E-MODUL MATEMATIKA INTERAKTIF

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN MATEMATIKA

Jl. KI HAJAR DEWANTARA NO.116 IRING MULYO METRO TIMUR

y x
6
4
2
0
2

-3

E-Modul Interaktif

Program Linear

Berbantuan Liveworksheets
Dengan Pendekatan Discovery Learning
Untuk Peserta Didik SMA/MA XI

Penulis : Yulia Cahya Praswati
Pembimbing 1 : Dr. Rahmad Bustanul Anwar, M.Pd
Pembimbing 2 : Nurul Farida, M.Pd

Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Metro 2022

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan karunia rahmat

dan petunjuknya-Nya, saya dapat menyelesaikan pembuatan “ E-Modul Interaktif
Materi Program Linear Berbantuan Liveworksheet Dengan Menggunakan
Pendekatan Discovery Learning ” sebagai bahan ajar peserta didik kelas XI SMA.
Dimana e– modul interaktif ini membahas materi Program Linear disusun
berdasarkan sintaks pendekatan Discovery Learning yaitu stimulus, identifikasi
masalah, pengumpulan data, pengolahan data, pembuktian, kesimpulan. Dengan
menggunakan sintaks discovery learning diharapakan peserta didik dapat terlibat
langsung dalam setiap pembelajaran dan lebih aktif dalam belajar. Selain itu, e-
modul interaktif ini juga berbantuan liveworksheets dengan harapan agar e-modul
lebih interaktif dan tidak bersifat monoton.

Penulis mengucapkan terimakasih untuk semua pihak yang telah
membantu. Semoga e–modul interaktif ini dapat bermanfaat untuk membantu
proses pembelajaran matematika. Penulis mengharapkan kritik dan saran yang
bersifat membangun dari pembaca, untuk dapat menjadikan e – modul ini menjadi
lebih baik lagi.
Wassalamualaikum Wr. Wb.

Penulis

DAFTAR ISI

Cover
Halaman Judul
Kata Pengantar
Daftar Isi
Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
Petunjuk Penggunaan E-Modul Interaktif
Peta Konsep
Program Linear

A. Pengertian Program Linear
B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
C. Model Matematika
D. Fungsi Objektif & Nilai Optimum
E. Latihan Soal
F. Rangkuman
G. Uji Kompetensi
Daftar Pustaka
Biodata Penulis

Kompetensi Inti & Kompetensi Dasar

Kompetensi Inti

KI.3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KI.4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai
kaidah keilmuan

Kompetensi Dasar

3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode
penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual

4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan denganprogram
linear dua variabel

Indikator Pencapaian Kompetensi

3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode
penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual

3.2.1 Menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
3.2.2 Menyusun model matematika dari masalah kontekstual yang

berkaitan dengan program linear
3.2.3 Menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel
3.3.3 Menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari daerah

himpunan penyelesaian

4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
denganprogram linear dua variabel

4.2.1 Merancang model matematika dari masalah kontekstual yang
berkaitan dengan program linear

4.2.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
pertidaksamaan linear dua variabel

Petunjuk Penggunaan E – Modul

1. Bacalah petunjuk dan berdoa terlebih dahulu sebelum memulai
pembelajaran supaya mendapat kemudahan dalam mempelajari materi.

2. Pelajari materi secara berurutan, penyajian materi dalam e – modul
interaktif ini tidak diberikan secara langsung melainkan terdapat bagian
yang masih kosong, sehingga harus diisi oleh peserta didik.

3. Kegiatan belajar pada e – modul interaktif ini menggunakan sintaks atau
langkah – langkah dari pendekatan discovery learning yang terdiri atas :
stimulus, identifikasi masalah, pengumpulan data, pengolahan data,
pembuktian, menarik kesimpulan.

4. Setelah selesai mempelajari materi kerjakanlah “Latihan Soal” dengan
klik link disetiap nomor pada latihan soal yang disajikan, sebagai
langkah pemantapan pemahaman kalian.

5. Kerjakan latihan soal dengan teliti karena di latihan soal akan langsung
otomatis dinilai

6. Jika kalian kesulitan dalam melengkapi materi/ mengerjakan latihan
soal, kalian bisa bertanya dengan teman atau guru mata pelajaran atau
dengan mencari referensi lain yang mendukung.

7. Setelah mempelajari semua materi kalian dapat mengerjakan “Uji
Kompetensi” secara mandiri.

PROGRAM Peta Konsep
LINEAR
Pengertian
Program Linear

Sistem
Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel

Model
Matematika

Fungsi Objektif dan
Nilai Optimum

Pengertian

A.

Program Linear

Perhatikan Ilustrasi Di bawah ini

Pernahkah kita perhatikan saat kita jalan-jalan di toko sepatu kita lihat
banyak sekali sepatu yang dipajang. Dilain sisi kita lihat bahwa pedagang sepatu
mempunyai tempat yang terbatas dan juga rak yang jumlahnya terbatas.
Bagaimana pedagang sepatu bisa mengoptimalkan lahan yang tersedia untuk
memajang sepatu – sepatu dagangannya supaya semua lahan yang ada dapat
digunakan secara optimal?. Nah pertanyaan sejenis ini dapat diselesaikan dengan
salah satu materi yang ada di mata pelajaran matematika yaitu dengan enggunakan
materi program linear.

Program Linear adalah bagian dari matematika yang merupakan
metode/cara untuk menyelesaiakan optimasi. Optimasi adalah memaksimumkan
atau meminimumkan suatu permasalahan dalam bentuk fungsi obyektif/fungsi
tujuan dengan kendala – kendala yang berbentuk sistem pertidaksamaan linear

dua variabel. Program linear dapat digunakan dalam kehidupan sehari – hari,
seperti menghitung suatu lahan yang dijelaskan pada islustrasi, menhitung
keuntungan maksimum dari suatu usaha, pengeluaran minimum yang
dibelanjakan atau dikeluarkan, dan sebagainya.

Agar dapat lebih jelas dalam memahami
pengertian program linear perhatikan
penjelasana video berikut ini!

Sistem Pertidaksamaan

B. Linear Dua Variabel

Catatan

Dalam mempelajari programlinear , kita perlu mengingat kembali cara
menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel,
termasuk membuat grafik dan suatu persamaan garis dan menentukan titik
potong dari dua persamaan garis

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda
ketidaksamaan dan mengandung variabel. Sedangkan sistem pertidaksamaan
linear dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua
variabel dan pangkat setiap variabel satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear
dengan dua variabel x dan y dapat dituliskan sebagai berikut:

+ ≤ ; + ≥ ; + < ; + >
dengan , , ∈ bilangan real






Masalah 1

Stimulus

Ibu sri adalah seorang pedagang yang berniat menambah dagangannya dengan
membeli 2 jenis minuman dengan dengan modal Rp. 175.000. minuman pocari sweat
dibeli dengan harga Rp. 7000 per kaleng, sedangkan minuman lasegar dibeli dengan
harga Rp. 5.000 per kaleng. Jika tempatnya hanya mampu menampung 30 kaleng
minuman, sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang sesuai adalah..........

Identifikasi Masalah

Setelah membaca masalah 1 langkah selanjutnya kita dapat
mengidentifikasi masalah yang dapat ditemukan jawabannya, yaitu :

Bagaimanakah kalian menggunakan variabel untuk menyatakan 2 jenis
minuman dari permasalahan tersebut?
Bagaimanakah bentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang sesuai
dengan permasalahan tersebut?

Pengumpulan Data

Dari uraian permasalahan di atas, dapat ditemukan beberapa data sebagai
berikut:
Diketahui:

Ibu sri akan membeli 2 jenis minuman dengan modal Rp. 175.000
Harga minuman pocari sweat yaitu Rp. 7.000/kaleng
Harga minuman lasegar yaitu Rp. 5.000/kaleng
Warung ibu sri hanya mampu menampung 30 kaleng minuman
Perhatikanlah pertanyaan berikut yang dapat dijadikan informasi untuk membantu
dalam merumuskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Ditanya :
Bagaimanakah kalian menggunakan variabel untuk menyatakan 2 jenis
minuman dari permasalahan tersebut?
Bagaimanakah bentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang sesuai
dengan permasalahan tersebut?

Pengolahan Data

Berdasarkan penyampaian pada tahap pengumpulan data, maka berikut beberapa
langkah-langkah untuk merumuskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari
masalah 1 adalah sebagai berikut:

Langkah ke 1: Nyatakan 2 jenis minuman dari permasalahan yang telah dibaca sebagai
variabel permisalan.

Andaikan 2 jenis minuman:
Yang pertama pocari sweat dimisalkan x dan
Yang kedua lasegar dimisalkan y

Langkah ke 2: Bagaimanakah bentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang
sesuai dengan permasalahan tersebut?

Berdasarkan pertanyaan diatas untuk menyelesaikannya kita sudah mendapatkan data
dari langkah-langkah sebelumnya, untuk mendapatkan bentuk sistem pertidaksamaan
linear dua variabel penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Pocari sweat = x dan Lasegar = y
Tempat hanya mampu menampung 30 kaleng minuman
Berdasarkan pernyataan di atas, maka dapat dinyatakan dengan : x + y ≤ 30
Minuman x dibeli dengan harga Rp. 7000/kaleng
Minuman y dibeli dengan harga Rp. 5000/kaleng
Modal yang dimiliki adalah Rp. 175.000
Berdasrkan pernyataan diatas, maka dapat dinyatakan dengan:
7.000x + 5.000y ≤ 175.000 → sama-sama dibagi 1000 = 7x + 5y ≤ 175
Jumlah minuman baik jenis x maupun jenis y tidak mungkin bernilai negatif
Maka x ≥ 0 dan y ≥ 0
Dari pengolahan data di atas jadi sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah
sebagai berikut :

7 + 5 ≤ 175
+ ≤ 30
≥ 0
≥ 0

Pembuktian

Cobalah periksa kembali berdasrkan hasil pengelolahan data atau informasi yang
telah kalian dapatkan:

Jika 2 jenis minuman dinyatakan dengan permisalan menggunakan
variabel yaitu pocari sweat dimisalkan x dan lasegar dimisalkan y maka
dengan begitu akan didapatkan bentuk pertidaksamaan linear dua variabel
karena sudah menggunakan permisalan dua variabel yaitu x dan y
Tempat minuman pedagang hanya mampu menampung 30 kaleng
minuman, maka berdasarkan pernyataan dapat dinyatakan dengan x + y ≤
30
Jika minuman kaleng x Rp.7.000/kaleng dan minuman y Rp. 5.000/kaleng
dan ibu sri mempunyai modal Rp.175.000, berdasarkan pernyataan di atas
dapat dinyatakan dengan 7.000x + 5.000y ≤ 175.000 → sama-sama dibagi
1000 = 7x + 5y ≤ 175 maka bentuk pertidaksamaan berikut merupakan
suatu bentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Jumlah minuman juga tidak mungkin negatif sehingga x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Kesimpulan

Berdasarkan masalah 1, kesimpulan yang diperoleh setelah melakukan penyelesaian
permasalahan dapat dibentuk ke dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel
sebagai berikut :

7 + 5 ≤ 17 , + ≤ 30 dengan syarat ≥ 0 dan ≥ 0 sehingga dapat ditulis

seperti ini : 7 + 5 ≤ 175
+ ≤ 30
≥ 0
≥ 0

Jadi, Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih
pertidaksamaan linear dua variabel dan pangkat setiap variabel satu.

Masalah 2

Stimulus

Di suatu daerah terdapat rumah makan yang terbilang cukup ramai karena
setiap harinya pengunjung selalu berdatangan silih berganti. Salah satu jenis
makanan yang ada adalah makanan yang terbuat dari daging hewan ternak A dan
B. Setiap harinya makanan yang berbahan hewan ternak A membutuhkan 5kg
daging dan 3kg tepung dan makanan yang berbahan hewan ternak B
membutuhkan 6kg daging dan 8kg tepung. Jika tersedia daging 60kg dan tepung
48kg, sedangkan bahan yang lain cukup tersedia, maka gambarlah daerah
penyelesaian pertidaksamaannya!

Identifikasi Masalah

Setelah membaca masalah 2 langkah selanjutnya kita dapat
mengidentifikasi masalah yang dapat ditemukan jawabannya, yaitu dengan kalian
memisalkan banyaknya makanan hewan ternak dan mencari daerah
penyelesaiannya. Sehingga dapat dirumuskan kedalam kalimat tanya sebagai
berikut:

Bagaimanakah kalian menggunakan variabel untuk permisalan dari banyaknya
makanan hewan ternak A dan B?
Temukan pertanyaan lainnya pada permasalahan diatas!

Pengumpulan Data

Dari uraian permbahasan masalah 2 di atas, dapat ditemukan beberapa data
sebagai berikut:

Makanan yang berbahan hewan ternak A membutuhkan ......... daging dan
....... tepung
Makanan yang berbahan hewan ternak B membutuhkan .......... daging dan
........ tepung
Tersedia