#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 1
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 2 AYO BELAJAR INTEGERAL ALJABAR Standar Kompetensi 1 : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan massalah sederhana PENDAHULUAN Metode matematika yang dibahas dalam bab ini sudah lama dikenal, karena dikembangkan oleh Arhimedes seorang matematikawan bangsa Yunani. Beliau menemukan ide untuk mencari luas daerah yang batasnya kurva lengkung. Dalam petengahan abad ke tujuh belas Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz menemukan ide kalkulus diferensial dan integral dan terapannya dalam ilmu fisika, A. PENGERTIAN DAN NOTASI INTEGRAL 1. Pengertian Integral Masih ingat rumus diferensial ( turunan ) suatu fungsi ? ya, jika F(x) = axn , maka turunannya, F‟(x) = n . a xn – 1 Contoh : F (x) = 3 x2 + 7x + 5 maka F‟(x) = 6x + 7. Dikatakan , 6x + 7 sebagai derivative (turunan) dari fungsi 3 x2 + 7x + 5 . Jika ditanyakan, dapatkah anda menentukan rumus suatu fungsi yang turunannya 6x + 7 ? Nah, proses penentuan rumus suatu fungsi yang turunannya (derivatif) diketahui ini disebut sebagai anti diferensial atau anti turunan yang lazim disebut sebagai Integral. Jadi : Integral adalah operasi kebalikan (invers) dari diferensial. Dapatkah kita menemukan operasi kebalikan (invers) dari pendifferensialan, yang menghasilkan fungsi F jika turunannya adalah funsi f ? Perhatikan yang berikut ini : Andaikan f(x) = 2x, maka kemungkinan untuk fungsi F adalah 1. F(x) = x2 + 76 karena f(x) = 2x 2. F(x) = x2 – 37 karena f(x) = 2x 3. F(x) = x2 + 2 karena f(x) = 2x 4. F(x) = x2 karena f(x) = 2x Dari yang di atas ini dapat kita maklumi bahwa jika diketahui suatu fungsi f, maka fungsi F yang merupakan kebalikan pendiferensialannya merupakan fungsi yang tidak tunggal. Oleh karena itu dapat dituliskan : “Jika f(x) = 2x maka F(x) = x2 + C dengan C merupakan konstanta”. KOMPETENSI DASAR 1.1 Menggunakan konsep integral tank tentu dan integral tentu 1.2 Menggunakan integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 3 Tunjukkan bahwa fungsi F berikut invers diferensial dari F f(x) = x F(x) = x C 2 2 1 f(x) = x2 F(x) = x C 2 3 1 f(x) = x3 F(x) = x C 2 4 1 f(x) = x4 F(x) = x C 2 5 1 f(x) = x –7 F(x) = x C 6 6 1 f(x) = x 3 2 F(x) = x 3 C 5 5 3 Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa : Jika F invers diferensial dari f ( diferensial dari F adalah f ) dan f(x) = xn , maka F(x) = , 1 1 1 1 x n n n atau jika f „(x) = xn maka f(x) = , 1 1 1 1 x n n n Latihan uji kompetensi 1 Tentukanlah f(x) jika diketahui f‟(x) seperti berikut ini : 1. f‟ (x) = 4x3 – 3x2 - 6x + 1 6. f‟(x) = 2x - 2 1 x 2. f‟(x) = 6x2 - 8x - 6 7. f‟(x) = 9x2 + 6 5 x 3. f‟(x) = 5x2 – 9x –7 8. f‟ (x) = 2x(x + 4) 4. f‟(x) = 5x x - 9 9. f‟(x) = x5 (x2 + 4) 5. f‟ (x) = 4x + 3 x 10. f‟(x) = x x x 4 3 4 2. Notasi Integral dan Integral Tak Tentu Seperti dalam aljabar yang lain, invers diferensial fungsi f yaitu fungs F dinyatakan dengan notasi sehingga F(x) = f (x) dx dibaca integral f(x) terhadap x. Ingat ! F(x) = f (x) dx sama artinya turunan F adalah f Selanjutnya bentuk F(x) = f (x) dx disebut integral tak tentu, karena F(x) tidak tunggal. Contoh 1 Tentukanlah (6x 8x 12)dx 2 Jawab : (6x 8x 12)dx 2 = 2x3 + 4x2 – 12x + C Contoh 2 Tentukanlah dx x ) 3 4 (3 Jawab : dx x ) 3 4 (3 = x )dx 3 4 (3 2 1 = 3x - 2 1 3 8 x + C = 3x - x 3 8 + C Latihan Uji Kompetensi 2
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 4 Tentukan Integral Fungsi berikut ini 1. ∫ (8x 3 – 3x 2 + 4) dx 6. 2 ( 1) 1 x x dx 2. ∫ (x – 2)2 dx 7. x x(x 1) dx 3. ∫ 4x ( x 1 – 2x) dx 8. 2 1 x x dx 4. 3 2 1 x dx ( ingat n m n m a a ) 9. (3x 2)(x 4)dx 5. x x(3x 5) dx 10. x x(x 4)dx Kita juga masih ingat bahwa : “ Jika f(x) = (ax + b)n , maka f ‟(x) = n(ax + b)n – 1 ” Misalnya : 1. f(x) = (3x – 5)7 f „(x) = 7(3x – 5)6 . 3 2. f(x) = (6x + 7)3 f „(x) = 3(6x + 7)2 . 6 3. f(x) = (-3x + 5)-8 f „(x) = -8(-3x + 5)-9 . –3 Dengan demikian dapat kita peroleh “ Jika f „(x) = (4x + 7)9 , maka f(x) = x C x 10 (4 7) 10 4 1 ” Latihan Uji Kompetensi 3 1. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini benar : a. Jika f „(x) = (2x + 5)3 maka f(x) = 4 (2 5) 8 1 x + C b. Jika f „(x) = (6x – 1)9 maka f(x) = 10 (6 1) 60 1 x + C c. Jika f „(x) = (5x – 9)11 maka f(x) = 12 (5 9) 60 1 x + C d. Jika f „(x) = (-2x + 1)5 maka f(x) = 6 ( 2 1) 12 1 x + C 2. Salin dan lengkapilah : a. x dx x C x C 9 ....... ..... (4 5) ........ 1 (4 5) (9 ..). .... 1 (4 5) b. x d x x C x C 5 ....... ..... (7 8) ........ 1 (7 8) ( 5 ..). .... 1 (7 8) c. x d x x d x x C x C 9 ...... ....... ..... (4 1) ........ 1 (4 1) (.... ..). .... 1 (4 1) (4 1) d. d x x d x x C x C x .... ....... ..... 7 (8 2 ) ........ 1 (8 2 ) (... ..). .... 1 3(8 2 ) (8 2 ) 4 3. Tentukanlah integral berikut : a. x dx 8 (6 7) d. dx x 4 (3 9) 5 b. x dx 4 (6 5 ) e. dx x 10 (8 1) 12 c. x dx 8 (7 1) f. (5 1 3 x dx d. x dx 7,5 (2 5) g. 5 8 6 4 y dy 3. Integral Fungsi Trigonometri
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 5 Kita masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : No f(x) f „(x) 1 sin x cos x 2 cos x - sin x 3 tan x sec2 x 4 cot x -csc 2 x 5 sec x tan x sec x 6 csc x -cot x csc x Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : 1. sin x dx = - cos x + C 5. tan x . sec x dx = sec x + C 2. cos x dx = sin x + C 6. cot x. csc x dx = - csc x + C 3. sec2 x dx = tan x + C 4. csc2 x dx = - cot x+ C Ingat juga bahwa tan2A = sec2A – 1 dan cot2 x = csc 2 x - 1 Contoh 1 Tentukanlah (4x + 3 cos x – 7 sin x) dx Jawab: (4x + 3 cos x – 7 sin x) dx = 2x2 + 3 sin x + 7 cos x + C Contoh 2 Tentukanlah ( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx Jawab : ( 8 + 4 sin x – 3 tan x . sec x) dx = 8x – 4 cos x – 3 sec x + C Contoh 3 Tentukanlah ( 3 sin x – 4 tan2 x – 6)dx Jawab : 1 + tan 2 x = sec 2 x sehingga tan2 x = sec2 x – 1 ( 3 sin x – 4 tan2 x – 6)dx = (3 sin x – 4(sec2 x – 1) – 6)dx = (3 sin x – 4 sec2 x + 4 – 6) dx = (3 sin x – 4 sec2 x – 2) dx = - 3 cos x – 4 tan x – 2x + C Latihan Uji Kompetensi 4 Tentukanlah Integral berikut ini : 1. ( csc2 x – 4 sin x) dx 6. (x5 – tan x . sec x + 1) dx 2. (6 cos x + 5 sin x + 2x) dx 7. (2 tan2 x – 7 sin x + 2) 3. (6 sec2 x + 2 cot x . csc x) dx 8. (3x2 – 2 cot2 x + 8) dx 4. (tan x sec x – csc2 x ) dx 9. (3 tan x . sec x – 2 cot x . csc x) dx 5. ( 2 csc2 x – 6 sin x) dx 10. (4 – 3 tan2 x – 8 sin x) dx Selain bentuk – bentuk di atas kita juga masih ingat tururan fugsi trigonometri berikut ini : f(x) f ‟(x) = f(x) sin (ax + b) a cos (ax + b) cos (ax + b) - a sin (ax + b) tan (ax + b) a sec 2 (ax + b) cotg (ax + b) - a cosec 2 (ax + b)
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 6 sec (ax + b) a tan (ax + b) sec (ax + b) cosec (ax + b) - a cotg (ax + b) cosec (ax + b) Dari tabel tersebut dapat diperoleh bahwa : 1. ∫ cos (ax + b) dx = a 1 sin (ax + b) + C 2. ∫ sin (ax + b) dx = - a 1 cos (ax + b) + C 3. ∫ sec2 (ax + b) dx = a 1 tan (ax + b) + C 4 ∫ cosec2 (ax + b) dx = - a 1 cotg (ax + b) + C 5. ∫ tan (ax + b) sec (ax + b) dx = a 1 sec (ax + b) + C 6. ∫ cotg (ax + b) cosec (ax + b) dx = – a 1 cosec (ax + b) + C Seringkali dalam menyelesaikan integral fungsi trigonometri, bagian integrannya perlu diubah dengan menggunakan identitas trigonometri agar bentuknya lebih sederhana dan integralnya segera dapat ditemukan.Oleh karena itu perlu diingat bahwa : 2 sin A . sin B = cos (A – B) – cos (A + B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B) sin2A = 2 cos2A 1 2 1 , cos 2A = 2 cos2A 1 2 1 , sin 2x = 2 sin x cos x Contoh. 1. ∫ sin x cos x dx 3. (tan 2x 5) dx 2 2. ∫ sin 4x cos x dx Penyelesaian : 1. ∫ sin x cos x = ∫ 2 1 sin 2x = 2 1 ( - 2 1 cos 2x ) + C = - 4 1 cos 2x + C 2. ∫ sin 4x cos x dx ( Ingat 2 sin 4x cos x = sin 5x + sin 3x ) ∫ sin 4x cos x dx = ∫ 2 1 ( sin 5x + sin 3x ) dx = ∫ 2 1 sin 5x dx + ∫ 2 1 sin 3x dx = 2 1 ( - 5 1 cos 5x) + 2 1 ( - 3 1 cos 3x) + C = - 10 1 cos 5x) - 6 1 cos 3x + C 3. (tan 2x 5) dx 2 = x dx x dx tan 2x 4x C 2 1 (sec 2 1 5) (sec 2 4) 2 2 Latihan Uji Kompetensi 5 1. Tentukanlah integral berikut ini : a. ∫ 2 sin 4x dx d. ∫4 sec2 3x dx g. ∫ 2 tan 3x . sec 3x dx b. ∫ 4 cos 7x dx e. ∫ 6 csc2 6x dx h. ∫ (2 tan2 3x + 8) dx c. ∫ 2 sin (4x + 1) dx f. ∫ 3 cos(3 – 6x) dx i. ∫ 2 sec2 (3 – 9x)dx 2. Tentukanlah integral berikut ini :
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 7 a. ∫ (4 sin 3x – 2 cos 4x)dx c. ∫( 3 cos 2x – 5 sec2 x ) dx b. ∫ (2 cos 5x – csc 2 3x) dx d. ∫ (csc 2x .cot 2x – cot2 x) dx 3. Tentukanlah integral berikut ini : a. ∫ 2 sin2 x dx d. ∫4 cos2 4x dx f. ∫2 tan2 5x dx b. ∫ 6 csc2 2x dx e. ∫ 3 cot2 2x g. ∫ 6 sin2 x – 5 sec2 x dx 4. Tentukanlah integral berikut ini : a. ∫ 2 sin 4x . cos 2x dx d. ∫ cos 2x sin 5x dx b. ∫ 4 cos x . cos 6x dx e. ∫ sin 3x . sin x dx c. ∫ 2 sin 5x sin 3x dx f. ∫ sin x. cos 5x dx 5. Tentukanlah integral berikut ini : a. ∫(sin x – cos x)2 dx b. ∫(cos 2x + sin 3x)2 dx c. ∫(sec 2x – tan 2x)2 dx 4. Penerapan Integral Tak tentu Dengan mengingat bahwa F(x) mempunyai turunan F‟(x), maka integral dari F‟(x) adalah F(x). Apabila diketahui suatu fungsi mempunyai turunan F‟(x) dan nilai fungsi untuk salah satu nilai diketahui, maka F(x) dapat ditentukan dengan mengintegralkan F‟(x). Contoh.1 Diketahui F(x) mempunyai turunan f ‟(x) = 2x + 1, dan nilai f(x) untuk x = 3 adalah 1, tentukanlah f(x) Jawab. f(x) = ∫ f ‟(x) dx = ∫ (2x + 1)dx = x2 + x + C Jadi f(x) = x2 + x + C Untuk x = 3, f(3) = 32 + 3 + C = 1 12 + C = 1 C = - 11 Sehingga f(x) = x2 + x + C f(x) = x2 + x - 11 Contoh 2 Suatu fungsi mempunyai turunan F‟(x) = 3x2 – 2. Jika diketahui F(2) = 14, tentukan F(x) Jawab: F(x) = ∫ F‟(x) dx = ∫ (3x2 – 2) dx = x3 – 2x + C F(2) = 23 - 2 x 2 + C = 14 4. + C = 14 C = 10 Jadi, F(x) = x3 – 2x + 10 Contoh 3 Jika F‟(x) = x dan F(1) = 3 5 , tentukan F(x) ! Jawab. F(x) = ∫ F‟(x) dx = ∫ x dx = ∫ x.... dx = .... x .... + C Jadi F(x) = .... x .... + C F(1) = .... 1 .... + C = 3 5 C = ......
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 8 Sehingga F(x) = ... + ... Latihan Uji Kompetensi 6a Untuk soal berikut, tentukan F(x) jika diketahui : 1. F‟(x) = 3x2 -2 dan F(1) = 3 2. F‟(x) = 2x -3 dan F(2) = 1 3. F‟(x) = x - x 1 dan F(4) = 3 3 1 4. F‟(x) = x - 2 x 1 dan F(2) = 4 2 1 5. F‟(x) = 2x + a, F(0) = 3 dan F(1) = 4 6. F‟(x) = 3x2 – b F(1) = 0 dan F(2) = 7 Ingat ! 1). Pada aturan pendeferensialan telah dibahas bahwa turunan pertama dari persamaan sebuah kurva y = F(x) yaitu dx dy adalah gradien garis singgung di (x,y). 2). Untuk menentukan persamaan kurva, kita dapat melakukan pengintegralan dari turunan pertama dari persamaan kurva. Contoh 1 Sebuah kurva y = F(x) mempunyai gradien garis singgung pada setiap titik (x,y) yang mempunyai hubungan dx dy = 2x – 4. serta kurva melalui titik (3,5). Tentukan persamaan kurva itu ? Jawab.: Gradien garis singgung = dx dy = F‟(x) = 2x – 4. Jadi F(x) = ∫ F‟(x) dx = ∫(2x – 4)dx = x2 – 4x + C Sehingga y = F(x) = x2 – 4x + C Kurva melalui titik (3,5), maka y = x 2 – 4x + C 5 = 32 – 4 . 3 + C 5 = - 3 + C, jadi C = 8 dengan demikian persamaan kurva y = x2 – 4x + 8 Contoh 2 Sebuah kurva mempunyai gradien garis singgung yang persamaannya dx dy =F‟(x) = 9x2 – 4x dan kurva melalui titik (1,4). Tentukan persamaan kurva ! Jawab y = F(x) = ∫ (9x2 – 4x) dx = .... x .... – .... x .... + C jadi y = .... x .... – .... x .... + C kurva melalui titik (1,4). maka : y = .... x .... – .... x .... + C ... = .... x .... – .... x .... + C jadi C = .... dan kurva adalah persamaan kurva y = .... – .... + ...
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 9 Latihan Uji Kompetensi 6b 1. Gradien garis singgung kurva pada setiap titik ditentukan oleh dx dy = 6x ( 1 – x ). Jika kurva melalui titik ( - 1, 6 ), tentukan persamaan kurva! 2. Pada tiap titik (x,y) sebuah kurva dengan persamaan y = F(x), berlaku hubungan dx dy = 2 x 1 2 x - , jika diketahui kurva melalui titik (2,8), tentukan persamaan kurva ! 3. Pada setiap titik (x,y) pada suatu kurva, gradiennya ditentukan oleh rumus dx dy = 6 – 2x. Jika nilai maksimum untuk y adalah 14, tentukan persamaan kurva tersebut ! 4. Pada setiap titik (x,y) suatu kurva berlaku hubungan y‟‟ = 30 x – 60 x3 . jika kurva melalui titik (1,2) dan pada titik tersebut gradien garis singgungnya y = 2, tentukan persamaan kurva ! 5. Sebuah benda bergerak dengan laju V m/det. Pada saat t detik, laju benda dinyatakan dengan persamaan V = 10 – t. Pada saat t = 2 detik, posisi benda berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukan posisi benda (S) sebagai fungsi waktu (t) B. INTEGRAL SEBAGAI LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR Menentukan Luas daerah dengan Proses Limit Perhatikan Gambar : y y = f(x) 0 x D x = a x = b Daerah D dibatasi oleh grafik f(x), garis x = a, sumbu X dan garis x = b. Selanjutnya akan ditentukan luas D dengan menggunakanpendekatan / proses limit. Daerah D dibagi-bagi menjadi persegipanjang kecil-kecil dengan lebar x1, x2, x3, ... , xn. (sebanyak n persegi panjang). y = f(x) f(xn) x = b f(x3) f(x2) x = a f(x1) O 1x 2x 3x nx Mudah dipahami : Luas daerah D hampir sama dengan penjumlahan keseluruhan luas persegi panjang kecil-kecil. Jadi L L1 + L2 + L3 + L4 +..... + Ln
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 10 Andaikan diambil sebuah persegi panjang bagian yang mempunyai luas Li , maka Li = f(xi) . ix f(xi ) Li = p X l ix = f(xi ) X ix sehingga L ≈ L1 + L2 + L3 + L4 +..... + Ln = f(x1) X 1x+ f(x2) X 2x+ f(x3) X 3x+ ........+ f(xn) X nx Jika ditulis menggunakan notasi sigma : L ≈ n i i 1 f(xi ) x Apabila diambil n besar sekali ( n ∞ ), maka persegi panjang kecil semakin banyak dan x semakin kecil (x 0). Sehingga L = n i x 1 i i 0 lim f(x ) x = x b x a x lim f(x) x 0 Bentuk x b x a x lim f(x) x 0 dapat ditulis dengan lambang pengitegralan : L = x b x a x lim f(x) x 0 = b a f(x)dx Latihan uji kompetensi 7 1. Nyatakan luasan daerah yang diarsir berikut dalam bentuk integral. 2. Nyatakan integral berikut dengan daerah arsiran a. 2 0 (2x 1) dx d. 2 1 2 (x 1)dx b. 4 2 (8 x) dx e. 2 2 2 (4 x ) dx c. 5 4 2 (x 2x 3) dx f. x dx 3 1 2 16
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 11 3. Dengan menyatakan integral berikut dalam luasan, hitunglah nilai dari integral berikut : a. 4 2 (x 1)dx b. 2 0 (2 x) dx c. x dx 2 0 2 4 C. INTEGRAL TERTENTU Telah kita ketahui jika fungsi f kontinu dalam interval tetutup [a, b] maka luas daerah di bawah kurva y = f(x) dalam [a, b] adalah L = b a f(x)dx . Masalahnya bagaimana kita dapat menghitung nilai dari b a f(x)dx ? Perhatikan yang berikut ini : y = f(x) T V U W f(c) f(c+h) P Q O a c c+h b Andaikan : L(b) = b f x dx 0 ( ) L(a) = a f x dx 0 ( ) Jika c sembarang bilangan dalam [a, b], maka : L(c) = c f x dx 0 ( ) L(c+h) = ch f x dx 0 ( ) Pada gambar di atas terlihat bahwa : Luas PQWU < Luas PQVU < Luas PQVT Luas PQWU = f(c) . h Luas PQVU = L(c+h) – L(c) Luas PQVU = f(c+h) . h, sehingga diperoleh f(c) . h < L(c+h) – L(c) < f(c+h) . h dan jika ketiga ruas dibagi dengan h diperoleh f(c) < h L(c h) L(c) < f(c+h) dan jika h 0 didapatkan 0 lim h it h L(c h) L(c) = f(c). Karena bentuk 0 lim h it h L(c h) L(c) = f(c) berlaku untuk setiap c dalam interval tertutup [a, b], maka untuk setiap x dalam [a, b] berlaku 0 lim h it h L(x h) L(x) = f(x) atau L„(x) = f(x). Karena L„(x) = f(x). maka L(x) = f (x)dx . Andaikan invers derivatif dari f dalah F maka f (x)dx = F(x) + C, sehingga L(x) = F(x) + C Karena L(x) = F(x) + C, maka L(b) = F(b) + C dan L(a) = F(a) + C. Luas daerah dibawah kurva y = f(x) dalam [a, b] adalah L = L(b) – L(a) = F(b) + C – {F(a) + C) = F(b) – F(a) Jadi, b a f(x)dx = F(b) – F(a) Jika anti (invers) turunan dari f adalah F, maka b a f(x)dx = F(b) – F(a)
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 12 Contoh 1 Hitunglah 5 2 (2x 3)dx Penyelesaian : 5 2 (2x 3)dx = [x2 – 3x] 5 2 = (52 – 3 . 5) – (22 – 3 . 2) = 10 – (-2) = 12 Contoh 2 Hitunglah 3 1 2 (3x 1) dx Penyelesaian : 3 1 2 (3x 1) dx = 3 1 2 (9x 6x 1)dx = 3 1 3 2 3 3 x x x = (3. 33 + 3 . 32 + 3) – (3. (-1)3 + 3. (-1)2 - 1) = (81 + 27 + 3) - (-3 + 3 - 1) = 112 Contoh 3 Hitunglah 1 1 2 2 ) 1 ( dt t t Penyelesaian : 1 1 2 2 ) 1 ( dt t t = 1 1 2 2 (t t ) dt = [ 3 1 3 1 t t ] 1 1 = [ t t 1 3 1 3 ] 1 1 = 1) 2 3 1 1) ( 3 1 ( Contoh 4 Hitunglah 2 0 (2 4cos ) x dx Penyelesaian : 2 0 (2 4cos ) x dx = [2x – 4 sin x] 2 0 = ( - 4 sin 2 ) – ( 0 – 4 sin 0) = - 4 . 1 – 0 = - 4 Latihan uji kompetensi 7 1. Hitunglah : a. 2 3 4x dx d. x dx 4 0 2 1 b. 2 1 2 x dx e. 5 0 (2x 3) dx 2. Hitunglah : a. 3 0 2 (3x 4x 1) dx d. 6 1 2 (6x 4) dx b. 1 1 3 2 (4x 3x ) dx e. 2 1 2 (3x 2) dx 3. Hitunglah : a. 2 1 (1 3t)(1 t)dt d. dp p p ) 2 (6 2 1 2 2 b. 4 1 2 1 x x dx e. 2 1 12x(x 1)(x 1) dx 4. Hitunglah nilai a. 0 cos2x dx d. 0 sin ( 2x - ) dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 13 b. 2 0 ( 2x sin x ) dx e. cos4x .sin x dx c. 0 2 sin 3x dx f. cos3x . cos 2x dx 5. Hitunglah nilai : a. x dx 1 0 3 (2 1) d. 5 2 x 1 dx b. 1 0 2 (3x 1) dx e. 2 0 (4x 1) 4x 1 dx c. x dx 3 0 1 6. Tentukanlah integral tentu berikut ini : a. 4 0 2 4sin x dx b. 2 0 2 (3cos 2cos ) x x dx 7. Carilah nilai a jika : a. a x dx 0 (2 1) 12 c. a x dx 0 3 2 10 3 2 1 b. a x dx 0 (4 5) 5 d. a x dx 2 3 ( 16) 36 D. INTEGRAL DENGAN TEKNIK SUBTITUSI Tidak semua fungsi dapat dengan mudah dicari integralnya dengan aturan f (x) dx F(x) C , misalnya untuk fungsi yang merupakan perkalian dua fungsi. Oleh karena itu diperlukan teknik-teknik tertentu untuk menentukan integralnya, di antaranya dengan teknik subtitusi. 1. Integral dengan mengubah ke bentuk f (u) du Teknik ini dikembangkan dari f (x) dx F(x) C sehingga diperoleh f (u) du F(u) C dengan u = g(x). Contoh 1 Tentukanlah x x dx 2 12 12 (2 5) Penyelesaian : x x dx 2 12 12 (2 5) Andaikan u = 2x2 + 5 maka du = 4x dx atau dx = x du 4 sehingga x x dx 2 12 12 (2 5) = 12x u –12 x du 4 = 3 u –12 du = u C 11 11 3 = 11 3 (2x2 + 5)-11 + C
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 14 Contoh 2 Tentukanlah 2x sin (3x2 – 1) dx. Penyelesaian : 2x sin(3x2 – 1) dx. Andaikan u = (3x2 – 1) maka du = 6x dx atau dx = x du 6 sehingga 2x sin(3x2 – 1) dx. = 2x sin u x du 6 = 3 1 sin u du = - 3 1 cos u + C = - 3 1 cos(3x2 - 1) + C Contoh 3 Tentukanlah integral 4 sin 2x . cos2x dx Andaikan u = cos 2x , maka du = - 2 sin 2x dx atau dx = x du 2sin 2 sehingga 4 sin 2x . cos2x dx = 4 sin 2x . u . x du 2sin 2 = -2 u du = -2 u du 2 1 = -2 . 2 3 3 2 u + C = u C x C cos 2 3 4 3 4 2 3 2 3 Contoh 4 Tentukanlah ∫ cos3 x dx. Bentuk ∫ cos3 x dx = ∫ cos x . cos2 x dx = ∫ cos x . ( 1 – sin2 x )dx = ∫ ( cos x – cos x . sin2 x )dx = ∫ cos x dx – ∫ sin2 x cosx dx karena di atas sudah dicari ∫ sin2 x . cos x dx = 3 1 sin 3 x + C maka ; ∫ cos3 x dx = ∫ cos x dx – ∫ sin2 x cosx dx = sin x – 3 1 sin 3 x + C Latihan Uji Kompetensi 8 1. Tentukan integral – integral tak tentu berikut : a. ∫(2x + 4)8 dx f. sin x . cos x dx b. 4 3 dx 3 x g. ∫ cos6 x . sin x dx c. ∫ 20x ( 5x2 – 1 )4 dx h. dx x 4 cos sin x d. ∫ 3x2 (x3 – 2)9 dx i. dx x 3 sin cos x e. ∫4x (x 4) dx 2 j. ∫ x sin (4x2 – 5) dx 2. Tentukan integral – integral tentu berikut : a. 1 0 2 4 x (x 1) dx e. 2 0 3 sin x dx b. 2 0 2x dx f. 3 4 2 cos sin x dx x c. 4 0 2 x 9 x dx g. 0 4 sin x.cosx dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 15 d. 2 2 0 2 x 9 - x dx h. 0 4 cos x. sin x dx 2. Pengintegralan yang memuat bentuk 2 2 a x Bentuk ∫ 2 2 a x dx , memerlukan subtitusi khusus dengan menggunakan subtitusi trigonometri. Subtitusi yang digunakan adalah dengan mengganti / memisalkan x = a sin . Jika x = a sin , maka 2 2 a x = 2 2 a (a sin ) = 2 2 2 a a sin = a (1 sin ) 2 2 = 2 2 a cos = a cos Selanjutnya x = a sin , dx = a cos d Jadi : ∫ 2 2 a x = ∫ a cos . a cos d = ∫ a2 cos 2 d = ∫ a2 2 (1 cos2 ) d = 2 a 2 ∫ ( 1 + cos 2 ) d = 2 a 2 ( + 2 1 sin 2 ) + C = 2 a 2 ( + sin . cos ) + C ........ (1) Oleh karena x = a sin , hubungan yang didapat adalah : sin = a x , sehingga cos = a a 2 2 x ......................(2) Selanjutnya x = a sin , sin = a x , = arc sin a x .............. (3) Hasil (2) dan (3) jika disubtitusi ke persamaan (1) menjadi : ∫ 2 2 a x dx = 2 a 2 ( + sin . cos ) + C = 2 a 2 (arc sin a x + a x . a a 2 2 x ) + C = 2 a 2 arc sin a x + 2 x . 2 2 a x + C Jadi : ∫ 2 2 a x dx = 2 a 2 arc sin a x + 2 x . 2 2 a x + C Contoh : 1. ∫ 2 4 x dx = 2 4 arc sin 2 x + 2 x . 2 4 x + C 2. ∫ 2 16 x dx = ....... arc sin ...... + 2 x . ............... + C
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 16 3. 3 0 2 9 - x dx = 3 0 2 9-x 2 x 3 x arcsin 2 9 = 9 9 2 3 3 3 arcsin 2 9 – 9 0 2 0 3 0 arcsin 2 9 = arc sin10 2 9 – arc sin 0 0 2 9 = 2 . 2 9 + 0 – 0 = 4 9 4. 4 0 2 16 - x dx = 4 0 ......... 2 x ......arcsin ...... = ......... arc sin ..... + 0 – 0 = ..... ..... = ..... Catatan Untuk ∫ 2 2 2 a b x dx dapat dilakukan subtitusi analog seperti di atas yaitu memisalkan x = b asin Selanjutnya : ∫ 2 2 2 a b x dx = 2b a 2 arc sin a bx + 2 x . 2 2 2 a b x + C Contoh. 1. ∫ 2 9 4x dx = 4 9 arc sin 3 2x + 2 x . 2 9 4x + C 2. ∫ 2 16 9x dx = ....... arc sin ...... + 2 x . ............... + C Latihan Uji Kompetensi 9 1. Tentukan integral tak tentu berikut : a. ∫ 2 1 x dx b. ∫ 2 4 x dx c. ∫ 2 25 9x dx 2. Tentukan integral tak tentu berikut : a. 5 0 2 25 x dx c. 2 5 0 2 25 4x dx b. 6 0 2 36 x dx d. 5 6 0 2 36 25x dx e. 2 2 0 2 8 x dx f. 3 7 0 2 7 9x dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 17 E. PENGINTEGRALAN DENGAN RUMUS INTEGRAL PARSIAL Kita ingat bahwa rumus turunan memberikan ketentuan : y = u . v maka dx dy = dx du v + u dx dv atau dx dy = v dx du + u dx dv atau dy = v du + u dv karena y = u . v, maka d(u . v) = v du + u dv jika ruas kiri dan kanan diintegralkan, ∫ d(u . v) = ∫ v du + ∫ u dv u . v = ∫ v du + ∫ u dv atau ∫ u dv = u . v – ∫ v du Jadi ∫ u dv = u . v – ∫ v du Rumus ini disebut rumus Integral Parsial. Jadi pada intinya rumusan integral Parsial memberikan kemudahan menentukan hasil pengintegralan dengan membagi menjadi bagian – bagian fungsi. Contoh. 1. ∫ x cos x dx Jika dimisalkan x = u dan cos x dx = dv, maka : ∫ x cos x dx = u . v – ∫ v du u dv x = u du = dx dv = cos x dx ∫ dv = ∫ cos x dx v = sin x Jadi ∫ x cos x dx = u . v – ∫ v du u dv = x . sin x – ∫ sin x dx = x . sin x + cos x + C 2. ∫ x sin x dx = u . v – ∫ v du u dv Misalkan x = u du = ….. dv = sin x dx v = ∫ sin x dx = ..... Jadi : ∫ x sin x dx = u . v – ∫ v du = ..... – ∫ ..... = ..... + ..... + c Latihan Uji Kompetensi 10 Dengan menggunakan integral partial ∫ u dv = u . v – ∫ v du , Tentukan : 1. ∫ x sin 3x dx 6. ∫ x x 1 dx 2. ∫ x2 sin x dx 7. ∫ x2 x 6 dx 3. ∫ x3 cos x dx 8. ∫ x2 4 2x dx 4. ∫ x2 cos (3x + 5 ) dx 9 2 0 x 4x 1 dx 5. ∫ x sin3 x dx 10. 3 0 2 x x 6 dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 18 Catatan : Ada cara memudahkan menghitung Integral Parsial dengan membuat skema. Contoh : ∫ x3 cos x dx Skema : x 3 cos x turunkan integralkan Langkahnya : 1. Bagian kiri (x3 ) diturunkan terus menerus hingga tak dapat diturunkan lagi. 2. Bagian kanan (Cos x ) dintegralkan terus menerus sebanyak pendeferensialan pada bagian kiri. 3. Kalikan baris I bagian kiri dengan baris ke II bagian kanan, baris II bagian kiri dengan baris III bagian kanan dan seterusnya sampai selesai. 4. Secara bergantian perkalian pertama dikalikan (+1), perkalian ke dua (–1) sampai selesai. x 3 cos x turunkan integralkan 3x2 sin x 6 x – cos x 6 – sin x 0 cos x Sehingga : ∫ x3 cos x dx = x3 sin x (1) – 3x2 cos x (–1) – 6x sin x (1) + 6 cos x (–1) = x 3 sin x + 3x2 cos x – 6x sin x + 6 cos x + c F. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENGHITUNG LUAS DAERAH 1. Menentukan Luas Daerah Yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu X dan garis x = a dan x = b.dan untuk setiap x dalam [a,b] nilai f(x) 0 y y = f(x) 0 x D x = a x = b D adalah daerah yang dibatasi kurva f (x) , garis x = a, sumbu X dan garis x = b. Luas D dapat ditentukan : Luas D = f (x) dx F(x) F(b) F(a) b a b a Contoh 1. Tentukan luas daerah yang diarsir y = 2x + 3 1 4 Jawab L = 4 1 y dx = 4 1 4 1 2 (2 3) 3 x dx x x = (42 + 3 . 4) – ( 12 + 3 . 1)
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 19 = 28 – 4 = 24 satuan luas Contoh 2. Tentukan luas daerah yang di arsir Y y = 3x2 + 6x 2 X L uas Daerah yang diarsir L = 2 0 y dx = 2 0 2 (3x 6x) dx = 2 0 ....... .... ..... ...... x x = ..... 2.... + .... 2 ..... – 0 = .... + .... = ..... Contoh 3. Untuk daerah yang akan dihitung yang posisinya di bawah sumbu X, maka untuk setiap x dalam [a,b] nilai f(x) 0 Luas = 2 0 - y dx = – 2 0 y dx (mengapa ?) Y y = 2x – 4 2 X Luas = – 2 0 y dx = – 2 0 (2x - 4) dx = 2 0 (- 2x 4) dx = 2 0 ..... x .....x = ...... + ..... – 0 = ........ Contoh 4. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 2x dengan sumbu X. Jawab : Langkah 1. Tentukan sketsa Langkah 2. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu X untuk menentukan batas bawah dan batas atas integrasi Langkah 3. Hitung luasnya Y y = x 2 – 2x 0 2 X Batas : Batas bawah = 0 Batas atas = 2 Luas = – 2 0 y dx = – 2 0 2 (x - 2x) dx = 2 0 2 (- x 2x) dx = 2 0 ..... .... . .... 1 x x = (...2 .2 ) 0 ..... .... = ...... + ..... – 0 = ........ Latihan Uji Kompetensi 11 1. Hitung luas daerah yang diarsir a. Y y = x 2 – 4x + 3 1 3 4 X b. Y X
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 20 x + y = 3 c. Y y = x 2 + 2x – 3 X d. Y y = sin x 6 2 X 2. Hitunglah luas – luas daerah yang dibatasi a. Kurva y = x2 , garis x = 1 dan x = 4 b. Kurva y = 4x – x 2 , sumbu X, garis x = 1 dan x = 4 c. Kurva y = 16 – x 2 , dan sumbu X d. Kurva y = –13x2 + 6x + 9 dan sumbu X e. Kurva y = x2 + x – 6 dan sumbu X f. Kurva y = cos x, sumbu X , x = 0 dan x = 3 g. Kurva y = 2 cos x, sumbu X, garis x = 0 dan garis x = 2 h. Kurva y = 2 + sin x, sumbu X, garis x = 0 dan garis x = 2π 2. Luas Daerah Yang Dibatasi Oleh Dua Kurva Perhatikan gambar X D y = f(x) E C y = g(x) F A B x = a x = b X Gambar di samping adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dalam interval [a, b] serta dalam interval [a, b] itu f(x) g(x). Mudah dipahami bahwa luas daerah D = luas daerah ABDE – luas daerah ABCF Luas = b a b a f (x)dx g(x)dx = b a [ f (x) g(x)]dx Jika f(x) = y1 dan g(x) = y2 maka Luas = b a ( y y ) dx 1 2 . Contoh 1 Jika dalam interval [a, b] nilai f(x) g(x). maka luas daerah antara kurva y = f(x) dan y = g(x) dalam interval [a, b] adalah L = b a [ f (x) g(x)]dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 21 Hitunglah luas daerah yang diarsir Luas = 4 0 (2x x) dx = 4 0 x dx = [ 4 0 2 2 1 x ] = ( 4 0 2 2 1 ) = 8 satuam luas Contoh 2 Hitunglah luas daerah yang diarsir Daerah yang diarsir adalah daerah antara kurva y = x2 dan y = x. Untuk mencari luasnya dengan langkah-langkah 1. Cari batas integrasinya y = x 2 y = x x 2 = x x 2 – x = 0 x(x – 1) = 0 x = 0 atau x = 1 2. Luas daerah yang diarsir adalah L = 4 0 2 (x x ) dx = [.....................] = .................. = .................... Contoh 3 Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 3x dan y = x Penyelesaian : L = b a ( y y ) dx 1 2 Langkah 1 Tentukan batas integrasi yaitu a dan b dengan cara mencari absis titik potong kedua kurva itu y = x 2 – 3x dan y = x berarti x 2 – 3x = x x 2 – 3x – x = 0 x 2 – 4x = = x(x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 didapat batas integrasinya adalah 0 dan 4 Langkah 2 Menetukan y1 dan y2 dengan cara mengambil sembarang nilai x dalam interval tertutup [0, 4], misal x = 1, kemudian disubtitusikan ke y = x2 – 3x dan y = x x = 1 y = 12 – 3 . 1 = -2 x = 1 y = 1 Karena untuk x = 1 nilai y = x lebih besar dari y = x2 – 3x, maka dalam [0, 4] nilai x > x2 – 3x yang berarti y1 = x dan y2 = x 2 – 3x Langkah 3 Luas = b a ( y y ) dx 1 2
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 22 L = 4 0 2 (x (x 3x)) dx = 4 0 2 (4x x ) dx = .....................................................lanjutkan sendiri Latihan Uji Kompetensi 12 1. Tentukan Luas daerah yang diarsir. a. Y y = x 2 – 2x b. Y y = cos x X X y = 6x – x 2 y = sin x 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi : a. y = x3 dan y = x b. y = x 2 dan y = 2x + 3 c. y = x 2 dan y = x d. y = (x – 2)2 dan y = 10 – x 2 e. y = sin x, y = sin 2x, dalam interval x = 0 dan x = π 2 1 f. y = cos x, y = sin 2x, dalam interval x = 0 dan x = π
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 23 G. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR 1. Perputaran mengelilingi sumbu X Perhatikan gambar : Daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a dan x = b diputar 360o mengelilingi sumbu X. Benda pejal yang terjadi dapat dihitung volumenya dengan langkah seperti menentukan luas daerah di bawah kurva.. Jika pada waktu itu menentukan luas , bagian kecil yang dibuat berupa persegi panjang kecil, pada volume benda putar ini bagian kecil yang dibuat berupa silinder-silinder kecil. Daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a dan x = b diputar 360o mengelilingi sumbu X. Benda pejal yang terjadi dapat dihitung volumenya dengan langkah seperti menentukan luas daerah di bawah kurva.. Jika pada waktu itu menentukan luas , bagian kecil yang dibuat berupa persegi panjang kecil, pada volume benda putar ini bagian kecil yang dibuat berupa silinder-silinder kecil. x y = f (x) Volume silinder = π r2 t = π y2 x Oleh karena benda pejal dibagi menjadi silinder-silinder kecil maka pada interval x = a sampai dengan x = b. V = x b x a 2 π y Δx Jika diambil x 0 (silinder semakin banyak) V = Δx 0 Lim b x a 2 π y Δx Ditulis dalam notasi integral V = π b a 2 y dx atau V = π b a 2 {f (x)} dx Contoh 1 Daerah yang diarsir pada gambar diputar 3600 mengelilingi sumbu X. Tentukan volumenya. Y 0 3 X y = f (x) x X Y y = f (x) y = f (x)
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 24 Vol = π 3 0 2 y dx = π 3 0 2 x dx = π 3 0 3 x 3 1 = π .3 0 3 1 3 = 9 π satuan volume. Contoh 2 Tentukan volume dari daerah D yang diputar 3600 mengelilingi sumbu X. Volume = π 3 0 2 y dx = π 3 0 2 2 (3x - x ) dx = π 3 0 .... .... .... (.....x ....x ....x .)dx = π 3 0 .... .... .... (.....x ....x ....x .) = π (.....x ....x ....x .) 0 .... .... .... = π (.....) = ..... π. Latihan Uji Kompetensi 13 1. Tentukan volume benda putar daerah yang diarsir berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu X a. y = 2x 0 X Y 2 b. x +y = 16 0 X Y 2 2 c. y = -x + 1 0 X Y 2 d. y = 8x 0 X Y 2 2 2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang batas-batasnya dibawah ini diputar 360o mengelilingi sumbu X. a. y = 3x + 1, sumbu X, x = 1 dan x = 2, b. y = x 2 – 4 dan sumbu X c. y = 3 x , sumbu X dan x = 2. d. 4x2 + 9y2 = 36 dan sumbu X. 2. Perputaran Mengelilingi sumbu Y Analog dengan cara menentukan volume jika daerah diputar360o mengelilingi sumbu X, maka untuk perputaran sekeliling sumbu Y adalah : y = 3x - x2
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 25 X Y y = f (x) x = g (y) b a Y Volume = Δ y o Lim b a 2 π x Δy . Jika ditulis dalam notasi integral : V = π b a 2 x dy atau V = π b a 2 {f (y)} dy Contoh 1 Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya ! y = x2 0 X Y 5 Jawab : V = π 5 0 2 x dy = π 5 0 2 y dy = π 5 0 2 y 2 1 = π .0 2 1 .5 2 1 2 = 12 2 1 π satuan volume Contoh 2. Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya ! y = 0 X Y 2 x Keterangan : Nyatakan menjadi fungsi Y, y = x y 2 = x, jadi f (y) = y2 Vol = π 2 0 2 f (y) dy = π 2 0 2 2 (y ) dy = π 2 0 4 y dy = π 2 0 ..... ....y = π ....2 0 ..... = .....π satuan volume.
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 26 Latihan Uji Kompetensi 14 1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y. a. y = 2x 0 X Y 3 b. x+y = 3 0 X Y c. y = x - 1 0 X Y 2 1 d. 0 x +y = 4X 2 1 2 2. Hitung volume benda putar daerah yang batas-batasnya ditentukan berikut ini jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y a. y = x – 1, sumbu X, sumbu Y dan garis y = 2. b. y = 2x2 , sumbu Y dan garis y =8. c. y = x 2 – 4, sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2 d. y = 9 – y 2 , y = –3 dan y = 3 3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu X Perhatikan gambar : y = f(x) 0 X Y 1 x = a x = b y = g(x) 2 A B C E D F D Daerah yang dibatasi kurva y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b diputar 360o mengelilingi sumbu X. Volume Benda Putar = Volume putaran ABDE – Volume putaran ABCF = π b a 2 f (x) dx – b a 2 g (x) dx = π b a 2 2 f (x) -g (x) dx Jadi volume benda putar yang dibatasi y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b adalah : V = π b a 2 2 2 ((y1 ) -(y ) )dy atau V = π b a 2 2 f (x) -g (x) dx Contoh 1 Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360o mengelilingi sumbu X. Y 0 X y = x2 y = x 2 Volume = π 1 0 2 2 2 1 y - y dx = π 1 0 2 2 x -(x ) dx
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 27 = π 1 0 4 x - x dx = π 1 0 2 5 x 5 1 x 2 1 = π 1 )0 5 1 1 2 1 ( 2 5 = π 5 1 2 1 = 10 3 π satuan volume. Contoh 2 Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360o mengelilingi sumbu X. Y 0 X y = x y = x2 Batas integrasi merupakan perpotongan kedua kurva. y = x Jadi : Batas bawah x = 0 y = x 2 Batas atas x = 1 0 = x – x 2 0 = x (1–x) x = 0 dan x = 1 Volume = π 1 0 2 2 2 1 y - y dx = π 1 0 2 2 2 x -(x ) dx = π 1 0 2 4 (x - x ) dx = π 1 0 .... .... ....x ....x = π (....1 ....1 ) 0 .... .... = …. π . Latihan Uji Kompetensi 15 1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jk diputar 360o mengelilingi sumbu X. a. Y 0 y= -x +2 X y = x2 2 b. Y 0 X x + y = 4 2 2 c. Y 0 X x + y = 25 2 2 x +y = 16 2 2 d. Y 0 X x2 + y2 9 4 =1 2. Tentukan volume benda putar daerah yang batas-batasnya seperti berikut jk diputar 360o mengelilingi sumbu X. a. y = 2x, y = x + 1 dan sumbu Y b. y = x 2 dan y = 2x c. y = 2 + x2 dan y = 10 – x 2 d. y = x 2 dan y = 4x – x 2
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 28 4. Volume Benda Putar Dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu Y. Daerah yang dibatasi kurva x1 = f(y) dan x2 = g(y) garis y = a dan garis y = b yang diputar 360o mengelilingi sumbu Y. Analog dengan mentukan volume benda putar daerah dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu X, untuk yang mengelilingi sumbu Y. Vol = π b a 2 2 2 1 x x dy atau V = π b a 2 2 f(y) g(y) dy Contoh 2 Tentukan volumenya, jika daerah yang diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y Y y = 2x y = x 2 X Penyelesaian Nyatakan dalam fungsi y untuk kedua fungsi tersebut y = x 2 x 2 = y y = 2x x = y 2 1 Batas integrasi potongkan kedua kurva x 2 = y x 2 = 2 4 1 y 0 = y – 2 4 1 y Jadi. Batas bawah y = 0 0 = y(1 – y 4 1 ) batas atas y = 4 y = 0 atau y = 4 Volume = (x x ) dy 4 0 2 2 2 1 = y) dy 2 1 y ( 4 0 2 = y) dy 4 1 y ( 4 0 2 = 4 0 ..... .... ....y .....y = (....4 .....4 ) 0 ..... .... = ...... Latihan uji Kompetensi 16 1. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y. a. b. c. Y X y = x 2 y = - x + 2 2 d.
#untuk kalangan sendiri#smabopkri2yk#wuryanto 29 Y X y = x y = 2x 3 Y X y + x = 4 2 2 Y X 1 4 y 9 x 2 2 2. Hitung volume benda putar daerah yang batas-batasnya seperti berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y. a. y = 2x , y = x + 1 , dan sumbu Y b. y 2 = 4x dan x = 1 c. y 2 = x dan y = x2 d. x 2 + y2 = 9 dan x + y = 3 LATIHAN UJI KOMPETENSI 1. Tentukan integral – integral tak tentu berikut a. 3 ( 1) 3 2 x dx c. cos ( 2x – )dx b. ) 1 ( x x x dx d. sin 3x cos x dx 2. a. Diketahui sebuah fungsi mempunyai turunan f ' (x) = 6x2 – 2x + 1. untuk x = 2, f(x) bernilai 4, tentukan f(x)! b. Tentukan persamaan kurva yang mempunyai gradien garis singgung yang ditentukan oleh dx dy = 3 ( x2 – 4 ). Dan kurva melalui titik (3, – 1) 3. Tentukan nilai dari integral – integral tentu berikut a. 2 1 2 2 ) dx x 1 (x c. 0 2 sin 3x dx b. 1 0 2 ( x 1) dx d. 4 0 cos2x sin dx x 4. Tentukan integral – integral tak tentu berikut ini a. x 2 ( x3 – 4 )7 dx c. 2 25 -16x dx b. 3 2 (2x 1) 4 dx d. x 2 cos ( 3x – 4 ) dx 5. a. Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan sumbu X. Tentukan luasnya b. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 4 dan y = 8 – 2x2 6. a. Tentukan volume benda putar suatu suatu daerah yang dibatasi kurva y = – x 2 + 1 dan sumbu X jika diputar 360o mengelilingi sumbu X. b. Tentukan volume benda putar daerh yang dibatasi kurva y = x2 dan y = – x 2 + 2, jika diputar 360o mengelilingi sumbu X