Belajar Logika Matematika

Belajar Logika untuk kalangan sendiri Matematika SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 1 BELAJAR LOGIKA MATEMATIKA Teman-teman BODA, apa yang kamu bayangkan ketika mendengar tentang logika matematika? Kalau kamu murid laki-laki, mungkin akan bingung dan bertanya, “Kok matematika pakai logika segala?”. Sementara sebagian perempuan akan berpikir, “Logika itu mah urusan laki-laki! Perempuan tuh pakenya perasaan…” Hmmm… Di dalam ilmu matematika, kamu juga dapat mempelajari logika. Buat apa? Tentu aja, buat mengasah otak kita dalam penarikan kesimpulan-kesimpulan. Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu. Tidak ada lagi deh, kalimat “Kamu bilangnya mau jemput jam 10. . Kok telat? Pasti JALAN SAMA MANTAN YA?!” Nah, dalam materi logika matematika, kita akan sering menemukan istilah-istilah, seperti negasi, konjungsi, disjungsi, dan lain sebagainya. Di sini, kita akan bahas secara mudah dan ringkas, ya. Yuk, perhatikan secara seksama! Belajar tentang logika matematika, yuk! Mulai dari pengertian kalimat terbuka, pernyataan dan negasi, serta pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi). A.Pernyataan . 1. Pernyataan. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja. Contoh pernyataan : a.” 4 adalah bilangan genap “, adalah pernyataan bernilai benar b.” 3 kurang dari 7” , adalah pernyataan bernilai benar. c. ”Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia”, adalah pernyataan bernilai benar d. ”Bika ambon berasal dari Ambon”, adalah pernyataan bernilai salah e. “ Batu adalah benda cair “ adalah pernyataan bernilai salah. Sedangkan kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran bukan merupakan pernyataan . Contoh bukan pernyataan a. “ Tangkap orang itu “. b. “ Selamat panjang umur “. c. “ Jangan menyakiti hati orang lain “. d. “ 3x – 2 = 8 “ Notasi / lambang suatu pernyatan. Suatu pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil , misalnya : a,b,c , ……,p,q,r ,…….dsb. Contoh : p : 4 adalah bilangan genap. q : 3 kurang dari 7 r : Batu adalah benda cair. Hayo, dari gambar di atas, tahu nggak bedanya pernyataan dan kalimat terbuka? Pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat yang belum diketahui kebenarannya. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 2 2. Nilai Kebenaran. Untuk menentukan nilai kebenaran (benar atau salah) suatu pernyataan menggunakan dasar empiris atau dasar tak empiris. Dasar empiris adalah menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan sesuai tidaknya dengan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh : a.“ Ibu kota negara Indonesia adalah Jakarta “, adalah pernyataan bernilai benar sesuai fakta. b. “ Batu adalah benda cair “, adalah pernyataan bernilai salah, tidak sesuai dengan fakta yang ada. Dasar tak empiris adalah menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan dalam matematika. Contoh : a. “ 3 adalah akar dari persaman x2 – 2x – 3 = 0” , adalah pernyataan yang bernilai benar berdasarkan perhitungan. b. “ Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 2000 “, adalah pernyatan bernilai salah , berdasarkan bukti/perhitungan . 3. Kalimat Terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel atau peubah ,sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Contoh : a. 2x – 1 = 5 (kalimat di samping di namakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 2x dikurangi 1 akan menghasilkan 5) b. y 2 – 3 = 1. c. Maaf ya, aku semalam ketiduran, he..he..he… (kalimat disamping juga merupakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar bahwa dia semalam tidak bisa membalas chat karena ketiduran? Atau memang malas saja chat dengan kamu malam itu?) d. Itu adalah benda padat . Kalimat-kalimat di atas belum dapat diketahui nilai kebenarannya sebelum ditetapkan pengganti dari x , y dan itu. x , y dan itu disebut variabel atau peubah. Dari persamaan : 2x – 1 = 5 Jika x diganti 3 diperoleh : 2.3 – 1 = 5 , bernilai benar. Jika x diganti 7 diperoleh : 2.7 – 1 = 5, bernilai salah. Nilai x = 3 mengubah kalimat terbukan2x – 1 = 5 menjadi pernyataan yang bernilai benar. Nilai x = 3 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka 2x – 1 = 5. Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbaka disebut himpunan penyelesaian. 4. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang memuat ukuran kuantitas / jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor ini menggunakan kata : semua , setiap , tak satupun , beberapa, ada , dll. Kuantor dapat dibedakan menjadi dua yaitu kuantor universal atau kuantor umum dan kuantor eksistensial atau kuantor khusus. Kuantor Universal. Kuantor Universal pada umumnya memuat kata : semua( untuk setiap) dilambangkan dengan (All). Contoh: a. Setiap siswa SMA belajar matematika. b. Semua segitiga mempunyai sudut lancip. c. Setiap siswa wajib mentaati tata tertip sekolah. d. (xR). x2 + 1 > 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 3 Kuantor Eksistensial Kuantor eksistensial biasanya memuat kata : ada ( beberapa) dilambangkan (Exist). Contoh : a. Ada siswa SMA yang tidak senang matematika. b. Ada bilangan prima yang genap. c. Beberapa siswa hari ini tidak masuk sekolah. d. (xR). 2x + 3 = 7. Nilai kebenaran pernyataan berkuantor. Penyataan berkuantor universal bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan itu berlaku untuk semua anggota semesta pembicaraannya, tetapi jika terdapat satu saja anggota semesta pembicaraan yang tidak memenuhi maka pernyataan itu bernilai salah. Contoh : a. Pernyataan “Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil “ bernilai salah, karena terdapat satu bilangan prima yang genap . b. Pernyataan “ Semua siswa SMA adalah anak manusia “ bernilai benar , karena kita yakin bahwa tak satupun siswa SMA yang bukan anak manusia. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar jika dari semesta pembicaraannya terdapat paling sedikit satu anggota yang memenuhi pernyataan itu. Contoh : a. “Beberapa bilangan cacah kuadratnya kurang dari 100 “,pernyataan yang “ bernilai benar. b. “Ada bilangan real x sedemikian hingga x2 + 2x + 8 < 0 “ pernyataan yang bernilai salah, karena tak satupun bilangan x yang memenuhi x2 + 2x + 8 < 0. Suatu kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi pernyataan dengan menggunakan / menambahkan kuantor. Contoh: a. Kalimat terbuka : Bilangan prima kurang dari 10. Pernyataan : Beberapa bilangan prima kurang dari 10. b. Kalimat terbuka : 2x – 3 = 5. Pernyataan : (x R) . 2x – 3 = 5 Dibaca : Ada x bilangan real sedemikian hingga 2x – 3 = 5. c. Kalimat terbuka : x 2 + 2x + 8 > 0 Pernyataan : (x R). x2 + 2x + 8 > 0. Dibaca : Untuk setiap x bilangan real berlaku x2 + 2x + 8 > 0.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 4 Latihan 1 1. Di antara kalimat-kalimat berikut, mana yang merupakan pernyatan , dan jika pernyataan , tentukan nilai kebenarannya ! a. 1111 adalah bilangan yang habis dibagi 3. b. Semoga bahagia selalu. c. 111 adalah bilangan prima. d. Biarlah reformasi berjalan terus. e. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. f. Bilangan bentuk akar adalah bilangan rasional. g. Untuk setiap bilangan asli n , maka (2n-1) adalah bilangan ganjil. h. Ada bilangan asli n sedemikian hingga 3n – 1 = 6. 2. Untuk semesta pembicaraan bilangan asli, tentukan penyeleaian dan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut ! a.2x – 3 = 1 b. x2 – 4 = 5 c. x 2 – 5x + 4 = 0 d. 2 log 2x = 3 e. 22x-3 = ¼ f. 2x + y = 10 3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut ini : a. (x R). 2x – 1 > 4 b. (x R). x2 – 4x + 9 > 0 c. (x R).| x | = x d. (x R). | 2x – 3 | 0 e. (xR). 2x + 4 = 8 f. (xR). x2 – 3x + 2 = 0 g. g. (xR). 2x2 – x - 3 < 0 h. (x R).(yR).2x + y = 10 i. i. (x R).(yR).2x2 + x - 3 = y j. (xR).(yR).x2 + y2 = 25 4. Nyatakan dengan lambang kuantor : a. Terdapat bilangan real x sehingga 2x + 1 = 8. b. Ada bilangan real x sehingga x2 – 6x = 0 c. Terdapat bilangan real x sehingga 2x2 – x – 6 < 0 d. ntuk semua x bilangan real terdapat y bilangan real sehingga y = 3x – 6 e. Untuk semua x bilangan real terdapat y bilangan real sehingga y=2x2 –3x-6 f. Terdapat x bilangan real dan terdapat y bilangan real sehingga x2 + y2 = 9 g. Terdapat x bilangan real dan terdapat y bilangan real sehingga x2 + y2 = 9

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 5 B. Operasi Pernyataan 1. Ingkaran / Negasi . Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal kebenaran dari suatu pernyataan. Ingkaran dari suatu pernyataan p ditulis p. Contoh : a. p : “ 21 habis dibagi 3 “ Ingkaran dari p atau p :” Tidak benar bahwa 21 habis dibagi 3 “ atau : “ 21 tidak habis dibagi 3 “. b. q : “ Batu itu benda cair “ Ingkaran dari q atau q : “ Tidak benar bahwa batu itu benda cair “ atau : “ Batu itu bukan benda cair “ c. r : “ Semua ikan bernafas dengan insang. Ingkaran dari r atau r : “ Tidak benar semua ikan bernafas dengan insang” atau : “Ada ikan bernafas tidak dengan insang”. d. s : “Ada orang bisa terbang”. Ingkaran dari s atau s : “ Tidak benar ada orang bisa terbang “, atau : “ Semua orang tidak bisa terbang”. Jika p suatu pernyataan yang bernilai benar, maka ingkaran dari p atau p bernilai salah ,dan jika q pernyataan yang bernilai salah , maka ingkaran dari q atau q bernilai benar . Tabel nilai kebenaran dari ingkaran : p p (p) B S B S B S Latihan 2 Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan-pernyataan berikut : 1. 19 bilangan prima 2. 100 habis dibagi 3 3. Semua burung pandai terbang. 4. Semua siswa klas X senang matematika. 5. Semua sawah ditanami padi 6. Ada siswa klas X yang senang membolos. 7. Ada wanita yang punya kumis. 8. Beberapa soal ulangan tidak dapat dikerjakan. 9. Ada manusia yang dapat terbang. 10. Semua laki-laki mempunyai kumis.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 6 2. Konjungsi Konjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ p dan q “ dan ditulis dengan symbol “ p q “. Dalam logika kata penghubung dan dapat digantikan dengan kata lain yang senilai , yaitu : tetapi , walaupun, meskipun dsb Contoh : a. p : Ali sakit q : Ali masuk sekolah. p q : Ali sakit dan Ali masuk sekolah. : Ali sakit tetapi Ali masuk sekolah. : Meskipun Ali sakit, Ali masuk sekolah. : Walaupun Ali sakit, Ali masuk sekolah. Nilai kebenaran dari konjungsi : Definisi : Konjungsi “ p q “.bernilai jika dan hanya jika p bernilai Benar dan q bernilai Benar. P q p q B B B B S S S B S S S S Latihan 3 1. Tentukan nilai kebenaran dari tiap konjungsi berikut: a. 2 log 8 = 3 dan 23 = 8 b. Setiap bentuk akar merupakan bilangan irasional dan 7 bilangan real. c. Setiap bilangan prima ganjil dan setiap bilangan ganjil prima. d. Tujuh factor prima dari 43 dan 5 faktor prima dari 100. e. Ada bilangan prima yang tidak ganjil dan ada bilangan ganjil yang tidak prima. 2. Diketahui : p : Semua bentuk akar irasional. Q : Ada bilangan prima yang genab. Tuliskan dengan kata-kata pernyataan berikut : a. p b. q c. p q d. .p q e. .p q 3. Tentukan nilai kebenaran pada setiap pernyataan pada soal nomor 2 ! 4. Carilah nilai x agar tiap kalimat terbuka berikut menjadi konjungsi yang bernilai benar: a. 3x – 7 = 5 dan 20 = 25. b. log 3 + log 4 = log 12 dan x log 16 = 4. c. x 2 – 4x + 3 = 0 dan 4 bilangan rasional. d. | 2x – 3 | = 5 dan 9x2 + 6x + 1 = 0 diskriminannya = 0. 5. Salin lengkapilah table nilai kebenaran beikut : P q pq pq pq B B S S B S B S … … … … … … … … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 7 3. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan p dan pernyataan q adalah pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q” yang dituliskan dengan notasi atau lambang “ p q “. Contoh : p : Segitiga ABC siku-siku q : Segitiga ABC sama kaki Disjungsinya : p V q : Segitiga ABC siku-siku atau samakaki. Nilai kebenaran disjungsi “Disjungsi p V q bernilai salah hanya jika p bernilai salah dan q bernilai salah”. Tabel nilai kebenaran : P q p V q B B S S B S B S B B B S Latihan 4 1.Tuliskanlah disjungsi p v q dan tentukan nilai kebenarannya, jika diketahui : a. p : Matahari terbit dari arah timur. q : Matahari terbenam di arah barat. b. p : Tujuh adalah bilangan prima. q : Duabelas adalah bilangan ganjil. c. p : Candi Borobudur terletak di Jawa Timur. q : Bandung ibukota Jawa Barat. d. p : 4 + 5 = 8. q : 8 faktor dari 12. 2. Jika p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berikut : a. p v q . b. p v q c. p v q d. p v q 3.Tentukan nilai x agar tiap disjungsi berikut bernilai benar : a.42 = 8 atau 8x = 4 b. x2 – 9 = 0 atau semua bilangan prima ganjil. c.27 bilangan prima atau 3 log x = 5 d. x-1/2 = 4 atau bilangan rasional. 4.Salin dan lengkapilah tabel nilai kebenaran berikut : P p . p v q . p v q . p v q B B S S B S B S … … … … … … … … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 8 4. Implikasi (Pernyataan bersyarat). Implikasi dari pernyataan p dan q adalah pernyatan majemuk yang disusun dalam bentuk “Jika p maka q “ dan dilambangkan “ p q “. Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen. “ p q “.dapat dibaca “ jika p maka q “ atau “ q jika p “atau ”p syarat cukup bagi q “atau “ q syarat perlu bagi p “ Contoh : p : Ali rajin q : Ali pandai Implikasinya : “ p q “. :” Jika Ali rajin maka pandai”. Nilai Kebenaran Implikasi : “ Suatu implikasi “ p q “. bernilai salah hanya jika p benar dan q salah “. Table Nilai Kebenaran : P q p q B B S S B S B S B S B B Latihan 5 1.Tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut : a. Jika log 10 = 1, maka log 20 = 2. b. Jika 23 .22 = 25 , maka 2 log 32 = 5 c. Jika 3 bilangan rasional , maka 3 bentuk akar. d. Jika x2 + 2x + 3 = 0 diskriminannya positif , maka x2 + 2x + 3 = 0 akar-akarnya nyata. e. Jika semua burung pandai terbang, maka semua ikan bernafas dengan insang. 2.Carilah nilai x agar implikasi berikut bernilai benar. a. Jika x log 9 = 2 , maka 3 bilangan rasional. b. Jika 4 + 9 = 25 , maka x2 – 2x = 3. c. Jika 42x-1 = 8, maka manusia adalah makhluk Tuhan. 3.Untuk x bilangan real , tentukan nilai kebenaran tiap implikasi berikut : a. Jika x – 1 = 0 , maka x2 – 1 = 0. C. Jika x < 3, maka x2 < 9. b. Jika x2 – 4 = 0 , maka x – 2 = 0. d. Jika x > 5 , maka x2 > 25. 4.Salin dan lengkapilah tabel nilai kebenaran berikut : p Q p q pq pq pq qp pq qp B B S S B S B S … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 9 5. Biimplikasi. Biimplikasi dari pernyatan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dituliskan dalam bentuk “ p jika dan hanya jika q “, dan dilambangkan “ p q “. Biimplikasi “p q “., dapat pula dibaca : “ Jika p maka q dan jika q maka p “ atau “ p syarat perlu dan cukup bagi q “ atau “ q syarat perlu dan cukup bagi p “. Contoh : P : 3 bilangan bentuk akar. Q : 3 bilangan irasional. Biimplikasinya : p q : 3 bilangan bentuk akar jika dan hanya jika 3 bilangan irasional. Nilai kebenaran biimplikasi : “Biimplikasi p q bernilai benar jika dan hanya jika p dan q sama-sama bernilai benar atau p dan q sama-sama bernilai salah”. Tabel nilai kebenaran : P q p q B B S S B S B S B S S B Latihan 6 1.Tentukan nilai kebenaran dari tiap biimplikasi berikut : a. 2 3 = 8 jika dan hanya jika 2 log 8 = 3. b. 2 a – 2 b = 2a – b jika dan hanya jika 163/4 = 8. c. log 2 x log 5 = log 10 jika dan hanya jika log 2 + log 5 = log 7. d. ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0. d. Surabaya ada di Jawa Barat jika dan hanya jika Bandung ada di Jawa Timur. e. Segitiga ABC sama sisi jika dan hanya jika segitiga ABC semua sudutnya sama besar. 2.Tentukan nilai x agar biimplikasi berikut bernilai benar : a. 3 log x = 4 jika dan hanya jika bilangan irasional . b. log 1 = 0 jika dan hanya jika x-1/2 = 5. c. log x + log 5 = 2 jika dan hanya jika log 1000 = 10. d. x 2 + x + 2 = 0 akarnya real jika dan hanya jika |x – 2| = 5. e. Grafik dari y = x2 +2x+3 memotong sumbu X jika dan hanya jika x log 125 = 3. 3. Salin lengkapilah table nilai kebenaran berikut : P Q p q p q p q p q p q B B S S B S B S … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 10 6. Konvers, Invers dan Kontraposisi. Dari implikasi “ p q “ , dapat ditentukan invers, konvers dan kontraposisinya. a. Konversnya adalah : “ q p “. b. Inversnya adalah : “ p q “ c. Kontraposisinya adalah : “ q p“ Contoh : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi : “ Jika Ali rajin belajar, maka Ali naik kelas “. Jawab : Konversnya adalah : “ Jika Ali naik kelas, maka Ali rajin belajar “. Inversnya adalah : “ Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali tidak naik kelas “. Kontraposisinya adalah : “ Jika Ali tidak naik kelas, maka Ali tidak rajin belajar “ Latihan 7 Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi-implikasi berikut : 1. Jika segitiga ABC sama sisi , maka segitiga ABC sama kaki. 2. Jika saya kaya, maka saya bahagia. 3. Jika PQRS persegi panjang, maka PQ = RS. 4. Jika guru matematika tidak datang, maka semua siswa senang. 5. Jika ada siswa yang sakit, maka semua teman menjenguknya. 6. Jika harga BBM naik, maka semua barang harganya naik. 7. Jika semua siswa rajin belajar, maka semua siswa naik kelas. 8. Jika laut pasang , maka dermaga tenggelam. 9. Jika ada anak yang sakit, maka semua saudaranya sedih. 10. Jika ada jam pelajaran yang kosong, semua murid senang. 7. Pernyataan majemuk yang equivalen. Dua buah pernyataan majemuk dikatakan equivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang yang sama. Lambang equivalen : “……. …… “. Latihan 8. 1.a.Salin dan lengkapilah tabel nilai kebenaran berikut : P Q p q Pq (pq) qp pq qp pq B B S S B S B S … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … b.Dari table di atas, pernyataan–pernyataan majemuk manakah yang equivalen? 2.a. Salin dan lengkapilah table nilai kebenaran berikut : P Q p q pvq pq (pvq) (pq) pvq pq B B S S B S B S … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … b.Dari table di atas , pernyataan –pernyataan majemuk manakah yang equivalen ?

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 11 8. Ingkaran dari Disjungsi , Konjungsi , dan Implikasi . Dari jawaban soal-soal pada pernyataan majemuk yang equivalen dapat disimpulkan bahwa 1. Ingkaran dari disjungsi : (pvq) p q 2. Ingkaran dari konjungsi : (pq) p v q 3. Ingkaran dari implikasi : (pq) p q Contoh : 1. Tentukan ingkaran dari : “ Ali rajin atau pandai “. Jawab : Ingkarannya adalah : “ Ali tidak rajin dan tidak pandai”. 2.Tentukan ingkaran dari : “ Ia kaya dan bahagia”. Jawab : Ingkarannya adalah : “ Ia tidak kaya atau tidak bahagia “. 3.Tentukan ingkaran dari :“ Jika besok ulangan matematika, maka sekarang saya belajar“. Jawab : Ingkarannya adalah :” Besok ulangan matematika, dan sekarang saya tidak belajar”. Latihan 9. Tentukan ingkaran / negasi dari pernyataan majemuk berikut : 1. Budi memakai topi atau memakai dasi. 2. Candra memilih jurusan IPA atau memilih jurusan IPS. 3. Grafik y = cos x berbentuk parabola atau berbentuk garis lurus. 4. Dono tubuhnya tinggi dan besar. 5. Sangaji seorang anak yang rajin dan ulet. 6. Grafik dari y = x2 + 2x + 3 memotong sumbu X dan menghadap ke bawah. 7. Jika saya belajar matematika , maka kepala saya pusing. 8. Jika guru matematika tidak datang maka semua siswa senang. 9. Jika AB = CD, maka ABCD persegi panjang. 10. Jika ada siswa yang berulang tahun, maka semua temannya diundangnya.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 12 C. Kontradiksi , Tautologi.dan Kontingensi. 1. Kontradiksi. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah. Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontradiksi : (pq)(pq). Tabel nilai kebenarannya : P Q q pq pq (pq)(pq). B B S S B S B S S B S B B S S S S B B B S S S S Dari table di atas , nilai kebenaran dari : (pq)(pq).selalu bernilai salah , sehingga (pq)(pq) merupakan suatu kontradiksi. 2. Tautologi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar. Contoh pernyataan yang merupakan tautology : (pq)(pq). Tabel nilai kebenarannya : P q pq pq (pq)(pq) B B S S B S B S B S S S B B B S B B B B Dari table di atas , nilai kebenaran dari (pq)(pq) selalu bernilai benar, sehingga (pq)(pq) merupakan suatu tautology. 3. Kontingensi. Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran benar dan salah Contoh pernyataan yang merupakan kontingensi : (pq)(pq). Tabel nilai kebenarannya : P q pq pq (pq)(pq). B B S S B S B S B B B S B S S S B S S B Dari table di atas , nilai kebenaran dari : (pq)(pq).ada yang bernilai benar dan ada yang bernilai salah, sehingga (pq)(pq). merupakan suatu kontingensi. Latihan 10 Menggunakan table nilai kebenaran periksalah pernyataan berikut apakah merupakan kontradiksi, tautology atau suatu kontingensi ? 1. (pq)(pq) 2. (pq) (pq) 3. (pq) (pq 4. (pq) q 5. (pq) (pq)

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 13 D. Penarikan Kesimpulan Suatu hal yang penting dalam mempelajari logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan.Berikut ini akan kita pelajari beberapa cara penarikan kesimpulan. 1. Modus Ponens. Modus Ponens merupakan suatu argumentasi yang sah dengan penarikan kesimpulan didasarkan oleh premis-premis berbentuk pq dan p yang menghasilkan konklusi q. Secara umum dituliskan : Premis 1 : p q ( Benar ) Premis 2 : p ( Benar ) Konklusi q ( Benar ) rgumentasi ini dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi : {(pq) p} q . Untuk menguji keabsahan argumentasi di atas , dapat dilakukan dengan membuat table nilai kebenaran dari {(pq) p} q yang merupakan suatu tautology. P Q pq {(pq) p} {(pq) p} q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B Contoh : Premis 1 : Jika seorang siswa rajin belajar , maka ia akan naik kelas . Premis 2 : Ali seorang siswa yang rajin . Konklusi : Ali akan naik kelas. 2. Modus Tollens. Modus tollens adalah cara penarikan kesimpulan yang didasarka premis-premis pq dan q yang menghasilkan konklusi p. Secara umum dituliskan : Premis 1 : pq (Benar) Premis 2 : q (Benar) Konklusi : p (Benar) Untuk menguji keabsahan argumentasi di atas , dapat dilakukan dengan membuat table nilai kebenaran dari {(pq) q} p yang merupakan suatu tautology. P q p q pq {(pq) q {(pq) q} p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B B B B B Contoh : Premis 1 : Jika seseorang jujur , maka hidupnya bahagia. Premis 2 : Dono hidupnya tidak bahagia. Konklusi : Dono bukan orang yang jujur.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 14 3. Silogisme. Silogisme merupakan penarikan kesimpulan yang didasarkan pada premis-premis berbentuk p q dan q r yang menghasilkan konklusi p r . Secara umum dituliskan : Premis 1 : p q ( Benar ) Premis 2 : q r ( Benar ) Konklusi : p r (Benar ) Untuk menguji keabsahan argumentasi di atas , dapat dilakukan dengan membuat table nilai kebenaran dari :{( p q )( q r)} ( p r ) P Q R p q q r pr ( p q )( q r) {( p q )( q r)} ( pr ) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S B B B B B S B B B S B B B B S S B S S S B B B S B B B B B B B B B B B B Contoh pengambilan kesimpulan dengan silogisme : Premis 1 : Jika Ali sakit , maka ia pergi ke dokter. Premis 2 : Jika ia pergi ke dokter, maka ia mendapatkan obat . Konklusinya : Jika ia sakit, maka ia mendapatkan obat. Latihan 11 Tentukan sah tidaknya argumentasi berikut ! 1. Jika seseorang rajin belajar, maka ia naik kelas. Budi naik kelas. Budi rajin belajar. 2. Jika ibu mendapat arisan , maka ibu belanja ke super market. Ibu tidak belanja ke super market. Ibu tidak mendapat arisan. 3. Jika a.b = 0 , maka a = 0 atau b = 0. a 0 dan b 0 . a.b 0. 4. Jika n bilangan Asli, maka 2n bilangan Asli genab. Jika 2n bilangan Asli genab, maka (2n + 1) adalah bilangan Asli ganjil. Jika n adalah bilangan Asli, maka (2n + 1) adalah bilangan Asli ganjil. 5. Jika Ali seorang dermawan, maka ia disenangi masyarakat. Jika Ali seorang yang kaya, maka ia tidak disenangi masyarakat. Jika Ali seorang dermawan , maka ia tidak kaya.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 15 Dengan table nilai kebenaran, periksalah sah tidaknya tiap argumentasi berikut : 6. p q p q 7. p q q p 8. q p q p q 9. p q r q p r 10. p q q r p r E. Bukti dalam matematika 1. Bukti langsung dan Bukti tak langsung a. Bukti langsung. Bukti langsung merupakan pembuktian menggunakan penggabungan antara definisi, aksioma ,dalil, dan, atau sifat-sifat yang telah dipelajari sebelumnya. Contoh : Dengan bukti langsung buktikan bahwa : Untuk setiap n genap , maka n2 juga genap. Bukti : n genap , maka n = 2k untuk k bilangan asli. Dibuktikan n2 genap. n 2 = (2k)2 = 4k2 merupakan bilangan kelipatan 4 ( merupakan bilangan genap) Jadi n2 merupakan bilangan genap. (Terbukti).

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 16 b. Bukti tak langsung. Pembuktian cara tak langsung dapat digunakan 2 cara , yaitu : 1. Cara kontradiksi. Bila p suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya, maka untuk membuktikan dengan cara kontradiksi , kita menganggap p salah. Kemudian diuraikan sehingga menemukan hal yang bertentangan dengan ketentuan hukum dalam logika yang telah diakui kebenarannya. Contoh : Buktikan secara tak langsung bahwa : Jika n2 ganjil, maka n ganjil. Bukti : Misalkan : p : “Jika n2 ganjil, maka n ganjil “adalah sebuah implikasi. Maka : p : “n2 ganjil dan n tidak ganjil” atau “ n2 ganjil dan n genap”. : p = “ n2 ganjil dan n genap “ adalah suatu pernyataan yang jelas salah. Dengan demikian p :” Jika n2 ganjil , maka n ganjil “ adalah pernyataan yang benar. 2. Cara kontraposisi. Cara kontraposisi adalah cara membuktikan kebenaran dari “ p q “, dengan cara menunjukkan bahwa q p bernilai benar. Kita ingat bahwa p q q p . Contoh : Dengan cara kontraposisi buktikan bahwa : Jika n2 ganjil, maka n ganjil. Bukti : Untuk membuktikan bahwa : : Jika n2 ganjil, maka n ganjil., bernilai benar , maka kita tunjukkan bahwa kontraposisinya juga benar, yaitu : Jika n genap, maka n2 genap. Kita tahu persis bahwa :” Jika n genap, maka n2 genap “ adalah pernyataan bernilai benar , maka pernyataan : : Jika n2 ganjil, maka n ganjil. Bernilai benar.(terbukti). Latihan 12 Dengan menggunakan bukti langsung atau bukti tak langsung , buktikan bahwa: 1. Untuk setiap n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil. 2. Jika segitiga ABC siku-siku di A , maka a2 = b2 + c2 . 3. Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap, maka a.b bilangan genap. 4. Hasilkali dua bilangan genap adalah bilangan genap. 5. Hasilkali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 17 Latihan Ulangan Harian Logika Matematika Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar ! 1. Di antara kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan ? a. Kemarin adalah hari Kamis. b. Dia sekarang sedang belanja ke pasar. c. Satu tahun ada 10 bulan. d. Selamat ulang tahun , semoga panjang umur. e. 2x + 3 = 7. 2. Ingkaran dari pernyataan : “ Semua siswa SMA senang belajar matematika “ , adalah … a. Semua siswa SMA tidak senang belajar matematika. b. Ada siswa SMA senang belajar matematika. c. Ada siswa SMA tidak senang belajar matematika. d. Tidak ada siswa SMA yang senang belajar matematika. e. Tidak semua siswa SMA tidak senang belajar matematika. 3. Jika nilai kebenaran dari pernyataan p berturut-turut B , B , S , S , maka nilai kebenaran dari pernyataan p q adalah … . a. SBSS b. BBBS c. BSBB d. BSSS e. SSSB 4. Jika nilai kebenaran dari pernyataan p berturut-turut B , B , S , S , maka nilai kebenaran dari pernyataan p q adalah … a. BSBB b. BBSB c. SBBB d. SSBS e. SBSS 5. Jika nilai kebenaran dari pernyataan p berturut-turut B , B , S , S , maka nilai kebenaran dari pernyataan p q adalah … . a. BBSB b. SSBS c. SBSS d. BSBB e. SBBB 6. Ingkaran dari pernyataan: “ Hari ini mendung dan udara terasa panas”, adalah… . a. Hari ini tidak mendung dan udara tidak terasa panas. b. Hari ini mendung dan udara tidak terasa panas. c. Hari ini tidak mendung dan udara terasa panas. d. Hari ini tidak mendung atau udara tidak terasa panas. e. Hari ini tidak mendung atau udara terasa panas. 7. Ingkaran dari :” Jika suatu negara kaya sumber daya alam , maka rakyatnya makmur”, adalah… a. Jika suatu negara tidak kaya sumber daya alam, maka rakyatnya tidak makmur. b. Jika rakyat suatu negara tidak makmur, negara itu tidak kaya sumber daya alam. c. Jika rakyat suatu negara makmur , maka negara itu tidak kaya sumber daya alam. d. Suatu negara kaya sumber daya alam , tetapi rakyatnya tidak makmur. e. Suatu negara tidak kaya sumber daya alam dan rakyatnya tidak makmur. 8. Konvers dari pernyataan : “ Jika Ali kaya, maka Ali bahagia”, adalah … a. Jika Ali tidak kaya, maka Ali tidak bahagia. b. Jika Ali bahagia , maka Ali kaya. c. Jika Ali tidak bahagia, maka Ali tidak kaya, d. Ali kaya, tetapi Ali tidak bahagia. e. Ali tidak kaya , tetapi Ali bahagia.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 18 9. Invers dari pernyataan : “ Jika hari mendung, maka hari akan hujan”, adalah … . a. Jika hari akan hujan, maka hari mendung. b. Jika hari tidak mendung , maka hari tidak akan hujan. c. Jika hari tidak akan hujan , maka hari tidak mendung. d. Hari mendung, tetapi hari tidak akan hujan. e. Hari tidak mendung, tetapi hari akan hujan. 10. Ada kabar bahwa: “ Semua penduduk yang tanahnya terkena perluasan proyek memperoleh ganti rugi “. Ternyata berita itu tidak benar, maka yang benar adalah … a. Semua penduduk yang tanahnya tidak terkena perluasan proyek memperoleh ganti rugi. b. Semua penduduk yang tanahnya terkena perluasan proyek tidak memperoleh ganti rugi. c. Ada penduduk yang tanahnya terkena perluasan proyek memperoleh ganti rugi. d. Ada penduduk yang tanahnya terkena perluasan proyek tidak memperoleh ganti rugi. e. Tiada penduduk yang tanahnya terkena perluasan proyek memperoleh ganti rugi. 11. Pernyataan :” Jika Rina lulus ujian maka Rina akan menikah”, senilai dengan … a. Jika Rina tidak lulus ujian maka Rina tidak akan menikah. b. Jika Rina akan menikah maka Rina lulus ujian. c. Jika Rina tidak akan menikah maka Rina tidak lulus ujian. d. Rina lulus ujian dan Rina menikah. e. Rina lulus ujian tetapi Rina tidak menikah. 12. Ingkaran dari pernyataan : “ Ada bilangan bulat x sehingga x – 10 < 3 “ adalah … a. Setiap bilangan bulat x sehingga x – 10 3. b. Tidak semua bilangan bulat x sehingga x – 10 < 3. c. Ada bilangan bulat x sehingga x – 10 > 3. d. Tidak satupun bilangan bulat x sehingga x – 10 3. e. Untuk semua bilangan bulat x sehingga x – 10 > 3. 13. Dari pernyataan berikut ini yang bernilai benar adalah … a. ( x R) . x + 1 > 0 . b. ( x R) . x - 1 < 0 . c. ( x R) . x + 1 = 0 . d. . (x R) . x 2 < 0 . e. ( x R) . x 2 - 1 = 0 . 14. Pernyataan berikut ini salah , kecuali … a. ( x R) . (x – 1)2 0 . b. ( x R) . (x + 1)2 0 . c. ( x R) . (x + 1)2 0 . d. . (x R) . (x+1)2 0 . e. ( x R) . (x - 1)2 0. 15. Pernyataan : Jika suatu bilangan habis dibagi 4 maka bilangan itu habis dibagi 2. Pernyataan : 12 habis dibagi 4. Kesimpulan : 12 habis dibagi 2. Jenis penarikan kesimpulan di atas dinamakan …. a. Modus Ponens b. Modus Tollens c. Silogisme d. Kontraposisi e. Kontradiksi 16. Negasi dari pernyataan :” Semua pemain basket berbadan tinggi” , adalah … a. Tidak ada pemain basket yang berbadan tinggi. b. Beberapa pemain basket berbadan tinggi. c. Semua pemain basket berbadan pendek. d. Beberapa pemain basket berbadan pendek. b. Tidak ada pemain basket yang berbadan pendek.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 19 17. Ingkaran dari pernyataan :” Jika Ali mendapat nilai 100, maka ia akan mendapat hadiah” adalah … a. Jika Ali tidak mendapat nilai 100, maka ia tidak mendapat hadiah. b. Jika Ali tidak mendapat hadiah, maka ia tidak mendapat nilai 100. c. Jika Ali mendapat hadiah, maka ia dapat nilai 100. d. Ali mendapat hadiah, tetapi ia tidak mendapat nilai 100. c. Ali mendapat nilai 100, tetapi ia tidak mendapat hadiah. 18. Invers dari pernyataan : Jika matahari terbit ,maka semua ayam jantan berkokok “, adalah … a. Jika beberapa ayam jantan berkokok maka matahari tidak terbit. b. Jika beberapa ayam jantan tidak berkokok maka matahari ridak terbit. c. Jika beberapa ayam jantan berkokok maka matahari terbit. d. Jika matahari tidak terbit maka beberapa ayam jantan tidak berkokok. e. Jika matahari terbit maka ayam jantan tidak berkokok. 19. Konvers dari pernyataan :” Jika semua siswa naik kelas, maka sekolah tidak menerima siswa pindahan “, adalah … . a. Jika ada siswa yang tidak naik kelas, maka sekolah menerima siswa pindahan . b. Jika sekolah menerima siswa pindahan , maka ada siswa yang tidak naik kelas. c. Jika sekolah tidak menerima siswa pindahan , maka semua siswa naik kelas. d. Jika sekolah menerima siswa pindahan , maka semua siswa naik kelas. e. Semua siswa naik kelas , tetapi sekolah tetap menerima siswa pindahan . 20. Kontraposisi dari pernyataan :” Jika ulangan harian hari ini ditunda, maka semua siswa senang “ adalah … a. Jika ulangan harian hari ini tidak ditunda maka semua siswa tidak senang. b. Jika semua siswa tidak senang maka ulangan harian hari ini tidak ditunda. c. Jika ada siswa yang tidak senang maka ulangan harian hari ini tidak ditunda. d. Jika semua siswa senang maka ulangan harian hari ini ditunda. e. Jika tidak semua siswa senang , maka ulangan harian hari ini ditunda. 21. Pernyataan yang equivalen dengan pernyataan : Jika A merokok maka A sakit jantung atau paru-paru” adalah … . a. Jika A sakit jantung atau paru-paru maka A merokok. b. Jika A tidak merokok maka A tidak sakit jantung atau tidak sakit paru-paru. c. Jika A tidak sakit jantung dan tidak sakit paru-paru , maka A tidak merokok. d. Jika A sakit jantung dan paru-paru , maka A merokok. e. Jika A tidak sakit jantung atau tidak sakit paru-paru, maka A tidak merokok. 22. Diketahui tiga buah pernyataan. (1). Jika Andi pergi ke pesta pada malam minggu maka ia begadang. (2). Jika Andi begadang maka ia sakit. (3). Jika Andi sakit maka pada hari senin ia tidak masuk sekolah. Kesimpulan yang dapat ditarik dari ketiga pernyataan di atas adalah … a. Jika Andi pergi ke pesta pada malam minggu maka pada hari senin ia tidak masuk sekolah. b. Jika Andi pergi ke pesta pada malam minggu maka pada hari senin ia masuk sekolah. c. Jika Andi tidak pergi ke pesta pada malam minggu maka pada hari senin ia tidak masuk sekolah. d. Jika Andi tidak pergi ke pesta pada malam minggu maka pada hari senin ia pergi ke sekolah. e. Jika Andi pergi ke pesta pada malam minggu maka ia sakit.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 20 23. Penarika kesimpulan di bawah ini yang merupakan penarikan kesimpulan yang sah adalah … (1) p q (2). q p (3). p q p p r q q q p r a. hanya (1) b. hanya (2) c. hanya (1) dan (2) d. hanya (2) dan (3) e. (1) , (2) dan (3) 24. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi : p q q r ……… adalah …. a. p r b. p r c. p r d. p r e. p r 25. Jika gempa bumi terjadi maka bangunan rumah banyak yang hancur. Hari ini ada gempa bumi . Kesimpulan : Banguna rumah banyak yang hancur . Penarikan kesimpulan di atas valid berdasarkan …. . a. modus tollens b. modus ponens c. silogisme d. equivalensi e. implikasi