Persamaan, Pertidaksamaan & Fungsi Kuadrat

Persamaan, Pertidaksamaan dan Fungsi Kuadrat "Lakukan apa yang membuatmu nyaman dan berarti. karna hidup hanya sesaat harus bermanfaat." SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA untuk kalangan sendiri

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 1 PERSAMAAN , PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Hallo, teman-teman Boda.. Teman-teman sebelumnya sudah pernah belajar tentang persamaan kuadrat atau pertidaksamaan kuadrat atau fungsi kuadrat belum? Hmm, apa itu ya? Apa bedanya? Kita simak, yuk! A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk Baku Persamaan Kuadrat Bentuk baku persamaan kuadrat dengan variabel/peubah x adalah sbb: ax 2 + bx + c = 0 a 0 , a,b,c R , dan x sebagai variabel, a,b,dan c disebut koefisien Contoh persamaan kuadrat : a. 2x2 -3x+4=0 , dengan a=2 ,b=-3 dan c=4 b. 3x2 – 12 = 0, dengan a=3 , b=0 dan c=-12 c. 4x2 - 5x = 0 , dengan a=4 ,b=-5 dan c = 0. Kadang-kadang persamaan kuadrat tidak dinyatakan dalam bentuk baku, tetapi dengan operasi tertentu dapat diubah menjadi bentuk baku. Contoh mengubah persamaan kuadrat ke bentuk baku. a. 2x2 -4x=6-x b. 6 + 2x – x 2 = 0 2x2 -3x-6=0 -x 2 + 2x + 6 = 0 a=2 , b=-3 dan c=-6 a=-1, b=2 dan c=6 c. x + x 2 = 3 d. 2 3 x - 4 1 x =3 _________ kalikan x ________________ kalikan (x-2)(x-4) x 2 + 2 = 3x 3(x-4) – 1(x-2) = 3(x-2)(x-4) x 2 – 3x + 2 = 0 3x-12-x+2=3x2 -18x+24 a=1 , b=-3 dan c = 2 3x2 – 20x + 34 = 0 a = 3 , b =-20 , dan c = 34 Latihan 1 Ubahlah dalam bentuk baku dan tentukan nilai a , b, dan c dari persamaan berikut : 1. 3x2 – 2x = 4 2. x(x-2) = 4x+7 3. 2(x-1)2 = 3(x + 2) 4. (2x-3)(x+1) = 4(x-1) 5. 2x-3= 2 2 x x 6. 2 1 x x = x 4 7. 1 2 3 x x = 2x – k 8. 1 2 x x + 2 1 x x = 1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 2 2. Menyelesaikan Persamaan kuadrat Menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 artinya menentukan nilai pengganti variabel (x) yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai –nilai pengganti variabel yang memenuhi persamaan selanjutnya disebut dengan akar-akar pesamaan kuadrat. Contoh : Dari bilangan – bilangan 1,2, dan 3 manakah yang merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 –3x + 2 = 0 . Jawab : x2 –3x + 2 = 0 x=1 12 –3.1 + 2 = 0 x=2 22 – 3.2 + 2 = 0 x=3 32 –3.3 + 2 = 0 1-3+2 = 0 4 – 6 + 2 = 0 9 – 9 + 2 = 0 0 = 0 (Benar) 0=0 (Benar) 2 = 0 (Salah) Jadi yang merupakan akar-akarnya adalah 1 dan 2. Selanjutnya akan kita pelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Adapun cara-cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah : a. Dengan cara pemfaktoran. b. Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. c. Dengan menggunakan rumus. a.Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat difaktorkan jika nilai b2 - 4ac = k2 (merupakan bilangan bentuk kuadrat). Nilai b2 - 4ac disebut dengan Diskriminan atau D. Bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi = a 1 (ax+m)(ax+n) = a 1 (a2 x 2 + amx +anx + mn) = a 1 (a2 x 2 + (m+n)x + mn ) ax 2 + bx + c = ax2 + (m+n)x + a mn Sehingga diperoleh : m+n = b dan a mn = c atau m.n = a.c Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran digunakan sifat faktor nol yaitu “ Untuk p dan q bilangan nyata dan berlaku p.q= 0, maka p = 0 dan q = 0”.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 3 Contoh : Dengan cara pemfaktoran , tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut : 1. x2 – 4x – 12 = 0 2. 2x2 – 3x – 5 = 0 3. 3x2 + 2x – 4 = 0 Jawab : 1. x 2 –4x–12=0 (Ingat:ax2 +bx+c= a 1 (ax+m)(ax+n) dengan m+n=b dan a mn = c atau m.n = a.c a = 1 , b = -4 dan c = -12 maka nilai D = (-4)2 – 4.1.-12= 16 + 48 = 64 = 82 Karena nilai D bilangan bentuk kuadrat maka persamaan dapat difaktorkan. Kita pilih bilangan bulat m dan n sedemikian m + n = b = -4 dan m.n = a.c = -12. Maka kita dapatkan m = -6 dan n = 2 . Sehingga persamaan di atas dapat difaktorkan menjadi 1 1 (1.x – 6)(1.x + 2) = 0 ( x – 6 )( x + 2 ) = 0 x – 6 = 0 atau x + 2 = 0 x = 6 atau x = -2 Jadi : Himpunan penyelesaiannya adalah : { -2 , 6 } 2. 2x2 –x– 6=0 Ingat: ax2 +bx+c= a 1 (ax+m)(ax+n) dg m+n=b dan a mn =c atau m.n = a.c) a = 2 , b = - 1 dan c = -6 maka D = (-1)2 -4.2.-6= 1 + 48 = 49 = 72 Karena D bentuk kuadrat maka persamaan dapat difaktorkan . Kita pilih bilangan bulat m dan n sedemikian hingga m + n = b = -1 dan m.n = a.c = 2.-6 = -12 Maka kita dapatkan : m = -4 dan n = 3 Sehingga persamaan di atas dapat kita faktorkan menjadi : 2 1 (2x – 4 )( 2x + 3 ) = 0 ( x – 2) (2x + 3) = 0 Dengan mengingat factor nol, maka didapat : x – 2 = 0 atau 2x + 3 = 0 x = 2 atau 2x = -3 x = -1½ Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { -1½ , 2 } 3. 3x2 + 2x – 4 =0 a = 3 , b = 2 dan c = -4 maka D = 22 – 4.3.-4= 4 + 48 = 52 Karena D bukan bentuk kuadrat maka persamaan di atas tidak dapat difaktorkan. Latihan 2 Dengan cara memfaktorkan, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut : 1. x2 – x – 2 = 0 2. x2 + 3x – 4 = 0 3. x2 – 5x + 6 = 0 4 . x2 + 2x – 8 = 0 5. 2x2 - x – 3 = 0 6. 2x2 + x – 6 = 0 7. 3x2 + 4x – 4 = 0 8. 4x2 – 13x + 9 = 0 9. 5x2 + 3x – 2 = 0 10. 6x2 – 5x + 1 = 0 11. x2 – 4 = 0 12. x2 – 9 = 0 13. 25 – x 2 = 0 14. 8 –2x2 = 0 15. x2 – 3x = 0 16. 2x2 + 6x = 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 4 17. Salah satu akar dari x2 +5x+k-2=0 adalah 2. a. Tentukan nilai k b. b. Tentukan akarnya yang lain 18. Salah satu akar dari x2 +(m+1)x+3m+2=0 adalah 5. a. Tentukan nilai m. . b. Tentukan akarnya yang lain. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Tidak setiap persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara difaktorkan, untuk itu perlu kita pelajari cara lain yaitu dengan melengkapkan kuadrat . Contoh : Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut : 1. x2 –4x -3=0 2. 2x2 + 10x + 6 = 0 Jawab : 1. x2 –4x -3=0 2. 2x2 +10x + 6 = 0 x 2 – 4x = 3 2x2 + 10x = -6 x 2 - 4x + 4 = 3 + 4 x 2 + 5x = -3 (x – 2) 2 = 7 x 2 + 5x + (2,5)2 = -3 +(2,5)2 x – 2 = 7 (x +2,5)2 =-3 +6,25=3,25 x = 2 7 x + 2,5 = (3,25) x = 2 + V7 atau x = 2 – V7 x = -2,5 (3,25) Him.Penyelesaiannya adalah: x = -2,5 +3,25 atau x = -2,5 –3,25 {2-7 , 2+7} H.P ={-2,5-3,25 , -2,5 + 3,25} Latihan 3 Dengan melengkapkan kuadrat sempurna , tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut: 1. x 2 - 6x – 7 = 0 2. 2. x2 + 4x – 1 = 0 3. 2x2 – 4x – 3 = 0 4. 4. 3x2 – 9x – 15 = 0 5. 2x2 – 4x – 6 = 0 6. 6. 2x2 –8x – 7 = 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 5 c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat (rumus abc) Cara paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 +bx+c=0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau lebih dikenal dengan nama rumus abc, yang dapat diturunkan daripenyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna yaitu : ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = -c x 2 + a b x = a c x 2 + a b x + 2 2 a b = a c + 2 2 a b (x + a b 2 ) 2 = 2 2 2 4 4 4 a b a ac = 2 2 4 4 a b ac x + a b 2 = 2 2 4 4 a b ac = a b ac 2 4 2 x1.2 = a b 2 a b ac 2 4 2 x1,2 = a b b ac 2 4 2 Jika nilai b2 – 4.a.c = D , maka : x1 = a b D 2 atau x2 = a b D 2 Jadi , akar persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah x 1,2 = a b D 2 , dengan D = b2 -4ac . Contoh : Dengan menggunakan rumus , tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut : 1. x2 –2x-3=0 2. 2x2 + x – 3 = 0 Jawab : 1. x2 –2x-3=0 2. 2x2 +6x – 3 = 0 a = 1 , b =-2 , c =-3 a = 2 , b = 6 , c = -3 D = (-2)2 -4.1.-3 = 4 + 12 = 16 D = 62 -4.2.-3 = 36 + 24 = 12 x1,2 = 2 2 4 2.1 ( 2) 16 2 a b D x1,2 = 4 2 2 3 2.2 6 12 2 a b D x1 = 3 2 2 4 x2 = 1 2 2 4 x1 = 4 6 2 3 x2 = 4 6 2 3 Himpunan Penyelesaian :{-1,3} Himp. Penyelesaian :{ 4 6 2 3 , 4 6 2 3 }

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 6 Latihan 4 Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut : 1. 2x2 – 3x – 5 = 0 2. x2 + 4x + 3 = 0 3. 3x2 – 2x – 1 = 0 4. 2x2 + 3x + 1 = 0 5. x2 – 4x + 4 = 0 6. 9x2 – 6x + 1 = 0 7. 2x2 – 6x + 3 = 0 8. 2x2 + 3x + 4 = 0 9. 9 - x 2 = 0 10. 4x -x 2 =0 3. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk baku pertidaksamaan kuadrat adalah : 1. ax2 + bx + c < 0 2. ax2 + bx + c 0 3. ax2 + bx + c > 0 4. ax2 + bx + c 0 dengan nilai a 0 Langkah –langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah : 1. Ubah ke bentuk baku (jika belum baku ). 2. Tentukan nilai diskriminan ( D ) . a. Jika D < 0 , maka tidak ada nilai penyebab nol ruas kiri. i. D<0 dan a <0 , maka ruas kiri definit negatif ii. D<0 dan a > 0 , maka ruas kiri definit positif b. Jika D = 0 , maka ada satu nilai penyebab nol ruas kiri. c. Jika D > 0 , maka ada 2 nilai penyebab nol ruas kiri. 3. Tentukan nilai penyebab nol ruas kiri ( jika ada ). 4. Buat garis bilangan dan tentukan nilai ruas kiri untuk tiap interval yang terjadi. 5. Berdasarkan nilai / tanda dari ruas kiri ( pada langkah 4) , kita pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut 2x2 - x > 3 Jawab : 2x2 – x > 3 i. Ubah ke bentuk baku . 2x2 –x – 3 > 0 ii. Tentukan nilai Diskriminan . a = 2 , b = -1 dan c = -3 maka D = b2 – 4.a.c = (-1)2 –4.2.-3 = 1 + 24 = 25 a>0 dan D>0 maka ruas kiri ada 2 nilai penyebab nol ruas kiri iii. Tentukan nilai penyebab nol ruas kiri 2x2 – x - 3 = 0 (2x – 3)(x + 1) = 0 2x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 2x = 3 x = -1 x = 1½ iv. Buat garis bilangan dan tentukan nilai ruas kiri. Nilai ruas kiri + 0 - 0 + Nilai x -1 1½ Untuk x < -1 ruas kiri bernilai positip. Untuk -1 < x < 1 ½ ruas kiri bernilai negatip. Untuk x > 1 ½ ruas kiri bernilai positip. v. Jadi himp. penyelesaian dari 2x2 –x+3>0 adalah {x | x<-1 atau x>1½, x R }

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 7 Latihan 5 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut : 1. x2 < 2x – 3 2. x2 + 2x > 3 3. x2 – x < 2 4. 2x2 < x + 6 5. x2 > 4 6. 9 - x 2 < 0 7. x 2 < 3x 8. 6x > x2 9. 3x2 < x + 4 10. 5 - 2x > 3x2 4. Jenis akar-akar persamaan kuadrat Pada pelajaran yang lalu telah kita pelajari akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1,2 = a b D 2 , dengan D = b2 – 4.a.c. Dengan memperhatikan penyelesaian pada latihan yang lalu kita dapat mengetahui jenis akar akar persamaan kuadrat .Jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai Diskriminan(D). 1. Jika D>0 , maka akar-akarnya nyata dan berbeda/berlainan. a.Untuk D = k2 , maka akarnya: nyata, berbeda dan rasional b.Untuk D k 2 , maka akarnya nyata, berbeda dan irasional 2. Jika D = 0 , maka akarnya nyata, sama dan rasional. 3. Jika D < 0 , maka akarnya imaginer / tidak nyata. Latihan 6 1.Tentukan nilai D dan tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut a. x 2 – 4x + 3 = 0 b. 2x2 + 3x – 4 = 0 c. 4x2 – 4x + 1 = 0 d. 2x2 – 4x + 3 = 0 e. 2x2 + kx – 3 = 0 f. 2x2 – 3x + k + 3 = 0 g. kx2 + 2kx + k = 0 h. x2 + (k+2)x + (k+1) = 0 2. Diketahui persamaan kuadrat x2 + 2px + (2p+3) = 0 a. Tentukan nilai Diskrimanannya. b. Tentukan nilai p agar akar-akarnya kembar / sama. c. Tentukan akar-akar kembar tersebut. 3. Diketahui persamaan kuadrat : x2 + (4-2m)x + (10-5m) = 0 a. Tentukan nilai Diskriminannya. b. Tentukan nilai m agar akar-akarnya sama. c. Tentukan akar – akar sama tersebut. 4.Diketahui persamaan kuadrat : x2 –4x – (2-m) = 0. a. Tentukan nilai Diskriminan. b. Tentukan nilai m agar persamaan di atas mempunyai akar – akar yang nyata. 5. Diketahui persamaan kuadrat : 2x2 – 6x – (k+2) = 0 a.Tentukan nilai Diskriminannya. b.Tentukan nilai k agar akar-akarnya imaginer 6. Diketahui persamaan kuadrat : x2 + (2m-1)x + (m2 – 2m + 3) = 0. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat tersebut : a. mempunyai dua akar kembar b. mempunyai dua akar yang real / nyata. c. Mempunyai dua akar yang imajiner.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 8 4. Rumus Jumlah , Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat. Ingat : Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , maka .. x1 = a b D 2 dan x2 = a b D 2 dengan D = b2 – 4.a.c x1 > x2 a. Rumus jumlah akar-akar adalah x1 + x2 x1 + x2 = a b D 2 + a b D 2 = a b D b D 2 = a b a b 2 2 Sehingga diperoleh : x1 + x2 = a b . b. Rumus selisih akar-akar : x1 – x2 x1 – x2 = a b D 2 - a b D 2 = a D a D a b D b D 2 2 2 Sehingga diperoleh : x1 – x2 = a D . . c. Rumus hasil kali akar-akar : x1.x2 . x1.x2 = a c a a a c a a b b a c a b D a b D a b D 4. . 4. . 4. . 4 4 2 2 2 2 2 2 Sehingga diperoleh : x1.x2 = a c Contoh : Tanpa menentukan akar-akarnya terlebih , tentukan jumlah , selisih dan hasil kali akarakar persamaan : 2x2 –3x – 4 = 0 Jawab : 2x2 –3x – 4 = 0 a = 2 , b = -3 , c = -4 , D = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.2.-4 = 9 + 32 = 41 Jumlah = x1+x2 = a b = 2 3 2 ( 3) Hasil kali = x1 .x2 = a c = 2 2 4 Selisih = x1 – x2 = a D . . = 2 41.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 9 Latihan 7 1. Tanpa menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, tentukan jumlah , selisih dan hasil kali . akar-akar persamaan berikut a. 2x2 – x – 3 = 0 b. 2x2 + 4x – 3 = 0 c. 2x2 – 8 = 0 d. 3x2 + 9x = 0 e. x 2 x + 2x = 4 f. x + x 4 = 3 2. Jika m dan n akar-a kar dari 2x2 – 4x – 3 = 0, maka tentukan nilai dari : a. m + n b. m – n c. m.n d. m 1 + n 1 e. m 2 + n2 f. m2 – n 2 g. m n + n m h. m3 +n3 i. m3 – n 3 3. Jika m dan n akar-akar dari 2x2 + 3x – 4 = 0, maka tentukan nilai dari : a. m + n b. m – n c. m.n d. m 1 + n 1 e. m 2 + n2 f. m2 – n 2 g. m n + n m h. m3 +n3 i. m3 – n 3 4. Persamaan kuadrat x2 – 2x + k – 3 = 0, mempunyai akar-akar p dan q . Jika p2 + q2 = 20, .. tentukanlah nilai k. 5. Persamaan kuadrat x2 +(m+3)x + 3m =0 mempunyai akar-akar p dan q. Jika p 2 + q2 = 45 , tentukan nilai m . 6. Akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 3x – p = 0 , adalah m dan n . Jika m + 3n = 5 , tentukan nilai p. 7. Salah satu akar persamaan x2 – mx + 27 = 0 adalah kudrat akar yang lain. Tentukan nilai m.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 10 5. Menyusun Persamaan Kuadrat a. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya. i. Menggunakan faktor. Jika suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x – x1)(x – x2) = 0, maka x1 dan x2 merupakan akar-akarnya. Sebaliknya jika x1 dan x2 merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat , maka persamaan kuadratnya adalah (x – x1)(x – x2)=0. Contoh : Dengan menggunakan faktor susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya : a. –2 dan 3 b. 3 dan –1/2 Jawab : a. –2 dan 3 b. 3 dan –1/2 Persamaan kadratnya adalah : Persamaan kuadratnya adalah : (x – (-2))(x – 3) = 0 (x – 3)(x – (- 1 /2)) = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 (x – 3)(x + ½) = 0 x 2 + 2x – 3x – 6 = 0 x 2 – 3x + 1 /2x - 1 1 /2 = 0 x 2 – x – 6 = 0 x 2 – 2 1 /2x – 1 1 /2 = 0 2x2 – 5x – 3 = 0 Latihan 8 Dengan menggunakan faktor , susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya berikut ini 1. –3 dan 5 2. –4 dan 6 3. –5 dan 3 4. –4 dan 2 5. –1/2 dan 4 6. –2/3 dan 6 7. ½ dan 3 8. ¾ dan -3 9. 2 – V3 dan 2 + V3 10. 1–V2 dan 1 + V2 ii. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat pula dinyatakan dalam bentuk x 2 + b/a x + c/a = 0 . Dengan mengingat bahwa x1 + x2 = -b/a dan x1.x2 = c/a, maka persamaan di atas dapat pula dinyatakan dalam bentuk : x 2 - (x1+x2)x + x1.x2 = 0 . Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah : x 2 - (x1+x2)x + x1.x2 = 0 Contoh : Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali , susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya : a. –3 dan 5 b. –2 dan 2/3. Jawab : a. –3 dan 5 b. –2 dan 2/3.. x1+x2 = -3 + 5 = 2.. x1+x2 = -2 + 2/3 = -4/3 x1.x2 = -3.5 = -15 x1.x2 = -2.2/3 =-4/3 x 2 - (x1+x2)x + x1.x2 = 0 x 2 - (x1+x2)x + x1.x2 = 0 x 2 -2x + (-15) = 0 x 2 –(-4/3)x +(-4/3) = 0 x 2 -2x -15 = 0 x 2 + 4/3x - 4/3 = 0 atau 3x2 + 4x – 4 = 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 11 Latihan 9 Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali , susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya di bawah ini . 1. –5 dan 3 2. –3 dan 2 3. –6 dan -4 4. –3 dan –5 5. 1 dan 3 6. 2 dan 5 7. 2 – V3 dan 2 + V3 8. 1 – V2 dan 1 + V2 9. 3 – 2V3 dan 3 + 2V3 10. 2 – 3V2 dan 2 + 3V2 b. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan Dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Yang Lain. Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan memakai rumus jumah dan hasil kali akar-akarnya. Contoh : Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 4 = 0, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 – 1 dan 2x2 – 1. Jawab : x1 dan x2 akar-akar dari 2x2 + 3x – 4 = 0 x1 + x2 = 2 3 a b dan x1.x2 = 2 2 4 2 4 a c Andaikan m dan n akar-akar persamaan kuadrat yang baru, maka : m + n = 2x1 – 1 + 2x2 – 1 = 2x1 + 2x2 –1 – 1 = 2(x1+x2) – 2 = 2. 2 3 – 2 = -3-2 = -5 m . n = (2x1 – 1)( 2x2 – 1) = 4. x1.x2 – 2x1 – 2x2 + 1 = 4.x1x2 – 2(x1+x2) + 1 = 4.2 – 2. 2 3 + 1 = 8 + 3 + 1 = 11. Maka persamaan kuadrat barunya adalah : x 2 – (m+n).x + (m.n) = 0 x 2 – (-5).x + 11 = 0 atau x2 + 5x + 11 = 0 Latihan 10 1. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 ,maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. 2.x1 dan 2.x2 b. x1 – 2 dan x2 – 2 c. x1 2 dan x2 2 d. x1+x2 dan x1.x2 2.Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar . . persamaan 3x2 – 2x – 1 = 0 3.Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 – 3x – 1 = 0 4.Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan lawan dari akar-akar persamaan kuadrat : 4x2 – 4x + 1 = 0 5.Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan jumlah kuadrat dan jumlah kebalikan akar-akar persamaan x2 – 2x – 3 = 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 12 6. Merancang Model Matematika yang Berbentuk Persamaan Kuadrat Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Yang harus dilakukan dalam menyelesaikan masalah dalam bentuk ceritera adalah : (1). Menyatakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel. (2). Merumuskan persamaan kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. (3). Menentukan penyelesaian model matematika yang diperoleh. (4). Menafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula. Contoh :1. Luas suatu persegi panjang adalah 48 cm2 dan panjangnya 2 cm lebih dari lebarnya. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut . Jawab : (1). Misalkan persegi panjang tersebut lebarnya = x cm , maka panjang = (x + 2 ) cm. (2).Luas persegi panjang = 48 cm2 , maka : (x+2).x = 48 (3) x 2 + 2x – 48 = 0 (x-6)(x+8) = 0 . x=6 atau x = -8 (tidak mungkin karena lebar bilangan positif) (4). Jadi , persegi panjang tersebut lebarnya = 6 cm dan panjangnya = 8 cm. Contoh 2: Ali bersepeda dari kota A ke kota B pergi pulang. Selama perjalanan berangkat ia berkecepatan tetap.Demikian pula dalam perjalanan pulangnya, hanya saja kecepatannya bertambah 3 km/jam.Jika jarak kota A dan B 36 km, dan lama perjalanan pergi pulang adalah 7 jam, berapakah kecepatannya ketikadalam perjalanan berangkatnya? Jawab : Misal kecepatan pada perjalanan keberangkatan = x km/jam., maka Kecepatan saat perjalanan pulang adalah = (x+3) km/jam. Lama perjalanan keberangkatan = x 36 jam, Lama perjalanan pulang = 3 36 x jam Karena lama perjalanan seluruhnya 7 jam , maka kita peroleh persamaan : x 36 + 3 36 x = 7 36(x+3) +36x = 7x(x+3) 36x + 108 + 36x = 7x2 + 21x 7x2 -51x – 108 = 0 (x-9)(7x + 12) = 0 x = 9 atau x = 7 12 (tidak memenuhi ) Jadi kecapatan selama berangkat adalah 9 km/jam.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 13 Latihan 11 1. Jumlah dua bilangan positif adalah 17 dan hasilkalinya adalah 60. Tentukan dua bilangan tersebut 2. Suatu persegi panjang kelilingnya adalah 56 cm dan panjang diagonal ruang adalah 20 cm. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut : 3. Suatu segitiga ABC, siku-siku di B , AB = x cm, BC =(2x+2)cm dan AC =(2x + 3) cm. Tentukan ukuran sisi segitga tersebut . 4. Banu mengendarai sepeda motor dari kota a ke kota B pergi pulang, jarak kota A dan kota B adalah 200 km.Kecepatan rata-rata ketika pergi 10 km/jam lebih cepat dari kecepatan rata-rata ketika pulang. Lama perjalanan seluruhnya 7 jam. Berapakah kecepatan rata-rata ketika berangkat perginya?. 5.Ani dan Siti bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 12 hari. Ani dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 7 hari lebih cepat dari Siti.Berapa hari Ani dapat menyelesaikan pekerjaan itu seorang diri ? B. Fungsi Kuadrat. 1. Relasi dan fungsi. Relasi antara dua himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut atau dapat pula dinyatakan dalam diagram panah seperti pada gambar berikut : a. Relasi I b. Relasi II c. Relasi III 0 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 A B A 4 B A B d. Relasi IV e. Relasi V a e a g b f h c g c k d l A B A B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 14 Pada gambar diagram di atas relasi-relasi yang merupakan fungsi adalah relasi I, relasi II dan relasi III ,dan relasi yang bukan merupakan fungsi adalah relasi V dan relasi VI. Berdasarkan contoh di atas , dapat ditarik tiga kesimpulan, yaitu sebagai berikut : a. Sebuah relasi yang merupakan fungsi , elemen-elemen daerah asalnya habis terpasangkan. b. Sebuah relasi yang merupakan fungsi, elemen-elemen daerah asalnya tidak mempunyai lebih dari satu pasangan. c. Tidak ada syarat khusus untuk elemen-elemen daerah kawan. Dengan demikian dapat dirumuskan definisi fungsi, yaitu sebagai berikut : Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika tiap elemen dalam himpunan A berpasangan dengan tepat satu elemen dalam himpunan B. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B dilambangkan dengan “ f : A B “. Jika x R , y R , serta pasangan terurut (x,y) fungsi f , maka fungsi f dapat digambarkan sebagai berikut : C x y=f(x) 1 a 2 b c f A B 1. A disebut domain / daerah asal fungsi f dengan symbol Df . 2. B disebut kodomain / daerah kawan fungsi f dengan symbol Kf . 3. C disebut range / daerah hasil fungsi f dengan symbol Rf . 4. y adalah peta atau bayangan dari x oleh fungsi f . 5. y = f(x) adalah rumus atau aturan fungsi f. Contoh : Tentukan daerah asal/domain (Df) , daerah kawan/kodomain (Kf) dan daerah hasil/range(Rf) dari fungsi berikut : a. a 1 b. f = { (1,3), (2,4) , (3,5) , (4,4) , (5,5)} b 2 c 3 d 4 5 f A B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 15 Jawab : a. Daerah asal / domain dari fungsi f ( Df) adalah { a , b , c , d } Daerah kawan / kodomain dari fungsi f ( Kf ) adalah { 1,2,3,4,5 } Daerah hasil / range dari fungsi f ( R f ) adalah {1,2,3,5} b. b. Daerah asal / domain dari fungsi f ( Df) adalah { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Daerah kawan / kodomain dari fungsi f ( Kf ) adalah {3,4,5 } Daerah hasil / range dari fungsi f ( R f ) adalah {3,4,5} Latihan 12 1. Manakah dari relasi-relasi berikut yang merupakan fungsi ? a. b. c. 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 A B A 4 B A B d. e. a e a g b f b h c g c k d h d m A B A B f. g. h. 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 A B A 4 B A B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 16 i. j. a e a g b f b h c g c k d h d m A B A B 2. Tentukan domain , kodomain dan range pada soal nomor 1 yang merupakan fungsi . 2. Beberapa Sifat dan Macam Fungsi. a. Beberapa sifat fungsi. i. Fungsi Surjektif atau fugsi onto atau fungsi kepada. Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Perhatikan diagram berikut : a 1 b 2 c 3 d A B ii. Fungsi into atau fungsi ke dalam . Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau Rf B. Perhatikan diagram berikut : a 1 b 2 c 3 d 4 A B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 17 iii. Fungsi injekktif atau fungsi satu-satu. Fungsi f : A B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap a1 , a2 A dengan a1 a2 berlaku f(a1) f(a2) . Perhatikan diagram berikut : a 1 b 2 c 3 4 A B iv. Fungsi Bijektif atau korespondensi satu-satu. Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau korespondensi satu-satu jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi surjektif sekaligus merupakan fungsi injektif. Perhatikan diagram berikut : a 1 b 2 c 3 A B b. Beberapa macam fungsi. i. Fungsi konstan. Perhatikan gambar diagram berikut . Pada diagram di samping terlihat bahwa setiap elemen 1 dari himpunan A berpasangan dengan sebuah elemen 2 1 dalam himpunan B 3 A B Dari contoh tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika dan hanya jika setiap elemen himpunan A berpasangan hanya dengan sebuah elemen dalam himpunan B. Fungsi konstan ditulis dengan lambang f(x) = c , dengan c konstanta dan x R. Adapun grafik fungsi konstan dapat dilihat pada gambar berikut . Y ( 0 , c ) y = f(x) = c X

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 18 ii. Fungsi identitas . Fungsi Identitas adalah fungsi yang semua elemen dalam domainnya berpasangan dengan dirinya sendiri. Fungsi identitas ditulis dengan rumus : f(x) = x . Contoh : Perhatikan diagram berikut : Grafik fungsi identitas sebagai berikut : y = f(x) = x 1 1 2 2 ( 3 , 3 ) 3 3 iii. Fungsi genap dan fungsi ganjil. Fungsi f : x y disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x). Fungsi f : x y disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x). iv. Fungsi linear . Fungsi f : x y disebut fungsi linear jika memiliki rumus f(x) = ax + b , dengan a dan b konstanta. Contoh : f(x) = 2x + 4 v. Fungsi kuadrat . Suatu fungsi f :x y = f(x) , dengan x , y R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c ,dengan a,b,c R , dan a 0, maka f disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Contoh : y = f(x) = x2 - 2x – 3 Latihan 13 1. Diantara diagram fungsi di bawah ini , mana yang merupakan fungsi surjektif / fungsi onto, fungsi into , fungsi injektif dan fungsi bijektif ? a. b. c. 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 A B A 4 A B B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 19 d. e. a e a g b f b h c g c k d h d m A B A B f. g. h. 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 A B A 4 B A B i. j. a e a g b f b h c g c k d h d m A B A B 2. Gambarlah grafik fungsi berikut untuk daerah asalnya : { x | -2 x 2 , x R }. a. f(x) = 3. b. f(x) = x c. f(x) = 2x – 3 d. f(x) = - x 2 e. f(x) = x2 – 1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 20 3. Fungsi Kuadrat. Selanjutnya akan kita bahas secara panjang lebar tentang fungsi kuadrat. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = f(x) = ax2 + bx + c , dengan a 0 , a,b,c R. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola . Contoh : Y Diketahui fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c yang grafiknya seperti tampak di sebelah ini. 6 a. Tentukan domainnya. b. Tentukan nilai minimumnya. 5 c. Tentukan nilai maksimumnya. 4 d. Tentukan rangenya. 3 e. Tentukan pembuat nol fungsi. f Tentukan sumbu simetrinya. 2 g. Tentukan koordinat titik puncaknya 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X -1 Jawab : a . Domain ={x | -2 x 6 , x R} a. Nilai minimum = -1 b. Nilai maksimum = 7 c. Range :{y | -1 y 7 , y R} d. Pembuat nol fungsi adalah : x = 1 dan x = 3 e. Sumbu simetrinya adalah x = 2 f. Koordinat titik puncaknya adalah : (2,-1) Sumbu simetri , nilai optimum dan definit positif / negatif fungsi kuadrat Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diubah dalam bentuk = a(x2 + a b x) + c = a(x2 + a b x + 2 2 4a b ) - a b 4 + c = a(x + a b 2 ) 2 - a b ac 4 4 2 f(x) = a(x + a b 2 ) 2 - a D 4 , dengan D = b2 – 4ac. Karena (x + a b 2 ) 2 0 , maka: (i). Untuk a > 0 , maka nilai f(- a b 2 ) = a b ac 4 4 2 = a D 4 merupakan nilai minimum dari f dan titik (- a b 2 , a D 4 ) merupakan titik puncak / titik balik minimum. (ii). Untuk a < 0 , maka nilai f(- a b 2 ) = a b ac 4 4 2 = a D 4 merupaka nilai maksimum dari f dan titik (- a b 2 , a D 4 ) merupakan titik puncak / titik balik maksimum.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 21 (iii). Sumbu simetri fungsi f adalah x =- a b 2 karena f(- a b 2 + k) = f(- a b 2 - k) = ak2 + a D 4 (iv). Untuk a > 0 dan D < 0 , maka fungsi f definit positif. (v). Untuk a < 0 dan D < 0 , maka fungsi f definit negatif. Contoh 2 : Diketahui fungsi kuadrat y = f(x) = 2x2 – 4x + 6. a. Ubahlah dalam bentuk y = f(x) = a(x-p)2 + q. b. Tentukan nilai minimumnya. c. Tentukan sumbu simetrinya. d. Tentukan koordinat titik puncaknya. Jawab : y = f(x) = 2x2 – 4x + 6 a. y = f(x) = 2(x2 – 2x + 1) + 4 = 2(x -1)2 + 4 b. Nilai minimumnya = 4 c. Sumbu simetrinya x = 1 d. Koordinat titik puncaknya (1,4). Contoh 3 : Tentukan nilai m agar f(x) = x2 – 2x + m definit positif. Jawab : f(x) = x2 – 2x + m definit positip syaratnya : a > 0 dan D < 0 a = 1 > 0 D = (-2)2 -4.1.m < 0 4 – 4m < 0 -4m < - 4 m > 1. Jadi : Agar fungsi f definit positip, maka nilai m > 1.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 22 Latihan Uji Kompetensi 14 1.Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3 , dengan domain / daerah asal : 0 , 1, 2 , 3, 4 a. Tentukan daerah hasilnya / rangenya. b. Tentukan nilai maksimumnya. c. Tentukan nilai minimumnya. d. Tentukan penyebab nol fungsi f. 2. Y Diketahui fungsi kuadrat yang grafiknya seperti tampak di sebelah ini. a.Tentukan domainnya. b . Tentukan nilai minimumnya. 0 X c. Tentukan nilai maksimumnya. d. Tentukan rangenya. e. Tentukan pembuat nol fungsi. f. Tentukan sumbu simetrinya. g. Tentukan koordinat titik puncaknya : Diketahui fungsi kuadrat : 3. f(x) = x2 - 6x + 5 4. f(x) =-2x2 - 4x + 6 a. Ubah dalam bentuk : a. Ubah dalam bentuk : f(x) = a(x-p) 2 + q f(x) = a(x-p)2 + q b. Tentukanlah : b. Tentukanlah : (i). nilai minimumnya (i). nilai maksimumnya. (ii). sumbu simetrinya (ii). sumbu simetrinya. (iii). titik baliknya (iii). titik baliknya. 5. f(x) = x2 - 2x - 3 6. f(x) = 8 – 6x – 2x2 a. Ubah dalam bentuk : a. Ubah dalam bentuk : f(x) = a(x-p)2 + q f(x) = a(x-p)2 + q b. Tentukanlah : b. Tentukanlah : (i). nilai minimumnya (i). nilai maksimumnya. (ii). sumbu simetrinya (ii). sumbu simetrinya. (iii). titik baliknya (iii). titik baliknya. 7. Diantara fungsi-fungsi kuadrat berikut mana yang definit positif dan mana yang definit negatif ? a. f(x) = x2 + 2x + 3 b. f(x) = x2 – 3x + 2 c. f(x) = 2x2 – 3x + 4 d. f(x) = -x 2 + 2x – 4 e. f(x) = 5 – 3x – 2x2 f. f(x) = - 6 + 4x – 2x2 8. Tentukan nilai m agar fungsi kuadrat berikut definit positif. a. f(x) = x2 – 6x + m b. f(x) = (2m-1)x2 – (4m + 4)x + 2m + 6 9. Tentukan nilai p agar fungsi kuadrat berikut definit negatif. a. f(x) = -2x2 + 7x + p b. f(x) = (p-1)x2 – 2px + p - 3 c. f(x) = (p – 2)x2 – 2px + p + 6

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 23 2. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Telah kita ketahui bahwa grafik dari f(x) = ax2 + bx + c berbentuk parabola. Sekarang akan kita pelajari langkah-langkah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c Langkah I : Menentukan nilai Diskriminan D= b2 – 4ac (i). Jika D > 0 , maka grafik memotong sumbu X di dua titik. (ii). Jika D = 0 , maka grafik memotong sumbu X di satu titik. (iii). Jika D < 0 , maka grafik tidak memotong sumbu X. Langakah II : Menentukan titik potong dengan sumbu X (x1,0) & (x2,0) x1,2 = a b D 2 Langkah III : Menentukan titik potong dengan sumbu Y.(0,c) Langakh IV : Menentukan persamaan sumbu simetri. X = a b 2 Langkah V : Menentukan koordinat titik puncak. ( a b 2 , a D 4 ) Langkah VI : Membuat grafiknya dengan cara menghubungkan titik-titik penolong yang telah dicarinya menjadi sebuah kurva. Contoh : Diketahui fungsi kuadrat Y = f(x) = 2x2 – 4x – 6. a. Tentukan nilai diskriminannya. b. Tentukan titik potong dengan sumbu X. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y. d. Tentukan persamaan sumbu simetrinya. e. Tentukan koordinat titik puncaknya. f. Buatlah sketsa grafik fungsinya. Jawab : Y = f(x) = 2x2 – 4x – 6 a. a = 2 , b = -4 dan c = -6. D = b2 – 4.a.c = (-4)2 –4.2.-6 = 16 + 48 = 64 > 0 Karena D > 0 ,maka grafik memotong sumbu X di dua titik. b. Memotong sumbu X , jika y = 0, maka : 2x2 – 4x – 6 = 0 x 2 – 2x – 3 = 0 (x+1).(x-3) = 0 x = -1 x = 3 Jadi, memotong sumbu X di(-1,0) dan (3,0). c. Memotong sumbu Y jika x = 0, maka : y = 2.02 – 4.0 – 6 = -6. Jadi memotong sumbu Y di (0,-6). d. Persamaan sumbu simetri x = a b 2. = 2.2 (4) = 1 Jadi, persamaan sumbu simetri x = 1. e. Koordinat titik puncak ( a b 2. , a D 4. ) = ( 2..2 (4) , 4.2 64 ) Jadi koordinat titik puncaknya ( 1 , -8 ) X Y Y = f(x) = 2x2 – 4x – 6

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 24 Latihan 15 Dengan langkah seperti pada contoh di atas , buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut : 1. y = f(x) = x2 + 2x – 3 2. y = f(x) = x2 + 4x + 4 3. y = f(x) = x2 + 2x +3 4. y = f(x) = 2x2 - 6x +4 5. y = f(x) = 4 – 3x -x 2 6. y = f(x) = x2 – 9 7. y = f(x) = 6x – 2x2 8. y = f(x) = x2 + 4x + 6 9. y = f(x) = 8 – 2x2 10. y = f(x) = 2x2 + 3x + 4 4. Menyusun Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Memotong Sumbu X dan Melalui Satu Titik Sembarang Y Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (x1,0) dan (x2,0) adalah x2 x1 X y = f(x) = a(x - x1)(x - x2). Contoh : Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (-1,0) dan (3,0) dan melalui titik (2,6). Jawab : Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (-1,0) dan (3,0) adalah : Y = f(x) = a(x + 1)(x – 3) Melalui titik (2,6) artinya 6 = f(2) = a.(2+1)(2-3) 6 = a.3.-1 6 = -3a a = -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah : y = f(x) = -2(x+1)(x-3) = -2(x2 + x – 3x –3) = -2(x2 -2x-3) y = f(x) = -2x2 + 4x – 6 Latihan 16 1.Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (-1,0) dan (5,0) serta melalui titik (0,-10). 2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (-1,0) dan (5,0) serta melalui titik (0,-10). 3.Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini: a. b. 1 3 -2 4 ..(4,-6) -4

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 25 5. Menyusun Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Puncak dari Grafiknya dan melalui satu titik sembarang. Y Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (p,q) adalah Y=f(x)=a(x-p)2 + q (p,q) 0 X Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai puncak (2,5) serta melalui titik (3,4). Jawab : Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (2,5) adalah: Y=f(x)=a(x-2)2 + 5. Melalui titik (3,4) artinya : 4 = f(3)= a(3-2)2 + 5 4 = a . 12 + 5 4 =a.1 + 5 4 = a + 5 a = -1 Jadi, fungsi kuadratnya adalah : y = f(x) = a(x-p)2 +q y = f(x) = -1(x-2)2 + 5 = -1(x2 -4x+4)+5 y = f(x) = -x 2 + 4x –4 + 5 y=f(x)= -x 2 + 4x + 1 Latihan 17 1.Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya nampak di bawah ini : a. Y b. Y (3,4) X (2,3) (0,-3) X (-1,-4) 2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai puncak (2,-4) serta melalui titik (3,-2). 3.Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai puncak (-3,2) serta melalui titik (-1,4). 4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai puncak (-2,4) serta melalui titik (-3,3). 5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai puncak (2,-3) serta melalui titik (3, -2).

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 26 6. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat. Banyak permasalahan baik dalam matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari yang yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum dalam fungsi kuadrat. Dalam kehidupan sehari-hari nilai maksimum diungkapkan dengan kata-kata teringgi, terjauh, terpanjang, terluas atau kata lain yang searti, sedangkan nilai minimum diungkapkan menggunakan kata-kata : terdekat, terkecil, terpendek, tersempit atau kata lai yang searti. Langkah-langkah menyelesaikan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat : (1). Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel. (2). Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. (3). Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat tersebut. (4). Tafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula. Ingat : Fungsi kuadrat f(x)= ax2 + bx + c dengan nilai penyebab optimum x = a b 2 mempunyai nilai optimum = foptimum =f( a b 2 ) = a D 4 . Contoh : Ada dua buah bilangan positif yang jumlahnya 40. Tentukan dua bilangan tersebut bila hasilkalinya maksimum dan tentukan hasilkali maksimum dua bilangan tersebut. Jawab : (1). Misalkan dua bilangan tersebut adalah x dan y, maka x + y = 40 y = 40 – x. (2). Misalkan hasilkali dua bilangan tersebut adalah H, maka: H = x . y H(x) = x.(40 – x) H(x) = 40x – x 2 . dengan a = -1 , b = 40 dan c = 0 serta D = b2 –4ac = 402 -0 = 1600. (3). Agar H maksimum, maka x = a b 2 = 2. 1 40 = 20. H maksimum = H(20) = 40.20 – 202 = 800 – 400 = 400 (4). Jadi , dua bilangan itu adalah : 20 dan 20. dan hasilkali maksimumnya adalah = 400

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 27 Latihan 18 1. Suatu persegi panjang kelilingnya adalah 60 cm.Tentukan ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum dan tentukan luas maksimumnya. 2. Dalam suatu segitiga siku-siku, jumlah kedua sisi siku-sikunya adalah 24.Tentukan panjang sisi siku-sikunys agar luasnya maksimum, dan tentukan luas maksimumnya. 3. Sebuah peluru ditembakkan ke atas vertical.Tinggi peluru h meter setelah t detik, yang dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t2 . a. Setelah berapa detik peluru mencapai tinggi maksimum. b. Tentukan tinggi maksimumnya. 4. Di pinggir kanan sebuah tembok terdapat sebidang tanah yang dipagari sehingga membentuk sebuah kebun berbentuk persegi panjang (pinggir kebun yang berdinding tembok tidak diberi kawat).Jika tersedia kawat sepanjang 160 meter, berapakah ukuran panjang dan lebar kebun itu agar luas nya maksimum. 5.Diketahui persegi panjang ABCD, AB = 16 cm dan AD = 8 cm.Titik P ,Q ,R dan S berturut-turut pada AB, BC , CD, dan AD sedemikian hingga PB = QC = RD = SA = x cm. a. Nyatakan luas segiempat PQRS dalam x. b. Tentukan luas minimum segiempat PQRS tsb.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 28 LATIHAN ULANGAN HARIAN PERSAMAAN ,PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat, dan berikan alasannya ! 1. Penyelesaian persamaan kuadrat : 2x2 – x – 3 = 0 adalah …. a. –3/2 dan 1 b. –1 dan 3/2 c. ½ dan 3 d. –1/2 dan 3 e. –3 dan ½ 2. Penyelesaian persamaan : 0 2 2 1 1 x x x adalah … . a. –5 dan 1 b. –4 dan 1 c. –5 dan 0 d. 0 dan 4 e. 1 dan 5 3. Salah satu akar persamaan : 2x2 + (m+2)x – 5 = 0 adalah 1 , maka akarnya yang lain adalah … . a. –5/2 b. –1 c. ½ d. 2 e. 5/2 4. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan x2 - 5x < 6 adalah … a. –2 < x < 3 b. –3 < x < 2 c. – 6 < x < 1 d. – 1 < x < 6 e. 1 < x < 6 5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x2 + x > 3 adalah … a. –1 ½ < x < 1 b. – 1 < x < 1 ½ c. x < -1 atau x > 1 ½ d. x < -1 ½ atau x > 1 e. x < 1 atau x > 1 ½ 6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 + 2x + 3 > 0 adalah … a. { x | –3 < x < -1 } b. { x | 1 < x < 3 } c. { x | x < -3 atau x > -1 } d. { x | x R } e. { } 7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x2 – 5x + 4 < 0 adalah … a. { x | -4 < x < -1 } b. { x | 1 < x < 4 } c. { x | x < -4 atau x > -1 } d. { x | x R } e. { } 8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – 4x + 4 0 adalah … a. { x | -2 x 2 } b. { x | x -2 atau x 2 } c. { 2 } d. { x | x R } e. { } 9. Persamaan kuadrat : 2x2 – (m-4)x + m = 0 mempunyai dua akar … . a. imajiner b. kembar c. berlainan d. rasional e. saling berkebalikan 10. Persamaan 2x2 – 8x + m + 3 = 0 mempunyai dua akar nyata & berlainan, maka nilai … . a. m < 5 b. m > 5 c. m > 11 d. m < 11 e. m < -11 11. Persamaan kuadrat : mx 2 – (2m+1)x + (m+2) = 0 mempunyai dua akar kembar, maka nilai m yang memenuhi adalah … . a. – ½ b. – ¼ c. ¼ d. ½ e. 4 12. Akar-akar pesamaan kuadrat : 2x2 – 4x – 3 = 0 adalah p dan q , maka nilai p q q p … . a. –26/3 b. –17/3 c. –14/3 d. –7/3 e. –2/3

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 29 13. Akar-akar pesamaan kuadrat : x2 – 2x – 4 = 0 adalah p dan q , maka nilai p q 1 1 … . a. –2 b. – ½ c. – ¼ d. 2 e. 4 14. Akar-akar dari x2 – 2x + k = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 – x2 = 4 , maka nilai k adalah … . a. –8 b. –3 c. 2 d. 4 e. 6 15. Akar-akar : x2 + 4x + k = 0 adalah x1 & x2. Jika x1 2 + x2 2 = 10 , maka nilai k adalah … . a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 13 16. Jumlah kedua akar persamaan mx2 +(2m+3)x – 4m = 0 adalah –3, maka kedua akar persamaan tersebut adalah … a. –7 dan 4 b. –5 dan 2 c. –2 dan -1 d. –4 dan 1 e. –6 dan 3 17. Hasil kali akar-akar persamaan mx 2 + (3m-1)x + (m-2) = 0 adalah 3. Jumlah akar-akarnya adalah … . a. –4 b. 5 ½ c. 4 d. 6 ½ e. 9 1/3 18. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya – ½ dan 3 adalah … . a. 2x2 – 5x – 3 = 0 b. 2x2 – 7x – 3 = 0 c. 2x2 –x – 3 = 0 d. 2x2 – x + 3 = 0 e. 2x2 + 7x – 3 = 0 19. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 – 3x – 4 = 0 adalah … . a. 4x2 + 3x – 2 = 0 b. 4x2 – 3x – 2 = 0 c. 4x2 –3x + 2 = 0 d. 4x2 + 3x + 2 = 0 e. -4x2 + 3x – 2 = 0 20. Jika p dan q akar – akar dari persamaan kuadrat : x2 – 2x + 5 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akar p + 2 dan q + 2 adalah … . a. x 2 - 4x + 20 = 0 b. x2 – 4x + 10 = 0 c. x 2 + 7 = 0 d. x2 + 2x + 5 = 0 e. x 2 - 6x + 13 = 0 21. Nilai minimum dari f(x) = x2 – 4x + 2 dengan daerah asal { x | 0 x 4 , x R } adalah … . a. –4 b. – 2 c. 0 d. 2 e. 4 22. Nilai maksimum dari f(x) = x2 – 4x + 2 dengan daerah asal { x | 0 x 4 , x R } adalah … . a. 0 b. 2 c. 4 d. 8 e. 16 23. Daerah hasil fungsi f(x) = x2 – 4x + 2 dengan daerah asal { x | 0 x 4 , x R } adalah … . a.{ y| -4 y 2 } b. { y|-2 y 2} c. { y| -4 y 4} d. { y|-2 y 4} e. { y| -2 y 8} 24. Daerah hasil fungsi f(x) = x2 + 2x - 3 dengan daerah asal { x | x R } adalah … . a.{ y| y -4 } b.{ y| y -3 } c.{ y| y -2 } d.{ y| y -1 } e.{ y| y 0 } 25. Penyebab nol dari f(x) = x2 – 3x – 4 adalah … . a. x=-2 dan x=2 b.x=-1 dan x=4 c. x=-4 dan x=1 d. x=1 dan x=4 e. x=-4 dan x=-1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 30 26. Diantara fungsi kuadrat berikut yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah … a. f(x)=x2 –2x+2 b. f(x)=2x2 +3x+4 c. f(x)=3x2 –x+3 d. f(x)=4x2 +4x+1 e. f(x) =5x2 –4x–3 27. Diantara fungsi kuadrat berikut yang grafiknya memotong sumbu X di dua titik adalah … a. f(x)=x2 –2x+1 b.f(x)=2x2 +3x+4 c. f(x)=3x2 –x+3 d. f(x)=4x2 +4x+1 e. f(x) = 5x2 – 4x – 3 28. Koordinat titik puncak parabola y = 3x2 – 12x + 17 adalah …. a. (-4, 113) b. (1,8) c. (-2, 53) d. (4, 17) e. (2,5) 29. Fungsi kuadrat f(x) = 3(x-5)2 - 9 grafiknya berpuncak di …. . a. (3,-5) b. (3,-9) c.(-5,-9) d. (5,-9) e.(5,9) 30. Fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini adalah …. 4 0 1 2 a. f(x)=2x2 –6x+4 b. f(x)=2x2 +6x+4 c. f(x)=x2 –3x+ 4 d. f(x)=x2 +3x+4 e. f(x)=x2 –2x+4 31. Fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini adalah ….. -3 1 X a. f(x) =x2 –2x-3 b.f(x)=x2 +2x-3 c. f(x) =-x 2 –2x-3 d. f(x)=2x2 –4x-3 e. f(x) =2x2 +2x-3 32. Fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini adalah …… 6 ( 2 , 2 ) 0 X a. f(x) = x2 –2x+6 b. f(x)=x2 +2x+6 c. f(x) = x2 –4x+6 d. f(x)=2x2 –4x+6 e. f(x) =2x2 +4x+6

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 31 33. Fungsi kuadrat yang grafiknya di bawah ini adalah ……. 0 (3,-1) a. f(x) = -2x2 – 12x - 19 b. f(x) = -2x2 + 12x + 19 (4,-3) c. f(x) = - 2x2 + 12x - 19 d. f(x) = 2x2 – 12x + 19 e. f(x) = 2x2 + 12x - 19 34. Parabola di bawah ini persamaannya adalah y = ax2 + bx + c , maka berlaku … . Y a. a<0 , b<0 , c<0 dan D<0 b a<0 , b>0 , c>0 dan D>0 c. a>0 , b>0 , c<0 dan D<0 d. a>0, b<0 , c<0 dan D>0 e. a>0, b>0 , c>0 dan D<0 0 X 35. Suatu peluru ditembakkan ke atas , setelah t detik mencapai ketinggian h meter dirumuskan h(t) = 2 + 20t – 5t2 . Maka tinggi peluru maksimum adalah … . a. 22 meter b. 27 meter c.32 meter d. 37 meter e. 42 meter II. Kerjakan dengan singkat, tapi jelas langkah-langkahnya ! 1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut : a. 2x2 + x – 6 = 0 dengan cara pemfaktoran . b. 2x2 – 5x – 3 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. c. 3x2 + 5x – 2 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat / rumus abc. 2. Tentukan nilai Diskriminan dan jenis akar persamaan kuadrat berikut : a. 2x2 + x – 3 = 0 b. 4x2 – 4x + 1 = 0 c. 2x2 –4x + 4 = 0 d. 2x2 –2px – 3 = 0 3. Diketahui persamaan kuadrat : x2 – 2kx + (2k+3) = 0 a. Tuliskan syarat agar persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar kembar. b. Tentukan nilai k agar dua akarnya kembar. c. Tentukan akar-akarnya. 4. Diketahui p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 4 = 0. a. Tentukan nilai dari : (i). p+q , p.q , dan p – q. (ii). p2 + q2 b. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p2 dan q2 . 5.Anton melakukan perjalanan dengan sebuah mobil dari kota A ke kota B. Kecapatan rata-rata mobil pada 120 km pertama lebih lambat 40 km/jam dari 200 km berikutnya.Jika lama perjalanan dari kota A ke kota B 4 jam, berapakah kecepatan rata-rata pada 120 km yang pertama?

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 32 6. Gambarlah sktsa grafik fungsi kuadrat berikut : a. y = f(x) = 2x2 – 6x –8 b. y = f(x) = 2x2 +8x + 8 c. y = f(x) = 2x2 + 4x + 5 Dengan langkah-langkah : (i). Tentukan nilai Diskriminan (ii). Tentukan koordinat titik potong dengan sumbu X (jika ada) (iii). Tentukan koordinat titik potong dengan sumbu Y. (iv). Nyatakan dalam bentuk y = a(x-p)2 + q (v). Tentukan persamaan sumbu simetrinya. (vi). Tentukan koordinat titik puncaknya (vii). Buatlah sketsa grafiknya. 7.Susunlah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di (-2,0) dan (6,0) serta melalui titik ( 4,6). 8. Susunlah fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (-3,4) serta melalui titik (-4,3). 9. Di pinggir kanan sebuah tembok terdapat sebidang tanah yang akan dipagari sehingga membentuk sebuah kebun berbentuk persegi panjang (pinggir kebun yang berdinding tebok tidak diberi pagar). Jika tersedia kawat sepanjang 160 meter,berapakah ukuran panjang dan lebar kebun itu agar luasnya sebesar-besarnya.