Mengenali Bentuk Akar & Pangkat Rasional

untuk kalangan sendiri SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA Mengenali Bentuk Akar & Pangkat Rasional

Bentuk Akar - Pangkat Rasional - Persamaan Pangkat Sederhana Pada abad 16, matematikawan Italia menggunakan istilah lato (artinya “sisi”) yang terkadang diartikan dengan akar karena sisi tersebut tidak diketahui panjangnya. Istilah ini kemudian diambil untuk menghitung panjang sisi dari suatu bujur sangkar dan bilangan kuadrat disebut dengan lato cubico. Bombelli menggunakan terminologi dengan menggunakan simbol R., artinya radix, namun mirip dengan simbol universal yang biasa digunakan dokter dalam menulis resep. Oleh karena itu, Bombelli kemudian menggantinya dengan simbol R.q. (radice quarata), sehingga akar kuadrat untuk 2 ditulis dengan notasi R.q.2 dan akar kubik untuk 2 ditulis dengan notasi R.c. 2 (radice cubica). Simbol-simbol di atas mulai digunakan Bombelli dalam buku karyanya yang terkenal L’Algebra. Menulis notasi akar dengan R.q. atau R.c. ternyata merepotkan dan tidak praktis sehingga dibuat dengan menuliskan dalam bentuk r (huruf r kecil). Apa yang terjadi kemudian? Penulisan notasi dengan r ini jika ditulis oleh tangan (bukan mesin ketik) – terlebih tulisan orang tersebut jelak, maka yang muncul adalah bentuk yang tidak lazim. Lama kelamaan huruf r kecil yang beragam ini diberi bentuk baku yaitu bentuk seperti yang kita kenal sekarang ini,√. Notasi radikal √ diperkenalkan pertama kali pada 1525 oleh seorang ahli aljabar Jerman, Christoff Rudolf (1500–1545) dalam bukunya yang berjudul Die Coss. Simbol ini dipilih karena kelihatan seperti huruf r dari kata radix, yang dalam bahasa latin berarti akar. Bentuk akar (√) adalah kebalikan dari bilangan berpangkat. Jika 5 2 = 25, maka √25 = 5. Jika 2 3 = 8, maka 3 √8 = 2.. Sebelum kita pelajari bilangan bentuk akar, kita pelajari terlebih dahulu bilangan rasional . . dan bilangan irasional . Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b a , dengan a dan b bilangan bulat. Contoh bilangan rasional : 2/3 , ¾ , 1½ , 1,25 , 0,33333… , dll. Bilangan Irasional adalah bilangan yang tak dapat dinyatakan dalam bentuk b a dengan a . dan b bilangan bulat . Contoh bilangan Irasional : a. Bilangan bentuk akar adalah akar bilangan rasional yang hasilnya irasional. Contoh : 2 , 3 , 5 , 6 , ….. Sedangkan bilangan –bilangan 4 , 9 , 16 , …. bukan merupakan bentuk akar . . karena 4 = 2 , 9 = 3 , 16 = 4 , …. yang itu merupakan bilangan rasional . b. Bilangan bentuk logaritma , misalnya : log 3 , log 4 , 2 log 3 , 3 log 7 dsb. c. Bilangan – bilangan : e , , cos 650 , tan 360 , dsb. d. Dan lain-lain.

A.Menyederhanakan bentuk akar Untuk menyederhanakan bilangan bentuk akar kita gunakan sifat perkalian akar yaitu : n axb = n a x n b Contoh : 8 = 4 x 2 = 22 75 = 25 x 3 = 53 500 = 100 x 5 = 105 Latihan 3 Sederhanakan bentuk akar berikut 1. 18 = … 2. 32 = … 3. 27 = …. 4. 45 = … 5. 50 = …. 6. 75 = … 7. 48 = … 8. 150 = … 9. 300 = …. 10. 500 = … B.Penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akar Untuk penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akar digunakan sifat i. ac + bc = ( a + b )c ii. ac – bc = ( a – b )c . Contoh : Sederhanakanlah : a.53 + 23 b.72 – 42 c.55 + 45 – 35 d.50 + 18 – 32 Jawab : a.53 + 23 = ( 5 + 2 )3 = 73 b.72 – 42 = (7 – 4 )2 = 32 c.55 + 45 – 35 = (5+4 - 3)5 = 65 d.50 + 18 – 32 = 52 + 32 – 42 = (5+3 - 4)2 = 42 Latihan 4 1.Sederhanakanlah masing-masing bentuk akar berikut : a. 35 + 85 = … b. 76 + 26 = … c. 82 – 33 = … d. 95 – 45 = … e. 53 + 33 – 43 = …. f. 77 + 87 – 107 = … g. 93 – 63 + 53 =…. h. 62 – 52 + 32 = … 2. Sederhanakanlah masing-masing bentuk akar berikut : a. 8 + 50 = …. b. 75 + 27 = … c. 48 – 12 = … d. 125 – 75 = …. e. 245 + 80 – 125 = …. f. 300 + 108 – 243 = …. g. 332 – 58 + 250 = … h. 500 – 180 + 245 = … i. 224 + 320 + 454 + 580 = … j. 5200 + 4300 – 3128 – 2243 = ….

C. Perkalian Bentuk Akar Pada perkalian bentuk akar berlaku sifat : i. a x b = (axb) ii.(a +b)c =(ac) +(bc) iii. (ab + cd) ef = ae(bf) + ce(df) Contoh : i. 20 x 5 = 100 = 10 ii. (8 + 6).12 = 96 + 72 = 46 + 62 iii. (23 + 2).(3 – 32) = 23.(3 – 32) + 2.(3 – 32) =6 +66 +6 –6=76 Latihan 5 Sederhanakanlah : 1. a. 3 x 3 = … b. 5 x 5 = … c. p x p = … d. 2c x c = … e. 10 x 5 = … f. 8 x 12 = … g. 26 x 315 = … h. 35 x 210 = … 2.a. 23(3 + 2) = … b. 35(25 – 2) =… c. 42(3 + 26) = … d. (32 – 23)6 = … e. (56 + 65).215 = … 3. a. (3 + 2)2 = … b. (5 – 3)2 = … c. (3 + 2)(3 – 2) = … d. (5 + 3)(5 – 3) = …. e. (5 + 23)(5 – 23) = … f. (23 + 3)(23 – 3) = … g. (a + b)(a – b) = … h. (a + b)(a – b) = … i. (a + bc)(a – bc) = … 4. Jika p = 32 + 4 dan q = 32 – 4 , maka tentukan nilai : a. 3p + 3q = … b. 4p – 5q = … b. P 2 – q 2 = … d. 5.p.q = … c. 2p2 + 2q2 = … 5. Suatu persegi panjang mempunyai panjang (6 + 42) cm dan lebar (6 – 42) cm . Hitunglah: a. Luas persegi panjang tsb . b. Panjang diagonal persegi panjang tsb. D.Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar. Ingat bahwa : (a + b).(a – b) = a – b ( merupakan bilangan rasional) Dikatakan bahwa : (a + b) dan (a – b) saling sekawan. Untuk merasionalkan suatu pecahan yang penyebutnya bentuk akar , maka pembilang dan . penyebut dikalikan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan bentuk akar berikut : a. 2 3 18 V = 2 3 18 V x 3 3 V V = 2.3 18V3 = 6 18V3 = 33. b. 4 2 3 9 V = 4 2 3 9 V x 4 2 3 4 2 3 V V = 16 12 9(4 2 3) V = 4 36 18V3)

Latihan 6 Rasionalkan penyebut pecahan bentuk akar berikut : 1. 2 6 V = … 2. 2 3 9 V = … 3. 5 2 6 5 V V = … 4. 2 3 6 V = … 5. 3 2 2 5 V = … 6. 3 2 5 14 V = … 7. 4 2 3 4 2 3 V V = … 8. 3 2 2 3 2 2 V V = … 9. 2 3 2 2 3 2 V V V V = … 10. 4 2 3 3 2 4 2 3 3 2 V V V V = … E. Menyederhanakan Bentuk Akar a b c dan a b c Bentuk a b c dan a b c berturut-turut dapat disederhanakan menjadi e + f dan e - f .Selanjutnya perhatikan uraian berikut ini : Jika bentuk a b c = e + f , kuadratkan kedua ruas. a + b c = e + 2 ef + f a + b c = e + f + 2 ef Jadi , a b c = (e f ) 2 ef = e + f dengan e + f = a dan e.f = c serta b = 2. Demikian juga untuk : a b c = (e f ) 2 ef = e - f dengan e > f Contoh : Sederhanakan bentuk akar berikut : a. 10 2 21 b. 9 4 5 Jawab : Jawab : a. 10 2 21 = (7 3) 2 7x3 b. 9 4 5 = 9 2 20 = 7 + 3 = (5 4) 2 5x4 = 5 - 4 = 5 - 2 Latihan 7 Sederhanakan bentuk akar berikut : 1. 8 2 15 = … 2. 7 2 12 = … 3. 16 4 15 = … 4. 8 4 3 = … 5. 9 6 2 = … 6. 15 6 6 = … 7. 18 12 2 = … 8. 14 8 3 = … 9. 17 12 2 = … 10. 18 8 5 = …

F. Pangkat Rasional Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat , juga berlaku pada bilangan berpangkat rasional , yaitu : 1. am x an = am+n 2. am : an = am-n 3. (am ) n = amxn 4. (a.b)n = an x bn 5. n n n b a b a 6. a0 = 1 7. n n a a 1 8. a 1/n = n a , n 2 , n bilangan asli 9. n n m m a a m bulat dan n 2 , n bilangan asli. 10. n m a = n m a 1 Contoh : 1.Tuliskan dalam bentuk akar untuk a. k 2/3 b . m -5/2 Jawab : a. k2/3 = ( 3 k ) 2 b. m -5/2 = 2 5 1 m 2. Tuliskan dalam bentuk pangkat untuk a. . ( 3 7 q ) b. ( 5 9 w ) Jawab : a. ( 3 7 q ) = q7/3 b. ( 5 9 w ) = w9/5 3. Tentukan nilai dari : a. 27 2 / 3 b. 16-3 / 4 Jawab : a. 272/3 = (33 ) 2 / 3 = 3 2 = 9 b. 16-3 / 4 = (24 ) -3/ 4 = 2-3 = 3 2 1 = 8 1 Latihan 8 1. Tuliskan dalam bentuk akar untuk bentuk-bentuk pangkat berikut : a. k3/4 = … b. m3/5 = … c. p -3/2 = … d. t -7/3 = … 2. Tuliskan dalam bentuk pangkat untuk bentuk-bentuk akar berikut : a. ( 4 d ) 7 = … b. ( 7 d ) 9 = … c. ( 4 d ) -3 = … d. ( 5 d ) -8 = … 3. Tentukan nilai dari : a. 41/2 = … b. 8-1/3 = ….. c. 253/2 = …. d. 272/3 = …. d. 64-2/3 = …. e. 125-4/3 = ……. f. 36-3/2 = …. g. 81-3/4 = …….. h. (42 + 32 ) 1/2 = … i. (122 + 92 ) 1/2 = ….. 4. Jika p = 27 dan q = 8 , tentukan nilai : a.3p-2/3 + 2q2/3 = … b.4p1/3 – 6q-1/3 = …

G. Persamaan Pangkat Sederhana Untuk menyelesaikan persamaan pangkat sederhana kita menggunakan sifat sbb: “ af(x) = ap jika dan hanya jika f(x) = p “. Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : a. 8 2x-1 = 32 b. (1/2)3-2x = 2V2 Jawab : a. 82x-1 = 32 b. (1/2)3-2x = 2V2 (23 ) 2x-1 = 25 (2-1 ) 3-2x = 21 .21/2 2 6x-3 = 25 2 -3+2x = 21 + ½ 6x – 3 = 5 -3 + 2x = 11 /2 6x = 8 2x = 41 /2 x = 4/3 x = 9 /4 Latihan 9 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut : 1. 42x+3 = 32 2. (1 /4) x-4 = 16 3. 6.2 3x-1 = 3 /512 4. 2 2x+1 = 16V2 5. 9.3x = 27. 3 3 6. 1252x-1 = 1 /5V5 7. (1 /8) x-3 = 4 8. (0,04) 2x-3 = 125 9. (0,5) 2-x = 4V2 10. (2V2)4x-2 = 64