Multime, element, apartenenta

Provo- cărţi M1 Dacă n-ai înţeles, e pentru că n-au ştiut să-ţi explice

2016

MULŢIME, ELEMENT, APARTENENŢĂ

Raul Baz

1.0. Prima întrebare mi-o pun chiar mie. De fapt, continui să mi-o pun, după
atâţia ani.
Pe când eram copil, mă gândeam cu invidie la oamenii mari, care nu erau obligaţi să
mănânce spanac şi urzici şi care aveau voie să stea până târziu în noapte la
televizor. Dacă părinţii mă trimiteau la culcare tocmai când începea câte un film cu
extratereştri, mă podideau lacrimile şi îmi spuneam cu ciudă: „lasă că mă fac eu
mare”. Anii au trecut şi m-am făcut mare. Acum, când îmi aduc aminte de acele
vremuri, mă cuprinde nostalgia. Timpul trece peste noi toţi, dar curgerea lui este
atât de înşelătoare, încât nici nu îţi dai seama când te trezeşti cu părul alb. Oare a
existat o zi anume în care din copil m-am transformat în adolescent? Oare aş putea
face un semn în calendar pe care să-l arăt tuturor, spunând: „Iată, la 27.10.1975
eram tânăr şi la 28.10.1975 eram matur”?
Mă întreb şi acum, câteodată, dacă astfel de întrebări pot primi un răspuns. Eu unul
nu I-am găsit.

1.1. Cine nu s-a uitat oare, în viaţa Iui, măcar la un meci de fotbal? Eu, cel puţin,
îmi aduc aminte cât de tare mă impresionau, copil fiind, tribunele, tălăzuirea lor,
strigătele de bucurie ale zecilor de mii de spectatori, cântecele şi îndemnurile la
victorie. Mereu îmi spuneam că este cu adevărat ceva fantastic să vezi cum o mână
de oameni, mă refer la cei 22 de jucători, poate produce atât de multă bucurie sau
tristeţe unor mulţimi atât de mari de iubitori ai fotbalului. Mai târziu, când am
început să deprind primele noţiuni de matematică, atunci când învăţătoarea vorbea
de mulţimi, de fiecare dată revedeam, cu ochii minţii, tribunele înfierbântate. Aveam
convingerea că mulţimile sunt nişte „lucruri” despre care nu se poate vorbi decât

1

folosind adjectivele „mulţi” sau „multe”. Asta până într-o zi, când, pe neaşteptate,
mi-am imaginat plecarea spectatorilor de la stadion şi am făcut următorul
raţionament: dacă la început au fost, să zicem, 100.000 de oameni, plecând câte
unul, pe rând, la un moment dat vor rămâne în interior numai zece. Aşadar, la
început erau mulţi, iar la sfârşit puţini. Ei bine, mă întrebam eu, câţi spectatori
trebuie să plece ca din mulţi să rămână puţini? Dacă pleacă 50.000, rămân 50.000
şi tot mulţi sunt. Dar dacă rămân 1.000, mai sunt mulţi? Unii apreciază că şi 1.000
sunt mulţi, alţii, cu siguranţă, consideră că sunt puţini. În orice caz, dacă rămân
numai doi, e greu de crezut că se poate găsi cineva care să îi considere mulţi. Câţi
spectatori trebuie să plece aşadar, pentru ca din mulţi să rămână puţini? Atenţie,
dacă îmi vei spune, de exemplu, că 10.000 de rămaşi sunt puţini, o să vin cu o nouă
întrebare, şi anume: cum stau lucrurile dacă unul dintre cei plecaţi se întoarce dintr-
un motiv oarecare şi acum sunt 10.001 oameni? Aceştia sunt mulţi? Sau tot puţini?

1.2. După ce am înţeles că nu trebuie să leg între ele cuvintele „mulţi” şi „mulţime”,
am început să caut sinonime pentru „mulţime”, care să nu mai trimită, prin
rezonanţa lor, la adjective de genul „mulţi”. Care dintre cuvintele „grup”, „echipă”,
„grămadă”, „orchestră”, „ciorchine”, „adunare”, „colecţie”, „populaţie”, „listă” au
calitatea de a fi sinonime cu „mulţime”?

1.3. Pe masă, într-un vas, am pus trei mere. Am format, astfel, o mulţime. Dacă
vreau să îi dau un nume, îi voi spune „mulţimea merelor din vas”. O să mănânc,
acum, unul dintre mere şi o să pun în locul lui o portocală. Ce nume ar fi potrivit
pentru noua mulţime? Dar dacă mănânc încă un măr şi pun în locul lui o pipă? Dar
dacă pun pipa în buzunar și plec de-acasă?

1.4. Pentru a ne referi la mulţimi, vom folosi litere mari: A, B, M, N etc. Pentru

obiectele din mulţimi, pe care le vom numi, de aici înainte, elemente, vom alege

litere mici: a, b, c, x, z etc. Spre exemplu, mulţimea renilor ar putea fi notată cu R,
iar cea a tigrilor cu T. Un ren din mulţimea R ar putea fi notat cu r, iar un tigru din
T, cu t. Evident, literele nu au fost alese întâmplător: r este prima literă a cuvântului

„ren”, iar t este prima literă a cuvântului „tigru”. Propune soluţii pentru a indica:
a) mulţimea pisicilor şi mulţimea păsărilor
b) trei urşi din mulţimea urşilor.

2

1.5. De acum înainte, vom nota mulţimile într-un mod foarte simplu: scriind toate
elementele lor între acolade. Spre exemplu, mulţimea punctelor cardinale este
{nord, sud, est, vest}, iar mulţimea notelor muzicale este {do, re, mi, fa, sol, la, si}.
Ce asemănări și deosebiri poţi găsi între mulţimile {a, b, c, d} şi {♠, ♣, ♥, ♦}? Dar
între mulţimile {a, b, c, d} şi {♠, ♣, ♥, e}?

1.6. Care dintre următoarele scrieri ţi se pare potrivită pentru a fi folosită atunci

când vine vorba despre mulţimea A a primelor trei vocale?
a) A este mulţimea {a, e, i};
b) A ↦ {a, e, i}
c) A = {a, e, i}
d) {a, e, i} este A

1.7. Dacă te întreabă cineva cum arată, în general, o mulţime cu trei elemente, nu
ai altceva de făcut decât să iei o foaie de hârtie şi să scrii pe ea {a, b, c}. Tot aşa,
pentru o mulţime cu două elemente, vei scrie {a, b, c, d, e}. Ce te faci, însă, dacă
trebuie să scrii forma generală a unei mulţimi cu 1000 de elemente?

1.8. Mă întrebam odată, în timp ce mă jucam cu motanul meu, Țițișu, dacă el
poate face vreo diferență între ființe și lucruri. Dacă ar fi fost să-i iasă în cale un
cărăbuș, s-ar fi repezit să se joace cu el, ori să-l vâneze. Dar nu același lucru l-ar fi
făcut și dacă i-aș fi aruncat eu o bilă de plastic? Și atunci cum aș putea să fiu sigur
că Țițișu merge cu înțelegerea dincolo de diferența dintre mișcare și repaus? Mai
degrabă, cred eu, un pui de arici și un pantof sunt cam același lucru din punctul de
vedere al lui Țițișu, diferența stând în aceea că pantoful nu se mișcă deocamdată.
Țițișu nu poate, prin urmare, să facă diferența dintre o ființă și un lucru așa cum o
facem noi, oamenii. Noi mergem însă și mai departe: pe lângă ființe și lucruri,
vorbim și despre fenomene ale naturii – aurora boreală, fulgerul, eclipsele, furtunile
de nisip, seismele etc. Dar un salut ce este? Obiect nu e, ființă nici atât. Să fie un
fenomen al naturii? Nici vorbă. Prin urmare mai întâlnim și altceva pe lângă cele
enumerate mai sus. Există, oare, un nume pe care să-l poarte toate cele care nu
sunt nici ființe, nici lucruri, nici fenomene? Din câte știu eu, nu. Așa că propun să le
denumim „manifestări”. Prin urmare, lumea înconjurătoare e compusă din ființe,
lucruri, fenomene și manifestări. Ce părere ai, mulțimile în care categorie intră?

1.9. Nu-i întotdeauna lucru ușor să descoperi care sunt diferențele dintre lucruri,
dintre ființe etc. Spre exemplu, hai să ne gândim la o mulțime și la un strănut.
Încearcă să găsești asemănări și deosebiri între ele.

3

1.10. Gândește-te acum că vrei să-i vorbești cuiva despre mulțimea formată dintr-
un fulger, un ocean, un eschimoș și o deschidere de an școlar. Nu-i așa că simți
nevoia unui cuvânt care să le desemneze pe toate în egală măsură, exact așa cum
bec, pantof, tren și insignă sunt deopotrivă desemnate prin cuvântul „obiecte”? Eu
propun să le numim pe toate „existențe”. Un purice este o existență, un zgomot
este o existență, șuieratul unei săgeți, erupția unui vulcan, numărul 7, un măr, o
mulțime de mere, un televizor, o declarație de dragoste, un gând de evadare, un
obiect, un fenomen, o rugăciune, toate acestea sunt existențe. Poți să-mi dai un
exemplu de ceva care nu este o existență?

1.11. O observație interesantă asupra existențelor este că ele se pot clasifica și
altfel decât în ființe, obiecte, fenomene și manifestări. Această nouă clasificare
conține doar două categorii: cea a existențelor cu care luăm contact cu ajutorul
gândirii și cea a existențelor cu care luăm contact prin orice alte mijloace. În prima
categorie intră numerele și mulțimile. În a doua intră tot ceea ce se aude ori se vede
și tot aici intră o durere de dinți, dar și o părere de rău. Mai poți găsi și alte exemple
de existențe din prima categorie?

1.12. Voi desemna cele două categorii introduse la 1.11 prin Thk, respectiv... dar
de fapt, poți să-ți alegi singur felul în care vrei să desemnezi a doua categorie
(evident, ți-ai dat seama de unde vine Thk). Cred că se pot găsi nenumărate
exemple de existențe care sunt dificil de clasificat. Eu mă gândesc, spre exemplu, la
„frica de urmări”, pe care nu știu sigur dacă s-o consider ca făcând parte din Thk
sau nu. Tu unde ai plasa-o? Gândește-te la diverse exemple de existențe care ți se
par dificil de clasificat.

1.13. Încearcă să găseşti două existențe care să aibă cât mai puţine proprietăţi
comune. Oare s-ar putea găsi două existențe care să nu aibă nicio proprietate
comună? Discutând cu cineva despre asta, mi-a zis că e gata să facă pariu cu mine
că orice exemplu i-aş da eu de două existențe pe care le consider fără proprietăţi
comune, el le găseşte imediat o astfel de proprietate. Mai spunea că pentru
asta nu-i trebuie decât noţiunea de mulţime. La ce crezi că se gândea amicul meu?

1.14. La 1.5 am văzut două mulţimi care au în comun numărul de elemente. La 1.7
am vorbit de mulţimi cu trei, cu cinci, sau cu 1.000 de elemente şi ne-am izbit de
necesitatea folosirii indicilor. Aşadar, nu e greu de tras concluzia că între cele două
noţiuni – „mulţime” şi “număr, există o legătură strânsă. Dacă în ceea ce priveşte
„mulţimea” am găsit, cât de cât, un mod de a o defini, căutându-i sinonime, ar fi

4

interesant de văzut dacă reuşim să-i dăm şi „numărului” o definiţie. Pentru asta ar fi
important să găsim, înainte de orice, asemănări și deosebiri între două numere
oarecare. Ce deosebire între numerele 5 și 7 ți se pare evidentă?

1.15. Sunt convins că deosebirea pe care ai găsit-o între 5 și 7 a fost aceea că 7
este mai mare decât 5. Poți găsi încă una?

1.16. Poți găsi asemănări între numerele 5 și 7?

1.17. Ce zici, ai un răspuns la întrebarea „ce este numărul 7”?

1.18. Pe când eram copil, mă duceam în vacanţe la bunici. Nu știu alții cum or fi
fost, dar bunicii mei aveau o gospodărie ca în poveşti, de unde parcă nici nu îmi mai
venea să plec, atât era de frumos totul împrejur. Stând odată de vorbă cu bunicul,
mi-a povestit, printre altele, cum a construit casa. Mi-a spus cât de greu i-a fost şi
cum a trebuit să ceară ajutorul rudelor şi prietenilor. Era tare mândru că reuşise să
ducă treaba la bun sfârşit. Spunea că mai târziu casa va fi a mea şi că dacă va fi să o
vând, va trebui să am mare grijă câţi bani voi cere, pentru că e o casă trainică, de
cărămidă. Într-o zi, la una din orele de matematică, în timp ce profesorul vorbea
despre mulţimi, nu ştiu cum de mi-am adus aminte de casa bunicilor şi de
cărămizile din care este ea construită. Mi-am pus atunci întrebarea: oare aş putea,
în timp ce-i povestesc cuiva despre casa bunicilor, să o descriu ca fiind „o mulţime
de cărămizi"? Încearcă să răspunzi la această întrebare, apoi lămureşte-mă şi pe
mine: ce-i lipseşte unei mulţimi de cărămizi pentru a fi o casă?

1.19. Tot pe când eram copil, a trebuit, la un moment dat, să mă ataşez de o
echipă de fotbal, pentru că fiecare dintre prietenii mei avea câte o preferinţă de
acest gen. O întrebare la modă pe vremea aceea era: „Cu cine ţii?" şi trebuia să
răspund cumva, pentru a nu mă face de râs. Aşa că, mă crezi sau nu, am hotărât ca
prima echipă care o să-mi vină în minte să devină favorita mea. Am tras aer în piept,
m-am concentrat, şi primul nume care mi-a apărut a fost CAMPIONII. Şi aşa a rămas
de atunci. Mai târziu, după ce am început să merg la şcoală, stând într-o seară în
faţa televizorului şi urmărind evoluţia echipei mele favorite, m-am gândit la ea ca la
o mulţime de jucători. Mi-am spus că cei 11 din teren formează o mulţime şi că
această mulţime se numeşte CAMPIONII. Dar nu a trecut multă vreme şi mi-am pus
o întrebare foarte grea. Anume: echipa CAMPIONII, cea din clipa raţionamentului
meu, era cu totul alta decât cea care fusese cu zece ani în urmă, pentru că mulţi
dintre vechii jucători plecaseră, iar alţii îşi încheiaseră cariera. Prin urmare, mulţimea

5

celor 11 jucători de azi nu mai este aceeaşi cu mulţimea celor 11 jucători de acum
10 ani. Ele sunt mulţimi diferite. În cazul acesta, mă întrebam eu, cum pot să le
numesc pe amândouă CAMPIONII? Fiind diferite, trebuie să poarte nume diferite.
Numai că, dacă le dau nume diferite, înseamnă că una dintre ele - cea de azi sau
cea de acum zece ani - ar trebui să nu mai poarte numele CAMPIONII! Ce părere ai?

1.20. Roagă zece persoane să aleagă una dintre literele a, b, c, d, e. După aceea,
formează mulţimea literelor alese. Câte elemente crezi că va avea mulţimea pe care
ai obţinut-o?

1.21. Formează mulţimea literelor cuvântului „element” și pe cea a cuvântului
„mulțime”. Observă că deși cuvintele „element” și „mulțime” au același număr de
litere, cele două mulțimi nu au același număr de elemente.

1.22. Când l-am rugat pe unul dintre amicii mei să formeze mulţimea literelor
cuvântului “caiac", el a scris {c, a, i, a, c}. Degeaba m-am străduit eu să-i explic că ar
fi fost corect să scrie {c, a, i}, pentru că nu are sens să scrii de două ori aceeaşi literă.
El zicea aşa: "dacă mă pui să pronunţ pe litere "caiac", o să zic c, a, i, a şi c, nu o să
zic doar c, a şi i. Atunci de ce să scriu {c, a, i}? Scriu {c, a, i, a, c}, exact aşa cum
pronunţ". Ce argumente i-ai aduce amicului meu pentru a-l convinge că greşeşte şi
că este corect să scrie fiecare element al unei mulţimi o singură dată?

1.23. Până la urmă, amicul meu a priceput că scrierea {a, b, b} nu are sens şi că este
corect să scriem fiecare element al unei mulţimi o singură dată. Numai că, fiind un
individ care caută mereu să găsească erori în raţionamentele celorlalţi, mi-a pus o
problemă care lui i se părea încuietoare: „Gândeşte-te la mulţimea aceea formată
din două mere şi o portocală despre care vorbeai la 1.3. Dacă îmi ceri să o descriu
punând elementele sale între acolade, ar trebui să scriu {măr, măr, portocală}. Însă
această scriere nu ar avea sens, pentru că nu e corect să scriu elementul „măr” de
două ori. Corect ar fi {măr, portocală}. Şi totuşi, pe masă se află două mere şi o
portocală!” Cum i-ai fi replicat amicului meu?

1.24. Am rugat doi amici să se gândească la câte două numere şi să le scrie pe
hârtie. Coincidenţă sau nu, unul a scris 2, 3, iar celălalt a scris 3, 2. Este clar că
amicii mei s-au gândit la aceleaşi numere. Întrebarea este: s-au gândit ei şi la
aceeaşi mulţime de numere?

1.25. Desemnează {a, b, c} şi {c, a, b} mulţimi diferite?

6

1.26. Numărul elementelor unei mulțimi este mai mic cu 20 decât numărul literelor
alfabetului aflate înaintea literei care reprezintă numele mulțimii. Câte elemente are
mulțimea?

1.27. Gândește-te la două mulțimi A și B cu cel puțin trei elemente. Care dintre

următoarele situații sunt posibile?

a) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu un element mai
mult decât A

b) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu două elemente
mai mult decât A

c) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu trei elemente mai
mult decât A

1.28. Generalizează problema anterioară.

1.29. Când aveam vreo 15 ani, am reuşit să mă calific la faza pe ţară a olimpiadei
de matematică. Mândru nevoie mare, mă pregăteam să plec spre Timişoara, locul în
care urma să se desfăşoare concursul. Nu mai văzusem până atunci oraşul de pe
Bega, aşa că m-am bucurat foarte mult când tata a adus vorba de unul din verii mei
mai îndepărtaţi, timişorean get-beget, care ar fi putut să-mi fie ghid. Mama a vorbit
cu părinţii lui la telefon şi a aranjat lucrurile. Eu nu trebuia decât să le fac o vizită, să
stau la o dulceaţă de vişine, apoi vărul meu ar fi urmat să mă ducă la o plimbare
prin oraş. Singura problemă era că nu cunoşteam drumul, iar de la liceul unde se
ţinea olimpiada şi până la blocul unde locuiau rudele mele, trebuia să merg vreo
zece minute pe jos. Mama, care cunoştea bine Timişoara, a găsit rapid soluţia: mi-a
desenat o schemă salvatoare, pe care parcă o văd şi acum:

LICEU STADION

BLOC

PIAȚĂ
ĂĂ

MUZEU

Această schemă mi-a fost tare utilă. Chiar dacă muzeul nu era un dreptunghi, chiar

7

dacă străzile nu erau drepte, desenul mamei m-a ajutat să ajung la destinaţie. Au
existat, bineînţeles, şi câteva comentarii ulterioare, tata spunând pe un anumit ton
că s-ar fi cuvenit ca vărul meu „să vină el" la liceu după mine. Dar totul a trecut şi
am rămas cu amintiri frumoase despre Timişoara. Dacă aş fi luat şi primul loc la
olimpiadă, bucuria ar fi fost totală. În drum spre casă, mă tot gândeam cât este de
eficientă o schemă ca cea pe care mi-o desenase mama. Ml-am dat seama, cu acea
ocazie, că toţi avem tendinţa de a simplifica lucrurile şi de a schematiza, mai ales
atunci când trebuie să explicăm celorlalţi câte ceva. Mă gândeam că dacă va fi
vreodată să merg la Paris şi voi întreba pe cineva cum se ajunge la muzeul Louvre,
dacă acela s-ar hotărî să-mi facă o schemă, pentru străzi ar folosi tot linii drepte şi
săgeţi, iar pentru muzeu tot un dreptunghi, exact cum a făcut mama când am
plecat la Timişoara. Tot aşa, îmi spuneam, stau lucrurile şi cu mulţimile, care pot fi
reprezentate schematic prin linii închise, de tipul:

Oricine spune "mulţime", se gândeşte la o alăturare de obiecte şi consideră natural
să o reprezinte ca în desenul meu, indiferent dacă e vorba de o mulţime de fructe
sau de o mulţime de tablouri. În plus, uneori, desenele sunt haşurate, în ideea că
aşa este mai bine sugerat faptul că e vorba despre obiecte, care ocupă un loc clar
precizat. În unele situaţii, in care mulţimile au un număr mic de elemente, se pot
folosi desene de tipul următor:

A .A

a. a
b. c.
b.
c.

Care dintre următoarele desene ţi se par potrivite pentru a indica o mulţime?

8

1.30. Desenele care reprezintă mulţimi se vor numi, de aici înainte, diagrame.
Denumirea completă este „diagrame Venn”, după numele celui care le-a folosit
prima dată. De cele mai multe ori, vom renunţa la haşuri, în schimb vom scrie
„numele” mulţimilor pe care le reprezentăm. lată două moduri diferite de a face
acest lucru:

AA

Priveşte diagramele de mai jos şi spune dacă se poate trage concluzia că mulţimea
A are mai puţine elemente decât mulţimea B.

AA

1.31. Dacă, totuşi, ai vrea neapărat să găseşti o metodă pentru a pune în
evidenţă, prin diagrame, deosebirea dintre mulţimile cu numere diferite de
elemente, cum ai proceda?
1.32. O echipă de fotbal este o mulţime de jucători. Divizia este o mulţime
de echipe, deci o mulţime de mulţimi. Poţi găsi un exemplu de mulţime de
mulţimi de mulţimi?

1.33. Dacă mulţimea A are printre elementele sale pe a, vom spune că a
aparţine lui A. Vom scrie a∈A. In caz contrar, vom scrie a∉A. Dacă îţi dau un
element a, poţi găsi o mulţime A astfel încât a∈A? Atenţie, a poate să fie

orice, inclusiv un elefant!

9

1.34. Când am văzut pentru prima dată semnul „∈” şi am aflat că se citeşte
„aparţine”, m-am dus cu gândul la diverse situaţii din viaţa de toate zilele în
care folosim acest cuvânt. Oare întotdeauna putem scrie „∈” în loc de
„aparţine”? Spunem, de exemplu, că „România aparţine Europei”. Este corect
să scriem „România∈Europa”? Dar dacă ne gândim la un împărat care spune:
„acest castel îmi aparţine”, crezi că ar fi potrivit să scriem „castel∈împărat”?

1.35. Construieşte trei mulţimi diferite în care să se găsească orice animal cu
blană.

1.36. Dacă A este una dintre mulţimile pe care le-ai imaginat la problema

precedentă iar F este o familie de vulpi polare – vulpea, vulpoiul şi puiul lor,

este corectă scrierea F∈A?

1.37. Dacă îţi indic o existență a, poţi găsi o mulţime A, astfel încât a∉A?

1.38. Mă gândeam, într-o zi, la spectacolul tribunelor. Ce culori, ce sunete,
ce mişcări! Cine ar putea să uite, de exemplu, chipurile suporterilor vopsite
în roşu, galben şi albastru? Cel care studiază cu atenţie galeria, poate să
observe fel de fel de tipuri de spectatori, fel de fel de stiluri de

îmbrăcăminte, de gesturi, de mişcări. Să facem nişte notaţii. A să fie
mulţimea spectatorilor cu şapcă roşie, B a celor cu şapcă, C a purtătorilor de
tricou cu „HAI ROMÂNIA!”, D să fie mulţimea celor cu tricou, E a celor cu
tricou şi şapcă roşie, F a spectatorilor care cântă fals, G a celor cu şapcă

roşie şi care cântă fals. Eu, personal, la meciuri mă duc cu un tricou pe care
scrie „NU TRAGEŢI ÎN ARBITRU", cu o şapcă albastră şi cu pantaloni scurţi.
Din păcate, nu prea am voce. Care sunt, dintre mulţimile descrise mai sus,
cele cărora le aparţin eu?

1.39. Care dintre următoarele afirmaţii sunt adevărate?
a) a∈a
b) {a}∈{a, b}
c) {a}∈{a}
d) a∉{a}
e) {a}∉a

1.40. Dacă îţi pun la dispoziţie o existență, poţi construi, cu ajutorul ei, mai
multe mulţimi diferite?

10

1.41. Dacă A este o mulţime oarecare, este adevărat că A∈A?

1.42. Într-o dimineaţă însorită, mi-a venit poftă de mers pe jos până la
şcoală. Eram tânăr profesor de matematică şi prima oră o aveam la o clasă
căreia îi anunţasem un mic test cu tema „mulţimi”. Şcoala nu era tocmai
aproape – aveam vreo trei sferturi de oră de mers. Ca să fiu sigur că nu
întârzii, am plecat cu o oră mai devreme şi, pe drum, m-am tot gândit la
testul cu mulţimi. Făcusem de acasă subiectele, dar parcă lipsea ceva. Şi, ce
să vezi, exact când am trecut pe lângă piaţă, am înţeles: lipsea o problemă cu
caracter practic. Cred că mi-am dat seama de lucrul ăsta pentru că mi-a
atras atenţia felul în care erau organizaţi producătorii care vindeau legume şi
fructe. Fiecare tarabă avea cel mult trei tipuri de produse, dar destui erau cei
care se profilaseră pe câte un singur sortiment. Roşiile, de exemplu, erau
aşezate pe trei - patru categorii, cu preţuri diferite. M-am apucat să identific,
în plimbarea pe care o făceam, cât mai multe tipuri de mulţimi. Aşa că, întâi
de toate, m-am gândit la mulţimea tarabelor, pe care am botezat-o T.
Mulţimii vânzătorilor i-am zis V. Am numit L mulţimea lădiţelor. Când am
ajuns la mulţimea legumelor, am fost nevoit să o numesc cu altă literă decât
L, aşa că i-am zis R (poate pentru că erau foarte multe roşii expuse). Până la
urmă, am ajuns în faţa unei tarabe care mi-a plăcut atât de mult, încât m-am
hotărât ca după ce termin orele, să vin iarăşi la piaţă şi să cumpăr ceea ce
aveam nevoie de la acea tarabă, pe care am numit-o T1. Dintr-o lădiţă, pe
care nu m-am putut abţine de la a o boteza l1, îmi făceau cu ochiul cele mai
frumoase roşii pe care le văzusem în toată piaţa. Nu ştiu de ce, dar una
dintre acele roşii era atât de apetisantă, încât am cumparat-o si m-am apucat
să o mănânc pe ca pe un măr. I-am zis r1.
Mergând către casă, mă tot gândeam la relaţiile de apartenenţă care s-ar
putea stabili între elementele şi mulţimile pe care le identificasem eu şi
cărora le dădusem şi nume. Care dintre următoarele relaţii sunt adevărate?

a) r1∈R
b) r1∈L
c) r1∈l1
d) T1∈T
e) R∉L
f) L∉T
g) T1∉R
h) L∈V

11

1.43. Mă mai gândeam la ceva, legat de mulţimile pe care le-am analizat la
piaţă. Dacă formez mulţimea H= {h, L}, poate fi adevărată relaţia r1∈H?

1.44. Tot în legătură cu r1, mi-am pus următoarea întrebare: ce se întâmplă
cu relaţia r1∈R după ce am mâncat roşia respectivă? Până să o scot din lădiţa
ei și să mușc din ea, relaţia era evidentă. După aceea, însă, în mâna mea nu
se mai află r1, ci o roșie incompletă, ca să zic așa. Ce s-a întâmplat cu relația
r1∈R? Dar mai târziu, după ce r1 nici măcar nu mai există, pentru că am
mâncat-o, ce sens mai are r1∈R?

1.45. Este posibil ca o existență să fie simultan şi element şi mulţime?

1.46. Există vreo diferență între mulțimea A și mulțimea elementelor
mulțimii A?

1.47. Dacă a∈A şi A∈ , este adevărat că a∉ ?

1.48. Stând de vorbă într-o zi cu un amic, mi-a atras atenţia asupra unui
amănunt: dacă spui „primul președinte de culoare al SUA” sau spui Barack
Obama, te-ai referit, fără niciun fel de îndoială, la aceeaşi persoană. Ceva
asemănător se poate întâmpla, zicea el, şi în legătură cu mulţimile: vorbind

despre A şi B, pe care le consideri diferite, s-ar putea să ai surpriza să

constaţi că, de fapt, te-ai referit la una şi aceeaşi mulţime. Ai putea găsi un
astfel de exemplu?

1.49. „CAMPIONII de ieri" şi „CAMPIONII de azi”, despre care am vorbit la
1.19, reprezintă o ilustrare pentru problema anterioară? Mai precis, când
spunem „CAMPIONII de ieri” sau „CAMPIONII de azi”, ne referim, de fapt, la
aceeaşi mulţime, numită CAMPIONII?

1.50. Așa cum ai observat, pe fiecare dintre paginile acestei cărți, cu
excepția celei pe care tocmai o citești, se află câte patru cercuri, cu interiorul
colorat în roșu, galben, verde sau albastru. Desigur, rolul lor este de a
înfrumuseța paginile. Dar nu numai atât. Ele au fost puse acolo pe baza unui
cod secret, pe care vreau să te rog să-l găsești. Dacă reușești, o să fii în
stare să desenezi cercurile lipsă de pe această pagină. Mult succes!

12

Înainte de a trece la capitolul de răspunsuri, îți ofer posibilitatea de a-ți
verifica forțele cu un număr de zece probleme despre mulțimi concrete.
Unele sunt foarte simple, la altele este necesară o concentrare mai serioasă.
Toate, însă, te vor ajuta să înțelegi mai bine cele câteva noțiuni pe care le-am
introdus în acest prim volum din seria „Mulțimi” și de care vei avea nevoie în

situația în care vei dori să mergi mai departe cu studiul. Aceste zece
probleme nu sunt rezolvate aici. După ce vor apărea toate volumele seriei –

fiecare dintre ele conținând, de asemenea, un anumit număr de probleme
nerezolvate, îți voi pune la dispoziție un volum cu toate aceste probleme și

rezolvările lor.

ZECE PROBLEME DE ANTRENAMENT

1. Care dintre următoarele mulțimi are mai multe elemente?
a. {2, 4, 6, 8, . ..., 888} sau {1, 3, 5, 7, . ..., 887}
b. {1, 2, 4, 8, . ..., 8388608} sau {1, 2, 3, 4, 5, 6, . ..., 23}
c. Mulțimea firelor de nisip din deșertul Sahara sau mulțimea tuturor

numerelor cu un milion de cifre?
d. Mulțimea punctelor unui segment cu lungimea de un centimetru sau

mulțimea punctelor unui segment cu lungimea de doi centimetri.

2. Care dintre următoarele afirmații sunt sunt adevarate?
a. 18∈{2, 4, 6, 8, . ..., 888}
b. 1000∈{5, 10, 15, 20, . ...., 5055}
c. 11111111∈{11, 22, 33, 44, . ... , 12222221}
d. 486∈{8, 14, 20, 26, . .............. , 608}
e. 651∈{1, 3, 7, 13, 21, . ............., 10101}

3. Considerăm mulțimea A={1}. Poți s-o descrii în 100 de moduri diferite?

4. In care dintre următoarele situații reprezintă A și B aceeași mulțime?
a. A este mulțimea triunghiurilor cu toate laturile egale și B este mulțimea

triunghiurilor cu toate unghiurile egale.

13

b. A este mulțimea numerelor naturale pare mai mari decât 2 și mai mici
decât 6, iar B este mulțimea numerelor naturale mai mari ca 3 și mai

mici decât 5.

c. A este mulțimea {1, 2} și B este mulțimea soluțiilor ecuației x3-6x2

+11x -6=0

d. A este mulțimea numerelor divizibile cu 3 și B este mulțimea

numerelor naturale cu proprietatea că suma cifrelor lor este un
multiplu al lui trei.

e. A este mulțimea planetelor sistemului solar și B este mulțimea de

planete: {Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus,
Neptun}

5. Dacă ordinea în care sunt scrise elementele unei mulțimi ar avea
importanță, atunci mulțimile {1, 2} și {2, 1} ar fi diferite. Câte mulțimi
diferite cu elementele a, b, c și d ar exista în această situație?

6. Câte elemente are mulțimea {{{1, 2}, 1}, {2, {1, 2}}, {{1}}, {{2}, 2}}}?

7. Considerăm mulțimile A={a, b} și B={c, d, e}. Ne propunem să
construim o a treia mulțime, C={f, g}, care conține un element din A și
un element din B. În câte feluri putem face acest lucru?

8. Generalizează problema anterioară.

9. Considerăm mulțimile A={a1, a2,..., a10} și B={b1, b2,...., b10}, astfel
încât niciunul dintre elementele lui A nu se găsește printre elementele
lui B și reciproc, niciunul dintre elementele lui B nu se găsește printre
elementele lui A. Se iau la întâmplare n elemente din A și se duc în B, n
fiind un număr natural cuprins între 1 și 10. Se iau apoi la întâmplare n
elemente din mulțimea B (care are acum 10+n elemente) și se duc în A.
În acest moment, A și B au din nou câte zece elemente, dar ele nu sunt
neapărat cele dinainte. Întrebarea este următoarea: după încheierea
acestor „transferuri”, în care dintre cele două mulțimi se vor găsi mai
multe elemente ale celeilalte?

10. Generalizează problema anterioară.

14

RĂSPUNSURI, DISCUȚII, REZOLVĂRI

1.1 Întrebarea se poate formula, în termeni matematici, astfel: există un
număr n cu proprietatea că n spectatori sunt puțini și n+1 spectatori sunt
mulți? Un răspuns se poate da numai dacă au fost precizate condiții
suplimentare. Spre exemplu, să ne gândim la o sală de cinematograf, unde
există 100 de scaune și funcționează o regulă foarte strictă: nimeni nu are
voie să intre acolo dacă nu mai sunt scaune libere. Este clar ca 101 oameni
care vin sa vadă filmul, sunt mulți. Dacă însă vin 99, ei sunt puțini. Iar dacă
vin exact 100, am putea spune că nu sunt nici mulți, nici puțini. Dar să ne
imaginăm că acești oameni se află în inima deșertului Sahara. Mai poate
cineva să afirme că 101 sunt mulți și 99 sunt puțini? Presupun că niciun om
de bună-credință n-ar susține așa ceva.
Raportat la capacitatea stadionului, am putea, eventual, să găsim un număr
cu proprietatea căutată. Dar el și-ar pierde această proprietate când ne vom
raporta la întreaga populație a globului.
Ceea ce ne interesează este găsirea unui prag care diferențiază multul de
puțin atunci când nu suntem constrânși de nicio condiție suplimentară. Am
vrea să găsim un număr n în legătură cu care să putem afirma că reprezintă
un număr mic și că succesorul lui, n+1, este un număr mare. Am mai fi
interesați să găsim un număr x despre care să putem spune că un om care
măsoară x centimetri este înalt, în vreme ce altul, care măsoară x-1
centimetri este scund. Dar oricât ne-am strădui, nu vom izbuti să găsim
astfel de numere.
Problema este cunoscută încă din secolul IV înaintea lui Cristos, când a fost
formulată de către Eubulides din Milet, evident într-o altă formă. Filosoful
pleca de la următoarea ipoteză, al cărei adevăr nu poate fi contestat de
nimeni: dacă dintr-o grămadă de nisip înlături un singur fir, ceea ce rămâne
este tot o grămadă de nisip. Să presupunem, a zis Eubulides, că avem o
grămadă conținând un număr n de fire de nisip. Eliminând un fir, rămâne,
conform ipotezei, tot o grămadă. Aceasta va avea n-1 fire de nisip. Mai
eliminăm un fir și obținem din nou o grămadă, care va avea n-2 fire de nisip.
Continuând să eliminăm câte un fir, vom obține grămezi din ce în ce mai
mici, care vor avea n-3, n-4, n-5..... fire de nisip. Dar este evident că la un
moment dat vom ajunge la o grămadă cu doar două fire de nisip. Ce ne
facem? a întrebat Eubulides. Niciun om de pe lume nu o să pretindă că două
fire de nisip formează o grămadă!
Întreaga chestiune a primit numele de „paradoxul grămezii” și a devenit o

15