2 0 2 3 BELAJAR SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA untuk kalangan sendiri PROGRAM LINIER
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 1 PROGRAM LINEAR Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linear Kompetensi Dasar : Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya Indikator : Menunjukkan titik ekstrim Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif Menafsirkan solusi dari masalah program linear A. Informasi Pendukung : Buku Matematika Yudistira/Esis Program linear adalah cara menyelesaikan suatu masalah yang harus memanfaatkan bahan secara efisien untuk mendapatkan hasil seoptimum mungkin, dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear. Kita akan mempelajari bentuk persamaan atau pertidaksamaan linear dengan dua variabel / peubah A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL 1. Daerah himpunan penyelesaian Pertidaksamaan Linear dengan dua variabel Kita telah sangat mengenal persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum ax + by + c = 0. Persamaan ini grafiknya berbentuk garis lurus. Persamaan 3x + 4y = 24 dengan x dan y bilangan real grafiknya merupakan garis lurus yang melalui (8, 0) dan (0, 6). (0. 6) O (8, 0) Garis tersebut merupakan tempat kedudukan semua titik (x, y) yang memenuhi 3x + 4y = 24. Garis 3x + 4y = 24 memisahkan daerah (bidang) menjadi dua bagian yakni bagian yang sepihak dengan daerah yang memuat O(0, 0) dan yang sepihak dengan yang memuat (8, 2). Daerah yang sepihak dengan yang memuat (0, 0) semua (x, y) memenuhi 3x + 4y < 24, misalnya titik (3, 0) jika disubtitusikan ke 3x + 4y < 24 akan didapat pernyataan yang benar demikian pula daerah yang memuat (8, 2) semua (x, y) memenuhi 3x + 4y > 0 Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah pasangan bilangan yang menjadikan pertidaksamaan itu menjadi perpernyataan yang benar. Pasangan tersebut merupakan koordinat suatu titik. Titik yang menjadikan pertidaksamaan menjadi benar disebut titik penyelesaian. Himpunan titik–titik penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 2 Contoh 1 : Tunjukkan dengan diagram Cartesius, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 24, x, y R Jawab : Langkah – langkah menyelesaikan 1) Menggambar garis 3x + 4y = 24 dengan memilih x = 0 sehingga y = 6 dan y = 0 sehingga x = 8, diperoleh titik ( 0, 6 ) dan ( 8, 0 ). Dengan menghubungkan kedua titik tersebut diperoleh garis 3x + 4y = 24 yang membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. Jika tanda pertidaksamaan memuat tanda =, maka garis digambar lurus. Jika tanda pertidaksamaan tanpa tanda =, garis digambar putus-putus 2) Dipilih sebuah titik pada salah satu bagian bidang, misal ( 0, 0 ). Diselidiki apakah titik ( 0, 0 ) terletak pada daerah penyelesaian? Karena 3 . 0 + 4 . 0 ≤ 24, maka ( 0, 0 ) terletak pada daerah penyelesaian 3) Selanjutnya bagian bidang yang memenuhi adalah daerah yang tidak diarsir Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 24, x,y R Y (0,6) (8,0) 3x + 4y = 24 Latihan Uji Kompetensi 1 : Tunjukan dengan diagram cartesius , himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,yR 1. 3x + 2y ≥ 12 4. 3x – 5y < 15 2. 4x + 5y ≤ 20 5. 1 ≤ x ≤ 4 3. x + y > 10 6. –2 ≤ y ≤ 3 2. Himpunan penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Salah satu cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah dengan menggunakan grafik. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah irisan dan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Contoh 2 : Tunjukkan dengan diagram cartesius, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 20 ; 2x + y ≤ 0 untuk x,y R. Jawab : Langkah-langkahnya : 1) Menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan x + 2y ≤ 20. 2) Menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 20. 3) Daerah yang bersih merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 20 , 2x + y ≤ 20 x,y R. Y (0,20) (0,10) (10,0) (20,0) X 2x + y = 20 x + 2y = 20
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 3 Latihan Uji Kompetensi 2 : Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut untuk x,y R dengan menggunakan diagram cartesius. 1. 2x + 3y ≤ 12 , x + y ≤ 5, x ≥ 0 dan y ≥ 0 2. 2x + y ≥ 10 , x + 2y ≥ 8, x ≥ 0 dan y ≥ 0 3. x + y ≥ 8 , 3x + y ≥ 12 , x + 2y ≥ 12, x ≥ 0 dan y ≥ 0 4. x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + 2y ≤ 10 , 3x + 4y ≤ 24, 5. x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≥ 9 , 2x + 3y ≥ 24 3. Model Matematika Program linier banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari-hari dan analisis industri. Dalam menyelesaikan program linier, terlebih dahulu kita harus menerjemahkan masalah tersebut dalam bahasa matematika, baik dalam bentuk pertidaksamaan maupun persamaan. Rumusan sederhana dari hasil terjemahan suatu masalah program linier kedalam bahasa matematika dinamakan model matematika. Contoh 3 : Seorang siswa akan menyelesaikan sejumlah soal yang terdiri dari soal tipe A dan tipe B. Untuk menyelesaikan satu soal tipe A memerlukan waktu 4 menit dengan sekor 6. sedangkan untuk menyelesaikan satu soal tipe B memerlukan waktu 6 menit dengan sekor 8. jumlah semua soal 12 dan waktu yang tersedia 60 menit. Buatlah model matematikanya. Jawab : Misal soal yang akan dikerjakan x buat tipe A dan y buat tipe B. Tipe Soal Waktu Mengerjakan Skor Jumlah Soal A 4 6 x B 6 8 y Tersedia 60 – 12 Model Matematikanya : 4x + 6y ≤ 60 x + y ≤ 12 x ≥ 0 , y ≥ 0 ( Jumlah masing-masing tipe yang harus dikerjakan minimum 0 ) Jumlah skor yang diperoleh adalah 6x + 8y Latihan Uji Kompetensi 3 Buatlah model matematikanya : 1. Akan dibuat dua jenis baju sorjan. Untuk membuat satu baju sorjan jenis A memerlukan 1 m batik lurik dan 1 m kain sutera. Sedangkan untuk membuat satu baju sorjan jenis B memerlukan 1,5 m batik lurik dan 0,5 m kain sutera. Bahan yang tersedia 10 m batik lurik dan 8 m kain sutera. Bahan yang lain cukup. Harga baju jenis A Rp 100.000 / baju dan jenis B Rp 120.000 / baju. Jawab : Misalkan akan dibuat x lembar baju sorjan jenis A dan y lembar baju sorjan jenis B. Sorjan Batik Lurik Kain sutera Jumlah A ….. ...... x B ...... …… y Tersedia …… ...... – Model matematikanya : .....+ ..... ≤ ….. ...... + ..... ≤ ..... x ≥ 0 , y ≥ 0. Hasil penjumlahan yang diperoleh .....x + ..... y. 2. Seorang pengrajin batik mempunyai modal Rp. 3.000.000,00 dan 100 lembar kain. Dia akan membuat kain batik jenis lurik dan jenis truntum. Ongkos pembuatan per lembar berturut – turut adalah Rp. 30.000,00 dan Rp. 20.000,00. Misalkan banyak kain jenis lurik adalah x lembar dan jenis truntum y lembar. Model matematika dari masalah di atas adalah ….
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 4 3. Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk 50 kursi yang terdiri dari kelas ekonomi dan kelas bisnis. Setiap kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg, sedang kelas bisnis boleh membawa bagasi 40 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.320 kg. Harga tiket ekonomi Rp 200.000,- dan kelas bisnis Rp 300.000,- 4. Seorang pemborong merencaranakan membengun rumah tipe RS dan RSS. Uang muka untuk tipe RS adalah Rp 2.000.000,- / unit, dan untuk tipe RSS Rp 1.000.000,- / unit. Diharapkan uang muka yang masuk paling sedikit Rp 250.000.000,- dan rumah yang akan dibangun paling sedikit 150 buah. Biaya pembuatan satu rumah tipe RS Rp 20.000.000,- dan tipe RSS Rp 12.500.000,- B. NILAI OPTIMUM SUATU BENTUK OBJEKTIF 1. Bentuk Objektif z = ax + by Bentuk Objektif adalah bentuk fungsi z = ax + by yang akan dioptimumkan. Pada pasal A.3, kita telah mengubah masalah sehari-hari ke dalam model matematika. Jumlah skor yang diperoleh dinyatakan sebagai 6x + 8y. Dikatakan bahwa bentuk 6x + 8y adalah bentuk objektif dan dinyatakan sebagai z = 6x + 8y. 2. Nilai Optimum Bentuk Objektif Nilai optimum dari suatu bentuk objektif adalah nilai maksimum / minimum di suatu titik pada daerah penyelesaian dengan menggunakan bentuk objektif z = ax + by. Contoh 4 : Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum bentuk objektif z = 2x + 3y yang memenuhi pertidaksamaan 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2 , x,y C. Jawab : Langkah-langkahya : 1. Menentukan daerah himpunan penyelesaian Sistem pertidaksamaan 1≤x ≤4 , 0≤y ≤2 , x,y C 2. Menentukan Z = 2x + 3y untuk masing–masing titik pada daerah penyelesaian. 3. Menentukan nilai maksimum dan minimum Y y = 2 1 4 X x = 1 x = 4 Titik (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) (3, 2) (4, 2) Z = 2x + 3y 2 4 6 12 14 Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum = .... dan nilai minimum = .......
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 5 Latihan Uji Kompetensi 5 1. Daerah OABC merupakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan Y B(3,6) C(0,4) O A(7,0) a. Tentukan nilai Z = 3x + 4y di O, A, B, dan C b. Tentukan nilai Z = 3x + 4y di titik-titik yang ada. c. Tentukan nilai minimum Z = 3x + 4y, x,y C. d. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 4y, x,y C. 2. Daerah OPQRS menyetakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan a. Tentukan nilai Z = 4x + 3y di O, P, Q, R dan S b. Tentukan nilai Z = 4x + 3y di titik-titik yang ada. c. Tentukan nilai minimum Z = 4x + 3y, x,y C. d. Tentukan nilai maksimum Z = 4x + 3y, x,y C. Y R(2,6) S(0,4) Q(5,4) O P(7,0) 3. Daerah yang bersih menyatakan ph dari suatu sistem pertidaksaan a. Tentukan nilai Z = 5x + 2y di A, B dan C b. Tentukan nilai Z = 5x + 2y di lima titik yang lain. c. Tentukan nilai minimum Z = 5x + 2y, x,y C. Y C(0,8) B(2,4) O A(6,0) X 4. Tentukan nilai maksimum dari Z = 5x + 4y yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0, x,y C. 5. Tentukan nilai minimum dari Z = 3x + 5y yang memenuhi x + 3y ≥ 6, x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 x,y C.
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 6 1. Nilai Optimum Bentuk Objektif dengan Penyelidikan Titik-titik Sudut Daerah Penyelesaian Salah satu cara untuk menentukan nilai optimum bentuk objektif Z = ax + by adalah dengan menyelidiki nilai Z di titik – titik sudut daerah penyelesaian. Contoh 5 Tentukan nilai maksimum bentuk obyektif Z = 2x + 3y yang memenuhi x + y ≤ 16, x + 2y ≤ 20, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jawab : Y 16 C 10 B A O 16 20 Koordinat B ditentukan sebagai berikut : x + 2y = 20 x + y = 16 y = 4 sehingga x = 12. Koordinat B (12,4) Titik-titik B daerah penyelesaian adalah O (0,0), A(16,0), B (12,4) dan C(0,10) Selanjutnya selidiki nilai Z = 2x + 3y dititik O, A, B, dan C. Titik O (0,0) A (16,0) B (12,4) C(0,10) Z = 2x + 3y 0 32 36 30 Jadi nilai maksimumnya 36. Latihan Uji Kompetensi 6 : 1. Tentukan nilai maksimum Z = x + y yang memenuhi 2x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 7, x ≥ 0, dan y ≥ 0. 2. Tentukan nilai maksimum Z = 4x + 3y yang memenuhi 2x+y ≤ 30, x+2y ≤ 24, x≥0, dan y ≥ 0. 3. Tentukan nilai minimum Z = 3x + 4y yang memenuhi 2x+y ≥ 20, 4x+3y ≥ 48, x ≥ 0, dan y ≥ 0 4. Tentukan nilai minimum Z = 2x + y yang memenuhi x + y ≥ 5, 2x +3y ≥ 12, 4x + y ≥ 8, x ≥ 0, dan y ≥ 0. 2. Nilai Optimum Bentuk Obyektif dengan Garis Selidik ax + by = k
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 7 Selain dengan menyelidiki nilai optimum Z = ax + by dititik-titik sudut daerah penyelesaian, dapat juga dengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Garis selidik ax + by = k adalah garis-garis sejajar ax + by = k dengan k = 0, 1, 2, 3, ..... yang digunakan untuk menyelidiki nilai optimumbentuk obyektif Z = ax + by . Contoh 6: Dengan garis selidik, tentukan nilai maksimum Z = 2x + 3y yang memenuhi x+y ≤ 16, x+2y ≤ 20, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jawab : Y 16 C 10 B A O 16 20 2x + 3y = 6 2x + 3y = 36 2x + 3y = 0 2x + 3y = 24 Dibuat garis-garis sejajar 2x + 3y = 0, 2x + 3y = 6, 2x + 3y = 24, 2x + 3y = 32 dan yang melalui titik B adalah garis 2x + 3y = 36. Jika dibuat garis lagi, misal 2x + 3y = 40 garis tersebut tidak melalui daerah penyelesaian. Dengan demikian garis paling ujung yang melalui daerah penyelesaian adalah 2x + 3y = 36. Dengan demikian nilai maksimum Z = 2x + 3y adalah 36. Latihan Uji Kompetensi 7. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik : 1. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 2y yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. 2. Tentukan nilai minimum Z = 3x + 4y yang memenuhi x + y ≥ 9, 2x + 3y ≥ 24, x ≥ 0, y ≥ 0. 3. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 2y yang memenuhi 2x + y ≤ 14, x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. 4. Tentukan nilai minimum Z = 3x + 2y yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. C. PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR Untuk menyelesaikan soal-soal tentang program linear diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 8 1. Mengubah soal cerita menjadi model matematika 2. Menggambarkan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 3. Menentukan nilai optimum Contoh 7 Seseorang siswa akan menyelesaiakan sejumlah soal yang terdiri dari soal tipe A dan tipe B. Untuk menyelesaikan satu soal tipe A memerlukan waktu 4 menit dengan sekor 6. sedangkan untuk menyelesaikan satu soal tipe B memerlukan waktu 6 menit dengan sekor 8. jumlah semua soal 12 dan waktu yang tersedia 60 menit. Tentukan banyaknya masing-masing tipe soal yang harus dikerjakan agar mendapatkan skor maksimum. Jawab : 1. Misal soal yang akan dikerjakan x buat tipe A dan y buat tipe B. Tipe Soal Waktu Mengerjakan Skor Jumlah Soal A 4 6 x B 6 8 y Tersedia 60 – 12 Model Matematikanya : 4x + 6y ≤ 60 x + y ≤ 12 x ≥ 0 , y ≥ 0 Fungsi obyektif Z = 6x + 8y 2. Daerah himpunan penyelesaian Y 12 10 C B A O 12 15 x + y = 12 4x+6y=60 Koordiant B 4x + 6y = 60 x1 4x + 6y = 60 x + y = 12 4x 4x + 4y = 48 2y = 12 y = 6 x = 6 O (0,0), A (12,0), B (6,6), dan C (0,10) 3. Titik O (0,0) A (12,0) B (6,6) C (0,10) Z = 6x + 8y 0 72 84 80 Skor maksimum 84 dengan mengerjakan 6 soal tipe A dan 6 soal tipe B. Catatan : Untuk menentukan nilai maksimum dapat menggunakan garis selidik. Latihan Uji Kompetensi 8 : 1. Dua daerah parkir 3,6 dam+2. Luas rata-rata sebuah mobil 6m2 dan sebuah bus 2400 dm2 . daerah parkir itu maksimum memuat 30 kendaraan. Biaya parkir sebuah sedan Rp 2.000,- dan sebuah bus Rp 3.000,-. Tentukan banyaknya kendaraan yang parkir agar diperoleh uang parkir terbanyak. 2. Seorang penjahit akan membuat dua model pakaian. Model 1 memerlukan waktu 2 jam untuk memotong dan 4 jam untuk menjahit. Model II memerlukan waktu 4 jam memotong dan 2 jam untuk menjahit. Waktu yang tersedia untuk memotong tidak lebih dari 20 jam dan untuk menjahit tidak lebih dari 16 jam. Harga pakaian model I Rp 250.000,- dan model II Rp 200.000,-. Berapa pakai harus dibuat agar pendapatannya maksimum. 3. Seorang peternak sapi setiap hari memerlukan makan sapi yang mengandung paling sedikit 27 unit nutrisi A, 21 unit nutrisi B dan 30 unit nutrisi C. Dua jenis pakan ternak P dan Q diberikan kepada sapi. Pakan sapi P mengandung 3 unit nutrisi A, 1 unit nutrisi B dan 1 unit nutrisi C tiap Kg. Tiap
#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 9 Kg pakan Q mengandung 1 unit nutrisi A dan 1 unit nutrisi B dan 2 unit nutrisi C. Harga tiap Kg pakan P Rp 8.000,- dan pakan Q Rp 6.000,-. Berapakah pengeluaran minimum perternakan tersebut tiap harinya ? LATIHAN UJI KOMPETENSI 1) Dengan garis selidik, tentukan nilai minimum Z = 15x + 10 y yang memenuhi 3x + y ≥ 9, x + y ≥ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. 2) Seorang pedagang menjual apel dan jeruk. Tempat yang ada tidak dapat menampung lebih dari 40 kg. Harga beli 1 kg apel Rp 10.000,- dan 1 kg jeruk Rp 4.000,-. Modal yang tersedia hanya 310.000,-. Pedagang tersebut mengambilkeuntungan 15 %. Berapa kg masing-masing jenis buah yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan sebanyak-banyaknya. 3) Seorang akan membuat 2 jenis barang A dan B. barang A memerlukan 1 kg bahan P, 3 kg bahan Q dan 1 kg bahan R. Barang b memerlukan 1 kg bahan P, 1 kg bahan Q dan 2 kg bahan R. Bahan yang tersedia adalah 120 kg bahan P, 300 kg bahan Q, dan 180 kg bahan R. Harga penjualan barang A adalah Rp 5.000,-/unit dan barang B Rp 3.500,-/unit. Berapa masing-masing barang harus dibuat agar mendapatkan pendapatannya maksimum ?