Multimi

Provo- cărţi M1 Dacă n-ai înţeles, e pentru că n-au ştiut să-ţi explice

2016

MULŢIME, ELEMENT, APARTENENŢĂ

Raul Baz

1.0. Prima întrebare mi-o pun chiar mie. De fapt, continui să mi-o pun, după
atâţia ani.
Pe când eram copil, mă gândeam cu invidie la oamenii mari, care nu erau obligaţi să
mănânce spanac şi urzici şi care aveau voie să stea până târziu în noapte la
televizor. Dacă părinţii mă trimiteau la culcare tocmai când începea câte un film cu
extratereştri, mă podideau lacrimile şi îmi spuneam cu ciudă: „lasă că mă fac eu
mare”. Anii au trecut şi m-am făcut mare. Acum, când îmi aduc aminte de acele
vremuri, mă cuprinde nostalgia. Timpul trece peste noi toţi, dar curgerea lui este
atât de înşelătoare, încât nici nu îţi dai seama când te trezeşti cu părul alb. Oare a
existat o zi anume în care din copil m-am transformat în adolescent? Oare aş putea
face un semn în calendar pe care să-l arăt tuturor, spunând: „Iată, la 27.10.1975
eram tânăr şi la 28.10.1975 eram matur”?
Mă întreb şi acum, câteodată, dacă astfel de întrebări pot primi un răspuns. Eu unul
nu I-am găsit.

1.1. Cine nu s-a uitat oare, în viaţa Iui, măcar la un meci de fotbal? Eu, cel puţin,
îmi aduc aminte cât de tare mă impresionau, copil fiind, tribunele, tălăzuirea lor,
strigătele de bucurie ale zecilor de mii de spectatori, cântecele şi îndemnurile la
victorie. Mereu îmi spuneam că este cu adevărat ceva fantastic să vezi cum o mână
de oameni, mă refer la cei 22 de jucători, poate produce atât de multă bucurie sau
tristeţe unor mulţimi atât de mari de iubitori ai fotbalului. Mai târziu, când am
început să deprind primele noţiuni de matematică, atunci când învăţătoarea vorbea
de mulţimi, de fiecare dată revedeam, cu ochii minţii, tribunele înfierbântate. Aveam
convingerea că mulţimile sunt nişte „lucruri” despre care nu se poate vorbi decât

1

folosind adjectivele „mulţi” sau „multe”. Asta până într-o zi, când, pe neaşteptate,
mi-am imaginat plecarea spectatorilor de la stadion şi am făcut următorul
raţionament: dacă la început au fost, să zicem, 100.000 de oameni, plecând câte
unul, pe rând, la un moment dat vor rămâne în interior numai zece. Aşadar, la
început erau mulţi, iar la sfârşit puţini. Ei bine, mă întrebam eu, câţi spectatori
trebuie să plece ca din mulţi să rămână puţini? Dacă pleacă 50.000, rămân 50.000
şi tot mulţi sunt. Dar dacă rămân 1.000, mai sunt mulţi? Unii apreciază că şi 1.000
sunt mulţi, alţii, cu siguranţă, consideră că sunt puţini. În orice caz, dacă rămân
numai doi, e greu de crezut că se poate găsi cineva care să îi considere mulţi. Câţi
spectatori trebuie să plece aşadar, pentru ca din mulţi să rămână puţini? Atenţie,
dacă îmi vei spune, de exemplu, că 10.000 de rămaşi sunt puţini, o să vin cu o nouă
întrebare, şi anume: cum stau lucrurile dacă unul dintre cei plecaţi se întoarce dintr-
un motiv oarecare şi acum sunt 10.001 oameni? Aceştia sunt mulţi? Sau tot puţini?

1.2. După ce am înţeles că nu trebuie să leg între ele cuvintele „mulţi” şi „mulţime”,
am început să caut sinonime pentru „mulţime”, care să nu mai trimită, prin
rezonanţa lor, la adjective de genul „mulţi”. Care dintre cuvintele „grup”, „echipă”,
„grămadă”, „orchestră”, „ciorchine”, „adunare”, „colecţie”, „populaţie”, „listă” au
calitatea de a fi sinonime cu „mulţime”?

1.3. Pe masă, într-un vas, am pus trei mere. Am format, astfel, o mulţime. Dacă
vreau să îi dau un nume, îi voi spune „mulţimea merelor din vas”. O să mănânc,
acum, unul dintre mere şi o să pun în locul lui o portocală. Ce nume ar fi potrivit
pentru noua mulţime? Dar dacă mănânc încă un măr şi pun în locul lui o pipă? Dar
dacă pun pipa în buzunar și plec de-acasă?

1.4. Pentru a ne referi la mulţimi, vom folosi litere mari: A, B, M, N etc. Pentru

obiectele din mulţimi, pe care le vom numi, de aici înainte, elemente, vom alege

litere mici: a, b, c, x, z etc. Spre exemplu, mulţimea renilor ar putea fi notată cu R,
iar cea a tigrilor cu T. Un ren din mulţimea R ar putea fi notat cu r, iar un tigru din
T, cu t. Evident, literele nu au fost alese întâmplător: r este prima literă a cuvântului

„ren”, iar t este prima literă a cuvântului „tigru”. Propune soluţii pentru a indica:
a) mulţimea pisicilor şi mulţimea păsărilor
b) trei urşi din mulţimea urşilor.

2

1.5. De acum înainte, vom nota mulţimile într-un mod foarte simplu: scriind toate
elementele lor între acolade. Spre exemplu, mulţimea punctelor cardinale este
{nord, sud, est, vest}, iar mulţimea notelor muzicale este {do, re, mi, fa, sol, la, si}.
Ce asemănări și deosebiri poţi găsi între mulţimile {a, b, c, d} şi {♠, ♣, ♥, ♦}? Dar
între mulţimile {a, b, c, d} şi {♠, ♣, ♥, e}?

1.6. Care dintre următoarele scrieri ţi se pare potrivită pentru a fi folosită atunci

când vine vorba despre mulţimea A a primelor trei vocale?
a) A este mulţimea {a, e, i};
b) A ↦ {a, e, i}
c) A = {a, e, i}
d) {a, e, i} este A

1.7. Dacă te întreabă cineva cum arată, în general, o mulţime cu trei elemente, nu
ai altceva de făcut decât să iei o foaie de hârtie şi să scrii pe ea {a, b, c}. Tot aşa,
pentru o mulţime cu două elemente, vei scrie {a, b, c, d, e}. Ce te faci, însă, dacă
trebuie să scrii forma generală a unei mulţimi cu 1000 de elemente?

1.8. Mă întrebam odată, în timp ce mă jucam cu motanul meu, Țițișu, dacă el
poate face vreo diferență între ființe și lucruri. Dacă ar fi fost să-i iasă în cale un
cărăbuș, s-ar fi repezit să se joace cu el, ori să-l vâneze. Dar nu același lucru l-ar fi
făcut și dacă i-aș fi aruncat eu o bilă de plastic? Și atunci cum aș putea să fiu sigur
că Țițișu merge cu înțelegerea dincolo de diferența dintre mișcare și repaus? Mai
degrabă, cred eu, un pui de arici și un pantof sunt cam același lucru din punctul de
vedere al lui Țițișu, diferența stând în aceea că pantoful nu se mișcă deocamdată.
Țițișu nu poate, prin urmare, să facă diferența dintre o ființă și un lucru așa cum o
facem noi, oamenii. Noi mergem însă și mai departe: pe lângă ființe și lucruri,
vorbim și despre fenomene ale naturii – aurora boreală, fulgerul, eclipsele, furtunile
de nisip, seismele etc. Dar un salut ce este? Obiect nu e, ființă nici atât. Să fie un
fenomen al naturii? Nici vorbă. Prin urmare mai întâlnim și altceva pe lângă cele
enumerate mai sus. Există, oare, un nume pe care să-l poarte toate cele care nu
sunt nici ființe, nici lucruri, nici fenomene? Din câte știu eu, nu. Așa că propun să le
denumim „manifestări”. Prin urmare, lumea înconjurătoare e compusă din ființe,
lucruri, fenomene și manifestări. Ce părere ai, mulțimile în care categorie intră?

1.9. Nu-i întotdeauna lucru ușor să descoperi care sunt diferențele dintre lucruri,
dintre ființe etc. Spre exemplu, hai să ne gândim la o mulțime și la un strănut.
Încearcă să găsești asemănări și deosebiri între ele.

3

1.10. Gândește-te acum că vrei să-i vorbești cuiva despre mulțimea formată dintr-
un fulger, un ocean, un eschimoș și o deschidere de an școlar. Nu-i așa că simți
nevoia unui cuvânt care să le desemneze pe toate în egală măsură, exact așa cum
bec, pantof, tren și insignă sunt deopotrivă desemnate prin cuvântul „obiecte”? Eu
propun să le numim pe toate „existențe”. Un purice este o existență, un zgomot
este o existență, șuieratul unei săgeți, erupția unui vulcan, numărul 7, un măr, o
mulțime de mere, un televizor, o declarație de dragoste, un gând de evadare, un
obiect, un fenomen, o rugăciune, toate acestea sunt existențe. Poți să-mi dai un
exemplu de ceva care nu este o existență?

1.11. O observație interesantă asupra existențelor este că ele se pot clasifica și
altfel decât în ființe, obiecte, fenomene și manifestări. Această nouă clasificare
conține doar două categorii: cea a existențelor cu care luăm contact cu ajutorul
gândirii și cea a existențelor cu care luăm contact prin orice alte mijloace. În prima
categorie intră numerele și mulțimile. În a doua intră tot ceea ce se aude ori se vede
și tot aici intră o durere de dinți, dar și o părere de rău. Mai poți găsi și alte exemple
de existențe din prima categorie?

1.12. Voi desemna cele două categorii introduse la 1.11 prin Thk, respectiv... dar
de fapt, poți să-ți alegi singur felul în care vrei să desemnezi a doua categorie
(evident, ți-ai dat seama de unde vine Thk). Cred că se pot găsi nenumărate
exemple de existențe care sunt dificil de clasificat. Eu mă gândesc, spre exemplu, la
„frica de urmări”, pe care nu știu sigur dacă s-o consider ca făcând parte din Thk
sau nu. Tu unde ai plasa-o? Gândește-te la diverse exemple de existențe care ți se
par dificil de clasificat.

1.13. Încearcă să găseşti două existențe care să aibă cât mai puţine proprietăţi
comune. Oare s-ar putea găsi două existențe care să nu aibă nicio proprietate
comună? Discutând cu cineva despre asta, mi-a zis că e gata să facă pariu cu mine
că orice exemplu i-aş da eu de două existențe pe care le consider fără proprietăţi
comune, el le găseşte imediat o astfel de proprietate. Mai spunea că pentru
asta nu-i trebuie decât noţiunea de mulţime. La ce crezi că se gândea amicul meu?

1.14. La 1.5 am văzut două mulţimi care au în comun numărul de elemente. La 1.7
am vorbit de mulţimi cu trei, cu cinci, sau cu 1.000 de elemente şi ne-am izbit de
necesitatea folosirii indicilor. Aşadar, nu e greu de tras concluzia că între cele două
noţiuni – „mulţime” şi “număr, există o legătură strânsă. Dacă în ceea ce priveşte
„mulţimea” am găsit, cât de cât, un mod de a o defini, căutându-i sinonime, ar fi

4

interesant de văzut dacă reuşim să-i dăm şi „numărului” o definiţie. Pentru asta ar fi
important să găsim, înainte de orice, asemănări și deosebiri între două numere
oarecare. Ce deosebire între numerele 5 și 7 ți se pare evidentă?

1.15. Sunt convins că deosebirea pe care ai găsit-o între 5 și 7 a fost aceea că 7
este mai mare decât 5. Poți găsi încă una?

1.16. Poți găsi asemănări între numerele 5 și 7?

1.17. Ce zici, ai un răspuns la întrebarea „ce este numărul 7”?

1.18. Pe când eram copil, mă duceam în vacanţe la bunici. Nu știu alții cum or fi
fost, dar bunicii mei aveau o gospodărie ca în poveşti, de unde parcă nici nu îmi mai
venea să plec, atât era de frumos totul împrejur. Stând odată de vorbă cu bunicul,
mi-a povestit, printre altele, cum a construit casa. Mi-a spus cât de greu i-a fost şi
cum a trebuit să ceară ajutorul rudelor şi prietenilor. Era tare mândru că reuşise să
ducă treaba la bun sfârşit. Spunea că mai târziu casa va fi a mea şi că dacă va fi să o
vând, va trebui să am mare grijă câţi bani voi cere, pentru că e o casă trainică, de
cărămidă. Într-o zi, la una din orele de matematică, în timp ce profesorul vorbea
despre mulţimi, nu ştiu cum de mi-am adus aminte de casa bunicilor şi de
cărămizile din care este ea construită. Mi-am pus atunci întrebarea: oare aş putea,
în timp ce-i povestesc cuiva despre casa bunicilor, să o descriu ca fiind „o mulţime
de cărămizi"? Încearcă să răspunzi la această întrebare, apoi lămureşte-mă şi pe
mine: ce-i lipseşte unei mulţimi de cărămizi pentru a fi o casă?

1.19. Tot pe când eram copil, a trebuit, la un moment dat, să mă ataşez de o
echipă de fotbal, pentru că fiecare dintre prietenii mei avea câte o preferinţă de
acest gen. O întrebare la modă pe vremea aceea era: „Cu cine ţii?" şi trebuia să
răspund cumva, pentru a nu mă face de râs. Aşa că, mă crezi sau nu, am hotărât ca
prima echipă care o să-mi vină în minte să devină favorita mea. Am tras aer în piept,
m-am concentrat, şi primul nume care mi-a apărut a fost CAMPIONII. Şi aşa a rămas
de atunci. Mai târziu, după ce am început să merg la şcoală, stând într-o seară în
faţa televizorului şi urmărind evoluţia echipei mele favorite, m-am gândit la ea ca la
o mulţime de jucători. Mi-am spus că cei 11 din teren formează o mulţime şi că
această mulţime se numeşte CAMPIONII. Dar nu a trecut multă vreme şi mi-am pus
o întrebare foarte grea. Anume: echipa CAMPIONII, cea din clipa raţionamentului
meu, era cu totul alta decât cea care fusese cu zece ani în urmă, pentru că mulţi
dintre vechii jucători plecaseră, iar alţii îşi încheiaseră cariera. Prin urmare, mulţimea

5

celor 11 jucători de azi nu mai este aceeaşi cu mulţimea celor 11 jucători de acum
10 ani. Ele sunt mulţimi diferite. În cazul acesta, mă întrebam eu, cum pot să le
numesc pe amândouă CAMPIONII? Fiind diferite, trebuie să poarte nume diferite.
Numai că, dacă le dau nume diferite, înseamnă că una dintre ele - cea de azi sau
cea de acum zece ani - ar trebui să nu mai poarte numele CAMPIONII! Ce părere ai?

1.20. Roagă zece persoane să aleagă una dintre literele a, b, c, d, e. După aceea,
formează mulţimea literelor alese. Câte elemente crezi că va avea mulţimea pe care
ai obţinut-o?

1.21. Formează mulţimea literelor cuvântului „element” și pe cea a cuvântului
„mulțime”. Observă că deși cuvintele „element” și „mulțime” au același număr de
litere, cele două mulțimi nu au același număr de elemente.

1.22. Când l-am rugat pe unul dintre amicii mei să formeze mulţimea literelor
cuvântului “caiac", el a scris {c, a, i, a, c}. Degeaba m-am străduit eu să-i explic că ar
fi fost corect să scrie {c, a, i}, pentru că nu are sens să scrii de două ori aceeaşi literă.
El zicea aşa: "dacă mă pui să pronunţ pe litere "caiac", o să zic c, a, i, a şi c, nu o să
zic doar c, a şi i. Atunci de ce să scriu {c, a, i}? Scriu {c, a, i, a, c}, exact aşa cum
pronunţ". Ce argumente i-ai aduce amicului meu pentru a-l convinge că greşeşte şi
că este corect să scrie fiecare element al unei mulţimi o singură dată?

1.23. Până la urmă, amicul meu a priceput că scrierea {a, b, b} nu are sens şi că este
corect să scriem fiecare element al unei mulţimi o singură dată. Numai că, fiind un
individ care caută mereu să găsească erori în raţionamentele celorlalţi, mi-a pus o
problemă care lui i se părea încuietoare: „Gândeşte-te la mulţimea aceea formată
din două mere şi o portocală despre care vorbeai la 1.3. Dacă îmi ceri să o descriu
punând elementele sale între acolade, ar trebui să scriu {măr, măr, portocală}. Însă
această scriere nu ar avea sens, pentru că nu e corect să scriu elementul „măr” de
două ori. Corect ar fi {măr, portocală}. Şi totuşi, pe masă se află două mere şi o
portocală!” Cum i-ai fi replicat amicului meu?

1.24. Am rugat doi amici să se gândească la câte două numere şi să le scrie pe
hârtie. Coincidenţă sau nu, unul a scris 2, 3, iar celălalt a scris 3, 2. Este clar că
amicii mei s-au gândit la aceleaşi numere. Întrebarea este: s-au gândit ei şi la
aceeaşi mulţime de numere?

1.25. Desemnează {a, b, c} şi {c, a, b} mulţimi diferite?

6

1.26. Numărul elementelor unei mulțimi este mai mic cu 20 decât numărul literelor
alfabetului aflate înaintea literei care reprezintă numele mulțimii. Câte elemente are
mulțimea?

1.27. Gândește-te la două mulțimi A și B cu cel puțin trei elemente. Care dintre

următoarele situații sunt posibile?

a) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu un element mai
mult decât A

b) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu două elemente
mai mult decât A

c) Oricum am muta două elemente din A în B, B va avea cu trei elemente mai
mult decât A

1.28. Generalizează problema anterioară.

1.29. Când aveam vreo 15 ani, am reuşit să mă calific la faza pe ţară a olimpiadei
de matematică. Mândru nevoie mare, mă pregăteam să plec spre Timişoara, locul în
care urma să se desfăşoare concursul. Nu mai văzusem până atunci oraşul de pe
Bega, aşa că m-am bucurat foarte mult când tata a adus vorba de unul din verii mei
mai îndepărtaţi, timişorean get-beget, care ar fi putut să-mi fie ghid. Mama a vorbit
cu părinţii lui la telefon şi a aranjat lucrurile. Eu nu trebuia decât să le fac o vizită, să
stau la o dulceaţă de vişine, apoi vărul meu ar fi urmat să mă ducă la o plimbare
prin oraş. Singura problemă era că nu cunoşteam drumul, iar de la liceul unde se
ţinea olimpiada şi până la blocul unde locuiau rudele mele, trebuia să merg vreo
zece minute pe jos. Mama, care cunoştea bine Timişoara, a găsit rapid soluţia: mi-a
desenat o schemă salvatoare, pe care parcă o văd şi acum:

LICEU STADION

BLOC

PIAȚĂ
ĂĂ

MUZEU

Această schemă mi-a fost tare utilă. Chiar dacă muzeul nu era un dreptunghi, chiar

7

dacă străzile nu erau drepte, desenul mamei m-a ajutat să ajung la destinaţie. Au
existat, bineînţeles, şi câteva comentarii ulterioare, tata spunând pe un anumit ton
că s-ar fi cuvenit ca vărul meu „să vină el" la liceu după mine. Dar totul a trecut şi
am rămas cu amintiri frumoase despre Timişoara. Dacă aş fi luat şi primul loc la
olimpiadă, bucuria ar fi fost totală. În drum spre casă, mă tot gândeam cât este de
eficientă o schemă ca cea pe care mi-o desenase mama. Ml-am dat seama, cu acea
ocazie, că toţi avem tendinţa de a simplifica lucrurile şi de a schematiza, mai ales
atunci când trebuie să explicăm celorlalţi câte ceva. Mă gândeam că dacă va fi
vreodată să merg la Paris şi voi întreba pe cineva cum se ajunge la muzeul Louvre,
dacă acela s-ar hotărî să-mi facă o schemă, pentru străzi ar folosi tot linii drepte şi
săgeţi, iar pentru muzeu tot un dreptunghi, exact cum a făcut mama când am
plecat la Timişoara. Tot aşa, îmi spuneam, stau lucrurile şi cu mulţimile, care pot fi
reprezentate schematic prin linii închise, de tipul:

Oricine spune "mulţime", se gândeşte la o alăturare de obiecte şi consideră natural
să o reprezinte ca în desenul meu, indiferent dacă e vorba de o mulţime de fructe
sau de o mulţime de tablouri. În plus, uneori, desenele sunt haşurate, în ideea că
aşa este mai bine sugerat faptul că e vorba despre obiecte, care ocupă un loc clar
precizat. În unele situaţii, in care mulţimile au un număr mic de elemente, se pot
folosi desene de tipul următor:

A .A

a. a
b. c.
b.
c.

Care dintre următoarele desene ţi se par potrivite pentru a indica o mulţime?

8

1.30. Desenele care reprezintă mulţimi se vor numi, de aici înainte, diagrame.
Denumirea completă este „diagrame Venn”, după numele celui care le-a folosit
prima dată. De cele mai multe ori, vom renunţa la haşuri, în schimb vom scrie
„numele” mulţimilor pe care le reprezentăm. lată două moduri diferite de a face
acest lucru:

AA

Priveşte diagramele de mai jos şi spune dacă se poate trage concluzia că mulţimea
A are mai puţine elemente decât mulţimea B.

AA

1.31. Dacă, totuşi, ai vrea neapărat să găseşti o metodă pentru a pune în
evidenţă, prin diagrame, deosebirea dintre mulţimile cu numere diferite de
elemente, cum ai proceda?
1.32. O echipă de fotbal este o mulţime de jucători. Divizia este o mulţime
de echipe, deci o mulţime de mulţimi. Poţi găsi un exemplu de mulţime de
mulţimi de mulţimi?

1.33. Dacă mulţimea A are printre elementele sale pe a, vom spune că a
aparţine lui A. Vom scrie a∈A. In caz contrar, vom scrie a∉A. Dacă îţi dau un
element a, poţi găsi o mulţime A astfel încât a∈A? Atenţie, a poate să fie

orice, inclusiv un elefant!

9

1.34. Când am văzut pentru prima dată semnul „∈” şi am aflat că se citeşte
„aparţine”, m-am dus cu gândul la diverse situaţii din viaţa de toate zilele în
care folosim acest cuvânt. Oare întotdeauna putem scrie „∈” în loc de
„aparţine”? Spunem, de exemplu, că „România aparţine Europei”. Este corect
să scriem „România∈Europa”? Dar dacă ne gândim la un împărat care spune:
„acest castel îmi aparţine”, crezi că ar fi potrivit să scriem „castel∈împărat”?

1.35. Construieşte trei mulţimi diferite în care să se găsească orice animal cu
blană.

1.36. Dacă A este una dintre mulţimile pe care le-ai imaginat la problema

precedentă iar F este o familie de vulpi polare – vulpea, vulpoiul şi puiul lor,

este corectă scrierea F∈A?

1.37. Dacă îţi indic o existență a, poţi găsi o mulţime A, astfel încât a∉A?

1.38. Mă gândeam, într-o zi, la spectacolul tribunelor. Ce culori, ce sunete,
ce mişcări! Cine ar putea să uite, de exemplu, chipurile suporterilor vopsite
în roşu, galben şi albastru? Cel care studiază cu atenţie galeria, poate să
observe fel de fel de tipuri de spectatori, fel de fel de stiluri de

îmbrăcăminte, de gesturi, de mişcări. Să facem nişte notaţii. A să fie
mulţimea spectatorilor cu şapcă roşie, B a celor cu şapcă, C a purtătorilor de
tricou cu „HAI ROMÂNIA!”, D să fie mulţimea celor cu tricou, E a celor cu
tricou şi şapcă roşie, F a spectatorilor care cântă fals, G a celor cu şapcă

roşie şi care cântă fals. Eu, personal, la meciuri mă duc cu un tricou pe care
scrie „NU TRAGEŢI ÎN ARBITRU", cu o şapcă albastră şi cu pantaloni scurţi.
Din păcate, nu prea am voce. Care sunt, dintre mulţimile descrise mai sus,
cele cărora le aparţin eu?

1.39. Care dintre următoarele afirmaţii sunt adevărate?
a) a∈a
b) {a}∈{a, b}
c) {a}∈{a}
d) a∉{a}
e) {a}∉a

1.40. Dacă îţi pun la dispoziţie o existență, poţi construi, cu ajutorul ei, mai
multe mulţimi diferite?

10

1.41. Dacă A este o mulţime oarecare, este adevărat că A∈A?

1.42. Într-o dimineaţă însorită, mi-a venit poftă de mers pe jos până la
şcoală. Eram tânăr profesor de matematică şi prima oră o aveam la o clasă
căreia îi anunţasem un mic test cu tema „mulţimi”. Şcoala nu era tocmai
aproape – aveam vreo trei sferturi de oră de mers. Ca să fiu sigur că nu
întârzii, am plecat cu o oră mai devreme şi, pe drum, m-am tot gândit la
testul cu mulţimi. Făcusem de acasă subiectele, dar parcă lipsea ceva. Şi, ce
să vezi, exact când am trecut pe lângă piaţă, am înţeles: lipsea o problemă cu
caracter practic. Cred că mi-am dat seama de lucrul ăsta pentru că mi-a
atras atenţia felul în care erau organizaţi producătorii care vindeau legume şi
fructe. Fiecare tarabă avea cel mult trei tipuri de produse, dar destui erau cei
care se profilaseră pe câte un singur sortiment. Roşiile, de exemplu, erau
aşezate pe trei - patru categorii, cu preţuri diferite. M-am apucat să identific,
în plimbarea pe care o făceam, cât mai multe tipuri de mulţimi. Aşa că, întâi
de toate, m-am gândit la mulţimea tarabelor, pe care am botezat-o T.
Mulţimii vânzătorilor i-am zis V. Am numit L mulţimea lădiţelor. Când am
ajuns la mulţimea legumelor, am fost nevoit să o numesc cu altă literă decât
L, aşa că i-am zis R (poate pentru că erau foarte multe roşii expuse). Până la
urmă, am ajuns în faţa unei tarabe care mi-a plăcut atât de mult, încât m-am
hotărât ca după ce termin orele, să vin iarăşi la piaţă şi să cumpăr ceea ce
aveam nevoie de la acea tarabă, pe care am numit-o T1. Dintr-o lădiţă, pe
care nu m-am putut abţine de la a o boteza l1, îmi făceau cu ochiul cele mai
frumoase roşii pe care le văzusem în toată piaţa. Nu ştiu de ce, dar una
dintre acele roşii era atât de apetisantă, încât am cumparat-o si m-am apucat
să o mănânc pe ca pe un măr. I-am zis r1.
Mergând către casă, mă tot gândeam la relaţiile de apartenenţă care s-ar
putea stabili între elementele şi mulţimile pe care le identificasem eu şi
cărora le dădusem şi nume. Care dintre următoarele relaţii sunt adevărate?

a) r1∈R
b) r1∈L
c) r1∈l1
d) T1∈T
e) R∉L
f) L∉T
g) T1∉R
h) L∈V

11

1.43. Mă mai gândeam la ceva, legat de mulţimile pe care le-am analizat la
piaţă. Dacă formez mulţimea H= {h, L}, poate fi adevărată relaţia r1∈H?

1.44. Tot în legătură cu r1, mi-am pus următoarea întrebare: ce se întâmplă
cu relaţia r1∈R după ce am mâncat roşia respectivă? Până să o scot din lădiţa
ei și să mușc din ea, relaţia era evidentă. După aceea, însă, în mâna mea nu
se mai află r1, ci o roșie incompletă, ca să zic așa. Ce s-a întâmplat cu relația
r1∈R? Dar mai târziu, după ce r1 nici măcar nu mai există, pentru că am
mâncat-o, ce sens mai are r1∈R?

1.45. Este posibil ca o existență să fie simultan şi element şi mulţime?

1.46. Există vreo diferență între mulțimea A și mulțimea elementelor
mulțimii A?

1.47. Dacă a∈A şi A∈ , este adevărat că a∉ ?

1.48. Stând de vorbă într-o zi cu un amic, mi-a atras atenţia asupra unui
amănunt: dacă spui „primul președinte de culoare al SUA” sau spui Barack
Obama, te-ai referit, fără niciun fel de îndoială, la aceeaşi persoană. Ceva
asemănător se poate întâmpla, zicea el, şi în legătură cu mulţimile: vorbind

despre A şi B, pe care le consideri diferite, s-ar putea să ai surpriza să

constaţi că, de fapt, te-ai referit la una şi aceeaşi mulţime. Ai putea găsi un
astfel de exemplu?

1.49. „CAMPIONII de ieri" şi „CAMPIONII de azi”, despre care am vorbit la
1.19, reprezintă o ilustrare pentru problema anterioară? Mai precis, când
spunem „CAMPIONII de ieri” sau „CAMPIONII de azi”, ne referim, de fapt, la
aceeaşi mulţime, numită CAMPIONII?

1.50. Așa cum ai observat, pe fiecare dintre paginile acestei cărți, cu
excepția celei pe care tocmai o citești, se află câte patru cercuri, cu interiorul
colorat în roșu, galben, verde sau albastru. Desigur, rolul lor este de a
înfrumuseța paginile. Dar nu numai atât. Ele au fost puse acolo pe baza unui
cod secret, pe care vreau să te rog să-l găsești. Dacă reușești, o să fii în
stare să desenezi cercurile lipsă de pe această pagină. Mult succes!

12

Înainte de a trece la capitolul de răspunsuri, îți ofer posibilitatea de a-ți
verifica forțele cu un număr de zece probleme despre mulțimi concrete.
Unele sunt foarte simple, la altele este necesară o concentrare mai serioasă.
Toate, însă, te vor ajuta să înțelegi mai bine cele câteva noțiuni pe care le-am
introdus în acest prim volum din seria „Mulțimi” și de care vei avea nevoie în

situația în care vei dori să mergi mai departe cu studiul. Aceste zece
probleme nu sunt rezolvate aici. După ce vor apărea toate volumele seriei –

fiecare dintre ele conținând, de asemenea, un anumit număr de probleme
nerezolvate, îți voi pune la dispoziție un volum cu toate aceste probleme și

rezolvările lor.

ZECE PROBLEME DE ANTRENAMENT

1. Care dintre următoarele mulțimi are mai multe elemente?
a. {2, 4, 6, 8, . ..., 888} sau {1, 3, 5, 7, . ..., 887}
b. {1, 2, 4, 8, . ..., 8388608} sau {1, 2, 3, 4, 5, 6, . ..., 23}
c. Mulțimea firelor de nisip din deșertul Sahara sau mulțimea tuturor

numerelor cu un milion de cifre?
d. Mulțimea punctelor unui segment cu lungimea de un centimetru sau

mulțimea punctelor unui segment cu lungimea de doi centimetri.

2. Care dintre următoarele afirmații sunt sunt adevarate?
a. 18∈{2, 4, 6, 8, . ..., 888}
b. 1000∈{5, 10, 15, 20, . ...., 5055}
c. 11111111∈{11, 22, 33, 44, . ... , 12222221}
d. 486∈{8, 14, 20, 26, . .............. , 608}
e. 651∈{1, 3, 7, 13, 21, . ............., 10101}

3. Considerăm mulțimea A={1}. Poți s-o descrii în 100 de moduri diferite?

4. In care dintre următoarele situații reprezintă A și B aceeași mulțime?
a. A este mulțimea triunghiurilor cu toate laturile egale și B este mulțimea

triunghiurilor cu toate unghiurile egale.

13

b. A este mulțimea numerelor naturale pare mai mari decât 2 și mai mici
decât 6, iar B este mulțimea numerelor naturale mai mari ca 3 și mai

mici decât 5.

c. A este mulțimea {1, 2} și B este mulțimea soluțiilor ecuației x3-6x2

+11x -6=0

d. A este mulțimea numerelor divizibile cu 3 și B este mulțimea

numerelor naturale cu proprietatea că suma cifrelor lor este un
multiplu al lui trei.

e. A este mulțimea planetelor sistemului solar și B este mulțimea de

planete: {Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus,
Neptun}

5. Dacă ordinea în care sunt scrise elementele unei mulțimi ar avea
importanță, atunci mulțimile {1, 2} și {2, 1} ar fi diferite. Câte mulțimi
diferite cu elementele a, b, c și d ar exista în această situație?

6. Câte elemente are mulțimea {{{1, 2}, 1}, {2, {1, 2}}, {{1}}, {{2}, 2}}}?

7. Considerăm mulțimile A={a, b} și B={c, d, e}. Ne propunem să
construim o a treia mulțime, C={f, g}, care conține un element din A și
un element din B. În câte feluri putem face acest lucru?

8. Generalizează problema anterioară.

9. Considerăm mulțimile A={a1, a2,..., a10} și B={b1, b2,...., b10}, astfel
încât niciunul dintre elementele lui A nu se găsește printre elementele
lui B și reciproc, niciunul dintre elementele lui B nu se găsește printre
elementele lui A. Se iau la întâmplare n elemente din A și se duc în B, n
fiind un număr natural cuprins între 1 și 10. Se iau apoi la întâmplare n
elemente din mulțimea B (care are acum 10+n elemente) și se duc în A.
În acest moment, A și B au din nou câte zece elemente, dar ele nu sunt
neapărat cele dinainte. Întrebarea este următoarea: după încheierea
acestor „transferuri”, în care dintre cele două mulțimi se vor găsi mai
multe elemente ale celeilalte?

10. Generalizează problema anterioară.

14

RĂSPUNSURI, DISCUȚII, REZOLVĂRI

1.1 Întrebarea se poate formula, în termeni matematici, astfel: există un
număr n cu proprietatea că n spectatori sunt puțini și n+1 spectatori sunt
mulți? Un răspuns se poate da numai dacă au fost precizate condiții
suplimentare. Spre exemplu, să ne gândim la o sală de cinematograf, unde
există 100 de scaune și funcționează o regulă foarte strictă: nimeni nu are
voie să intre acolo dacă nu mai sunt scaune libere. Este clar ca 101 oameni
care vin sa vadă filmul, sunt mulți. Dacă însă vin 99, ei sunt puțini. Iar dacă
vin exact 100, am putea spune că nu sunt nici mulți, nici puțini. Dar să ne
imaginăm că acești oameni se află în inima deșertului Sahara. Mai poate
cineva să afirme că 101 sunt mulți și 99 sunt puțini? Presupun că niciun om
de bună-credință n-ar susține așa ceva.
Raportat la capacitatea stadionului, am putea, eventual, să găsim un număr
cu proprietatea căutată. Dar el și-ar pierde această proprietate când ne vom
raporta la întreaga populație a globului.
Ceea ce ne interesează este găsirea unui prag care diferențiază multul de
puțin atunci când nu suntem constrânși de nicio condiție suplimentară. Am
vrea să găsim un număr n în legătură cu care să putem afirma că reprezintă
un număr mic și că succesorul lui, n+1, este un număr mare. Am mai fi
interesați să găsim un număr x despre care să putem spune că un om care
măsoară x centimetri este înalt, în vreme ce altul, care măsoară x-1
centimetri este scund. Dar oricât ne-am strădui, nu vom izbuti să găsim
astfel de numere.
Problema este cunoscută încă din secolul IV înaintea lui Cristos, când a fost
formulată de către Eubulides din Milet, evident într-o altă formă. Filosoful
pleca de la următoarea ipoteză, al cărei adevăr nu poate fi contestat de
nimeni: dacă dintr-o grămadă de nisip înlături un singur fir, ceea ce rămâne
este tot o grămadă de nisip. Să presupunem, a zis Eubulides, că avem o
grămadă conținând un număr n de fire de nisip. Eliminând un fir, rămâne,
conform ipotezei, tot o grămadă. Aceasta va avea n-1 fire de nisip. Mai
eliminăm un fir și obținem din nou o grămadă, care va avea n-2 fire de nisip.
Continuând să eliminăm câte un fir, vom obține grămezi din ce în ce mai
mici, care vor avea n-3, n-4, n-5..... fire de nisip. Dar este evident că la un
moment dat vom ajunge la o grămadă cu doar două fire de nisip. Ce ne
facem? a întrebat Eubulides. Niciun om de pe lume nu o să pretindă că două
fire de nisip formează o grămadă!
Întreaga chestiune a primit numele de „paradoxul grămezii” și a devenit o

15

importantă temă de dezbatere pentru matematicieni, lingviști, logicieni și
filosofi. Au fost gândite mai multe variante de soluționare. Cea mai directă
propunea să facem o convenție, prin care să stabilim, de exemplu, că 500
este linia de demarcație dintre grămadă și non-grămadă. Acceptând această
soluție, am fi practic de acord să spunem că 499 de fire de nisip nu formează
o grămadă, dar 500 formează. Numai că această linie de demarcație trebuie
făcută în mod diferit, pentru foarte multe cazuri diferite. Să ne gândim, spre
exemplu, la oamenii cu chelie. Câte fire de păr ar trebui să aibă un om ca să
nu fie chel? Evident, nu putem utiliza și în acest caz numărul 500, ca în cazul
cazul grămezii de nisip. Ori noi căutăm un număr care să funcționeze ca linie
de demarcație și când vorbim de firele de nisip dintr-o grămadă, și când
discutăm de spectatorii unui meci de fotbal. Devine destul de clar că un
asemenea număr este foarte dificil de găsit.
Dar să presupunem că în urma unei decizii unanime a tuturor cercetătorilor
acestei chestiuni și după ce peste 50% din populația globului a răspuns cu
DA la un referendum pe această temă, a intrat in vigoare următoarea regulă:
indiferent de natura obiectelor la care se face referire, 999.999 dintre ele
sunt puține iar 1.000.000 dintre ele sunt multe. Una dintre consecințele
acestei hotărâri ar fi că niciun om de pe planetă n-ar mai putea să spună că
are multe fire de păr pe cap. Asta pentru că numărul firelor de păr nu trece,
în general, de 160.000. Astfel de exemple se pot găsi indiferent ce valoare ar
fi adoptată pentru numărul care să facă trecerea de la puțin la mult. Ne
vedem nevoiți să abandonăm această soluție.
A apărut, la un moment dat, ideea de a se accepta că niște obiecte au
calitatea de a fi multe atunci când există un grup de persoane care consideră
acest lucru. Spre exemplu, locuitorii cu venituri peste medie ai unui oraș ar
putea fi de acord că numărul taxelor și impozitelor locale nu este mare. În
același timp însă, locuitorii cu venituri mici ar putea considera că au de plătit
prea multe taxe și impozite. Această abordare are și ea destule neajunsuri. E
suficient să ne gândim la niște elevi aflați într-o excursie și care trec pe
lângă o tabără de sculptură în aer liber. Cu toții sunt de acord că acolo erau
multe statui, dar niciunul nu le-a numărat. Ei sună acasă și le povestesc
părinților ce-au văzut. Dar este foarte posibil ca părinții să nu înțeleagă
exact despre ce este vorba, ei făcând parte dintr-un alt grup, format din
oameni care, văzând statuile, ar considera că sunt puține.
Toate aceste dificultăți își au cauza, parțial, în imprecizia limbajului. „Mult”,
„mulți”, „multe”, sunt adjective cu o componentă subiectivă, spre deosebire

16

de „negru” sau „colțuros”. Ce e negru pentru un om e negru pentru oricare alt
om, dar ce e mult pentru mine poate fi puțin pentru tine.
Nu s-ar putea face o teorie a mulțimilor dacă în cadrul ei s-ar opera cu astfel
de concepte subiective, sau vagi - cum sunt ele numite în matematică. Altfel,
s-ar ajunge rapid la paradoxuri cum este cel despre care am vorbit.
Soluția convenabilă din punctul de vedere al matematicianului este
următoarea: când spunem „mulțime”, nu trebuie să facem nicio legătură cu
adjectivele „mult, mulți, multe”. Asadar 48.000 de spectatori formează o
mulțime, 5 spectatori formează o mulțime, ba chiar și un singur spectator
formează o mulțime. Sigur că în vorbirea curentă, acest mod de exprimare
nu va fi folosit niciodată. Întotdeauna, atunci când oamenii vor spune „am
văzut acolo o mulțime de lebede”, intenția lor va fi să comunice că au văzut
multe lebede. Nimeni, văzând doi delfini înotând în apropierea țărmului, n-o
să le povestească prietenilor că a văzut „o mulțime de delfini”.
Important de reținut. Substantivul „mulțime” are înțelesuri diferite în vorbirea
comună și în limbajul matematic.

1.2 Este necesar să stabilim cu precizie ce înțelegem prin „sinonimie”.
Întotdeauna, în matematică, este necesară precizarea – sau definirea - foarte
clară a tuturor înțelesurilor.
Definiția sinonimului, aflată în dicționar, este următoarea: „Cuvânt, expresie,
afix etc. care are același (sau aproape același) înțeles cu alt cuvânt, cu altă
expresie, cu alt afix etc.”
Aplicând definiția în cazul nostru, va trebui să vedem care dintre cuvintele
menționate are același (sau aproape același) înțeles cu „mulțime”. Este însă
necesar să știm ce căutăm: cuvinte care au același înțeles cu „mulțime” sau
cuvinte care au aproape același înțeles cu „mulțime”. Fiind vorba de
matematică și nu de poezie, răspunsul este clar: ne interesează cuvintele cu
același înțeles. Se pune, atunci, întrebarea: ce înseamnă că două cuvinte au
același înțeles? Pentru a găsi un răspuns, voi analiza două perechi de cuvinte:
sodiu-natriu și casă-domiciliu.
„Sodiu” și „natriu” sunt, fără îndoială, două cuvinte care au același înțeles
pentru oricine, pe când „casă” și „domiciliu” pot fi percepute în mod diferit.
„Domiciliu” are, de fapt, un înțeles mai larg decît „casă”. Domiciliul unei
persoane se poate afla, spre exemplu, într-o cameră de hotel, sau într-o
celulă de închisoare, iar acestea nu pot fi considerate ”case”. Pe de altă parte,
există substantive compuse în care cuvântul „casă” nu are nimic comun cu

17

„domiciliu”, cum ar fi „casă de bani” sau „registru de casă”.
Vom spune că „sodiu” și „natriu” sunt sinonime perfecte, pe când „casă” și
„domiciliu” sunt sinonime aproximative. Două sinonime perfecte pot fi
înlocuite unul cu celălalt în orice context. Se pune întrebarea dacă printre
cuvintele „grup”, „echipă”, „grămadă”, „orchestră”, „ciorchine”, „adunare”,
„colecţie”, „populaţie”, „listă”, există vreunul care poate fi folosit în locul
cuvântului „mulțime” în orice context.
Răspunsul este evident negativ în ce privește, spre exemplu, substantivul
„orchestră”. Orchestra este o mulțime de instrumentiști, ceea ce înseamnă că
avem de-a face cu un caz particular de mulțime. Asta vrea să spună că orice
orchestră este o mulțime, dar nu orice mulțime este o orchestră. Putem
spune „o mulțime de fluturi”, dar nu „o orchestră de fluturi” – afară de cazul,
repet, în care suntem poeți și ne îngăduim orice fel de exprimare, în așa fel
încât fiecare cititor poate interpreta versurile noastre în felul în care dorește.
Cel mai aproape de sensul lui „mulțime” este „grămadă”. Dar nu putem nici în
acest caz să vorbim despre sinonimie perfectă. Telespectatorii unui meci de
rugby s-ar amuza copios dacă un comentator ar transmite de la fața locului
că, în urma comiterii unei infracțiuni involuntare, jocul este reluat printr-o
„mulțime ordonată”.
Sunt sigur că ai observat ceva destul de ciudat în toate aceste discuții: vrem
să găsim cuvinte care au același înțeles cu „mulțime”, dar n-am stabilit,
înainte de toate, ce înțeles are substantivul „mulțime”. Nu cumva ar fi același
lucru dacă ne-am apuca să căutăm cuvinte care au același înțeles cu
„farticopan”, fără să fi precizat mai întâi ce este acela un farticopan?
Raspunsul este: nu, nu ar fi același lucru. Farticopan este un cuvânt
inexistent în vreun dicționar, de care nu ai auzit decât acum, când citești
pentru întâia oară aceste rânduri, pe când „mulțime” e un cuvânt pe care il
folosește toată lumea și căruia orice om îi atribuie un înțeles, chiar dacă îi
vine greu să-l descrie. Dar încearcă să definești noțiunea de „mulțime” și o
să descoperi rapid că te izbești de dificultăți foarte mari. A defini o noțiune
presupune să faci apel la alte noțiuni, pe care le-ai definit deja. Spre
exemplu, definiția cuvântului „margine” este următoarea: „parte extremă a
unei suprafețe” și ea folosește niște noțiuni pe care deja le cunoaștem –
parte, extremitate, suprafață. În cazul mulțimilor însă, este imposibil de găsit
niște noțiuni cunoscute și clar definite, pe care să le asamblăm pentru a
obține o definiție. Dacă te gândești bine, același lucru se întâmplă și cu
substantivul „grămadă”. Dacă întrebi pe cineva ce este o grămadă, cel mai

18

probabil se gândește să-ți răspundă: „ceva format din mai multe obiecte de
același fel”. Dar „ceva” nu poate fi mulțumitor când vine vorba de o definiție,
așa că oamenii caută să evite acest pronume nehotărât și dau răspunsuri de
genul „o mulțime de obiecte de același fel, aflate în același loc”. Cu alte
cuvinte, o mulțime este o grămadă și o grămadă este o mulțime... Este
evident, așadar, un lucru: chiar dacă mulțime și grămadă ar fi sinonime
perfecte, asta nu ne-ar ajuta să găsim definiția mulțimii. Dacă la întrebarea
„ce este o mulțime?” ți s-ar răspunde „o grămadă”, desigur că ai continua să
întrebi: „dar o grămadă ce este?” și s-ar ajunge într-un cerc vicios.
O dificultate asemănătoare apare în geometrie. Oricine crede că știe ce este
un punct. Dar dacă vrei să afli un răspuns clar, constați că lucrurile nu sunt
deloc simple. O dreaptă, se spune, este o mulțime de puncte, iar punctul
este ceea ce au în comun două drepte care nu sunt paralele... Așadar,
definim dreapta cu ajutorul unei noțiuni pe care încă nu am definit-o. Dacă
vrei să te gândești la astfel de lucruri, s-ar putea să-ți fie de folos, chiar
dacă nu vei rezolva dificultățile despre care am pomenit.
În ce privește definițiile în general, se ivește o problemă foarte serioasă.
Numărul cuvintelor unei limbi este, să zicem, N. Evident că N este foarte
foarte mare și, mai mult, este în creștere continuă, datorită în principal
neologismelor. Dar să ne referim la toate cuvintele limbii engleze aflate în uz
la o dată stabilită de comun acord – să zicem 01.01.2014. Fiecare dintre ele
trebuie să aibă o definiție, și aceasta nu poate fi formulată altfel decât cu
ajutorul celorlalte cuvinte, ceea ce înseamnă că nu putem evita stuațiile de
genul celei de mai sus, când încercam să definim mulțimea cu ajutorul
grămezii și grămada cu ajutorul mulțimii. Poate că acest raționament nu-ți
este chiar limpede așa că o să-l refac pentru un caz particular.
Să admitem că o limbă are doar trei cuvinte: aba, caba și daba. Nu are nicio
importanță ce semnificație au aceste trei cuvinte – ele sunt singurele pe care
le folosește populația unei țări la o dată anume. În acest caz, pentru a defini
cuvântul aba, se pot folosi doar cuvintele caba și daba. Mai departe, pentru a
defini caba, avem la dispoziție doar aba și daba. În sfârșit, definirea lui daba
se poate face doar cu ajutorul cuvintelor aba și caba. E ușor de văzut că până
la urmă ajungem la o situația în care unul măcar dintre cele trei cuvinte este
definit prin el însuși. Dacă acest lucru nu ți se pare evident, poți descrie
toate situațiile:
aba D caba, caba D daba, daba D aba
aba D caba, caba D daba, daba D caba

19

aba D caba și daba, caba D aba, daba D aba și caba
și așa mai departe, unde „aba D caba” se citește: „aba se definește cu
ajutorul lui caba” etc. Nu strică să faci acest exercițiu, pentru că este
important să găsești o ordine atunci când trebuie să enumeri toate cazurile
posibile.
Desigur că aici e vorba de o schemă foarte simplistă, destinată exclusiv
ilustrării unui raționament. În realitate, nu poate exista o limbă cu numai trei
cuvinte. Ele trebuie să fie conectate cu ajutorul altor cuvinte, ca să poată
forma propoziții și fraze. Iar ca societatea care folosește acea limbă să-și
pună problema definirii cuvintelor, trebuie ca ea să se afle la un nivel înalt de
cultură, ori asta presupune ca limba folosită de ea să fie foarte bogată.
Important de reținut. Indiferent cât de multe cuvinte are o limbă, nu pot fi
definite toate altfel decât acceptând situații precum cea a cuvintelor
„mulțime” și „grămadă”, care se definesc – de fapt mai degrabă se descriu –
unul în funcție de celălalt.

1.3 Evident, dacă în vas se vor afla două mere și o portocală, vom vorbi
despre „mulțimea fructelor din vas”, iar dacă înlocuim un măr cu o pipă, vom
avea de-a face cu „mulțimea obiectelor din vas”.
În situația în care am plecat de-acasă luându-mi și pipa, lucrurile se
complică. Într-adevăr, nu mai putem vorbi despre „mulțimea obiectelor din
vas”, pentru simplul motiv că unul dintre ele nu se mai află acolo. Aș putea
rezolva problema vorbind despre „mulțimea formată din fructele aflate în
vasul de pe masă și pipa aflată în buzunarul meu”. O altă variantă ar fi să
vorbesc despre „mulțimea obiectelor aflate în vasul de pe masă înainte de a
pleca de-acasă”, dar asta, cum se va vedea mai târziu, nu este indicat,
pentru că introduce timpul în studiul mulțimilor. Ne putem imagina, însă,
cazuri cu mult mai complexe. De pildă, pun pe masă zece obiecte – fructe,
bani, pipe, manuși etc. Apoi iau pipa și plec la club. Peste un timp, pisica se
suie pe masă și rostogolește un măr care cade pe covor și se ascunde sub
dulap. Spre seară, soția mea pleacă la mall și ia de pe masă mănușile. Cine
poate să găsească un nume pentru ceea ce se numea, la început, „mulțimea
obiectelor de pe masă”? Și, mai ales, la ce ar putea folosi așa ceva?
Pentru un pictor poate avea o foarte mare importanță dacă cele trei mere pe
care vrea să le picteze se află într-un vas de cristal sau într-un coș împletit.
Lui nu îi e totuna dacă vasul se află pe o masă rotundă sau pe una
dreptunghiulară. Și, desigur, pentru el este o diferență ca de la cer la pământ

20

între un vas care conține trei mere roșii și unul în care se află trei mere roșii.
Matematicianul este interesat de relațiile dintre o mulțime și alta, de numărul
obiectelor aflate în mulțimi, precum și, în anumite situații, de relațiile dintre
acele obiecte – lucruri pe care le vom discuta la timpul lor.
Important de reținut. Teoria mulțimilor nu studiază natura obiectelor care
formează mulțimi și nici locul unde se află acele obiecte.

1.4 Am putea nota mulțimea pisicilor cu Pis și pe cea a păsărilor cu Pas.
Asta ar fi o notație care ține seama de natura obiectelor aflate în cele două
mulțimi, pentru că Pis sunt primele trei litere ale cuvântului pisică și Pas

primele trei litere ale cuvântului pasăre. Tot atât de bine le-am putea zice A
și B sau Tom și Woody, ba chiar, dacă ținem să fim excentrici, Romeo și

Julieta. Fiecare e liber să folosească orice fel de notație, însă va trebui să țină
seama de câteva reguli elementare.
În primul rând, o notație trebuie păstrată pe tot parcursul unei discuții. Dacă

ai notat cu K mulțimea meduzelor din marea Adriatică, nu poți să o

denumești în același timp și Med. În al doilea rând, aceeași literă nu poate fi
folosită pentru a desemna două mulțimi diferite. În sfârșit, trebuie știut că în
matematică există anumite convenții pe baza cărora anumite litere sunt
folosite de toată lumea pentru a desemna anumite mulțimi particulare. Spre

exemplu, ℤ se utilizează în mod tradițional pentru mulțimea numerelor

întregi, despre care o să vorbim mai departe. Pentru a nu crea confuzie, este

bine să evităm folosirea lui ℤ când vrem să-i atribuim un nume, să zicem,

mulțimii zgârie-norilor din New York.
În ce-i privește pe cei trei urși, i-am putea nota cu u1, u2 și u3. Acest lucru
este generator de confuzii și vreau să precizez lucrurile cât se poate de clar.
Există o mare deosebire între a denumi trei elemente oarecare dintr-o
mulțime și a alege efectiv trei elemente din acea mulțime. Am subliniat
cuvântul oarecare, pentru că el joacă aici un rol foarte important.
Să ne aducem aminte de legenda biblică a lui Noe, care a construit celebra
lui arcă, în care a suit câte două exemplare (m și f) din toate speciile de
animale de pe pământ, în acest fel ele supraviețuind Potopului. Practic, Noe a
luat două girafe oarecare din mulțimea girafelor, doi jderi oarecare din
mulțimea jderilor și tot așa. El nu s-a dus printre hipopotami să aleagă doi
anumiți dintre ei. A luat doi oarecare, ceea ce vrea să spună că oricare alți
doi hipopotami ar fi fost la fel de buni. Noe nu i-a ales dupa vreun criteriu
(mari, frumoși, sănătoși etc), ci i-a luat cum s-au nimerit. Dacă el ar fi fost

21

un iubitor de hipopotami și ar fi cunoscut multe astfel de animale, poate că
ar fi făcut o alegere, ducând în arcă o anumită pereche de privilegiați. În
lipsa unor informații precise despre relația dintre Noe și hipopotami, vom
considera însă că el a luat două animale oarecare.
Această diferență este esențială atunci când vorbim despre unul, două sau
mai multe elemente oarecare dintr-o mulțime. Să ne gândim la cineva care
n-a înțeles cum lucrează matematica, al cărui nume este Popescu și care are
șapte feline (m și f): Pisi, Miți, Cici, Sisi, Tom, Țic și Maxi. Dacă un profesor
de matematică ar vrea să formuleze o problemă cu pisici pentru elevii lui și,
pentru că e amic cu Popescu, pe care-l cunosc și elevii, ar face referire la
două pisici din mulțimea pisicilor domnului Popescu, e foarte probabil că
domnul Popescu, auzind despre asta, și-ar pune întrebarea: „La care din ele
s-o fi referit profesorul, la Miți și Maxi? Sau, poate, la Cici și Tom?” Numai că
profesorul n-a avut în vedere două feline anumite, ci două oarecare. Pentru
problema pe care le-a dat-o el elevilor lui, n-are nicio importanță dacă cele
două feline sunt Miți și Sisi, Tom și Cici, Tom și Maxi sau oricare altă
combinație. Concluziile problemei pe care el a formulat-o sunt aceleași,
indiferent cum se numesc cele două pisici. Uite cum ar putea să arate
enunțul problemei: „Domnul Popescu are șapte pisici, fete și băieți.
Demonstrați că dacă două dintre ele fug de acasă, printre cele cinci rămase
vom găsi cel puțin un motan”. Ceea ce contează aici este că domnul Popescu
are trei motani și că numărul felinelor care fug de-acasă este 2. Dacă fug
două fete, rămân toți cei trei motani. Dacă fug două feline de sexe diferite,
rămân doi motani. În sfârșit, dacă fug doi motani, unul rămâne cu domnul
Popescu. E absolut clar că nicăieri pe parcursul acestei analize, nu ne-a
interesat numele celor două feline care au disparut de-acasă.
Important de reținut. a) Este necesar ca modul în care notăm mulțimile să fie
controlat. b) Când vorbim de două sau mai multe elemente aflate într-o
mulțime, ele sunt oarecare și nu alese dintre celelalte.

1.5 În ambele cazuri apare o asemănare evidentă: cele două mulțimi au
același număr de elemente. Deosebirea fundamentală este dată de natura
elementelor. În primul caz, elementele uneia dintre mulțimi sunt litere, iar ale
celeilalte sunt simboluri întâlnite, în general, la cărțile de joc. În al doilea caz,
ambele mulțimi conțin atât litere, cât și simboluri. Este irelevant să ne
referim la faptul că una conține doar litere, iar a doua trei simboluri și o
literă. Cu atât mai puțin are vreo însemnătate culoarea simbolurilor. Dar

22

faptul că elementele unei mulțimi pot avea naturi diferite este fundamental în
înțelegerea noțiunii de mulțime. Iată de ce.
Dacă te gândești la modul în care omul a ajuns la ideea de mulțime pare
natural să admiți că totul a plecat de la ideea de asemănare. Imaginează-ți-l
pe omul cavernelor contemplând natura și descoperind că unele lucruri și
unele ființe seamănă între ele, iar altele nu. Cu siguranță că un iguanodon
sau un triceratops nu puteau face astfel de observații, omul însă da. Iată-l
strângând în colțul lui de peșteră oasele animalelor ucise, apoi comparând
grămada lui cu grămada vecinului din celălalt capăt al peșterii. În mintea lui
era clar ce este un os, poate folosea deja un cuvânt, sau măcar un sunet
pentru a-l descrie, dar simțea nevoia unui cuvânt nou, a unui sunet nou, sau
a unei înșiruiri de câteva sunete care să desemneze grămada oaselor.
Negreșit, în acest mod a apărut noțiunea de grămadă: prin descoperirea
faptului că există obiecte asemănătoare. La fel a apărut și ideea de numărare.
Închipuie-ți o poiană pe care se află trei stejari. Oricine trece pe-acolo îi
numără, chiar și inconștient. Dar dacă pe aceeași poiană s-ar mai găsi și
două oi, și o colibă, și o cruce de lemn, și roata unei căruțe, nimeni nu s-ar
apuca să numere toate astea împreună, spunând apoi: „în poiană erau opt
ființe și lucruri”. Ideea de a număra și ideea de mulțime sunt strâns legate de
ideea de lucruri sau ființe de același fel.
Momentul în care omul și-a pus pentru prima dată întrebarea ce s-ar
întâmpla dacă ar trece la numărarea obiectelor care nu sunt de același fel, a
marcat un pas important în dezvoltarea gândirii matematice abstracte. Din
acel moment s-a putut vorbi despre mulțimi ca atare, în absența oricărei
referiri la natura elementelor. Astăzi vorbim despre două tipuri de enunțuri
în problemele cu mulțimi. Primul tip conține doar cuvântul „mulțime” și,
eventual, numărul elementelor ei, al doilea tip vorbește despre mulțimi ale
căror elemente au o anumită natură, precizată. Iată un enunț de primul tip:

„Orice mulțime A cu trei elemente poate fi scrisă în exact trei moduri diferite

ca reuniunea dintre două mulțimi nevide disjuncte”. Nu trebuie să știi ce
înseamnă toți termenii enunțului, trebuie doar să observi că nicăieri nu se

vorbește despre natura elementelor mulțimii A. Poate că elementele lui A

sunt mere, sau puncte, sau scoici – asta nu are niciun fel de importanță: dacă
enunțul este adevărat, atunci el este adevărat în toate cazurile, și dacă

elementele lui A sunt piersici, si dacă sunt cărți de joc.
Uite și un enunț de al doilea tip: „Orice mulțime A de numere naturale are un

cel mai mic element”. Ei bine, aici natura elementelor este importantă. Nu

23

este indiferent dacă elementele lui A sunt numere naturale sau fructe. Dacă

sunt numere naturale, enunțul este adevărat. Dar dacă înlocuim „numere
naturale” cu culori, lucrurile se complică, deoarece nu știm ce ar putea să
însemne că o culoare este mai mică decât alta.
Enunțurile de al doilea tip nu fac, propriu-zis, obiectul teoriei mulțimilor.
Asta din cauză că un enunț despre o mulțime ale cărei elemente au o natură
anume, se poate formula, în general, și în alți termeni decât cei proprii
teoriei mulțimilor. Iată, de exemplu, chiar enunțul de mai sus, în care e vorba
despre elementul cel mai mic al unei mulțimi de numere naturale. El poate fi
formulat foarte bine și astfel: „Oricâte numere naturale am lua în
considerație, printre ele se va găsi unul care este cel mai mic.” Se vede că am
putut formula acest enunț fără să apelăm la noțiunea de „mulțime”. Practic,
un enunț despre o mulțime care are elemente de o anumită natură precizată
(mai pe scurt, o mulțime particulară sau concretă) este un enunț despre acele
elemente și proprietățile lor, nu despre mulțimea care le conține. Există o
diferență foarte mare între a spune ceva despre niște mere și a spune ceva
despre mulțimea acelor mere.

Atunci când întâlnești formulări de genul „fie o mulțime A”, ori „să
considerăm mulțimile A și B”, trebuie să îți fie limpede că nu e vorba de

mulțimi particulare, ci despre mulțimi cu elemente a căror natură nu are nicio
importanță – mulțimi abstracte, mai pe scurt. Când ți se spune că „oricare

două mulțimi A, B și C au cutare proprietate”, înseamnă că în loc de A, B și
C, poți pune ce mulțimi vrei tu. Poți considera că A e o mulțime de
porumbei, B e o mulțime de ochelari și C e o mulțime formată din fulgere și

pantofi. Particularizarea celor trei mulțimi te poate ajuta să înțelegi mai
repede proprietatea din enunț.
Vreau să precizez încă și mai mult aceste lucruri, pentru a evita viitoare
confuzii.
Cineva ar putea pune întrebarea: „cum, un enunț despre mulțimea {1, 3, 5, 7}
nu este un enunț despre mulțimi ?” Răspunsul este: nu, acela nu este un enunț
despre mulțimi, ci un enunț despre o anumită mulțime – exact cum un enunț despre
numărul șapte nu este un enunț despre numere, ci despre un anumit număr. Sau,
dacă vrei, exact cum un enunț despre autorul acestor rânduri nu este un enunț
despre oameni, ci despre un anumit om. Iată alte câteva exemple de enunțuri
(adevărate sau false, poți verifica lucrul acesta) despre mulțimea {1, 3, 5, 7}:
„mulțimea {1, 3, 5, 7} are trei elemente”, „elementele mulțimii {1, 3, 5, 7} sunt

24

numere”, „ieri am visat mulțimea {1, 3, 5, 7}”, „din când în când, pe o tablă dintr-o
sală de clasă oarecare este scrisă mulțimea {1, 3, 5, 7}”, „mulțimea {1, 3, 5, 7} nu
este o pară și nu are patru picioare”, „într-o țară africană trăiește un om căruia îi este
frică de mulțimea {1, 3, 5, 7}”. Toate sunt enunțuri care, din punctul de vedere al
acestei cărți, nu au de-a face cu studiul mulțimilor.
Important de reținut. Două mulțimi pot diferi prin numărul sau natura
elementelor. Vorbim despre mulțimi abstracte și mulțimi particulare
(concrete). Mulțimile particulare ne pot fi de folos atunci când dorim să
exemplificăm anumite enunțuri despre mulțimile abstracte.

1.6 Toate patru sunt potrivite. Prin tradiție, însă, varianta care se folosește

este a treia: A = {a, e, i}

1.7 Soluția constă în folosirea indicilor. O mulțime cu 1000 de elemente va
putea fi scrisă astfel: {a1, a2, a3, a4,.........., a1000}. Se observă două lucruri.
Întâi că pentru a scrie această mulțime cu 1000 de elemente, am folosit chiar
numerele de la 1 până la 1000, sub forma indicilor. A doua observație este
că nu am scris toate cele 1000 de elemente ale mulțimii, cea mai mare parte
a lor fiind înlocuită prin puncte. Acest lucru nu se poate face în orice situație,
ci doar atunci când vorbim despre o mulțime abstractă cu 1000 de elemente,
sau de o mulțime concretă, ale cărei elemente sunt clar precizate. Un
exemplu de mulțime concretă este mulțimea primelor 1000 de numere
naturale. O vom putea scrie astfel: {1, 2, 3, 4, 5, 6, ................., 1000}.
Nimeni nu poate avea vreun dubiu cu privire la numerele care au fost
înlocuite prin puncte: ele sunt 7, 8, 9, 10 etc. Dar să ne închipuim că un
profesor le cere elevilor, la ora de matematică, să se gândească la 100 de
numere naturale și apoi să scrie mulțimea lor pe caiete. Cei mai mulți se
gândesc la primele 100 de numere naturale și scriu {1, 2, 3, ......., 100}. Unii
se gândesc la numerele cu soț și scriu {2, 4, 6, 8, .........., 200}. Alții se
gândesc la numerele dintre 101 și 200, drept pentru care scriu în caietele lor
{101, 102, 103, ......, 200}. Apare însă și un elev care s-a gândit la niște
numere luate la întamplare și scrie {1, 2, 5, 11, 27, 385, ........., 1001}.
Desigur că profesorul va fi nemulțumit: cum poate afla cineva care sunt
numerele care au fost înlocuite prin puncte? Numărul 400 se află printre ele?
Dar numărul 999?
O dificultate legată de înțelegerea modului în care se scriu mulțimile ține de
faptul că prin tradiție se apelează la notația cu ajutorul literelor. Chiar în
textul enunțului despre care discutăm, am afirmat că o mulțime cu trei

25

elemente se poate scrie astfel: {a, b, c}. Dar cineva care analizează lucrurile în
profunzime va spune următoarele: „Asta e o mulțime particulară – mulțimea
primelor trei litere ale alfabetului. Eu vreau să știu cum se notează o mulțime
abstractă cu trei elemente”. Răspunsul este că există o convenție conform
căreia o mulțime abstractă cu trei elemente se scrie sub forma {a, b, c} și că
atunci când dorim să ne referim la mulțimea primelor trei litere ale
alfabetului trebuie să specificăm acest lucru. Cu alte cuvinte, enunțurile vor fi
de două tipuri: cele referitoare la mulțimile abstracte cu trei elemente și cele
referitoare la mulțimea primelor trei litere ale alfabetului. Enunțurile de
primul tip vor arăta cam așa: „Fie {a, b, c} o mulțime cu trei elemente” și
atunci vom accepta că a, b, și c pot desemna orice: numere, puncte, pisici
etc. Enunțurile de al doilea tip vor preciza natura elementelor mulțimii: „Să
considerăm mulțimea {a, b, c} a primelor litere din alfabet”.
Ar mai fi însă și alte posibilități de a face notațiile, în așa fel încât să nu
riscăm nicio confuzie. De exemplu, ar putea fi imaginat un set de simboluri
care să fie folosite întotdeauna atunci când dorim să ne referim la mulțimi

□ oabstracte. Un astfel de set ar putea fi, de exemplu, următorul: l, Λ∆ , ,
□O mulțime cu patru elemente ar putea fi scrisă astfel: {l, Λ∆ } iar una cu

1000 de elemente astfel: {Λ1, Λ2, Λ3, Λ4,.........., Λ1000}

O a doua variantă ar fi următoarea: indiferent de numărul elementelor unei
mulțimi abstracte, acestea vor fi notate folosind indici. Când cineva te va
întreba cum arată o mulțime cu două elemente, nu vei mai scrie {a, b}, ci vei
scrie {a1, a2}. Desigur, poți alege ca în locul lui a să folosești un simbol care
să nu ducă pe nimeni cu gândul la anumite elemente particulare, cum sunt
literele. Această opțiune este de preferat, pentru că în cazul mulțimilor cu un
singur element, nu pare justificat să scrii {a1}, iar {a}, cum spuneam, poate

crea confuzii. Eu aș alege simbolul ∆ și atunci o mulțime cu un element o voi
putea scrie {∆}, una cu trei elemente o voi scrie {∆1, ∆2, ∆3} și așa mai

departe.

1.8 Știm cu toții ce este o ființă, chiar dacă filosofii ne spun că o definiție a
ființei este extrem de dificil de găsit. E limpede că mulțimile nu sunt ființe.
Lucrurile și fenomenele naturii, după cum iarăși stim cu toții, pot fi
cunoscute cu ajutorul simțurilor, dar o mulțime nu poate fi nici văzută, nici
auzită, nici pipăită. O mulțime nu este un lucru și nici un fenomen al naturii.

1.9 E simplu de găsit diferențe între o mulțime și un strănut. Mult mai dificil
este de găsit asemănări între aceste două manifestări. De fapt, tocmai am

26

găsit una: ambele sunt manifestări.

1.10 Aparent, nu poți vorbi despre ceva care să nu fie o existență. Cu toate
acestea, se pot imagina multe non-existențe. Un exemplu ar fi următorul:
„pătratul cu cinci laturi”. Un altul ar fi ”numerele impare cu solzi”.
Posibilitatea acestui tip de construcții mentale conduce la necesitatea de a
stabili niște reguli pe care să le accepte toată lumea atunci când vine vorba
de un anumit domeniu al cunoașterii. Practic, dacă am adoptat acele reguli,
nu mai putem vorbi despre orice vrem. În primul exemplu pe care l-am dat,
am încălcat una dintre aceste reguli: i-am atribuit unui pătrat, care prin
definiție are patru laturi, o proprietate care contrazice definiția respectivă.
Când facem poezie, putem vorbi despre absolut orice ne trece prin minte.
Când facem, însă, matematică, va trebui să acceptăm niste restricții, date de
regulile pe care le-am stabilit pentru ca întreaga construcție să funcționeze.
Dacă am admite că 2+3 fac 5 în zilele ploioase și 4 în cele însorite,
aritmetica ar deveni un tărâm instabil și nu ne-ar putea oferi niciun fel de
rezultate care să poată fi folosite în practică.
Există o distincție între enunțurile care nu pot fi făcute – să le zicem enunțuri
nepermise, și cele false. Îți propun să te gândești la următorul enunț: „Orice
mulțime are printre elementele sale cel puțin un număr sau o literă”. Este
ușor de văzut că acest enunț este fals: există mulțimi ale căror elemente sunt
puncte ale planului. Gândește-te acum la un alt enunț: „În anumite condiții,
anumite mulțimi de copii se transformă în mulțimi de adulți”. Poate că vei
ajunge la concluzia că această afirmație este adevărată: copiii cresc, devin
adulți și atunci o mulțime de copii se transformă într-o mulțime de adulți.
Dar asta este o eroare: mulțimile nu sunt ființe, care să se transforme cu
trecerea timpului (vezi și discuția de la 1.19). Avem de-a face tot cu o
afirmație falsă. Cu totul altfel stau lucrurile cu privire la enunțul: „mulțimile
roșii sunt mai calde decât mulțimile verzi”. Această afirmație nu este nici
adevărată, nici falsă – pur și simplu ea este o afirmație nepermisă.
Important de reținut. Există limite privind libertatea de a folosi cuvintele
atunci când ne mișcăm în cadrul unui anumit domeniu al cunoașterii

1.11 Punctele, triunghiurile ...

1.12 Aici nu te pot ajuta cu nimic, trebuie să te descurci singur

1.13 Amicul se gândea la faptul că de îndată ce i s-ar cere să găsească o
proprietate comună a două existențe – să le numim Existența1 și Existența2,

27

ar considera mulțimea A={Existența1, Existența2}, după care ar oferi
răspunsul: ambele existențe sunt elemente ale mulțimii A.

1.14 Desigur, 7 este mai mare decât 5.

1.15 Se pot găsi foarte multe exemple de diferențe, după următorul model: 7
este element al mulțimii {1, 7}, dar 5 nu este.

1.16 Cu ajutorul mulțimilor, putem găsi câte asemănări dorim, după
următorul model: 5 și 7 sunt elemente ale mulțimii {1, 5, 7}.

1.17 Numerele sunt proprietăți ale mulțimilor. Am putea spune că 7 este
ceea ce face să semene între ele mulțimea de litere {a, b, c, d, e, f, g} și
mulțimea de semne {<, >, ∧, ∨, ≈, ∆, ∇}

1.18 Orice casă construită din cărămizi este o mulțime de cărămizi între care
s-au stabilit anumite legături și alături de care s-au așezat și elementele
altor mulțimi – mulțimea ușilor, mulțimea grinzilor etc. Nu se poate spune,
simplu, că o casă este o mulțime de cărămizi și atât. Și cu atât mai puțin se
poate spune că o mulțime de cărămizi este o casă. Putem afirma că o casă
este o mulțime particulară de obiecte - cărămizi, scânduri etc. Ceea ce-i
lipsește unei mulțimi de cărămizi pentru a fi o casă este în primul rând
ordinea, așezarea cărămizilor după o anumită regulă.

1.19 Am făcut, în enunțul acestei probleme, o afirmație discutabilă:
„mulţimea celor 11 jucători de azi nu mai este aceeaşi cu mulţimea celor 11
jucători de acum 10 ani. Ele sunt mulţimi diferite. (...) Fiind diferite, trebuie
să poarte nume diferite. Numai că, dacă le dau nume diferite, înseamnă că
una dintre ele - cea de azi sau cea de acum zece ani - ar trebui să nu mai
poarte numele CAMPIONII!” Acest raționament ar putea să fie făcut la fel de
bine în cazul oricărei existențe supuse trecerii timpului. Gândește-te la tine
însuți. Tu, cel de azi, nu mai ești același cu tine, cel de acum 10 ani – te-ai
mai înălțat, ți-a apărut o aluniță, poate ai făcut burtă, poate vederea ți-a
slăbit etc. Ar însemna asta că trebuie să-ți schimbi numele? Nicidecum,
schimbările produse nu au afectat esența ființei tale (în ce constă această
esență e greu de spus – filosofii studiază problema de mii de ani).
Există o frumoasă discuție pe astfel de teme, care datează din vremea lui

28

Plutarh (46-125). E vorba despre corabia lui Tezeu – eroul grec care a ucis
Minotaurul, ieșind apoi din labirintul acestuia cu ajutorul celebrului fir al
Ariadnei. După ce Tezeu s-a întors acasă, corabia cu care care călătorise a
rămas în port și, cu timpul, a început să putrezească. Tezeu a cerut să fie
făcute reparații și constructorii au scos, pe rând, scândurile putrezite,
înlocuindu-le cu altele noi. Ce s-a întâmplat cu corabia după ce i-a fost
înlocuită prima scândură? A rămas ea însăși sau nu? Dar după ce i-au fost
înlocuite toate părțile componente putrede? Să ne închipuim apoi că unul
dintre cei care au călătorit cu Tezeu a recuperat piesele înlocuite și a
reconstruit corabia, folosind, desigur, și piese noi. Se pune întrebarea: care
dintre cele două poate fi considerată adevărata corabie a lui Tezeu?
Un răspuns simplu ar fi că exită o esență a corabiei care nu poate fi alterată
chiar dacă absolut toate părțile ei componente sunt înlocuite una după alta.
În ce privește o echipă de fotbal, lucrurile stau la fel. Numele ei este același
chiar dacă un jucător a fost transferat și chiar dacă toți jucătorii sunt
înlocuiți. Am putea spune că există o esență a fiecărei echipe de fotbal, pe
care însă n-o putem preciza și care nu este alterată de nicio modificare a
componenței ori a conducerii.
Se poate face, în legătură cu aceste probleme, o analiză mai detaliată.
Amintește-ți că am clasificat mulțimile în abstracte și concrete. În cazul
mulțimilor abstracte, nu are nicio importanță natura elementelor, pe când la
mulțimile concrete, natura elementelor este precizată. Când spui „fie A și B
două mulțimi” te referi la mulțimi abstracte. Când zici „fie A mulțimea
personajelor din opera lui Dostoievski și B mulțimea punctelor unui
segment”, te referi la două mulțimi concrete. Printre mulțimile concrete,
există unele ale căror elemente sunt afectate de trecerea timpului – am putea
să le spunem, spre exemplu, mulțimi speciale. Spre exemplu mulțimea
florilor din grădina mea, sau mulțimea norilor de pe cer sunt speciale (oare
mulțimea personajelor din opera lui Dostoievski este si ea specială?). Există
și mulțimi concrete ale căror elemente nu au nicio legătură cu timpul. Spre
exemplu mulțimea {2, 3, 8}. O mulțime de mere galbene și frumoase, pe care
tocmai le-ai cules din livadă se va transforma, la un moment dat, într-o
mulțime de mere putrede. Însă mulțimea {4, 5, 9, 11} va rămâne
neschimbată, indiferent cât timp a trecut sau va trece.
Nu se poate construi o teorie a mulțimilor dacă acceptăm că timpul produce
modificări asupra elementelor. De aceea, am putea stabili că nu lucrăm decât
cu mulțimi ale căror elemente nu au nicio legătură cu timpul. Asta ne-ar

29

conduce, însă, la probleme și mai mari. O teorie a mulțimilor trebuie să fie
valabilă pentru toate mulțimile, indiferent de natura elementelor lor. Și atunci
vom face următoarea convenție: orice afirmație adevărată sau falsă despre
mulțimi este adevărată sau falsă pentru orice fel de mulțimi speciale
existente la un anumit moment de timp. Această convenție ne scutește de
neclarități precum cea legată de echipele de fotbal văzute ca mulțimi de
jucători.
Important de reținut. Mulțimile sunt existențe care nu au legătură cu trecerea
timpului. O afirmație valabilă despre mulțimile abstracte, este valabilă, în
particular, pentru orice mulțime concretă, indiferent de natura elementelor
sale.

1.20 Dacă toate cele zece persoane s-au gândit la aceeași literă, mulțimea
obținută va avea un singur element. Este posibil ca ea să aibă două elemente,
trei, patru sau cinci.

1.21 Mulțimea literelor cuvântului element este {e, l, m, n, t}. Mulțimea
literelor cuvântului mulțime este {m, u, l, ț, i, e}.

1.22 Să ne gândim la o exlamație de uimire, de genul „aaaaaaaaa!”. Acest
cuvânt este scris cu ajutorul unei singure litere – a. Prin urmare, mulțimea
literelor acestui cuvânt este {a} și nu {a, a, a, a, a, a, a, a, a}.

1.23 Într-adevăr, nu scriem {măr, măr, portocală}, din același motiv pentru
care nu scriem {m, m, p, q}. Dar în situația invocată de amicul meu este vorba
despre două mere anumite, cele aflate pe masa mea. Fiind două mere
diferite, ele ar trebui individualizate. Am putea scrie {mărul roșu, mărul
galben, portocala} sau {mărul roșu de 98 de grame, mărul roșu de 102
grame, portocala}.

1.24 Evident, este vorba despre mulțimea {2, 3}

1.25 Ordinea în care scriem elementele unei mulțimi între acolade nu are
niciun fel de importanță.

1.26 Pentru început, va trebui să hotărâm dacă prin cuvântul „alfabet”
înțelegem alfabetul românesc, printre literele căruia se află â, ă, î, ș, ț, sau
alfabetul limbii engleze, format din 26 de litere, care este folosit pretutindeni

30

în lume, în textele și comunicările științifice. Faptul că din enunț lipsește
această informație reprezintă o eroare. Enunțul unei probleme trebuie să fie
clar și asta presupune ca fiecare dintre termenii folosiți să fie la rândul lui
precis definit.
Vom rezolva problema pentru cazul alfabetului limbii engleze, întâi pentru că
problema ar trebui să poată fi înțeleasă și de un american, dar și de un
chinez, apoi pentru că nu este tocmai potrivit să notezi o mulțime cu litera Ț
ori cu Â.
Rezolvarea se face plecând de la analiza câtorva cazuri particulare, lucru care
este indicat în toate situațiile în care nu știi cum să ataci o problemă.
Să notăm cu n numărul elementelor mulțimii. Hai să vedem ce se întâmplă
dacă n=1.
Dacă n=1, înseamnă că mulțimea din problemă are un singur element. Asta
arată că numărul literelor alfabetului aflate înaintea literei care reprezintă
numele mulțimii este 21. De aici, deducem că litera care dă numele mulțimii
este a 22-a literă a alfabetului, adică V.
Să analizăm și cazul n=2.
Dacă n=2, înseamnă că mulțimea din problemă are două elemente. Asta ne
spune că numărul literelor alfabetului aflate înaintea literei care reprezintă
numele mulțimii este 22. De aici, rezultă că litera care dă numele mulțimii
este a 23-a literă a alfabetului, adică W.
Cred că în acest moment e limpede: crescându-l pe n cu o unitate, poziția în
alfabet a literei pe care o căutăm se deplasează la dreapta cu o unitate. Ca să
fie și mai limpede, o să fac un tabel, din analiza căruia se va putea observa
legătura dintre numărul elementelor mulțimii și litera care desemnează
numele ei. Voi întocmi, însă, înaintea acestui tabel, un altul, care pe prima
linie are numerele naturale de la 1 la 26 și pe a doua linie, literele alfabetului.
Vei vedea cât este de util acest lucru.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

AB C D E F G H I J K LM

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
NO P Q R S T U V W X Y Z

(Din motive de spațiu, am „spart” acest tabel în două „bucăți”, ceea ce nu
cred că te poate deranja în vreun fel)

31

n Numele mulțimii
1V
2W
3X
4Y
5Z

Se poate obține și o formulă de calcul pentru numele mulțimii. Pentru asta nu
e nevoie decât de un nou tabel, în care pe a doua coloană vom trece poziția
în alfabet a numelui mulțimii:

n Poziția numelui
1 22=21+1
2 23=21+2
3 24=21+3
4 25=21+4
5 26=21+5

Se observă cu ușurință că formula căutată este: n↦21+n, unde n este

cuprins între 1 și 5.
Important de reținut. Termenii din enunțul unei probleme vor trebui foarte
clar precizați. În rezolvarea unei probleme, studiul câtorva cazuri particulare
poate fi extrem de util. Un tabel poate fi de mare ajutor atunci când se caută
o regulă sau o formulă.

1.27 Prima observație care trebuie făcută este că un element al mulțimii A
poate fi mutat în mulțimea B doar dacă el nu se află deja acolo. Spre
exemplu, dacă A={1, 2} și B={1, 3, 7}, elementul 1 nu poate fi mutat din A în
B, pentru că atunci, în scrierea lui B, 1 ar apărea de două ori.

Să examinăm acum prima întrebare, plecând de la cazul particular în care

mulțimea A are exact trei elemente.
Dacă și B are exact trei elemente, raționăm în felul următor: mutând din A în
B două elemente, în A va rămâne un singur element, iar în B se vor găsi cinci
elemente, deci B va avea mai mult cu patru elemente decât A.
Dacă B are patru elemente, după mutare va avea mai mult cu 5 elemente

32

decât A. Și așa mai departe. Să desenăm un tabel:

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B
după mutare după mutare în plus față de A

33154

34165

35176

36187

..................................................................................................................

Nu-i greu de văzut ce se întâmplă. Pe măsură ce adăugăm linii acestui tabel,

pe ultima coloană vor apărea numere din ce în ce mai mari. Prin urmare,

niciodată B nu va avea cu exact un element mai mult decât A.

Să examinăm atunci situația în care A are patru elemente, iar B are, pe rând

3, 4, 5, 6 etc elemente. Desenăm tabelul corespunzător acestei situații, și

iată ce obținem:

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B
după mutare după mutare în plus față de A

43253

44264

45275

46286

..............................................................................................................

Se observă că nici în această situație nu este posibil ca B să aibă cu un

element mai mult decât A. Dar se mai observă un lucru: primul număr de pe

ultima coloană a scăzut cu o unitate față de primul tabel. Dacă vom întocmi

un nou tabel, acest număr va mai scădea cu o unitate, după care, la

următorul tabel, va deveni egal cu 1, ceea ce arată că răspunsul la întrebare

este afirmativ: da, este posibil ca B să aibă cu un element mai mult decât A.

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B
după mutare după mutare în plus față de A

53352

54363

55374

56385

................................................................................................................

33

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B
după mutare după mutare în plus față de A
6 3
1 5 1

64162

65173

66184

...............................................................................................................

În acest fel am găsit o soluție a problemei: dacă A are 6 elemente și B are

trei elemente, după mutarea a două elemente din A în B, mulțimea B va avea

cu un element mai mult decât A. Iată și un exemplu concret:

A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={7, 8, 9}. Oricare două elemente am muta din A în B,

mulțimea A va rămâne cu patru elemente, iar B va avea cinci elemente.

Am răspuns, așadar, la întrebarea de la primul punct al problemei și putem
trece mai departe. Dar nu ți se pare că ar mai fi de aflat și alte lucruri? Nu-ți

dă ceva ghes să continui cercetarea? Există întrebări care vin cumva de la

sine în momentul în care ai ajuns aici: ce se întâmplă dacă A are 7, 8, 9 etc

elemente? Soluția găsită este, oare, singura? Există, oare, o formulă care să

exprime o relație între numărul elementelor lui A și cel al lui B, astfel încât
condiția căutată să fie îndeplinită? Iată răspunsuri la aceste întrebări.

Dacă A are șapte elemente și B are trei, atunci pe prima poziție din ultima
coloană a tabelului o să apară numărul 0, ceea ce înseamnă că A și B au,

după mutare, același număr de elemente. Dacă A are opt elemente și B are

trei, atunci pe acea poziție o să apară numărul negativ -1 și interpretarea
acestui lucru este simplă: de data aceasta B are cu un element mai puțin

decât B.

Am putea acum să considerăm cazul general în care A are n elemente, unde

n este un număr natural mai mare decât 3. Hai să vedem cum arată tabelul,

pentru acest caz general:

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B

după mutare după mutare în plus față de A

n 3 n-2 5 5-(n-2)

n 4 n-2 6 6-(n-2)

n 5 n-2 7 7-(n-2)

n 6 n-2 8 8-(n-2)

..................................................................................................................

34

După efectuarea scăderilor din utima coloană, tabelul va arăta astfel:

Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Nr. elem. lui A Nr. elem. lui B Câte elem. are B
după mutare după mutare în plus față de A

n 3 n-2 5 7-n

n 4 n-2 6 8-n

n 5 n-2 7 9-n

n 6 n-2 8 10-n

n 7 n-2 9 11-n

n 8 n-2 10 12-n

................................................................................................................

Tot ce avem de făcut este să găsim valorile lui n pentru care pe ultima

coloană a tabelului apare numărul 1 și, pentru fiecare dintre ele, să

identificăm linia pe care este situat acel 1. Pentru n=6, am aflat deja că 1

apare pe prima poziție. Pentru n=7, 1 o să apară pe poziția a doua, pentru

n=8 pe poziția a treia și așa mai departe. Notăm cu m numărul elementelor

lui B și trecem toate acestea într-un tabel, după cum urmează:

m
345678 9
6123456 7
7o123456
8 -1 0 1 2 3 4 5
n 9 -2 -1 0 1 2 3 4
10 -3 -2 -1 0 1 2 3
11 -4 -3 -2 -1 0 1 2
12 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

35

Cum se citește acest tabel (care poate fi extins cu linii și coloane oricât dorim
de mult)? Foarte simplu: pentru o valoare oarecare a lui n (care, să nu uităm,

este numărul elementelor mulțimii A) parcurgem linia lui n până întâlnim

numărul 1. Urcăm apoi pe coloană și găsim valoarea corespunzătoare a lui m

(care e numărul elementelor lui B). Să considerăm, ca exemplu, n=11 (marcat

cu roșu în tabel). Mergem pe linia lui 11 până întâlnim numărul 1 (marcat și

el cu roșu). De acolo urcăm pe coloană și, la numărul elementelor lui B găsim
numărul 8. Interpretarea este următoarea: dacă A are 11 elemente și B are 8
elemente, atunci, oricum am muta două elemente din A în B, mulțimea B va
avea mai mult cu un element decât A.
Deducem de aici și formula care leagă numărul n al alementelor lui A de
numărul m al elementelor lui B, astfel încât să fie îndeplinită condiția din

enunț: n=m+3.
Pentru celelalte două puncte din problemă, raționamentele sunt
asemănătoare și este un exercițiu util să cauți singur rezolvările.

1.28 A generaliza o problemă înseamnă a pleca de la un enunț adevărat care
conține date individuale și a-l transforma intr-un enunț adevărat care
conține date generale. Pentru a înțelege mai bine, îți propun să studiezi
următorul exemplu.
Să se demonstreze că suma oricăror două numere naturale din mulțimea

A={1, 3, 5, 7, 9, 11,......, 99} este un număr natural par.
Demonstrație. Observăm că toate elementele din mulțimea A se obțin prin

adunarea numărului 1 cu un număr par:
1=1+0
3=1+2
5=1+4
7=1+6
.............
99=1+98
Considerăm câteva cazuri particulare:
17+39=1+16+1+38=2+16+38 și e limpede că rezultatul e un număr par,
pentru că suma unor numere pare este pară
29+97=1+28+1+96=2+28+96. Suma acestor trei numere pare este un
număr par.

Devine limpede că orice două numere am alege dintre elementele lui A,

36

suma lor se va scrie ca suma a trei numere pare (dintre care unul va fi
întotdeauna 2) și cu aceasta problema este rezolvată.
Generalizări.

Te întrebi, desigur, de ce în mulțimea A se află doar numerele impare până

la 99. Oare nu s-ar putea merge mai departe? Oare nu am putea considera
toate numerele impare de la 1 până la 91239? Oare raționamentele făcute
anterior n-ar rămâne valabile?
Răspunsul este afirmativ. Putem formula o generalizare a problemei, astfel:

Fie A={1, 3, 5, 7, 9, 11,......,n}, unde n este impar. Să se demonstreze că
suma oricăror două numere din mulțimea A este un număr par.
Te poți întreba, în continuare, ce se întâmplă dacă în mulțimea A nu sunt

neapărat toate numerele impare de la 1 la n. Dacă, de exemplu, l-am elimina

pe 11 din A, concluzia problemei ar rămâne adevărată? Răspunsul este din

nou afirmativ. Putem generaliza problema astfel:

Fie A o mulțime oarecare de numere naturale impare. Să se demonstreze că
suma oricăror două numere din mulțimea A este un număr par.

O altă întrebare pe care ți-o poți pune este următoarea: ce se întâmplă dacă

adun nu două, ci mai multe numere din mulțimea A? Vei observa cu ușurință

că dacă aduni trei numere, rezultatul va fi impar, dar dacă aduni patru
numere, rezultatul va fi par. Ajuns în acest punct, vei constata că dacă aduni

un număr impar de elemente din A, rezultatul va fi impar, iar dacă aduni un

număr par de elemente, rezultatul va fi par. Asta te va conduce la următoarea
generalizare:

Fie A={a1, a2, a3, a4, ......, an} o mulțime oarecare de numere naturale impare

și p un număr par mai mic decât n. Să se demonstreze că suma oricăror p

numere din mulțimea A este un număr par.

Cu toate că acestă generalizare pare, ca să zicem așa, cea mai generală, se
poate merge și mai departe. Întrebarea de la care am putea pleca este
următoarea: oare nu s-ar putea formula o problemă asemănătoare, a cărei

concluzie să fie că suma unor numere din mulțimea A este divizibilă cu 3, cu

4, cu 5 sau cu oricare alt număr natural? Până acum, am obținut numai
rezultate privind divizibilitatea cu doi (asta, înseamnă, în fond, că un număr
este par – el este divizibil cu doi). De ce nu ar exista enunțuri asemănătoare
și pentru divizibilitatea cu alte numere naturale?
Când a fost vorba despre numere divizibilitatea cu doi, am făcut observația

37

că elementele lui A se obțin prin adunarea dintre numărul natural 1 și un

număr divizibil cu 2:
1=1+0
3=1+2
5=1+4
7=1+6
.............
99=1+98
Dacă dorim să ajungem la divizibilitatea cu 3, va trebui să avem de-a face cu
numere care se scriu ca suma dintre 1 și un număr divizibil cu 3:
4=3+1
7=6+1
10=9+1
.............
Forma generală a acestor numere este 3k+1. Asta se vede simplu dacă
scriem numerele sub forma următoare:
4=3+1=3·1+1
7=6+1=3·2+1
10=9+1=3·3+1
13=12+1=3·4+1
..............................
Nu e greu de observat că adunând trei astfel de numere, obținem un număr
divizibil cu trei. Intr-adevăr, 3k+1+3p+1+3q+1=3k+3p+3q+3 și dacă-l
dăm pe 3 factor comun, obținem 3(k+p+q+1), deci un număr divizibil cu 3.
Putem formula următoarea problemă:

Fie A o mulțime formată din cel puțin trei numere naturale de forma 3k+1.
Să se demonstreze că suma oricăror trei numere din mulțimea A este un

număr divizibil cu trei.
Aceasta nu este o generalizare a problemei inițiale, dar reprezintă un pas
către obținerea unei generalizări. Iată cum sună aceasta:

Fie A o mulțime formată din cel puțin n numere naturale de forma nk+1. Să
se demonstreze că suma oricăror n numere din mulțimea A este un număr

divizibil cu n.
Se mai poate face un pas – cel pe care l-ai făcut când te-ai întrebat, în cazul
mulțimii de numere impare, ce se întâmplă dacă aduni nu două, ci mai multe
numere. În cazul numerelor de forma 3k+1, rezultatul rămâne valabil și dacă
adunăm 6 numere, sau 9, sau 12 etc (6, 9, 12, 15 etc sunt multipli de 3).

38

Enunțul problemei va fi următorul:

Fie A o mulțime formată din cel puțin trei numere naturale de forma 3k+1.
Să se demonstreze că suma oricăror p numere din mulțimea A, unde p este

un multiplu de 3, este un număr divizibil cu trei.
Iar în cazul foarte general al mulțimii formate din numere de forma nk+1,
enunțul problemei este următorul:

Fie A o mulțime formată din cel puțin n numere naturale de forma nk+1. Să
se demonstreze că suma oricăror p numere din mulțimea A, unde p este un

multiplu de n, este un număr divizibil cu n.
Te rog să te gândești dacă nu poți generaliza încă și mai mult, considerând
numere de forma nk+p, unde p trebuie să îndeplinească o anuită condiție.
Să încercăm, în continuare, să generalizăm problema 1.27. În enunț avem

de-a face cu două mulțimi A și B, care au cel puțin trei elemente. Motivul
este că atunci când mutăm două elemente din A în B, dorim ca în A să

rămână măcar un element (o mulțime fără niciun element pare ceva destul de
ciudat). Prin urmare, când generalizăm, considerăm două mulțimi cu cel
puțin n elemente și mutăm n-1 elemente. Enunțul problemei generalizate
este următorul:

Fie A și B două mulțimi cu cel puțin n elemente, unde n este mai mare sau
egal cu 3. Care dintre următoarele situații sunt posibile?

a) Oricum am muta n-1 elemente din A în B, B va avea cu un element mai
mult decât A

b) Oricum am muta n-1 elemente din A în B, B va avea cu două elemente
mai mult decât A

c) Oricum am muta n-1 elemente din A în B, B va avea cu trei elemente mai
mult decât A

Apare foarte clar posibilitatea de a formula problema fără subpuncte, astfel:
Fie A și B două mulțimi cu cel puțin n elemente, unde n este mai mare sau
egal cu 3 și fie p un număr natural. Este posibil ca oricum am muta n-1

elemente din A în B, B să aibă cu p elemente mai mult decât A?

În sfârșit, poți să te gândești la un enunț cu privire la mutarea nu a n-1
elemente ci a m elemente, unde m, desigur, va trebui să îndeplinească
anumite condiții.
Generalizările trebuie să fie făcute cu foarte multă atenție, pentru că în
anumite cazuri poți fi indus în eroare. Nu se poate trage întotdeauna o

39

concluzie generală plecând de la unul sau mai multe cazuri particulare. Iată
câteva exemple de generalizări false:
Reamintesc întâi noțiunea de număr prim: un număr natural este prim dacă
nu are niciun alt divizor în afară de 1 și de el însuși. Primele câteva numere
prime sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Numărul 10 nu este prim, pentru că în afară de
1 și de 10 mai are și alți divizori: 2 și 5.
Unele numerele naturale pot fi scrise ca suma dintre două numere prime
diferite. Spre exemplu, 15 = 13+2. Alte numere nu au această proprietate.
Spre exemplu, 11 nu este suma a două prime. Numărul 6 este suma a două
prime (3+3), dar ele nu sunt diferite.
Există o celebră problemă, numită Conjectura lui Goldbach, care afirmă că
orice număr par este suma a două numere prime (egale sau diferite). Deși a
fost enunțată în secolul XVIII, această problemă încă nu a fost rezolvată.
Este interesant de văzut dacă scrierea unor numere naturale ca sumă de
două prime este unică. Să facem niște verificări:
0 nu se poate scrie ca sumă de două prime
1 nu se poate scrie ca sumă de două prime
2 nu se poate scrie ca sumă de două prime
3 nu se poate scrie ca sumă de două prime
4 2+2
5 2+3
6 3+3
7 2+5
8 3+5
9 2+7
10 5+5
11 nu se poate scrie ca sumă de două prime
12 5+7
Să întocmim un tabel:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0000111111 1 0 1

În acest tabel, pe prima linie se află numerele naturale, iar pe a doua, sub
fiecare număr natural, apare numărul modurilor în care el poate fi scris ca
suma a două numere prime.
Observând cea de-a doua linie a tabelului, cineva ar putea face următoarea

40

generalizare: orice număr natural poate fi scris în cel mult un mod ca suma a
două numere prime. Dar această afirmație se dovedește a fi falsă dacă
observăm că 16=3+13 și 16=5+11.
Un alt exemplu de generalizare greșită pleacă de la observația că dacă în
expresia n2+n+41 îi dăm lui n valorile 0, 1, 2, 3, 4 obținem numere prime.
Într-adevăr, 02+0+41=41, 12+1+41=43, 22+2+41=47, 32+3+41=53, iar
42+4+41=61. Numerele 41, 43, 47 și 53 sunt prime, așa că se poate încerca
o generalizare: toate numerele de forma n2+n+1 sunt prime. Dar această
afirmație este falsă. Continuând verificările, se constată că expresia n2+n+1
furnizează numere prime pentru toate valorile lui n până la 39. Pentru n=40,
valoarea expresiei este 1681 și acest număr nu mai este prim, întrucât este
divizibil cu 41.

1.29 Primul. Toate celelalte trei sunt înșelătoare, pentru că te pot face să
crezi că este vorba despre două mulțimi.

1.30 Nu se pot trage concluzii privind numărul elementelor celor două
mulțimi. Rolul diagramelor este să ne ajute în raționamente. De exemplu,

faptul că a∉A se poate reprezenta și ca în primul desen, și ca în al doilea:

.A

a

A

a.

Este evident că dimensiunea diagramei nu are nicio importanță.

1.31 Dacă este vorba despre mulțimi cu un număr mic de elemente, ele se
pot figura sub forma

a · c·

b·

41

și atunci două astfel de mulțimi ar putea fi comparate ușor. Dacă însă cele
două mulțimi au multe elemente, lucrurile se schimbă, întrucât este extrem
de dificil să desenăm diagrame în interiorul cărora figurează, spre exemplu,
zece mii de puncte.
Se pot face diferite convenții, cum ar fi, de exemplu, ca mulțimea cu mai
multe elemente să fie marcată cu un semn distinctiv:

▷

In acest caz, dacă ar fi vorba despre trei mulțimi, ar trebui să desenăm
diagrame de genul următor:

▷ ▷▷

Este clar că pentru mai multe mulțimi ar apărea dificultăți din ce în ce mai
serioase.
O altă posibilitate ar fi să desenăm diagrame de tipul următor:

157

Convenția ar fi ca numărul scris în interiorul diagramei să reprezinte numărul
elementelor mulțimii. Dar să ne închipuim că avem de-a face cu numere
foarte mari. În acest caz, diagramele ar trebui să fie la rândul lor foarte mari,
pentru a putea scrie vizibil, în interiorul lor, aceste numere. În plus, nu
întotdeauna este ușor de văzut care dintre două numere cu foarte multe cifre
este mai mare. Gândește-te, spre exemplu, la cazul în care mulțimea A are
52615853416537531609243156234786868981326789099 elemente, iar
mulțimea B are 52615853416537631609243156234786868981326789099
elemente. Cât timp îți ia să descoperi care dintre ele are mai multe elemente?

1.32 Mulțimea diviziilor

1.33 Dacă A={a}, atunci evident a∈A

1.34 Simbolul „∈” înlocuiește cuvintele „se află printre elementele mulțimii”.
1∈{1, 2} se citește: „1 se află printre elementele mulțimii {1, 2}”. Dar nu vom

42

spune „castelul se află printre elementele împăratului”. Putem scrie

România∈A, unde A este mulțimea țărilor din Europa. Însă nu vom scrie

România∈Europa

1.35 Mulțimea mamiferelor, mulțimea ființelor de pe planetă, mulțimea
animalelor

1.36 Nu. În A se află animale. F nu este un animal.

1.37 Dacă a=1, atunci a∉{2}. Dacă a este orice altceva decât 1, atunci a∉{1}.

1.38 B, D și F

1.39 Singura afirmație adevărată este cea de la ultimul punct.

1.40 Să notăm existența cu a. Construim mulțimile: {a} și {{a}}

1.41 Nu este adevărat. Existența unei mulțimi A cu proprietatea A∈A

conduce la un paradox important, numit Paradoxul lui Russell.

Dacă ar exista mulțimi A cu proprietatea A∈A, am putea vorbi despre două

tipuri diferite de mulțimi: unele care au această proprietate și unele care nu o

au. Să notăm cu mulțimea ale cărei elemente sunt exact mulțimile care nu

au proprietatea respectivă. Cu alte cuvinte, este formată din toate

mulțimile A cu proprietatea că A∉A. Vom cerceta dacă ∈ sau ∉ ,

altă situație nemaifiind posibilă.

Dacă ∉ , atunci este una dintre mulțimile care au proprietatea despre

care vorbim. Dar toate mulțimile care nu au această proprietate se găsesc în

, ceea ce înseamnă că ∈ . Așadar dacă ∉ , atunci ∈ , ceea ce

reprezintă o contradicție. Rămâne că situația în care ∉ este imposibilă,

de unde se trage concluzia că ∈ .

Dar dacă ∈ , atunci nu se află printre mulțimile A cu proprietatea

A∉A. Numai că mulțimea acelor mulțimi A pentru care A∉A este chiar ,

ceea ce arată că ∉ .

În concluzie, dacă ∉ atunci ∈ și dacă ∈ , atunci ∉ , ceea ce

constituie Paradoxul lui Russell.

Știu că este ceva mai dificil de urmărit și de înțeles această argumentație, așa

încât o s-o reiau mai în detaliu.

43

Cazul I - ∉ .
Ce sunt elementele lui ? Mulțimi. Câte sunt ele? Nu știm și nu are nicio

importanță. O să scriu, atunci: = {A1, A2, A3, .....}
Ce știm despre mulțimile A1, A2, A3,.....? Două lucruri:

- A1∉A1, A2∉A2, A3∉A3 și așa mai departe
- A1, A2, A3, .... sunt toate mulțimile cu această proprietate (A∉A)

Atenție, însă: conform ipotezei, ∉ , deci este una dintre mulțimile A cu

proprietatea A∉A.
Ce înseamnă asta? Înseamnă că este una dintre mulțimile A1, A2, A3, .... În
concluzie, = {A1, A2, A3, , .....}. Dar asta înseamnă că ∈ .

Cazul II - ∈

Ca în primul caz, = {A1, A2, A3, .....} și despre mulțimile A1, A2, A3,.... știm

următoarele lucruri:

- A1∉A1, A2∉A2, A3∉A3 și așa mai departe

- este unul dintre elementele lui (din ipoteză)

Așadar = {A1, A2, A3, , .....}

Dar asta arată că trebuie să aibă aceeași proprietate pe care o au toate
elementele lui , adică ∉ .

Apariția acestui paradox demonstrează că nu există mulțimi A cu
proprietatea A∈A.

1.42 a), d), e), f), g) sunt adevărate, celelalte sunt false. Într-adevăr, o roșie
(r1) nu este element al mulțimii lădițelor (L), pentru că o roșie nu este o
lădiță. Prin urmare r1∈L este o afirmație falsă.
Falsă e și afirmația r1∈l1, întrucât r1 este o roșie, iar r1 este o lădiță. Chiar
dacă lădița l1 conține roșii și r1 este una dintre ele, relația r1∈l1 este falsă.
Dacă aș fi definit mulțimea roșiilor din lădița l1 și i-aș fi dar un nume, să
zicem L1, atunci relația r1∈L1 ar fi fost adevărată.
În sfârșit relația L∈V este falsă. Exprimată în cuvinte, ea sună astfel:
„mulțimea legumelor aparține mulțimii vânzătorilor” și probabil că i-ar
induce pe mulți în eroare, făcându-i să creadă că e vorba de o afirmație
adevărată. În teoria mulțimilor, ca L∈V să fie adevărată, ar trebui ca mulțimea
legumelor să fie un vânzător din mulțimea vânzătorilor.

1.43 Da, cu condiția h=r1

44

1.44 Mulțimea R este una specială. În acest caz, vom ține cont de convenția
făcută la 1.19: „orice afirmație adevărată sau falsă despre mulțimi este
adevărată sau falsă pentru orice fel de mulțimi speciale existente la un
anumit moment de timp”.

1.45 Este posibil. Spre exemplu, mulțimea {1} este element al mulțimii {2, {1}}

1.46 Nu este nicio diferență. Totuși, trebuie remarcat că nu se poate vorbi

drespre mulțimea elementelor lui A, înainte de a ști cine este A.

1.47 Nu este adevărat. Spre exemplu, să considerăm mulțimile A={a, b} şi

={a, {a, b}}. Atunci este clar că a∈A, A∈ , și a∈ .

1.48 Să presupunem că familia Ionescu are doi copii, ambii în clasa a șaptea
A. Să mai presupunem că cei doi copii sunt singurii care au câștigat premii la
olimpiadele școlare. Atunci este limpede că mulțimea olimpicilor din clasa a
șaptea A și mulțimea copiilor familiei Ionescu reprezintă una și aceeași
mulțime.

1.49 Nu, nu este o ilustrare potrivită. „CAMPIONII de ieri” și „CAMPIONII de
azi” sunt două mulțimi diferite.

1.50 Dacă privești cu atenție cele unsprezece pagini care conțin câte patru
cercuri, poți face rapid trei observații importante.
Prima observație este că am folosit numai patru culori: roșu, galben, verde și
albastru.
A doua observație este că pe fiecare pagină există exact două cercuri care au
aceeași culoare.
A treia observație este că nu există, printre cele unsprezece pagini, două cu
aceeași colorare a cercurilor.
Concluzia care se trage rapid este că pe pagina 12 ar trebui să fie patru
cercuri colorate în roșu, galben, verde și albastru, dintre care exact două să
aibă aceeași culoare și combinația de culori să nu se regăsească și pe alta
dintre cele unsprezece pagini.
Pentru a te descurca mai rapid, este de folos să construiești un tabel, în care
pe prima coloană va figura numărul paginii și pe a doua vor fi desenate cele
patru cercuri din respectiva pagină. Acest lucru se poate face în foarte multe

45

moduri, pentru că ordinea în care sunt trecute cele patru cercuri pe o linie
corespunzătoare unei pagini nu are importanță. Pentru a face un tabel cu
adevărat folositor este important totuși să respectăm o regulă simplă:
primele două vor fi desenate cele două cercuri de aceeași culoare:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 ?

Nu e greu de observat că perechea de cercuri roșii apare de trei ori (pe liniile
1, 5 și 9), la fel și perechea de cercuri galbene și cea de cercuri verzi. În
schimb, perechea de cercuri albastre apare de numai două ori. Așadar, pe
linia a douăsprezecea ar trebui să desenăm întâi două cercuri albastre.
Celelalte două cercuri pot avea următoarele culori: roșu-verde, roșu-galben,
verde-galben. Dacă ar fi roșu-verde, atunci pe linia 12 am avea culorile
albastru-albastru-roșu-verde, iar această configurație există deja pe linia 8.
Dacă ar fi roșu-galben, am ajunge la configurația de pe linia 4. În concluzie,
pe pagina a douăsprezecea a cărții ar trebui desenate următoarele patru
cercuri:

46

Dacă vrei, te poți opri aici. Dacă însă ți se pare interesant, poți să mergi mai
departe și să cercetezi în câte alte moduri se pot colora cele patru cercuri, în
ipoteza că elimini restricția ca exact două dintre ele să aibă aceeași culoare.
Să admitem că trei dintre cele patru cercuri au aceeași culoare. Găsim 12
configurații posibile, pe care le-am trecut în următorul tabel:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Faptul că sunt exact 12 variante, arată că le-aș fi putut folosi pe ele pentru a
decora paginile cărții și a formula enunțul problemei 1.50, care ar fi devenit,
în acest mod, mai ușor de rezolvat.
Până în acest moment, am descoperit 24 de colorări diferite ale celor patru
cercuri: 12 pentru care exact două cercuri au aceeași culoare și 12 pentru
care trei cercuri au aceeași culoare (te rog să remarci că în acest caz nu mai
este nevoie să folosim cuvântul „exact”). Mai sunt posibile trei situații: cea în
care toate patru cercurile au aceeași culoare, cea în care nu există două
cercuri colorate la fel și cea în care două cercuri au o culoare și celelalte două
altă culoare. În total, alte 11 colorări. Dacă aș fi ales să le folosesc pe ele în
enunțul problemei 1.50, rezolvarea ar fi fost mult mai dificilă. În această
situație, pe a douăsprezecea pagină nu aș mai fi avut ce să desenez și asta

47

n-ar fi fost o dovadă de seriozitate.
Am trecut și aceste colorări într-un tabel - într-o ordine oarecare, nu în
ordinea în care le-am enumerat:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Concluzia finală este că în total există 35 de posibilități de a colora cele
patru cercuri, ceea ce ne permite să formulăm o problemă. O voi formula în
termeni ai teoriei mulțimilor (este de remarcat totuși că, așa cum am spus la
1.5, aceasta nu este o problemă de teoria mulțimilor, ci o problemă despre
elementele unei mulțimi concrete).

Se dau patru cercuri și patru culori diferite. Notăm cu A mulțimea tuturor

colorărilor celor patru cercuri, folosind una sau mai multe dintre cele patru

culori. Câte elemente are A?

Răspunsul l-am aflat deja: 35.
Cine este interesat, poate continua șirul întrebărilor. Ce se întâmplă dacă
folosim numai trei culori? Dar dacă folosim cinci culori? Dar dacă sunt 5
cercuri? Dar, în cazul cel mai general, dacă avem n mulțimi și folosim m
culori? Studiul acestor probleme nu este propriu teoriei mulțimilor, ci unei
alte ramuri a matematicii, numită combinatorică.

48