2. Espacio Vectorial

2. M.I Francisco Barrera Del Rayo

Espacio Vectorial

M.I Francisco Barrera Del Rayo

Espacio vectorial

Se requiere de:

1. Un conjunto V cuyos elementos llamaremos “vectores”
2. Un campo K cuyos elementos llamaremos “escalares”
3. Dos operaciones:

a) Adición de vectores ! 1 + ! 2 ; ∀ ! 1 , ! 2 ∈ $
b) MulGplicación de un vector por un escalar ∝ & ; ∀ & ∈ $ ( ∀ ∝, ∈ *

Definición:
Sea $ un conjunto no vacío y sea * un campo, donde se definen las
operaciones de adición de vectores y la mulGplicación de un vector por un
escalar. Se dice que $ es un espacio vectorial sobre * si se saGsfacen los
siguientes 10 axiomas:

Axiomas de espacio vectorial M.I Francisco Barrera Del Rayo

∀ ", $, % ∈ ' ( ∀ ∝, * ∈ +

1. ( " + $ ) ∈ '
2. ( " + $ ) + % = " + ( $ + % )
3. " + $ = $ + "
4. ∃ 0 ∈ ' | 0 + " = " + 0 = "
5. ∃ − " ∈ ' 4 " + − " = − " + " = 0
6. ( ∝ " ) ∈ '
7. ∝ " + $ = ∝ " + ∝ $
8. ( ∝ + * ) " = 5 " + * "
9. ∝ * " = ( 5 * ) "
10. ∃ ∝ ∈ + | ∝ " = "

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Otros ejemplos

▶ Espacio nulo ! = {0}

▶ ℝ , ℝ( , ℝ) , … , ℝ* Son un espacio vectorial sobre ℝ

▶ ℂ , ℂ( , ℂ) , … , ℂ* Son un espacio vectorial sobre ℂ , ℝ

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Subespacio vectorial

Sea ! un subconjunto de un espacio vectorial ". Si ! es a su vez
un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y
mul8plicación definidas en ", se dice entonces que ! es un
subespacio de ".

Teorema

Sea " un espacio vectorial sobre un campo #. Si ! es un
subconjunto no vacío de ", entonces ! será un subespacio de ",
si y sólo si, se cumplen las condiciones siguientes:

1. ∀ %, ' ∈ !, (% + ' ) ∈ !

2. ∀ % ∈ ! , ∀ ∝ ∈ #, (∝ % ) ∈ !

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Otros ejemplos

Si ℂ, +,$ es un espacio vectorial sobre ℝ

Entonces
ℝ, +,$ es un subespacio de ℂ, +,$

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Combinación lineal

Un vector ! es una combinación lineal de los vectores "#,
"$ , "% , … , "& si puede ser expresado en la forma:

! = ∝# "# + ∝$ "$ + ∝% "% + ⋯ + ∝& "&

Donde ∝# , ∝ $ , ∝ % ,…,∝ & son escalares.

Entonces decimos que ! se obtuvo a par=r de una
combinación lineal de los vectores "#, "$ , "% , … , "&.

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Dependencia lineal

Sea el conjunto de vectores: V = { !", !# , !$ , … , !% }.
Se dice que V es linealmente independiente si la ecuación:

∝ " !" + ∝ # ! # +∝ $ ! $ + … +∝ % !% = 0

sólo se sa>sface cuando ∝ " = ∝ # = ∝ $ =…=∝ % = 0

En caso contrario, es decir, si existen escalares ∝ " , ∝ # , ∝ $ ,…,∝ % no
todos nulos, para los cuales se sa>sface dicha ecuación, entonces se dice
que el conjunto V es linealmente dependiente.

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Dependencia lineal

▶ Todo conjunto de vectores que con4ene al vector cero, es
linealmente dependeiente.

▶ Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente
independiente, es también linealmente independiente.

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Conjunto generador

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, y sea

G = { $#, $& , $' , … , $) }

un subconjunto de vectores de V. Se dice que G es generador del
espacio vectorial V, si para todo vector ! ∈ V , existen escalares
∝# , ∝ & , ∝ ' , … , ∝ ) tales que:

! = ∝# $# + ∝& $& + ∝' $' + ⋯ + ∝) $)

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Base

Se define como base de un espacio vectorial ! , a cualquier
subconjunto " de vectores de ! , tal que:

1. Los elementos de " son linealmente independientes.
2. Cualquier vector de V puede expresarse como una

combinación lineal de los vectores de ".

Base canónica para ℝ" M.I Francisco Barrera Del Rayo

El concepto de base canónica lo aplicaremos solamente a los
espacios ℝ".

ℝ" = { ($% , $ & ,…, $ " )| $ ' ∈ ℝ}

Entonces la base canónica es el conjunto
) = 1,0, … , 0 , 0,1, … , 0 , … , 0,0, … , 1

Para ℝ& ) = 1,0 , 0,1
Para ℝ/ ) = 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

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Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial V, se define como la can6dad
de elementos de cualquiera de sus bases y se denota como:

!"# $
Para el caso del espacio vectorial nulo % = {0 } su dimensión es
cero.

Teorema:
Si V es un espacio vectorial de dimensión *, cualquier conjunto
linealmente independiente formado por * vectores de V es una base
de dicho espacio.

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Isomorfismo

Sean ! y " dos espacios vectoriales de dimensión finita, definidos
sobre un campo #.

Se dice que la función $: ! → " es un isomorfismo de ! a " , si f es
biyec:va y además cumple con las condiciones siguientes:

1. $ ' + ) = $ ' ) + $ ( ) ; ∀ ', ) ∈ !

2. $ ∝ ) = ∝ $ ) ; ∀ ' ∈! 2 ∀∝∈#

Los espacios vectoriales isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus
elementos, sus propiedades algebraicas son idén:cas.

Teoremas de Isomorfismo M.I Francisco Barrera Del Rayo

▶ Si ! es un espacio vectorial real de dimensión ", entonces ! es
isomorfo a ℝ$.

▶ Todo espacio vectorial ! es isomorfo a sí mismo.

▶ Si un espacio vectorial ! es isomorfo a otro espacio %, entonces %
es isomorfo a !.

▶ Si un espacio vectorial & es isomorfo a un espacio ! y ! es a su vez
isomorfo a un espacio %, entonces & es isomorfo a %.

▶ Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.

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Vector de coordenadas

Sea ! = {$%, $& , $' , … , $(} una base del espacio vectorial * y sea $
un vector cualquiera de *, tal que:

$ = ∝ % $% + ∝ & $ & +∝ ' $ ' + … +∝ ( $(
A los escalares ∝ % , ∝ & , ∝ ' ,…,∝ ( se les llama coordenadas de $ en la
base ! y al arreglo:

( $ ) 0 = ( ∝ % , ∝ & , ∝ ' ,…, ∝ ( )
se le llama vector de coordenadas de $ en la base !.

Matriz de transición M.I Francisco Barrera Del Rayo

Sean ! = {$%, $& , $' , … , $(} y * = {+%, +& , +' , … , +(} dos base de un
espacio vectorial ,. La matriz de transición -./ ;ene por columnas los
vectores de coordenadas de los elementos de la base ! con respecto a la
base * , esto es:

-./ = [ ( $2% ) . ( $2& ) . ( $2' ) . … ( $2( ) . ]

Esta matriz -./ conocida también como matriz de cambio de base, es tal que,
si conocemos (62 ) / donde 62 ∈ , y deseamos obtener el vector de
coordenadas de 62 en la base B , esto es (62 ) . , entonces es suficiente con
efectuar el producto:

-./ (62 ) / = (62 ) .

Toda matriz de transicion ;ene inversa, esto es: (-./ )8% = -/.

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Espacio renglón y espacio columna

Dada una matriz A de orden mxn, se tiene que tanto sus renglones como sus
columnas pueden definir espacios vectoriales, los llamados “espacios
renglón” y “espacios columna”. Estos espacios vectoriales se forman através
de todas las combinaciones lineales de los renglones o las columnas de la
matriz, considerándolos como vectores de ℝ" o ℂ".

Para obtener una base y la dimensión de este tipo de espacios vectoriales, es
suficiente con llevar a la matriz dada a su forma escalonada y los renglones
distintos de cero, constituyen una base del espacio vectorial.

La notación usual para estos espacios vectoriales es:

Sea A una matriz de orden mxn.

L(AR) → espacio renglón
L(AC) → espacio columna

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Espacio renglón y espacio columna

A pesar de que los espacios renglón y columna generalmente
son espacios distintos, la relación que existe entre ellos, es que
su dimensión siempre es igual, cuando son generados a partir
de la misma matriz, esto es:

Dim L(AR) = Dim L(AC)

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Rango de una matriz

Se define como rango de una matriz A, y se denota como R(A),
al número de renglones dis:ntos de cero una vez terminado el
escalonamiento en dicha matriz.

R(A) = Dim L(AR) = Dim L(AC)

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Espacio vectorial de funciones

El análisis que se hará de las funciones será desde el punto de
vista algebraico y éste se limitará al caso de las funciones reales
de variable real. Este ;po de funciones cons;tuyen un espacio
vectorial para las operaciones de adición y mul;plicación por un
escalar:

! + # (% ) = ! %) + #(%

∝ ! ( % ) = ∝ !(%) ∀% ∈+

Este espacio ;ene un especial interés por tratarse de un espacio
de dimensión infinita.

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Wronskiano

Sea un conjunto de funciones reales de variable real
{"# $ , "& $ , … , "( $ } , donde cada una de ellas admite por lo menos
n-1 derivadas en el intervalo (a, b). Se define como Wronskiano al
determinante:

"# $ "& $ … "( $
"#´ $ "&´ $ … "(´ $
W(x) = ⋮
⋮⋮ ⋮
"#(.# $ "&(.# $ … "((.# $

Se 9ene que las funciones "# $ , "& $ , … , "( $ son linealmente
independientes, si existe al menos un valor x0 ∈ (a, b), para el cual el
W(x0)≠ 0.
En caso de que el W(x)=0, entonces el criterio no decide y se 9ene que
recurrir a la ecuación de dependencia lineal.