Modul Logika Matematika

1

Penulis:
Sitti Hadijah, S.Pd,S.Si
Email : [email protected]
Copyright ©2021
Pemerintah Provinsi Jawa Timur
Dinas Pendidikan
Sekolah Menengah Kejuruan Negeri 2 Singosari
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengkopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk
kepentingan komersial tanpa izin tertulis Sekolah Menengah
Kejuruan Negeri 2 Singosari

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas tersusunnya
modul ini, dengan harapan dapat digunakan sebagai modul untuk peserta
didik Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk semua Program Keahlian.

Penerapan kurikulum 2013 mengacu pada paradigma belajar kurikulum
abad 21 menyebabkan terjadinya perubahan, yakni dari pengajaran (teaching)
menjadi belajar (learning), dari pembelajaran yang berpusat kepada guru
(teachers centered) menjadi pembelajaran yang berpusat kepada peserta
didik (student centered), dari pembelajaran pasif (pasive learning) ke cara
belajar peserta didik aktif (active learning) atau Student Active Learning - SAL.

Modul Logika Matematika ini disusun berdasarkan tuntutan paradigma
pengajaran dan pembelajaran kurikulum 2013 diselaraskan berdasarkan
pendekatan model pembelajaran yang sesuai dengan kebutuhan belajar
kurikulum abad 21, yaitu pendekatan model pembelajaran berbasis
peningkatan keterampilan proses sains.

Penyajian modul ini disusun dengan tujuan agar supaya peserta didik
dapat melakukan proses pencarian pengetahuan berkenaan dengan materi
pelajaran melalui berbagai aktivitas proses sains sebagaimana dilakukan oleh
para ilmuwan dalam melakukan eksperimen ilmiah (penerapan scientifik),
dengan demikian peserta didik diarahkan untuk menemukan sendiri berbagai
fakta, membangun konsep, dan nilai-nilai baru secara mandiri.

Penulis menyampaikan terima kasih, sekaligus saran kritik demi
kesempurnaan modul ini dan penghargaan kepada semua pihak yang telah
berperan serta dalam membantu terselesaikannya modul Logika Matematika
ini.

Singosari, 23 September 2021

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................. ii
DAFTAR ISI ................................................................................................. iii
PENDAHULUAN........................................................................................ iv
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL.................................................. v
KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN MATERI

A. KOMPETENSI DASAR PENGETAHUAN ................................. 1
B. KOMPETENSI DASAR KETERAMPILAN ................................ 1
C. INDIKATOR PENCAPAIAN MATERI ........................................ 1
D. TUJUAN PEMBELAJARAN ......................................................... 2
MATERI PEMBELAJARAN
A. PETA KONSEP................................................................................. 3
B. INSPIRASI.......................................................................................... 4
C. PERNYATAAN................................................................................. 5
D. NILAI KEBENARAN DARI SUATU PERNYATAAN ............. 6
E. INGKARAN/NEGASI DARI SUATU PERNYATAAN............ 7
F. KALIMAT TERBUKA ..................................................................... 8
G. KUANTOR UNIVERSIAL............................................................... 9
H. KUANTOR EKSISTENSIAL .......................................................... 10
I. INGKARAN/NEGASI KUANTOR UNIVERSAL

INGKARAN/NEGASI KUANTOR EKSISTENSIAL ................ 11
J. SOAL TANTANGAN ..................................................................... 12
K. TUGAS PROYEK ............................................................................ 15
RANGKUMAN............................................................................................. 16
REFLEKSI DIRI ........................................................................................... 17
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 18

iii

PENDAHULUAN

Modul Logaritma ini berisi 2 (dua) kegiatan belajar meliputi :
Pernyataan (kalimat terbuka) dan kalimat tertutup dan Pernyataan
Berkuantor. Modul ini sebagai dasar agar peserta didik mampu menentukan
masalah kontekstual yang berkaitan dengan Pernyataan (kalimat terbuka) dan
kalimat tertutup dan Pernyataan Berkuantor dan menyelesaikannya.

Hasil yang diharapkan setelah mempelajari modul ini peserta didik mampu
Mengamati : Membaca ekspresi apa yang dimaksud dengan Pernyataan
(kalimat terbuka) dan kalimat tertutup dan Pernyataan Berkuantor
(menumbuhkan sikap mandiri: disiplin
Menanya : Membuat pertanyaan mengenai Pernyataan (kalimat terbuka) dan
kalimat tertutup dan Pernyataan Berkuantor.(menumbuhkan sikap mandiri :
percaya diri)
Mengeksplorasikan: Menentukan unsur-unsur yang terdapat dalam
Pernyataan (kalimat terbuka) dan kalimat tertutup dan Pernyataan
Berkuantor. (menumbuhkan sikap gotong royong:kerja sama)
Mengasosiasikan : Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang
terdapat pada pengertian Pernyataan (kalimat terbuka) dan kalimat tertutup
dan Pernyataan Berkuantor, kemudian menghubungkan unsur-unsur yang
sudah dikategorikan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai pengertian
dan aturan dari Pernyataan (kalimat terbuka) dan kalimat tertutup dan
Pernyataan Berkuantor. (menumbuhkan sikap percaya diri)
Mengomunikasikan : Menyampaikan pengertian, aturan Pernyataan (kalimat
terbuka) dan kalimat tertutup dan Pernyataan Berkuantor dan penerapannya
dalam penyelesaian masalah sederhana yang terkait dengan Pernyataan
(kalimat terbuka) dan kalimat tertutup dan Pernyataan Berkuantor dengan
lisan, dan tulisan. (menumbuhkan sikap percaya diri dan disiplin)

iv

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

1. Pelajari materi terlebih
dahulu

2. Perhatikan batas akhir
pengumpulan soal yang
telah dikerjakan

3. Kerjakan setiap latihan soal
4. Kumpulkan setiap latihan

soal setelah selesai
dikerjakan di
Googleclasroom
5. Rangkum materi dengan
rapi dan lengkap di buku
catatan matematika

v

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR CAPAIAN

A. KOMPETENSI DASAR PENGETAHUAN

3.22 Menganalisis masalah kontekstual yang berkaitan
dengan logika matematika (pernyataan sederhana,
negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk,
negasi pernyataan majemuk dan penarikan
kesimpulan)

B. KOMPETENSI DASAR KETERAMPILAN
4.22 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan logika matematika pernyataan sederhana,
negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk,
negasi pernyataan majemuk dan penarikan
kesimpulan )

C. INDIKATOR PENCAPAIAN
3.22.1 Membandingkan kalimat pernyataan dengan kalimat
terbuka
3.22.2 Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan
berdasarkan fakta pada saat itu (bergantung pada
ruang dan waktu)
3.22.3 Menentukan negasi/ingkaran dari suatu pernyataan
3.22.4 Menganalisis suatu kalimat terbuka dan mengubah
menjadi kalimat yang bernilai Benar
3.22.5 Menganalisis perbedaan kuantor universal dengan
kuantor eksistensial
3.22.6 Menentukan negasi/ingkaran dari kuantor universial
dan kuantor eksistensial

1

D. Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti

proses pembelajaran

aka diharapkan:

1. Melalui video pembelajaran dan diskusi, siswa dapat

membandingkan kalimat pernyataan dan kalimat terbuka

dengan benar.

2. Melalui video pembelajaran dan diskusi , siswa dapat

menentukan negasi / ingkaran dari suatu pernyataan dengan

benar.

3. Melalui video pembelajaran dan diskusi, siswa dapat

menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan

fakta pada saat itu dengan benar.

4. Melalui video pembelajaran dan diskusi , siswa dapat

menentukan mengubah suatu kalimat terbuka menjadi

suatu kalimat yang bernilai benar.

5. Melalui video pembelajaran dan diskusi , siswa dapat

menganalisis perbedaan kuantor universial dengan kuantor

eksistensial.

6. Melalui video pembelajaran dan diskusi , siswa dapat

menentukan negasi/ingkaran dari suatu kuantor universial

dan kuantor eksistensial

Untuk lebih memahami materi lebih lanjut simak vidio
pembelajaran berikut:
https://www.youtube.com/watch?v=aMVQq1kshao

2

MATERI PEMBELAJARAN

A. PETA KONSEP PEMBELAJARAN

LOGIKA MATEMATIKA Pernyataan (Kalimat Pernyataan
Tertutup) dan kalimat
Nilai kebenaran
Terbuka suatu pernyataan

Ingkaran/negasi
suatu pernyataan

Kalimat Terbuka

Pernyataan Kuantor Universal
Berkuantor
Kuantor
Kata Kunci : Eksistensial
• Pernyataan
• Kalimat tertutup Inkaran Kuantor
• Kalimat terbuka Universal
• Ingakaran/negasi
• Kuantor Universial Ingkaran Kuantor
• Kuantor Eksistensial Eksistensial

3

B. INSPIRASI

Pernahkan kamu bermain game online? Atau seperti
yang lagi maraknya sekarang yaitu game Mobile Legend
(ML). Dan tahukah kamu?? bahwa game online tersebut
merupakan salah satu penerapan dari nilai mutlak logika
matematika. Tidak hanya game online saja, tetapi kegiatan
yang kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari juga
banyak yang berhubungan dengan logika matematika

Lalu apa itu logika matematika? Apa saja yang
bermanfaat untuk kehidupanmu dari logika matematika
tersebut? dan Apa hubungan logika matematika dengan
game online serta kegiatan lainnya yang pernah kita
lakukan dalam kehidupan sehari-hari?

Nah ! setelah kamu mempelajari materi tentang logika
matematika, kamu bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan
diatas.

So, happy studying smart students
4

C. PERNYATAAN
Pernyataan atau kalimat
tertutup adalah suatu kalimat
yang mempunyai nilai benar saja
atau salah saja, tidak sekaligus
bernilai benar dan salah. Suatu
pernyataan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil seperti p,q,r,s,
dan seterusnya.

Contoh :
Kalimat berikut ini merupakan pernyataan kecuali….
a. Banyaknya titik sudut suatu segitiga adalah 3
b. Matahari terbit dari sebelah barat
c. Satu minggu terdiri atas 7 hari
d. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
e. Jumlah dari tiga buah bilangan yang sama adalah 15
Jawab : e
Penjelasan :
a. Banyaknya titik sudut suatu segitiga adalah 3

merupakan pernyataan benar karena suatu segitiga
memiliki 3 titik sudut,
b. Matahari terbit dari sebelah barat, merupakan
pernyataan salah sebab faktanya matahari terbit dari
sebelah timur
c. Satu minggu terdiri atas 7 hari merupakan
pernyataan benar

5

d. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
merupakan pernyataan salah karena ada 2 adalah
bilangan prima yang ganjil

e. Jumlah dari tiga buah bilangan yang sama adalah 15
merupakan pernyataan bernilai benar jika ketiga
bilangan itu adalah angka 5, dan bernilai salah jika
ketiga bilangan itu selain angka 5.

D. NILAI KEBENARAN DARI SUATU PERNYATAAN

Nilai benar atau nilai salah dari

suatu pernyataan disebut nilai

kebenaran . Nilai kebenaran dapat

ditentukan dengan cara empiris dan

cara non empiris.

Cara empiris : cara menentukan nilai

kebenaran suatu pernyataan

berdasarkan fakta pada saat itu

(bergantung pada ruang dan waktu).

Cara nonempiris : adalah cara menetukan nilai kebenaran

suatu pernyataan berdasarkan bukti-bukti atau

perhitungan-perhitungan dalam matematika

(kebenarannya bersifat mutlak).

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dinotasikan
dengan huruf Yunani, yaitu σ (dibaca tau) yang berasal

dari asing truth berarti kebenaran.

Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran

B (benar) sedangkan suatu pernyataan yang salah

6

memiliki nilai kebenaran S (salah), misalkan p : hasil kali 3
dan 5 adalah 15. Pernyataan p benar, sebab 3x5 = 15
dengan demikian pernyataan p memiliki nilai kebenaran B
(benar)

E. INGKARAN/NEGASI DARI SUATU PERNYATAAN

Ingkaran/negasi dari

suatu pernyataan adalah

suatu pernyataan baru yang

diperoleh dari pernyataan

semula sedemikian

sehingga yang diperoleh

dari pernyataan semula

bernilai benar, maka

ingkarannya bernilai salah, dan jika pernyataan semula

bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran

dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p. Tabel

kebenaran yang menunjukkan hubungan antara p dan ~p

adalah sebagai berikut :

P ~p

BS

SB

Ingkaran pernyataan p dapat diperoleh dengan cara
menabahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan

pernyataan p atau dengan menyisipkan perkataan “tidak

atau bukan” di dalam pernyataan p.

7

F. KALIMAT TERBUKA

Kalimat terbuka

adalah suatu kalimat

belum dapat

ditentukan nilai

kebenarannya (benar

atau salah) karena

mengandung

variable. Suatu

kalimat terbuka dengan variable x dilambangakan oleh

p(x), q(x), r(x) dan sebagainya.

Contoh :

Misalkan p(x) : 2x + 1 = 5, x R. Bila variable x pada p(x)

diganti dengan bilangan 2, maka : p(2.2 +1) = 5 (B).

Kalimat terbuka p(x) menjadi pernyataan yang bernilai

benar. Apabila x pada p(x) diganti dengan bilangan selain

2 misal 3 maka p(2.3 + 1 ) = 5 (S) kalimat p(x) menjadi

pernyataan yang bernilai salah.

Bilangan pengganti variable disebut konstanta, dan

konstanta yang menjadikan suatu kalimat terbuka

menjadi suatu pernyataan yang bernilai benar disebut

penyelesaian kalimat terbuka.

Contoh :

Agar kalimat terbuka sin = 1 ξ3 bernilai benar, maka =
2 8

a. c. e.

6 2

b. d. 2

4 3

Penyelesaian :

Sin = 1 ξ3
2

Sin = sin ⬚ = atau sin = sin 2 ⬚ = 2

֞ ֞
33 33

G. KUANTOR UNIVERSAL
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka , dengan

x anggota himpunan semesta pembicaraan S.
Pernyataan : (∀ ∈ ) (∀ ) ( )
dibaca “untuk setiap x, berlakulah p(x)” disebut kalimat
berkuantor universal. Penggunaan kata “untuk setiap”
pada kuantor universal, senilai dengan kata “untuk semua”,
“untuk setiap”, “seluruh”.
Contoh 1 :
Tulislah kalimat “Untuk setiap n anggata himpunan
bilangan asli N, berlaku n anggota himpunan bilangan
real R” dengan notasi matematika.
Jawab :
(∀ ) ∈ →
Contoh 2 :
Jika semua pembicaraan bilangan real R, tentukan nilai
kebenaran dari :
a. (∀ ) ( + 3 < 6)
b. (∀ ) (ȁ ȁ = )
c. (∀ ) (∀ )( 2 − 2) = ( − )( + )
Jawab :

9

a. (∀ ) ( + 3 < 6), bernilai salah. Misalkan diambil salah
satu nilai x = 4. Akibatnya 4 + 3 < 6 (bernilai salah).
Dengan demikian, tidak berlaku untuk setiap x ∈ R.

b. (∀ ) (ȁ ȁ = ) bernilai salah.Misalkan diambil x = 2.
Akibatnya ȁ2ȁ = 2 ≠ -2. Dengan demikian tidak berlaku
untuk setiap x ∈ R.

c. (∀ ) (∀ )( 2 − 2) = ( − )( + ) bernilai benar. Coba
kalian ingat kalian kembali mengenai pemfaktoran
suku-suku aljabar.

H. KUANTOR EKSISTENSIAL
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka , dengan x

anggota himpunan semesta pembicaraan S.
Pernyataan : (∃ ( ) (∃ ) ( )
dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat
berkuantor eksistensial. Penggunaan kata “terdapat” pada
kuantor eksistensial, senilai dengan kata “ada”,”beberapa”,
“untuk suatu”, “untuk paling sedikit satu”.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berkuantor
eksistensial berikut jika x dan y adalah anggota himpunan
bilangan real R.
a. (∃ )( 2 − 6 + 8 = 0)
b. (∃ )( 2+ < 0)
c. (∀ )(∃ )( 2 + 2 ≤ 3)

10

Jawab :
a. (∃ )( 2 − 6 + 8 = 0) bernilai benar. Misalkan diambil x

= 2 atau x = 4
b. (∃ )( 2+ < 0) bernilai salah. Untuk x ∈ R, x2 > 0, jadi

tidak mungkin dua bilangan real positif jika
dijumlahkan bernilai negative.
c. (∀ )(∃ )( 2 + 2 ≤ 3) bernilai benar. Misalkan diambil x
= 1 dan y = 1

I. INGKARAN/NEGASI KUANTOR UNIVERSAL DAN
INGKARAN/NEGASI KUANTOR EKSISTENSIAL
Negasi seperti yang anda kenal sebelumnya dapat

diartikan sebagai penyangkal suatu nilai kebenaran.
Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat
berkuantor eksistensial, sedangkan kalimat berkuantor
eksistensial adalah kalimat berkuantor universal.

Jika terdapat kalimat kuantor universal (∀ ) ( ) dan
kalimat berkuantor eksistensial (∃ ) ( ), negasi dari
keduanya ditulis sebagai berikut :

~ሾ(∀ ) ( ) ሿ ≡ (∃ )~ ( )

~ሾ(∃ ) ( ) ሿ ≡ (∀ )~ ( )

11

Contoh 1 :
Tentukan negasi dari kalimat kuantor berikut jika x dan y
adalah anggota himpunan bilangan real.
a. (∀ )( + 7 ≤ 9)
b. (∃ )( 2 = )
Jawab :
a. ~((∀ )( + 7 ≤ 9)) ≡ (∃ )~( + 7 ≤ 9)

≡ (∃ )~( + 7 > 9)
c. (∃ )( 2 = ) ≡ ( ∀ ) ~( 2 = ) ≡ ( ∀ ) ~( 2 ≠ )
Contoh 2 :
Tentukan negasi dari kalimat :
a. Setiap siswa SMK terpelajar
b. Setiap anak yang malas pasti tidak pintar
Jawab :
a. Terdapat siswa SMK yang tidak terpelajar
b. Terdapat anak yang malas dan pandai

12

J. SOAL TANTANGAN

1. Di antara kalimat-kalimat berikut ini yang merupakan
pernyataan adalah
a. X adalah factor dari 5
b. Y + 2 = -3
c. 2x2 + x – 1 = 0
d. Cos2 + sin2 = 1 untuk semua a ∈ R
e. X adalah bilangan prima

2. Ingkaran pernyataan “semua peserta didik
menganggap matematika sulit”
a. Beberapa peserta didik menganggap matematika
sulit
b. Semua peserta didik menganggap matematika
mudah
c. Ada peserta didik yang menganggap matematika
tidak sulit
d. Tidak seorangpun peserta didik menganggap
matematika sulit
e. Ada peserta didik menganggap matematika mudah

3. Ingkaran/negasi dari pernyataan : “semua peserta
didik SMKN 2 Singosari divaksin covid-19”
a. “Beberapa peserta didik SMKN 2 Singosari tidak
divaksin covid -19”
b. “Semua peserta didik SMKN 2 Singosari divaksin
Covid-19”
c. “Tidak semua peserta didik SMKN 2 Singosari tidak
divaksin Covid-19”
d. “Tidak semua peserta didik SMKN 2 SIngosari
divaksin Covid-19”
e. “Beberapa peserta didik SMKN 2 Singosari divaksin
Covid-19”

13

4. Negasi dari :”Semua peserta didik di kelas saya tidak
mengerjakan tugas matematika”
a. Semua peserta didik di kelas saya mengerjakan
tugas matematika
b. Ada peserta didik di kelas saya yang tidak yang
tidak mengerjakan tugas matematika
c. Beberapa peserta didik di kelas saya mengerjakan
tugas matematika
d. Beberapa peserta didik di kelas saya mengerjakan
tugas matematika
e. Tidak ada peserta didik di kelas saya mengerjakan
tugas matematika

5. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta didik peserta
ujian ASESMEN membawa HP” adalah…
a. Beberapa peserta didik peserta ujian ASESMEN
tidak membawa HP
b. Bukan peserta didik peserta ujian ASESMEN
membawa HP
c. Semua peserta didik peserta ujian ASESMEN
membawa HP
d. Semua peserta didik peserta ujian ASESMEN tidak
membawa HP
e. Tidak ada peserta didik peserta ujian ASESMEN
tidak membawa HP

14

K. TUGAS PROYEK
KELOMPOK

Carilah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang
dapat dinyatakan dengan LOGIKA MATEMATIKA
tersebut, kemudian selesaikan !
Buat laporan dan sajikan hasilnya di depan kelas !

15

RANGKUMAN

1. Pernyataan : pernyataan atau kalimat tertutup adalah
suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau
salah saja, tidak sekaligus bernilai benar dan salah

2. Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran
B (benar) sedangkan suatu pernyataan yang salah
memiliki nilai kebenaran S (salah)

3. Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p.
Tabel kebenaran yang menunjukkan hubungan antara
p dan ~p adalah sebagai berikut :
P ~p
BS
SB

4. Kalimat terbuka adalah suatu kalimat belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah)
karena mengandung variable

5. Kuantor Universal : pernyataan : (∀ ∈ ) (∀ ) ( )

6. Kuantor Eksistensial : Pernyataan : (∃ ( ) (∃ ) ( )

7. Jika terdapat kalimat kuantor universal (∀ ) ( ) dan
kalimat berkuantor eksistensial (∃ ) ( ), negasi dari
keduanya ditulis sebagai berikut :
~ሾ(∀ ) ( ) ሿ ≡ (∃ )~ ( )
~ሾ(∃ ) ( ) ሿ ≡ (∀ )~ ( )

16

REFLEKSI DIRI

1. Apa yang dapat kamu pahami setelah mempelajari
materi ini ?

2. Dan apa sih manfaatnya bagi kamu ????

Penilaian Diri

Setelah kamu mempelajari modul ini, bagaimana

penguasaan kamu terhadap materi-materi berikut ?
berilah centang (√) pada kotak yang kamu anggap

sesuai !

No Materi Tidak Kurang Menguasai Sangat

Menguasai Menguasai Menguasai

1 Konsep kalimat
terbuka dan
kalimat tertutup

2 Ingkaran/negasi
suatu pernyataan

3 Kuantor universal
dan negasinya

4 Kuantor
eksistensial dan
negasinya

17

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad Zaelani,dkk. 2006. Matematika Untuk SMA/MA
RINGKASAN MATERI. Bandung: CV. YRAMA WIDYA.

Beecher, Judith A., dkk. 2011. Algebra and Trigonometry
(4th edition). New York: Pearson Addison Wesley.

Matematika. B. 2020. Logika matematika. (Online),
(https://www.youtube.com/watch?v=aMVQq1kshao)
. Diakses pada 21 September 2021.

Siswanto. 2011. Theory and Application of Mathematics for
Grade X of senior Haigh Scholl. Solo: PT Tiga
Serangkai Pustaka Mandiri.

Sri Kurnianingsih, Dra., dkk. 2004. Matematika SMA untuk
Kelas 1. Jakarta: ESIS.

Ir Marthen Kanginan, M.Sc., dkk. 2000. Matematika untuk
SMU Kelas III, 3B. Jakarta: Grafindo Media Pratama.

Willa Adrian. 2005. Matematika Bilengual Untuk SMA kela
X semester 1 dan 2. Bandung: CV. YRAMA WIDYA.

18