Polinomial

1 SUKU BANYAK (POLINIMIAL) Kompetensi Dasar 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian. 2. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah. A. PENDAHULUAN Ketika di tingkat SMP Anda telah mempelajari materi Bentuk Aljabar yang didalamnya membahas pengertian suku, faktor, koefisien, dan konstanta. Selain itu juga dipelajari suku tunggal, suku dua, dan suku banyak dalam peubah yang sama atau beda, menyelesaikan operasi-operasi pada suku banyak, menyelesaikan pembagian suku sejenis, dan memfaktorkan suku-suku bentuk aljabar. Materi diatas akan dikaji ulang dengan lebih mendalam, kemudian dikembangkan pada pembagian suku banyak, teorema sisa, teorema faktor, dan akar-akar persamaan suku banyak. B. PENGERTIAN SUKU BANYAK (POLINOM) 1. Pengertian Suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum : Keterangan: n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. Derajat suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu. an disebut koefisien dari xn , an-1 disebut koefisien dari xn-1 , ... , dan a1 disebut koefisien dari x. suku yang tidak memuat peubah x yaitu a0 disebut suku tetap / konstan. Peubah suku banyak dapat ditulis dengan peubah selain x , seperti a , b , c ,d , e,, ... , x , y , atau z. Contoh: 1. 5x3 – 2x2 + 10x + 4 Suku banyak dengan peubah x , berderajat 3. Koefisien dari x3 adalah 5, koefisien dari x2 adalah -2, koefisien dari x adalah 10, suku tetapnya 4. 2. 2y4 + 4y3 – 3y2 + y – 2. Suku banyak dengan peubah y , berderajat 4 Koefisien dari y4 adalah 2 Koefisien dari y adalah 1 Koefisien dari y3 adalah 4 Suku tetapnya -2 Koefisien dari y2 adalah -3 Latihan Uji Kompetensi 1 1. Tentukan peubah, derajat, dan suku tetap dari suku banyak berikut! a. x 4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 f. 1 – p + 10p2 – 3p4 + 6p7 b. a 3 – a g. (2x+7)2 c. k 2 + 3 h. (3x+1)(6-x 2 ) d. d. – 4 + 3m2 – 4m3 + 5m4 – m 5 i. (x+3)(3x-1)(2x -1) e. 2w6 – 3w5 + w4 – 5w + 6 j. (5x+2)3 . anx n + an-1x n-1 + an-2x n-2 + ... + a2x 2 + a1x + a0 dengan a0 , a1 , ... . an-1 , an bilangan real dan an ≠ 0

2 2. Tentukanlah koefisiennya : a. x 2 dalam (x+6)(7-2x). d. x dalam (x-2)(x2 -x -4) b. x dalam (x+2)2 .(3x-5) e. x 3 dalam (x2 -x)(x2 +2x-6) c. x 3 dalam (3x2 - 1)(x2 +3x-7). f. x2 dalam (7-x 2 )(x3 +x2 -x+3) 3. Diketahui F(x) dan G(x) adalah suku banyak dalam x masing-masing berderajat m dan n. Jika m= 4 dan n= 7, tentukanlah derajat dari suku banyak berikut : a. F(x) + G(x) c. F(x).G(X) e. (F(x))2 .G(x) b. F(x) – G(x) d. (F(x))2 f. ( F(x) + G(x))3 . ----------------------------------- 2. Nilai Suku Banyak Suku banyak dalam x dapat dinyatakan sebagai fungsi f(x) seperti berikut ini : Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k). Nilai dari f(k) dapat dicari dengan dua cara, yaitu: a. Cara subtitusi. b. Cara Skematik / Horner / sintetik. a. Cara subtitusi. Contoh: Diketahui f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. Tentukan nilai f(x) untuk x = –1, x = 2 , x = 3. Jawab: Nilai suku banyak f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. untuk: x = –1 adalah f(–1) = (–1)4 – 2(–1)3 + 5(–1)2 – 4(–1) – 1 = 11 x = 2 adalah f(2) = (1)4 – 2(1) 3 + 5(1) 2 – 4(1) – 1 = 1–2+5–4–1 = –1 x= 3 adalah f(3) = (3)4 – 2(3)3 + 5(3)2 – 4(3) – 1 = 81–54+45–12–1 = 59 b. Cara Skematik Misal terdapat suku banyak f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Untuk x = k , diperoleh f(k) = ak4 + bk3 + ck2 + dk + e <=> f(k) = [ak3 + bk2 + ck + d]k + e <=> f(k) = [{ak2 + bk + c}k + d]k + e <=> f(k) = [{(ak + b)k +c}k + d]k + e Dari persamaan yang terakhir, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan secara bertahap sesuai langkah berikut: Langkah 1 : kalikan a dengan k, hasilnya ditambah b. Langkah 2 : kalikan hasil dari langkah 1 dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan c. Langkah 3 : kalikan hasil dari langkah 2 dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan d. Langkah 4 : kalikan hasil dari langkah 3 dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan e. Hasil terakhir dari langkah-langkah tersebut adalah : f(x) = ak 4 + bk 3 + ck 2 + dk + e. Nilai suku banyak yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut cara Skematik. Untuk lebih jelasnya perhatikan bagan berikut: f(x) = anx n + an-1x n-1 + an-2x n-2 + ... + a2x 2 + a1x + a0

3 k a b c d e ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck ak4 + bk3 + ck2 + dk + a ak+b ak2 +bk+c ak3 +bk2 +ck+d ak 4 + bk3 + ck2 + dk+e Tanda “ “ artinya dikalikan dengan k. Tanda panah ini hanya untuk memudahkan penjelasan saja. Apabila sudah mahir menggunakan cara ini, maka tidak perlu lagi menuliskan tanda panah. Contoh: 1. Hitunglah nilai suku banyak 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2 Jawab: 2 5 4 –1 –3 10 28 54 + 5 14 27 51 Jadi nilai dari 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2 adalah 51 2. Hitunglah nilai suku banyak x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1 Jawab: x 5 – 2x2 + 3x – 5 diubah dulu menjadi x5 + 0x4 + 0x3 – 2x2 + 3x – 5 –1 1 0 0 –2 3 –5 –1 1 –1 3 –6 + 1 –1 1 –3 6 –11 Jadi nilai dari x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1 adalah –11. Latihan Uji Kompetensi 2 1. Dengan cara skematik tentukan nilai suku banyak berikut kemudian cocokkan hasilnya menggunakan cara substitusi : a. f(1) jika f(x) = 3x4 – x 3 – 2x2 – 10x + 6 b. f(2) jika f(x) = 5x3 +2x2 – 3x + 5 c. f(-2) jika f(x) = 4x3 +x2 +6x + 1 d. f(-5) jika f(x) = x4 +4x2 +3x + 8 e. f(3) jika f(x) = x4 +2x - 7 f. f(4) jika f(x) = x3 - 1 2. Hitunglah nilai setiap suku banyak berikut untuk setiap nilai x yang diketahui : a. f(x) = x3 – x 2 – x + 4 untuk x= -1 b. f(x) = 2x3 +x2 – 4x + 6 untuk x= 2 c. f(x) = 5x3 +2x2 +x – 2 untuk x= -4 d. f(x) = 2x 4 +3x 2 - x – 3 untuk x= 0, 5 e. f(x) = 3x 4 +2x2 – x untuk x= 0,1 f. f(x) = 3x 3 – 4x+ 3 untuk x= - 0,3 3. Diketahui suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + kx – 6. Hitunglah nilai k , jika f(3) = 39. -----------------------------------------

4 C. OPERASI PADA SUKU BANYAK 1. Penjumlahan dan Pengurangan Agar dua suku banyak atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku-suku tersebut harus sejenis atau senama, artinya peubahnya sama dan pangkat peubahnya sama. Misalkan: 5x6 dengan 3x6 , 4 p 2 1 dengan 4 7p Contoh: Tentukan hasil penjumlahan atau pengurangan suku banyak berikut: 1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7) 2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5) 3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t) Jawab: 1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7) = 3x4 + (3x3 + 2x3 ) + (─10x2 + 6x2 ) + (─2x ─ 4x) + (3 + 7) = 3x4 + 5x3 ─ 4x2 ─ 6x + 10 2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5) = 4y3 + ( 2y2 + 2y2 ) + ( ─ 5y + 4y ) + (4─ 5) = 4y3 + 4y2 ─ y ─ 1 3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t) = t 3 ─ 2t + 3 ─ t2 ─ 4t = t 3 ─ t2 + (─ 2t─ 4t) + 3 = t3 ─ t2 ─ 6t + 3 2. Perkalian Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih dapat digunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Contoh: Hitunglah: 1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2) 2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3) Jawab: 1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2) = x(x2 + 2x ─ 2) + 4(x2 + 2x ─ 2) = x 3 + 2x2 ─ 2x + 4x2 + 8x ─ 8 = x 3 + 6x2 + 6x ─ 8 2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3) = t3 (2t 2 + 3) + t2 (2t2 + 3) ─ t(2t2 + 3) = 2t5 + 3t3 + 2t4 +3t2 ─ 2t3 ─ 3t = 2t5 + 2t4 + t3 +3t2 ─ 3t Kesamaan Suku Banyak Misalkan diketahui suku banyak f(x) dan g(x) dengan derajat n : f(x) = anx n + an-1x n-1 + ... + a1x + a0 g(x) = bnx n + bn-1x n-1 + ... + b1x + b0 f(x) = g(x) jika dan hanya jika dipenuhi : an = bn , an-1 = bn-1 , an-2 = bn-2 , ... , a1 = b1 , a0 = b0

5 Contoh: Diketahui fungsi f(x)= x2 + 4x ─ 1 dan g(x)= (x + 1) (x + 3) ─ 2k Hitunglah nilai konstanta k , jika f(x) = g(x) Jawab : f(x) = g(x) <=> x 2 + 4x ─ 1 ≡ (x + 1) (x + 3) ─ 2k <=> x2 + 4x ─ 1 ≡ x2 + 4x + (3 ─ 2k) Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak , diperoleh: ─1 = 3 ─ 2k <=> 2k = 3 + 1 <=> 2k = 4 <=> k = 2 Jadi nilai k pada kesamaan di atas adalah 2. Latihan Uji Kompetensi 3 1. Diketahui suku banyak f(x) = x3 ─ x 2 + 1 dan g(x) = x2 ─ 4. Tentukan hasil operasi dan derajat dari: a. f(x) + g(x) b. f(x) ─ g(x) c. f(x) • g(x) d. ( f(x) + g(x) ) ─ 2f(x) e. ( f(x) + g(x) ) • ( f(x) ─ g(x) ) 2. Ulangi soal nomor 1 untuk suku banyak f(x) = x4 ─ 2x2 + 6 dan g(x) = x3 ─ 4x + 1. 3. Hitunglah nilai konstanta k , jika diketahui: a. (x + 1) (x + 3) ─ 2k ≡ x2 + 4x ─ 1. b. (x2 + 2) (x2 + 2x ─ 1) + k ≡ x4 + 2x3 + x2 + 4x ─ 3. c. x 3 ─ 5x2 + x + 6 ≡ (x2 + 1) (x ─ 5) + 3k 4. Hitunglah nilai konstanta a dan b , jika diketahui : a. 2 9 x 3x 4 3 x b 3 x a b. x x 6 6x x 2 b x 3 a 2 ----------------------------- D. PEMBAGIAN SUKU BANYAK 1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa Pembagi Perhatikan pembagian berikut ini! 50 + 6 = 56 4 225 200 ─ 25 24 ─ 1 Dari pembagian tersebut terlihat bahwa 225 dibagi 4 hasilnya adalah 56 dan sisa pembagian 1. Hal ini dapat ditulis: 225 = (4 x 56) + 1 Hubungan seperti ini berlaku juga pada suku banyak. Suku banyak yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

6 Contoh: 4x2 + 2x ─ 4 1. x + 1 4x3 + 6x2 ─ 2x + 5 4x3 + 4x2 ─ 2x2 ─ 2x 2x2 + 2x ─ ─ 4x + 5 ─ 4x ─ 4 ─ 9 Dari pembagian bersusun tersebut terlihat bahwa (4x3 + 6x2 ─ 2x + 5) : (x + 1) hasil baginya adalah 4x2 + 2x ─ 4 dan sisa pembagian adalah 9. Hal ini dapat ditulis: 4x3 + 6x2 ─ 2x + 5 = (x + 1) (4x2 + 2x ─ 4) + 9 2x2 + x + 7 2. x ─ 3 2x3 ─ 5x2 + 4x + 3 2x3 ─ 6x2 ─ x 2 + 4x x 2 ─ 3x . ─ 7x + 3 7x ─21 ─ 24 Dari pembagian bersusun tersebut terlihat bahwa: hasil baginya adalah 2x2 + x + 7 sisa pembagian adalah 24 Hal ini dapat ditulis: 2x3 ─ 5x2 + 4x + 3 = (x ─ 3) (2x2 + x + 7 ) + 24 Dari beberapa contoh di atas , misal f(x) merupakan suku banyak yang dibagi , P(x) merupakan pembagi , H(x) merupakan hasil bagi dan S merupakan sisa, maka hubungan tersebut dapat ditulis: 2. Menentukan Derajat Suku Banyak Hasil Bagi dan Sisa Pembagi Sebelumnya perhatikan contoh pembagian bersusun berikut: Contoh : 1. (3x2 ─ 5x + 1) : (x-2) 3x + 1 Derajat yang dibagi = 2 x ─ 2 3x2 ─ 5x + 1 Derajat pembagi = 1 3x2 ─ 6x ─ Derajat hasil bagi = 1 x + 1 Derajat sisa pembagian = 0 x ─ 2 ─ 3 f(x) = P(x) . H(x) + S

7 2. (6x3 ─ x 2 + 4x ─ 5) : (2x+1) 3x2 ─ 2x + 3 Derajat yang dibagi = 3 2x +1 6x3 ─ x 2 + 4x ─ 5 Derajat pembagi = 1 6x3 + 3x2 ─ Derajat hasil bagi = 2 ─ 4x2 + 4x Derajat sisa pembagian = 0 ─ 4x2 ─ 2x ─ 6x ─ 5 6x + 3 ─ ─ 8 3. (3x3 + 4x2 ─ 5x + 6) : (x2 +2x + 5) 3x ─ 2 x 2 +2x + 5 3x3 + 4x2 ─ 5x + 6 Derajat yang dibagi = 3 3x3 + 6x2 + 15x ─ Derajat pembagi = 2 ─ 2x2 ─ 20x + 6 Derajat hasil bagi = 1 ─ 2x2 ─ 4x ─ 10 ─ Derajat sisa pembagian = 1 ─ 16x + 16 4. (x4 – 2x 3 + 3x 2 – 6x) : (x2 – 2x) x 2 +3 x 2 – 2x x 4 – 2x3 + 3x 2 – 6x x 4 – 2x3 – 3x2 – 6x 3x2 – 6x. – 0 Derajat yang dibagi = 4 Derajat hasil bagi = 2 Derajat pembagi = 2 Derajat sisa pembagian = 0 Khusus bentuk seperti nomor 4 pembagi dikenal dengan istilah faktor yang akan dibahas lebih lanjut dalam materi berikutnya. Dari beberapa contoh tersebut maka dapat dikatakan secara umum : Jika suku banyak berderajat n dibagi oleh pembagi berderajat m , berlaku: 1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak – derajat pembagi. = n – m 2. derajat sisa setinggi-tingginya sama dengan m – 1 yaitu : a. untuk pembagi yang merupakan faktor, derajat sisa adalah 0. b. untuk pembagai yang bukan merupakan faktor, derajat sisa adalah m-1. Contoh : Misalkan diketahui suku banyak yang dibagi berderajat 6. Jika pembagi berderajat 1 , hasil bagi berderajat 5 , sisanya berderajat 0. Jika pembagi berderajat 2 , hasil bagi berderajat 4 , sisanya berderajat 1. Jika pembagi berderajat 3 , hasil bagi berderajat 3 , sisanya berderajat 2. dan seterusnya.

8 Latihan Uji Kompetensi 4 1. Dengan cara pembagian bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut! a. (x2 + 5x – 4) : (x + 1) b. (2x2 – 3x + 5) : ( x – 3) c. (x3 – 2x2 + 4x + 6) : (x + 4) d. (3x3 – 7x2 +6x + 6) : (x –5) e. (x4 + x3 + x2 + x+ 3) : (x +1) f. (x3 + 8x – 12) : (2x –1) g. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2) h. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : ( 2x +1) 2. Tentukan derajat hasil bagi dan derajat sisa pembagian dari pembagian suku banyak berikut! a. (x5 + 3x4 + 5x3 – 6x2 – x + 7) : (x2 + 2x –1) b. (x2 – 8x6 + 5x2 + 6x – 4) : (x3 + 6x2 – 5x + 1) c. (x8 + 9x6 + 3x5 – 6x3 + 2x2 – 10) : (x3 -5x2 + 4x – 2) 3. Tentukan sisa pada pembagian (2x2 – 6x + 8) : ( x – 3) kemudian bandingkan sisanya dengan f(3) bila f(x)= 2x2 – 6x + 8. 4. Tentukan sisa pada pembagian (2x4 + x2 + 6x -2) : ( x +2) kemudian bandingkan sisanya dengan f(–2) bila f(x)= 2x4 + x2 + 6x -2. ------------------------------------ 3. Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian a. Pembagian dengan (x – k) Selain dengan pembagian bersusun, untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dapat juga dilakukan dengan merode skematik atau metode Horner, seperti yang telah dipelajari di depan. Cara ini lebih mudah dan cepat. Untuk mengetahui cara Horner bekerja, perhatikan contoh berikut. Contoh : Dengan cara bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari: (2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6) : (x – 2) Jawab: 2x3 – 3x2 – x + 1 hasil bagi x – 2 2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6 2x4 – 4x3 – – 3x3 + 5x2 – 3x3 + 6x2 – – x 2 + 3x – x 2 + 2x – x – 6 x – 2 – – 4 sisa

9 Untuk selanjutnya agar lebih singkat dalam penulisan, kita tuliskan koefisienkoefisiennya saja. 2 –3 –1 1 hasil bagi 1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi 2 –4 – –3 5 –3 6 – –1 3 hasil antara –1 2 – 1 –6 1 –2 – –4 sisa Perhatikan bahwa koefisien-koefisien yang ditulis miring merupakan duplikat dari koefisien-koefisien suku hasil bagi atau suku yang dibagi. Untuk lebih singkat lagi, kita hilangkan koefisien-koefisien yang merupakan duplikat tersebut dan diperoleh : 2 –3 –1 1 hasil bagi 1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi –4 6 2 –2 – hasil antara –4 Operasi pengurangan dapat diubah dengan operasi penjumlahan, dengan mengalikan koefisien hasil antara dengan –1. Selanjutnya koefisien hasil bagi dipindah ke baris paling bawah dan diubah lambang pembagiannya. 2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi 4 –6 –2 2 2 –3 –1 1 –4 koefisien hasil bagi sisa Tanda “ “ artinya jumlahkan . Tanda “ “artinya kalikan dengan k ( dalam contoh diatas k= 2). Cara ini sama dengan cara Horner yang telah dipelajari didepan. Jadi Hasil Bagi = 2x3 - 3x2 - x + 1 dan sisa = - 4. Contoh: Dengan cara Horner tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak berikut! 1. (2x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x – 3) 2. (x4 + 3x3 + 4x2 – x + 1) : (x + 1) 3. (4x3 – 2x + 1) : (x + 2) pembagi

10 Jawab: 1. 3 2 –4 5 –6 6 6 33 + 2 2 11 27 Jadi hasil baginya = 2x2 + 2x + 11 Sisa pembagian = 27 2. –1 1 3 4 –1 1 –1 –2 –2 3 + 1 2 2 –3 4 Jadi hasil baginya = x 3 + 2x2 + 2x –3 Sisa pembagian = 4 3. – 2 4 0 –2 1 –8 16 -28 + 4 -8 14 -27 Jadi hasil baginya = 4x2 -8x +14 Sisa pembagian = - 27 b. Pembagian dengan (ax + b) Misal k adalah bilangan rasional dengan a b k , sehingga bentuk (x – k) dapat dinyatakan menjadi: ( ( ) ( ) a b x a b x k x Jika f(x) dibagi ) a b (x , hasil baginya H(x) dan sisanya S maka: H x S a b f (x) (x ). ( ) <=> (ax b).H(x) S a 1 f(x) <=> S a H(x) f(x) (ax b). Persamaan terakhir menunjukkan bahwa suku banyak f(x) dibagi (ax + b) memberikan hasil bagi a H(x) dan sisa S. Koefisien dari H(x) dan sisa S ditentukan dengan cara pembagian Horner, dengan mengganti a b k . Contoh: 1. (2x3 + 21x2 – 6x – 5) : ( 2x + 1) 2. (3x3 – 16x2 +11x – 2) : (3x – 1) Jawab: 1. Bentuk ( 2x + 1) dapat ditulis sebagai 2 1 2 x

11 2 1 2 21 -6 -5 -1 -10 8 + 2 20 -16 3 Jadi hasil baginya = 10 8 2 2 20 16 2 2 x x x x Sisa pembagiannya = 3 2. Bentuk (3x – 1) dapat ditulis sebagai 3 1 3 x 3 1 3 -16 11 -2 1 -5 2 + 3 -15 6 0 Jadi hasil baginya = x 5x 2 3 3x 15x 6 2 2 Sisa pembagiannya = 0 c. Pembagian Suku Banyak Dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0 1). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan. Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan dapat menggunakan teorema berikut : Teorema : Jika suku banyak f(x) dibagi oleh P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1, dan H1(x) dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2, maka f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 . Bukti : f(x) dibagi P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1 berarti : f(x)= P1.H1(x) + S1 ..........................(1) H1(x) dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2 berarti : H1(x)= P2.H2(x) + S2 ..........................(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : f(x)= P1.H1(x) + S1 = P1.( P2.H2(x) + S2) + S1 = P1.P2. H2(x) + P1S2 + S1 Jadi, f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 (Terbukti). Contoh : Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 – 6x2 + x – 4) dengan x2 – x– 2. Jawab : x 2 – x– 2 = (x–2).(x+1) ==> Misal P1= x-2 dan P2= x+1 2 3 –6 1 –4 6 0 2 + –1 3 0 1 –2 = S1 -3 3 3 -3 4 = S2 Hasil Bagi = H2(x) = 3x – 3 Sisa = P1.S2 + S1 = (x-2). 4 + (-2) = 4x- 10.

12 2). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan. Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0 yang tidak dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan pembagian bersusun seperti yang telah dipelajari sebelumnya. Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut! 1. (x3 – 2x2 + 8x + 2) : (x2 + x + 1) 2. (2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4) : (x2 – x +1) Jawab: 1. x – 3 x 2 + x + 2 x 3 – 2x2 + 8x + 2 x 3 + x2 + 2x - – 3x 2 + 6x + 2 – 3x 2 – 3x – 6 - 9x + 8 Jadi hasil baginya = x – 3 Sisa pembagiannya = 9x + 8 2. 2x2 – x + 2 x 2 – x +1 2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4 2x4 – 2x3 + 2x 2 - – x 3 + 3x 2 – 2x + 4 – x 3 + x2 x - 2x 2 – x + 4 2x 2 – 2x +2 - x + 6 Jadi hasil baginya = 2x2 – x + 82 Sisa pembagiannya = x+6 Latihan Uji Kompetensi 5 1. Dengan cara pembagian Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut! a. (x2 – 6x + 7) : (x – 2) b. (2x3 – x 2 + 3x +12) : (x - 4) c. (3x3 -4x2 + 16) : (x + 2) d. (3x5 + x4 – 4x2 + 7) : (x - 2) e. (x5 -5x4 +15x2 ) : (x +3) f. (6x3 – x 2 + 2x +2) : (x + 1/3 ) g. (x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4) : (2x + 1) h. (5x3 + 8x – 12) : (2x – 1) i. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2) j. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : (2x + 1)

13 2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut! a. (x3 + x2 – 8x + 3) : (x2 – x – 2) b. (x4 + x3 – 2x2 + x + 5) : (x2 + x – 6) c. (2x5 + x4 – 2x2 + x + 1) : (x2 + x + 6) d. (3x4 + 8x2 + 6x + 10) : (x2 – 3x +2) e. (6x4 + 3x3 + 3x2 - x + 5) : (x2 – x + 2) f. (2x4 -7x3 + 10x2 - 4x - 2) : (x2 – x – 3) g. (5x4 + 2x2 - 3x +1) : (x2 + x 1) h. (6x4 + 4x +1) : (2x2 + x +1) 3. Diketahui f(x) = x4 – 4x3 + 7x2 + Ax + B. Jika f(x) dibagi x2 – 2x – 3 bersisa 8x + 10. Tentukan A+B ! --------------------------------------- E. TEOREMA SISA 1. Pembagi Berbentuk (x – k) Teorema 1: Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (x – k) sisanya S , maka S = f(k). Bukti: Dari persamaan f(x) = (x – k) H(x) + S , untuk x =k diperoleh: f(k) = (k – k) H(x) + S = 0 . H(x) + S = S Jadi terbukti bahwa S = f(k). Contoh: Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut: a. x 2 – 6x + 7 dibagi (x – 2) b. 3x3 – 4x2 + 16 dibagi (x + 3) Jawab: a. Sisa = f(2) = 22 – 6.2 + 7 = ─1. b. Sisa = f(─3) = 3(-3)3 – 4(-3)2 + 16 = -81 -36 +16 = -101. 2. Pembagi Berbentuk (ax + b) Teorema 2: Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (ax + b) sisanya S , maka a b S f . Bukti: Dari persamaan S a H x f x ax b ( ) , untuk a b x diperoleh S a H x b a b a a b f S S a H x 0. Jadi terbukti bahwa a b S f

14 Contoh: Tentukan sisa pembagian dari: 1. (6x3 – 2x2 – x + 7) : (3x + 2) 2. (4x3 + 2x2 + x + 3) : (2x – 1) Jawab: 1. Sisa 7 3 2 3 2 2 3 2 6 3 2 f 3 2 5 9 63 9 6 9 8 9 16 7 3 2 9 4 2 27 8 6 2. Sisa 3 2 1 2 1 2 2 1 ) 4 2 1 f( 3 2 2 9 3 2 1 4 2 8 4 3. Pembagi Berbentuk (x – a) (x – b) Teorema 3: Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (x – a)(x – b) sisanya S , maka S = Px + Q dengan f(a) = Pa + Q dan f(b) = Pb + Q. Contoh: Tentukan sisanya jika 3x3 + 8x2 – x –11 dibagi x2 + 2x – 3 Jawab: Misal sisanya Px + Q 3x 3 + 8x2 – x –11 = (x2 + 2x –3) H(x) + (Px + Q) 3x3 + 8x2 – x –11 = (x – 1) (x + 3) H(x) + (Px + Q) Untuk x = 1 , maka 3(1)3 + 8(1)2 – 1 – 11 = (1 – 1)(1 + 3) H(1) + (P.1 + Q) <=> 3 + 8 – 12 = P + Q <=> – 1 = P + Q atau P + Q = – 1 ......................................( 1 ) Untuk x = –3, maka : 3(–3)3 + 8(–3)2 –(–3) –11 = (–3 –1)( –3 + 3) H(–3) + (P.( –3) + Q) <=> – 81 + 72 – 8 = – 3P + Q <=> – 17 = – 3P + Q atau –3P + Q = – 17 ................................... ( 2 ) Dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh: P + Q = – 1 –3P + Q = – 17 – 4P = 16 <=> P = 4 Sehingga 4 + Q = – 1 <=> Q = – 5 Jadi 3x3 + 8x2 – x –11 dibagi x2 + 2x – 3 sisanya : 4x – 5.

15 Latihan Uji Kompetensi 6 1. Dengan teorema sisa, tentukan sisa pembagian berikut ini! a. (3x5 + 5x – 6) : (x – 1) b. (4x3 + 5x2 – 8) : (x + 2) c. (4x7 – 9x2 + 5) : (x – 1) d. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1) 2. Tentukan sisa pembagian berikut dengan teorema sisa! a. (6x3 + 8x + 10) : (2x + 1) b. (6x3 + 4x – 10) : (3x 1) c. (2x3 + 7x2 +x – 8) : ( 2x – 3) d. (5x4 + 4x2 – 3x + 10) : (2x 1) 3. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –3 dan jika dibagi oleh (x – 1) sisanya 5. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x2 – 1). 4. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 1) sisanya 3 dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya 1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x – 1)(x–2). 5. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x + 1) sisanya 2 dan jika dibagi oleh (x + 2) sisanya 0. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x 2 +3x+2. 6. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 4) sisanya 0 dan jika dibagi oleh (x – 1) sisanya –3. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 –5x+4. 7. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x2 4) sisanya x+2 dan jika dibagi oleh (x – 3) sisanya 5. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 –5x+6. 8. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x2 1) sisanya 3x+1 dan jika dibagi oleh (x +4) sisanya –11. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 +5x+4 9. Suatu suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x2 3x+2) dan jika dibagi oleh (x +3) sisanya 10. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 +x 6. 10. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 1) sisanya 3, jika dibagi oleh (x 2) sisanya 4, dan jika dibagi oleh (x+1) sisanya 1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x 1) (x 2) (x+1) . ------------------------------------ F. TEOREMA FAKTOR Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0. Dari pernyataan tersebut dapat disimpulkan: 1. Jika (x – k) merupakan faktor dari f(x) , maka f(k) = 0. 2. Jika f(k) = 0 , maka (x – k) merupakan faktor dari f(x). Bukti: 1. Misalkan (x – k) merupakan faktor dari f(x) , maka: f(x) = (x – k) . H(x) dengan H(x) suku banyak tertentu. Untuk x = k , maka f(k) = (k – k) . H(k) = 0 . H(k) = 0 Jadi terbukti, jika (x – k) merupakan faktor dari f(x) , maka f(k) = 0

16 2. Dari teorema sisa, f(x) dibagi (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k) . f(x) = (x – k) . H(x) + f(k). Untuk f(k) = 0 , maka f(x) = (x – k) . H(x) Hasil ini menunjukkan bahwa (x – k) merupakan faktor dari f(x). Jadi terbukti , jika f(k) = 0 , maka (x – k) merupakan faktor dari f(x). Contoh: Tunjukkan bahwa x–1 adalah faktor dari x3 – 2x2 –2x +3. Jawab : x–1 faktor f(x) jika f(1) = 0. Cara I : Metode Substitusi Misal f(x)= x3 – 2x2 –2x +3 maka f(1)= (1)3 – 2(1)2 –2(1) +3 = 1– 2 –2+3 = 0 Ternyata f(1)= 0 sehingga x–1 adalah faktor dari x3 – 2x2 –2x +3. Cara II : Metode Sintetik Misal f(x)= x3 – 2x2 –2x +3 . Akan dicari nilai f(1). 1 1 –2 –2 3 1 –1 –3 1 –1 –3 0 Ternyata f(1)= 0 sehingga x–1 adalah faktor dari x3 – 2x2 –2x +3. Kita dapat menyatakan bahwa : x 3 – 2x2 –2x +3 = (x–1)( x 2 –x –3). Contoh: Tentukanlah faktor-faktor dari dari x3 – 2x2 –5x +6. Jawab : Misalkan f(x)= x3 – 2x2 –5x +6. Bila x–k faktor dari suku banyak f(x)= x3 – 2x2 –5x +6 maka k merupakan pembagi dari 6 yaitu 1, 2, 3, 6 . Selanjutnya kita cari f(k) untuk nilai-nilai itu. Untuk k= –1 diperoleh f(–1)= (–1) 3 – 2(–1) 2 –5(–1) +6 = –1–2+5+6 = 8 0. Jadi x+1 bukan faktor dari f(x). Untuk k= 1 diperoleh f(1)= (1) 3 – 2(1) 2 –5(1) +6 = 1–2–5+6 = 0. Jadi x –1 merupakan faktor dari f(x). Selanjutnya dicari faktor lain dengan metode sintetik : 1 1 –2 –5 6 1 –1 –6 1 –1 –6 0 x 3 – 2x2 –5x +6 = (x–1)(x2 –x –6) = (x–1)(x –3)(x +2) Jadi faktor-faktor dari x3 – 2x2 –5x +6 adalah (x–1), (x –3), dan (x +2) Latihan Uji Komptensi 7 Dengan menggunakan teorema faktor buktikan bahwa : 1. x6 adalah faktor dari x2 7x+6. 2. x1 adalah faktor dari x 3 x 2 8x +8. 3. x+2 adalah faktor dari 2x 3 +4x 2 3x 6.

17 4. x4 adalah faktor dari 2x 4 9x 3 +5x 2 3x 4. 5. 2x5 adalah faktor dari 2x 2 3x 5. 6. 2x1 adalah faktor dari 2x 3 +x 2 +5x 3. 7. x1 adalah faktor dari x 3 (2a+1)x 2 +(a 2 +2a)x a 2 . Faktorkanlah suku banyak pada nomor 8 sampai dengan 13 berikut : 8. x 3 7x +6 9. x 3 8x 2 +19x 12 10. x 3 39x +70 11. 2x 3 +7x 2 +2x 3 12. 3x 3 4x 2 3x +4 13. 2x 3 5x 2 +4x 21 14. Tentukanlah k sehingga x 3 3x 2 +kx +6 mempunyai faktor x+3. 15. Tentukanlah p sehingga x 4 +4x 3 +px2 +4x +1 mempunyai faktor x+1. 16. Tentukanlah a sehingga 2x 4 +9x 3 +5x2 +3x +a habis dibagi x+4. Buktikan untuk nilai a tersebut suku banyak itu habis dibagi 2x1. 17. Jika x+2 merupakan faktor x 3 +kx2 x 2 tentukanlah k dan faktor yang lain untuk nilai k tersebut. 18. Diketahui x2 +2x3 merupakan faktor dari suku banyak f(x)= x 4 +2x 3 7x2 +ax +b. Tentukanlah a dan b kemudian faktorkanlah f(x). ---------------------------------------- G. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN DENGAN TEOREMA FAKTOR Pada materi terdahulu telah dibahas bahwa (x-k) merupakan faktor dari suku banyak f(x) f(k)= 0 f(k)= 0 berarti k merupakan akar persamaan f(x)= 0. Jadi pada suku banyak f(x), (x-k) merupakan faktor dari f(x) f(k)= 0 k merupakan akar persamaan f(x)= 0 Contoh: Buktikanlah bahwa 2 merupakan akar persamaan x 3 – 2x2 – x + 2 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Misalkan f(x)= x3 – 2x2 – x + 2 f(x) di bagi x2 : 2 1 –2 –1 2 2 0 –2 1 0 –1 0 = f(2) f(2)= 0 2 merupakan akar persamaan f(x)= 0 sehingga : x 3 – 2x2 – x + 2 = 0 (x–2)(x2 –1) = 0 (x–2)(x –1)(x+1) = 0 x =2 atau x =1 atau x = –1 Jadi akar-akar persamaan x3 – 2x2 – x + 2 = 0 adalah – 1 ; 1; dan 2.

18 Latihan Uji Kompetensi 8 1. Buktikanlah bahwa 1 merupakan akar persamaan x3 – 9x 2 +20x –12 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. 2. Buktikanlah bahwa 4 merupakan akar persamaan 6x3 +25x2 +2x –8 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. 3. Buktikanlah bahwa 1/2 merupakan akar persamaan 4x3 24x2 +27x +20 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. 4. Jika 3 merupakan akar persamaan x3 37x +k = 0 , tentukan k dan akar-akar yang lain. 5. Tentukanlah akar-akar bulat dari persamaan suku banyak berikut : a. x 3 +2x2 5x –6 = 0 b. x3 +x2 17x +15 = 0 c. x 3 3x +2 = 0 d. x3 +4x2 +x 6 = 0 e. x 4 1 = 0 f. x4 15x2 10x +24 = 0 6. Tentukanlah akar-akar rasional dari persamaan 10x3 19x2 +9 = 0 7. Diketahui x2 merupakan faktor dari f(x)= 2x3 +kx2 +7x +6. Tentukanlah nilai k, kemudian selesaikanlah persmaan f(x)= 0 dengan nilai k tersebut. 8. Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan x3 6x2 +11x –6 = 0 jika x bilangan nyata. 9. a. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan x3 +x2 x –1 = 0. b. Tentukanlah himpunan penyelesaian memenuhi x3 +x2 x –1 < 0. ---------------------------------------------

19 UJI KOMPETENSI Selesaikanlah dengan singkat tetapi menunjukkan langkah-langkahnya ! 1. Tentukan derajat, koefisien dan suku tetap dari penjumlahan, pengurangan dan perkalian suku banyak berikut! a. (3x2 + 6x – 10) + (2x3 – 7x2 + 4x – 8) b. 9 – 3x – x 4 ) – (x4 – 8x + 6) c. (2x3 + 4x2 – 6x – 8) (x3 + x2 – x – 3) 2. Tentukan hasil bagi dan sisa, jika: a. (x5 + 8x3 – 5) : (x + 2) b. (x3 + 2x2 – x + 4) : (3x – 1) c. (x5 – 8x3 – 6x2 – 7x – 9) : (x2 – 4x + 4) 3. Tentukan sisa pembagian berikut dengan teorema sisa! a. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1) b. (8x5 -6x3 + 4x –10) : (4x + 3) 4. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –3 dan jika dibagi oleh (x – 1) sisanya 5. Tentukan sisanya , jika f(x) dibagi oleh x2 – 1. 5. Tentukan faktor dari: a. x 4 – 5x2 + 4 b. 2x3 – 4x2 + 7x + 6 6. Tentukan akar-akar dari: x4 + x3 – 12x2 – 14x + 12 = 0 7. Jika x = – 2 merupakan akar dari x5 + ax3 – 8 = 0 Tentukan a dan akar-akar lainnya! ---oo0oo---