3. Transformaciones Lineales

3. M.I Francisco Barrera Del Rayo

Transformaciones
Lineales

M.I Francisco Barrera Del Rayo

Transformación

Sean ! y " dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo
campo #. La función T : ! → " es la regla de correspondencia que
asigna a cada vector ' ∈ ! , uno y sólo un vector de ", al que
llamaremos imagen de ' y representaremos como T ( ' ) . A este
tipo de funciones se le conoce como transformaciones.

Esquemáticamente se tiene:

! "
+
'
T(')

Dominio Codominio

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Transformaciones Lineales

Sean ! y " dos espacios vectoriales sobre un campo #. Una
transformación $ : ! → " es lineal si, se cumple:

1. Superposición:

$ ' + ) = $ ') + $() ; ∀ ', ) ∈ !

2. Homogeneidad:

$ ∝ ' =∝ $ ' ; ∀ ' ∈! 2 ∀∝∈3

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Dominio, Codominio

Sea la transformación lineal !: # → %
Dominio: Es el conjunto #, donde se encuentran los vectores
sobre los cuales actúa la transformación.

Codominio: Es el conjunto % , donde se encuentran las
imágenes de los vectores del dominio.

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Recorrido y Núcleo

Sea la transformación lineal !: # → %
Recorrido: Es el conjunto formado por todas las imágenes de los
vectores del dominio, el cual se denota como !(#), esto es:

! # = { * | * = ! ( + ) , donde + ∈ # }

Núcleo: Es el conjunto formado por vectores del dominio cuya
imagen es el vector cero de %, el cual se denota como . ! , esto es:

. ! = { + | ! + = 00 , donde + ∈ #}

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Dominio, Codominio, Recorrido y Núcleo

#: ! → " " Recorrido
#(!)
! #

$ T($ )

Núcleo Dominio Codominio
'(#)
! "
#
$
0&

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Teoremas

Si !: # → % es una transformacion lineal, entonces:
1. ! 0' = 0)
2. !(#) es un subespacio de %
3. ,(!) es un subespacio de #
4. Si - = {/0, /1 , /2 , … , /3} es una base de #, entonces el conjunto

5 = {! /0), !(/1 , !(/2) , … , !(/3)} es generador del recorrido de !.

5. Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que:
678 # = 678 !(#) + 678 ,(!)

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Matriz asociada

Sean ! y " dos espacios vectoriales de dimensión # y $ ,
respectivamente, y sean % = {(), (*, (+ ,…, (,} y . = {/), /*, /+,…, /0}
bases de dichos espacios.

Si 1: ! → " es una transformación lineal, entonces existe una matriz
única 456( 1 ) , de orden $×#, llamada matriz asociada de 1, talque:

456 1 (;: ) 6 = [ T(;: ) ] B ; ∀ ; ∈ !
Las # columnas de la matriz 456( 1 ) , son los vectores de coordenadas
en la base ., de las imágenes de los vectores de la base %, esto es:

456(1) = [ [ 1 ( (:) ) ] 5 [ 1 ( (:* ) ] 5 … [ 1 ( (:, ) ] 5 ]

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Matriz asociada

La matriz asociada nos permite calcular la imagen de un vector
cualquiera "! del dominio, mediante el siguiente procedimiento:
1) Determinar las coordenadas del vector "! en la base A del dominio
2) Multiplicar la matriz #$% & por el vector ("! ) %
3) Obtener el vector &("̅) a partir de sus coordenadas en la base B del

codominio

Aplicando la Regla

"! &("! )

Cálculo del 1 Con los vectores de la
Vector de 3 base ) y los escalares de
coordenadas
[&("! )]B, obtener &("! )
("! ) % 2
[&("! )]B
Multiplicar por #$% &

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Matriz asociada

Teorema
En una transformación lineal !: # → % , la dimensión del
recorrido es igual al rango de la matriz asociada a dicha
transformación.

&(()* ! ) = -./ !(#)

Álgebra de transformaciones lineales M.I Francisco Barrera Del Rayo

Dadas dos transformaciones lineales cuyo dominio y codominio es el
mismo:

!∶ # →% y &∶ # →%

Adición
La suma de T y R es una transformación de V en W, que se define como:

! + & )( = T )( + &()( ) ; ∀ ) ∈ #
0(! + &) = 0(!) + 0(&)

Multiplicación por un escalar
El producto de un escalar ∀ ∝ ∈ 2 por la transformación T es una
transformación de V en W, que se define como:

( ∝ ! ) ( )( ) = ∝ !()( ) ; ∀ ) ∈ #
0 ∝! =∝0 !

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Álgebra de transformaciones lineales

Dadas dos transformaciones lineales:
!∶ #→% y &∶ %→'

Composición
Se define la transformación ( ∶ # → ' como el resultado de la
composición entre las transformaciones ! y &, de la siguiente forma:

( *) = (& ∘ !)(*) ) = &[ ! *) ]

# ! %& '

* !(*) &R[[!T)](**) ]

&∘!

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Álgebra de transformaciones lineales

Para que la operación composición pueda realizarse, debe existir
intersección entre el recorrido de T y el dominio de R.

Teorema
Si ! ∶ # → % y & ∶ % → ' son transformaciones lineales y (, *, + son
bases de #, %, ' respectivamente, entonces:

,-. R ∘ T = ,-3 & ,3. !

Dado que el producto de matrices en general no es conmutativo,
entonces se puede inferir que la operación composición, en general no
es conmutativa, esto es:

,-. R ∘ T ≠ ,-. T ∘ R R∘T ≠ T∘R

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Álgebra de transformaciones lineales

Sean !, # y $ tres transformaciones lineales y sean ∝, & ∈ (, se tiene
que:

1. ! + # = # + !
2. ( ! + # ) + $ = ! + ( # + $)
3. ∝ (& !) = (∝ & )!

4. (∝ +&)T= ∝ T + & !

5. ∝ ! + # = ∝ !+ ∝ #
6. (# ∘ !) ∘ $ = # ∘ (! ∘ $)
7. ∝ (# ∘ !) =(∝ #) ∘ ! = # ∘ (∝ !)
8. $ ∘ # + ! = ($ ∘ # ) + ($ ∘ !)

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Transformaciones lineales Inyectivas y Suprayectivas

Sea ! ∶ # → % una transformación lineal

Transformación inyectiva
Una transformación lineal es inyectiva, si y sólo si, el núcleo de dicha
transformación es de dimensión cero.

&'( )(!) = 0

Transformación suprayectiva
Una transformación lineal es suprayectiva, si y sólo si, la dimensión del
recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del
núcleo es igual a cero, entonces la transformación será suprayectiva, si la
dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio.

1. &'( !(#) = &'( %
2. &'( )(!) = 0 1 &'( # = &'( %

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Transformaciones lineales Biyectivas

Sea ! ∶ # → % una transformación lineal

Transformación biyectiva
Una transformación lineal es biyectiva, si y sólo si, es inyectiva y
suprayectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero y la
dimensión del recorrido es igual a la del codominio

1. ()* +(!) = 0
2. ()* !(#) = ()* %

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Inversa de una transformación lineal

Sea !: # → % una transformación lineal. Existe una transformación
inversa !&': % → # , si y sólo si, la transformación T es biyectiva, o
bien si ((!) es no singular, esto es, si la inversa de ((!) existe.

(,- ! &' = (-, !&'

V !%

+ T(+ )

!&'

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Inversa de una transformación lineal

Algunas propiedades de la transformación inversa son:

1. !"# es única
2. (!"#)"# = !
3. (! ∘ ()"#= ("# ∘ !"#
4. (∝ !)"# = ∝"# !"# ; si ∝≠ 0
5. !"# ∘ ! = ,-
6. ! ∘ !"# = ,.

Donde ,/ y ,. son transformaciones identidad de / y 0, respectivamente.

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Valores y vectores característicos

A las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial al
mismo espacio vectorial, esto es !: # → # , se les conoce como
operadores lineales.

Definición
Sea # un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo
% y sea !: # → # un operador lineal para el cual:

T('̅) = ('̅ ; ∀ '̅ ∈ # ,-. ' ≠ 0
∀( ∈ %

▶ Al escalar ( se le llama valor característico de !

▶ Al vector '̅ diferente de 0 se le conoce como vector característico de
! correspondiente al valor (

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Espacios característicos

Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a
un valor característico !, al cual se le agrega el vector cero, se le llama
espacio característico y se representa como E(!).

Propiedades de los valores y vectores propios

u Los vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente
independientes.

u Si # es un vector propio asociado a un valor propio !, entonces ∝ # es
también un vector propio asociado a !, ∝ ∈ & c o n ∝ ≠ 0

u Si # y ) son dos vectores propios asociados a un valor propio !, y # ≠ -)
entonces # + ) es un vector propio asociado a !.

Polinomio característico y ecuación característica M.I Francisco Barrera Del Rayo

Para obtener dichos elementos, se tiene:

! " = $" ...............(1)

Considerando que:

%(!) = (

Entonces podemos plantear que:

!(" ) = (" ..............(2)

De (1) y (2) se puede plantear:

(" = $)" Donde ) es la matriz identidad

De donde se tiene:

(" − $)" = 0

(( − $))" = 0

u Al ,-.(( − $)) se le conoce como polinomio característico

u Al ,-. ( − $) = 0 se le conoce como ecuación característica

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Matrices similares

Se tiene que dos matrices ! y " de orden #×# son similares, si
existe una matriz no singular %, tal que:

" = %'(!%
Teorema: dos matrices representan al mismo operador lineal, si y
sólo si, son similares.

Propiedades:

1. SI ! y " son matrices similares, entonces )*+(!) = )*+(")

2. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico
y, por lo tanto, los mismos valores característicos

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Diagonalización

Teorema
Si ! es un espacio vectorial de dimensión " y #: ! → ! es un
operador lineal, entonces existe una matriz diagonal asociada a #,
cuando se puede definir una base de ! formada por vectores
característicos de #. La matriz asociada a # referida a esta base,
es una matriz diagonal que llamaremos & cuyos elementos '(( son
los valores característicos de #.

Ejemplo: *+ 0 0
& = 0 *- 0

0 0 *.

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Diagonalización

Sea ! una matriz de orden "×" asociada a un operador lineal $.

La matriz ! será similar a una matriz diagonal %, si y sólo si, existe un
conjunto linealmente independiente formado por " vectores
característicos de $. Para este caso, existe una matriz no singular &,
para la cual se cumple que % = &()!&, donde & tiene como columnas
a los " vectores característicos de $ correspondientes a los valores
característicos *++ que definen a la matriz diagonal %.

% = &()!& & → Matriz Diagonalizadora
% → Matriz diagonal
! → Matriz asociada al operador

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Diagonalización

Una operador es diagonalizable cuando se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
▶ Que los valores propios sean distintos !" ≠ !$ ≠ !%.

▶ La suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a la del
dominio.

▶ Si se puede formar una base del dominio con vectores propios.

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Valores y vectores característicos

Para cada valor de !, la expresión (A - !#)% = 0 es un sistema

homogéneo indeterminado, cuyas soluciones no nulas son los
vectores de coordenadas, en la base ' , de los vectores
característicos buscados, donde ' es la base utilizada para obtener
la matriz asociada a la transformación ()) T = +