BAHAN AJAR PROGRAM LINEAR

MODUL

Oleh
Siti Nuur Khatimah Khafifah, S.Pd

KELAS XI SEMESTER GANJIL

DAFTAR ISI

A. Pendahuluan.......................................................................................................................3
B. Tujuan Pembelajaran..........................................................................................................3
C. Pokok Pokok Materi............................................................................................................3
D. Uraian Materi......................................................................................................................4

1. Pengertian Program Linear .............................................................................................4
2. Model Matematika .........................................................................................................4
3. Fungsi Tujuan ..................................................................................................................5
4. Nilai optimum fungsi tujuan ...........................................................................................5
E. Forum Diskusi .....................................................................................................................5
F. Kesimpulan .........................................................................................................................7
G. Tes Formatif........................................................................................................................8
H. Daftar Pustaka ....................................................................................................................9

A. Pendahuluan

Setiap orang yang hendak mencapai tujuan, pasti memiliki kendala-kendala yang
berkaitan dengan tujuan tersebut. Misalnya seorang pedagang atau penguasaha pasti meiliki
keinginan mendapatkan keuntungan yang maksimum. Sebelum melakukan transaksi dalam
usahanya, perlu dibuat perhitungan yang matang terkait apa yang akan dilakukan. Oleh karena
itu dieperlukan suatu metode yang tepat untuk mengambil keputusan untuk memperoleh
keuntungan dan meminimumkan kerugian yang mungkin akan terjadi.

Terdapat beberapa langkah yang dapat digunakan untuk mendapatkan keuntungan
seperti menekan biaya produksi. Selain itu, mereka juga perlu mengetahui kendala dan faktor -
faktor yang dapat mempengaruhi usaha agar mereka dapat memperhitungka bagaimana
memperoleh keuntungan yang maksimum. Pedagang atau penguasaha tersebut dapat
menggunakan model matematika dalam penyelesaian masalah tersebut. Model matematika
sangat digunakan dalam program linear. Untuk mempelajari lebih lanjut mengenai program
linear, mari kita pelajari dalam bab berikut ini.

Gambar 1 Pengusaha
Sumber : https://economy.okezone.com/

B. Tujuan Pembelajaran

1. Peserta didik diharapkan dapat menentukan model pembelajaran dari masalah
kontekstual.

2. Peserta didik diharapkan menganalisis nilai optimum fungsi objektif dari suatu
masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear.

3. Peserta didik diharapkan dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan program linear.

C. Pokok Pokok Materi

1. Pengertian Program Linear
2. Model Matematika
3. Fungsi Objektif
4. Nilai Optimum
5. Melalui pengerjaan LKPD peserta didik dapat menentukan model matematika dari

suatu masalah kontekstual.
6. Melalui diskusi kelompok, peserta didik diharapkan menganalisis nilai optimum

fungsi objektif dari suatu masalah kontekstual yang berkaitan dengan program
linear.

7. Melalui diskusi kelompok, peserta didik diharapkan dapat menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan dengan program linear.

8. Melalui kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan, diharapkan peserta didik dapat
menumbuhkan karakter profil pelajar Pancasila yaitu bergotong royong.

D. Uraian Materi

Cermati masalah berikut ini !
Amel ingin membuat donat dan roti kukus. Amel memiliki modal 1.000 gram gula dan
2.000 gram tepung terigu. Setiap membuat donat memerlukan 50 gram gula pasir dan
750 gram tepung terigu. Sedangkan untuk membuat roti kukus memerlukan 250 g gula
pasir dan 250 gram tepung terigu. Dari permasalahan tersebut dapatkah kalian
membantu Amel dalam mendapatkan jumlah penjualan maksimum?

Gambar 2 Bahan Kue
Sumber : https://sajiansedap.grid.id/

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan menggunakan program linear. Bagaimana
menyelesaikan permasalahan menggunakan program linear? Mari simak materi berikut
ini.

1. Pengertian Program Linear

Program linear merupakan suatu cara untuk memecahkan masalah pengoptimalan
yaitu berupa memaksimumkan dan meminimumkan suatu tujuan. Penyelesaian
masalah menggunakan program linear dilakukan dengan membuat model
matematika permasalahan dan fungsi tujuannya terlebih dahulu. Model matematika
berupa SPtLDV. Selanjutnya menentukan daerah penyelesaian SPtLDV dan
menentukan nilai optimum suatu tujuan.

2. Model Matematika

Model matematika pada permasalahan terdiri atas fungsi tujuan dan
pembatas/kendala.
Langkah – langkah membuat model matematika SPtLDV sebagi berikut :
a) Menuliskan semua hal yang diketahui dan dianggap penting pada soal
b) Membuat permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk

variabel-variabel.
c) Menuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel jika diperlukan.
d) Membuat model matematika sistem pertidaksamaan linear dari hal – hal yang

sudah diketahui.

3. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan disebut fungsi sasaran atau fungsi obyektif. Fungsi tujuan berbentuk
f(x,y) = ax + by. Nilai F(x,y) = ax + by tergantung dari nilai – nilai x dan y yang memenuhi
kendala. Nilai fungsi tujuan dapat minimum dan maksimum. Nilai minimum atau nilai
maksimum disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrem

4. Nilai optimum fungsi tujuan

Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditentukan menggunakan garis selidik atau metode
uji titik pojok.
Langkah – langkah menentukan nilai optimum fungsi tujuan menggunakan metode
uji titik pojok sebagai berikut :

a) Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua
variabel.

b) Menentukan koordinat titik – titik pojok daerah penyelesaian.
c) Menentukan nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (x, y)
d) Menentukan nilai optimum fungsi tujuan

i) Jika memaksimumkan fungsi tujuan pilih nilai f(x,y) yang terbesar.
ii) Jika meminimumkan fungsi tujuan pilih nilai f(x,y) yang terkecil..

E. Forum Diskusi

Contoh 1 :
Amel ingin membuat donat dan roti kukus. Amel memiliki modal 10 kg gula dan 15 kg
tepung terigu. Setiap membuat donat memerlukan 250 gram gula pasir dan 500 gram
tepung terigu. Sedangkan untuk membuat roti kukus memerlukan 250 g gula pasir dan
250 gram tepung terigu. Jika Amel menjual donat seharga Rp 4.000,00 dan roti kukus
seharga Rp3.000,00, hitunglah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh Amel!

Pembahasan :

Diketahui :

Misalkan : x adalah banyak roti kukus dan y adalah banyak donat.

Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam tabel berikut:

Bahan Banyak Kebutuhan Harga (rupiah)

Gula (gram) Tepung (gram) 4.000
3.000
Donat x 250 500 F(x,y)

Roti Kukus y 250 250

Pembatas ≤ 10.000 ≤ 15.000

Ditanyakan : pendapat maksimum = . . .?

Langkah 1 : Menyusun model matematika

➢ Fungsi kendala :

Dari tabel tersebut diperoleh pertidaksamaan:

250x + 250y ≤ 10.000 → x + y ≤ 4 . . (1)

500x + 250y ≤ 15.000 → 2x + y ≤ 6 . . . (2)

Banyak kue donat dan roti kukus yang dibuat selalu bernilai positif sehingga:

x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . (3)

dari pertidaksamaan (1) sampai (3) diperoleh model matematika :

x + y ≤ 40

{2x + y≤ 60
x ≥0

y≥0

➢ Fungsi objektif atau fungsi tujuan : F(x,y) = 4.000x + 3.000y

Langkah 2 : Menggambar grafik daerah penyelesaian
➢ Titik potong terhadap sumbu x (y = 0) dan sumbu y (x = 0)

Persamaan 1 :
x + y = 40
x = 0 → y = 40 (0, 40)
y = 0 → x = 40 (40, 0)
Pertidaksamaan x + y ≤ 40 memiliki tanda ketidaksamaan ≤ dan koefisien x positif
maka daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dikiri garis x + y = 40
Persamaan 2 :
2x + y = 60
x = 0 → y = 60 (0, 60)
y = 0 → x = 30 (30, 0)
Pertidaksamaan 2x + y ≤ 60 memiliki tanda ketidaksamaan ≤ dan koefisien x positif
maka daerah penyelesaian 2x + y ≤ 60 dikiri garis 2x + y = 60.
Persamaan (3)
x = 0 berimpit dengan sumbu Y
Pertidaksamaan x ≥ 0 memiliki tanda ketidaksamaan ≥ dan koefisien x positif
sehinggan daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y
Persamaan (3)
y = 0 berimpit dengan sumbu x
Pertidaksamaan y ≥ 0 memiliki tanda ketidaksamaan ≥ dan koefisien x positif
sehinggan daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X
Dengan bantuan geogebra diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut :

Langkah 3 : Melakukan uji titik pojok untuk menentukan nilai maksimum dengan
menggunakan software geogebra.

➢ Fungsi Objektif : F(x,y) = 4.000x + 3.000y
➢ Titik-titik pojok daerah penyelesaian : A (30, 0), B (20,20) dan ( C (0, 40)

Subtitusi titik – titik pojok ke fungsi objektif

Titik-titik pojok F(x,y) = 4.000x + 3.000y

A (30, 0) F(30,0) = 4.000 (30) + 3000 (0)

F(30,0) = 120.000

B (20, 20) F(20,20) = 4.000 (20) + 3000 (20)

F(20, 20) = 80.000 + 60.000

F(20, 20) = 140.000

C (0, 40) F(0, 40) = 4.000 (0) + 3000 (40)

F(0, 40) = 120.000

Dari tabel diperoleh nilai maksimum sebesar 140.000

Langkah 4 : Menentukan nilai optimum fungsi objektif

Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh Amel dari menjual kue donat dan roti

kukus adalah Rp140.000,00

F. Kesimpulan

Langkah -langkah penyelesaian masalah konteksual yang berkaitan dengan program linear
yaitu :

1. Menentukan model matematika dari suatu masalah kontekstual.
2. Menganalisis fungsi objektif dan fungsi kendala.
3. Menggambar daerah penyelesaian.
4. Menentukan nilai optimum fungsi objektif suatu masalah kontekstual.

G. Tes Formatif

1. Perhatikan grafik di bawah ini!

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x+2y ≤ 36 x+2y ≥ 20 x ≥ 0 dan y ≥ 0 pada
gambar di atas adalah

A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V
2. Daerah yang diarsir pada grafik di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan . . .

A. 5x + 4y ≤ 200 , 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
B. 5x + 4y ≥ 200 , x + 2y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
C. 4x + 5y ≤ 200 , 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
D. 4x + 5y ≤ 200 , 2x + y ≥ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
E. 5x + 4y ≤ 200 , x + 2y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
3. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt,
dengan jumlah yang diangkut sebanyak 272 karung. Truk dapat mengangkut tidak
lebih dari 14 karung dan colt 8 karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt
Rp300.000,00. Jika x menyatakan banyaknya truk dan y menyatakan banyaknya colt,
maka model matematika dari permasalahan di atas adalah . . .

A. x + y ≤ 28, 7x + 4y ≤ 136 , x ≥ 0, y ≥ 0
B. x + y ≥ 28, 7x + 4y ≤ 136 , x ≥ 0, y ≥ 0
C. x + y ≥ 28, 7x + 4y ≥ 136 , x ≥ 0, y ≥ 0
D. x + y ≤ 28, 7x + 4y ≥ 136 , x ≥ 0, y ≥ 0
E. x + y ≤ 28, 4x + 7y ≤ 136 , x ≥ 0, y ≥ 0
4. Seorang pedagang akan membeli baju atasan dan rok dengan harga pembelian baju
atasan Rp60.000,00 per potong dan harga pembelian rok Rp30.000,00 per potong.
Jumlah baju atasan dan rok yang dibeli paling banyak 40 potong dan modal yang
dimiliki pedagang itu sebesar Rp18.000.000,00. Jika x menyatakan banyak baju
atasan dan y menyetakan banyak rok, model matematika yang tepat dari
permasalahan tersebut adalah...

A. x + y ≤ 40; x + 2y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
B. x + y ≤ 40; 2x + y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
C. x + y ≤ 40; x + y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
D. x + 2y ≤ 40; 2x + y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
E. 2x + y ≤ 40; 2x + y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0

5. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas
utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya
dapat membawa bagasi 1440kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000Rp150.000 dan
kelas ekonomi Rp100.000. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat
pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah
sebanyak...
A. 12
B. 20
C. 24
D. 26
E. 30

Kunci Jawaban
1. D
2. E
3. B
4. B
5. A

H. Daftar Pustaka

Ngapiningsih,dkk. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Yogyakarta: Intan
Pariwara

Sudianto, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta. Kementrian Pendidikan
dan Kebudayaan RI