Fungsi Komposisi & Fungsi Invers

Fungsi Invers fungsi komposisi kisah & sma bopkri 2 yogyakarta U N TUK K A L A N G A N SE N D I R I 2023 D ITE RBITKA N O LE H : WAR N E R & S P E N C E R

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 1 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Kompetensi Dasar : 1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 2. Menentukan invers suatu fungsi. A. PENDAHULUAN Pengertian relasi, fungsi, daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil sudah kita kenal di SMP maupun SMA Kelas X. Pada bagian ini materi tersebut kita ulang dan pelajari lebih lanjut, antara lain tentang pengertian beberapa macam fungsi dan sifat-sifat fungsi. Setelah pengertian itu kita pahami dengan baik, kita akan pelajari fungsi komposisi, fungsi invers, dan invers dari fungsi komposisi. B. MENGULANG RELASI DAN FUNGSI 1. Pengertian Fungsi, Daerah Asal, Daerah Hasil Seperti yang telah kita pelajari sewaktu di SMP tentang relasi dan pemetaan, dalam kehidupan kita sehari-hari terdapat amat banyak relasi antar anggota-anggota himpunan. Contoh : Terdapat himpunan A yaitu himpunan orang dan A = {Ari, Beni, Cica, Dedi, Edi} dan B adalah himpunan buah serta B = {Anggur, Belimbing, Rambutan, Duku}. Dari anggota A dan B itu terdapat relasi sebagai berikut : Ari dan Dedi suka anggur, Beni dan Cica suka rambutan sedangkan Edi suka duku. Relasi ini dapat disajikan dengan himpunan pasangan berurutan , dengan grafik, atau dinyatakan dengan diagram panah. Himpunan pasangan berurutan relasi ini = {(Ari,anggur), (Dedi,anggur), (Beni, rambutan), (Cica, rambutan), (Edi, duku) }. Grafik relasi tersebut sebagai berikut : Diagram panah relasi tersebut sebagai berikut. A B Duku Rambutan Belimbing Anggur Ari Beni Cica Dedi Edi Ari Beni Cica Dedi Edi Anggur Belimbing Rambutan Duku

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 2 Dari berbagai relasi yang terjadi , terdapat relasi yang mempunyai ciri khusus yaitu : 1. Setiap unsur dalam himpunan pertama mempunyai pasangan dengan unsur himpunan kedua. 2. Setiap unsur dalam himpunan kedua mempunyai tepat satu pasangan unsur himpunan pertama. Relasi yang mempunyai ciri seperti itu disebut pemetaan atau relasi fungsional atau sering disebut dengan fungsi. Contoh relasi yang merupakan fungsi : 1. Relasi f dari A ke B ditunjukkan dengan diagram A B 2. Relasi f dari A = { 1, 2., 3, 4, 5} ke B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}ditunjukkan dengan himpunan pasangan berurutan f= {(1,6), (2,6), (3,6), (4,8),(5,8)}. 3. Relasi f dari A = {x 0 x 5} ke R ditunjukkan dengan grafik y . x Jika f mengawankan suatu xA ke suatu elemen yB, maka kita mengatakan bahwa y adalah peta dari x oleh f, dan peta dari x oleh f ini ditulis dengan f(x) . Kita dapat menuliskannya sebagai f : x y y = f(x) . Himpunan A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan) sedangkan himpunan semua kawan (peta) di B disebut range (daerah hasil). Domain fungsi f dilambangkan dengan Df , Range fungsi f dilambangkan dengan Rf . Dari contoh 1 di atas daerah asal f yaitu Df = {1, 2, 3, 4,5}, daerah kawan f adalah{3,4,5,6,7, 8} dan daerah hasil f adalah Rf = {3, 5, 6, 7}. 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 3 Contoh : Tentukan daerah asal dari fungsi berikut : 1. f(x)= x2 +2x-3 2. x 1 2x 3 f(x) 2 3. f(x) 2x 6 Jawab : 1. f(x)= x2 +2x-3 bernilai real untuk setiap x himpunan bilangan real sehingga : Daerah asal f yaitu Df = {x/ x himpunan bilangan real} = {x/ xR} Daerah hasil f yaitu Rf = {y/ y himpunan bilangan real}= {y/ yR} 2. x 1 2x 3 f(x) 2 , agar f(x) bernilai real , penyebutnya tidak boleh sama dengan nol, berarti x 2 1 x 1 atau x -1 sehingga : Daerah asal f yaitu Df = {x/ x 1 , x -1, xR} Daerah hasil f yaitu Rf = {y/ y R } 3. f(x) 2x 6 , agar f(x) bernilai real , bentuk dibawah tanda akar tidak boleh bernilai negatif, berarti 2x-6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3 sehingga : Daerah asal f yaitu Df = {x/ x≥3, xR} Daerah hasil f yaitu Rf = {y/ y≥0, y R } Latihan Uji Kompetensi 1 1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B berikut manakah yang merupakan fungsi ? 2. Manakah relasi berikut yang mungkin merupakan fungsi ? a. {(2,3), (3,1), (2,8), (5,3)} d. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,4)} b. {(2,3), (3,1), (4,1), (5,3)} e. {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4)} c. {(2,3), (3,3), (2,3), (5,3)} f. {(1,2), (1,3), (3,4), (4,4)} 3. Manakah grafik berikut yang merupakan grafik fungsi : a b. c. a. b. c. d. e. f. a b c p q r a b c p q r a b c p q r a b c p q r a b c p q r a b c p q r A B A B A B A B A B A B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 4 d. e. f. 4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi-fungsi berikut : a. f(x)= 4x+5 e. f(x) 6x 3 b. f(x)= x2 +3x+10 f. f(x) x 2x 15 2 c. 3x 1 2 f(x) g. x 3x 2x 3 f(x) 2 d. x x 12 x 5 f(x) 2 ------------------------------------- 2. Beberapa Macam Fungsi Khusus Dalam matematika dikenal banyak macam fungsi. Berdasar rumus fungsinya, fungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden. Yang termasuk fungsi aljabar antara lain fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional. Sedangkan yang termasuk fungsi transenden antara lain fungsi trigonometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma. Pada pembahasan ini akan kita pelajari beberapa macam fungsi aljabar yang mempunyai cirri-ciri khusus antara lain fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi modulus, dan fungsi tangga. Beberapa macam fungsi khusus perlu dipelajari sebagai prasyarat untuk memahami pembahasan pada sub bab berikutnya. a. Fungsi Konstan Fungsi f disebut fungsi konstan apabila untuk setiap x bilangan real dan k suatu konstanta berlaku f(x)= k. Grafiknya berupa garis sejajar sumbu x berjarak k satuan dari sumbu x. Contoh : Diketahui fungsi f (x)= 3 untuk setiap x bilangan real. a. Tentukan f(-5), f(0), f(7), f(a). b. Tentukan daerah hasilnya. c. Lukislah grafiknya. Jawab : a. f(x)= 3 berarti f(-5)= 3, f(0)= 3, f(7)= 3, f(a)= 3. b. Daerah hasil f adalah Rf = {3} c. Grafik fungsi f(x)= 3 adalah sebuah garis lurus dengan persamaan y= 3 seperti gambar berikut : Y 0 1 2 3 X 3 2 1 y=3

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 5 b. Fungsi Identitas Fungsi f adalah fungsi identitas jika f memasangkan setiap x anggota daerah asal ke dirinya sendiri. Jadi f: x x atau f(x)= x untuk setiap x Df. Fungsi identitas sering ditulis dengan notasi I yaitu I(x)= x. Contoh : Diketahui fungsi f (x)= x untuk setiap x bilangan real. a. Tentukan f(-2), f(-1), f(0), f(1/2), f(5), f(a). b. Lukislah grafiknya. Jawab : a. f(x)= x berarti f(-2)= -2, f(-1)= -1, f(0)= 0, f(1/2)= ½, f(5)= 5, f(a)= a. b. Daerah hasil f adalah Rf = {3} c. Grafik fungsi f(x)= x adalah sebuah garis lurus dengan persamaan y= x seperti gambar berikut : Y 0 1 2 3 X 3 2 1 y=x c. Fungsi Linear Fungsi f adalah fungsi linear jika f memasangkan setiap x anggota daerah asal ke bentuk ax+b ; a,bR, a0 . Jadi f: x ax+b atau f(x)= ax+b untuk setiap x Df. Grafik fungsi linear berbentuk garis yang memotong sumbu x dititik (-b/a, 0) dan meotong sumbu y ditiik (0,b). Contoh : Lukislah grafik fungsi f (x)= 2x+3 untuk setiap x bilangan real dengan mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y terlebih dahulu. Jawab : y= f(x)= 2x+3 Grafik memotong sumbu x jika y= 0 2x+3=0 2x= -3 x= -3/2 , titiknya (-3/2,0) Grafik memotong sumbu y jika x= 0 y= 2.0+3= 3 , titiknya ( 0,3 ) Grafiknya adalah : Y 0 1 2 X 3 2 1 y=2x+3 -2 -1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 6 d. Fungsi Kuadrat Fungsi f adalah fungsi kuadrat jika f memasangkan setiap x anggota daerah asal ke bentuk ax 2 +bx+c ; a,b,cR, a0 . Jadi f: x ax 2 +bx+c atau f(x)= ax 2 +bx+c untuk setiap x Df. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola terbuka keatas untuk nilai a>0 dan terbuka ke bawah untuk nilai a<0. Contoh grafik fungsi kuadrat dengan persamaan f(x)= x2 , x R -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 1 y x y=x2 e. Fungsi Modulus Modulus atau nilai mutlak dari suatu bilangan real x ditulis x didefinisikan sebagai berikut : x x 0 x, x 0 x Contoh : 3 (3) 3 ; 2 1 ) 2 1 ( 2 1 , 0 0 ; 5 5 ; 7 7 ; dan seterusnya. Suatu fungsi f dinamakan fungsi modulus jika fungsi tersebut memasangkan setiap bilangan real dengan nilai mutlaknya atau f : x x atau f(x)= x Grafik fungsi modulus berbentuk huruf V atau V terbalik, dengan puncak diperoleh untuk x = 0. Contoh : Lukislah grafik fungsi berikut : a. f (x)= x b. f(x) x 2 Jawab : a. y= f (x)= x Puncak diperoleh untuk x = 0 x = 0 sehingga y = 0 , titiknya (0,0) Beberapa titik yang memenuhi persamaan adalah : ( -2, 2), (-1,1), (1,1), (2,2). b. y f(x) x 2 Puncak diperoleh untuk x 2 0 x = 2 sehingga y 2 2 0 , titiknya (2,0) Beberapa titik yang memenuhi persamaan adalah : ( -1,-3), (0,-2), (1,-1), (3,-1), (4,-2) Sehingga grafiknya adalah : -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 1 y x y=IxI . . . . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x y= -Ix-2I . . . . . . . . . 1 -1 -2 y . .

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 7 f. Fungsi Tangga Salah satu contoh fungsi tangga adalah fungsi nilai bulat terbesar yaitu fungsi yang berbentuk f(x)= x dengan x ditentukan sama dengan nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Sebagai contoh : 3 = 3 sebab 3 adalah nilai bulat terbesar yang 3 ; 3,4= 3 sebab 3 adalah nilai bulat terbesar yang 3,4 ; 2,7= 2 sebab 2 adalah nilai bulat terbesar yang 2,7 ; 0,6= 0 sebab 0 adalah nilai bulat terbesar yang 0,6 ; -1,3= -2 sebab -2 adalah nilai bulat terbesar yang -1,3 ; -3,7= -4 sebab -4 adalah nilai bulat terbesar yang -3,7 ; dan seterusnya. Dengan demikian untuk setiap bilangan real x yang berada dalam sebuah interval dapat ditentukan nilai bulat terbesarnya. Sebagai contoh : dalam interval 2x<3 maka x = 2 ; dalam interval 1x<2 maka x = 1 ; dalam interval 0x<1 maka x = 0 ; dalam interval -1x<0 maka x = -1 ; dalam interval -2x<-1 maka x = -2. Fungsi nilai bulat terbesar untuk interval -2x<3 dapat digambarkan grafiknya sebagai berikut : -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 1 y x y=[x] -1 -2 Latihan Uji Kompetensi 2 1. Gambarlah grafik fungsi konstan dari R ke R berikut dalam satu diagram : a. f(x)= 2 d. f(x)= -5 b. f(x)= 4 e. f(x)= 0 c. f(x)= -3 2. Sketsalah grafik fungsi berikut : a. f(x)= x+1 e. f(x)= -x+1 b. f(x)= x- 2 f. f(x)= 2x+3 c. f(x)= x+1 g. f(x)= 2x-5 d. f(x)= -x-3 h. f(x)= 6-x+2 3. Fungsi f: A R dengan A= { 1x6, xR} ditentukan oleh f(x)= [x]. Buatlah sketsa grafik fungsi nilai bulat terbesar tersebut.. 4. Fungsi f: A A dengan A= { -3x5, xR} ditentukan oleh : 3 untuk 3 x 5 2 untuk 1 x 3 1 untuk 1 x 1 f(x) Gambarlah garfik fungsi tangga tersebut.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 8 5. Fungsi f: R R dengan R himpunan bilangan real ditentukan oleh : x untuk x 2 1 untuk 1 x 2 x 1 untuk x 1 f(x) Gambarlah garfik fungsi tangga tersebut. 6. Diketahui suatu fungsi linear ditentukan oleh f(x)= px+q. a. Tentukan p dan q jika f(2)= 1 dan f(0)= -5. b. Tentukan p dan q jika titik (1,-2) dan (3,2) terletak pada grafik fungsi f. c. Lukislah grafik masing-masing nilai p dan q pada soal a) dan b) diatas. --------------------------------------------------------- 3. Sifat-Sifat Fungsi Menurut sifatnya fungsi dibedakan menjadi 4 macam yaitu fungsi Injektif (satui-satu), fungsi surjektif (onto/kepada), fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) , dan fungsi into (kedalam). a. Jika dalam suatu fungsi f dari A ke B diketahui bahwa x1, x2 A dan x1 x2 berlaku f(x1) f(x2) maka f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Contoh : Fungsi f : A B ditunjukkan dalam diagram panah berikut. Contoh : Periksalah fungsi-fungsi berikut yang manakah yang merupakan fungsi injektif. 1. f(x)= 3x+5 2. f(x)= x2 + 2x. Jawab : 1. f(x)= 3x+5 f fungsi injektif jika a1 a2 maka f(a1) f(a2). Ambil sembarang bilangan real a1 dan a2 dengan a1 a2 maka f(a1) = 3.a1+5 dan f(a2)= 3.a2 +5. Karena a1 a2 maka 3.a1+5 3.a2 +5 atau f(a1) f(a2). Jadi f(x)= 3x+5 adalah fungsi injektif. 2. f(x)= x2 + 2x. Untuk fungsi f(x)= x2 + 2x. ada dua buah nilai x yang berbeda tetapi nilai fungsi f(x) sama. Misalnya x1= 0 dan x2= -2 maka : f(0)= )= (0)2 + 2(0) = 0 ; f(-2)= )= (-2)2 + 2(-2)= 4- 4 = 0. Untuk x1 x2 berakibat f(a1) = f(a2) . Jadi f(x)= x2 + 2x bukan fungsi injektif. 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Dari diagram disamping tampak bahwa setiap anggota A mempunyai peta yang berbeda di B, sehingga f adalah fungsi injektif. A f B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 9 b. Jika dalam suatu fungsi f dari A ke B diketahui bahwa range fungsi f sama dengan B, maka fungsi f itu disebut fungsi surjektif (onto/kepada). Contoh : Fungsi f : A B ditunjukkan dalam diagram panah berikut. Contoh : Diketahui himpunan A= {p, q, r} dan B= {1,2}. Susunlah fungsi surjektif f dari himpunan A ke himpunan B yang mungkin. Jawab : f: A B dengan A= {p, q, r } dan B= {1,2}. f fungsi surjektif jika Rf = B. Fungsi surjektif yang mungkin adalah : f= {(p,1),(q,1),(r,2)} f= {(p,2),(q,1),(r,2)} f= {(p,1),(q,2),(r,2)} f= {(p,2),(q,1),(r,1)} f= {(p,1),(q,2),(r,1)} f= {(p,2),(q,2),(r,1)} c. Jika dalam suatu fungsi f dari A ke B diketahui bahwa x1, x2 A dan x1 x2 berlaku f(x1) f(x2) dan range f sama dengan B maka f disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. Jadi f bersifat injektif sekaligus surjektif. Contoh : Fungsi f: A B dinyatakan seperti diagram berikut : d. Fungsi f dari A ke B yang tidak bersifat surjektif sekaligus tidak bersifat injektif disebut fungsi into (ke dalam). Contoh : Fungsi f: A B seperti diagram berikut : 3 5 6 7 8 a b c d a b c d e 3 4 5 6 7 2 3 4 6 4 5 6 7 A f B Daerah Kawan f = {a, b, c, d} =B Daerah Hasil f = Rf = {a, b, c, d} =B Karena daerah kawan f = daerah hasil f maka f fungsi surjektif atau onto atau kepada. A f B Dari diagram tampak bahwa f bersifat injektif ( setiap pasangan anggota A berlainan) dan f juga bersifat surjektif ( range sama dengan daerah kawan). Jadi f bersifat bijektif. Banyak anggota A sama dengan banyak anggota B. A f B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 10 Latihan Uji Kompetensi 3 1. Diketahui f: A B dengan A= { a,b,c,d} dan B= {k,l,m}. a. Susunlah 4 buah fungsi f yang bersifat surjektif. b. Susunlah 4 buah fungsi f yang bersifat into. c. Mungkinkah dibentuk fungsi f yang bersifat injektif ? Jelaskan ! 2. Grafik berikut adalah grafik fungsi f : R R. Manakah yang grafik fungsi satu-satu dan manakah fungsi into ? a b. c. d. e. f. 3. Diketahui f: A B dengan A= { k,m,n} dan B= {1,2,3}. Diantara fungsi berikut manakah yang bersifat surjektif ? a. f= {(k,1), (m,1), (n,1)} d. f= {(k,2), (m,2), (n,1)} b. f= {(k,1), (m,1), (n,2)} e. f= {(k,2), (m,3), (n,1)} c. f= {(k,1), (m,3), (n,2)} f. f= {(k,3), (m,1), (n,2)} 4. Diketahui f: A B dyang ditentukan dengan rumus f(x)= x2 + 10 . Untuk himpunan A dan B berikut, periksalah apakah fungsi f bersifat onto (kepada). a. A= {x/ 1x3 , xR} dan B= {y/ 11x19 , xR} b. A= {x/ 1x3 , xR} dan B= {y/ 11x30 , xR} c. A= {x/ 0x2 , xR} dan B= {y/ 10x15 , xR} d. A= {x/ 0x2 , xR} dan B= {y/ 10x14 , xR} e. A= {x/ -3x-1 , xR} dan B= {y/ 10x19 , xR} 5. Periksalah apakah fungsi f berikut bersifat injektif. Jelaskan jawaban Anda! a. f(x)= 4x+1 b. f(x)= x2 – 5x c. f(x) = x d. f(x)= x 3 +1 -----------------------------------------

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 11 C. KOMPOSISI FUNGSI-FUNGSI 1. Pengertian Komposisi Fungsi : Perhatikan diagram berikut : A B C f g Fungsi f : A B dan g : B C f(1) = 2 ; f(2) = 4 ; f(3) = 6 ; f(4) = 8 g(0) = 3 ; g(2) = 5 ; g(4) = 7 ; g(6) = 9 ; g(8) = 11 Jika h : A C dapat dibentuk, fungsi h yang demikian dikatakan merupakan komposisi dari fungsi f dan fungsi g yang dilambangkan dengan g o f ( baca : “g komposisi f “) Dengan demikian h= gof. maka (gof)(1)= h(1) = 5 = g( 2 ) = g(f(1)) (gof)(2)= h(2) = 7 = g( 4 ) = g(f(2)) (gof)(3)= h(3) = 9 = g( 6 ) = g(f(3)) (gof)(4)= h(4) = 11 = g( 8 ) = g(f(4)) Domain fungsi gof = {1, 2, 3, 4}, Domain fungsi f= {1, 2, 3, 4}, Range fog= {5, 7, 9, 11}, dan range fungsi g= {3,5, 7, 9, 11} Sehingga dapat diketahui bahwa : 1. Domain fungsi gof sama dengan domain fungsi f. 2. Range fungsi gof sama dengan himpunan bagian range fungsi g. Secara umum : Untuk fungsi-fungsi f : A B , g : B C , dan h: A C seperti gambar berikut A f B g C h= gof Fungsi h adalah fungsi komposisi dari f dan g dan ditulis h = g o f. f: x y y= f(x) g: y z z= g(y)= g( f(x) ) h: x z z= h(x)= (gof)(x) Dari dua persamaan terakhir dapat kita tuliskan bahwa (gof)(x) = g( f(x) ) Jadi ( gof) (x) = g( f(x) ) untuk setiap x A. Dengan pemikiran serupa dapat ditunjukkan bahwa (fog)(x) = f ( g(x) ). Nilai fungsi komposisi (fog)(x) untuk x= a adalah (fog)(a). Catatan : (gof)(x) dibaca “g komposisi f x “ atau “ g f x “ (fog)(x) dibaca “f komposisi g x “ atau “ f g x “ 1 2 3 4 0 2 4 6 8 3 5 7 9 11 12 x y z

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 12 Contoh : Diketahui fungsi f : R R dan fungsi g : R R dengan rumus f(x) = x2 dan g(x) = 2x + 1. a. Hitunglah nilai (g o f)(2) dan (f o g)(2) b. Hitunglah nilai (g o f)(3) dan (f o g)(3) c. . Tentukan rumus (g o f)(x) dan (f o g)(x) Jawab f(x) = x2 , g(x) = 2x + 1. a. (g o f)(2) = g(f(2)) = g(22 ) = g(4) = 2 . 4 + 1 = 9 (f o g)(2) = f(g(2)) = f(2 . 2 + 1) = f(5) = 52 = 25 b. (g o f)(3) = g(f(3)) = g(32 ) = g(9) = 2 . 9 + 1 = 19 (f o g)(3) = f(g(3)) = f(2 . 3 + 1) = f(7) = 72 = 49 c. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 2 (x2 ) + 1 = 2x2 + 1 (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)2 .= 4x2 +4x+1. Latihan Uji Kompetensi 4 1. Fungsi f : A B dan g : B C seperti gambar berikut ini : A B C Dari diagram tersebut, tentukanlah : a. (g o f)(a), (g o f)(b),dan (g o f)(c) b. domain fungsi g o f dan range fungsi g o f. 2. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut : f= {(-3,1),(-2,4),(-1,5),(0,3)} dan g= {(4,-3),(1, -2),(3, -1),(5, 0)} a. Tentukan fog dan gof dalam bentuk pasangan berurutan. b. Hitunglah : (fog)(4) , (fog)(1), (fog)(5) , (gof)(-3), (gof)(-1), (gof)(0) 3. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan rumus f(x) = 2x + 1 dan g(x) =6x -5 Carilah a. (g o f)(-1) dan (f o g)(-1) b. (g o f)(4) dan (f o g)(4) c. (g o f)(3) dan (f o g)(3) d. (g o f)(x) dan (f o g)(x) 4. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan rumus f(x) = 2x2 dan g(x) = x + 1 Carilah a. (g o f)(1) dan (f o g)(1) b. (g o f)(-2) dan (f o g)(-2) c. (g o f)(7) dan (f o g)(7) d. (g o f)(x) dan (f o g)(x) 5. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan rumus f(x) = 2x2 + 3x dan g(x) = 2x - 1 Carilah a. (g o f)(3) dan (f o g)(3) b. (g o f)(-2) dan (f o g)(-2) c. (g o f)(a) dan (f o g)(b) d. (g o f)(x) dan (f o g)(x) a b c k l m n w x y z f g

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 13 6. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R , carilah g o f dan f o g jika diketahui : a. f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 + 1 b. f(x) = x - 2 dan g(x) = x2 + 2x + 1 c. f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2 - 1 d. f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 3x + 4 e. f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 7x + 3 f. f(x) = (x + 2)2 dan g(x) =4 - x g. f(x) = 2x2 dan g(x) = 1- 3x h. f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 + x – 1 i. 2 5 ; x 2x 5 x 1 f(x) dan g(x)= 3x–2. 7. Diketahui f : R R dan g: R R ditentukan oleh f(x)= 2x+5 dan g(x)= x2 - 3. Carilah nilai x agar : a. (fog)(x)= 17 b. (gof)(x)= - 3 c. (gog)(x)= 6. 8. Diketahui fungsi f dari R ke R ditentukan oleh : x 2 x 2 5x 1 jika x 10 jika f(x) 2 a. Hitunglah nilai f(0), f(-3), f(1), f(2), f(3), f(10). b. Hitunglah nilai (fof)(0), (fof)(1), (fof)(3), (fof)(6). 9. Diketahui fungsi f : R R , g : R R dan h : R R dengan rumus f(x) = 2x + 3, g(x) = 4 – 2x dan h(x) = 3x + 1. Carilah nilai dari : a. (f o g o h)(3) b. (g o g o h o f)(-1) c. (h o f o f o g)(0). ------------------------------------------------ 2. Menentukan Salah Satu Komponen Fungsi jika Diketahui Komposisi Fungsi dan Salah Satu Fungsi yang Lain. Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi fog atau gof juga diketahui, fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika yang diketahui fungsi g dan fungsi komposisi fog atau gof fungsi f dapat ditentukan. Untuk memahami cara menentukan sebuah fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan fungsi lain, perhatikan contoh berikut : Contoh : 1. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R R dengan f(x) = 3x – 4 dan (g o f)(x) = 15x – 1. Carilah g(x) dan g(9) . Jawab . f(x) = 3x – 4; (g o f)(x) = 15x – 1. (g o f)(x) = g ( f(x) ) 15x – 1 = g ( 3x-4) g ( 3x-4)= 15x – 1 Misalkan : 3x-4 = y 3x = y+4 3 y 4 x sehingga : g (y) = ) 1 3 y 4 15( g(y)= 5y+20-1 g(y)= 5y+19 g(x)= 5x+19 Sehingga g(9)= 5(9)+19 = 64 Jadi fungsi g(x)= 5x+19 dan g(9)= 64

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 14 2. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R R dengan g(x) = 2x + 1 dan (g o f)(x) = 2x2 – 5. Carilah f(x) dan f(2) . Jawab : . g(x) = 2x + 1; (g o f)(x) = 2x2 – 5. (g o f)(x) = g ( f(x) ) 2x2 – 5= 2.f(x)+1 2x2 – 6= 2 . f(x) x 2 – 3= f(x) f(x)= x2 – 3 sehingga f(2)= (2)2 -3 = 4-3 = 1 Jadi f(x)= x2 – 3 dan f(2)= 1 Latihan Uji Kompetensi 5 1. Diketahui fungsi (f o g)(x) = 6x + 7 dan g(x) = 3x – 1. Carilah f(x) dan f(-2). 2. Diketahui fungsi (f o g)(x) = 8x - 1 dan f(x) = 2x – 1. Carilah g(x) dan g(1). 3. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 6x + 3 dan f(x) = 3x – 10. Carilah g(x) dan g(10). 4. Diketahui fungsi (g o f)(x) = x2 + 6x - 9 dan f(x) = x – 2. Carilah g(x) dan g (-3). 5. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 2x2 + 4x - 1 dan g(x) = 2x – 1. Carilah f(x) dan f (5). 6. Diketahui fungsi 2x 3 x 1 (fog)(x) dan f(x) = x – 4. Carilah g(x) dan g(8). 7. Diketahui fungsi 3 4x 2x 1 (fog)(x) dan f(x) = 2x + 5. Carilah g(x) dan g(-2). 8. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 2 log (6x –7) dan f(x) = 3x + 2. Carilah g(x) 9. Diketahui fungsi (f o g)(x) = 5 3x + 2 dan g(x) = x + 7 . Carilah f(x) 10. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 2 x –1 dan g(x) = x + 4. Carilah f(x) . 11. Diketahui fungsi f, g, dan h fungsi pada R ditentukan oleh f(x)= 1-3x dan g(x)= 5x+2. Tentukan rumus fungsi h(x) jika diketahui komposisi fungsi berikut : a. (fogoh)(x)= 15-30x b. (gohof)(x)= -45-17 c. (hogof)(x)= 15x2 -65 d. (fogoh)(x)= 30x +13. ---------------------------------------------------

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 15 3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi-Fungsi Dalam operasi biner pada sistem bilangan real kita mengenal sifat-sifat operasi misalnya : sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat terdapatnya elemen netral pada penjumlahan. Karena komposisi fungsi-fungsi juga merupakan operasi biner maka amatlah penting mengetahui sifat-sifat pada komposisi fungsi. 1. Perhatikan diagram berikut : A B C D f g h Dari diagram ini terlihat bahwa : (g o f)(1) = p h(p) = 3 dan h( (g o f)(1) ) =(h o (g o f))(1) = 3 (g o f)(2) = p h(q) = 5 dan h( (g o f)(3) )= (h o (g o f))(3) = 5 (g o f)(3) = q h(r) = 7 dan h( (g o f)(4) )= (h o (g o f))(4) = 7 (g o f)(4) = r f(1) = a ; (h o g) (a) = 3 dan (h o g)( f(1) ) = ((h o g) o f ) (1) = 3 f(3) = b ; (h o g) (b) = 5 dan (h o g)( f(3) ) = ((h o g) o f )(3) = 5 f(4) = c ; (h o g) (c) = 7 dan (h o g)( f(4) ) = ((h o g) o f )(4) = 7 Dari hasil pengerjaan itu didapat bahwa : h o (g o f) = (h o g) o f dalam hal ini dikatakan bahwa komposisi fungsi bersifat asosiatif. Karena sifat asosiatif dari komposisi fungsi, maka penulisan tanda kurung tidak mempengaruhi hasil. Jadi h o g o f = (h o g) o f = h o (g o f) 2. Andaikan fungsi f : R R dan g : R Rdengan f(x) = 3x – 7 serta g(x) = 4 – 5x maka (f o g)(x) = f(g(x)) = 3(4 – 5x) –7= 12 – 15x–7= 5– 15x. (g o f)(x) = g(f(x)) = 4 – 5(3x – 7.) = 4 – 15x +35 = 39– 15x Dari sini didapat bahwa f o g g o f dan dalam hal ini dapat bahwa komposisi fungsi tidak komutatif. 3. Andaikan f : R R , g : R R, h : R R, j : R R , k : R R yang ditentukan oleh f(x) = x, g(x) = 3x – 1, h(x) = x2 – 2 , j(x) = 6 – 2x dan k(x) = 2x – x 2 , maka (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3x – 1) = 3x – 1 dan (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x) = 3x - 1 (f o h)(x) = f(h(x)) = f(x 2 – 2) = x 2 – 2 dan (ho f)(x) = h.(f(x)) = h(x) = x 2 – 2 (f o j)(x) = f(j(x)) = f(6 – 2x) = 6 – 2x dan (j o f)(x) = j (f(x)) = j(x) = 6 – 2x (f o k)(x) = f(k(x)) = f(2x – x 2 ) = 2x – x 2 dan (ko f)(x) = k(f(x)) = k.(x) = 2x – x 2 Dari pengerjaan ini didapat bahwa dalam komposisi fungsi-fungsi terdapat fungsi f(x) = x yang bersifat untuk setiap fungsi g berlaku f o g = g o f = g. Fungsi f : R R yang ditentukan dengan f(x) = x ini merupakan fungsi identitas. Dalam komposisi fungsi-fungsi terdapat fungsi identitas yang biasa ditulis dengan I(x) = x dan berlaku g o I = I o g = g. 1 2 3 4 a b c d p q r s 3 5 7 8

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 16 5. Andaikan I fungsi identitas dan I(x) = x dan diketahui pula bahwa : a. f(x) = 4x – 3 dan g(x) = 4 x 3 (f o g)(x) = f(g(x)) = f( 4 x 3 ) = 4( 4 x 3 ) – 3 = x + 3 – 3 = x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(4x – 3) = 4 (4x 3) 3 = 4 4x = x b. f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 2 x 5 ) 5 x 2 x 5 ) 2( 2 x 5 (fog)(x) f(g(x)) f( x 2 (2x 5) 5 (gof)(x) g(f(x)) g(2x 5) c. f(x) = 2x dan g(x) = 2 log x x logx 2 log x) (2) 2 (fog)(x) f(g(x)) f( (gof)(x) g(f(x)) g(2 ) log2 x x 2 x Dalam pengerjaan ini diketahui bahwa dalam kompsisi fungsi-fungsi terdapat fungsi f dan g sedemikian sehingga f o g = g o f = I. Jika dari fungsi f dan g diketahui bahwa f o g = g o f = I dan I(x) = x, maka dikatakan bahwa f invers fungsi g dan g invers fungsi f. Latihan Uji Kompetensi 6 1. Tunjukkan bahwa g o f f o g untuk f dan g berikut ini : a. f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 7 – 3x b. f(x) = x2 dan g(x) = 3x – 2 c. f(x) = 3x – x 2 dan g(x) = x + 2 d. f(x) = 2x x dan g(x) = x – 4 2. Carilah f o g o h dari fungsi-fungsi f , g dan h berikut ini : a. f(x) = 3x + 2, g(x) = 2x – 7 dan h(x) = 6x + x2 b. f(x) = 9x + 1, g(x) = 2x + 3 dan h(x) = 6x - 3 c. f(x) = 3x - 2, g(x) = 6x – 1 dan h(x) = x + x2 d. f(x) = x + 2, g(x) = 5x + 3 dan h(x) = 6x + 1 3. Tunjukkan bahwa fungsi f dan fungsi g berikut adalah fungsi dan inversnya : a. f(x) = x – 1 dan g(x) = x + 1 b. f(x) = 3x + 6 dan g(x) = 3 x 6 c. f(x) = 6x – 7 dan g(x) = 6 x 7 d. f(x) = 3x dan g(x) = 3 log x e. f(x)= 2x2 dan g(x) = 2 x ---------------------------------------------

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 17 D. FUNGSI INVERS 1. Pengertian Telah diketahui pada pembahasan sifat-sifat komposisi fungsi terdahulu bahwa jika f dan g fungsi-fungsi dan berlaku f o g = g o f = I, maka dikatakan f invers g dan g invers f. Invers fungsi f dinyatakan dalam f –1 , sehingga f o f –1 = f –1 o f = I. Karena f o f –1 = f -1 o f ,maka range fungsi f –1 sama dengan domain fungsi f. dan domain fungsi f -1 sama dengan range fungsi f. Jika f : A B maka f –1 : B A A B f f -1 Karena range fungsi f –1 sama dengan domain fungsi f. dan domain fungsi f -1 sama dengan range fungsi f, maka f –1 merupakan fungsi jika f merupakan fungsi bijektif. Andaikan f : A B seperti diagram berikut : A B f f –1 bukan fungsi f –1 merupakan fungsi A B F f –1 bukan fungsi f –1 bukan fungsi A B f A B f

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 18 2. Menentukan Rumus Fungsi Invers Perhatikan fungsi f : A B dan f -1 : B A berikut : A B f f : x y atau y= f(x) dan f -1 : y x atau x= f -1 (y) sehingga y= f(x) x= f -1 (y). Dengan demikian untuk menentukan rumus dari f -1 (x) dapat dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut : o Langkah 1. Misalkan y = f(x). o Langkah 2. Nyatakan x sebagai fungsi y. o Langkah 3. Ganti x dengan f -1 (y). o Langkah 4. gantilah y pada f -1 (y) dengan x untuk mendapatkan f -1 (x). Untuk lebih jelas simaklah contoh berikut ini. Contoh : Diketahui fungsi f: R R .Carilah f –1 jika diketahui : a. f(x) = 2x – 1 b. f(x) = 2x2 – 5, x≥ 0 c. f(x) = 3 5x 2x 7 , x≠3/5 Jawab y= f(x) x= f -1 (y) a. f(x) = 2x – 1 2 y 1 f (y) 1 y = 2x – 1 2 x 1 f (x) 1 2x = y + 1 2 y 1 x Jadi invers fungsi f(x) = 2x – 1 adalah 2 x 1 f (x) 1 b. f(x) = 2x2 – 5 y = 2x2 – 5 x 2 = 2 y 5 2 y 5 f (y) 1 x = 2 y 5 2 x 5 f (x) 1 Jadi invers fungsi f(x) = 2x2 – 5 adalah 2 x 5 f (x) 1 x y f -1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 19 c. 3 5x 2x 7 f(x) 2 5y 3y 7 x 3 5x 2x 7 y 2 5y 3y 7 f (y) 1 (3 – 5x)y = 2x + 7 2 5x 3x 7 f (x) 1 3y – 5xy = 2x + 7 2x + 5xy = 3y - 7 x(2 + 5y) = 3y – 7 Jadi invers fungsi 3 5x 2x 7 f(x) adalah 2 5x 3x 7 f (x) 1 3. Hubungan Grafik Suatu Fungsi dan Grafik Inversnya Telah diketahui bahwa jika fungsi f : A B, maka f –1 : B A Perhatikan diagram berikut : A f B Dari fungsi pada diagram itu diketahui bahwa : f(1) = 3 dan f –1 (3) = 1 f(3) = 4 dan f –1 (4) = 3 f(4) = 6 dan f –1 (6) = 4 f(7) = 5 dan f –1 (5) = 7 Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f adalah {(1,3), (3,4), (4,6), (7,5)} dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi f -1 adalah {(3,1), (4,3), (6,4), (5,7)} Grafik fungsi f dan f –1 sebagai berikut y=x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 2 3 4 5 6 7 8 Jika kita perhatikan, maka grafik y = f(x) dan y = f -1 (x) simetris terhadap garis y = x. Grafik fungsi f merupakan gambar pasangan (x,y) tetapi grafik fungsi f –1 merupakan gambar pasangan (y,x). 1 3 4 7 3 4 5 6

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 20 Contoh : Lukislah grafik fungsi f -1 (x) jika diketahui grafik fungsi f(x) = 2x+4 berikut : y 0 1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x)= -2x+4 Jawab : f(x) = 2x+4 Ambil dua titik yang terletak pada grafik, misalnya titik ( 0,4) dan (2,0). Invers dari titik (0,4) adalah (4,0) dan invers (2,0) adalah (0,2). Dengan demikian grafik y= f (x) melalui titik (4,0) dan (0,2) seperti gambar berikut : y=x y 0 1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7 y= f -1(x) y= f(x) Latihan Uji Kompetensi 7 1. Diketahui fungsi f : R R. Carilah rumus invers fungsi f(x) berikut : a. f(x) = 2x – 1 e. f(x) = 3 – 2x i. f(x) = 5x +7 b. f(x) = 4x + 3 f. f(x) = 12 – x j. f(x) = x + 8 c. f(x) = 2x + 9 g. f(x) = 3 1 x – 10 k. f(x) = 12x – 5 d. f(x) x 8 7 3 h. f(x) = 0,3 x – 1 l. f(x) 1 x 5 7 1 2. Diketahui fungsi f : R R. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1 (x), Jika : a. 7 x 5 f(x) c. 8 x 1 f(x) e. 5 x 3 f(x) b. 5 3 x f(x) d. 2 7 x f(x) f. 7 2x 3 f(x) 3. Diketahui fungsi f : A B. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1 (x), Jika : a. x 7 5x 3 f(x) d. 2x 9 3x 1 f(x) g. 3x 7 2x 3 f(x) b. 2x 1 5x 4 f(x) e. 7x 4 2x 3 f(x) h. 5x 8 2 3x f(x) c. 3x 7 1 4x f(x) f. 2x 5 3 f(x) i. 3x 1 2 f(x)

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 21 4. Diketahui fungsi f : R R. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1 (x), Jika : a. f(x) = 2x2 – 3; x≥0 d. f(x) = 2 – 3x2 ; x≥0 g. f(x) = 3 x + 2 b. f(x) = 2(x - 1)2 + 3 ; x≥1 e. f(x) = 3 – 5(x + 2)2 ; x≥-2 h. f(x) = 6 x - 7 c. f(x) = 4(x –7)2 ; x≥7 f. f(x) = 4 + 3x3 i. f(x) = 5 x - 2 5 . Menggunakan grafik fungsi y = f(x) , gambarlah grafik fungsi y = f –1 (x) untuk masingmasing grafik berikut : a. b c. d. 6. Lukislah grafik fungsi berikut, kemudian gunakan grafik tersebut untuk melukis grafik inversnya : a. f(x)= 2x +5 d. f(x)= x +2 b. f(x)= 3x 1 e. f(x)= x+2 +4 c. f(x)= 4x +2 f. f(x)= (x1)2 7. a. Gambar grafik fungsi f : R R yang ditentukan oleh f(x) = x2 + 1 b. Jelaskan mengapa f –1 bukan merupakan fungsi c. Tentukan Range fungsi f agar f –1 merupakan fungsi c. Tentukan rumus f –1 dan gambarlah grafiknya. 8. a. Gambar grafik fungsi f : R R yang ditentukan oleh f(x) = 2x b. Jelaskan mengapa f –1 bukan merupakan fungsi c. Tentukan Range fungsi f agar f –1 merupakan fungsi d. Tentukan rumus f –1 dan gambarlah grafiknya. ----------------------------------------------

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 22 4. Invers Fungsi Komposisi Perhatikan gambar berikut : A gof C B f g f –1 g –1 (gof)1 Jika f dan g fungsi bijektif maka gof adalah fungsi komposisi yang memetakan A ke C. Invers dari gof adalah (gof)1 dapat dinyatakan sebagai komposisi antara g1 dan f1 yaitu f 1 o g 1 . Dengan demikian diperoleh : (gof)1 (x) = (f1 o g 1 )(x) Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh (fog)1 (x) = (g1 o f1 )(x) Jadi, jika f1 dan g1 adalah invers fungsi f dan g maka berlaku : (gof)1 (x) = (f1 o g 1 )(x) (fog)1 (x) = (g1 o f 1 )(x) Dengan demikian jika diketahui fungsi f dan g maka untuk menentukan invers fungsi (fog)(x) dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : 1. Dengan menentukan fungsi komposisi fog terlebih dahulu kemudian ditentukan (fog)1 (x). 2. Dengan menentukan f 1 dan g 1 kemudian ditentukan komposisi (g1 o f1 )(x). Contoh : Diketahui fungsi f dan g pada R yang ditentukan oleh f(x)= 2x+5 dan g(x)= 3x1. Tentukan rumus (fog)1 (x). Jawab : f(x)= 2x+5; g(x)= 3x1 Cara I : Dengan menentukan rumus (fog)(x) terlebih dahulu. (fog)(x)= f ( g(x) ) = f ( 3x1) = 2(3x1)+5 = 6x + 3 (fog)(x)= 6x + 3 y = 6x +3 6x= y3 6 y 3 x 6 y 3 (fog) (y) 1 6 x 3 (fog) (x) 1 Jadi 6 x 3 (fog) (x) 1 x y z

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 23 Cara II : Dengan menentukan f1 (x) dan g1 (x) terlebih dahulu, kemudian dikomposisikan menjadi (g1 o f1 )(x). f(x)= 2x+5 g(x)= 3x1 y = 2x+5 y = 3x1 2x= y5 3x= y+1 2 y 5 x 3 y 1 x 2 y 5 f (y) 1 3 y 1 g (y) 1 2 x 5 f (x) 1 3 x 1 g (x) 1 (fog)1 (x) =(g1 o f 1 )(x) = g 1 (f 1 (x)) = ) 2 x 5 g ( 1 2 2 x 3 ) 1 2 x 5 ( 6 x 5 2 6 x 3 Jadi, 6 x 3 (fog) (x) 1 Latihan Uji Kompetensi 8 1. Diketahui f : R R dan g : R R.. Tentukan rumus (g o f)1 (x) dan (f o g) 1 (x) a. f(x) = x + 7 dan g(x) = 2x – 5 d. f(x) = 3x - 6 dan g(x) = 5 – 2x b. f(x) = x – 6 dan g(x) = 2x + 1 e. f(x) = x2 – 2; x≥0 dan g(x) = x + 3 c. f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 6 – x f. f(x) = (x1)2 – 2; x≥1 dan g(x) =x5 2. Diketahui fungsi f dan g pada R yang ditentukan oleh f(x)= x+4 dan x 1 1 g(x) ( x 1). Tentukan : a. Rumus (g o f)1 (x) dan (f o g) 1 (x) b. Rumus (g o g)1 (x) dan (f o f) 1 (x) c. Nilai (g o f)1 (1) ; (g o f)1 (2) ; (f o g) 1 (1) ; (f o g) 1 (2) d. Nilai (g o g)1 (0) ; (g o g)1 (4) ; (f o f) 1 (0) ; (f o f) 1 (4) 3. Diketahui fungsi f dan g pada R yang ditentukan oleh f(x)= 3x2 dan ; x 3 x 3 x 2 g(x) Tentukan : a. Rumus (g1 o f1 )(x) dan (f1 o g 1 ) (x) b. Rumus (g1 o g 1 )(x) dan (f1 o f1 ) (x) c. Nilai (g1 o f1 ) (2) ; (g1 o f1 ) (1) ; (f1 o g 1 ) (2) ; (f1 o g 1 ) (1) d Nilai (f o g)1 (2) ; (f o g)1 (1) ; (g o f) 1 (2) ; (g o f) 1 (1) Bandingkan hasil dari c dan d ! -----------------------------------------------

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 24 UJI KOMPETENSI 1. Diketahui f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real R. Tentukan fog dan gof jika diketahui : a. f(x)= 3x+2 ; g(x)= 5x+7 b. f(x)= 2x-1 ; g(x)= x2 -4 c. f(x)= x+5 ; g(x)= 2x2 +x+1 d. f(x)= 2-x ; x 3 x 1 f(x) 2. Diketahui fungsi f(x)= -2x+3 dan g(x)= x2 + 6. Tentukan nilai : a. (fog)(1) dan (gof)(1) b. (fog)(0) dan (gof)(0) c. (fog)(-2) dan (gof)(-2) 3. a. Gambarlah kurva f(x)= x2 4. b. Jelaskan bahwa f -1 bukan merupakan fungsi. c. Tentukan rumus f -1 dan gambarlah grafiknya. 4. Tentukan f -1 (x) dari fungsi berikut : a. f(x)= 3x+4 d. 7x 1 2x 5 f(x) g. f(x) 2 x 3 b. f(x)= ½ x -5 e. 6x 5 3 4x f(x) c. f(x)= 1/3 (x+7) f. f(x)= 3x2 -8 5. Dengan menggunakan f -1 (x) dan g -1 (x) tentukan (fog) -1 (x) dan (gof) -1 (x) jika diketahui : a. f(x)= 2x+3 dan g(x)= x-6 b. f(x)= 3x-5 dan g(x)= 2x+1 c. f(x)= x+2 dan x 3 x 1 g(x) 6. a. Diketahui (fog)(x)= 9x+5 dan g(x)= 3x-1. Tentukan f(x) dan f -1 (1). b. Diketahui 3x 2 x 1 (fog)(x) dan g(x)= 3x-1. Tentukan f(x) dan f -1 (0). c. Diketahui (gof)(x)= x2 +x dan g(x)= x+3. Tentukan f(x) dan f(2). d. Diketahui 5x 4 2x 1 (gof)(x) dan g(x)= 1-x. Tentukan f(x) dan f (0). ---oo0oo---