#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 1
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 2 AYO BELAJAR LINGKARAN Standar Kompetensi : 1. Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan. 2. Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi. A. PENDAHULUAN Pernahkah kita berpikir, bagaimana jika 'roda' sepeda motor tidak berupa lingkaran, tapi berupa segi empat atau segi tiga, misalnya ? Demikian pula semua peralatan kita yang lain yang sekarang berupa lingkaran ? Dalam materi lingkaran ini kita akan membahas pengertian lingkaran, persamaan lingkaran, posisi titik terhadap lingkaran, dan garis singgung lingkaran. B. PERSAMAAN LINGKARAN 1. Definisi dan Persamaan Lingkaran Definisi Lingkaran : Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak yang sama tersebut dinamakan panjang jari-jari lingkaran yang selanjutnya disingkat dengan jarijari lingkaran. a. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Jari-jari r. Kita sudah mengetahui bahwa jarak titik A(x1,y1) ke titik B(x2,y2) adalah AB= 2 2 1 2 2 1 (x x ) ( y y ) . 2 2 1 2 2 1 2 AB (x x ) (y y ) . Perhatikan gambar 4.1 ! Titik T(x,y) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a,b) berjari-jari r. Sesuai definisi : Lingkaran adalah { T/ PT= r } = {T/ (PT)2 = r2 } = {(x,y)/ (xa)2 + (yb)2 = r2 } Syarat keanggotaan himpunan semua titik yang berjarak r terhadap titik P(a,b) yaitu (xa)2 + (yb)2 = r2 dinamakan persamaan lingkaran berpusat dititik P(a,b) yang berjarijari r. Dalam hal khusus dimana P(a,b) adalah titik O(0,0) maka persamaan lingkaran (xa)2 + (yb)2 = r 2 menjadi (x0) 2 + (y0) 2 = r 2 x 2 + y2 = r 2 yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) danh berjari-jari r. Jadi, (xa)2 + (yb)2 = r 2 adalah persamaan lingkaran pusat (a,b) dan jari-jari r. x 2 + y2 = r 2 adalah persamaan lingkaran pusat (0,0) dan jari-jari r. T(x,y) P(a,b) o a x b y Y X r Gbr. 4.1
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 3 Contoh : (i) Persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) berjari-jari 2 satuan adalah : x 2 + y2 = 2 2 x 2 + y2 = 4. (ii) Persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) berjari-jari 3 2 satuan adalah : x 2 + y2 = ( 3 2 ) 2 x 2 + y2 = 18. (iii) x 2 + y2 = 45 adalah persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) berjari-jari r 45 3 5 satuan . (iv) Persamaan lingkaran berpusat di P(2,3) berjari-jari 4satuan adalah : (x2)2 + (y3)2 = (4)2 (x2)2 + (y3)2 = 16 (v) Persamaan lingkaran berpusat di P(4,1) berjari-jari 2 3 satuan adalah : (x+4) 2 + (y 1) 2 = ( 2 3 ) 2 (x+4)2 + (y 1)2 = 12 (vi) (x+5)2 + (y +6)2 = 32 adalah persamaan lingkaran berpusat di P(5, 6) berjari-jari r= 32 4 2 satuan Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang diketahui : (i) berpusat di titik O ( 0,0 ) dan melalui titik (3,1) (ii) berpusat di titik P ( 1, -5 ) dan melalui titik (4, 3) Jawab: (i) Persamaan lingkaran berpusat di titik O ( 0,0 ) dan jari-jari r adalah x 2 + y2 = r 2 Melalui titik (3,1) berarti (3)2 + (1) 2 = r 2 9 + 1 = r 2 r 2 = 10 Jadi persamaan lingkarannya x2 + y2 = 10 atau L{ (x,y)/ x2 + y2 = 10} (ii) Persamaan lingkaran berpusat di titik P(1,5) dan jari-jari r adalah (x1)2 + (y+5)2 = r 2 Melalui titik (4,3) berarti (41)2 + (3+5)2 = r 2 9 + 4 = r 2 r 2 = 13 Jadi persamaan lingkarannya (x1)2 + (y+5)2 =13 atau L{ (x,y)/ (x1)2 +(y+5)2 =13} Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran (x2)2 + (y5)2 =16 dan menyinggung sumbu x. Jawab : P(2,3) o A B y Y X r r Gbr. 4.2 Contoh : Tentukan persamaan tempat kedudukan T(x,y) yang diketahui memenuhi syarat TA= 2.TB dengan A(0,1) dan B(0,4). Jawab : Tempat kedudukan tersebut secara aljabar dapat dinyatakan sebagai himpunan smua titik yang memenuhi TA= 2.TB { T/ TA= 2.TB } { T/ TA2 = 4.TB2 } { T(x,y) / (x0) 2 + (y1)2 = 4[(x0)2 + (y4)2 ] } Perhatikan gambar 4.2 di samping ! AP= OB = 3 satuan. Jari-jari lingkaran r= AP= 3, sehingga persamaan lingkarannya adalah : (x2)2 + (y3)2 =3 2 (x2)2 + (y3)2 =9
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 4 { T(x,y) / x2 + y2 2y +1 = 4[x2 + y2 8y + 16] } { T(x,y) / x2 + y2 2y +1 = 4x2 + 4y2 32y + 64 } { T(x,y) / 3x2 + 3y2 30y +63 = 0 } { T(x,y) / x2 + y2 10y +21 = 0 } Bentuk x2 + y2 10y +21 = 0 x 2 + y2 10y +25 4 = 0 x 2 + y2 10y +25 = 4 (x0)2 + (y5)2 = 4 Jadi persamaan tempat kedudukannya adalah (x0)2 + (y5)2 = 4 yang merupakan sebuah lingkaran berpusat di (0,5) dan berjari-jari 2. Latihan Uji Kompetensi 1 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan jari-jari berikut : a. r= 2 c. r= ½ e. r= ½ 2 b. r= 5 d. r= 2 ½ f. r= 3 2 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan melalui titik : a. A( 1, 2 ) c.A ( -2, 5 ) b.A ( 3, 0 ) d. A( -3, -1 ) 3. Tentukan pusat dan jari-jari untuk tiap lingkaran berikut ini : a. x2 + y2 = 16 d. x2 + y2 = 8 b. x2 + y2 = 4/9 e. 2x2 + 2y2 = 50 c. x2 + y2 = 1/4 f. 9 x2 + 9y2 = 25 4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r berikut ini : a. P( 2, 2 ) ; r= 3 d. P( -4, -3 ) ; r= 52 b. P( 2, -3 ) ; r= 4 e. P( 1, 7) ; r= 25 c. P( -6, 6 ) ; r= 2 f. P( 5, 2) ; r= 33 5. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P dan melalui titik yang ditentukan sebagai berikut : a. P ( -2, 0 ) ; A 4, 3 ) d. P( -6, 0 ) ; D( 0, 8 ) b. P ( 8, -15 ) ;O(0,0) e. P(-3, 2 ) ; E( 2, 1) c. P( 3, -4 ) ; B( 1, 2 ) f. P( -5,-2) ; F( -1, 4) 6. Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut : a. P(2, -3) dan menyinggung sumbu X. b. P(-4,1) dan menyinggung sumbu Y. c. menyinggung sumbu X+ dan sumu Y berjari-jari 6. d. melalui titik ( 4,0) dan (10,0) dan menyinggung sumbu y. e. Sepusat dengan lingkaran dengan persamaan L (x2)2 + (y7)2 = 9 dengan jari-jari dua kali panjang jari-jari L. f. Sepusat dengan lingkaran dengan persamaan L (x+1)2 + (y3)2 = 24 dengan jari-jari setengah panjang jari-jari L. 7. Tentukan persamaan tempat kedudukan untuk titik-titik T(x,y) yang diketahui memenuhi syarat dengan titik A dan B sebagai berikut : a. A( 1,0 ) , B(9,0) , TB = 3.TA b. B( 2,1 ) , B(1,9) , TA : TB = 3 : 1 ----------------------------------------------------
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 5 2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan jari-jari r yang ditulis sebagai ( x – a ) 2 + ( y – b )2 = r 2 disebut bentuk baku persamaan lingkaran. Bentuk yang lain dari lingkaran dapat ditentukan sebagai berikut : ( x – a ) 2 + ( y – b )2 = r 2 x 2 – 2ax + a2 + y2 – 2ay +b2 = r 2 x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r 2 = 0 ............................(*) Andaikan a = A a = A b = B b = B a 2 + b2 – r 2 =C A 2 + B 2 – r 2 =C r 2 = A 2 +B2 – C r A B C 2 2 dengan A 2 + B 2 – C 0 Persamaan lingkaran (*) menjadi : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan selanjutnya disebut bentuk umum persamaan lingkaran. Contoh: Diantara persamaan-persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan lingkaran 1. x + 4y -4= 0 5. x2 + y2 + xy + x – 4y +5 = 0 2. x2 + 4x – 15y +8 = 0 6. x2 - y 2 + 3x – 7y + 14 = 0 3. y2 - 5x + 7y - 8 = 0 7. 2x2 + 6y2 - 12x + 4y +5 = 0 4. x2 + y2 - 8x + 20y +13 = 0 8. 3x2 + 3y2 - 5x + 8y +14 = 0 Jawab : 1. x + 4y -4= 0 ; bukan persamaan lingkaran, sebab peubah x dan y berderajat satu 2. x 2 + 4x – 15y +8 = 0 ;bukan persamaan lingkaran sebab yang berderajat 2 hanya peubah x 3. y 2 - 5x + 7y - 8 = 0 ; bukan persamaan lingkaran, sebab yang berderajat 2 hanya peubah y. 4. x 2 + y2 - 8x + 20y +13 = 0 ; merupakan persamaan lingkaran 5. x 2 + y2 + xy + x – 4y +5 = 0 ; bukan persamaan lingkaran,sebab memuat suku xy 6. x 2 - y 2 + 3x – 7y + 14 = 0; bukan persamaan lingkaran sebab koefisien x2 tidak sama dengan koefisien y2 . 7. 2x2 + 6y2 - 12x + 4y +5 = 0 ; bukan persamaan lingkaran sebab koefisien x 2 tidak sama dengan koefisien y2 . 8. 3x2 + 3y2 - 5x + 8y +14 = 0; merupakan persamaan lingkaran Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari untuk lingkaran 1. L x 2 + y2 + 4x 6y 36= 0 2. L 4x2 + 4y2 16x +8y+15= 0 Jawab : 1. L x 2 + y2 + 4x 6y 36= 0 sehingga 2A= 4 A= 2 ; 2B= 6 B= 3; C= 36 Pusat lingkaran : (A, B) = (2, (3)) = (2, 3) Jari-jari lingkaran : r A B C 2 2 2 ( 3) ( 36) 4 9 36 49 7 2 2 Jadi lingkaran L x 2 + y2 + 4x -6y 36= 0 pusat di ( -2, 3 ) dan jari-jari r= 7. Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah : x 2 + y2 + 2Ax + 2By + C= 0 dengan A,B dan C bilangan real dengan pusat (A ,B) dan jari-jari lingkaran = r A B C 2 2
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 6 2. L 4x2 + 4y2 16x +8y+15= 0 x 2 + y2 4x +2y + 4 15 = 0 Sehingga 2A= 4 A= 2 ; 2B= 2 B= 1; 4 15 C Pusat lingkaran : (A, B) = ((2), 1) = (2, 1) Jari-jari lingkaran : r A B C 2 2 5 2 1 4 5 4 15 4 1 4 15 ( 2) (1) 2 2 Jadi L 4x2 + 4y2 16x +8y+15 = 0 berpusat di (2, 1)) dan berjari-jari r =. 5 2 1 Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik ( 0,-3 ), (4,5 ) dan (6,-1 ). Jawab: Bentuk umum persamaan Lingkaran x 2 + y2 + 2Ax +2By + C= 0 Melalui ( 0, -3 ) 0 2 + (-3)2 + 2.A.0 + 2.B.(-3) + C= 0 9 – 6B + C= 0 6B– C = 9……. ……………………………………(1) melalui ( 4,5 ) 4 2 + 52 + 2.A.4 +2.B.5 + C= 0 16 + 25 + 8A + 10B + C=0 8A + 10 B + C = -41………………………………(2) melalui ( 6, -1 ) 6 2 + (-1)2 + 2.A.6 + 2.B.(-1) + C= 0 36+1+ 12A -2B+C = 0 12A – 2B + C = -37 ……………………………….(3) Persamaan (1) dan (2) Persamaan (1) dan (3) 6B – C = 9 6B – C = 9 8A + 10 B + C = –41 (+) 12A – 2B + C = -37 (+) 8A + 16B = – 32 12A + 4B = -28 A+ 2B = – 4 …………(4) 6A +2B = – 14 …………(5) Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh : A + 2B = – 4 6A +2B = – 14 (–) –5A = 10 A = – 2 Dari persamaan (4) : A + 2B = – 4 – 2 + 2B = – 4 2B = – 2 B= – 1 Dari persamaan (1) : 6B– C = 9 6(–1)C = 9 6C = 9 A= 15 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 + y2 +2Ax +2By + C = 0 x 2 + y2 4x 2y 15 = 0 Latihan Uji Kompetensi 2 1. Diantara persamaan-persamaan di bawah ini, mana yang merupakan persamaan lingkaran dan mana yang bukan ? Jelaskan ! a. 3x – 7y -9 = 0 e. x2 + y2 – 6x + 4y -1 = 0 b. 2x2 –5y + 2x +1 = 0 f. –x 2 + y2 + 6x – 6y +3= 0 c. 2 y2 – 6x + y +3 = 0 g. x 2 + y2 + xy + x + y-4 = 0 d. x2 + x + 5y +10 = 0 h. 3x2 + 3y2 – 6x + 8y -9 = 0 2. Tulislah persamaan umum lingkaran jika diketahui koordinat pusat P dan panjang jari-jari lingkaran atau titik yang dilaluinya : a. P ( 1, -2 ) dan r= 2 d. P(1½ , 2) dan r= 3 ½ b. P( -3, 2 ) dan r= 6 e. P(1, -4 ) dan melelui titikA( 3, 2 ) c. P( 5, 3 ) dan r= 32 f. P ( 1, 4 ) dan melalui titik ( -2, 5 )
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 7 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini . a. x 2 + y2 – 2x – 6y + 6= 0 e. 2x2 + 2y2 + 5x – 3y = 0 b. x 2 + y2 – 2x – 6y 15= 0 f. 4x2 + 4y2 – 8x +16y + 19= 0 c. x 2 + y2 – 4x – 4y = 0 g. 2x2 + 2y2 + 12x – 8y -24= 0 d. x 2 + y2 – 4x + 8y 5= 0 h. 9x2 + 9y2 + 12x – 9y + 4= 0 4. Ubahlah ke bentuk persamaan umum lingkaran ! a. (x1)2 + (y2)2 = 4 d. (x2)2 + (y+2)2 = 8 b. (x+2)2 + (y3)2 = 16 e. (x+4)2 + (y1)2 = 20 c. (x3)2 + (y +2)2 = 25 f. (x+4)2 + (y+1)2 = 13 5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik : a. ( 2, 3 ), (4, 3 ), dan ( 2, 9 ) d. ( 4, 5 ), ( 3, 2 ), dan ( 1, 4 ) b. ( 2, 4 ), ( 0,0 ), dan ( 1 , 7 ) e. ( 2, 8 ), ( 7, 3 ), dan ( 2, 0 ) c. (2,0) , (8,0), dan (0,4) f. (3,2), (4,1), (5,6) 6. Tentukan persamaan umum lingkaran sepusat dengan lingkaran x 2 +y2 10x +4y =0 yang panjang jari-jarinya 2 kali panjang jari-jari lingkaran yang diketahui tersebut. 7. Tentukan persamaan umum lingkaran sepusat dengan lingkaran x 2 +y2 +6x 4y =0 yang luasnya 2 kali luas lingkaran yang diketahui tersebut. 8. Tentukan persamaan tempat kedudukan untuk titik-titik T(x,y) yang diketahui memenuhi syarat dengan titik A dan B sebagai berikut : a. A( 1,2 ) , B(9,2) , TA = 3.TB b. B( 2,6 ) , B(7, 9) , TA : TB = 2 : 3. -------------------------------------------------- 3. Menentukan Posisi Titik terhadap Lingkaran Misalkan P(a,b) adalah pusat lingkaran L yang berjari-jari r. Titik N, M, dan K berturutturut titik-titik yang terletak diluar, pada dan di dalam lingkaran L dan terhadap P berjarak n, m, dan k. Perhatikan gambar 4.3 berikut : r n k m N K M P P P P (i) (ii) (iii) (iv) Gbr. 4.3 1). Titik yang mempunyai sifat sama dengan titik K, yaitu dengan sifat k< r semuanya terletak didalam lingkaran. Sebaliknya semua titik yang berada di dalam lingkaran L mempunyai sifat k, jaraknya dari P kurang dari r. Perhatikan gambar 4.3 (ii). Jadi, himpunan semua titik yang berada didalam lingkaran pusat P(a,b) dan berjarijari r adalah { K / KP < r } { K / KP 2 < r2 } { (x,y) / (xa)2 + (yb)2 < r2 } 2). Titik yang mempunyai sifat sama dengan titik M, yaitu dengan sifat m = r semuanya terletak pada lingkaran. Sebaliknya semua titik yang terletak pada lingkaran L mempunyai sifat m, jaraknya dari P sama dengan r. Perhatikan gambar 4.3 (iii). Jadi, himpunan semua titik yang terletak pada lingkaran pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah { M / MP = r } { M / MP 2 = r 2 } { (x,y) / (xa)2 + (yb)2 = r 2 }
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 8 3). Titik yang mempunyai sifat sama dengan titik N, yaitu dengan sifat n > r semuanya terletak diluar lingkaran. Sebaliknya semua titik yang berada di luar lingkaran L mempunyai sifat n, jaraknya dari P lebih dari r. Perhatikan gambar 4.3 (iv). Jadi, himpunan semua titik yang berada diluar lingkaran pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah { N / NP > r } { N / NP 2 > r2 } { (x,y) / (xa)2 + (yb)2 > r2 } Contoh: Tanpa menggambar pada bidang cartesius , tentukan posisi tiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebutkan : a. Q(2, 3 ) terhadap lingkaran L ( x-1 )2 + ( y–4 )2 = 9 b. R( 1, 1 ) terhadap lingkaran L ( x+3 )2 + ( y–5 )2 = 16 c. S( 3, 1 ) terhadap lingkaran L x 2 + y2 –8x –2y – 8= 0. Jawab: a. L ( x–1 )2 + ( y–4 )2 = 10 ; Q(2, 3 ) Jika Q(2,3) disubstitusikan pada ruas kiri persamaan diperoleh : (21)2 + (34 )2 = (3) 2 +(1)2 =9 + 1 = 10 Berarti titik Q( 2,3) terletak pada lingkaran L ( x-1 )2 + ( y-4 )2 = 10 b. L ( x+3 )2 + ( y-5 )2 = 16; R( 1, 1 ) Jika R( 1, 1 ) disubstitusikan pada ruas kiri persamaan diperoleh : ( 1+3 ) 2 + (15 )2 = (4)2 +(6) 2 =16 + 36 = 52 > 16 Berarti titik R( 1, 1 ) terletak di luar lingkaran L ( x+3 )2 + ( y-5 )2 = 16 c. L x 2 + y2 – 8x –2y –8= 0 ; S(3,1) Jika S(3,1) disubstitusikan pada ruas kiri persamaan diperoleh : (3)2 + (1)2 – 8(3) –2(1) – 8 = 9 + 1 – 24 – 2 – 8 = –24 < 0 Berarti titik S( 3,1) terletak di dalam lingkaran L x 2 + y2 - 8x -2y - 8= 0 Contoh: Tentukan nilai k jika diketahui titik A(k,12) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 169. Jawab: Titik A(k,12) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 169 berarti berlaku hubungan : (k)2 + (12)2 = 169 k 2 + 144 = 169 k 2 = 25 k = 5. Jadi, nilai k yang memenuhi adalah 5 atau 5. Contoh: Tentukan nilai a jika diketahui titik N(4, a) terletak diluar lingkaran L x 2 + y2 – 18x –4y +35 = 0. Jawab: Titik N(4, a) terletak diluar lingkaran L x 2 + y2 – 18x –4y +35 = 0 berarti berlaku : (4)2 + (a)2 – 18(4) – 4(a) +35 > 0 16 + a 2 –72 –4a +35 > 0 a 2 – 4a – 21 > 0 (a – 7)(a+3) > 0 -3 7 ++++ - - - - ++++ Jadi, nilai a< 3 atau a > 7.
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 9 Latihan Uji Kompetensi 3 1. Pada bidang Cartesius , perlihatkan grafik himpunan berikut : a. {(x,y) / x 2 + y2 = 9} d. {(x,y) / x 2 + y2 9} b. {(x,y) / x 2 + y2 < 9} e. {(x,y) / (x1)2 + (y2)2 9} c. {(x,y) / x 2 + y2 > 9} f. {(x,y) / (x1)2 + (y2)2 9} 2. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius , tentukan posisi titik T(x,y ) terhadap lingkaran L yang diketahui berikut ini : a. T( 2,3 ) ; L x 2 + y2 = 8 e. T( 3 , 4 ) ; L x 2 + y 2 = 20 b. T( 1, 6 ) ; L x 2 + y2 = 13 f. T(3, 3 ) ;L x 2 + y2 = 12 c. T( 1, 3 ) ; L x 2 + y2 = 10 g. T( 3 , 1 ) ; L x 2 + y2 = 3 d. T( 2, 4 ) ; L x 2 + y2 = 30 h. T( 1, 5 ) ; L x 2 + y2 = 4 3. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius , tentukan posisi titik T(x,y ) terhadap lingkaran L yang diketahui berikut ini : a. T( 2, 5 ) ; L ( x+3 )2 + ( y4 )2 = 169 b. T( 3, 2 ) ; L ( x5 )2 + ( y+1 )2 = 100 c. T( 3, 3 ) ; L ( x3 )2 + ( y2 )2 = 9 d. T( 5, 4 ) ; L ( x+1 )2 + ( y4 )2 = 16 4. Diketahui lingkaran dengan persamaan L x 2 + y2 8x 2y + 8= 0. Tentukan posisi atau kedudukan titik-titik : a. A( 2, 3 ) d. D(5, 2 ) b. B(1, 1) e. E( 4, 2 ) c. C( 0, 1 ) f. F(6, 4 ) 5. Tentukan nilai-nilai a agar titik T dan lingkaran L mempunyai hubungan yang ditentukan berikut ini: a. Titik T ( a, 3 ) terletak pada lingkaran L x 2 + y2 = 45 b. Titik T ( a, 4 ) terletak di dalam lingkaran L x 2 + y2 = 20 c. Titik T ( 7, a ) terletak diluar lingkaran L x 2 + y2 = 81 d. Titik T ( a, a ) terletak pada lingkaran L x 2 + y2 = 100 e. Titik ( a, 2) terletak pada lingkaran L ( x+1 )2 + ( y-4 )2 = 5 f. Titik ( -a, 3 ) terletak di dalam lingkaran L ( x+4 )2 + y2 = 12 g. Titik ( -a, a ) terletak diluar lingkaran L ( x-3 )2 + ( y+2 ) 2 = 25 h. Titik ( 2, a ) terletak pada lingkaran L x 2 + y2 – 4x – 2y – 4= 0 i. Titik ( 4, -1 ) terletak di dalam lingkaran L x 2 + y2 – 4x + 2ay – 3= 0 j. Titik ( 1, 2 ) terletak diluar lingkaran L x 2 + y2 – 2 1 ax + 2y – 5= 0 -------------------------------------- 4. Menentukan Posisi Garis terhadap Lingkaran Menurut tinjauan geometri bidang posisi atau kedudukan garis terhadap lingkaran L dapat diperlihatkan seperti gambar 2.4 berikut : P O P O P O g g g T B A X Y X X Y Y (i) (ii) (iii) Gbr. 4.4
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 10 Pada gambar 4.4 (i) garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan yaitu titik A dan B. Pada gambar 4.4 (ii) garis g memotong lingkaran L di satu titik saja atau biasa dikatakan garis g menyinggung lingkaran L di titik T. Pada gambar 4.4 (iii) garis g tidak memotong lingkaran L. Menurut tinjauan aljabar, posisi atau kedudukan garis terhadap lingkaran L dapat dianalisis dengan menggunakan sistem persamaan linear dan kuadrat. Dalam proses penyelesaian system persamaan akan diperoleh persamaan kuadrat baru atau dikenal dengan persamaan kuadrat gabungan dalam satu variable yang dapat ditentukan nilai diskriminannya. Dari nilai diskriminan inilah kita dapat menentukan posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran L yaitu : 1). Garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan jika nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan bernilai positif. 2). Garis g memotong lingkaran L di satu titik atau garis g menyinggung lingkaran L jika nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan sama dengan nol. 3). Garis g tidak memotong lingkaran L jika nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan bernilai negatif. Untuk lebih jelasnya simaklah contoh berikut. Contoh: Tanpa menggambar grafiknya, tentukan posisi garis g terhadap lingkaran L berikut : a. g xy +5 = 0 dan L x 2 + y2 = 9 b. g 2xy +2 = 0 dan L x 2 + (y1)2 = 4 c. g 2x+y +2 = 0 dan L x 2 + y2 +2x10y + 21 = 0 Jawab: a. g xy +5 = 0 dan L x 2 + y2 = 9 xy +5 = 0 y= x+5 jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran L diperoleh : x 2 + y2 = 9 x 2 + (x+5)2 = 9 x 2 + x2 +10 x +25 9 = 0 2x2 +10 x +16 = 0 x 2 +5 x +8 = 0 Diskriminan persamaan kuadrat gabungan = D= (5)2 4.(1).(8) =2532 = 7< 0. Karena D<0 berarti garis gxy+5 = 0 tidak memotong lingkaran L x 2 + y2 = 9 b. g 2xy +2 = 0 dan L x 2 + (y1)2 = 4 2xy +2 = 0 y= 2x +2 jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran L diperoleh x 2 + (y1)2 = 4 x 2 + (2x +2 1)2 = 4 x 2 + (2x +1)2 = 4 x 2 +4x2 4x+ 1 4 = 0 5x2 4x+ 3 = 0 Diskriminan persamaan kuadrat gabungan = D= (4) 2 4.(5).( 3) =16+60 =76 >0 Karena D>0 berarti garis g 2xy +2 = 0 memotong lingkaran L x 2 + (y1)2 = 4 di dua titik yang berlainan. c. g 2x+y +2 = 0 dan L x 2 + y2 +2x10y + 21 = 0 2x+y +2 = 0 y= 2x 2 jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran L diperoleh x 2 + y2 +2x10y + 21 = 0 x 2 + (2x 2 )2 +2x10(2x 2 ) + 21 = 0 x 2 + (4x2 + 8x + 4) + 2x + 20x + 20 +21 = 0 5x2 + 30x + 45 = 0 x 2 + 6x + 9 = 0 Diskriminan persamaan kuadrat gabungan = D= (6) 2 4.(1).(9) =3636 = 0 Karena D=0 berarti garis g 2x+y +2 = 0 menyinggung lingkaran L x 2 + y2 +2x10y + 21 = 0
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 11 Contoh: Tentukan titik potong garis g dan lingkaran L yang diketahui berikut ini : a. g xy +2 = 0 dan L x 2 + y2 = 4 b. g xy 4 = 0 dan L x 2 + y2 8x 2y + 12 = 0 Jawab: a. g xy +2 = 0 dan L x 2 + y2 = 4 xy +2 = 0 y= x+2 jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran L diperoleh : x 2 + y2 = 4 Untuk x= 0 y = 0 + 2 = 2 x 2 + (x+2)2 = 4 Untuk x= 2 y = 2 + 2 = 0 x 2 + x2 +4x +4 4 = 0 Titik potongnya adala ( 0,2) dan (2,0) 2x2 + 4x = 0 Jadi, titik potong garis g xy +2 = 0 x 2 + 2x = 0 terhadap lingkaran L x 2 + y2 = 4 x(x + 2) = 0 adalah ( 0,2) dan (2,0) x= 0 atau x= 2 b. g xy 4 = 0 dan L x 2 + y2 8x 2y + 12 = 0 xy 4 = 0 y = x4 jika disubstitusikan ke persamaan lingkaran L diperoleh : x 2 + (x4 )2 8x 2(x4 ) + 12 = 0 Untuk x= 3 y = 34 = 1 x 2 + x2 8x+168x 2x+8 + 12 = 0 Untuk x= 6 y = 64 = 2 2x2 18x +36 = 0 Titik potongnya adala ( 3,1) dan (6,2) x 2 9x +18 = 0 Jadi, titik potong garis g xy +2 = 0 (x3) (x6) = 0 terhadap lingkaran L x 2 + y2 = 4 x= 3 atau x = 6 adalah ( 3,1) dan (6,2). Latihan Uji Kompetensi 4 1. Gambarlah garis g dan lingkaran L berikut pada bidang Cartesius kemudian sebutkan posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran L berikut : a. g y = 1 ; L x 2 + y2 = 9 d. g 2 1 x 1 ; L x 2 + y2 = 9 b. g y = 3 ; L x 2 + y2 = 9 e. g x = 1 ; L x 2 + y2 = 9 c. g y = 4 ; L x 2 + y2 = 9 f. g x = 4 ; L x 2 + y2 = 9 2. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius , tentukan posisi garis g terhadap lingkaran L x 2 + y2 4x 6y + 9 = 0 berikut ini : a. g x = 0 d. g x+y 3 = 0 b. g y = 1 e. g xy 4 = 0 c. g x+y 1 = 0 f. g x2y +4 = 0 3. Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y untuk masing-masing lingkaran L berikut : a. L x 2 + y2 = 4 e. L x 2 + y2 + 2y = 0 b. L x 2 + y2 = 9 f. L x 2 + y2 3x +5y = 0 c. L x 2 + y2 = 16 g. L x 2 + y2 6x y = 0 d. L x 2 + y2 4x = 0 h. L 2 1 x 2 + 2 1 y 2 + x +y = 0 4. Diketahui lingkaran L x 2 + y2 +4x 6y + 12 = 0. Tunjukkan bahwa garis g berikut memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan, kemudian tentukan koordinat titik potong tersebut. a. g xy = 2 c. g x+ 2y = 9 b. g 2x+y = 11 d. g x+3y = 22 5. Diketahui lingkaran L x 2 + y2 +2x 4y 8 = 0. Tunjukkan bahwa garis g berikut menyinggung lingkaran L , kemudian tentukan koordinat titik singgung tersebut. a. g 2x3y = 5 c. g 3x 2y = 6 b. g 2x+3y = 9 d. g 3x+2y = 12 ---------------------------------
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 12 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran. a. Lingkaran Pusat di ( 0, 0 ) dan Jari-jari r. Sudah kita pahami bahwa jika titik T(x1,y1) terletak pada lingkaran x 2 + y2 = r 2 maka akan dipenuhi (x1) 2 + (y1) 2 = r 2 . X g Y T(X1,Y1) O y1 x1 Gbr. 4.5 Persamaan garis singgung g adalah y y1 = m ( x – x1 ) 1 1 1 1 x x y x y y y1y – y1 2 = - x1 ( x – x1 ) y1y – y1 2 = - x1 x + x1 2 x1x + y1y = x1 2 + y1 2 x1x + y1y = r 2 Jadi persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) pada lingkaran L x 2 + y2 = r 2 adalah x1.x + y1.y = r 2 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung dititik T pada lingkaran L berikut : 1. L x 2 + y2 = 13 ; T(3, 2 ) 2. L x 2 + y2 = 17 ; T( 1, 4 ) Jawab: 1. Titik T( 3, 2 ) x1= 3 dan y1= 2 terletak pada L x 2 + y2 = 13 . Persamaan garis singgungnya : x1x + y1y = r 2 (-3) x + ( 2 ) y = 13 -3 x + 2y = 13 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L x 2 + y2 =13 yang melalui titik T(3, 2 ) adalah 3 x + 2y = 13 2. Titik T( 1,4 ) x1= 1 dan y1= 4 terletak pada L x 2 + y2 = 17 . Persamaan garis singgungnya : x1x + y1y = r 2 (1) x + ( 4 ) y = 17 x + 4y = 17 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L x 2 + y2 =17 yang melalui titik T(1, 4 ) adalah x + 4y = 17 Garis singgung g dapat ditentukan sebagai berikut : Gradien garis OT adalah 1 1 OT x y m Karena garis singgung g tegak lurus OT maka gradien garis g adalah : 1 y 1 x 1 x 1 y 1 mOT 1 mg
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 13 b. Lingkaran dengan Pusat di P( a, b ) dan Jari-jari r. P(a,b) =O’ x-a y-b O X’ X g Y Y’ T(X1,Y1) Gbr. 4.6 Jika dipandang lingkaran pada sistem koordinat bertitik asal O’ = P(a,b) maka garis singgung di T( x1, y1 ) adalah (x1)(x) + (y1)(y) = r 2 Karena x = x a ; x1= x1a ; y = y b ; y1= y1 b sehingga garis singgung lingkaran di di T( x1, y1) menjadi (x1a)( x a) + (y1 b)( y b) = r 2 Jadi, persamaan garis singgung di T( x1, y1 ) pada lingkaran L ( xa )2 + ( yb )2 = r 2 adalah : (x1a)( x a) + (y1 b)( y b) = r 2 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung titik ( 8, 1 ) pada lingkaran L ( x4 )2 + ( y+2 )2 = 25 . Jawab : Titik ( 8, 1 ) x1= 8 dan y1= 1 terletak pada L ( x–4 )2 + ( y+2 )2 = 25. Persamaan garis singgungnya adalah : ( x1–4 )(x–4 ) + ( y1+2 )( y+2) = 25. ( 8– 4 ) ( x – 4 ) + ( 1 + 2 ) ( y + 2 ) = 25 4 ( x – 4 ) + 3 ( y + 2 ) = 25 4x – 16 + 3 y + 6 = 25 4x + 3y –10– 25 = 0 4x + 3y – 35 = 0 Jadi persamaan garis singgung titik ( 8, 1 ) pada lingkaran L ( x4 )2 + ( y+2 )2 = 25 adalah 4x + 3y – 35 = 0 c. Lingkaran L x 2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 Persamaan lingkaran L x 2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat diubah menjadi bentuk (x+A)2 + (y+B)2 = r 2 dengan r A B C 2 2 atau A2 + B2 r 2 = C Berdasarkan rumus diatas, maka persamaan garis singgung di T( x1, y1 ) adalah : (x1+A) (x+A) + (y1+B) (y+B) = r2 x1.x + Ax1 + Ax+ A2 + y1.y +By1+ By+B2 r 2 = 0 x1.x + y1.y + Ax1 + Ax + By1+ By + ( A 2 +B2 r 2 ) = 0 x1.x + y1.y + Ax1 + Ax + By1+ By + C = 0 Jadi, persamaan garis singgung di T( x1, y1 ) pada lingkaran L x 2 +y2 +2Ax+By + C = 0 adalah : x1.x + y1.y + Ax1 + Ax + By1+ By + C = 0 Menentukan persamaan garis singgung seperti diatas dikenal dengan Cara Pembagian Adil. Perhatikan Gambar 4.6 ! T( x1, y1) terletak pada lingkaran L ( x-a )2 + ( y-b )2 = r 2 dan garis g adalah garis singgung di T( x1, y1 ) pada lingkaran tersebut. x = xa dan x1= x1 a y = y b dan y1 = y1 b
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 14 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung di titik ( 4, 3 ) pada lingkaran L x 2 + y2 – 4x – 2y –3 = 0 Jawab: x 2 + y2 – 4x – 2y –3 = 0 x.x + y.y – 2x– 2x – y– y –3 = 0 Persamaan garis singgung dititik (x1,y1) adalah : x1.x + y1.y – 2x1– 2x – y1 – y –3 = 0 Persamaan garis singgung dititik (4,3) adalah : 4x +3y – 2.4 –2x –4 –y –3 = 0 2x + 2y –14 = 0 x + y – 7 = 0 Jadi persamaan garis singgung di titik ( 4, 3 ) pada lingkaran L x 2 + y2 – 4x – 2y –3 = 0 adalah x + y – 7 = 0 Latihan Uji Kompetensi 5 : 1. Tentukan persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) pada lingkaran L x 2 + y2 = r 2 berikut : a. L x 2 + y2 =25 ; T( 4, 3 ) d. L x 2 + y2 = 20 ; T( –4, 2 ) b. L x 2 + y2 = 100 ; T(–8, 6)) e. L x 2 + y2 = 12 ; T( –3, 3 ) c. L x 2 + y2 = 10 ; T( –3, –1 ) f. L x 2 + y2 = 51 ; T( –7, 2 ) 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran dengan absis atau ordinat titik singgungnya diketahui berikut ini : a. L x 2 + y2 =25 ; absis 3 di kuadran IV. b. L x 2 + y2 =13 ; absis 2 di kuadran II c. L x 2 + y2 =20 ; ordinat 4 di kuadran III d. L x 2 + y2 =16 ; ordinat 2 di kuadran I 3. Tentukan persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) pada lingkaran L (xa)2 + (yb)2 = r 2 berikut : a. L ( x+4 )2 + ( y–2 )2 = 16 ; T( 0, 2 ) b. L ( x+2 )2 + ( y–4 )2 = 45 ; T( 4, 1 ) c. L ( x+3 )2 + ( y–2 )2 = 58 ; T( 0, 9 ) d. L ( x+2 )2 + ( y-3 )2 = 25 ; T(2, 6 ) e. L ( x–1 )2 + ( y+4 )2 = 100 ; T( -5, 6 ) 4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran dengan absis atau ordinat titik singgungnya diketahui berikut ini : a. L ( x +1 )2 + ( y–2 )2 = 25 ; absis 3. b. L ( x+2 )2 + ( y–3 )2 = 34 ; absis 1 c. L ( x+3 )2 + ( y–3 )2 = 10 ; ordinat 6 d. L ( x1 ) 2 + ( y+4 ) 2 = 40 ; ordinat 2 5. Tentukan persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) pada lingkaran L x 2 +y2 +2Ax +2By + C = 0 berikut : a. L x 2 + y2 -2x – 10y +17 = 0 ; T( 4, 5 ) b. L x 2 + y2 + 2x – 8y +4 = 0 ; T( 2, 6 ) c. L x 2 + y2 +6x – 4y –28 = 0 ; T( 2, 6 ) d. L 3x 2 + 3y2 – 6x – 9y –3 = 0 ; T( –1, 2 ) e. L 4x 2 + 4y2 – 8x – 4y –11 = 0 ; T( 3, 1/2 ) -----------------------------------------------
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 15 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui a. Lingkaran dengan Pusat O ( 0, 0 )dan Jari-jari r Misalkan gradien garis singgung lingkaran L x 2 + y2 = r 2 adalah m ( m tertentu atau diketahui ) . Persamaan garis singgung itu dapat ditentukan sebagai berikut : Misalkan persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n. Substitusikan y = mx + n ke persamaan lingkaran x2 + y2 = r 2 , sehingga didapat : x 2 + ( mx + n )2 = r 2 x 2 + m2 x 2 + 2mnx + n2 - r 2 = 0 ( m2 + 1 ) x2 + 2mnx + ( n2 – r 2 ) = 0 Nilai diskriminan D= b2 – 4ac D = ( 2mn )2 – 4 ( m2 + 1 ) ( n2 – r 2 ) D = 4m2 n 2 – 4 ( m2 n 2 – m 2 r 2 + n2 – r 2 ) D = 4m2 r 2 – 4n2 + 4r2 Oleh karena garis menyinggung lingkaran , maka nilai D = 0 4m2 r 2 – 4n2 + 4r2 = 0 4n2 = 4m2 r 2 + 4r2 n 2 = m 2 r 2 + r2 n 2 = r 2 ( m2 + 1 ) n = r 1 2 m Substitusikan n ke persamaan garis y = mx +n , didapat 2 y mx r 1 m Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran Lx 2 + y2 = r 2 dengan gradien m adalah : 2 y mx r 1 m Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran Lx 2 + y2 = 16 jika diketahui mempunyai gradien 3 Jawab : Lingkaran Lx 2 + y2 = 16 pusat di O ( 0, 0 ) dan jari- jari r = 4 dengan gradien 3, maka : Persamaan garis singgungnya y = m x r 2 1 m y = 3 x 4 2 1 3 y = 3x 4 1 9 y = 3 x 4 10 Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran Lx 2 + y2 = 16 yang mempunyai gradien m= 3 adalah y = 3 x + 4 10 dan y = 3 x 4 10 b. Lingkaran dengan Pusat di P( a , b ) dan Jari –jari r Kita pandang sumbu koordinat baru sumbu X’ dan sumbu Y’ yang melalui pusat lingkaran (a,b). Misalkan x = x – a dan y = y – b sehingga lingkaran ( x – a )2 + ( y – b )2 = r 2 dapat diubah menjadi (x) 2 + (y) 2 = r 2 Misalkan persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n. Substitusikan y = mx + n ke persamaan lingkaran (x) 2 + (y) 2 = r 2 , sehingga diperoleh: (x) 2 + (mx + n) 2 = r 2 (x) 2 + m2 (x) 2 + 2mn(x) + n2 - r 2 = 0 ( m2 + 1 ) (x) 2 + 2mn(x) + ( n2 – r 2 ) = 0 Nilai diskriminan D= b 2 – 4ac D = ( 2mn )2 – 4 ( m2 + 1 ) ( n2 – r 2 ) D = 4m2 n 2 – 4 ( m2 n 2 – m 2 r 2 + n2 – r 2 ) D = 4m2 r 2 – 4n2 + 4r2
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 16 Oleh karena garis menyinggung lingkaran , maka nilai D = 0 4m2 r 2 – 4n2 + 4r2 = 0 4n2 = 4m2 r 2 + 4r2 n 2 = m 2 r 2 + r2 n 2 = r 2 ( m2 + 1 ) n = r 1 2 m Substitusikan n ke persamaan garis y = mx + n., diperoleh : 2 y' mx'r 1 m 2 (y b) m(x a) r 1 m Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L( x – a )2 + ( y – b )2 = r 2 dengan gradien m adalah : 2 (y b) m(x a) r 1 m Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 9 dengan gradien m = 2 Jawab : L ( x – 3 ) 2 + ( y + 2 )2 = 9 ; gradien m = 2; r= 3 Rumus persamaan garis singgungnya adalah : ( y + 2 ) = m ( x –3 ) r 2 1 m ( y + 2 ) = 2 ( x – 3 ) 3 2 1 (2) ( y + 2 ) = 2 ( x – 3 ) 3 5 ( y + 2 ) = 2x +6 3 5 y = 2x +4 3 5 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 9 dengan gradien m = 2 adalah : Persamaan garis singgung I : y = 2x + 4 + 3 5 Persamaan garis isnggung II : y = 2x + 4 3 5 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x 2 +y2 –2x + 4y = 0 dengan gradien m = 1 Jawab : L x 2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 ; Pusat (A, B), r= A B C 2 2 x 2 +y2 –2x + 4y = 0 ; 2A = 2 A= 1 ; 2B= 4 B= 2 Pusat (1, 2), r= ( 1) (2) 0 5 2 2 r 2 = 5 x 2 +y2 –2x + 4y = 0 (x1)2 + (y+2)2 = 5 Persamaan garis singgung dengan gradien 1 adalah : (y+2) = 1(x1) 2 5. 1 (1) (y+2) = (x1) 5. 3 y = (x3) 15 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L x 2 +y2 –2x + 4y = 0 dengan gradien m = 1 adalah : Persamaan garis singgung I : y = x3 + 15 Persamaan garis isnggung II : y = x3 15
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 17 3. Menggunakan Diskriminan untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran. Pada pembahasan materi posisi garis terhadap lingkaran sudah kita bahas bahwa garis g menyinggung lingkaran L jika nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan bernilai nol. Hal ini akan kita gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik T(x1, y1) di luar lingkaran menggunakan diskriminan. Menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan diskriminan dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1 : Misalkan persamaan garis singgung melalui P ( x1, y1 ) mempunyai gradien m ( nilai m ditentukan kemudian ), sehingga persamaannnya adalah : y- y1= m ( x – x1 ) atau y= mx –mx1 + y1 Langkah 2: Substitusikan y= mx – m x1+ y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu di hitung. Langkah 3 : Karena garis menyinggung lingkaran , maka nilai diskriminan D pada langkah 2 sama dengan 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai m . Nilai m disubstitusikan ke persamaan y= mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang dicari. Contoh : Diketahui lingkaran L x 2 + y 2 = 25 dan titik T ( -1, 7 ). Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang dapat ditarik melalui titik T ( -1, 7 ). Jawab : Titik T ( -1, 7 ) terletak di luar lingkaran L x 2 + y 2 = 25 sebab (-1 ) 2 + ( 7 ) 2 25 Langkah 1 : Garis singgung melalui titik T( 1, 7 ) dimisalkan gradiennya m. Persamaannnya adalah : y- 7 = m ( x + 1 ) y= mx + m + 7 Langkah 2: Substitusikan y = mx + m + 7 ke persamaan lingkaran L x 2 + y 2 = 25 sehingga diperoleh: x 2 + (mx+m+7)2 = 25 x 2 + m2 x 2 + m2 + 49 + +2 m2 x +14 mx + 14 m = 25 ( 1+m2 ) x2 +( 2 m2 + 14m) x + m2 +14 m + 24 m =0 Nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan di atas adalah : D = ( 2 m2 + 14m)2 – 4 ( 1+m2 ) (m 2 +14 m + 24 m) = 0 D= 4 m4 + 56 m3 + 196 m2 – 4 ( m4 + 14 m3 + 24m 2 + m2 + 14 m+24 ) D= 4 m4 + 56 m3 + 196 m2 – 4 m4 -56m3 - 100m2 - 56 m- 96 D = 96 m2 – 56 m - 96 Langkah 3 : Syarat bagi garis singgung adalah D = 0 96 m2 – 56 m - 96 = 0 12 m2 – 7 m -12 = 0 ( 4 m + 3 ) ( 3 m – 4 ) =0 m = 4 3 atau m= 3 4
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 18 Substitusikan nilai m ke y= mx + m +7 Untuk m = 4 3 y = 4 3 x 4 3 + 7 4y= 3x 3 + 28 3x + 4 y 25 = 0 Untuk m = 3 4 y = 3 4 x + 3 4 + 7 3y = 4 x + + 4 + 21 3y = 4x – 25 = 0 Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L x 2 + y 2 = 25 yang dapat ditarik melalui titik T ( -1, 7 ) adalah 3y = 4x – 25 = 0 dan 3x + 4 y 25 = 0 Latihan Uji Kompetensi 6 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L dengan gradien m yang diketahui berikut ini : a. Lx 2 + y2 = 25 ; m = 4/3 b. Lx 2 + y2 = 4 ; m = 2 2 c. Lx 2 + y2 = 5 ; m = 3 d. Lx 2 + y2 = 9 ; m = 15 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L dengan gradien m yang diketahui berikut ini : a. L ( x 4 )2 + ( y 2 )2 = 1 ; m = 1 b. L ( x + 2 )2 + ( y 1 )2 = 4 ; m = 2 1 c. L ( x 1 )2 + ( y + 2 )2 = 25 ; m = 0,75 E L ( x + 1 )2 + ( y 5 )2 = 10 ; m = 3 f. L x 2 +y2 2x 4y 20 =0 ; m = 1 g. L x 2 +y2 +8x 12y +32 =0 ; m = 2 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L yang ditarik dari titik T diluar lingkaran berikut ini : a. L x 2 + y 2 = 36 ; T( 8, 0 ). b. L x 2 + y2 =25 ; T( 7 , 1 ) c. L x 2 + y2 =20 ; T( 6 , 2 ) d. L (x2)2 + (y+4)2 = 40 ; T( 2, 4) e. L (x+3)2 + (y+6)2 = 40 ; T( 6, 3) f. L x 2 +y2 2x 4y 20 =0 ; T(6,1) g. L x 2 +y2 +8x 12y +32 =0 ; T(2,4) ----------------------------------------------
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 19 UJI KOMPETENSI Petunjuk : Selesaikanlah soal-soal berikut ini dengan singkat tetapi menunjukkan langkah yang jelas. 1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan jari-jari berikut : a. 5 b. 10 c. 7 d. 1,5 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari berikut : a. P( 0, 5 ) ; 4 c. P( 5, 3 ) ; 3 5 b. P( -3, 2 ) ; 5 d. P( 1, -2 ); 3 3. Tentukan pusat dan jari- jari lingkaran berikut ini : a. L x 2 + y2 + 4x + 2y + 1= 0 c. L x 2 + y2 - 4 x – 2y- 15 = 0 b. L x 2 + y2 + 4x – 4y + 7 = 0 d. L x 2 + y2 – 6x + 10 y +3 = 0 4. Tentukan posisi titik-titik berikut ini terhadap lingkaran yang diberikan : a. T( 2, 1 ) ; L x 2 + y2 = 3 c. T( -4, 9 ) ; L x 2 + y2 = 64 b. T(11,13) ; L x 2 + y2 = 200 d. T( -7, 24 ) ; L x 2 + y2 = 625 5. Selidiki letak titik A( 2, 5 ) ; B( -4, -3 ); C( 0, -4 ) terhadap lingkaran berikut : a. L ( x-2 )2 + ( y+ 5 )2 = 40 b. L x 2 + y2 + 6x + 8 y +6 = 0 6. Selidiki posisi garis g terhadap lingkaran L berikut : a. g x+y+3= 0 ; L x 2 + y2 = 3 b. g x+y+2= 0 ; L ( x+1 )2 + ( y+3)2 = 36 b. g x+y+1= 0 ; L x 2 + y2 + 4x + 2y +6 = 0 7. Tentukan m, jika titik ( 1, 2 ) terletak pada lingkaran L x 2 + y2 + 2 mx + 3 y + 1=0 8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : a. L x 2 + y2 = 169 di titik (5, 12) b. L x 2 + y2 = 450 pada titik singgung dengan ordinat y= -20 9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : a. L x 2 + y2 = 4 dengan gradien -3 b. L x 2 + y2 =16 dengan gradien 2 c. L x 2 + y2 =49 dengan gradien 2 d. L x 2 + y2 = 4 dengan gradien -4/3 10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran: a. L ( x-3 )2 + ( y + 2 )2 = 9 yang bergradien 2 b. L ( x+1 )2 + ( y - 5 )2 = 10 yang bergradien -3 11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran a. L x 2 + y2 + 2x -8y -8= 0 yang bergradien - 4/3 b. L x 2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0 yang bergradien 1/2 12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : a. x2 + y2 = 9 melalui ( 0, 5 ) b. x 2 + y2 10x6y 11 = 0 melalui ( 2, 6 ) ---oo0oo---
#untuk kalangan siswa SMA BOPKRI 2 Yogyakarta#Wuryanto 20