พหุนาม และเศษส่วนของพหุนาม ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่2/2 จัดทําโดย 1. เด็กชายสุรนาท วงพันธ์ เลขที่7 2. เด็กชายกันตภณ ศรีวิลัย เลขที่11 3. เด็กชายวสุพล ดวงภุมเมศ เลขที่13 4. เด็กชายทนุธรรม นิลเเสงศรี เลขที่18 เสนอ คุณครูอัมพวรรณ บวบดี
พหุนาม คือ เอกนามหรือจํานวนที่เขียนอยู่ในรูปการบวกของเอกนาม ตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เอกนามในพหุนาม เรียกว่า พจน์ เช่น 5x3 -4x2 + 6 หรือ 5x3 +(-4x2 ) + 6 เป็นพหุนาม พจน์ที่ 1 คือ 5x3 พจน์ที่ 2 คือ -4x2 พจน์ที่ 3 คือ 6 ข้อสังเกต 1. 8x ก็เป็นพหุนามด้วย ดังนั้น 8x เป็นเอกนาม 2. เอกนามทุกเอกนามจะเป็นพหุนามเสมอ แต่พหุนามบางพหุนาม ไม่เป็นเอกนาม เช่น 5 + 3x เป็นพหุนาม แต่ไม่เป็นเอกนาม พหุนามในรูปผลสําเร็จ พหุนามในรูปผลสําเร็จ คือ พหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันปรากฏอยู่ เช่น 5x2 + 3x2 – 4x เป็นพหุนามไม่อยู่ในรูปผลสําเร็จ แต่ 8x2 – 4x เป็นพหุนามในรูปผลสําเร็จ ดีกรีของพหุนาม ดีกรีของพหุนาม หมายถึง ดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสําเร็จ เช่น 8x3 y + 4xy4 – 3x2 y2 มีดีกรีเท่ากับ 5 7x5 + 4x3 – 7x5 + 2x2 มีดีกรีเท่ากับ 3 พหุนาม 1
1.การบวกและการลบพหุนาม การหาผลบวกของพหุนาม ทําได้โดยนําพหุนามมาเขียนในรูปการบวก ถ้ามีพจน์ ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 5x² – 7x + 3 กับ 6x – 5 วิธีทํา (5x² – 7x + 3) + (6x – 5) = 5x² – 7x + 3 + 6x – 5 = 5x²– x – 2 ตอบ 5x² – x – 2 ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ 13x³– 8x² + x กับ 5x² – 3x + 7 วิธีทํา (13x³– 8x² + x) + (5x² – 3x + 7) = 13x³ – 8x² + x + 5x² – 3x + 7 = 13x³ – 3x² – 2x + 7 ตอบ 13x³ – 3x²– 2x + 7 ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลบของ 5x² – 7x + 3 กับ 6x – 5 วิธีทํา (5x² – 7x + 3) - (6x – 5) = 5x² – 7x + 3 + (-6x) + 5 = 5x² – 13x + 8 ตอบ 5x² – 13x + 8 ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ 13x³ – 8x² + x กับ 5x² – 3x + 7 วิธีทํา (13x³ – 8x² + x) – (5x² – 3x + 7) = 13x³ – 8x² + x + (-5x²) + 3x + (-7) = 13x³ – 13x² + 4x – 7 ตอบ 13x³ – 13x² + 4x – 7 การหาผลลบของพหุนาม ทําได้โดยการบวกพหุนามตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้าม ของแต่ละพจน์ของพหุนามตัวลบ 2
2. การคูณพหุนาม 1. การคูณเอกนามกับพหุนาม การหาผลคูณของเอกนามกับบพหุนาม ทําได้โดยนําเอกนามไปคูณแต่ละพจน์ ของพหุนาม แล้วนําผลคูณเหล่านั้นมารวมกัน ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ 3x กับ 7x² – 5x + 2 วิธีทํา (3x)(7x² – 5x + 2) = (3x)[(7x²) + (-5x) + 2] = (3x)(7x²) + (3x)(-5x) + (3x)(2) = 21x³ – 15x² + 6x ตอบ 21x³ – 15x² + 6x ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณของ (-9x³ + 2x2 – 4x + 5)(6x2 ) วิธีทํา (-9x³ + 2² – 4x + 5)(6x²) = [(-9x³) + 2x² + (-4x) + 5](6x²) = (-9x³ )(6x²) + (2x2)(6x² ) + (-4x)(6x²) + (5)(6x²) = -54x ⁵ + 12x ⁴ – 24x³ + 30x² ตอบ -54x ⁵ + 12x ⁴ – 24x³ + 30x² 3
ใช้สมบัติการแจกแจง โดยนํา x คูณ (2x-5) และ 2 คูณ (2x-5) ใช้สมบัติการแจกแจงจง โดยนํา 3x2 คูณ (-x3 + 2x - 1) และนํา 5 คูณ (-x3 + 2x - 1) 2. การคูณพหุนามกับพหุนาม การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทําได้โดย การคูณแต่ละพจน์ของพหุนาม หนึ่งกับทุกๆพจน์ของอีกพหุนามหนึ่งแล้วนําผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน 2.1 การคูณพหุนามในแนวนอน พิจารณาการคูณของพหุนามกับพหุนาม โดยใช้สมบัติการแจกแจง ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ (x + 2)(2x - 5) วิธีทํา (x + 2)(2x - 5) = (x)(2x) + (x)(-5) + (2)(2x) + (2)(-5) = 2x2 - 5x + 4x - 10 = 2x2 - x – 10 ตอบ 2x2 - x - 10 ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณ (3x2 - 5)(-x3 + 2x - 1) วิธีทํา (3x2 - 5)(-x3 + 2x - 1) = (3x2 )(-x3 ) + (3x2 )(2x) + (3x2 )(-1) + (-5)(-x3 ) + (-5)(2x) + (-5)(-1) = -3x5 + 6x3 - 3x2 + 5x3 - 10x + 5 = -3x5 + 11x3 - 3x2 - 10x + 5 ตอบ -3x5 + 11x3 - 3x2 - 10x + 5 ** คําตอบที่ได้ควรเรียงดีกรีจากมากไปน้อยเสมอ ** 4
2.2 การคูณพหุนามในแนวตั้ง ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ (2x + 5)(7x2 - 4x) วิธีทํา 7x2 - 4x × 2x + 5x 14x3 − 8x2 + 35x2 - 20x 14x3 + 27x2 - 20x ตอบ 14x3 + 27x2 - 20x ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณของ (2xy + 3x2 ) กบ (x - 5x2 ) วิธีทํา 2xy + 3x2 × x - 5x2 2x2 y + 3x3 -15x4 - 10x3 y____________ -15x4 - 10x3 y + 2x2 y + 3x3 ตอบ -15x4 - 10x3 y + 3x3 + 2x2 y ** หมายเหตุ การคูณพหุนามในแนวตั้ง ถ้าพหุนามที่นํามาคูณกัน มีดีกรีไม่เท่ากัน นิยมใช้พหุนามที่สูงกว่าเป็นตัวตั้ง ** (2x)(7x2 - 4x) (5x)(7x2 - 4x) (x)(2xy + 3x2 ) (-5x2 )(2xy + 3x2 ) 5
3. การหารพหุนาม 3.1 การหารพหุนามด้วยเอกนาม การหาผลหารของพหุนามด้วยเอกนามที่ไม่เป็ นศูนย์ ทําได้โดยหารแต่ละพจน์ของ พหุนามด้วยเอกนาม แล้วนําผลหารเหล่านั้นมาบวกกัน ตัวหาร ผลหาร และตัวตั้ง ในกรณีที่เป็นการหารลงตัวมีความสัมพันธ์กัน ดังนี้ ตัวตั้ง = ตัวหาร x ผลหาร ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลหารของ 20x5 – 16x4 + 8x2 ด้วย 4x2 วิธีทํา 20x5 – 16x4 + 8x2 4x2 = 20x5 + (−16x4 ) + 8x2 4x2 = 20x5 4x2 + (−16x4 ) 4x2 + 8x2 4x2 = 5x3 + 4x2 + 2 ตอบ 5x3 + 4x2 + 2 ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลหารของ 14x4 – 35x3 − 42x2 −7x2 วิธีทํา 14x4 – 35x3 − 42x2 −7x2 = 14x4 +(– 35x3 )+(−42x2 ) −7x2 = 14x4 −7x2 + (−35x3 ) −7x2 + (−42x2 ) −7x2 = -2x2 + 5x + 6 ตอบ -2x2 + 5x + 6 6
( 9x2 3x = 3x) (3x)(3x + 1 ) = 9x2 + 3x 3x 3x = 1 (1)(3x+1) = 3x + 1 ( x4 x2 = x2 ) (x2 )(x2 - x + 1) = x4 − x3 + x2 x3 x2 = x (x)(x2 - x + 1) = x3 - x2 + x 2x2 x2 = 2 (2)(x2 - x + 1) = 2x2 - 2x + 2 3.2 การหารพหุนามด้วยพหุนาม การหารพหุนามด้วยพหุนาม ทําได้โดยวิธีการตั้งหารทํานองเดียวกับการหารจํานวนเต็ม ในการหารพหุนามเราเขียนความสัมพันธ์ของ ตัวตั้ง ตัวหาร และเศษ ได้ดังนี้ ตัวตั้ง = (ตัวหาร x ผลหาร) + เศษ เมื่อผลหารเป็นพหุนาม และเศษเป็นศูนย์ หรือพหุนามที่มีมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของตัวหาร ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของการหาร 9x2 + 6x + 1 ด้วย 3x + 1 วิธีทํา 3x + 1 3x + 1 9x2 + 6x + 1 9x2 + 3x 3x + 1 3x + 1 0 ตอบ ผลลัพธ์ คือ 3x + 1 ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของการหาร x4 + 2x2 + 1 ด้วย x2 - x + 1 วิธีทํา x2 + x + 2 x2 - x + 1 x4 + 0x3 +2x2 +0x+ 1 x4 + x3 + x2 x3 + x2 + 0x x3 − x2 + x 2x2 - x + 1 2x2 -2x+ 2 x - 1 ตอบ ผลลัพธ์ คือ x2 + x + 2 เศษ x-1 7
3. เศษส่วนของพหุนาม เศษส่วนของพหุนาม คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษ หรือตัวส่วนเป็นพหุนาม หรือทั้งตัวเศษ และตัวส่วนเป็นพหุนาม โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ถ้า P และ Q เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 จะเรียก P Q ว่า เศษส่วนของพหุนาม ที่มี P เป็นตัวเศษ และ Q เป็นตัวส่วน เช่น 15xy 3x เมื่อ 3x ≠ 0 3x2 +7 x − 4 เมื่อ x − 4 ≠ 0 3.1 การคูณเศษส่วนของพหุนาม การคูณเศษส่วนของพหุนามทําได้เช่นเดียวกับการคูณเศษส่วน ดังนี้ เมื่อ P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว่า P Q × R S = P×R Q×S พิจารณาการหาผลคูณของเศษส่วนของพหุนามต่อไปนี้ จงหาผลคูณของ 4xy 5 กับ 10 x วิธีทํา 4xy 5 × 10 x = 4xy × 10 5 × x = 40xy 5x จะได้ 40xy 5x เป็นผลคูณ แต่เขียน 40xy 5x ให้เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสําเร็จได้ดังนี้ 40xy 5x = 8y 1 = 8y ดังนั้น เราอาจใช้ 40xy 5x หรือ 8y เป็นคําตอบ โดยทั่วไปนิยมเขียนผลคูณของเศษส่วนของพหุนามเป็ นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ 8
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ 30 x กับ 5x2 6y วิธีทํา 30 x × 5x2 6y = (30)(5x2 ) (x)(6y) = 150x2 6xy = 25x y ตอบ 25x y ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณของ 5x2 2x −10 กับ x−5 10x วิธีทํา 5x2 2x −10 × x−5 10x = (5x2 )(x−5) (2x −10)(10x) = (5x2 )(x−5) 2(x −5)(10x) = x 4 ตอบ x 4 9
3.2 การหารเศษส่วนของพหุนาม การหารเศษส่วนของพหุนามทําได้เช่นเดียวกับการหารเศษส่วน ดังนี้ เมื่อ P, Q, R และ S เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0, R ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว่า P Q ÷ R S = P Q × S R นิยมเขียนผลหารที่ได้เป็ นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลหารของ 5x 7 ด้วย 25xy2 14y วิธีทํา 5x 7 ÷ 25xy2 14y = 5x 7 × 14y 25xy2 = (5x)(14y) (7)25xy2 = 2 5y ตอบ 2 5y ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลหารของ 3x 7 ด้วย 18x2 y 21 วิธีทํา 3x 7 ÷ 18xy2 21 = 3x 7 × 21 18x2 y = (3x)(21) (7)18x2 y = 3 6xy หรือ 1 2xy ตอบ 3 6xy หรือ 1 2xy 10
3.3 การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม การบวกและการลบของพหุนามทําได้เช่นเดียวกับการบวกและการลบเศษส่วน ดังนี้ เมื่อ P, Q และ R เป็นพหุนาม โดยที่ Q ≠ 0 จะได้ว่า P Q + R Q = P+R Q และ P Q - R Q = P−R Q นิยมเขียนผลหารที่ได้เป็ นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสําเร็จ ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 5x 3 กับ −2x 3 วิธีทํา 5x 3 + (−2x) 3 = 5x+(−2x) 3 = 3x 3 ตอบ x ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของ 5x 2y กับ −7x 2y วิธีทํา 5x 2y - (−7x) 2y = 5x−(−7x) 2y = 5x+7x 2y = 12x 2y = 6x y ตอบ 6x y 11