โคไซน์เเสดงทิศทาง

แบบทดสอบก่อนเรียน

1.กำหนด ⃑ = - 3⃑⃑⃑ +5⃑⃑⃑⃑ , = ⃑2⃑⃑ - 6⃑⃑⃑ + 1⃑⃑⃑⃑0⃑⃑⃑ ขนำนกนั หรือไม่ พร้อมท้งั บอกทิศทำง

ก.ไม่ขนำนกนั มีทิศทำงเดียวกนั ข.ขนำนกนั มีทิศทำงเดียวกนั

ค.ไมข่ นำนกนั ไม่มีทิศทำงเดียวกนั ง.ขนำนกนั ไมม่ ีทิศทำงเดียวกนั

2.กำหนดให้ A(1, 6, 4) และ B(−5, 3, 3) จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑

ก. −6 , −3 , −1 ข. 6 , 3 , 1

√40 √40 √40 √46 √46 √46

ค. −6 , −3 , −1 ง. 9 , 11 , 15

√46 √46 √46 √40 √40 √40

3.จงหำโคไซน์แสดงทิศทำงขอเวกเตอร์ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ เม่ือกำหนดให้ A(−2, 2, 7) และ B(4, −1, 4)

ก.6 , −2 , 2 ข.6 ,−2 , 2

777 55 5

ค.−6 , 2 , −2 ง.−6 , 2 , −2

777 555

4.cos 2 A+cos 2+B+cos 2Y = 1 ให้ ̅ = โดย | ̅ | ≠ 0
[ ]



ก.0 ข.3

ค.2 ง.1

2

5.ให้ ̅ = [6] จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ̅

3

ก.3 ,4 ,6 ข.2 , 3 , 5
888 666

ค.−2 , −6 ,7 ง. 2 , 6 , 3

7 77 777

6.จงหำโคไซน์แสดงทิศทำงของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มตน้ ที่ P(1,2, −3) และจุดสิ้นสุด
ท่ีQ(−5,3,3)

ก. 6 , 1 , 6 ข. 6 , −1 , −6

√70 √70 √70 √73 √73 √73

ค. −6 , 1 , 6 ง. 6 , 1 , 6

√73 √73 √73 √64 √64 √64

7.หำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑ = 2 +2 - ⃑

ก.2 , 2 , −1 ข.3 , 2 , 1

33 3 555

ค.−2 , −2 , 1 ง.4 , −3 ,5

3 33 6 66

8. หำโคไซน์แสดงทิศทำงของ ̅ - [−43] = -3 +4

ก. 3 , −4 ข.−3 , 4

55 55

ค.5 , 6 ง.−5 , −6

66 66

9.หำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑⃑ = -2 +2 - ⃑

ก.2 , −2 , 1 ข.−2 , 2 , −1

333 3 33

ค.2 , 3 ,5 ง.−2 ,−3 , 5

4 44 4 44

10. ⃑ ทำมมุ , , ขนำนกบั X , Y ,Z ดำ้ นบวกตำมลำดบั โดย cos = 5 , cos =−3

13 13

และ cos < 0 ถำ้ | ̅ | = 39 จงหำ ⃑

ก. 15 -9 -9√15 ⃑ ข.17 +9 -6√18 ⃑

ค. 19 -6 +√25 ง.-20 +12 +√25

ใบความรู้โคไซน์แสดงทศิ ทาง

บทนยิ าม โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ a̅ เม่ือ a̅ = 1 ซ่งึ | ̅ | ≠ 0 เทียบกบั แกน x ,y , z
[ 2]

3

ตามลาดบั คือ 3 จานวนซง่ึ เรยี งตามลาดบั ดงั นี้ 1 , 2 ,̅| ̅ ̅ 3̅|
̅|̅ ̅ ̅| |̅̅ ̅ ̅|

1

จากรูป ⃑⃑ ⃑⃑ = [ 2] กาหนด a,b,y ∈ [0, ] เป็นมมุ ท่วี ดั จากแกน x , y , z ตามลาดบั ทางดา้ น

3 1 2
⃑|⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑| |⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑| |⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑| |⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑|
บวกไปยงั ⃑⃑ ⃑ ⃑ จะได้ cos = = , cos = = และ

cos = = 3
|⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑| ⃑|⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑|

เรียก a , b, y วา่ มุมกาหนดทิศทาง และเรียก cos a , cos b และ cos y วา่ โคไซนแ์ สดงทิศทาง

ของ ⃑⃑ ⃑⃑

ตัวอย่าง ให้ ̅ = 2 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅
[6]

3

วธิ ีทา |̅̅ ̅ ̅| = √22 + 62 + 32 = √4 + 36 + 9 =7

โคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅ คือ 2 , 6 ,3 ตามลาดบั

7 77

ตวั อย่าง จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ ที่ P(1, 2 ,-3) และจุดสิ้นสุดท่ี

Q(-5, 3 ,3)

วิธีทา ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = [ −5 − 1 −6
3−2 ]=[ 1 ]

3 − (−3) 6

.|⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ | = √(−6)2 + 12 + 62

=√36 + 1 + 36

=√73

∴โคไซนแ์ สดงทิศทางของ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ คือ −6 ,1 ,6
√73
√73 √73

บทนยิ าม เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกนั ก็ตอ่ เม่ือโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกนั
และจะมีทิศทางตรงขา้ มกต็ อ่ เมื่อโคไซนแ์ สดงทิศทางเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์หน่ึง
เป็นจานวนตรงขา้ มกบั โคไซน์แสดงทิศทางของอีกเวกเตอร์หน่ึง

−2

ตัวอย่าง กาหนด ̅ = [ 1 ] จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ในขอ้ ใดมีทิศทางเดียวกบั ̅ หรือมีทิศ

3

ทางตรงขา้ มกบั ̅ (1) ⃑⃑ ⃑⃑ มีจุดเร่ิมตน้ ท่ีจุดกาเนิด เละจุดส้ินสุดท่ี P(4, −2, −6)

(2)⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ มีจุดเริ่มตน้ ที่A (-3,0,4) และB(3,3,13)

วิธีทา ⃑ ⃑ ⃑⃑ = 4−0 = 4
[−2 − 0] [−2]

−6 − 0 −6

|⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃑| = √42 + (−2)2 + (−62)

=√16 + 4 + 36

=√56

= 2√14

, ,∴โคไซนข์ อง ⃑⃑ ⃑⃑
คือ 4 −2 −6
2√14 2√14 2√14

= 2 , −1 , −3
√14 √14 √14

⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ =[−33−−03] = −6
[3]

13 − 4 9

|⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ | =√(−6)2 + 32 + 92

=√36 + 9 + 81

=√126

= 3√14

∴โคไซนข์ อง ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ คือ −6 ,3√314 , 9
3√14 3√14

= −2 , 1 , 3

√14 √14 √14

∴ ⃑⃑ ⃑ ⃑ และ ̅ มีทิศตรงกนั ขา้ ม แต่ ⃑⃑ ⃑⃑ และ ⃑ มีทิศทางเดียวกนั

โคไซนแ์ สดงทิศทาง การกาหนดทิศทางของเวกเตอร์น้นั นอกจากกาหนดดว้ ยพิกดั ของเวกเตอร์
แลว้ ยงั สามารถกาหนดดว้ ยมุมท่ีเวกเตอร์ทากบั แกนพิกดั ท้งั สามดงั น้ี

1
กาหนด P(a1,a2,a3) จะได้ ⃗⃗ ⃗ ⃗ = [ 2]

3

กาหนด A, B, R ∈ [0, ]เป็นขนาดของมุมที่วดั จากแกนพกิ ดั ดา้ นบวกท้งั สามตามลาดบั ไป

ยงั ⃗⃗ ⃗⃗ จะได้ cos = = 1
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

cos = = 2
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | | ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |

cos = = 3
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |

หมายเหตุ ในที่น้ี OQ,OR,OS หมายถึง ระยะท่ีมีทิศทางตามแนวแกน X,Y,Z ตามลาดบั

คือขนาดของมุมที่ A, B, R คือขนาดของมุมที่ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ทากบั แกน X,Y,Z ทางดา้ นบวก
ตามลาดบั เรียกมมุ ดงั กลา่ ววา่ มุมกาหนดทิศทางของ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ และเรียก cos , cos ,
cos วา่ โคไซน์แสดงทิศทาง

ของ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ สามารถนิยามโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรใ์ ดๆ ไดด้ งั นี้

a1
บทนิยาม ให ้ [a2] เป็นเวกเตอรท์ ่ไี มใ่ ชเ่ วกเตอรศ์ นู ย์ โคไซนแ์ สดงทิศทางของ

a3
เทียบกบั แกน X,Y,Z ตามลาดบั คือจานวนสามจานวนซ่งึ เรยี งตามลาดบั ดงั นี้
| ⃗ 1|, | ⃗ 2|,| ⃗ 3|

น่คี อื นยิ ามในการหาโคไซนแ์ สดงทิศทางครบั จาไปใชไ้ ดเ้ ลยครบั ทกุ ท่านครบั ไปดตู วั อยา่ งง่ายๆ
ในการหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทาง

3
ตัวอยา่ ง ให ้ [4] จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ

5

วธิ ีทา ทาตามนยิ ามเลยครบั กค็ ือ โคไซนแ์ สดงทิศทางของ

1 , 2 , 3
| ⃗ | | ⃗ | | ⃗ |

ในท่นี เี้ ราให้ a1=3,a2=4,a3=5 ต่อไปหาขนาดของ ซ่งึ

| | = √32 + 42 + 52

= √9 + 16 + 25

= √50
= 5√2

ดงั นนั้ โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ คือ 3 , 4 ,5√52
5√2 5√2

บทนิยาม เวกเตอรส์ องเวกเตอร์ จะมที ศิ ทางเดยี วกนั กต็ ่อเม่อื มีโคไซนแ์ สดงทิศทางชดุ
เดียวกนั และจะมีทิศทางตรงกนั ขา้ ม ก็ต่อเม่อื โคไซนแ์ สดงทิศทางเทียบแตล่ ะแกนของเวกเตอร์
หนง่ึ เป็นจานวนตรงขา้ มกบั โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของอกี เวกเตอรห์ นึ่ง

ตัวอย่าง จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ต่อไปน้ีคูใ่ ดขนานกนั

1. เวกเตอร์⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ มีจุดเริ่มตน้ ที่ P(1,2,3) และจุดส้ินสุดที่ Q(2, −3, 5)

2

2. = [−10]

4

3. = ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ซ่ึงมีจุดเร่ิมตน้ ท่ีจุดกาเนิดและจุดสิ้นสุดที่ R(−3, 15 ,−6)

มาดูคาวา่ ขนานกนั ก่อน เวกเตอร์ขนานกนั น้นั อาจจะขนานแบบมีทิศทางเดียวกนั หรือ ขนาน
กนั แบบทิศทางตรงกนั ขา้ มก็ไดถ้ า้ ขนานกบั แบบทิศทางเดียวกนั แสดงวา่ โคไซนแ์ สดงทิศทาง
ตอ้ งเป็นตวั เลขชุดเดียวกนั แต่ขนานกนั แบบทิศทางตรงกนั ขา้ ม โคไซน์แสดงทิศทางตอ้ งเป็น
ตวั เลขชุดเดียวกนั แตเ่ ครื่องหมายตรงกนั ขา้ ม

1)ก็คือหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ เขากาหนดจุดเริ่มตน้ คือจุด P และจุดส้ินสุดคือ

จุด Q ดงั น้นั เวกเตอร์ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ คือ

2 −1 1
⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ = [−3 − 2] = [−5]

5−3 2

| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √12 + (−10)2 + 22

=√30

ดงั น้นั โคไซน์แสดงทิศทางของ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ คือ
1 , −5 , 2

√30 √30 √30

2 )ขอ้ น้ีกาหนดเวกเตอร์มาใหแ้ ลว้ ก็หาขนาดเลย

| | = √22 + (−10)2 + 42

= 2√30

ดงั น้นั โคไซนแ์ สดงทิศทาง คือ

2 , −10 , 4 ตดั ทอนกนั ได้
2√30 2√30 2√30

1 , −5 , 2

√30 √30 √30

3)หาเวกเตอร์ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ซ่ึงเวกเตอร์น้ีมีจุดเร่ิมตน้ ท่ีจุดกาเนิดและจุดส้ินสุดท่ี R(−3,15,−6) ดงั น้นั จะ
ไดเ้ วกเตอร์คือ

−3 − 0 −3
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [15 − 0 ] = [15 ]

−6 − 0 −6

ต่อหาขนาดของ |⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ |

|⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √(−3)2 + 152 + (−6)2

= 3√30

ดงั น้นั โคไซนแ์ สดงทิศทางของ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ คือ

−3 , 15 , −6 ตดั ทอนกนั ได้
3√30 3√30 3√30

−1 , 5 , −2
√30 √30 √30

โคไซน์แสดงทิศทางเวกเตอร์สามมิติ

̅ = ̅ -3 ̅ , ̅ = -3 ̅ + 4 ̅

วธิ ีทา | ̅ | = √12 + 02 + (−3)2

= √1 + 0 + 9
= √10

∴ โคไซนข์ อง ̅ คือ 1 , 0 , −3

√10 √10 √10

| ̅| = √02 + (−3)2 + 42

=√0 + 9 + 16
=√25

=5
∴โคไซน์ของ ̅ คือ 0 , −3 , 4

555

ดงั น้นั ̅ ไมข่ นานกบั ̅

3
ให้ ⃑ = [4] จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ⃑

5
วิธีทา | ⃑ | = √32 + 42 + 52

=√9 + 16 + 25
=√50
∴โคไซนแ์ สดงทิศทาง คือ 3 , 4 , 5

√50 √50 √50

1
ให ้⃗⃑ = [−4] จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅

3
วิธีทา | ̅ | = √12 + (−4)2 + 32

=√1 + 16 + 9
=√26
∴โคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅ คือ 1 , −4 , 3

√26 √26 √26

กาหนดให้ A(1,6,4)และ B(−5,3,3) จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃑
−5 − 1 −6

วธิ ีทา ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃑ = [ 3 − 6 ] = [ 3 ]
3 − 4 −1

| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃑ | = √(−6)2 + (−3)2 + (−1)2
=√36 + 9 + 1
=√46

∴โคไซนแ์ สดงทิศทางของ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃑ คือ −6 , −3 , −1

√46 √46 √46

กาหนดให้ ̅ ̅ ̅ ̅ มีจุดเร่ิมตน้ P(1,2,3) และจุดสิ้นสุด Q(2, −3,5)
2

และ ̅=[−10]
4

เวกเตอร์ ̅ ̅ ̅ ̅ ซ่ึงมีจุดเร่ิมตน้ ท่ีจุดกาหนดและจุดส้ินสุดท่ี R(−3,15, −6)
2−1 1

วิธีทา ̅ ̅ ̅ ̅ = [−3 − 2] = [−5]
5−3 2

| ̅̅ ̅ ̅ |=√12 + (−5)2 + 22

=√30
2

̅ = [−10]
4

| ̅| = √22 + (−10)2 + 42

=√120
=2√30

−3
̅̅ ̅ ̅ =[15]

−6
|̅ ̅ ̅ ̅ | = √(−3)2 + 152 + (−6)2

=√270
=3√30

1
กาหนดให้ ̅ = [−2] หาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅

3
1
วธิ ีทา ̅ = [−2]
3
| ̅|=√12 + (−2)2 + 32

=√1 + 4 + 9

=√14

∴โคไซน์แสดงทิศทางของ ̅ คือ 1 , −2 , 3

√14 √14 √14

แบบฝึ กทกั ษะ

จงหาเวกเตอร์ บอกขนาด และโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์

1) จดุ เร่มิ ตน้ P(1, 1, 0) จดุ สนิ้ สดุ Q(-2, 3, 4)

−2 −2

2) ⃑⃑ ⃑⃑ เม่อื ⃑ ⃑ ⃑⃑ = [ 3 ] ⃑⃑ ⃑⃑ = [ 2 ]

53

3) จดุ เร่มิ ตน้ A(3, 5, 2 ) จดุ สนิ้ สดุ B( -1, 3, 5)
4) จดุ เรม่ิ ตน้ A (0, 1, -3) จดุ สนิ้ สดุ B(8, 4, 2)
5) จงใชโ้ คไซนแ์ สดงทิศทางตรวจสอบวา่ เวกเตอรแ์ ตล่ ะคขู่ นานกนั หรือไม่

31
1. ⃑ ⃑⃑ = [4] กบั = [4]

13
2

6)จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอร์ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ โดย ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = [6]
3

3
7)จงหาเวกเตอรท์ ่ขี นานกบั = [−1] และบอกโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์

2
8)จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอร์ - - +5⃑⃑⃑⃑

9)กาหนด ⃑ = ⃑3⃑⃑ +4⃑⃑⃑ จงหาเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยของ ⃑

10) ⃑⃑ ⃑1⃑⃑ ⃑⃑ ⃑2 มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี(1,2,0) และจดุ สนิ้ สดุ (-2,3,1)จงหาเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยใน
ทศิ ทางเดียวกบั ⃑ ⃑ ⃑1⃑⃑ ⃑⃑ ⃑2 ในรูปของ , และ ⃑

แบบทดสอบหลงั เรียนเร่ืองโคไซน์แสดงทิศทาง

1.จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกตอร์ที่มีจุดเร่ิมตน้ ที่ P(0,3 ,1) เละจุดส้ินสุดท่ี Q(1,5,2)

ก. 1 , 2 , −3 ข. −1 , 2 , 3

√14 √14 √14 √14 √14 √14

ค. 1 , 2 , −3 ง. −1 , 2 , 3

√16 √16 √16 √16 √16 √16

[ ]3

2.ให้ a⃗ = 4 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ a⃗

5

ก. 5√3 ข.3√5

ค.5√2 ง.2√5

จากรูปใหต้ อบคาถามขอ้ 3-5 ดงั ต่อไปน้ี

3.กาหนด = 2 + 6 +3 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ

ก. 2 , 6 , 3 ข. 2 , 6 ,3

666 7 77

ค. 2 , 6 , 3 ง. −2 , −6 , −3

876 777

4. A(1-2,6) และ B(0,2,4)จงโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅ ̅ ̅ ̅

ก. −1 , 4 , −2 ข. −1 , 4 , −2

√21 √21 √21 √18 √18 √18

ค. −1 , 4 , −2 ง. −1 , 4 , −2

√24 √24 √24 √25 √25 √25

5.จงหาผลขวกของโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ เมื่อA(0,3,5)และ 8(1,5,2)
ก.2 ข.6
ค.1 ง.0

4

6.จงหาเวกเตอร์หน่ึงหน่วยที่มีทิศทางเดียวกนั กบั เวกเตอร์ ̅ = [−7]

1

ก.√45 ข.√50

ค.√55 ง.√56

7.ให้ ̅ = 3 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅
[4]

5

ก. 3 , 4 , 5 ข. 3 , 4 , 5
√45 √45 √45
√50 √50 √50

ค. 3 , 4 , 5 ง. 3 , 4 , 5

√25 √25 √25 √30 √30 √30

8.กาหนด ⃑ = -3 +5 ⃑ , = 2 -6 +10 ⃑ ขนานกนั หรือไม่ พร้อมท้งั บอกทิศทาง

ก.ไม่ขนานกนั มีทิศทางเดียวกนั ข.ขนานกนั ไมม่ ีทิศทางเดียวกนั

ค.ขนานกนั มีทิศทางเดียวกนั ง.ไมข่ นานกนั ไมม่ ีทิศทางเดียวกนั

9.จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ เมื่อ P(0,1, −3) และ Q(8,4,2)

ก. 8 , 7 , 5 ข. 5 , 6 , 7
2√7 2√7 2√7
√7 √7 √7
ค. 8 , 3 , 5
7√2 7√2 7√2 ง. 7 , 8 , 9

√9 √9 √9

10.ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไม่เป็นโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์

ก. 1 , −1 , 5 ข. 1 , 0 , −3
3√3 3√3 3√3
√10 √10

ค. −1 , 1 , −3 ง. 2 , −3 , 4

√11 √11 √11 √17 √17 √17

เฉลยแบบฝึ กทักษะ

จงหาเวกเตอร์ บอกขนาด และโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์

1).จดุ เรม่ิ ตน้ P(1, 1, 0) จดุ สนิ้ สดุ Q(-2, 3, 4)

−2−1 −3
⃑⃑ ⃑⃑ = [ 3 −1] = [ 2 ]

5 −0 4

|⃑ ⃑ ⃑⃑ |= √(−3)2 + 22 + 42

= √9 + 4 + 16

= √29

โคไซนแ์ สดงทิศทาง คอื −3 , = 2 , = 4
√29 √29 √29

−2 −2

2). ⃑⃑ ⃑⃑ เม่อื ⃑⃑ ⃑⃑ = [ 3 ] ⃑⃑ ⃑⃑ = [ 2 ]

53

⃑⃑ ⃑⃑ = ⃑⃑ ⃑⃑ + ⃑ ⃑ ⃑⃑

= (-⃑ ⃑ ⃑⃑ ) + (- ⃑⃑ ⃑⃑ )

−2 −2
= -[ 2 ] - [ 3 ]

35
4
= [−5]
−8

| ⃑⃑ ⃑⃑ | = √4 2 + (−5)2 + (−8)2

= √16 + 25 + 64

= √105

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง คอื cos2 = 4 , cosβ = 5 , cos r =√−1085
√105 √105

3.) จดุ เร่มิ ตน้ A(3, 5, 2 ) จดุ สนิ้ สดุ B( -1, 3, 5)

−1 −3 −4
⃑ ⃑ ⃑⃑ = [ 3 − 5] = [−2]

5 −2 3

|⃑ ⃑ ⃑⃑ | =√16 + 4 + 9 = √29

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง คือ −4 , −2 , 3
√29 √29 √29

4.)จดุ เร่มิ ตน้ A (0, 1, -3) จุดสนิ้ สดุ B(8, 4, 2)

8− 0 8
⃑ ⃑ ⃑⃑ = [4 − 1 ] = [3]

2 − (−3) 5

| ⃑⃑ ⃑⃑ | =√64 + 9 + 25 = 7√2

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง คอื 8 , 3 , 5
7√2 7√2 7√2

5.)จงใชโ้ คไซนแ์ สดงทศิ ทางตรวจสอบว่าเวกเตอรแ์ ต่ละคูข่ นานกนั หรือไม่

31
1. ⃑⃑⃑ = [4] กบั = [4]

13

หา | ⃑ | = √9 + 16 + 1 = √26

โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ| ⃑ | คือ 3 , 4 , 1
√26 √26 √26

หา | | = √1 + 16 + 9 = √26

โคไซนแ์ สดงทิศทางของ|u⃑ | คอื 1 , 4 , 3
√26 √26 √26

ดงั นนั้ ⃑ ไมข่ นานกบั เน่อื งจากมีโคไซนแ์ สดงทศิ ทางต่างชดุ กนั

2
6)จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ โดย ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = [6]

3

|⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ | =√22 + (−3)2 + 62 =7

จะได้ cos α = 2 , cos β = −3 cos ϒ=76
7 7

ดงั นนั้ โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 2 , −3 ,67
7 7

3
7)จงหาเวกเตอร์ทขี่ นานกบั = [−1] และบอกโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอร์

2

3
จะได้ =[−1]

2

| |=√32 + (−1)2 + 22 =√9 + 1 + 4 =√14

ดงั นนั้ โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอรค์ อื ± ⃑ ⃑ คือ 3 , - 1 , 2
√14 √14 √14

หรือ - 3 , 1 ,- 2
√14 √14 √14

8)จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ - - +5⃑⃑⃑⃑

ให้ ⃑ = - - +5⃑⃑⃑⃑ ,| ⃑ |= √(−1)2 + (−1)2 + 52

โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของเวกเตอร์ - - +⃑5⃑⃑⃑ คอื cos α= −1 , cos β = −1

√27 √27

Cos ϒ = 5
√27

9)กาหนด ⃑ = 3⃑⃑⃑ +4⃑⃑⃑ จงหาเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยของ ⃑

เวกเตอร์ หนงึ่ หน่วย = ⃑ | = 3 +4
|⃑ ⃑⃑ 5

= 3⃑⃑⃑ + ⃑4⃑⃑⃑ เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย
5 5

10)⃑ ⃑ ⃑1⃑⃑ ⃑⃑ ⃑2 มจี ดุ เรม่ิ ตน้ ท่ี(1,2,0) และจดุ สนิ้ สดุ (-2,3,1)จงหาเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยใน
ทศิ ทางเดยี วกบั ⃑⃑ ⃑1⃑⃑ ⃑⃑ ⃑2 ในรูปของ , และ ⃑

เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย =| ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑11⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑22|

= −3 + + = −3 + 1 + 1 ⃑
√11 √11 √11 √11

= −3√11 +√1111 + √11 ⃑
11 11

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

1.กำหนด ⃑ = - 3⃑⃑⃑ +5⃑⃑⃑⃑ , = 2⃑⃑⃑ - 6⃑⃑⃑ + ⃑1⃑⃑⃑0⃑⃑⃑ ขนำนกนั หรือไม่ พร้อมท้งั บอก

ทิศทำง

ก.ไม่ขนำนกนั มีทิศทำงเดียวกนั ข.ขนำนกนั มีทิศทำงเดียวกนั

ค.ไมข่ นำนกนั ไม่มีทิศทำงเดียวกนั ง.ขนำนกนั ไม่มีทิศทำงเดียวกนั

ตอบ ข.

2.กำหนดให้ A(1, 6, 4) และ B(−5, 3, 3) จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑

ก. −6 , −3 , −1 ข. 6 , 3 , 1

√40 √40 √40 √46 √46 √46

ค. −6 , −3 , −1 ง. 9 , 11 , 15

√46 √46 √46 √40 √40 √40

ตอบ ค.

3.จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงขอเวกเตอร์ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ เมื่อกำหนดให้ A(−2, 2, 7) และ B(4, −1, 4)

ก.6 , −2 , 2 ข.6 ,−2 , 2

777 55 5

ค.−6 , 2 , −2 ง.−6 , 2 , −2

777 555

ตอบ ก.

4.cos 2 A+cos 2+B+cos 2Y = 1 ให้ ̅ = โดย | ̅ | ≠ 0
[ ]



ก.0 ข.3

ค.2 ง.1

ตอบ ง.

2

5.ให้ ̅ = [6] จงหำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ̅

3

ก.3 ,4 ,6 ข.2 , 3 , 5
888 666

ค.−2 , −6 ,7 ง. 2 , 6 , 3

7 77 777

ตอบ ง.

6.จงหำโคไซน์แสดงทิศทำงของเวกเตอร์ที่มีจุดเร่ิมตน้ ท่ี P(1,2, −3) และจุดส้ินสุด
ที่Q(−5,3,3)

ก. 6 , 1 , 6 ข. 6 , −1 , −6

√70 √70 √70 √73 √73 √73

ค. −6 , 1 , 6 ง. 6 , 1 , 6

√73 √73 √73 √64 √64 √64

ตอบ ค.

7.หำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑ = 2 +2 - ⃑

ก.2 , 2 , −1 ข.3 , 2 , 1

33 3 555

ค.−2 , −2 , 1 ง.4 , −3 ,5

3 33 6 66

ตอบ ก.

8. หำโคไซน์แสดงทิศทำงของ ̅ - [−43] = -3 +4

ก. 3 , −4 ข.−3 , 4

55 55

ค.5 , 6 ง.−5 , −6

66 66

ตอบ ข.

9.หำโคไซนแ์ สดงทิศทำงของ ⃑⃑ = -2 +2 - ⃑

ก.2 , −2 , 1 ข.−2 , 2 , −1

333 3 33

ค.2 , 3 ,5 ง.−2 ,−3 , 5

4 44 4 44

ตอบ ข

10. ⃑ ทำมุม , , ขนำนกบั X , Y ,Z ดำ้ นบวกตำมลำดบั โดย cos = 5 , cos =−3

13 13

และ cos < 0 ถำ้ | ̅ | = 39 จงหำ ⃑

ก. 15 -9 -9√15 ⃑ ข.17 +9 -6√18 ⃑

ค. 19 -6 +√25 ง.-20 +12 +√25

ตอบ ก.

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียนเรื่องโคไซน์แสดงทิศทาง

1.จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกตอร์ท่ีมีจุดเร่ิมตน้ ที่ P(0,3 ,1) เละจุดส้ินสุดที่ Q(1,5,2)

ก. 1 , 2 , −3 ข. −1 , 2 , 3

√14 √14 √14 √14 √14 √14

ค. 1 , 2 , −3 ง. −1 , 2 , 3

√16 √16 √16 √16 √16 √16

ตอบ ก.

[ ]3

2.ให้ a⃗ = 4 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ a⃗

5

ก. 5√3 ข.3√5

ค.5√2 ง.2√5

ตอบ ค.

จากรูปใหต้ อบคาถามขอ้ 3-5 ดงั ต่อไปน้ี

3.กาหนด = 2 + 6 +3 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ

ก. 2 , 6 , 3 ข. 2 , 6 ,3

666 7 77

ค. 2 , 6 , 3 ง. −2 , −6 , −3

876 777

ตอบ ข.

4. A(1-2,6) และ B(0,2,4)จงโคไซน์แสดงทิศทางของ ̅ ̅ ̅ ̅

ก. −1 , 4 , −2 ข. −1 , 4 , −2

√21 √21 √21 √18 √18 √18

ค. −1 , 4 , −2 ง. −1 , 4 , −2

√24 √24 √24 √25 √25 √25

ตอบ ก.

5.จงหาผลขวกของโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ เมื่อA(0,3,5)และ 8(1,5,2)

ก.2 ข.6

ค.1 ง.0

ตอบ ง.

6.จงหาเวกเตอร์หน่ึงหน่วยที่มีทิศทางเดียวกนั กบั เวกเตอร์ ̅ = 4
[−7]

1

ก.√45 ข.√50

ค.√55 ง.√56

ตอบ ง.

7.ให้ ̅ = 3 จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของ ̅
[4]

5

ก. 3 , 4 , 5 ข. 3 , 4 , 5
√45 √45 √45
√50 √50 √50

ค. 3 , 4 , 5 ง. 3 , 4 , 5

√25 √25 √25 √30 √30 √30

ตอบ ข.

8.กาหนด ⃑ = -3 +5 ⃑ , = 2 -6 +10 ⃑ ขนานกนั หรือไม่ พรอ้ มท้งั บอกทิศทาง

ก.ไมข่ นานกนั มีทิศทางเดียวกนั ข.ขนานกนั ไม่มีทิศทางเดียวกนั

ค.ขนานกนั มีทิศทางเดียวกนั ง.ไมข่ นานกนั ไม่มีทิศทางเดียวกนั

ตอบ ค.

9.จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ เม่ือ P(0,1, −3) และ Q(8,4,2)

ก. 8 , 7 , 5 ข. 5 , 6 , 7
2√7 2√7 2√7
√7 √7 √7
ค. 8 , 3 , 5
7√2 7√2 7√2 ง. 7 , 8 , 9

√9 √9 √9

ตอบ ค.

10.ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่เป็นโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์

ก. 1 , −1 , 5 ข. 1 , 0 , −3
3√3 3√3 3√3
√10 √10
ค. −1 , 1 , −3
ง. 2 , −3 , 4
√11 √11 √11
√17 √17 √17

ตอบ ก.

อ้างอิง

https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/1037-direction-cosines
http://samart.chs.ac.th/14.htm
https://youtu.be/I90ArAZ_ZlM
https://youtu.be/qR8tjODY8N4
https://youtu.be/HcQDz7cPuTQ
https://youtu.be/zmM2os_NdHQ
https://youtu.be/OHoQiN3qomA
https://youtu.be/7iJA3_wPB4w