T F T T
FFT T T T T F T
FFF T T T F T T

แบบฝึกหดั
1. จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ ~ →

2. จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ ( ↔ ) ↔ (~ ↔ )

10 ตรรกศาสตร์

สมมลู

“สมมลู ” แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ “≡” แปลวา่ “มคี า่ ความจริงเหมือนกนั ”
เราจะใช้เครื่องหมาย “≡” กบั ประพจน์ คล้ายๆกบั ทเ่ี ราใช้เครื่องหมาย “=”
เช่น “ เป็นจริง” จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ≡ T

“ เป็นเทจ็ ” จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ≡ F
“ มคี า่ ความจริงเหมอื น ” จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ≡

ในกรณีทีป่ ระพจน์สองประพจน์ มีตารางคา่ ความจริงเหมอื นกนั ทกุ กรณี เราจะกลา่ ววา่ สองประพจน์นนั้ สมมลู กนั
ในกรณีทป่ี ระพจน์สองประพจน์ มตี ารางคา่ ความจริงตรงข้ามกนั ทกุ กรณี เราจะกลา่ ววา่ สองประพจน์นนั้ เป็นนเิ สธกนั

ตวั อยา่ ง จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพ่อื ตรวจสอบวา่ ~ → ~ กบั ∨ ~ สมมลู หรือ เป็นนเิ สธกนั หรือไม่
วิธีทา เราจะเขียนตารางคา่ ความจริง ของ ~ → ~ กบั ∨ ~ ลงในตารางเดยี วกนั

~ ~ ~ → ~ ∨ ~

TT F F T T
T
TF F T T F
T
FT T F F

FF T T T

จะเห็นวา่ ชอ่ ง ~ → ~ กบั ∨ ~ มคี า่ เหมือนกนั ทกุ กรณี ดงั นนั ้ ~ → ~ ≡ ∨ ~ #

ตวั อยา่ ง จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพ่อื ตรวจสอบวา่ ~ ∧ ~ กบั → ~ สมมลู หรือ เป็นนเิ สธกนั หรือไม่
วิธีทา เราจะเขยี นตารางคา่ ความจริง ของ ~ → ~ กบั ∨ ~ ลงในตารางเดยี วกนั

~ ~ ~ ∧ ~ → ~

TT F F F F
TF F T F T
FT T F F T
FF T T T T

จะเห็นวา่ ช่อง ~ ∧ ~ กบั → ~ มคี า่ เหมอื นบ้าง ไมเ่ หมอื นบ้าง #
ดงั นนั้ ~ ∧ ~ กบั → ~ ไมม่ คี วามเกย่ี วข้องกนั (ไมส่ มมลู และ ไมเ่ ป็นนิเสธกนั )

ตวั อยา่ ง จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพอื่ ตรวจสอบวา่ ∧ ( → ) กบั ( → ) → ~ สมมลู หรือ เป็นนเิ สธกนั
หรือไม่

วิธีทา เราจะเขียนตารางคา่ ความจริง ของ ∧ ( → ) กบั ( → ) → ~ ลงในตารางเดยี วกนั

→ ∧ ( → ) ~ ( → ) → ~

TT T TF F

TF T TF F

FT F FT T

FF T FT T

จะเหน็ วา่ ชอ่ ง ∧ ( → ) กบั ( → ) → ~ มีคา่ ตรงข้ามกนั ทกุ กรณี #
ดงั นนั ้ ∧ ( → ) เป็นนเิ สธของ ( → ) → ~

ตรรกศาสตร์ 11

แบบฝึกหดั
1. จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพื่อตรวจสอบวา่ ∧ ( ∨ ) สมมลู หรือเป็นนิเสธกบั ∨ ( ∧ ) หรือไม่

2. จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพ่ือตรวจสอบวา่ → ( → ) สมมลู หรือเป็นนเิ สธกบั ( → ) → หรือไม่

3. จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพอ่ื ตรวจสอบวา่ ∧ ( → ) สมมลู หรือเป็นนเิ สธกบั ( → ) → ~ หรือไม่

12 ตรรกศาสตร์

4. กาหนดให้ , และ แทนประพจน์ใดๆ ให้ (, , ) แทนประพจน์ทป่ี ระกอบด้วยประพจน์ , และ
และคา่ ความจริงของประพจน์ (, , ) แสดงดงั ตารางตอ่ ไปนี ้

คา่ ความจริงของ (, , )

TTT T
TTF T
TFT F
TFF F
FTT T
FTF T
FFT T
FFF T

ประพจน์ (, , ) สมมลู กบั ประพจน์ใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/1]

1. ( → ) ∨ ( ∧ ) 2. ( → ) → ( → ~)

3. ( ∧ ~) → ( ∧ ) 4. ( ∧ ~) → ( → ~)

ตรรกศาสตร์ 13

การทาประพจน์เป็นรูปอยา่ งงา่ ย

ในเรื่องนี ้โจทย์จะให้ประพจน์ท่ีมคี วามซบั ซ้อนมา แล้วให้เราทาเป็นรูปทง่ี า่ ยขนึ ้
ในการทาเป็นรูปอยา่ งงา่ ย เราต้องรู้สมบตั ิตา่ งๆของ ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ ซงึ่ จะมีทงั้ สมบตั ิงา่ ยๆ และสมบตั ยิ ากๆ

สมบตั ิพนื ้ ฐานทวั่ ๆไป ที่ควรรู้ (โดยไมต่ ้องทอ่ ง) ได้แก่
1. สมบตั กิ ารตดั ตวั ซา้

∧ ≡ ∨ ≡

แตร่ ะวงั ให้ดี → ≢ ↔ ≢

2. สมบตั สิ ลบั ท่ี

∧ ≡ ∧ ∨ ≡ ∨ ↔ ≡ ↔

แตร่ ะวงั ให้ดี → ≢ →

3. สมบตั ิการเปลยี่ นกลมุ่ ได้

( ∧ ) ∧ ≡ ∧ ( ∧ ) ≡ ∧ ∧

( ∨ ) ∨ ≡ ∨ ( ∨ ) ≡ ∨ ∨

( ↔ ) ↔ ≡ ↔ ( ↔ ) ≡ ↔ ↔

แตร่ ะวงั ให้ดี ( → ) → ≢ → ( → )
4. สมบตั ิการหกั ล้างกนั ของนเิ สธ

~(~) ≡

สมบตั ติ อ่ ไปนี ้เป็นสมบตั ิทต่ี ้องทอ่ ง
1. สตู รกระจาย ∼ เข้าไปใน ∧ , ∨

~( ∧ ) ≡ ~ ∨ ~
~( ∨ ) ≡ ~ ∧ ~

2. สตู รกระจาย ∧ , ∨ เข้าไปใน ∨ , ∧

∧ ( ∨ ) ≡ ( ∧ ) ∨ ( ∧ )
∨ ( ∧ ) ≡ ( ∨ ) ∧ ( ∨ )

3. สตู ร →

→ ≡ ~ ∨ *** สตู รแรก จายากหนอ่ ย แตใ่ ช้บอ่ ยสดุ ๆ
→ ≡ ~ → ~

4. สตู ร ↔

↔ ≡ ( → ) ∧ ( → )
~( ↔ ) ≡ ~ ↔ ≡ ↔ ~

14 ตรรกศาสตร์

และเน่อื งจาก ∧ กบั ∨ เป็นเครื่องหมายทเ่ี ราเจอเกือบทกุ ข้อ จงึ ควรจาสมบตั พิ เิ ศษของ ∧ กบั ∨ เพมิ่ ดงั นี ้

1. T หรือ กบั อะไรก็ตาม จะได้ T F และ กบั อะไรก็ตาม จะได้ F

เชน่ T ∨ ≡ T ∨ T ≡ T T ∨ ( ∧ ( → )) ≡ T

F ∧ ≡ F ∧ F ≡ F F ∧ ( ∧ ( → )) ≡ F

2. T และ กบั อะไรก็ตาม จะได้เทา่ เดิม F หรือ กบั อะไร จะได้เทา่ เดมิ

เช่น T ∧ ≡ ∧ T ≡ T ∧ ( ∧ ( → )) ≡ ∧ ( → )

F ∨ ≡ ∨ F ≡ F ∨ ( ∧ ( → )) ≡ ∧ ( → )

3. ตวั ตรงข้ามกนั และกนั ได้ F เสมอ ตวั ตรงข้ามกนั หรือกนั ได้ T เสมอ

เช่น ∧ ~ ≡ F ~ ∧ ≡ F ( ∨ ) ∧ (~ ∧ ~) ≡ F

∨ ~ ≡ T ~ ∨ ≡ T ( ∨ ) ∨ (~ ∧ ~) ≡ T

เราจะใช้สตู รทก่ี ลา่ วมาทงั้ หมด เพอื่ เปลย่ี นรูปประพจน์ให้อยใู่ นรูปอยา่ งง่าย

โดยเรามกั จะพยายามกาจดั ( ) , → , ↔ ให้กลายเป็น ∧ , ∨ , ∼

เช่น ~ → ≡ ~(~) ∨ → ( ∨ ) ≡ ~ ∨ ( ∨ )

≡ ∨ ≡ ~ ∨ ∨

→ ( ∧ ) ≡ ~ ∨ ( ∧ ) ( ∧ ) → ≡ ~( ∧ ) ∨
≡ (~ ∨ ) ∧ (~ ∨ ) ≡ (~ ∨ ~) ∨
≡ ~ ∨ ~ ∨

( → ) → ≡ (~ ∨ ) → ( ∨ ) → ≡ ~( ∨ ) ∨
≡ ~(~ ∨ ) ∨ ≡ (~ ∧ ~) ∨
≡ ( ∧ ~) ∨ ≡ (~ ∨ ) ∧ (~ ∨ )

→ ~( ∧ ) ≡ → (~ ∨ ~) ≡ T ∧ (~ ∨ )
≡ ~ ∨ (~ ∨ ~) ≡ ~ ∨

≡ ~ ∨ ~ ∨ ~ ∨ ( ∧ ) ≡ ( ∧ T) ∨ ( ∧ )
≡ ~ ∨ ~ ≡ ∧ (T ∨ )

( ∧ ) ↔ ≡ (( ∧ ) → ) ∧ ( → ( ∧ )) ≡ ∧ T
≡ (~( ∧ ) ∨ ) ∧ (~ ∨ ( ∧ )) ≡

≡ ((~ ∨ ~) ∨ ) ∧ ((~ ∨ ) ∧ (~ ∨ )) ~ → F ≡ ~(~) ∨ F
≡ ∨ F
≡ (~ ∨ ~ ∨ ) ∧ ( T ∧ (~ ∨ )) ≡

≡T ∧ ( ~ ∨ )

≡ ~ ∨

ตรรกศาสตร์ 15

โจทย์ยอดนยิ มในเรื่องนี ้คอื การตรวจสอบวา่ ประพจน์สองอนั ทก่ี าหนด สมมลู / เป็นนิเสธ กนั หรือไม่
คาศพั ท์ทค่ี วรรู้ คอื “ มคี า่ ความจริงเหมอื นกบั ” แปลวา่ “ สมมลู กบั ” แปลวา่ ≡

“ มคี า่ ความจริงตรงข้ามกบั ” แปลวา่ ” เป็นนเิ สธของ ” แปลวา่ ≡ ~
วิธีทาคือ เราต้องแปลงประพจนท์ งั้ สองฝั่ง ให้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย แล้วดวู า่ ได้รูปอยา่ งงา่ ยเหมอื นกนั หรือไม่

ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ → ( → ) ≡ ( ∧ ) → #
วิธีทา เราจะใช้สตู ร เพ่อื แปลงประพจน์ทงั้ สองข้าง ให้เป็นรูปอยา่ งงา่ ย ดงั นี ้

→ (~ ∨ ) ≡ ~( ∧ ) ∨
~ ∨ (~ ∨ ) ≡ (~ ∨ ~) ∨

~ ∨ ~ ∨ ≡ ~ ∨ ~ ∨

จะเหน็ วา่ แปลงแล้ว ได้เหมือนกนั เลย ดงั นนั ้ → ( → ) ≡ ( ∧ ) →

ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ ∧ ( → ) เป็นนเิ สธของ ( → ) → ~ #
วธิ ีทา ประพจน์ จะเป็นนิเสธกนั เม่ือ ประพจน์หนงึ่ สมมลู กบั ~(อกี ประพจน์หนง่ึ )

∧ ( → ) ≡ ~(( → ) → ~)
∧ (~ ∨ ) ≡ ~(~(~ ∨ ) ∨ ~)

≡ (~ ∨ ) ∧

ดงั นนั ้ ∧ ( → ) เป็นนเิ สธของ ( → ) → ~

ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ ข้อความ “ถ้า สมชายไป แล้ว สมหญิงไปแตส่ มศรีไมไ่ ป” เหมอื นกนั กบั ข้อความ “ถ้า สมหญิงไมไ่ ป

หรือสมศรีไป แล้ว สมชายไมไ่ ป”

วิธีทา เราจะแปลงข้อความให้เป็นสญั ลกั ษณ์กอ่ น

ให้ แทน “สมชายไป” ให้ แทน “สมหญิงไป” ให้ แทน “สมศรีไป”
ดงั นนั้ “ถ้า สมชายไป แล้ว สมหญิงไปแตส่ มศรีไมไ่ ป” จะกลายเป็น → ( ∧ ~)

“แต”่ ในประโยคนี ้จะเหมอื นกบั “และ”

“ถ้า สมหญิงไมไ่ ปหรือสมศรีไป แล้ว สมชายไมไ่ ป” จะกลายเป็น (~ ∨ ) → ~

ตรวจสอบวา่ ข้อความเหมือนกนั ต้องตรวจสอบวา่ → ( ∧ ~) ≡ (~ ∨ ) → ~ หรือไม่

→ ( ∧ ~) ≡ (~ ∨ ) → ~
~ ∨ ( ∧ ~) ≡ ~(~ ∨ ) ∨ ~
~ ∨ ( ∧ ~) ≡ ( ∧ ~) ∨ ~

ดงั นนั้ ข้อความทงั้ สอง เหมอื นกนั #

อีกจดุ ทีต่ ้องระวงั คอื การนา “มากกวา่ ” กบั “น้อยกวา่ ” มาใช้ร่วมกบั คาวา่ “ไม”่
เดก็ สว่ นใหญ่ มกั คิดวา่ “ไมม่ ากกวา่ ” ก็คอื “น้อยกวา่ ” ซง่ึ เป็นความคดิ ทีผ่ ดิ อยนู่ ิดหนอ่ ย
จริงๆแล้ว “ไมม่ ากกวา่ ” จะแปลวา่ “น้อยกวา่ หรือเทา่ กบั ”

16 ตรรกศาสตร์

ดงั นนั้ ถ้าให้ แทน “3 > 2” จะได้ ~ คอื “3 ≤ 2”
ถ้าให้ แทน “4 ≥ 6” จะได้ ~ คือ “4 < 6”
ถ้าให้ แทน “1 < 5” จะได้ ~ คอื “1 ≥ 5” เป็นต้น

แบบฝึกหดั 2. ~(~(~)) ≡
1. จงเตมิ ประโยคตอ่ ไปนใี ้ ห้สมบรู ณ์
4. ∨ ( ∧ ) ≡
1. ∧ ≡
3. ~( ∧ ) ≡ 6. ~ → ~ ≡
5. → ≡
7. ↔ ≡ 8. ∧ T ≡
9. ∨ T ≡
11. ∨ ~ ≡ 10. ∧ ~ ≡
13. ∧ F ≡
12. F ∨ ≡
2. จงทาประพจน์ตอ่ ไปนเี ้ป็นรูปอยา่ งงา่ ย
1. ~( ∧ ) 2. → ~

3. ~( → ) 4. ( ∨ ) →

5. → ( → ) 6. → T

7. ~ → ( ∧ ~) 8. F →

ตรรกศาสตร์ 17

9. ( ∨ T) → (( ∧ ) ↔ ) 10. ( ∧ ) →

11. → ( ∧ ) 12. ~ → ( ∨ )

13. ( ∧ ) → ( ∨ ) 14. ~(~( ∧ ~) ∧ )

15. ~( → ) → ( ∧ ) 16. ∧ ( ∨ )

3. ประพจน์ในข้อใด สมมลู กนั 2. ↔ กบั (~ ∨ ) ∧ ( ∨ ~)
1. ∨ กบั ~ →

18 ตรรกศาสตร์ 4. → ( ∧ ) กบั ( → ) ∧ ( → )

3. ( ∧ ) → กบั ( → ) ∧ ( → )

5. → ( ∨ ) กบั ( → ) ∨ ( → ) 6. → ( → ) กบั ( → ) →

7. → ( → ) กบั ( ∧ ) → 8. ~ ∧ ( ∨ ) กบั ~( → )

9. “ถ้า ฉนั ไมท่ าการบ้าน แล้ว ฉนั จะโดนแมด่ ุ” กบั “ฉนั ทาการบ้าน หรือ ฉนั โดนแมด่ ”ุ

10. “ถ้า > 0 และ > 0 แล้ว > 0” กบั “ถ้า ≤ 0 แล้ว ≤ 0 และ ≤ 0”

ตรรกศาสตร์ 19

11. “วนั นฝี ้ นไมต่ ก กต็ อ่ เมือ่ เมอื่ วานห้นุ ขนึ ้ ” กบั
“วนั นฝี ้ นตกหรือเมื่อวานห้นุ ขนึ ้ และ วนั นฝี ้ นไมต่ กหรือเมื่อวานห้นุ ตก”

4. จงตรวจสอบวา่ ประพจนต์ อ่ ไปนี ้เป็นนิเสธกนั หรือไม่ 2. → กบั ∧ ~
1. ~ → กบั ~ →

3. ~ → กบั ~ ∧ ~ 4. กบั ~(~)

5. → ( → ) กบั ∧ ∧ 6. ~ ∧ ( → ~) กบั ~ → ( ∧ )

7. “ฉนั ไปดหู นงั หรือไปช้อปปิง้ ” กบั “ฉนั ไมไ่ ปดหู นงั และไมไ่ ปช้อปปิง้ ”

8. “ถ้า > หรือ ≥ แล้ว < ” กบั “ ≤ หรือ ≥ ”

20 ตรรกศาสตร์

9. “ถ้า หมมู ีปีก แล้ว หมบู นิ ได้” กบั “หมมู ปี ีก แตห่ มบู ินไมไ่ ด้”

5. กาหนดให้ และ เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็ [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/1]

1. ( ⇒ ) ∨ 2. (~ ∧ ) ⇒

3. [( ⇒ ) ∧ ] ⇒ 4. (~ ⇒ ) ⇔ (~ ∧ ~)

6. กาหนดให้ , , เป็นประพจน์ ข้อใดตอ่ ไปนีเ้ป็นจริง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-2]
1. ถ้า ∧ มคี า่ ความจริงเป็นจริง แล้ว และ ∨ [( ∧ ) ⇒ ] มีคา่ ความจริงเหมอื นกนั
2. ถ้า มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ แล้ว และ ( ⇒ ) ∧ มคี า่ ความจริงเหมอื นกนั

7. กาหนดให้ , , เป็นประพจน์ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู [PAT 1 (ม.ี ค. 52)/1]
1. ประพจน์ → ( → ( ∨ )) สมมลู กบั ประพจน์ → ( ∨ )
2. ประพจน์ ∧ ( → ) สมมลู กบั ประพจน์ ( → ) ∨ ~( → ~)

ตรรกศาสตร์ 21

8. กาหนดให้ , , และ เป็นประพจน์ใดๆ ข้อความใดถกู ต้องบ้าง [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/3]
1. ถ้าประพจน์ ( ∨ ) ⇔ ( ∧ ) และประพจน์ มคี า่ ความจริงเป็นจริง
แล้วสรุปได้วา่ ประพจน์ มคี า่ ความจริงเป็นจริง
2. ประพจน์ ( ∧ ) ⇒ ( ∧ ) สมมลู กบั ประพจน์ [ ⇒ ( ⇒ )] ∧ [ ⇒ ( ⇒ )]

9. กาหนดให้ , , และ เป็นประพจน์ใดๆ

ประพจน์ [( ∧ ~) ∨ ~] ⇒ [( ∨ ) ∧ ( ∨ ~)] สมมลู กบั ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้

[PAT 1 (ม.ี ค. 55)/2]

1. ⇒ 2. ⇒

3. ( ∨ ) ∧ ( ∨ ) 4. ( ∨ ) ∧ ( ∨ )

10. ให้ , , เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ → ( ∨ ) มคี า่ ความจริงเป็นจริง และ ∨ ( ∧ ) มีคา่ ความจริงเป็น

เท็จ แล้ว ประพจนใ์ นข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็ [A-NET 49/10]

1. ~ ∨ ( → ) 2. ~ → (~ ∨ )

3. ( ∨ ) → ~ ∨ ( ∧ ) 4. [(~) ∨ (~)] → [ ∧ ( ∨ )]

22 ตรรกศาสตร์

11. กาหนดให้ , และ เป็นประพจน์โดยที่ ⇒ ( ⇒ ) , ∨ ~ และ มคี า่ ความจริงเป็นจริง ประพจน์ใน

ข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็ [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/1]

1. [ ⇒ ( ⇒ ~)] ⇔ ~( ∧ ) 2. [ ⇒ ( ⇒ q)] ⇔ [( ⇒ ) ⇒ ]

3. [ ⇒ ~( ∧ )] ⇔ [ ⇒ ( ∧ )] 4. [ ∨ ~( ⇒ )] ⇔ [ ⇒ ( ⇒ )]

12. ถ้า , และ เป็นประพจน์โดยท่ี ⇒ ( ∧ ) มคี า่ ความจริงเป็นจริง
แล้ว จงหาคา่ ความจริงของ ⇒ [( ⇒ ) ∧ (~ ⇒ )] [PAT 1 (ต.ค. 55)/3*]

ตรรกศาสตร์ 23

สจั นิรันดร์

สจั นิรันดร์ คือ ประพจน์ที่เป็นจริงในทกุ กรณี
เช่น ถ้าพจิ ารณาตารางคา่ ความจริงของ → ( ∨ )

∨ → ( ∨ )

TT T T
TF T T
FT T T
FF F T

จะเหน็ วา่ → ( ∨ ) เป็นจริงในทกุ กรณี ไมว่ า่ กบั จะเป็นอะไรก็ตาม
ในกรณีนี ้ เราจะกลา่ ววา่ → ( ∨ ) เป็นสจั นริ ันดร์

ตวั อยา่ ง จงใช้ตารางคา่ ความจริง เพื่อตรวจสอบวา่ ~( ∧ ) ↔ ( ↔ ~) เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่

วิธีทา ∧ ~( ∧ ) ~ ↔ ~ ~( ∧ ) ↔ ( ↔ ~)

TT T F FF T
TF F T TT T
FT F T FT T
FF F T TF F

จะเห็นวา่ ~( ∧ ) ↔ ( ↔ ~) สามารถเป็นเท็จได้ ในกรณีที่ ≡ F และ ≡ F #
ดงั นนั ้ ~( ∧ ) ↔ ( ↔ ~) ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์

อยา่ งไรกต็ าม เราไมค่ อ่ ยชอบสร้างตารางคา่ ความจริง เพราะใช้แรงเยอะ
วธิ ียอดนยิ มในการตรวจสอบสจั นิรันดร์ คอื ใช้วธิ ี “ยดั เยยี ดความเทจ็ ” ซงึ่ มขี นั้ ตอนดงั นี ้

1. กาหนดให้ประพจน์ทตี่ ้องการตรวจสอบ เป็นเทจ็ ไปกอ่ นเลย
2. ลยุ ย้อนกลบั หา , , เพ่อื ดวู า่ มนั ยอมรับความเทจ็ ทเี่ รายดั เยยี ดให้ได้ไหม

 ถ้าหา , , ได้สาเร็จ แปลวา่ ยดั เยียดความเทจ็ สาเร็จ ดงั นนั้ ไมใ่ ช่สจั นริ ันดร์
 ถ้าเกิดข้อขดั แย้งตอนลยุ ย้อนหา , , แปลวา่ ยดั เยยี ดความเทจ็ ไมส่ าเร็จ ดงั นนั้ เป็นสจั นริ ันดร์

จะใช้วธิ ีนี ้ต้องระวงั ให้ดี เพราะข้อสรุปมนั จะสวนทางกนั กบั ผลลพั ธ์ที่เราทาได้
กลา่ วคอื “สาเร็จ แปลวา่ ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์” แต่ “ไมส่ าเร็จ แปลวา่ เป็นสจั นริ ันดร์”

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ → ( ∨ ) เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่

วธิ ีทา กาหนดให้ → ( ∨ ) เป็นเทจ็ ไปก่อนเลย แล้วลยุ กลบั หา ,
→ ( ∨ )
F จะเหน็ วา่ → ( ∨ ) เป็นเท็จได้กรณีเดยี ว คอื เป็นจริง กบั ∨ เป็นเทจ็

TF แตจ่ ะเหน็ วา่ การท่ี เป็นจริง จะไมส่ ามารถหา มาทาให้ ∨ เป็นเทจ็ ได้

T ? เพราะ จริง ∨ กบั อะไร จะได้จริงหมด ไมว่ า่ เป็นอะไรก็ตาม
เกิดข้อขดั แย้ง ดงั นนั้ → ( ∨ ) เป็นสจั นริ ันดร์
#

24 ตรรกศาสตร์

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ( → ~) ∨ ( ∧ ) เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่

วธิ ีทา ( → ~) ∨ ( ∧ ) ยดั เยยี ดความเทจ็ ให้กอ่ น แล้วลยุ หา , ,
จะเหน็ วา่ ได้ เป็นจริง , เป็นจริง , เป็นเทจ็
F

F F ดงั นนั ้ หา , , ได้สาเร็จ

T F TF แปลวา่ ( → ~) ∨ ( ∧ ) เป็นเท็จได้

T ดงั นนั ้ ( → ~) ∨ ( ∧ ) ไมใ่ ช่สจั นริ ันดร์ #

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่

วิธีทา ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) กาหนดให้ประพจน์เป็นเท็จกอ่ น
แตค่ ราวนมี ้ ปี ัญหา เพราะ กต็ อ่ เมอื่ เป็นเท็จได้ 2 แบบ
F

? ? คือ T ↔ F กบั F ↔ T

เราจะแยกคดิ เป็น 2 กรณี ถ้ามซี กั กรณีทล่ี ยุ หา , ได้สาเร็จ แปลวา่ ประพจน์นไี ้ มเ่ ป็นสจั นิรันดร์

( ∧ ) ↔ ( ∨ ) กรณี T ↔ F

F ∧ เป็นจริง มไี ด้กรณีเดยี ว คือ เป็นจริง และ เป็นจริง

T F แตถ่ ้า เป็นจริง และ เป็นจริง จะไมท่ าให้ ∨ เป็นเทจ็

TT ดงั นนั้ กรณี T ↔ F เกิดข้อขดั แย้ง ยดั เยยี ดความเท็จไมส่ าเร็จ

ถงึ ตรงนี ้เรายงั สรุปไมไ่ ด้ วา่ ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่ ยา้ อีกเทยี่ ววา่
 จะเป็นสจั นนั ดร์ได้ ต้องยดั เยยี ดความเทจ็ ไมส่ าเร็จ ในทกุ กรณี
 ถ้ายดั เยยี ดความเทจ็ สาเร็จ แคเ่ พยี งซกั กรณี จะไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์ ทนั ที

ถ้ากรณีแรก ยดั เยียดความเทจ็ สาเร็จ ข้อนตี ้ อบได้เลยวา่ ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์
แตโ่ ชคร้าย กรณี T ↔ F เกิดข้อขดั แย้ง ดงั นนั้ ต้องทากรณี F ↔ T ตอ่

( ∧ ) ↔ ( ∨ ) กรณี F ↔ T
F จะได้ ∧ เป็นเทจ็ กบั ∨ เป็นจริง
∧ เป็นเท็จ แปลวา่ ใน กบั ต้องมี เทจ็ ซกั ตวั (หรือทงั้ ค)ู่
FT ∨ เป็นจริง แปลวา่ ใน กบั ต้องมี จริงซกั ตวั (หรือทงั้ ค)ู่

ดงั นนั้ ถ้า ใน กบั มจี ริงหนงึ่ ตวั เท็จหนงึ่ ตวั (เชน่ เป็นจริง เป็นเท็จ หรือ เป็นเท็จ เป็นจริง)

ก็จะทาให้ ∧ เป็นเทจ็ กบั ∨ เป็นจริง ได้สาเร็จ นนั่ คอื กรณีนี ้ยดั เยยี ดความเทจ็ สาเร็จ

ดงั นนั ้ ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์ #

จะเหน็ วา่ ข้อทแี่ ล้ว วนุ่ วายมาก เพราะ “ก็ตอ่ เม่อื เป็นเท็จได้หลายแบบ” ทาให้ต้องแบง่ กรณีคดิ
โดยปกติ เราจะต้องแบง่ กรณีคดิ ในกรณีตอ่ ไปนี ้

∧ ≡F ∨ ≡T

→ ≡T ↔ ≡ T, F

ถ้าเจอกรณีเหลา่ นี ้ให้ข้ามไปทาทอ่ นอืน่ กอ่ น เผื่อจะได้ข้อมลู อ่ืนเพิ่มเติมในการลยุ ประโยคเหลา่ นไี ้ ด้โดยไมต่ ้องแบง่ กรณี

ตรรกศาสตร์ 25

ในกรณีทเี่ ป็นประพจน์ในรูป ↔ เราจะมีอกี วิธีทงี่ ่ายกวา่ ในการตรวจสอบสจั นิรันดร์
ถ้าโจทยถ์ ามวา่ ↔ เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่ ให้เราพจิ ารณาวา่ กบั สมมลู กนั หรือไม่

 ถ้า ≡ ให้สรุปวา่ ↔ เป็นสจั นิรันดร์
 ถ้า ≢ ให้สรุปวา่ ↔ ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์
หมายเหต:ุ วิธีนี ้งา่ ยกวา่ วิธียดั เยียดความเทจ็ แตใ่ ช้ได้กบั ประพจน์ในรูป ↔ เทา่ นนั้

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ( → ~) ↔ ~( ∧ ) เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่
วธิ ีทา จะเห็นวา่ ข้อนี ้ประพจน์อยใู่ นรูป ↔ ดงั นนั้ เราใช้วิธีเช็คสมมลู ได้

นนั่ คอื ถ้า ( → ~) กบั ~( ∧ ) สมมลู กนั จะสรุปได้ทนั ทีวา่ ( → ~) ↔ ~( ∧ ) เป็นสจั นริ ันดร์

( → ~) ≡ ~( ∧ ) #
~ ∨ ~ ≡ ~ ∨ ~

จะเห็นวา่ แปลงเป็นรูปอยา่ งงา่ ยได้เหมอื นกนั เลย ดงั นนั้ ( → ~) ≡ ~( ∧ )
ดงั นนั ้ ( → ~) ↔ ~( ∧ ) เป็นสจั นิรันดร์

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ #
วิธีทา ข้อนี ้เราเคยทาด้วยวิธียดั เยียดความเท็จมาแล้ว แตย่ งุ่ ยาก เพราะ ก็ตอ่ เมื่อ เป็นเท็จได้หลายแบบ

จะเหน็ วา่ ข้อนี ้ประพจน์อยใู่ นรูป ↔ ดงั นนั้ เราใช้วธิ ีเช็คสมมลู ได้
เนอื่ งจาก ∧ ≢ ∨ ดงั นนั ้ ( ∧ ) ↔ ( ∨ ) ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์

แบบฝึกหดั 2. ( ∧ ) → ( ∨ )
1. ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนีเ้ป็นสจั นิรันดร์

1. ~ ∨ ( → )

3. ( → ~) ∨ ( → ~) 4. ~((( ∧ ) → ) ∧ ~( → ))

5. ( ∨ ) → (~ → ) 6. ( ∨ ) → ( ∧ )

26 ตรรกศาสตร์ 8. ( → ( → )) ↔ (( ∧ ) → )

7. ( ∨ ( → )) ↔ ( ∨ ( → ))

9. (( ∧ ) → ) ∧ ~( ∧ ( → ))

2. กาหนดให้ , และ เป็นประพจน์ใดๆ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [PAT 1 (ต.ค. 53)/1]
1. ถ้า ⇔ มีคา่ ความจริงเป็นจริง แล้ว ( ∧ ) ⇒ (~ ⇒ ) มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ
2. ประพจน์ ⇒ [( ∧ ) ∨ ( ∨ )] เป็นสจั นริ ันดร์
3. ประพจน์ [( ∧ ) ⇒ ] ⇒ [( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ )] เป็นสจั นริ ันดร์
4. ประพจน์ ( ⇒ ) ∧ ( ⇒ ) สมมลู กบั ประพจน์ ( ∧ ) ⇒

3. กาหนดให้ และ เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นสจั นริ ันดร์ [PAT 1 (ต.ค. 55)/2]

1. ( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ ) 2. (~ ∨ ~) ⇒ ( ⇒ )

3. [( ∧ ~) ⇒ ~] ⇒ ( ⇒ ) 4. [( ∧ ) ⇒ ~] ⇒ ( ⇒ )

ตรรกศาสตร์ 27

การอ้างเหตผุ ล

การอ้างเหตผุ ล คอื การหาผลสรุป จากเหตทุ ่ีกาหนด 1. →
เช่น ถ้ากาหนดเหตคุ ือ 1. ถ้าฉนั ชว่ ยแมก่ วาดบ้าน แล้ว แมจ่ ะพาฉนั ไปเท่ยี ว 2.
ผลสรุป คอื
2. ฉนั ช่วยแมก่ วาดบ้าน
เราจะได้ผลสรุปคอื แมจ่ ะพาฉนั ไปเที่ยว

เรามวี ธิ ีทาโจทย์ในเร่ืองนไี ้ ด้ 2 วธิ ี คอื “วิธีโยงรูปแบบพนื ้ ฐาน” และ “วธิ ีตรวจสอบด้วยสจั นริ ันดร์”

วธิ ีโยงรูปแบบพนื ้ ฐาน จะใช้ “รูปแบบพนื ้ ฐาน” มาสรุปตอ่ กนั เป็นทอดๆ เพอ่ื ได้ผลสรุปทีซ่ บั ซ้อนมากขนึ ้

รูปแบบการสรุปเหตผุ ลพนื ้ ฐาน ทค่ี วรทราบ มดี งั นี ้

 การรวมเหตุ - แตกเหตุ

ถ้าเหตหุ นง่ึ คือ อีกเหตหุ นงึ่ คือ เราสามารถสรุป ∧ ได้ (Conjunction)

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป ∧ เราสามารถสรุป ได้ (Simplification)

เราสามารถสรุป ได้

 ตดั ตวั เลอื ก - เพม่ิ ตวั หลอก

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป ∨ ถ้าเรามี ~ เราสามารถสรุป ได้ (Disjuctive Syllogism)

ถ้าเรามี ~ เราสามารถสรุป ได้

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป เราสามารถสรุป ∨ ได้ (Addition)

 คาสญั ญา

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป → เราสามารถสรุป → ( ∧ ) ได้ (Absorption)

ถ้าเรามี เราสามารถสรุป ได้ (Modus Ponens)

ถ้าเรามี ~ เราสามารถสรุป ~ ได้ (Modus Tollens)

ถ้าเรามี → เราสามารถสรุป → ได้ (Hypothetical Syllogism)

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป → และ →

ถ้าเรามี ∨ เราสามารถสรุป ∨ ได้ (Constructive Dilemma)

 การเหมอื นกนั

ถ้าเหตุ อยใู่ นรูป ↔ ถ้าเรามี เราสามารถสรุป ได้ ถ้าเรามี เราสามารถสรุป ได้

ถ้าเรามี ~ เราสามารถสรุป ~ ได้ ถ้าเรามี ~ เราสามารถสรุป ~ ได้

ตวั อยา่ ง ข้อใดไมใ่ ช่ผลสรุปทส่ี มเหตสุ มผล ของเหตตุ อ่ ไปนี ้

เหตุ 1. ~ 2. → 3. ∨

ผล .........

1. 2. ~ 3. → 4. ∨

วิธีทา จากเหตขุ ้อ 1 กบั 2 เราใช้ Modus Tollens สรุป ~ ได้ ดงั นนั้ ข้อ 2 ไมใ่ ชค่ าตอบ

จาก ~ กบั เหตขุ ้อ 3 เราใช้การตดั ตวั เลอื ก สรุป ได้ ดงั นนั้ ข้อ 1 ไมใ่ ชค่ าตอบ

28 ตรรกศาสตร์ #

ตวั เลอื กข้อ 3 คอื → ซงึ่ แปลงให้อยใู่ นรูปอยา่ งง่ายได้เป็น ~ ∨
จากเหตขุ ้อ 1 เราใช้การเพมิ่ ตวั หลอก จะสรุป ~ ∨ ได้ ดงั นนั้ ข้อ 3 ไมใ่ ชค่ าตอบ
และจะเห็นวา่ ทายงั ไงก็สรุปออกมาเป็นข้อ 4 ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ข้อ 4 คอื เป็นผลสรุปท่ไี มส่ มเหตสุ มผล

วิธีตรวจสอบด้วยสจั นิรันดร์ จะใช้เทคนิคยดั เยียดความเทจ็ ในเร่ืองสจั นริ ันดร์มาชว่ ย
เน่ืองจาก “สมเหตสุ มผล” หมายความวา่ “ถ้า เหตทุ กุ เหตเุ กิดขนึ ้ แล้ว ผลสรุปต้องเกิดตาม”
ดงั นนั้ การอ้างเหตผุ ล จะสมเหตสุ มผล เม่ือ “(เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ … ∧ เหต)ุ → ผล” เป็นจริงในทกุ กรณี
พดู ง่ายๆก็คอื ให้ไปตรวจสอบวา่ “(เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ … ∧ เหต)ุ → ผล” เป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่ นน่ั เอง

(เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ ... ∧ เหต)ุ → ผล

F

TF

T TT T

จะเหน็ วา่ เมอื่ ยดั เยียดความเท็จให้ เราจะลงเอยท่กี ารสมมตใิ ห้เหตทุ งั้ หมดเป็นจริง แตย่ ดั เยยี ดให้ผลเป็นเท็จ

สรุป การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลด้วยวิธีสจั นิรัดร์ จะมีขนั้ ตอนดงั นี ้
1. ยดั เยยี ดให้ “เหตทุ กุ เหตเุ ป็นจริง” แต่ “ผลเป็นเทจ็ ”
2. ลยุ ย้อนกลบั หา , ,
 ถ้าหา , , ได้สาเร็จ แปลวา่ ยดั เยียดสาเร็จ ดงั นนั้ ไมส่ มเหตสุ มผล
 ถ้าเกิดข้อขดั แย้งตอนลยุ ย้อนหา , , แปลวา่ ยดั เยยี ดไมส่ าเร็จ ดงั นนั้ สมเหตสุ มผล

หมายเหต:ุ จะใช้วธิ ีนี ้ต้องระวงั ตอนสรุป เหมือนที่ต้องระวงั ในเร่ืองสจั นริ ันดร์
กลา่ วคอื “สาเร็จ แปลวา่ ไมส่ มเหตสุ มผล” แต่ “ไมส่ าเร็จ แปลวา่ สมเหตสุ มผล”

ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ การอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี ้สมเหตสุ มผล หรือไม่

เหตุ 1. → 2. → 3. ~

ผล ~( ∨ )

วธิ ีทา ยดั เยยี ดให้เหตทุ กุ เหตเุ ป็นจริง แตผ่ ลเป็นเท็จ

จาก เหตุ (3) ~ ต้องเป็นจริง จะได้ ≡ F

แทน ≡ F ใน เหตุ (2) จะได้ → F ต้องเป็นจริง ดงั นนั้ ≡ F

แทน ≡ F ใน เหตุ (1) จะได้ → F ต้องเป็นจริง ดงั นนั้ ≡ F

แทน ≡ F และ ≡ F ในผล จะได้ ผล ≡ ~(F ∨ F) ≡ T ขดั แย้ง กบั ที่ต้องยดั เยยี ดให้ผลเป็นเทจ็

ดงั นนั้ การอ้างเหตผุ ลนี ้สมเหตสุ มผล #

ตรรกศาสตร์ 29

ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ การอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนี ้สมเหตสุ มผล หรือไม่

เหตุ 1. ถ้า สมชาย เป็นคนไทย แล้ว สมชายรักสงบ

2. สมชาย ไมใ่ ช่คนไทย

ผล สมชายชอบความรุนแรง

วธิ ีทา ให้ แทน “สมชายเป็นคนไทย” และให้ แทน “สมชายรักสงบ”

ดงั นนั้ การอ้างเหตผุ ลนี ้เขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้วา่

เหตุ 1. → 2. ~

ผล ~

ยดั เยยี ดให้เหตทุ กุ เหตเุ ป็นจริง แตผ่ ลเป็นเทจ็

เหตุ 1. → ≡ T 2. ~ ≡ T

ผล ~ ≡ F

จาก เหตุ (2) ~ ต้องเป็นจริง จะได้ ≡ F

จาก ผล ~ ต้องเป็นเทจ็ จะได้ ≡ T

แทน ≡ F และ ≡ T ใน เหตุ (1) จะได้ F → T ซง่ึ เป็นจริงตามการยดั เยยี ด

จะเหน็ วา่ ได้ ≡ F และ ≡ T สาเร็จ ดงั นนั้ การอ้างเหตผุ ลนี ้ไมส่ มเหตสุ มผล #

ตวั อยา่ ง ข้อใดไมใ่ ช่ข้อสรุปท่ีสมเหตสุ มผล ของเหตตุ อ่ ไปนี ้

เหตุ 1. ~ 2. → 3. ∨

ผล .........

1. 2. ~ 3. → 4. ∨

วธิ ีทา ข้อนี ้เราเคยทาด้วยวธิ ีโยงรูปแบบพนื ้ ฐานไปแล้ว คราวนี ้เราจะทาด้วยวิธีสจั นิรันดร์

จะเหน็ วา่ เรายงั ไมร่ ู้ข้อสรุป แตไ่ มเ่ ป็นไร ทาไปแบบไมร่ ู้ข้อสรุปกอ่ นก็ได้

ยดั เยยี ดให้เหตทุ กุ เหตเุ ป็นจริง แตผ่ ลเป็นเทจ็

จาก เหตุ (1) ~ ต้องเป็นจริง จะได้ ≡ F

แทน ≡ F ใน เหตุ (2) จะได้ → F ต้องเป็นจริง ดงั นนั้ ≡ F

แทน ≡ F ใน เหตุ (3) จะได้ ∨ F ต้องเป็นจริง ดงั นนั้ ≡ T

ถดั มา ลองไลแ่ ทน ≡ F , ≡ T , ≡ F ไปทผี่ ลในตวั เลอื กแตล่ ะข้อ เพื่อดวู า่ ข้อไหนยอมรับความเท็จ

ข้อ 1. ถ้าผลสรุปคอื จะทาให้ผลสรุปเป็นเท็จไมไ่ ด้ (เพราะ เป็นจริง) เกิดข้อขดั แย้ง

ข้อ 2. ถ้าผลสรุปคือ ~ จะทาให้ผลสรุปเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ (เพราะ เป็นเทจ็ ) เกิดข้อขดั แย้ง

ข้อ 3. ถ้าผลสรุปคือ → จะทาให้ผลสรุปเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ (เพราะ เป็นเท็จ) เกิดข้อขดั แย้ง

ข้อ 4. ถ้าผลสรุปคือ ∨ จะทาให้ผลสรุปเป็นเทจ็ ได้ (เพราะ เป็นเท็จ , เป็นเทจ็ )

จะเห็นวา่ ข้อ 1, 2, 3 เกิดข้อขดั แย้ง จงึ เป็นข้อสรุปทส่ี มเหตสุ มผล

แตข่ ้อ 4 สามารถยดั เยยี ดความเท็จได้สาเร็จ จงึ เป็นข้อสรุปที่ไมส่ มเหตสุ มผล #

30 ตรรกศาสตร์

แบบฝึกหดั 2. เหตุ 1. ( ∧ ) → ~
1. การอ้างเหตผุ ลในข้อใดตอ่ ไปนี ้สมเหตสุ มผล 2. →

1. เหตุ 1. → ( ∨ ) ผล → ~
2. ~ ∧ ~

ผล →

3. เหตุ 1. → ( ∧ ) 4. เหตุ 1. → ( ∨ )

2. ~ ∧ ( → ) 2. →

3. ~ ∧ ( → ) 3. ∨

ผล ผล ∨

5. เหตุ 1. ถ้า ฉนั สนทิ กบั เพอื่ น แล้ว ฉนั จะไมเ่ กรงใจเพื่อน

2. ฉนั ไมเ่ กรงใจเพอื่ น

ผล ฉนั ไมส่ นทิ กบั เพ่อื น

6. เหตุ 1. ถ้า ฉนั กินกล้วย แล้ว ฉนั หน้าเหมอื นลงิ
2. ถ้า ฉนั กินปลา แล้ว ฉนั ฉลาด
3. ถ้า ฉนั หน้าเหมอื นลงิ แล้ว ฉนั ไมฉ่ ลาด

ผล ถ้า ฉนั กินกล้วย แล้ว ฉนั ไมก่ ินปลา

2. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี ้ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [A-NET 51/1-1]

1. ถ้า ( ∨ ) → และ ( → ) → ตา่ งมีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

แล้ว ( ∨ ) → ( ∨ ) มีคา่ ความจริงเป็นจริง

2. การอ้างเหตผุ ลข้างลา่ งนีส้ มเหตสุ มผล

เหตุ 1) ~ → ~( ∨ ) 2) ∧ 3) ~

ผล →

ตรรกศาสตร์ 31

ตวั บง่ ปริมาณ

หวั ข้อนี ้มีคาศพั ท์ใหม่ 2 คา คอื “ประโยคเปิด” กบั “ตวั บง่ ปริมาณ”
ประโยคเปิด คอื ประโยคทีม่ ีตวั แปร เช่น 2 + 3 > 5 , 2 ≥ 0 , เขาขายกล้วยปิง้
ตวั บง่ ปริมาณ คือ คาทแ่ี ปะหน้าประโยคเปิด เพ่อื ระบวุ า่ อยากให้มี กี่ตวั ทีต่ ้องทาให้ประโยคเป็นจริง
ในหวั ข้อนี ้จะมตี วั บง่ ปริมาณอยู่ 2 ชนดิ คอื “สาหรับ ทกุ ตวั ” กบั “มี บางตวั ท”่ี

 สาหรับ ทกุ ตวั เชน่ “สาหรับ ทกุ ตวั 2 + 3 > 5” , “สาหรับ ทกุ ตวั 2 ≥ 0”

ถ้าแปะ “ทกุ ตวั ” แปลวา่ ทกุ คา่ ต้องแทนใน แล้วจริงหมด ถงึ จะทาให้ประโยคเป็นจริง

ถ้ามบี างคา่ ท่ีแทนใน แล้วเป็นเทจ็ จะทาให้ประโยคเป็นเทจ็ ทนั ที

เช่น “สาหรับ ทกุ ตวั 2 + 3 > 5” เป็นเทจ็ เพราะ ถ้าแทน = 0 จะได้ 3 > 5 ซงึ่ เป็นเทจ็

“สาหรับ ทกุ ตวั 2 ≥ 0” เป็นจริง เพราะ ไมว่ า่ เป็นอะไร ก็จะทาให้ 2 ≥ 0 เสมอ

 มี บางตวั ที่ เช่น “มี บางตวั ที่ 2 + 3 > 5” , “มี บางตวั ที่ 2 ≥ 0”

ถ้าแปะ “บางตวั ” แปลวา่ ขอให้มซี กั คา่ ที่แทน แล้วเป็นจริง กจ็ ะทาให้ประโยคเป็นจริงทนั ที

ถ้าไมม่ ซี กั คา่ ที่แทน แล้วเป็นจริง จึงจะทาให้ประโยคเป็นเท็จ

เชน่ “มี บางตวั ท่ี 2 + 3 > 5” เป็นจริง เพราะ ถ้าแทน = 10 จะได้ 23 > 5 เป็นจริง

“มี บางตวั ท่ี 2 ≥ 0” เป็นจริง เพราะ ถ้าแทน = 1 จะได้ 1 ≥ 0 เป็นจริง

“มี บางตวั ท่ี 2 = −1” เป็นเทจ็ เพราะ ไมม่ ี คา่ ไหน ทย่ี กกาลงั สองแล้วตดิ ลบ

จะเห็นวา่ ตวั บง่ ปริมาณ “สาหรับ ทกุ ตวั ” จะเป็นจริงยากกวา่ “มี บางตวั ”
เพราะ “สาหรับ ทกุ ตวั ” ต้องจริงหมดทกุ ตวั แต่ “มี บางตวั ” ขอแคจ่ ริงซกั ตวั (หรือทกุ ตวั ก็ได้)
กลา่ วคอื ถ้าประโยคเปิดไหนใช้ “สาหรับ ทกุ ตวั ” แล้วจริง ก็มกั จะใช้กบั “มี บางตวั ” แล้วจริงด้วย

เรานิยมแทน ประโยคเปิดทมี่ ี เป็นตวั แปร ด้วยสญั ลกั ษณ์ () , () , ()

ตวั บง่ ปริมาณ “สาหรับ ทกุ ตวั ” แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ∀[ ]

“มี บางตวั ท่ี” แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ∃[ ]

เชน่ ถ้าให้ () แทนประโยคเปิด 2 + 3 > 5 , ให้ () แทนประโยคเปิด 2 ≥ 0

สาหรับ ทกุ ตวั 2 + 3 > 5 เขยี นได้เป็น ∀[()]

มี บางตวั ที่ 2 ≥ 0 เขียนได้เป็น ∃[()]

สรุป ∀[()] เป็นจริง เมือ่ ทกุ ตวั ทาให้ () เป็นจริงหมด
เป็นเท็จ เมอ่ื มี ซกั ตวั ที่ทาให้ () เป็นเท็จ

∃[()] เป็นจริง เมื่อ มี ซกั ตวั (หรือทกุ ตวั ก็ได้) ที่ทาให้ () เป็นจริง
เป็นเทจ็ เม่ือ ทกุ ตวั ทาให้ () เป็นเท็จหมด

32 ตรรกศาสตร์

เร่ืองตวั บง่ ปริมาณ มกั ใช้ “เอกภพสมั พทั ธ์” หรือ U จากเร่ืองเซต เพ่อื บอกขอบเขตของตวั แปร
ถ้าโจทย์กาหนด U มาให้ หมายความวา่ ตวั แปรในข้อนนั้ ๆ มสี ทิ ธิ์เป็นได้เฉพาะภายใน U
เช่น ถ้ากาหนดให้ U = {1, 2 ,3, 4}

∀[4 − ≥ 0] เป็นจริง เพราะ ถ้าไลแ่ ทน = 1, 2, 3, 4 จะจริงหมด (ไมต่ ้องแทน 5 เพราะไมอ่ ยใู่ น U)
∀[2 − 1 > 0] เป็นเทจ็ เพราะ แทน = 1 ป๊ บุ เทจ็ เลย
∃[ − 4 > 0] เป็นเท็จ เพราะ ไลแ่ ทน = 1, 2, 3, 4 แล้ว ไมจ่ ริงซกั ตวั
∃[2 > 0] เป็นจริง เพราะ แทน = 1 ป๊ บุ จริงเลย

ถ้าโจทย์ไมไ่ ด้กาหนด U มาให้ แปลวา่ โจทย์ละขอบเขตไว้ในฐานที่เข้าใจ (ขอบเขต = จานวนจริงอะไรก็ได้)

นอกจากนี ้เรายงั สามารถเอาขอบเขตมาแปะหลงั ตวั แปรในตวั บง่ ปริมาณได้

เช่น ∀ ∈ {1, 2, 3, 4} [4 − ≥ 0] เป็นจริง เพราะ ไลแ่ ทน = 1, 2, 3, 4 แล้วจริงหมด

∀ ∈ N [ + 1 > 0] เป็นจริง เพราะ จานวนนบั (N) ทกุ ตวั บวก 1 แล้วมากกวา่ 0 หมด

∃ ∈ {−1, 1}[2 > 1] เป็นเท็จ เพราะ ทงั้ −1 และ 1 ยกกาลงั สองได้ = 1 ไมถ่ ือวา่ > 1

∃[2 + 3 = 2] เป็นจริง เพราะ มี = −0.5 ทแ่ี ทนแล้วจริง

(ไมบ่ อกขอบเขต แปลวา่ เป็นจานวนจริงอะไรก็ได้)

ในกรณีทปี่ ระโยคเปิดด้านหลงั เป็นประโยคที่ซบั ซ้อน เราจะเร่ิมหาคา่ ความจริงลาบาก
ถ้าไมร่ ู้จะเริ่มยงั ไง ให้ลองแทนคา่ หลายๆแบบ (บวก , ลบ , ศนู ย์, ทศนิยม) ดู
พอได้ไอเดียคร่าวๆของประโยคเปิดนนั้ ๆ แล้วคอ่ ยเจาะลงไปหากรณีท่ีต้องการ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∀ [ > 1 → > 0]
วิธีทา ข้อนี ้ไมก่ าหนดเอกภพสมั พทั ธ์ ดงั นนั้ เป็นจานวนจริงอะไรก็ได้

เราจะลองสมุ่ หลายๆคา่ มาแทนดู วา่ จะทาให้ > 1 → > 0 เป็นจริงหรือไม่

= −3 −3 > 1 → −3 > 0 ≡ F→F ≡ T
= 0 0 >1 → 0 >0 ≡ F→F ≡ T
= 0.5 0.5 > 1 → 0.5 > 0 ≡ F→T ≡ T
= 2 2 >1 → 2 >0 ≡ T→T ≡ T

ได้จริงหมดเลย ดงั นนั้ ประโยคนี ้มีแนวโน้มวา่ จะเป็นจริง #
เมอ่ื วเิ คราะห์ดู จะเห็นวา่ ต้องแทนได้เป็น T → F เทา่ นนั้ ประโยคนถี ้ งึ จะเป็นเทจ็
แต่ ถ้า >1 เป็นจริง จะเหน็ วา่ > 0 ไมม่ ที างเป็นเทจ็ ได้ ดงั นนั้ จึงไมม่ ีทางเกิดกรณี T → F ได้
ดงั นนั ้ ∀ [ > 1 → > 0] เป็นจริง

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∃ ∈ R− [ ≥ 0 → 2 < 0]
วิธีทา เราจะลองสมุ่ หลายๆคา่ ทเ่ี ป็นจานวนจริงลบ (R−) มาแทนดู

= −3 −3 ≥ 0 → (−3)2 < 0 ≡ F → F ≡ T

ไมต่ ้องทาตอ่ แล้ว เพราะมี = −3 ที่แทนแล้วจริง ดงั นนั ้ ∃ ∈ R−[ ≥ 0 → 2 < 0] เป็นจริง #

ตรรกศาสตร์ 33

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∃[ ≥ 0] → ∃[2 < 0]

วิธีทา ข้อนมี ้ ี ∃ สองเท่ยี ว จงึ ต้องหาคา่ ความจริงจากตวั บง่ ประมาณ 2 เท่ยี ว

คือหา ∃[ ≥ 0] วา่ จริงหรือเทจ็ หนงึ่ ครัง้ และหา ∃[2 < 0] วา่ จริงหรือเท็จอกี หนงึ่ ครงั้ แล้วคอ่ ยมา → กนั

∃[ ≥ 0] เป็นจริง เช่น = 1

∃[2 < 0] เป็นเทจ็ เพราะ ผลยกกาลงั สองจะไมม่ ที างติดลบ

ดงั นนั ้ ∃[ ≥ 0] → ∃[2 < 0] ≡ T → F ≡ F #

แบบฝึกหดั 2. ∃[ เป็นจานวนเฉพาะ และ เป็นจานวนค]ู่
1. ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นจริง

1. ∀[ > 0] เมอื่ U = {1, 2, 3, 4}

3. ∃[2 + − 2 = 0] เมื่อ U = {−1, 0, 1} 4. ∀ ∈ I−[ > 2]

5. ∀ ∈ N[2 ≥ + 1] 6. ∃ ∈ I[2 + 1 = 0]
7. ∀[ ≠ 0 ∨ 2 = 0] 8. ∀[ ≠ 0] ∨ ∀[2 = 0]
9. ∃[ ≠ 0 ↔ 2 = 0] 10. ∃[ ≠ 0] ↔ ∃[2 = 0]

11. ∀[()] → ∃[()] เม่อื ≠ ∅

34 ตรรกศาสตร์

2. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของจานวนจริง และ

() แทน √( + 1)2 = + 1

() แทน √ + 1 > 2

ข้อใดตอ่ ไปนีม้ คี า่ ความจริงตรงข้ามกบั ประพจน์ ∃[()] ⇒ ∀[()] [PAT 1 (ต.ค. 53)/2]

1. ∃[~()] ⇒ ∀[~()] 2. ∃[()] ⇒ ∃[()]

3. ∃[() ∧ ()] ⇒ ∀[()] 4. ∃[() ∨ ()] ⇒ ∀[()]

3. กาหนดให้ () และ () เป็นประโยคเปิด ถ้า ∀[()] ∧ ∀[~()] มคี า่ ความจริงเป็นจริง แล้ว

ประพจน์ในข้อใดมคี า่ ความจริงเป็นเท็จ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/2]

1. ∀[() → ()] 2. ∃[~() ∨ ~()]

3. ∃[() ∧ ~()] 4. ∀[() → ~()]

4. กาหนดเหตใุ ห้ดงั นี ้ [A-NET 50/1-3]

1. เอกภพสมั พทั ธ์ไมเ่ ป็นเซตวา่ ง

2. ∀[() → ()]

3. ∀[() ∨ ()]

4. ∃[~()]

ข้อความในข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นผลท่ที าให้การอ้างเหตผุ ล สมเหตสุ มผล

1. ∃[()] 2. ∃[()] 3. ∀[()] 4. ∀[()]

ตรรกศาสตร์ 35

ประโยคเปิดสองตวั แปร

ประโยคเปิดทผี่ า่ นๆมา จะมีแคต่ วั แปรเดยี ว หวั ข้อนี ้จะพดู ถงึ ประโยคเปิดทมี่ สี องตวั แปร
ตวั อยา่ งประโยคเปิดสองตวั แปร เช่น + < 5 , 2 + 2 ≥ 0 , 1 + 1 > 1



เรานยิ มแทนประโยคเปิดทม่ี ี กบั เป็นตวั แปร ด้วยสญั ลกั ษณ์ (, ) , (, ) , (, )

ประโยคเปิดสองตวั แปร จะมตี วั บง่ ปริมาณได้ 4 แบบ ดงั นี ้
 ∀∀[(, )] เป็นจริง เม่อื ทกุ ตวั ทกุ ตวั แทนแล้วต้องจริงหมด
เป็นเทจ็ เมื่อ มี กบั ซกั คู่ ทแี่ ทนแล้วเป็นเทจ็
 ∃∃[(, )] เป็นจริง เมื่อ มี กบั ซกั คู่ ทแ่ี ทนแล้วจริง
เป็นเท็จ เม่ือ มี ทกุ ตวั ทกุ ตวั แทนแล้วเป็นเท็จหมด
 ∃∀[(, )] เป็นจริง เม่อื มี บางตวั ที่จบั คกู่ บั ได้ทกุ ตวั (∃ ต้องเป็นตวั เดยี วกนั สาหรับ ∀ แตล่ ะตวั )
เป็นเท็จ เมื่อ ไมว่ า่ ตวั ไหนก็ตาม จะมี บางตวั ทคี่ กู่ บั มนั ไมไ่ ด้
 ∀∃[(, )] เป็นจริง เมือ่ ทกุ ตวั มี บางตวั มาคดู่ ้วยได้ (∃ ไมต่ ้องเป็นตวั เดยี วกนั สาหรับ ∀ แตล่ ะตวั )
เป็นเท็จ เมอื่ มี บางตวั ท่ไี มส่ ามารถหา ตวั ไหนมาคกู่ บั มนั ได้เลย

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U = {−1, 0, 1} จงพิจารณาวา่ ประพจน์ตอ่ ไปนี ้เป็นจริงหรือเท็จ

1. ∀∀[ + ≥ 0] 2. ∃∃[ + ≥ 0]

3. ∃∀[ + ≥ 0] 4. ∀∃[ + ≥ 0]

วิธีทา ข้อ 1. ∀∀ ต้องลองแทนดวู า่ ทกุ ตวั ทกุ ตวั จะทาให้ + ≥ 0 เป็นจริงหมดไหม

จะเห็นวา่ มกี รณี = −1 , = −1 ซงึ่ ได้ (−1) + (−1) ≥ 0 เป็นเท็จ

ดงั นนั ้ ∀∀[ + ≥ 0] เป็นเทจ็

ข้อ 2. ∃∃ ต้องหาวา่ มี กบั ซกั คู่ ทีท่ าให้ + ≥ 0 เป็นจริงไหม

จะเห็นวา่ มหี ลายแบบเลย เชน่ = 0 , = 1 ซงึ่ ได้ 0 + 1 ≥ 0 จริง

ดงั นนั ้ ∃∃[ + ≥ 0] เป็นจริง

ข้อ 3. ∃∀ ลองหาวา่ มี ซกั ตวั ท่จี บั คกู่ บั ได้ทกุ ตวั ไหม โดยที่ ต้องเป็นตวั เดยี วกนั สาหรับ แตล่ ะตวั

∃ ∀

1 + −1 ≥ 0

1+0 ≥0

1+1 ≥0

จะเหน็ วา่ มี = 1 ท่จี บั คกู่ บั ทกุ ตวั ดงั นนั้ ∃∀[ + ≥ 0] เป็นจริง

ข้อ 4. ∀∃ ลองหาวา่ ทกุ ตวั หา มาจบั คกู่ บั มนั ได้ไหม โดยท่ี แตล่ ะตวั ไมจ่ าเป็นต้องคกู่ บั ตวั เดียวกนั

∀ ∃ #
−1 + 1 ≥ 0
0+0 ≥0
1+0 ≥0

จะเหน็ วา่ ทกุ ตวั มี มาคกู่ บั มนั ได้ ดงั นนั้ ∀∃[ + ≥ 0] เป็นจริง

36 ตรรกศาสตร์

∀∀ กบั ∃∃ จะคอ่ นข้างเข้าใจงา่ ย อยา่ งไรกต็ าม เด็กสว่ นใหญ่ มกั สบั สนระหวา่ ง ∃∀ กบั ∀∃
 ถ้าเรียง ∃ ไว้ก่อน ∀ จะได้วา่ ∃ ต้องเป็นตวั เดียวกนั สาหรับ ∀ ทกุ ตวั
 ถ้าเรียง ∀ ไว้กอ่ น ∃ จะได้วา่ ∃ ไมจ่ าเป็นต้องเป็นตวั เดยี วกนั สาหรับ ∀ ทกุ ตวั

สงั เกตวา่ ∀∀ จะเป็นจริงยากท่ีสดุ เพราะ ต้องแทนทกุ ตวั แล้วเป็นจริงเทา่ นนั้
สว่ น ∃∀ จะจริงยากกวา่ ∀∃ เพราะ ∃ ใน ∃∀ ต้องเป็นตวั เดยี วกนั แตใ่ น ∀∃ ไมจ่ าเป็นต้องเป็นตวั เดยี วกนั
และ ∃∃ จะจริงง่ายท่สี ดุ เพราะ ขอแคซ่ กั คจู่ ริงก็พอ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∀∀[2 + 2 ≥ 0] #
วธิ ีทา ข้อนี ้ไมบ่ อกเอกภพสมั พทั ธ์มาให้ แปลวา่ กบั เป็นจานวนจริงอะไรก็ได้

∀∀ ต้องพิจารณาวา่ ทกุ ตวั ทกุ ตวั แทนแล้วจริงหมดไหม
เน่อื งจากผลการยกกาลงั สอง จะเป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ 2 + 2 ≥ 0 เสมอ ไมว่ า่ กบั จะเป็นอะไร
ดงั นนั ้ ∀∀[2 + 2 ≥ 0] เป็นจริง

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U = I− จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∃∃[ ≤ 0] #
วธิ ีทา ข้อนี ้เอกภพสมั พทั ธ์เป็นจานวนเต็มลบ ดงั นนั้ กบั ต้องเป็นจานวนเตม็ ลบเทา่ นนั้

เน่อื งจากจานวนเตม็ ลบสองตวั คณู กนั จะเป็นบวกเสมอ ดงั นนั้ จะไมม่ ี กบั ไหนเลย ทีท่ าให้ ≤ 0
ดงั นนั ้ ∃∃[ ≤ 0] เป็นเทจ็

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∃∀[ − 2 ≠ 0] #
วิธีทา ∃∀ ต้องหาวา่ มี ซกั ตวั ทจ่ี บั คกู่ บั ได้ทกุ ตวั หรือไม่ โดยท่ี ต้องเป็นตวั เดยี วกนั สาหรับ แตล่ ะตวั

ถ้า = 1 จะคกู่ บั ได้หมด ยกเว้น = 2
ถ้า = 5 จะคกู่ บั ได้หมด ยกเว้น = 10
ถ้า = −0.2 จะคกู่ บั ได้หมด ยกเว้น = 0.4
จะเหน็ วา่ ไมว่ า่ เป็นอะไรก็ตาม จะมี ท่จี บั คกู่ บั มนั ไมไ่ ด้อยตู่ วั หนงึ่ เสมอ
ดงั นนั ้ ∃∀[ − 2 ≠ 0] เป็นเทจ็

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ∀∃[ ≥ → + > ]
วธิ ีทา ∀∃ ต้องหาวา่ ทกุ ตวั สามารถหา มาคกู่ บั มนั ได้ไหม โดยท่ี แตล่ ะตวั ไมจ่ าเป็นต้องคกู่ บั ตวั เดียวกนั

ประโยคนอี ้ ยใู่ นรูป ถ้า ... แล้ว ... ซง่ึ จะจริงได้ 2 แบบใหญ่ๆ คอื เม่อื ข้างหน้าเป็นเทจ็ ในรูป F → ?
กบั เม่อื ข้างหลงั เป็นจริง ในรูป ? → T

จะเหน็ วา่ ≥ ข้างหน้า ซบั ซ้อนน้อยกวา่ + > ข้างหลงั
ดงั นนั้ เราจะพยายามทาให้ ≥ เป็นเท็จ เพ่ือให้ประโยคนเี ้ป็นจริง

∀∃ ≥ → + >

= 0 มีคู่ = 1 ที่ 0 ≥ 1 → …. ≡ F→? ≡ T
≡ F→? ≡ T
= 3 มีคู่ = 4 ท่ี 3 ≥ 4 → …. ≡ F→? ≡ T

=−2 มคี ู่ = −1 ท่ี −2 ≥ −1 → ….

ตรรกศาสตร์ 37

สงั เกตวา่ ไมว่ า่ เป็นอะไร จะหา ท่ที าให้ ≥ เป็นเทจ็ ได้ ทาให้ประโยคอยใู่ นรูป F → ? ซง่ึ เป็นจริง #
ดงั นนั้ ทกุ ตวั สามารถหา มาคกู่ บั มนั เพ่อื ทาให้ ≥ → + > เป็นจริงได้
ดงั นนั ้ ∀∃[ ≥ → + > ] เป็นจริง

แบบฝึกหดั 2. ∃∃[ + = 0]
1. ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นจริง

1. ∀∀[ + = 0]

3. ∃∀[ + = 0] 4. ∀∃[ + = 0]

5. ∀∀[ + < ] 6. ∃∃[ + = ]

7. ∃∀[ + > ] 8. ∀∃[ + = ]

9. ∀∀[ + ≥ ] 10. ∃∀[ + ≥ ]

11. ∃∀[ + ≥ ] 12. ∀∃[ + ≥ ]

13. ∀∃[ + ≥ ] 14. ∃∃[ + < ]

15. ∃∀[2 ≥ 0] 16. ∃∀[2 > 0]

17. ∀∃[2 < 5] 18. ∀∃[2 ≥ 0]

19. ∃∀[2 + 3 + 4 = ]

2. กาหนดให้ = {−2, −1, 0, 1, 2} ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นจริง

1. ∀∀[ > → | + | ≤ 3] 2. ∃∀[ = ↔ || = ||]

38 ตรรกศาสตร์ 4. ∀∃[ + = 0 ∧ = 0]

3. ∃∃[ = ∧ || ≠ ||]

3. ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้เป็นจริง 2. ∃∃[ > ∧ ≤ 1]
1. ∀∀[ > ∨ > ]

3. ∃∀[ = 1] ∨ ∀∃[ = 1] 4. ∀∃[ ≠ ∧ || = ||]

4. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ คือ {−1, 0, 1} ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [PAT 1 (ก.ค. 53)/2]
1. ∀∀[ + + 2 > 0] มีคา่ ความจริงเป็นจริง
2. ∀∃[ + ≥ 0] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็
3. ∃∀[ + = 1] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็
4. ∃∃[ + > 1] มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็

5. กาหนดให้ เอกภพสมั พทั ธ์คือ = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3} ข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็

[A-NET 49/1-9] 2. ∃∀[ − 2 < ]
4. ∃∀[2 = ]
1. ∃∀[ + < ]
3. ∃∀[2 = ]

ตรรกศาสตร์ 39

6. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื { ∈ ℝ | 0 < < 1 } ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง
[PAT 1 (พ.ย. 57)/2]
1. ประพจน์ ∃∀ [ 2 − 2 < − ] มคี า่ ความจริงเป็นจริง
2. ประพจน์ ∀∀ [ | − | < 1 − ] มีคา่ ความจริงเป็นจริง

7. กาหนดให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซต {−2, −1, 1, 2} ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็

[PAT 1 (ต.ค. 52)/1-1]

1. ∃∃[ ≤ 0 ∧ || = + 1] 2. ∃∀[ ≤ ∧ −( + ) ≥ 0]

3. ∀∃[ + = 0 ∨ − = 0] 4. ∀∀[|| < || ∨ || > ||]

40 ตรรกศาสตร์

8. กาหนดให้ U = { ∈ + | ≤ 10} ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็ [PAT 1 (ก.ค. 52)/2]

1. ∀∀[(2 = 2) → ( = )] 2. ∀∃[( ≠ 1) → ( > 2)]

3. ∃∀[ ≤ + ] 4. ∃∃[( − )2 ≥ 2 + 9]

9. กาหนดให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู [PAT 1 (ม.ี ค. 52)/2]

1. ∀∀[ ∩ ≠ ∅] 2. ∀∀[ ∪ = ]

3. ∀∃[ ≠ ∧ ⊂ ] 4. ∃∀[ ≠ ∧ ⊂ ]

ตรรกศาสตร์ 41

นเิ สธของตวั บง่ ปริมาณ

เรื่องสดุ ท้าย เป็นเรื่องเบาๆ เกยี่ วกบั สตู รการใส่ นิเสธ (~) ให้ตวั บง่ ปริมาณ

หลกั คือ ให้กลบั ตวั บง่ ปริมาณ (เปลยี่ น ∀ เป็น ∃ เปลยี่ น ∃ เป็น ∀) แล้วลยุ แจกนิเสธไปทปี่ ระโยคเปิด ได้เลย

กลา่ วคอื ~∀[()] ≡ ∃[~()] ~∃[()] ≡ ∀[~()]

~∀∀[(, )] ≡ ∃∃[~(, )] ~∃∃[(, )] ≡ ∀∀[~(, )]

~∃∀[(, )] ≡ ∀∃[~(, )] ~∀∃[(, )] ≡ ∃∀[~(, )]

ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของ ∀[ > 0 ∨ + 1 ≤ 0] #
วธิ ีทา ~∀[ > 0 ∨ + 1 ≤ 0] ≡ ∃[~( > 0 ∨ + 1 ≤ 0)] #

≡ ∃[ ≤ 0 ∧ + 1 > 0] #

ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของ ∃[ > 2] → ∀∃[ + ≤ 0]
วธิ ีทา ~(∃[ > 2] → ∀∃[ + ≤ 0]) ≡ ~(~∃[ > 2] ∨ ∀∃[ + ≤ 0])

≡ ∃[ > 2] ∧ ~∀∃[ + ≤ 0]

≡ ∃[ > 2] ∧ ∃∀[ + > 0]

ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของข้อความ “ลกู ๆทกุ คน รักพอ่ ที่ทาดีกบั แม”่
วธิ ีทา ประโยคนี ้เขยี นใหมไ่ ด้เป็น “สาหรับลกู ๆทกุ คน ถ้า พอ่ ทาดีกบั แม่ แล้ว ลกู จะรักพอ่ ”

เน่อื งจากประโยคนี ้ใช้ตวั บง่ ปริมาณกบั ลกู ดงั นนั้ เราจะให้ แทนลกู
 “ลกู ๆทกุ คน” แทนด้วย ∀
 “พอ่ ของ ทาดกี บั แมข่ อง ” แทนด้วย ()
 “ รักพอ่ ของ ” แทนด้วย ()

ดงั นนั้ ประโยคนี ้เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ได้เป็น ∀[() → ()]
ซงึ่ จะหานิเสธได้ ~∀[() → ()] ≡ ∃[~(() → ())]

≡ ∃[~(~() ∨ ())]

≡ ∃[() ∧ ~()]

แปลง ∃[() ∧ ~()] กลบั เป็นข้อความ
จะนเิ สธของข้อความ “ลกู ๆทกุ คน รักพอ่ ท่ีทาดกี บั แม”่ คอื “มลี กู บางคน ทพ่ี อ่ ทาดกี บั แม่ แตก่ ็ยงั ไมร่ ักพอ่

แบบฝึกหดั 2. ∃∃[ ≠ ]
1. จงหานเิ สธของประพจน์ตอ่ ไปนี ้

1. ∀[|| = 0]

42 ตรรกศาสตร์ 4. ∃[ ≠ 1] → ∀[ เป็นจานวนตรรกยะ]

3. ∃[ + 1 > 0 ∧ ≤ 0]

5. ลกู ทกุ คนรักพอ่ 6. ลกุ ทกุ คนไมร่ ักพอ่

7. นกั เรียนบางคน ไมต่ งั้ ใจเรียน หรือ ชอบเลน่ 8. นกั เรียนบางคน จะทาการบ้าน ถ้าแมไ่ มใ่ ห้เลน่ เกม

2. กาหนดให้ () และ () เป็นประโยคเปิด

ประโยค ∀[()] → ∃[~()] สมมลู กบั ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (ก.ค. 52)/1]

1. ∀[~()] → ∃[()] 2. ∀[()] → ∃[~()]

3. ∃[()] → ∀[()] 4. ∃[~()] → ∀[()]

ตรรกศาสตร์ 43

3. ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู [A-NET 50/1-2]
1. ให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจานวนเฉพาะบวก ข้อความ ∀∃[2 + + 1 = ] มคี า่ ความจริงเป็นจริง
2. นิเสธของข้อความ ∀[() → [() ∨ ()]] คอื ∃[() ∧ ~() ∧ ~()]

4. ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/2*]
1. ถ้าเอกภพสมั พทั ธ์ คือ {−1, 0, 1} คา่ ความจริงของ ∀∃[2 + = 2 + ] เป็นเท็จ
2. ถ้าเอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจานวนจริง นิเสธของข้อความ ∀∃[( > 0 ∧ ≤ 0) ∧ ( < 0)]
คือ ∃∀[( < 0) ⇒ ( ≤ 0 ∨ > 0)]
3. ถ้าเอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจานวนเตม็ นเิ สธของข้อความ ∀[ > 0 ⇒ 3 ≥ 2]
คือ ∃[( ≤ 0) ∧ (3 < )]

44 ตรรกศาสตร์

ประพจน์

1. 2, 4, 5, 6, 8

การเชื่อมประพจน์

1. 1. T 2. T 3. T 4. F
3. T 4. T
2. 1. T 2. F 2. เป็น T , เป็น F , เป็น F
4. เป็น T , เป็น F
3. 1. เป็น T , เป็น F , เป็น F 6. - 7. 1

3. เป็น T , เป็น T , เป็น F

4. 3 5. 2

ตารางคา่ ความจริง

1. ~ ~ →

TT F T

TF F T

FT T T

FF T F

2. ↔ ~ ~ ↔ ( ↔ ) ↔ (~ ↔ )

TT T F F F

TF F F T F

FT F T T F

FF T T F F

สมมลู

1. สมมลู 2. ไมส่ มมลู และ ไมเ่ ป็นนิเสธ 3. เป็นนิเสธ
4. 3

การทาประพจน์เป็นรูปอยา่ งง่าย

1. 1. 2. ~ 3. ~ ∨ ~ 4. ( ∨ ) ∧ ( ∨ )
5. ~ ∨ 6. →
8. 9. T 7. ( → ) ∧ ( → )
12. 13. F
2. ~ ∨ ~ 10 F 11. T
2. 1. ~ ∨ ~ 6. T
5. ~ ∨ ~ ∨ 10. T 3. ∧ ~ 4. (~ ∧ ~) ∨
9. ~ 14. ( ∧ ~) ∨ ~ 7. 8. T
13. T 11. ~ ∨ 12. ∨
15. ~ ∨ 16.
3. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11

ตรรกศาสตร์ 45

4. 2, 3, 6, 7, 9 6. 1, 2 7. 1 8. 1, 2
5. 4 10. 4 11. 3 12. T
9. 3
3. 3
สจั นิรันดร์

1. 1, 2, 5, 8 2. 3

การอ้างเหตผุ ล

1. 1, 2, 4, 6 2. 2

ตวั บง่ ปริมาณ

1. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11 2. 2 3. 1
4. 2

ประโยคเปิดสองตวั แปร

1. 2, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 17, 18 2. 1, 2 3. 2
4. 3 5. 3 6. 2 7. 4
8. 4 9. 1

นิเสธของตวั บง่ ปริมาณ

1. 1. ∃[|| ≠ 0] 2. ∀∀[ = ]
3. ∀[ + 1 ≤ 0 ∨ > 0] 4. ∃[ ≠ 1] ∧ ∃[ เป็นจานวนอตรรกยะ]
5. ลกู บางคนไมร่ ักพอ่ 6. ลกู บางคนรกั พอ่
7. นกั เรียนทกุ คน ตงั้ ใจเรียน และ ไมช่ อบเลน่ 8. นกั เรียนทกุ คน แมไ่ มใ่ ห้เลน่ เกม แตก่ ็ยงั ไมท่ าการบ้าน
4. 2
2. 2 3. 2

เครดิต

ขอบคณุ คณุ Tunyaluck Martjutasaeranee

และ คณุ ครูเบริ ์ด จาก กวดวิชาคณิตศาสตร์ครูเบิร์ด ยา่ นบางแค 081-8285490

และ คณุ Theerat Piyaanangul ท่ีชว่ ยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสารครับ