Segala puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar pokok bahasan transformasi geometri tepat pada waktunya. Selawat serta salam semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW yang kita nantikan syafaat Beliau di akhirat nanti. Bahan ajar ini disusun sebagai salah satu sumber belajar dalam pelaksanaan belajar mengajar matematika materi Transformasi Geometri. Dalam Buku ajar ini, penyajian materi menggunakan model Problem Based Learning guna meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematis. Simbol, tabel, grafik, dan gambar lainnya disajikan untuk mempermudah peserta didik memahami materi yang sedang dipelajari. Bahan ajar ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal. Penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan Bahan Ajar ini. Semoga Bahan ajar ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan mampu menjadi acuan bagi peserta didik dalam meningkatkan kecerdasannya. Tentunya, penulis menyadari adanya kekurangan dalam Buku ajar ini sehingga kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan.Terima kasih. Semarang, 26 April 2023 Penulis ii
iii PRAKATA................................................................................................................................ ii DAFTAR ISI ...........................................................................................................................iii DESKRIPSI BAHAN AJAR...............................................................................................iv PETUNUJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR ..........................................................v QR-CODE.......................................................................................................................... viii MOTIVATION LETTER .....................................................................................................10 PETA KONSEP.................................................................................................................... 12 TRANSLASI .......................................................................................................................... 12 REFLEKSI ..............................................................................................................................20 ROTASI.................................................................................................................................30 DILATASI..............................................................................................................................38 TRANSFORMASI KOMPOSISI....................................................................................49 UJI KOMPETENSI ............................................................................................................57 REFLEKSI DIRI ..........................................................................................................................
Bahan ajar ini Buku ajar ini dapat digunakan sebagai referensi sumber belajar peserta didik SMA/MA kelas XI. Bahan ajar ini disusun berdasarkan kegiatan pembelajaran Problem Based Learning terintegrasi scratch untuk memudahkan peserta didik dalam memahami materi transformasi geometri Adapun lingkup materi yang akan dipelajari sebagai berikut. 1. Translasi 2. Refleksi 3. Rotasi 4. Dilatasi 5. Komposisi Transformasi Bahan ajar ini akan menyajikan penjelasan interaktif melalui scratch sehingga peserta didik tidak melaksanakan pembelajaran yang monoton. Bahan ajar yang dijadikan kedalam e-modul juga memudahkan peserta didik dalam mengakses bahan ajar dimana saja dan kapan saja. Melalui pemanfaatan scratch juga diharapkkan peserta didik mampu memahami penyajian masalah-masalah nyata yang berkaitan dengan transformasi geometri. Sehingga, bahan ajar ini diharapkan mampu meningkatkan pemecahan masalah matematis peserta didik dan mengatasi kesulitankesulitan yang dialami peserta didik. iv
PERNAKAH KAMU? Peserta didik akan disajikan dua masalah yang berdasarkan masalah nyata yaitu; masalah inti dan orientasi masalah. DISKUSIKAN Peserta didik akan diarahkan untuk belajar sesuai dengan tata cara proses pembelajaran KAMU HARUS TAU Peserta didik dibimbing melakukan penyelidikan individual maupun kelompok yang berisi cara untuk menyelesaikan masalah yang disajikan. MEMBUAT LAPORAN Peserta didik menyajikan hasil karya yang berisi laporan dari penyelesaian masalah yang telah diselesaikan. PRESENTASIKAN HASIL Hasil kerja peserta didik akan dianalisis dan dievaluasi kegiatan ini akan berisi presentasi hasil kerja oleh peserta didik. TES FORMATIF Bagian ini, peserta didik akan diberikan soal latihan untuk meningkatkan pemahaman serta pemecahan masalah matematika peserta didik. v
Bahan ajar ini terdiri dari 3 pertemuan, pertemuan 1 akan mempelajari translasi dan refleksi, pertemuan 2 akan mempelajari rotasi dan dilatasi, dan pertemuan 3 akan mempelajari komposisi transformasi. Agar kalian berhasil menguasai dan memahami materi dalam bahan ajar ini, maka bacalah dan cermati petunjuk dengan baik, antara lain: 1. Siswa mengakses barcode scratch pertemuan 1 2. Siswa mengerjakan latihan soal yang tertera di dalam scratch secara berkelompok 3. Siswa mendengarkan penjelasan guru sesuai dengan sintaks pembelajaran 4. Siswa mengerjakan tes formatif setiap pertemuan dan dikumpulkan didalam link gform vi
CAPAIAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat melakukan transformasi geometri (refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi, dan komposisi transformasi) TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah melalui pertemuan 1,2,3 diharapkan peserta didik mampu menguasai beberapa tujuan pembelajaran sebagai berikut. 1. Peserta didik dapat memahami translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. 2. Peserta didik dapat menentukan persamaan trasnformasi refleksi pada bidang. 3. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang. 4. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi dilatasi pada bidang. vii
LAMPIRAN QR-CODE SCRATCH SETIAP PERTEMUAN Pertemuan pertama Pertemuan kedua Pertemuan ketiga QR-CODE viii
LAMPIRAN QR-CODE PENGUMPULAN JAWABAN Pertemuan pertama Pertemuan kedua Pertemuan ketiga Uji Kompetensi ix
10 CARA TERMUDAH UNTUK MENJADI PANDAI ADALAH DENGAN BELAJAR DARI HAL TERBODOH YANG PERNAH KAMU LAKUKAN (WILSON KANADI)
11 TRANSFORMASI GEOMETRI TRANSLASI REFLEKSI ROTASI DILATASI Sumbu X Sumbu Y Garis y = x Titik O(0,0) Garis y= -x Pusat (0,0) Pusat (a,b) Komposisi transformasi Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transfromasi geometri Translasi pada titik
Pernahkan kalian mengamati objek yang bergerak disekitar kalian? Sederhananya motor dan mobil yang berlalu lintas di jalan raya, pesawat yang melintas di udara, hewan yang berpindah tempat dan pohon atau lautan bahkan kita yang berpindah tempat. Kegiatan tersebut mengubah posisi benda namun tidak merubah bentuk atau berat benda bukan? Mari kita pahami konsep translasi dengan menyelesaikan masalah inti 1 MASALAH INTI Seorang arsitektur menggambarkan bangunan tata kota dan ingin mengubah posisinya sehingga lebih proporsional. Dapatkah kamu gambarkan masalah tersebut ke dalam diagram Cartesius dan menentukan proses pergeseran mobil dari posisi awal ke posisi akhir? Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang 2. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut 3. Mintalah kepada guru untuk mebimbing kalian apa bila mengalami kesulitan 12
Dalam konteks kehidupan sehari-hari misalnya perpindahan mobil kita dapat menghubungkannya dengan materi translasi pada transformasi geometri. Untuk menyelesaikan permasalahan translasi, silahkan baca materi di bawah ini, dan kalian diperbolehkan mencari sumber bacaan lain yang terpercaya. Sebelum kalian menyelesaikan masalah di atas, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan antara lain: 1. Definisi dari translasi 2. Titik awal keberadaan objek 3. Rumus translasi MATERI TRANSLASI Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. Dalam translasi pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri dilakukan sejauh dan dengan arah yang sama. Objek yang mengalami translasi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran, yang berarti bayangan objek akan selalu kongruen dengan objek awalnya. Sifat-sifat translasi 1. Bentuk yang digeser atau ditranslasikan tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran 2. Bangun yang digeser atau ditranslasikan mengalami perubahan posisi 3. Translasi memiliki arah dan besaran. 13
Arah Translasi bisa ke atas, ke bawah, ke kanan, dan ke kiri dilambangkan dengan (). Titik awal dapat dinyatakan dengan dan setelah mengalami pergeseran dinyatakan dengan ′. Pada gambar di atas, arah translasinya adalah 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas. Pada notasi translasi dapat ditulis: ( ). 2 dan 1 adalah komponen translasi yang dapat dituliskan ( 2 1 ). Dengan a adalah komponen translasi terhadap sumbu sedangkan b adalah komponen translasi terhadap sumbu . Jika sebuah titik di translasikan ke kanan sumbu maka komponen translasi bernilai postitif, sebaliknya jika titik di translasikan ke kiri sumbu maka komponen translasi bernilai negatif. Dan jika titik di translasikan ke atas sumbu maka komponentranslasi b bernilai positif sebaliknya jika titik di translasikan ke bawah sumbu maka komponen translasi b bernilai negatif. 14
Translasi Titik Jika A adalah titik asal dengan koordinat (, ) ditranslasikan oleh komponan ke arah kanan dan komponen ke arash atas maka akan menghasilkan titik ′. Sehingga dapat ditulisakan rumus translasi sebuah titik adalah sebagai berikut: (, ) ( ) → ′( ′ , ′ ) CONTOH SOAL 1 Pak Budi akan memindahkan mobilnya pada bagasi rumah karena bu Siti ingin memasukkan motornya. Supaya muat Pak Budi mengeluarkan mobil dengan niat hati ingin menggeser posisi mobil. Letak awal mobil pak Budi jika dilihat dari titik ke dua ban nya berada di titik A (1,2) dan B(3,2). Jika kita ingin memindahkan mobil 4 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah. Dimanakah tiitk akhir mobil tersebut berada? Alternatif penyelesaian: Memahami masalah Diketahui : • Posisi awal mobil pada koordinat kartesius adalah tiitk (1,2) (3,2). • Mobil dipindahkan sejauh 4 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah Ditanya : Dimana titik akhir mobil tersebut berada setelah dipindahkan? Berapa titik translasinya? Merencanakan Penyelesaian 1. Menggambarkan posisi awal objek pada koordinat kartesisus 2. Menentukan titik translasinya 3. Memasukkan perhitungan antara titik awal dengan titik translasi 4. Menggambarkan posisi awal dan posisi akhir objek pada koordinat kartesius 15
Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menggambarkan posisi awal objek pada koordinat kartesius Gambar 1 . Perpindahan mobil pada bidang cartesius 2. Menentukan notasi translasinya = ( 4 4 ) 3. Memasukkan perhitungan antara titik awal dengan titik translasi Pergeseran 1: Posisi awal titik A (1,2) kemudian bergerak ke kiri sejauh 4 satuan dan 4 satuan ke bawah sehingga posisi berubah di koordinat A’(-3,-2) Pergeseran 2: Posisi awal titik B (3,2) kemudian bergerak ke kiri sejauh 4 satuan dan 4 satuan ke bawah sehingga posisi berubah di koordinat B’(-1,-2) Pergeseran setiap titik pada urauan di atas dapat disajikan secara lebih sederhana dalam tabel 1 16
Tititk Awal Titik Akhir Proses Translasi (1,2) ′(3,2) ( 1 2 ) + ( 4 4 ) = ( −3 −2 ) = ( 4 4 ) (3,2) ′(−1, −2) ( 3 2 ) + ( 4 4 ) = ( −1 −2 ) = ( 4 4 ) 4. Menggambarkan posisi awal dan posisi akhir objek pada koordinat kartesisus Gambar 2 Gambar posisi awal dan akhir mobil Jika diperoleh bahwa posisi akhir patung tersebut berada setelah dipindahkan adalah pada titik ′(3,2) dan ′(−1, −2) dengan titik translasinya = ( 4 4 ) Pada bangunan burj khalifa terdapat tangga yang digunakan menuju ke ruangan lainnya. Tangga-tangga tersebut tentunya membentuk sebuah persamaan garis. Jika tangga pada bangunan utama memiliki persamaan garis 3 + 5 − 7 = 0, maka tentukan persamaan bayangan garis yang disebabkan oleh = ( 2 −1 ) Alternatif penyelesaian: Memahami Masalah Diketahui : Persamaan garis sebuah tangga di burj khalifa adalah 3 + 5 − 7 = 0 CONTOH SOAL 2 17
Ditanya : Tentukan persamaan bayangan garis yang disebabkan oleh = ( 2 −1 ) Merencanakan Penyelesaian 1. Menentukan titik bayangan setelah di translasikan dengan menggunakan titik (, ) 2. Mensubstitusikan persamaan dari matriks ke persamaan garis Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menentukan titik bayangan setelah di translasikan dengan menggunakan titik (, ) Berdasarkan soal yang ada, diperoleh bahwa: Persamaan garis adalah 3 + 5 − 7 = 0 dan = ( 2 −1 ) Berarti nilai = 2 dan = −1 (, ) ( 2 −1 ) → ′( ′ , ′ ) ( ′ ′ ) = ( ) + ( ) ↔ ( ′ ′ ) = ( ) + ( 2 −1 ) ↔ ( ′ ′ ) = ( + 2 − 1 ) Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh ′ = + 2 ↔ = ′ − 2 ′ = − 1 ↔ = ′ + 1 2. Mensubstitusikan persamaan dari matriks ke persamaan garis Substitusikan = ′ − 2 dan = ′ + 1 ke persamaan 3 + 5 − 7 = 0 18
Setelah kalian menyelesaikan masalah di atas, buatlah laporan dari penyelesaian masalah di atas sesuai dengan langkah yang ada pada contoh soal, kemudian kumpulkan kepada guru untuk diperiksa Presentasikan kepada teman kalian mengenai materi translasi yang kalian ketahui di depan kelas, kemudian diskusikan dengan guru kalian tentang materi yang telah kalian pahami. 1. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. 2. Titik (, ) ditranslasikan oleh ( ) menghasilkan bayangan ′( ′ , ′ ) ditulis dengan (, ) ( ) → ′ ( ′ , ′ ) 3. Bentuk persamaan matriks translasi : ( ′ ′ ) = ( ) + ( ). 4. ( ) disebut komponen translasi, merupakan pergerakan secara horizontal dan merupakan pergerakan secara vertikal. 5. Titik ′ disebut bayangan titik yang telah di transformasi. TES FORMATIF 1. Pak Budi ingin memindahkan lukisan dari dinding sebelah kiri ke kanan maka jika digambarkan di bidang kartesius didapat bahwa titik (3,4) ditranslasikan oleh (2,3) Tentukan A’! 2. Pada ornamen china selama imlek berlangsung akan dipasangkan lampion dan membentuk sebuah garis = + 3 maka tentukanlah bayangan yang diperoleh jika garis tersebut ditranslasikan oleh (3,6)! 19
Pernahkah kamu melihat bentuk bangunan seperti digambar? Apa yang kamu pikirkan pertama kali ketika melihatnya? Apakah kamu menyadari bahwa struktur bangunan tersebut memiliki bentuk yang simetris antara kedua sisi? Bagaimana jika mengubah salah satu garis simetris menjadi cermin, apakah kamu dapat menemukan jarak bayangan yang akan dihasilkan terhadap cermin? Menurut kamu apakah hubungan antara ciriciri bangunan tersebut dengan konsep refleksi? MASALAH INTI Terdapat bangunan yang simetris, jika diperhatikan bangunan kanan adalah refleksi dari bangunan kiri, bayangkan jika salah satu garis simetris diubah menjadi cermin. Bagaimana hasil refleksi bangunan terhadap cermin? Bagaimana jarak bangunan 20
terhadap cermin? Tariklah kesimpulan dan jelaskan mengenai definisi refleksi dan sifat-sifat dari refleksi! Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang 2. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut 3. Mintalah kepada guru untuk mebimbing kalian apa bila mengalami kesulitan Struktur bangunan pada masalah inti merepresentasikan materi transformasi geometri, yaitu refleksi atau pencerminan. Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan tentang materi refleksi, silahkan baca materi dibawah ini. Selain itu, kalian juga diperbolehkan membaca sumber bacaan lain. Sebelum kalian menyelesaikan masalah di atas, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan, antara lain: 1. Hubungan antara struktur bangunan dengan materi refleksi pada transformasi geometri 2. Definisi dan sifat-sifat refleksi 3. Jenis-jenis pencerminan 4. Titik asal dapat disebut sebagai objek pencerminan MATERI REFLEKSI Refleksi(pencerminan) adalah adalah suatu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin dari titik-titik 21
yang dipindahkan. Refleksi dapat disimbolkan dengan dengan sebagai sumbu cermin. Sifat-sifat Refleksi 1. Jarak objek atau titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan. 2. Objek yang direfleksikan (pencerminan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 3. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin. 4. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan saling sejajar Jenis-Jenis Pencerminan 1. Refleksi terhadap sumbu Gambar 2 Segitiga ABC yang direfleksikan terhadap sumbu x Terlihat dari gambar bahwa segitiga ABC memiliki bayangan segitiga A’B’C’ agar mudah memahami titik koordinat segitiga tersebut mari perhatikan tabel dibawah ini. 22 2
Titik Koordinat bayangan (3,5) ′(3, −5) (2,3) ′(2, −3) (4,4) ′(4, −4) Berdasarkan pengamatan pada tabel secara umum dapat diperoleh Jika Titik (, ) dicerminkan terhadap sumbu , maka akan menghasilkan bayangan ′(, −) dengan matriks pencerminan ( 1 0 0 −1 ) 2. Refleksi terhadap sumbu Gambar 2 Pencerminan persegi terhadap sumbu Terlihat pada gambar di atas bahwa persegi ′′′′ merupakan hasil bayangan persegi dari setelah dicerminkan terhadap sumbu pada koordinat cartesius Titik Koordinat bayangan (2,1) ′(−2,1) (4,1) ′(−4,1) (4,3) ′(−4,3) (2,3) ′(−2,3) Berdasarkan pengamatan pada tabel secara umum diperoleh 23
Jika titik (, ) dicerminkan terhadap sumbu , maka akan menghasilkan bayangan ′(−, ) dengan matriks pencerminan ( −1 0 0 1 ) 3. Refleksi terhadap titik asal O(0,0) Koordinat pencerminan titik terhadap titik asal O(0,0), supaya lebih mudah memahami silahkan cermati tabel di bawah ini. Titik Koordinat bayangan (2,1) ′(−2, −1) (4,1) ′(−4, −1) (4,3) ′(−4, −3) (2,3) ′(−2, −3) Berdasarkan pengamtan tabel jika berdasarkan gambar 2 maka diperoleh secara umum Jika titik (, ) dicerminkan terhadap titik O(0,0), maka akan menghasilkan bayangan ′(−, −) dengan matriks pencerminan ( −1 0 0 −1 ) 4. Refleksi terhadap garis = Gambar 3 pencerminan terhadap garis = 24
Dapat dilihat dari gambar 3 bahwa terdapat segitiga ′′′ merupakan bayangan dari segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis = . Titik Koordinat bayangan (−3, −1) ′(−1, −3) (−4,2) ′(2, −4) (0,3) ′(3,0) Berdasarkan pengamatan melalui tabel titik koordinat kartesius secara umum diperoleh Jika titik (, ) dicerminkan terhadap garis = , maka akan menghasilkan bayangan ′(, ) dengan matriks pencerminan ( 0 1 1 0 ) 5. Refleksi terhadap garis = − Gambar 4 Pencerminan segitiga ABC terhadap garis = Untuk memahami refleksi terhadap garis = − silahkan perhatikan tabel titik koordinat kartesius Titik Koordinat bayangan (−5,9) ′(5, −9) (7,3) ′(−3, −7) (4,12) ′(−12, −4) 25
Berdasarkan pengamatan pada tabel secara umum diperoleh Jika titik (, ) dicerminkan terhadap garis = −, maka akan menghasilkan bayangan ′(−, −) dengan matriks pencerminan ( −1 0 0 1 ) CONTOH SOAL 1 1. Sebuah ornamen ukiran gereja direpresentasikan menjadi bentuk segi empat ABCD dengan titik (−6,1),(−1,1), (−1,3) (−6,3). Apabila terdapat pencerminan terhadap garis = . Tentukan titik-titik bayangan dari pencerminan tersebut! Alternatif penyelesaian: Memahami Masalah Diketahui: Objek berbentuk segi empat ABCD dicerminkan terhadap garis = Dengan titik asal: Titik (−6,1) Titik (−1,1) Titik (−1,3) Titik (−6,3) Ditanya: Tentukan titik bayangan dari pencerminan tersebut Merencanakan Penyelesaian 1. Mengubah permasalahan menjadi notasi rumus refleksi terhadap garis = . 2. Mencari titik bayangan menggunakan rumus persamaan matriks transformasi. Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana Titik (−6,1) ( −6 1 ) = → ′ ( ′ ′) Sehingga, ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( ) 26
( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( −6 1 ) ( ′ ′) = ( 1 −6 ) Jadi, diperoleh titik bayangan dari adalah ′(1, −6) Gunakan cara yang sama pada titik lainnya Titik (−, ) ( −1 1 ) = → ′ ( ′ ′) Sehingga, ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( ) ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( −1 1 ) ( ′ ′) = ( 1 −1 ) Jadi, diperoleh titik bayangan dari titik adalah (1, −1) Titik (−, ) ( −1 3 ) = → ′ ( ′ ′) Sehingga, ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( ) ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( −1 3 ) ( ′ ′) = ( 3 −1 ) Jadi, diperoleh titik bayangan dari titik adalah ′(−1,3) Titik (−, ) ( −6 3 ) = → ′ ( ′ ′) Sehingga, 27
( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( ) ( ′ ′) = ( 0 1 1 0 ) ( −6 3 ) ( ′ ′) = ( 3 −6 ) Jadi, diperoleh titik bayangan dari titik adalah ′(3, −6) Setelah kalian menyelesaikan masalah di atas, buatlah laporan dari penyelesaian masalah di atas sesuai dengan langkah yang ada pada contoh soal, kemudian kumpulkan kepada guru kalian untuk diperiksa. Presentasikan kepada teman kalian mengenai materi refleksi yang kalian ketahui di depan kelas, kemudian diskusikan dengan guru kalian tentang materi yang telah kalian pahami. RANGKUMAN 1. Refleksi (pencerminan) adalah suatu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin dari titik-titik yang dipindahkan. 2. Sifat-sifat Refleksi Jarak objek atau titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan. Objek yang direfleksikan (pencerminan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan saling sejajar. 3. Jenis-jenis pencerminan sebarang titik ada 5 jenis terhadap titik O(0,0), sumbu , sumbu , garis = , garis = −. 28
TES FORMATIF 1. Carilah contoh bangunan bersejarah yang ada sekeliling kamu untuk merepresentasikan materi refleksi. Lalu buatlah suatu pencerminan dari suatu tritik sebarang terhadap koordinat kartesius dan . 29
Sumber : https://pin.it/14rEMG8 Pernahkah kamu melihat atau bahkan menaiki bianglala? Bianglala tersebut merupakan contoh rotasi dalam transformasi geometri lho. Rotasi dalam hal ini dapat dipahami sebagai memindahkan suatu titik ke titik yang lain. Prinsipnya, yakni memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Perlu diingat ya bahwa rotasi itu tidak mengubah ukuran. Mari kita pahami konsep translasi dengan menyelesaikan masalah inti Seorang anak meletakkan gasing pada suatu bidang di titik (3, −6) . Jika dia memutar gasing sebesar 90° searah jarum jam, Dapatkah kamu menggambarkan masalah tersebut ke dalam diagram Cartesius dan menentukan letak gasing setelah diputar? MASALAH INTI 30 ROTASI
Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 4. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang 5. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut 6. Mintalah kepada guru untuk mebimbing kalian apa bila mengalami kesulitan Dalam konteks kehidupan sehari-hari bermain gangsing yang diputar searah jarum jam ataupun berlawanan arah jarum jam dengan pusat tertentu dalam matematika proses memutar gangsing termasuk dalam rotasi.. Untuk lebih memahami permasalahan rotasi, silahkan baca dan pahami materi di bawah ini. Untuk memperluas wawasan, kalian juga bisa menambahkan dengan materi yang ada dalam sumber yang lain. Sebelum itu, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan, antara lain: 1. Pengertian rotasi. 2. Rotasi titik terhadap pusat (0, 0) 3. Rotasi kurva terhadap pusat (0, 0) 4. Rotasi titik terhadap pusat (, ) 5. Rotasi kurva terhadap pusat (, ) Pengertian Rotasi Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik tertentu. 31
[0(0,0),] [(0,0),] Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : 1. Titik pusat rotasi 2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi. Rotasi dinotasikan dengan (,) dimana P merupakan pusat rotasi dan besar sudut rotasi. Jenis-jenis rotasi berdasarkan titik pusat a. Rotasi terhadap titik pusat (, ) Misalkan terdapat sebuah titik (, ) akan dirotasikan sebesar dengan pusat (0, 0) dan akan menghasilkan titik ′( ′ , ′) dan dapat dituliskan sebagai berikut. (, ) ′( ′ , ′ ) Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (−) Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif () 32
CONTOH SOAL 1 [(0,0),90°] Titik (, ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan bayangan titik (′, ′) dengan aturan ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( ) 1. Titik (−2, 3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0, 0). Hasil rotasi titik adalah 2026 Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : Titik (−2, 3) dirotasikan sebesar 90° pada titik pusat (0, 0). Ditanya : Hasil rotasi titik ? Merencanakan Penyelesaian 1. menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat. 2. Menghitung hasil rotasi titik Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat. Titik (−2, 3) dirotasikan [(0,0),90°] (−2,3) ′( ′ , ′ ) ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( ) ( ′ ′) = ( cos 90° − sin 90° sin 90° cos 90° ) ( −2 3 ) 2. Menghitung hasil rotasi titik ( ′ ′) = ( 0 −1 1 0 ) ( −2 3 ) ( ′ ′) = ( −3 −2 ) 33
[(0,0),180°] [(0,0),180°] Jadi, hasil bayangan titik adalah ′(−3, −2) Garis 3 − 4 + 12 = 0 dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (0, 0). Persamaan garis hasil rotasi adalah … Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : Garis 3 − 4 + 12 = 0 dirotasikan sebesar 90° pada titik pusat (0, 0). Ditanya : Persamaan garis hasil rotasi? Merencanakan Penyelesaian 1. menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat. 2. Menghitung rotasi matrix 3. mensubtitusikan matrix kedalam persamaan Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat Misalkan titik (, ) memenuhi persamaan garis 3 − 4 + 12 = 0 sehingga (−2,3) ′( ′ , ′ ) ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( ) ( ′ ′) = ( cos 180° − sin 180° sin 180° cos 180° ) ( ) 2. Menghitung rotasi matrix ( ′ ′) = ( −1 0 0 −1 ) ( −2 3 ) CONTOH SOAL 2 34
[[((,,)),,]] ( ′ ′) = ( − − ) Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh ′ = − → = −′ ′ = − → = −′ 3. mensubtitusikan matrix kedalam persamaan Substitusi = − ′dan = −′ ke persamaan garis 3 − 4 + 12 = 0 diperoleh 3(− ′) − 4(− ′) + 12 = 0 −3 ′ + 4 ′ + 12 = 0 −3 + 4 + 12 = 0 Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −3 + 4 + 12 = 0 a. Rotasi terhadap titik pusat (, ) Misalkan terdapat sebuah titik (, ) akan dirotasikan sebesar dengan pusat (, ) dan akan menghasilkan titik ′(′ , ′) dan dapat dituliskan sebagai berikut. (, ) ′( ′ , ′ ) 35
[(2,4),270°] Titik (, ) dirotasikan sebesar terhadap titik pusat (, ) menghasilkan bayangan titik (′, ′) dengan aturan ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( − − ) + ( ) 2. Titik (6, 3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik pusat (2, 4). Hasil rotasi titik adalah..... Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : Titik (6, 3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik pusat (2, 4) Ditanya : Hasil rotasi titik ? Merencanakan Penyelesaian 1. Menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat. 2. Menghitung hasil rotasi titik Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menentukan rotasi sesuai dengan titik pusat. Titik (6, 3) dirotasikan [(2,4),270°] [(2,4),270°] (6,3) ′( ′ , ′ ) ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( − − ) + ( ) 2. Menghitung hasil rotasi titik ( ′ ′) = ( cos 270° − sin 270° sin 270° cos 270° ) ( 6 − 2 3 − 4 ) + ( 2 4 ) ( ′ ′) = ( 0 1 −1 0 ) ( 4 −1 ) + ( 2 4 ) CONTOH SOAL 1 36
( ′ ′) = ( −1 −4 ) + ( 2 4 ) ( ′ ′) = ( −1 + 2 −4 + 4 ) ( ′ ′) = ( 1 0 ) Jadi, hasil bayangan titik adalah ′(1, 0) Setelah kalian menyelesaikan masalah di atas, buatlah laporan dari penyelesaian masalah di atas sesuai dengan langkah yang ada pada contoh soal, kemudian kumpulkan kepada guru untuk diperiksa Presentasikan kepada teman kalian mengenai materi translasi yang kalian ketahui di depan kelas, kemudian diskusikan dengan guru kalian tentang materi yang telah kalian pahami. 1. Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik tertentu. 2. Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : 1. Titik pusat rotasi 2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi a. Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (−) MEMBUAT LAPORAN PRESENTASIKAN HASIL RANGKUMAN 37
b. Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif () 3. Rotasi dinotasikan dengan (, ) dimana merupakan pusat rotasi dan besar sudut rotasi. 4. Jenis-jenis rotasi berdasarkan titik pusat Misalkan koordinat titik asal (, ) akan dirotasikan dengan besar sudut terhadap pusat (0, 0) dan pusat (, ) akan menghasilkan bayangan sebagai berikut Titik pusat Persamaan Matriks Transformasi (0,0) ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( ) (, ) ( ′ ′) = ( cos − sin sin cos ) ( − − ) + ( ) 1. Sabil akan naik sebuah bianglala di alun-alun. Posisi awal Sabil ada pada titik (5,-2) . Bianglala tersebut akan berputar-putar, jika dari posisi Sabil berotasi sebesar 180 maka di manakah letak bayangan Sabil tersebut? 2. Titik dirotasikan sebsar 180° terhadap titik pusat (2, 3) menghasilkan bayangan ′(4, −1). Koordinat titik adalah … Pernahkah kamu melihat sebuah truk yang melaju ke arahmu? Jika dilihat dari jauh truk tersebut akan terlihat kecil. Akan tetapi saat semakin dekat truk akan terlihat semakin besar. Hal inilah yang dinamakan dilatasi. Di samping itu dilatasi juga bisa dianalogikan dengan mendekatkan objek ataupun menjauhkan objek dari kita. Simak contoh berikut sebagai gambaran. Untuk mencari tahu tentang itu maka kita harus memahami masalah inti dibawah ini TES FORMATIF 38 DILATASI
Biasanya ketika mencetak pasfoto kita diminta menyebutkan ukuran seperti 2 × 3, 3 × 4 ataupun 4 × 6. Mencetak pasfoto dalam berbagai ukuran yaitu memperbesar atau memperkecil merupakan salah satu contoh dilatasi dalam kehidupan sehari-hari. Coba amati gambar 17 berikut. Apa yang dapat kamu ceritakan mengenai transformasi segitiga ? Bagaimana transformasi yang terjadi ? Gambar 17 Sumber : XI_Matematika-Umum_KD-3.5_Final.pdf MASALAH INTI 39
DILATASI Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang. 2. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut. 3. mintalah kepada guru untuk membimbing kalian apaila mengalami kesulitan. Sebelum itu, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan, antara lain: 1. Pengertian dilatasi 2. Dilatasi titik pada pusat (0, 0) 3. Dilatasi kurva pada pusat (0, 0) 4. Dilatasi titik pada pusat (, ) 5. Dilatasi kurva pada pusat (, ) jika kita amati segitiga ABC pada gambar 17, segitiga ABC akan semakin besar dengan perkalian skala 3. Kemudian, jarak ′ adalah tiga kali jarak , jarak ′ adalah tiga kali jarak , jarak ′ adalah tiga kali jarak . Tetapi ketika segitiga ABC dikalikan dengan faktor skala −1 menghasilkan besar dan ukuran yang sama tetapi mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga jarak ′′ sama dengan jarak , jarak ′′ sama dengan jarak , dan jarak ′′ sama dengan jarak . Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan : 40
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. • Jika > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudat dilatasi dengan bangun semula • Jika = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak • Jika 0 < < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. • Jika −1 < < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula • Jika = −1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. • Jika < −1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula Jenis-jenis dilatasi berdasarkan titik pusat a. Dilatasi terhadap Titik Pusat (0, 0) Bentuk dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dapat diamati pada gambar 18. Titik (, ) didilatasikan dengan faktor skala terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan titik ′( ′, ′). Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat dilatasi. 41
[0,[,]] Gambar 18 Dilatasi titik A pada pusat (0, 0) Sumber : XI_Matematika-Umum_KD-3.5_Final.pdf (, ) ′( ′ , ′ ) Titik (, ) didilatasikan dengan faktor skala terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan bayangan titik (′, ′) dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut. ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( ) 1. Tentukan bayangan titik (2, 4) setelah didilatasikan terhadap pusat (0,0) dan faktor skala 3 ! Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : titik (2, 4) setelah didilatasikan terhadap pusat (0,0) dan faktor skala 3 Ditanya : bayangan titik A? Merencanakan Penyelesaian CONTOH SOAL 1 42
[,] [0,3] 1. Menentukan dilatasi sesuai dengan titik pusat. 2. Menghitung hasil dilatasi titik Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Menentukan dilatasi sesuai dengan titik pusat. Titik (2, 4) akan didilatasikan oleh [, 3] dapat ditulis (, ) ′( ′ , ′ ) ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( ) 2. Menghitung hasil dilatasi titik ( ′ ′) = ( 3 0 0 3 ) ( 2 4 ) ( ′ ′) = ( 6 12) Jadi, bayangan titik setelah didilatasi oleh [0,3]adalah ′(6, 12) b. Dilatasi terhadap Titik Pusat (, ) Bentuk dilatasi terhadap titik pusat (, ) dapat diamati pada gambar 19. Titik (, ) didilatasikan dengan faktor skala terhadap titik pusat (, ) menghasilkan titik ′(′, ′). 43
[(,),] [(2,−4),−2] [(, ), ] Gambar 19 Dilatasi titik A pada pusat (, ) Sumber : XI_Matematika-Umum_KD-3.5_Final.pdf Dilatasi titik pada gambar 19 dapat dituliskan sebagai berikut (, ) ′( ′ , ′ ) Titik (, ) didilatasikan dengan faktor skala terhadap titik pusat (, ) menghasilkan bayangan titik (′ , ′) dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut. ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( − − ) + ( ) Garis ∶ 2 + 4 − 3 = 0 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (2, −4). Persamaan garis setelah didilatasi adalah … Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui : Garis ∶ 2 + 4 – 3 = 0 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (2, −4) Ditanya : Persamaan garis setelah didilatasi? Merencanakan Penyelesaian 1. menentukan dilatasi sesuai dengan titik pusat. 2. Menghitung dilatasi matrix 3. mensubtitusikan matrix kedalam persamaan Menyelesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. menentukan dilatasi sesuai dengan titik pusat. Contoh soal 2 44
[(2, −4), −2] (, ) ′( ′ , ′ ) ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( − − ) + ( ) 2. Menghitung dilatasi matrix ( ′ ′) = ( −2 0 0 −2 ) ( − 2 − (−4) ) + ( 2 −4 ) ( ′ ′) = ( −2 0 0 −2 ) ( − 2 + 4) ) + ( 2 −4 ) ( ′ ′) = ( −2( − 2) −2(y + 4) ) + ( 2 −4 ) ( ′ ′) = ( −2 + 4 −2y − 8 ) + ( 2 −4 ) ( ′ ′) = ( −2 + 4 + 2 −2y − 8 + (−4) ) ( ′ ′) = ( −2 + 6 −2y − 12) Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh ′ = −2 + 6 2 = 6 − ′ = 6 − ′ 2 ′ = −2 − 12 2 = − ′ − 12 = − − 12 2 3. mensubtitusikan matrix kedalam persamaan Substitusi = 6−′ 2 dan = −−12 2 ke persamaan garis : 2 + 4 − 3 = 0 sehingga diperoleh 2 + 4 − 3 = 0 45
2 ( 6 − ′ 2 ) + 4 ( − − 12 2 ) − 3 = 0 6 − ′ + 2(− ′ − 12) − 3 = 0 6 − ′ − 2 ′ − 24 − 3 = 0 − ′ − 2 ′ − 21 = 0 ′ + 2 ′ + 21 = 0 + 2 + 21 = 0 Jadi, persamaan garis setelah didilatasi adalah ′ : + 2 + 21 = 0 Setelah kalian menyelesaikan masalah di atas, buatlah laporan dari penyelesaian masalah di atas sesuai dengan langkah yang ada pada contoh soal, kemudian kumpulkan kepada guru untuk diperiksa. Presentasikan kepada teman kalian mengenai materi translasi yang kalian ketahui di depan kelas, kemudian diskusikan dengan guru kalian tentang materi yang telah kalian pahami. 1. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat ilatasi 46
2. Dilatasi dinotasikan dengan (, ) dimana merupakan pusat dilatasi dan merupakan faktor skala 3. Jenis-jenis dilatasi berdasarkan titik pusat Misalkan koordinat titik asal (, ) akan didilatasikan dengan faktor skala terhadap pusat (0, 0) dan pusat (, )akan menghasilkan bayangan sebagai berikut Titik pusat Persamaan Matriks Transformasi (0,0) ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( ) (, ) ( ′ ′) = ( 0 0 ) ( − − ) + ( ) 1. Titik (2, −3) didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik pusat (1, −2). Hasil dilatasi titik adalah….. 2. Garis ∶ + 2 − 4 = 0 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (0, 0). Hasil dilatasi garis adalah … Pernahkah kalian berfikir bagaimana bayangan sebuah objek yang telah ditransformasikan lebih dari satu kali? Misalnya sebuah meja digeser ke kanan dan diputar sejauh 90° searah dengan arah jarum jam. Untuk mencari tahu tentang itu maka kita harus memahami masalah dibawah ini. Seorang siswa menggeser meja persegi 5 langkah ke kanan dan memutar meja tersebut sejauh 90° searah jarum jam. Bisakah kalian menggambarkan permasalahan tersebut dalam bidang koordinat Tes formatif MASALAH INTI 47
kartesius dan menentukan posisi awal meja, posisi meja setelah digeser dan posisi akhir meja? Selesaikan soal masalah inti di atas, dengan melakukan langkahlangkah berikut ini: 7. Buatlah kelompok yang terdiri dari 2-3 orang. 8. Diskusikanlah bersama teman kelompok kalian untuk menyelesaikan soal tersebut. 9. Mintalah kepada guru untuk mebimbing kalian apa bila mengalami kesulitan. 48
Dalam konteks kehidupan sehari-hari perpindahan meja dan memutarnya merupakan salah satu contoh komposisi transformasi geometri. Untuk lebih memahami permasalahan komposisi transformasi geometri, silahkan baca dan pahami materi di bawah ini. Untuk memperluas wawasan, kalian juga bisa menambahkan dengan materi yang ada dalam sumber yang lain. Sebelum itu, ada beberapa hal yang harus kalian perhatikan, antara lain: 1. Pengertian komposisi transformasi. 2. Transformasi komposisi pada titik. 3. Transformasi komposisi pada kurva. 4. Luas bayangan kurva yang telah ditransformasikan. Diketahui 1adalah transformasi yang memetakan titik (, ) ke titik ’(’, ’) dan 1 adalah ransformasi yang memetakan titik ′(′, ′) ke titik ′′(′′, ′′). Transformasi yang memetakan titik ke titik ′′ dapat ditulis Bentuk ∘ disebut komposisi transformasi dan dibaca “ komposisi ” yang berarti transformasi dilanjutkan oleh transformasi dan dapat dituliskan MATERI TRANSFORMASI KOMPOSISI Pengertian Transformasi Komposisi: Komposisi transformasi adalah transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan. (, ) ∘ → ′′(′′,′′) (, ) → ′(′,′) → ′′(′′,′′) 49
untuk memahami komposisi transformasi lebih lanjut, silahkan simak pembahasan soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Diketahui segiempat ABCD dengan (−2,5),(−5,4), (6,1), (2, −2). Bayangan segiempat tersebut setelah dicerminkan terhadap garis = − kemudian dirotasikan sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat (0,0) adalah... Alternatif Penyelesaian Memahami masalah Diketahui :posisi awal segiempat ABCD adalah (−2,5),(−5,4), (6,1), (2, −2). Ditanya :bayangan segiempat ABCD dicerminkan terhadap garis = − kemudian dirotasikan sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat (0,0). Merencanakan Penyelesaian 1. Menentukan transformasi yang dialami oleh segiempat ABCD. 2. Menghitung komposisi matriks transformasi. 3. Mencari persamaan transformasi. 4. Mencari bayangan pada setiap titik. Menyekesaikan Masalah Sesuai Rencana 1. Transformasi geometri yang dialami oleh segiempat ABCD adalah (, ) =− → ( ′ , ′ ) (,90°) → ( ′′ , ′′) Bentuk matriks untuk refleksi =− adalah 1 = ( 0 −1 −1 0 ). Bentuk matriks untuk rotasi (,90°) adalah 2 = ( 0 −1 1 0 ). 2. Komposisi matriks transformasi tersebut adalah 50