Matematik Tingkatan 4-pdf

MATEMATIK TINGKATAN 4
BAB 1 : BENTUK PIAWAI

ANGKA BERERTI

Angka bererti merujuk kepada angka yang berkaitan integer atau perpuluhan, yang telah digenapkan
kepada ketepatan darjah yang ditentukan.

Contoh 1

Nyatakan bilangan angka bererti (a.b.) dalam setiap nombor berikut;

 5 279
Jwb: 4 angka bererti

 52 009
Jwb: 5 angka bererti

 0.001 25
Jwb: 3 angka bererti

 0.010 41
Jwb: 4 angka bererti

Contoh 2

Ungkapkan setiap nombor yang berikut tepat kepada 1 angka bererti (1 a.b.), 2 angka bererti (2 a.b.)
dan 3 angka bererti (a.b.).

 87 310
 9 875
 1 009
 0.045 62
 0.002 31

Jwb: 1 angka bererti 2 angka bererti 3 angka bererti
90 000 87 000 87 300
Nombor 10 000 9 900 9 880
87 310 1 000 1 000 1 010
9 875 0.05 0.046 0.045 6
1 009 0.002 0.002 3 0.002 31
0.045 62
0.002 31

BENTUK PIAWAI

Adalah lebih mudah untuk menulis suatu nombor yang sangat/terlalu besar atau nombor yang
sangat/terlalu kecil dalam bentuk piawai (standard form) atau tatatanda saintifik (scientific notation).

Nombor yang diungkap dalam bentuk piawai adalah ditulis sebagai A x 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan
n ialah integer positif atau negatif.

Mengungkapkan nombor positif dalam bentuk piawai
Nombor positif yang lebih besar daripada, atau sama dengan 10, boleh ditulis dalam bentuk
piawai A x 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan n adalah integer positif, iaitu n = 1, 2, 3, ...
Contoh i:

 90 = 9 x 10
 9 803 000 = 9.803 x 106
* Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kiri.

Nombor positif yang kurang daripada 1, boleh ditulis dalam bentuk piawai A x 10n, di
mana 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer negatif, iaitu n = ..., -3, -2, -1.
Contoh ii:

 0.563 = 5.63 x 10-1
 0.00709 = 7.09 x 10-3
** Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kanan.

Contoh 1:
Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

 8 383
Jwb:
8383 = 8383.0 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kiri]
= 8.383 x 103

 31 584
Jwb:
31 584 = 31 584.0 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri]
= 3.1584 x 104

 240 000
Jwb:
240 000 = 240 000.0 → [gerakkan titik perpuluhan 5 tempat ke kiri]
= 2.4 x 105

Contoh 2:

Tulis nombor-nombor berikut dalam bentuk piawai.

 0.9233
Jwb:
0.9233 → [gerakkan titik perpuluhan 1 tempat ke kanan]
= 9.233 x 10-1

 0.0463
Jwb:
0.0463 → [gerakkan titik perpuluhan 2 tempat ke kanan]
= 4.63 x 10-2

 0.0005452
Jwb:
0.0005452 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kanan]
= 5.452 x 10-4

Menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal (single number)

Nombor dalam bentuk piawai, iaitu A x 10n boleh ditukar kepada nombor tunggal (single
number) dengan menggerakkan titik perpuluhan pada A.

 n ditempatkan ke kanan jika n adalah positif.
 n ditempatkan ke kiri jika n adalah negatif.

Contoh 3:

Ungkapkan bentuk piawai berikut kepada nombor tunggal (single number).

 8.09 x 103
Jwb:
= 8.090 → [gerakkan titik perpuluhan 3 tempat ke kanan]
= 8090

 6.228 x 10-4

Jwb:

= 6.228 → [gerakkan titik perpuluhan 4 tempat ke kiri]
= 0.0006228

Pengiraan nombor dalam bentuk piawai

Dua nombor dalam bentuk piawai boleh ditambah atau ditolakkan jika kedua-dua nombor

mempunyai indeks yang sama.

Contoh 4:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.
 5.8 x 104 - 2.7 x 104
Jwb:
Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu 4
= (5.8 - 2.7) x 10 4 ← [104 adalah faktor sepunya (common factor)]
= 3.1 x 10 4
 3.5 x 10-3 + 5.6 x 10-3
Jwb:
Kedua-dua nombor mempunyai indeks yang sama, iaitu -3
= (3.5 + 5.6) x 10-3 ← [10-3 adalah faktor sepunya (common factor)]
= 9.1 x 10-3

Dua nombor dalam bentuk piawai yang mempunyai indeks yang berbeza hanya boleh ditambah
atau ditolak jika indeks yang berbeza tersebut dijadikan sama.
Contoh 5:
Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

 6.6 x 106 + 5 x 105
Jwb:

6.6 x 106 + 5 x 105
Tukarkan indeks 5 kepada indeks 6 iaitu, indeks yang lebih besar.
= 6.6 x 106 + 5 x 10-1 x 106

** 5 x 10-1 = 0.5

= 6.6 x 106 + 0.5 x 106
= (6.6 + 0.5) x 106 ← [106 adalah faktor sepunya]
= 7.1 x 106

 8.4 x 10-4 - 8 x 10-5
Jwb:
8.4 x 10-4 - 8 x 10-5
Tukarkan indeks -5 kepada indeks -4 iaitu, indeks yang lebih besar.
= 8.4 x 10-4 - 8 x 10-1 x 10-4

** 8 x 10-1 = 0.8

= 8.4 x 10-4 - 0.8 x 10-4
= (8.4 - 0.8) x 10-4 ← [10-4 adalah faktor sepunya]
= 7.6 x 10-4

Apabila dua nombor dalam bentuk piawai didarab atau dibahagi, nombor-nombor biasa akan
didarab atau dibahagi diantara satu sama lain, manakala indeks mereka pula akan ditambah atau
ditolak.

Contoh 6:

Cari nilai yang berikut, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

 9.5 x 103 x 2.2 x 102
Jwb:
Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-
nombor indeks dalam kumpulan lain.
= 9.5 x 2.2 x 103 x 102
* 10m x 10n = 10m+n
= 9.5 x 2.2 x 103+2
= 20.9 x 105
** Menulis 20.9 dalam bentuk piawai, iaitu 2.09 x 101
= 2.09 x 101 x 105
= 2.09 x 106

 (7.2 x 105) ÷ (6 x 10-2)
Jwb:
Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-
nombor indeks dalam kumpulan lain.
= (7.2 ÷ 6) x 105-(-2)
= 1.2 x 107

Contoh 7:

Kira (7.2 x 60 000) ÷ (9 x 107), dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.

Jwb:
Tukarkan mana-mana nombor yang diberi kepada bentuk piawai sebagai langkah pertama.
= (7.2 x 6 x 104) ÷ (9 x 107)

Asingkan dan susun semula nombor-nombor biasa dalam satu kumpulan, manakala nombor-nombor
indeks dalam kumpulan lain.
= ((7.2 x 6) ÷ 9) x {104 ÷ 107)
* 10m ÷ 10n = 10m-n
= 4.8 x 104-7
= 4.8 x 10-3

BAB 2 : UNGKAPAN DAN PERSAMAAN KUADRATIK

UNGKAPAN KUADRATIK
Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.
2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah.

Contoh:
3x2 + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana
(i) pemboleh-ubahnya adalah x,
(ii) kuasa tertinggi x ialah 2.
Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax2 + bx + c,
dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x2 + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:
 dengan dua sebutan, contohnya 2x2 + 4x, c = 0
 dengan satu sebutan, contohnya 5p2, b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x +
3) = 2x2 + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah
dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-
kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:
Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah.
Beri alasan-alasan bagi jawapan.

 5x2 - 2x + 1
Jwb:
Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.

 -3g2
Jwb:
Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.

 3b - 4
Jwb:
Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1.

 a2 - b2
Jwb:
Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.

 p2 + 1
Jwb:
Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.

 x(x3 + x - 2)
Jwb:
Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c.

Contoh 2:
Darabkan ungkapan linear berikut.

 (2x - 3)(x + 1)
Jwb:
= 2x(x + 1) - 3(x + 1)
= 2x2 + 2x - 3x -3
= 2x2 - x - 3

 -y(y - 5)
Jwb:

= -y x y + (-y) x (-5)
= -y2 + 5y

Contoh 3:
Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:
Luas = Panjang x Lebar
= (x + 1)(x + 3)
= x(x + 3) + 1(x + 3)
= x2 + 3x + x + 3
= x2 + 4x + 3

PEMFAKTORAN UNGKAPAN KUADRATIK

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari
dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik
tersebut.

Contohnya;

x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax2 + bx dan ax2 + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor
sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.
 6 – 15m2
Jwb: 3(2 – 5m2) ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m2.
 10k2 – 15k
Jwb: 5k(2k – 3) ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k2 dan 15k.

Ungkapan kuadratik px2 – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh
ditulis semula sebagai (ax) 2 – b2 dengan a2 = p dan b2 = q.

Seterusnya (ax) 2 – b2 difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.
 x2 – 16
Jwb:
= x2 – 42 ; 1 = 12 dan 16 = 42 adalah kuasa dua sempurna.
= (x – 4)(x + 4)
 9m2 – 25
Jwb:
= (3m) 2 – 52 ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna.
= (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x2 + bx + c memberi (x + p)(x + q), manakala
ungkapan kuadratik ax2 + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan x2 – 8x + 15.

Jwb:
Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)
= (x – 5)(x – 3)
Dimana x2 – 3x – 5x + 15 = x2 – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x2 – 12x – 9

Jwb:
Dengan menggunakan kaedah cuba jaya
= (5x + 3)(x – 3)
Dimana 5x2 – 15x + 3x – 9 = 5x2 – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x2 – 32x + 64

Jwb:
Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4
= 4(x2 – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x2 – 8x + 16)
= 4(x – 4)(x – 4)
= 4(x – 4) 2

MENGENAL PASTI PERSAMAAN KUADRATIK DALAM SATU ANU
Persamaan kuadratik dalam satu anu ialah kesamaan yang melibatkan ungkapan kuadratik.
Ciri-ciri persamaan kuadratik dalam satu anu ialah:
a) Ia melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu.
b) Ia mempunyai tatatanda kesamaan, ‘=’.

Contoh
Nyatakan samada setiap yang berikut ialah persamaan kuadratik dalam satu anu atau tidak. Jelaskan
mengapa.

Penyelesaian:
a) 3x2 + 5x + 8 = 0 melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu dan tatatanda ‘=’. Oleh itu, 3x2 +
5x + 8 = 0 adalah satu persamaan kuadratik dalam satu anu.
b) (y + 3)/2 = y melibatkan ungkapan linear. Oleh itu (y + 3)/2 = y bukan satu persamaan kuadratik
dalam satu anu.

c) (4/m) – 9m = 12 melibatkan sebutan 4/m. Oleh itu, (4/m) – 9m = 12 bukan satu persamaan
kuadratik dalam satu anu.
d) 13 + 18j – 10j2 melibatkan ungkapan kuadratik dalam satu anu tetapi tidak mengandungi tatatanda
‘=’. Oleh itu, 13 + 18j – 10j2 bukan satu persamaan kuadratik dalam satu anu.
e) x2 + y2 – 6xy = 15 melibatkan dua anu iaitu x dan y. Oleh itu, x2 + y2 – 6xy = 15 bukan satu
persamaan kuadratik dalam satu anu.
f) 4 – q = 5q3 melibatkan kuasa tiga bagi anu p. Oleh itu, 4 – q = 5q3 bukan satu persamaan kuadratik
dalam satu anu

MENULIS PERSAMAAN KUADRATIK DALAM BENTUK AM
Suatu persamaan kuadratik dalam bentuk am boleh ditulis sebagai,

Suatu persamaan kuadratik dalam bentuk am mempunyai kuasa x yang disusun dalam tertib
menurun.

Contoh
Tulis setiap persamaan kuadratik yang berikut dalam bentuk am.

Penyelesaian:

MEMBENTUK PERSAMAAN KUADRATIK BERDASARKAN SITUASI HARIAN TERTENTU
Contoh
Sekumpulan pelajar ingin membina satu bendera Sekolah (bendera gergasi) dengan panjang
pepenjuru bendera tersebut ialah 10 m. Panjang bendera itu adalah 4 m kurang daripada dua kali
lebarnya. Bentukkan satu persamaan kuadratik berdasarkan maklumat yang diberi.
Penyelesaian:
Katakan lebar = x m
Panjang = (2x – 4) m

Berdasarkan Teorem Phytagoras
(2x – 4)2 + x2 = 102

(2x – 4) (2x – 4) + x2 = 100
4x2 – 8x – 8x + 16 + x2 = 100
4x2 + x2 – 16x + 16 = 100
5x2 – 16x + 16 – 100 = 0
5x2 – 16x – 84 = 0

PUNCA PERSAMAAN KUADRATIK
Punca persamaan kuadratik (roots of quadratic equation) ialah nilai bagi pembolehubah yang
memuaskan persamaan kuadratik.
Apabila suatu persamaan kuadratik dan suatu nilai pembolehubahnya diberi, kita boleh menentukan
sama ada nilai tersebut adalah punca persamaan itu atau tidak, secara penggantian (substitution).
Contoh

Penyelesaian:

MENENTUKAN PUNCA PERSAMAAN KUADRATIK MENGGUNAKAN KAEDAH
PEMFAKTORAN
Untuk menentukan punca persamaan kuadratik, kita menggunakan kaedah pemfaktoran
(factorisation method), iaitu (x + p)(x + q) = 0 atau (mx + p)(nx + q) = 0.
Oleh kerana sesuatu persamaan kuadratik boleh difaktorkan sebagai hasil darab dua ungkapan linear
(yang boleh disamakan dengan 0), maka persamaan itu selebih-lebihnya mempunyai dua punca.
Contoh 1
Selesaikan setiap yang berikut.
a) x2 = 7x
b) p2 − 6p − 7 = 0
Penyelesaian:

Contoh 2

Selesaikan setiap yang berikut.
a) 2q2 + 7q + 6 = 0
b) 2r2 − 9r + 4 = 0
Penyelesaian:

Contoh 3
Selesaikan setiap yang berikut.
a) 6m2 − 22m − 8 = 0
b) 7p − 2 − 6p2 = 0

Penyelesaian:

BAB 3
TAKRIFAN SET
Set ialah himpunan (collection or group) sekumpulan objek dengan ciri sepunya (common
characteristics) tertentu. Setiap objek tersebut dikenali sebagai unsur (elements).
Set kebiasaanya dinyatakan atau ditulis dengan menggunakan tatatanda set, { } dalam 3 cara.
Contohnya, bagi satu set yang ditakrifkan sebagai ‘set nombor perdana yang kurang daripada 11’:

1. Secara perihalan (description)
{Nombor perdana yang kurang daripada 11}

2. Menyenaraikan unsur (roster)
{2, 3, 5, 7}

3. Menggunakan pembolehubah (set-builder notation)
{x: x ialah nombor perdana yang kurang daripada 11}
atau
{ x: x ialah nombor perdana dan x < 11}

Set juga boleh dilabel dengan huruf besar (capital letters), contohnya B = {2, 3, 5, 7}
Unsur yang sama (same elements) dalam sesuatu set tidak perlu diulang (need not be repeated).
Contohnya, {huruf bagi perkataan KATAK} = {K, A, T}
Simbol ∈ digunakan bagi menunjukkan sesuatu objek adalah unsur bagi (element of) sesuatu set.
Simbol ∉ bermakna ‘bukan unsur bagi’ (does not belong to).
Contohnya, B = {2, 4, 6, 8}, 5 ∉ B

Selain daripada menulis set secara perihalan dan menggunakan tatatanda set { }, bentuk geometri
seperti bulatan, segiempat tepat, segitiga dan sebagainya boleh digunakan untuk mewakili sesuatu
set.
Rajah di bawah dikenali sebagai gambar rajah Venn (Venn diagram). Contohnya:

A = {2, 4, 6, 8}
B = {3, 5, 7, 9}
Setiap titik di sebelah kiri (dot to the left) objek dalam gambarajah Venn mewakili satu unsur.

MEWAKILKAN SET DENGAN GAMBARAJAH VENN

Sesuatu set boleh diwakilkan dengan gambar rajah Venn oleh bentuk geometri yang tertutup seperti
bulatan, segi empat tepat, segi tiga, dan lain-lain.
Setiap unsur dalam sesuatu set diwakilkan oleh satu titik dalam gambarajah Venn.
Contoh 1
Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili setiap set yang berikut:
a) P = {2, 7, 8}
b) Q = {b, e, r, s, i, h}
Penyelesaian:

Menyenaraikan dan menyatakan bilangan unsur bagi suatu set
Bilangan unsur bagi suatu set A diwakilkan dengan menggunakan tatatanda n(A).
Contoh 2
Diberi H = {x: 1≤ x ≤ 60 dan x boleh dibahagi tepat dengan 5}.
a) Senaraikan unsur bagi set H.
b) Nyatakan n(H).
Penyelesaian:
a) H = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60}
b) n(H) = 12

MENENTUKAN SAMADA SESUATU SET ADALAH SET KOSONG ATAU TIDAK

Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur.

Set kosong diwakilkan dengan menggunakan simbol ϕ (phi).

Contoh 3
Tentukan samada setiap set yang berikut ialah set kosong atau bukan set kosong.
a) P = {segi tiga-segi tiga sama sisi yang bersudut tegak}
b) Q = {nombor-nombor perdana yang genap}
c) R = {persamaan-persamaan kuadratik yang mempunyai dua punca}
d) S = {x: x ialah satu nombor dengan keadaan x2 < 0}

Penyelesaian:
a) Semua segi tiga sama sisi tidak mempunyai susut tegak. Oleh itu, P ialah set kosong.
b) Nombor perdana, 2, adalah genap. Oleh itu, Q bukan set kosong.
c) Sebilangan persamaan kuadratik mempunyai dua punca. Oleh itu, R bukan set kosong.
d) Kuasa dua bagi suatu nombor adalah positif. Oleh itu, S ialah set kosong.

MENENTUKAN SAMADA DUA SET ADALAH SET SAMA ATAU TIDAK

Dua set A dan set B adalah set sama jika setiap unsur dalam set A adalah unsur dalam set B dan setiap
unsur set B adalah unsur dalam set A.

Contoh 4
Tentukan samada setiap pasangan set yang berikut adalah set sama atau tidak.

Penyelesaian:

SUBSET
MENENTUKAN SUATU SET YANG DIBERI ADALAH SUBSET BAGI SET TERTENTU

Set A ialah subset bagi set B jika semua unsur dalam set A terdapat dalam set B.
Hubungan ‘set A ialah subset bagi set B’ ditulis sebagai,

Contoh 1
Diberi,
A = {Ipoh, Kangar, Kota Bharu, Seremban}
B = {Kota Kinabalu, Kuching, Sandakan}
C = {Taiping, Miri, Johor Bahru}
D = {Kuantan, Kuala Terengganu, Kuala Selangor, Gemas}
H = {Bandar-bandar di Semenanjung Malaysia}

a) A __ H
b) B __ H
c) C __ H
d) D __ H
Penyelesaian:

MEWAKILKAN SESUATU SUBSET DENGAN MENGGUNAKAN GAMBAR RAJAH VENN

Contoh 2
Diberi A = {2, 3, 4, 5} dan B = {x: x ialah integer dan 1 ≤ x ≤ 8}.
Penyelesaian:

Contoh 3

Gambar rajah Venn di atas menunjukkan empat set, P, Q, R dan S. Tulis satu hubungan antara
a) P dengan Q.
b) Q dengan S.
c) R dengan S.
d) Q dengan R.
Penyelesaian:

SET SEMESTA DAN PELENGKAP BAGI SUATU SET
Set semesta (universal set) ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan
perbincangan.
Simbol bagi set semesta ialah ξ.
Hubungan antara set A dengan set semesta ξ boleh ditunjukkan dalam gambar rajah Venn. Misalnya,
jika
A = {b, d}
ξ = {a, b, c, d, e, f, g}
Gambar rajah Venn:

Sesuatu set A adalah subset bagi set semestanya, A ⊂ ξ.
Pelengkap bagi set A (complement of set A) dalam set semesta ξ ialah satu set yang mengandungi
semua unsur yang bukan unsur A.
Simbol A’ digunakan bagi mewakili pelengkap bagi A.
Hubungan antara set A dan pelengkap baginya, A’, boleh diwakili seperti gambar rajah Venn berikut.

Contoh
Diberi
ξ = {11, 12, 13, …, 20}
A = {nombor perdana}
B = {nombor ganjil}
a) Senaraikan unsur bagi A’.
b) Lukiskan satu gambar rajah Venn untuk menunjukkan hubungan antara A, B dan ξ.

Penyelesaian:
a)
A = {11, 13, 17, 19}
∴ A’ = {12, 14, 15, 16, 18, 20}
b)

Perbandingan antara set, subset, set semesta dan pelengkap bagi suatu set boleh dilakukan dari segi
unsur, bilangan unsur dan ‘subset kepada’.
Misalnya, bagi set A yang mengandungi subset B:

BAB 4: PENAAKULAN MATEMATIK

PERNYATAAN

Pernyataan dan nilai kebenarannya

Pernyataan (statement) adalah suatu ayat yang bermaksud sama ada benar (true) atau palsu (false),
tetapi bukan kedua-duanya (not both).

Ayat-ayat yang berbentuk soalan (question), arahan (instruction) dan seruan (exclamation) adalah
bukan pernyataan.

Contoh 1

Tentu sama ada ayat-ayat berikut adalah suatu pernyataan atau bukan.
 7+2=9
Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.
 Sebuah pentagon mempunyai empat sisi.
Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.
 Senaraikan tiga nombor pertama dibahagikan dengan 10.
Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah arahan.
 Jawab semua soalan yang diberi.
Jwb: Pernyataan. Ayat ini adalah arahan.
 Tolong!
Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah seruan.
 1 adalah nombor perdana.
Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.
 a x b x c = ac.

Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.

Contoh 2

Tentukan samada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.
 Sebuah segitiga sisi sama mempunyai tiga sisi.
Jwb: Benar.
 1 < -6
Jwb: Palsu. 1 > -6.
 0 > -9
Jwb: Benar.
 2.1 adalah suatu integer.
Jwb: Palsu. 2.1 ialah perpuluhan.
 2+2<5
Jwb: Benar. 4 < 5.

Pernyataan yang melibatkan nombor dan simbol matematik

Pernyataan sama ada benar atau palsu juga boleh dibina/bentuk dengan menggunakan nombor dan
simbol matematik (numbers and mathematical symbols).

Contoh 3

Tulis satu pernyataan (i) benar dan satu pernyataan (ii) palsu yang melibatkan:
 2, 4, 8, ÷ , =
Jwb:
i) 8 ÷ 4 = 2. Benar.
ii) 4 ÷ 2 = 8. Palsu.

 {p, q, r, s}, {t, v}, { }, ∩, =
Jwb:
i) {p, q, r, s} ∩ {t, v} = { }. Benar.
ii) {p, q, r, s} ∩ { } = {t, v}. Palsu.

MEMBINA PERNYATAAN YANG MENGGUNAKAN PENGKUANTITI ‘SEMUA’ DAN
‘SEBILANGAN’
Pengkuantiti (quntifiers) menerangkan bilangan objek atau kes yang terlibat dalam sesuatu
pernyataan.
Pengkuantiti ‘semua, setiap, sebarang’ (all) adalah bermaksud setiap objek atau kes yang memenuhi
syarat tertentu.
Pengkuantiti ‘sebilangan, beberapa, satu daripada, sebahagian’ (some) adalah bermaksud beberapa
dan tidak semestinya setiap objek atau kes yang memenuhi syarat tertentu.

Contoh 1
Dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’, lengkapkan setiap yang berikut supaya
membentuk satu pernyataan yang benar.
a) __________ segitiga mempunyai satu sudut tegak.
b) __________ nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.
c) __________ segi empat sama adalah segi empat tepat.
d) __________ nombor kuasa dua adalah ganjil.

Penyelesaian:
a) Sebilangan segitiga mempunyai satu sudut tegak.
b) Semua nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.
c) Semua segi empat sama adalah segi empat tepat.
d) Sebilangan nombor kuasa dua adalah ganjil.

Contoh 2
Bina satu pernyataan benar dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’.
a) Nombor positif boleh ditulis dalam bentuk piawai.
b) Punca persamaan kuadratik adalah negatif.
c) Sifar yang terletak diantara digit-digit bukan sifar adalah angka bererti.
d) Pecahan mempunyai pengangka kurang daripada penyebut.
Penyelesaian:
a) Semua nombor positif boleh ditulis dalam bentuk piawai.
b) Sebilangan punca persamaan kuadratik adalah negatif.
c) Semua sifar yang terletak diantara digit-digit bukan sifar adalah angka bererti.
d) Sebilangan pecahan mempunyai pengangka kurang daripada penyebut.

BAB 5 : GARIS LURUS
KECERUNAN GARIS LURUS

Kecerunan garis lurus (gradient of a straight line) ialah nisbah jarak mencancang/menegak (vertical
distance) kepada jarak mengufuk (horizontal distance) di antara sebarang dua titik pada garis lurus.

Contohnya,

Dalam rajah di atas, jarak mencancang di antara A dan B ialah 3 unit, manakala jarak mengufuk di
antara A dan B ialah 5 unit. Maka kecerunan garis lurus AB ialah
Kecerunan = Jarak mencancang / jarak mengufuk
=3/5
= 0.6

BAB 6 : STATISTIK

HISTOGRAM
Histogram adalah pembentangan grafik bagi suatu taburan kekerapan (frequency distribution).

Histogram dengan selang kelas saiz yang sama (class interval of equal size) mewakili kekerapan
setiap selang kelas dengan segi empat tepat yang mempunyai lebar (breadth) yang sama, dan
ketinggian setiap segi empat (rectangle) tersebut adalah berkadaran (proportional) dengan
kekerapan (frequency).

Melukis Histogram
Jadual di bawah menunjukkan masa belajar (dalam jam) 40 orang pelajar dalam seminggu.

Masa (jam) Bilangan pelajar
10 –14 6
15 – 19 8
20 – 24 12
25 – 29 8
30 – 34 5
35 – 39 1

Lukiskan histogram untuk mewakili taburan kekerapan.

Penyelesaian:

Langkah 1:
Cari sempadan bawah (lower boundary) dan sempadan atas (upper boundary) bagi setiap selang
kelas (class interval) seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Masa Bilangan Sempadan bawah Sepadan atas (upper
(jam) pelajar (lower boundary) boundary)
10 – 14 6 9.5 14.5
15 – 19 8 14.5 19.5
20 – 24 12 19.5 24.5
25 – 29 8 24.5 29.5
30 – 34 5 29.5 34.5
35 – 39 1 34.5 39.5

Langkah 2:
Pilih skala yang sesuai untuk paksi melinntang/mengufuk (horizontal axis) dan paksi menegak
(vertical axis) supaya data boleh mudah diplotkan pada graf dan histogram.

Paksi mengufuk/melintang mewakili selang kelas dan biasanya dilabelkan dengan sempadan kelas
(class boundary).
Paksi menegak mewakili kekerapan (frequency) setiap kelas.
Langkah 3:
Lukis segi empat tepat (rectangle) untuk mewakili setiap selang kelas dengan lebarnya (its breadth)
adalah sama dengan saiz setiap selang kelas, dan ketinggiannya (its height) mewakili kekerapan
bagi setiap selang kelas (class interval).

Mentafsir Histogram
Maklumat berikut boleh ditafsirkan daripada histogram.

1. Data kelas sepunya/biasa (common class), iaitu kelas mod (modal class)
2. Jumlah bilangan data yang dikaji atau dikutip (hasil tambah kekerapan)
3. Kekerapan (frequency) setiap kelas.
4. Bilangan data (atau peratusan data) yang lebih atau kurang daripada nilai tertentu

sempadan kelas (class boundary).
5. Nilai min (mean) data terkumpul.
6. Nilai mod (mode).

Contoh 1:

Histogram dalam rajah di atas menunjukkan halaju beberapa buah kereta di beberapa lokasi
tertentu lebuh raya. Berdasarkan histogram, jawab soalan-soalan berikut:

 Nyatakan kelas sepunya/biasa (common class) halaju.
Jwb:
Kelas sepunya/biasa halaju diberi oleh kelas mod (modal class), iaitu 100 - 109 km/j.

 Kira jumlah kereta yang dibuat pemerhatian.
Jwb:
= Hasil tambah kekerapan (sum of frequencies)
= 20 + 40 + 60 + 50 + 5
= 175

 Kira bilangan kereta yang bergerak pada halaju 100km/j - 119km/j.
Jwb:
Bersamaan dengan hasil tambah kekerapan pada selang kelas ketiga dan keempat.
= 60 + 50
= 110

 Had laju di sepanjang lebuh raya ini ialah 120km/j. Kira peratusan (percentage) kereta
yang bergerak pada dan melebihi had laju.
Jwb:
Jumlah kereta yang bergerak pada dan melebihi had laju (≥ 120km/j) adalah 5, bersamaan

dengan kekerapan pada selang kelas ke-5.

Oleh itu, peratusan kereta yang bergerak pada dan melebihi had laju adalah,
= (5 / 175) x 100
= 2.86 %

 Kira min (mean) halaju kereta.
Jwb:
Sediakan satu jadual kekerapan data yang dikumpulkan dan ditafsirkan daripada histogram,
seperti yang ditunjukkan di bawah.

Halaju Kekerapan Titik tengah Kekerapan x Titik
(km/j) (f) (x) tengah
(fx)
80 – 89 20 84.5
90 – 99 40 94.5 1690
100 – 109 60 104.5
110 – 119 50 114.5 3780
120 – 129 5 124.5 6270
Hasil tambah ∑f = 175
5725

622.5
∑fx = 18087.5

= 18087.5 / 175
= 103.36 km/j

BAB 7 : KEBARANGKALIAN I

RUANG SAMPEL

Kesudahan yang mungkin bagi sesebuah eksperimen

Eksperimen (experiment) adalah satu proses atau tindakan dalam membuat pemerhatian untuk
mendapatkan keputusan yang dikehendaki.

Hasil/kesudahan (outcomes) eksperimen adalah satu keputusan yang mungkin (kemungkinan) yang
boleh diperolehi daripada eksperimen tersebut.

Contoh 1

Di dalam sebuah kotak, terdapat guli merah dan biru. Sebiji guli kemudiannya dikeluarkan secara
rawak daripada kotak tersebut. Tentukan sama ada setiap kesudahan yang berikut adalah
kesudahan/hasil yang mungkin.

 Guli merah dikeluarkan.
Jwb: Guli merah dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.

 Guli biru dikeluarkan.
Jwb: Guli biru dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.

 Guli kuning dikeluarkan.
Jwb: Guli kuning dikeluarkan adalah kesudahan yang tidak mungkin, kerana tidak ada guli
kuning dalam kotak tersebut.

Contoh 2

Tarikh lahir bagi pelajar dalam sebuah kelas direkodkan. Tentukan sama ada setiap kesudahan berikut
adalah kesudahan yang mungkin.

 23 Jun 1997.
Jwb: 23 Jun 1997 adalah tarikh lahir yang mungkin.

 30 Februari 1997.
Jwb: 30 Februari 1997 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana tarikh 30 Februari adalah
tidak wujud.

 31 Disember 2020.
Jwb: 31 Disember 2020 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana kita masih belum
memasuki tahun 2020.

Penyenaraian semua kemungkinan kesudahan/hasil
Contoh 3
Satu eksperimen dijalankan dengan melambung duit syiling. Senaraikan semua kesudahan yang
mungkin.
Jwb: Apabila duit syiling dilambung, kesudahan yang mungkin adalah 'kepala'(permukaan syiling yang
bergambar) dan 'ekor' (permukaan syiling yang bernombor).

Menentukan ruang sampel
Ruang sampel (sample space) adalah set semua kesudahan yang mungkin bagi satu eksperimen.
Contoh 4
Satu huruf dipilih daripada perkataan 'HITUNG'

 Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

Jwb: Kesudahan yang mungkin adalah H, I, T, U, N dan G.
 Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set.

Jwb: S = {H, I, T, U, N, G}. Ruang sampel biasanya ditandakan dengan huruf 'S'.

Contoh 5
Warna pelangi adalah disenaraikan. Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set.
Jwb: Ruang sampel, S = {merah, jingga, kuning, hijau, biru, indigo, ungu}.
PERISTIWA
Peristiwa (event) ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu. Misalnya,
Apabila sebiji dadu dilambung, ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika A = {2, 4, 6}, maka A dikenal
sebagai peristiwa mendapat nombor genap apabila sebiji dadu dilambungkan.
Perhatikan bahawa suatu peristiwa ialah subset bagi ruang sampel.

Peristiwa A merupakan peristiwa yang mungkin berlaku bagi ruang sampel S jika A ialah subset bagi
S dan A bukan set kosong.
Jika A ialah set kosong, maka A merupakan peristiwa yang tidak mungkin berlaku.

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi lima keping kad yang ditandakan dengan 1, 2, 3, 4 dan 5. Sekeping kad
dikeluarkan secara rawak daripada kotak tersebut. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang
memenuhi syarat-syarat berikut.
a) Satu nombor ganjil diperoleh.
b) Satu nombor perdana diperoleh.
Penyelesaian:
a) 1, 3 dan 5.
b) 2, 3 dan 5.

Contoh 2
Sebuah kotak mengandungi dua biji bola putih dan sebiji bola kuning. Dua biji bola dikeluarkan secara
rawak. Kenal pasti peristiwa yang memenuhi syarat-syarat berikut.
a) Bola pertama yang dikeluarkan berwarna putih dan bola kedua berwarna kuning.
b) Bola pertama dan kedua yang dikeluarkan berlainan warna.
Penyelesaian:
Katakan P1 dan P2 mewakili dua biji bola putih dan K mewakili bola kuning.

Ruang sampel,
S = {P1P2, P1K, P2P1, P2K, KP1, KP2}
a) {P1K, P2K}
b) {P1K, P2K, KP1, KP2}

Contoh 3
Satu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan ‘B A K T I’. Tentukan sama ada setiap peristiwa
yang berikut adalah mungkin atau tidak.
a) Peristiwa M = {A, I}
b) Peristiwa N = {B, K, R}
Penyelesaian:
a) Peristiwa M adalah mungkin.
b) Peristiwa N adalah tidak mungkin (tiada huruf R dalam ‘B A K T I’).

BAB 8 : BULATAN III
MENGENAL PASTI TANGEN KEPADA SUATU BULATAN
Tangen kepada suatu bulatan (tangent to a circle) ialah garis lurus yang menyentuh bulatan itu pada
satu titik sahaja.
Contoh
Dalam rajah di bawah, kenal pasti garis lurus yang merupakan tangen kepada bulatan.

Penyelesaian:
Garis lurus GH menyentuh bulatan itu pada satu titik sahaja. Maka, garis lurus yang merupakan tangen
kepada bulatan ialah GH.
Nota: Garis lurus AB tidak menyentuh bulatan. Garis lurus CD memotong bulatan pada dua titik. Garis
lurus EF memotong bulatan pada dua titik apabila dipanjangkan.

MEMBUAT INFERENS BAHAWA TANGEN KEPADA BULATAN ADALAH BERSERENJANG
DENGAN JEJARI YANG MELALUI TITIK SENTUHAN
Jejari yang melalui titik sentuhan tangen adalah berserenjang dengan tangen itu.

Contoh
Dalam rajah di bawah, RT ialah tangen kepada bulatan yang berpusat O di titik P.

a) Dengan menggunakan protraktor, ukur ∠OPR dan ∠OPT.
b) Apakah yang boleh dikatakan tentang hubungan antara jejari OP dengan tangen RT?
Penyelesaian:
a) ∠OPR = 90° dan ∠OPT = 90°.
b) Jejari OP adalah berserenjang (perpendicular) dengan tangen RT.

BAB 9 : TRIGONOMETRI II
MENGENAL PASTI SUKUAN DAN SUDUT-SUDUT DALAM BULATAN UNIT
Nilai Sin θ, Kos θ dan Tan θ (0° ≤ θ ≤ 360°)
Bulatan unit (unit circle) ialah suatu bulatan yang mempunyai jejari 1 unit dan pusat di asalan, O.

Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuan (quadrant), oleh paksi–x
dan paksi–y.

Sukuan-sukuan itu dinamakan sukuan I, sukuan II, sukuan III dan sukuan IV mengikut lawan arah
jam.
Suatu sudut θ adalah diukur dengan memutarkan garis OP mengikut lawan arah jam dari paksi–x
positif pada asalan.

Contoh
Lakarkan satu gambar rajah yang berasingan untuk mewakilkan sudut-sudut berikut;
a) 60°

b) 150°

c) 210°
d) 330°

BAB 10 : SUDUT DONGAKAN DAN SUDUT TUNDUK

MENGENAL PASTI GARIS MENGUFUK, SUDUT DONGAKAN & SUDUT TUNDUK
Sudut dongakan (angle of elevation) ialah sudut di antara garis mengufuk (horizontal line) yang
melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang
berada di sebelah atas garis mengufuk itu.

Sudut dongakan.

Sudut tunduk (angle of depression) ialah sudut di antara garis mengufuk (horizontal line) yang melalui
mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada
di sebelah bawah garis mengufuk itu.

Sudut tunduk.

Contoh

Berdasarkan gambar rajah di atas, kenal pasti garis mengufuk, sudut dongakan, dan sudut tunduk bagi
situasi tersebut.

Penyelesaian:

 Garis mengufuk ialah PQ.
 Sudut dongakan kapal terbang R dari P ialah sudut QPR.
 Sudut tunduk kapal layar S dari P ialah sudut QPS.

BAB 11 : GARIS DAN SATAH DALAM TIGA DIMENSI
MENGENAL PASTI SATAH
Satah ialah suatu permukaan rata.
Suatu permukaan bukan rata dipanggil permukaan melengkung.
Oleh itu, permukaan melengkung bukan sebahagian daripada satah.
Contoh

Kenal pastikan kesemua satah yang terdapat dalam pepejal tiga matra di atas.
Penyelesaian:
Satah-satah ialah ABCD, BCML, ADNK, ABLPK dan CDNQM.