งานกัน

E-BOOK
เรื่อง เวกเตอร์

จดั ทำโดย
นำยสรชชั สมคั รเขตรกิจ เลขท่ี9
นำยวรินทร ทิพยว์ รรณ์ เลขท่ี30

มธั ยมศึกษำปี ท่ี 5/1

นำเสนอ
อำจำรยน์ งลกั ษณ์ อ่ำสุพรรณ

สำรบญั 5
เวกเตอร์และสมบตั ิของเวกเตอร์ 13
ระบบพิกดั ฉำกสำมมิติ 17
เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉำก 20
ผลคูณเชิงสเกลำร์ 23
ผลคูณเชิงเวกเตอร์

เวกเตอร์และสมบตั ิของเวกเตอร์

เวกเตอร์ ปริมำณมี 2 แบบ คือสเกลำร์ กบั เวกเตอร์สเกลำร์ เป็น ปริมำณที่มีแต่
ขนำด เช่น พ้นื ที่ อณุ หภมู ิ ควำมยำว เป็นตน้ เวกเตอร์ เป็น ปริมำณที่มีท้งั ขนำดและ
ทิศทำง เช่นควำมเร็ว แรง เป็นตน้ เรำสำมำรถแทนเวกเตอร์ในเชิงเรขำคณิตไดด้ ว้ ย
ส่วนของเสน้ ตรงและลกู ศร โดยท่ีทิศทำงของลูกศรแทนทิศทำงของเวกเตอร์ และ
ควำมยำวของลกู ศรแทน ขนำดของเวกเตอร์ หำงลูกศรเรียกวำ่ จุดเริ่มตน้ ของเวกเตอร์
หวั ลูกศร เรียกวำ่ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สัญลกั ษณ์ท่ีใช้

บทนิยาม 1

ถำ้ เวกเตอร์ u และ v เป็นเวกเตอร์ท่ีไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ แลว้
ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขียนแทนดว้ ยเวกเตอร์ u + v หำไดจ้ ำก
ใหต้ ำแหน่งเวกเตอร์ v มีจุดเร่ิมตน้ อยทู่ ี่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u
เวกเตอร์ u + v จะแทนดว้ ยลูกศรจำกจุดเริ่มตน้ ของเวกเตอร์ u ไปยงั
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ v ดงั รูปที่ 2

บทนิยาม 2

ใหเ้ วกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ที่ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศนู ย์ และ k เป็นจำนวนจริง
ใดๆ ท่ีไมใ่ ช่ศูนย์ แลว้ เวกเตอร์ kv หมำยถึงเวกเตอร์ท่ีมขี นำดเท่ำกบั |k|
เทำ่ ของเวกเตอร์ v เมื่อ k>0 เวกเตอร์ kv จะมีทิศทำงเดียวกบั v และเม่ือ
k<0 เวกเตอร์ kv มีทิศตรงขำ้ มกบั เวกเตอร์ v และใหเ้ วกเตอร์ kv =0 เม่ือ
k =0

จำกรูปท่ี 3 ไดว้ ำ่ เวกเตอร์ v กบั เวกเตอร์ Kv เป็นเวกเตอร์ที่ขนำนกนั

เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉำกในปริภมู ิสำมมิติ

ให้เวกเตอร์ v เป็ นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ

ในระบบพิกดั ฉำก ซ่ึงมีจุดเริ่มตน้ อยทู่ ี่จุดกำเนิด และจุดสิ้นสุดอยทู่ ี่จุด (x1,y1,z1)
ดงั รูปท่ี 5 เรียกพกิ ดั x1,y1และ z1วำ่ ส่วนประกอบเวกเตอร์ และเขียนแทนดว้ ย





ขนาดของเวกเตอร์

ขนำดของเวกเตอร์ u เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ จะได้
วำ่ ‖u‖ ขนำดของเวกเตอร์ u เรียกอีกอยำ่ งวำ่ ค่าประจาของเวกเตอร์ u

ระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ

กำหนดเส้นตรง XX' , YY' และ ZZ' เป็นเส้นตรงท่ีผำ่ นจุด O และต้งั ฉำกซ่ึงกนั
และกนั โดยกำหนด ทิศทำงของเสน้ ตรงท้งั สำมเป็นระบบมือขวำ ดงั รูป

ถำ้ เสน้ ตรงท้งั สำมเป็นเสน้ จำนวน (real line) จะเรียกเสน้ ตรง XX' , YY' และ ZZ' วำ่
แกนพิกดั X แกนพิกดั Y และ แกนพกิ ดั Z หรือเรียนส้ันๆ วำ่ แกน X (x-axis) แกน Y
(y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเรียนจุด O วำ่ จุดกำเนิด (origin) ดงั รูป

เรียกส่วนของเสน้ ตรง OX OY และ OZ วำ่ แกน X ทำงบวก (positive x-axis)
แกน Y ทำงบวก (positive y-axis) และ แกน Z ทำงบวก (positive z-axis) และเรียก
ส่วนของ เสน้ ตรง OX' OY' และ OZ' วำ่ แกน X ทำงลบ (negative x-axis) แกน Y ทำง
ลบ (negative y-axis) และ แกน Z ทำงลบ (negative z-axis) โดยทว่ั ไปเม่ือเขียนรูป
แกนพิกดั ในสำมมิติ นิยมเขียนเฉพำะ แกน X แกน Y และ แกน Z ที่เนน้ เฉพำะ
ทำงดำ้ นที่แทนจำนวนจริงบวกซ่ึงมีหวั ลกู ศรกำกบั ดงั รูป

แกน X แกน Y และ แกน Z จะกำหนดระนำบข้ึน 3 ระนำบ เรียกวำ่ ระนำบอำ้ งอิง
• เรียกระนำบที่กำหนดดว้ ย แกน X และแกน Y วำ่ ระนำบอำ้ งอิง XY หรือ ระนำบ XY
• เรียกระนำบที่กำหนดดว้ ย แกน X และแกน Z วำ่ ระนำบอำ้ งองิ XZ หรือ ระนำบ XZ
• เรียกระนำบที่กำหนดดว้ ย แกน Y และแกน Z วำ่ ระนำบอำ้ งอิง YZ หรือ ระนำบ YZ

ระนำบ XY ระนำบ YZ และระนำบ XZ ท้งั สำมระนำบ จะแบง่ ปริภูมิสำมมิติ ออกเป็น
8 บริเวณ คือ เหนือระนำบ XY จำนวน 4 บริเวณ และใตร้ ะนำบ XY จำนวน 4 บริเวณ
เรียกแต่ละบริเวณวำ่ อฒั ภำค (octant) ดงั รูปท่ี 6 อฒั ภำคท่ีบรรจุ แกน X แกน Y และ
แกน Z ทำงบวกจะเรียกวำ่ อฒั ภำคท่ี 1 ส่วนอฒั ภำคอื่นๆ จะใชข้ อ้ ตกลงเดียวกบั ใน
ระบบพกิ ดั ฉำกสองมิติ (นบั ทวนเขม็ นำฬิกำ) โดยพจิ ำรณำบริเวณเหนือระนำบ XY
ก่อน

เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก

1. การเขยี นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก

ในกำรเขียนเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉำกน้นั สำมำรถเขียนไดโ้ ดยกำรบอก
ทิศทำงในแนวนอนและแนวต้งั ตำมลำดบั ซ่ึงถำ้ ให้ a คือทิศทำงในแนวนอน
และ b เป็นทิศทำงในแนวต้งั และu เป็นเวกเตอร์ในระนำบ จะไดว้ ำ่
u = a/b โดยท่ี a และ b เป็นจ ำนวนจริงใดๆ และสำมำรถบอกทิศทำงของ
เวกเตอร์ดงั น้ี

a > 0 แนวนอนไปทำงขวำ และ a < 0 แนวนอนไปทำงซำ้ ย

b > 0 แนวต้งั ข้ึนดำ้ นบน และ b < 0 แนวต้งั ลงดำ้ นลำ่ ง

2. สมบตั ขิ องเวกเตอร์

3. การบวก – ลบ เวกเตอร์

4. การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

5. เวกเตอร์ท่ขี นานกนั

ผลคูณเชิงสเกลาร์

ผลคูณเชิงสเกลำร์ของเวกเตอร์ หรือภำษำองั กฤษคือ dot product คือกำร
นำเวกเตอร์มำดอทกนั ผลลพั ธจ์ ำกกำรนำเวกเตอร์มำดอทกนั น้ีจะเป็นสเกลำร์หรือวำ่
ตวั เลข เรำมำดูนิยำมของมนั เลยครับ





ผลคูณเชิงเวกเตอร์



Thank you