Mengerti Trigonometri

Mengerti untuk kalangan sendiri Trigonometri SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 1 MENGERTI TRIGONOMETRI Hayo, siapa yang tahu bagaimana cara mencari sisi miring segitiga? Pasti kamu akan menjawab dengan rumus Phytagoras, kan? Lalu, bagaimana jika hanya diketahui sudut segitiga dan panjang salah satu sisi saja? Apakah bisa menggunakan Phytagoras? Tentu tidak ya. Untuk kasus segitiga yang seperti itu, kamu bisa menentukan sisi miringnya dengan aturan perbandingan atau trigonometri. Apa yang dimaksud trigonometri? Yuk, simak selengkapnya! Trigonometri adalah cabang ilmu dalam Matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut pada segitiga. Hubungan itu biasanya dinyatakan sebagai perbandingan sinus, kosinus, dan tangen. Melalui perbandingan ini, kamu bisa dengan mudah menentukan panjang sisi segitiga meskipun hanya diketahui panjang salah satu sisi dan sudutnya saja. Perbandingan dasar trigonometri terdiri dari sinus, kosinus, dan tangen. Dari perbandingan tersebut, akan muncul perbandingan lain, seperti kosekan, sekan, dan kotangen. Apa sih maksud perbandingan-perbandingan tersebut? Untuk lebih jelasnya, yuk kita pelajari bersama sampai kita mengerti trigonometri. A. Sudut dan Pengukurannya. 1. Sudut . Untuk memahami pengertian sudut, perhatikan gambar berikut : A’ Pada gambar di samping , ruas garis OA diputar Dengan pusat O , sehingga OA pindah menjadi OA’, Arah positif sehingga terbentuk sudut AOA’. α OA dan OA’ disebut kaki sudut O A O disebut titik sudut. O A - α Jika putaran berlawanan arah putar jarum jam ,maka Arah negatif diperoleh sudut positif, dan jika putarannya searah dengan arah putar jarum jam diperoleh sudut negatif. A’ 2. Pengukuran Sudut Ada dua satuan pengukuran sudut, yaitu satuan derajat ( o ) dan satuan radian ( rad ). Telah kita ketahui bahwa satu putaran penuh arah berlawanan dengan arah putar jarum jam adalah 3600 . Satu derajat ( 10 ) adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur sepanjang 360 1 keliling lingkaran. Untuk ketelitian dalam pengukuran sudut dalam derajat masih kita bagi lagi 10 menjadi 60’ ( 60 menit ), dan 1’ menjadi 60” (60 detik) , sehingga : 1 0 = 60’ atau 1 derajat = 60 menit 1’ = 60” atau 1 menit = 60 detik . Satu radian ( 1 rad ) adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur sepanjang jari-jari lingkaran. A Untuk jelasnya perhatikan gambar di sebelah. R Jika OA = OB = panjang busur AB = Jari-jari R, Maka besar sudut AOB = 1 radian. B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 2 Hubungan derajat dan radian. Jika kita bandingkan , maka kita peroleh hubungan : 1 radian bersesuaian dengan busur sepanjang R. 2 radian bersesuaian dengan busur sepajang 2R. 2R.adalah keliling lingkaran yang sudut pusatnya 3600 Jadi : 2R = 3600 sehingga radian = 1800 1 radian = 0 180 dan 1 derajad = 180 radian. Contoh : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam radian : a. 450 b. 1200 Jawab : a.. 450 = 45 x 180 radian = ¼ radian. b. 1200 = 120 x 180 radian = 3 2 radian Latihan 1. 1. Dengan busur derajat ukurlah besar sudut-sudut berikut : a. b. c. d. . 2. Ubahlah dalam radian 3. Ubahlah dalam satuan derajat Derajat Radian Derajat Radian 0 0 … … 7/6 300 … … 5/4 450 … … 4/3 600 … … 3/2 900 … … 5/3 1200 … … 7/4 1350 … … 11/6 1500 … … 2 1800 …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 3 B. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku C4 C3 C2 C1 A B1 B2 B3 B4 Berdasarkan sifat kesebangunan segitiga , maka diperoleh bahwa : ................ ......... 4 4 3 3 2 2 1 1 dst AC AB AC AB AC AB AC AB = kosinus sudut = cos ................ ......... 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 dst AC B C AC B C AC B C AC BC = sinus sudut = sin ................ ......... 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 dst AB B C AB B C AB B C AB BC = tangens sudut = tan Pada sebarang segitiga siku-siku berlaku : Sisi siku-siku pengapit sudut Cos = Sisi miring Sisi siku-siku di depan sudut Sin = Sisi miring Sisi siku-siku di depan sudut Tan = Sisi siku-siku pengapit sudut Secan sudut = sec = cos 1 Cosecan sudut = csc = sin 1 Cotangens sudut = ctg = tan 1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 4 Latihan 2 1. Tentukan keenam perbandingan trigonometri pada setiap segitiga siku-siku berikut : a. Tan = … csc = … 5 3 Sec = … ctg = … 4 b. . coc = … sin = … 5 12 Tan = … csc = … Sec = … ctg = … c. . coc = … sin = … 7 ……. Tan =… csc = … 25 Sec = … ctg = … d. 1 . δ coc δ = … sin δ = … … Tan δ = … csc δ = … t Sec δ = … ctg δ = … C. Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa. 1. Diketahui segitiga ABC sama sisi dengan masing-masing sisinya 4 cm. C a. Tentukan tinggi CD. 2 1 4 4 b. Tentukan besar sudut A. c. Tentukan nilai dari : 2 2 i. cos 600 A D B ii. sin 600 iii. tan 600 iv. sec 600 v. csc 600 vi. ctg 600

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 5 2. Pada segitiga ABC di atas , selanjutnya tentukan : a. Tentukan besar sudut C. b. Tentukan besar sudut C1 . c. Tentukan nilai dari : i. cos 300 ii. sin 300 iii. tan 300 iv. sec 300 v. csc 300 vi. Ctg 300 3. Diketahui suatu persegi ABCD dengan sisi 4 cm. D 4 C a. Tentukan panjang diagonal AC. b. Tentukan besar sudut A1 . 4 4 c. Tentukan nilai dari : i. cos 450 A 2 1 B ii. sin 450 iii. tan 450 iv. sec 450 v. csc 450 vi. ctg 450 4. Dari uraian di atas diperoleh nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa sbb : Sudut (α) 0 0 300 450 600 900 Cos α … … … … … Sin α … … … … … Tan α … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 6 D. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran 1. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran I. Y Titik P1 (x,y) suatu titik di kuadran I . P1 (x,y) OP1 = r dan P1OX+membentuk sudut θ . r y maka : cos θ = x / r θ sin θ = y / r 0 x X+ tan θ = y / x 2. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran II. Y P2 (-x,y) P1 (x,y) θ X- 0 X+ Titik P1 (x,y) suatu titik di kuadran I dicerminkan terhadap sumbu Y, maka diperoleh titik P2(-x,y) suatu titik di kuadran II. Jika sudut P10X+ = θ , maka sudut P20X+ = 1800 – θ . Sehingga diperoleh : (180 ) cos 0 r x Cos atau (180 ) cos 0 Cos (180 ) sin 0 r y Sin atau (180 ) sin 0 Sin (180 ) tan 0 x y Tan atau (180 ) tan 0 Tan Contoh : Tentukan nilai dari : a. cos 1200 b. sin 1500 c. tan 1450 Jawab : a. cos 1200 = cos(180 – 60)0 = - cos 600 = - ½ b. sin 1350 = sin(180 – 45)0 = sin 450 = ½ √2 c. tan 1500 = tan(180 – 30)0 = - tan 300 = 1/3.√3

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 7 3. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran III. Y P1 (x,y) r θ X- 0 X+ r P3 (-x,-y) Dengan memperhatikan gambar di atas , titik P3(-x,-y) diperoleh dari titik P1(x,y) yang diputar dengan pusat O (0,0) sejauh 1800 , sehingga sudut P3OX+ adalah (1800 + θ). Selanjutnya dapat ditentukan nilai dari : (180 ) cos 0 r x Cos atau (180 ) cos 0 Cos Sin r y Sin (180 ) 0 atau Sin(180 ) Sin 0 Tan x y x y Tan (180 ) 0 atau Tan(180 ) Tan 0 Contoh : Tentukan nilai dari : a. cos 2400 b. sin 2100 c. tan 2250 Jawab : a. cos 2400 = cos(180 + 60)0 = - cos 600 = - ½ b. sin 2100 = sin(180 + 30)0 = - sin 300 = - ½ c. tan 2250 = tan(180 + 45)0 = tan 450 = 1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 8 4. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran IV. P1 (x,y) Jika titik P1(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X,maka diperoleh titik P4(x,-y) sehingga sudut P4OX+ = 3600 – θ = -. θ Selanjtnya dapat ditentukan nilai dari : θ O - θ X+ (360 ) ( ) cos 0 r x Cos Cos (360 ) ( ) sin 0 r y Sin Sin P4(x,-y) Tan x y Tan Tann (360 ) ( ) 0 Contoh: Tentukan nilai dari : a. cos 3300 b. sin 3300 c. tan 3150 Jawab : a. cos 3300 = cos(360 – 30)0 = cos(-300 ) = cos 300 = ½√3 b. sin 3300 = sin(360 – 30)0 = sin(-300 ) = - sin 300 = - ½ c. tan 3150 = tan(360 – 45)0 = tan(-450 ) = - tan 450 = -1. 5. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 3600 . Selanjutnya untuk sudut-sudut yang lebih dari 3600 berlaku sebagai berikut : Cos(n.3600 + θ) = cos θ Sin(n.3600 + θ) = sin θ Tan(n.1800 + θ) = tan θ Contoh : a. Cos 7500 = cos(2.360 + 30)0 = cos 300 = ½√3 b. Sin 11250 = sin(3.360 + 45)0 = sin 450 = ½√2 c. Tan 9600 = tan(5.180 + 60)0 = tan 600 = √3

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 9 Latihan 3 Salin dan lengkapilah tabel berikut : No. Derajat Radian Cosinus Sinus Tangens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 390 405 420 450 480 495 510 540 570 585 600 630 660 675 690 720 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … … … … … … … … … … … … ... … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 10 E. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi. 1. Relasi antara θ dan (900 - θ) Y P’(y,x) y = x Jika titik P1(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x , maka diperoleh titik P’(y,x) , sehingga sudut P’OX+ = (900 – θ) Sehingga diperoleh nilai : P1 (x,y) Cos(900 – θ) = r y = Sin θ X+ Sin(900 – θ) = r x = Cos θ O Tan(900 – θ) = y x = Ctg θ 2. Relasi antara θ dan (900 + θ) Titik P1(x,y) diputar 900 maka diperoleh titik P’’(-y,x) Y P”(-y,x) dengan sudut P”OX+ = (900 + θ) Sehingga diperoleh nilai : P1(x,y) Cos(900 +θ) = r y = - Sin θ θ X+ Sin(900 +θ) = r x = Cos θ Tan(900 +θ) = y x = - Ctg θ 3. Relasi θ dan (2700 – θ) Cos(2700 – θ) = cos(1800 + (900 – θ)) = - cos(900 – θ) = - sin θ Sin(2700 – θ) = sin(1800 + (900 – θ)) = - sin(900 – θ) = - cos θ Tan(2700 – θ) = tan(1800 + (900 – θ)) = tan(900 – θ) = ctg θ 4. Relasi θ dan (2700 + θ) Cos(2700 + θ) = cos(1800 + (900 + θ)) = - cos(900 + θ) = - ( - sin θ) = sin θ Sin(2700 + θ) = sin(1800 + (900 + θ)) = - sin(900 + θ) = - cos θ Tan(2700 + θ) = tan(1800 + (900 + θ)) = tan(900 + θ) = - ctg θ.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 11 Latihan 4 1.Nyatakan dalam sinus sudut lancip untuk : a. cos 600 = … b. cos 750 = … c. cos 1350 = … d .cos 1600 = … e. cos 2400 = … f. cos 2500 = … g. cos 3300 = … h. cos 3500 = …. 2. Nyatakan dalam nilai cosinus sudut lancip dari : a. sin 600 = … b. sin 750 = … c. sin 1500 = … d. sin 2500 = … e. sin 3350 = … f. sin 3450 = … 3. Nyatakan dalam nilai cotangen sudut lancip dari : a. tan 600 = … b. tan 1350 = … c. tan 2350 = … d. tan 3450 = …

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 12 F. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub Y P ( x , y ) y O x X a. Sistem Koordinat Kartesius Y P ( r , θ ) r O θ x X b. Sistem Koordinat Kutub Hubungan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub. Y P(x,y) ≡ P(r,θ) r y x X i. Mengubah system koordinat kutub P(r,) menjadi system koordinat kartesius (x,y). Cos θ = r x x = r.cos θ Sin θ = r y y = r.sin θ Jadi:” Jika koordinat kutubnya P(r,θ) , maka koordinat kartesiusnya P(r.cos θ , r.sin θ)” Contoh : Ubahlah dalam system koordinat kartesius untuk titik P (10 , 3000 ). Jawab : P ( 10 , 3000 ) x = r.cos θ = 10. cos 3000 = 10 . ½ = 5 y = r.sin θ = 10 . sin 3000 = 10 . -½ V3 = -5V3 Jadi : koordinat kartesius titik P (5 , - 5 V3)

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 13 ii. Mengubah system koordinat kartesius (x,y) menjadi system koordinat kutub (r , ) r 2 = x 2 + y2 r = 2 2 x y tan θ = x y θ = anti tan x y dan θ di kuadran dari (x,y) Jadi : “ Jika koordinat kartesius P(x,y) , maka koordinat kutubnya P( 2 2 x y , x y anti.tan ) “ Contoh : Ubahlah dalam system koordinat kutub untuk titik Q ( -6 , 2V3 ) Jawab : Q ( -6 , 2V3 ) r = 2 2 x y = ( 6) (2 3) 36 12 48 4 3 2 2 V θ = anti tan x y = anti tan 6 2 3 = anti tan 3 3 1 dan ada di kuadran II = 1500 Jadi koordinat kutub titik Q ( 4V3 , 1500 ) Latihan 5 1. Ubahlah dalam system koordinat kartesius. a. A (10, 600 ) b. B (8, 1500 ) c. C (6,2250 ) d. D ( 4, 3000 ) e. E (12, 1800 ) f. F ( 6, 2700 ) 2. Ubahlah dalam system koordinat kutub. a. P(3,√3) b. Q(-3,3) c. R(-2√3,-6) d. S(6,- 2√3) e. T(4 ,- 4 ) f. F(-5,-5)

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 14 G.Rumus-Rumus Yang Menghubungkan Kosinus, Sinus dan Tangens. Pada gambar di samping berlaku : x 2 + y2 = r 2 r y θ cos θ = r x tan θ = x y sin θ = r y 1. Hubungan Cosinus dan Sinus Pada persamaan x2 + y2 = r 2 , jika masing-masing ruas dibagi dengan r2 , maka Diperoleh 2 2 2 2 2 2 r r r y r x 1 2 2 r y r x cos sin 1 2 2 cos sin 1 2 2 atau 2 2 cos 1 sin atau 2 cos 1 sin atau 2 2 sin 1 cos atau 2 sin 1 cos 2. Hubungan antara cosinus, sinus dan tangens Pada persamaan x y tan r x r y tan atau cos sin tan Contoh : Diketahui sin A = -3/5 dan A sudut pada kuadran III , tentukan nilai dari : a. cos A b. tan A Jawab : Sin A = -3/5 , A pada kuadran III a. A A 2 cos 1 sin 2 5 3 cos 1 A 25 9 cosA 1 25 16 cosA atau 5 4 cosA Karena A di kuadran III , maka nilai cos A = -4/5 b. 4 3 4 5 5 3 5 4 5 3 cos sin tan x A A A x

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 15 Latihan 6 1.Diketahui sin A = 13 5 dan A sudut di kuadran II, tentukan nilai dari : a. cos A b. tan A. 2. Diketahui cos B = 25 7 dan B sudut di kuadran IV , tentukan nilai dari : a. sin B b. tan B 3. Diketahui tan C = 3 4 dan C sudut di kuadran I , tentukan nilai dari : a. sin C b. cos C 4. Diketahui sin D = 3 2 dan cos E = 4 3 ,D sudut di kuadran II dan E sudut di kuadran III Tentukan nilai dari : a. cos D b. tan D c. sin E d. tan E e. cos D.cos E – sin D.sin E f. sin D.cos E + cos D.sin E. 5. Diketahui cos A = a dan tan B = b , sudut A dan sudut B di kuadran I. Tentukan nilai dari : a. sin A b. tan A c. sin B d. cos B

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 16 H. Identitas Trigonometri Adapun identitas trigonometri antara lain : 1. cos sin 1 2 2 A A atau A A 2 2 cos 1 sin atau A A 2 2 sin 1 cos 2. tan A = A A cos sin 3. sec A = cosA 1 4. csc A = sin A 1 5. cot A = A A A sin cos tan 1 6. sec2A = 1 + tan2A 7. csc2A = 1 + cot2A Contoh : Buktikan bahwa :cos A. tan A = sin A. Bukti : Ruas kiri = cos A.tan A = cos A . A A cos sin = sin A = Ruas kanan (terbukti ) Latihan 7 Buktikanlah bahwa : 1. cot A. tan A = 1 2. sec A. sin A = tan A 3. 1 sin cos .tan A A A 4. A A A cos cos 1 sin2 5. A A A 2 2 2 tan cos 1 cos 6. A A A 2 2 2 cot 1 cos 1 sin 7. 2 tan sec cos tan sec cos A A A A A A 8. sin A. sec A + cos A. csc A = sec A. csc A 9. A A A ctg A A A 2 2 2 2 2 2 tan sin csc tan .csc 10. sin A. cos A.(tan A + ctg A) = 1

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 17 I. Fungsi Trigonometri Jika f :A B dengan A himpunan besar suatu sudut dan B himpunan bilangan real, maka f fungsi trigonometri. f : x f(x) Misalnya : 1. f : x cos x 2. f : x sin x 3. f : x tan x Contoh : Jika f(x) = sin x , tentukan nilai dari : a. f(1 /2.π) b. f(2 /3π) c. f(3 /4π) Jawab : a. f(1 /2.π) = sin(1 /2.π) = 1 b. f(2 /3.π) = sin(2 /3.π) = ½√3 c. f(3 /4.π) = sin(3 /4.π) = ½√2 Latihan 8 1. Diketahui f : x cos x , tentukan nilai dari : a.f(300 ) b. f(1200 ) c. f(2250 ) d. f(3000 ) 2. Diketahui f : x sin x , tentukan nilai dari : a. f(450 ) b. f(1500 ) c. f(2100 ) d. f(3000 ) 3. Diketahui f : x tan x , tentukan nilai dari : a. f(1 /4π) b. f(3 /4π)) c. f(π) d. f(3 /2π)

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 18 J. Grafik Fungsi Trigonometri Contoh : Gambarlah grafik dari y = f(x) = sin x untuk 00 x 3600 . Jawab : Buat tabel : X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 Sin x 0 ½ ½V2 ½V3 1 ½V3 1/2V2 ½ 0 -1/2 -1/2V2 –1/2V3 -1 –1/2V3 –1/2V2 –1/2 0 1 ……………………………………………………………………………………… 1/2 0 90 180 270 360 X -1/2 -1 …………………………………………………………………………………… Latihan 9 1. Gambarlah grafik dari y = f(x) = cos x , untuk 0 x 360. 2. Gambarlah grafik y = f(x) = tan x, untuk 0 x 360. 3. Gambarlah grafik fungsi y = cos x , untuk -720 x 720. 4. Gambarlah grafik fungsi y = sin x , untuk -720 x 720. 5. Gambarlah grafik fungsi y = sin x , untuk -2 x 2. 6. Gambarlah grafik fungsi y = cos x , untuk -2 x 2. 7. Gambarlah grafik fungsi y = tan x , untuk -2 x 2. 8. Gambarlah grafik fungsi y = sin 2x , untuk -2 x 2. 9. Gambarlah grafik fungsi y = cos 3x , untuk -2 x 2. 10. Gambarlah grafik fungsi y = tan 2x , untuk -2 x 2.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 19 K. Persamaan Trigonometri 1. Jika cos x = cos p , maka x = p + k.2 , dengan k bilangan bulat 2. Jika sin x = sin p , maka x = p + k.2 , dengan k bilangan bulat. 3. Jika tan x = tan p , maka x = p + k. , dengan k bilangan bulat. 4. Jika cos 2x = cos p , maka 2x = p + k.2 ,atau x = ½.p + k 5. Jika sin 2x = sin p , maka 2x = p + k.2 ,atau x = ½.p + k 6. Jika tan 2x = tan p , maka 2x = p + k. ,atau x = ½.p + ½.k dst. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 2 : 1. 2.sin x + 1 = 0. 2. 2.cos2x – 2 = 0. Jawab : 1. 2.sin x + 1 = 0 2.sin x = -1 sin x = - 1 /2 sin x = sin 7 /6 atau sin x = sin 11/6 x = 7 /6 atau x = 11/6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ 7 /6 , 11/6 } 2. 2.cos 2x – 2 = 0. 2.cos 2x = 2 cos 2x = 1 cos 2x = cos 0 atau cos 2x = cos 2 2x = 0 + k.2 atau 2x = 2+ k.2 x = 0 + k. atau x = + k. Untuk k = 0 maka x = 0 atau x = Untuk k = 1 maka x = atau x = 2 Untuk k = 2 maka x = 2 atau x = 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ 0 , , 2 } Latihan 10. 1. Untuk 0 x 360, tentukan himpunan penyelesian persamaan berikut : a. 2.sin x0 = 1 b. 4.cos x0 + 2 = 0 c. tan x0 + 1 = 0 d. 3.sin 2x0 – 3 = 0 e. 2.cos 3x0 – 1 = 0 f. 3 tan 3x 0 + V3 = 0 2. Untuk 0 x 2, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut : a. 2.sin x + 3 = 0 b. 3.cos x + 3 = 0 c. 4.tan x + 4 = 0 d. 3.sin 2x – 1 = 2. e. 2. cos 3x + 2 = 0 f. 3.tan 3x + 3 = 0 3. Untuk 0 x 2, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut : a. sin (x – ½ ) = ½ b. 3.cos(x + ) - 3 = 0 c. 4.tan(2x - ) - 4 = 0 d. 3.sin (2x + ) – 1 = 2. e. 2. cos(3x – ½) + 2 = 0 f. 3.tan(3x - ) - 3 = 0

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 20 L. Aturan Sinus Bunyi aturan Sinus : “Pada sebarang segitiga , perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadapinya adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga”. Secara matematis : Pada segitiga ABC berlaku : C c B b A a sin sin sin Bukti : C Perhatikan segitiga ABC di samping ! E t1 = CD merupakan garis tinggi yang ditarik dari titik sudut C dan tegak lurus sisi AB dan t2 = AE merupakan b a garis tinggi yang ditarik dari titik A dan tegak lurus t2 t1 sisi BC. D A c B Pada segitiga ADC, berlaku : sin A = t b A b t AC CD 1 .sin 1 b.sin A = a.sin B Pada segitiga BDC, berlaku : sin B = t a B a t BC CD 1 .sin 1 B b A a sin sin ….. (1) Pada segitiga BAE, berlaku : sin B = t c B c t AB AE 2 .sin 2 c.sin B = b.sin C Pada segitiga CAE, berlaku : sin C = t b C b t AC AE 2 .sin 2 C c B b sin sin ….. (2) Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : C c B b A a sin sin sin Contoh : Pada segitiga ABC, diketahui BC = 6 cm, sudut A = 600 dan sudut B = 450 . Tentukan panjang sisi AC . Jawab : Diketahui : BC = a = 6 , A = 600 dan B = 450 Ditanyakan : AC = b = … Perhitungan : Antara : a , b , A dan B diperoleh hubungan : B b A a sin sin Sehingga : 0 0 sin 60 sin 45 6 b atau b = 2 6 3 6 6 3 3 3 6 2 3 2 1 2 2 1 6. x Jadi panjang sisi AC = b = 2V6 cm.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 21 Latihan 11 1. Diketahui segitiga ABC , panjang sisi AB = 10 cm, sudut A = 300 dan sudut C = 450 . Tentukan : a. Besar sudut B b. Panjang sisi BC. c. Panjang sisi AC. 2. Pada segitiga , sudut P = 1050 , sudut Q = 300 dan panjang sisi PQ = 12 cm. Tentukan : a. Besar sudut R b. Panjang sisi PR c. Panjang sisi QR. 3. Pada segitiga ABC, sudut B = 600 , sisi AC = 66 cm, dan sisi BC = 12 Tentukan : a. Sudut A b. Sudut C c. Panjang sisi AB. 4. Padsegitiga PQR, sudut Q = 300 , sisi PQ = 82 cm , dan sisi PR = 8 cm. Tentukan : a. Sudut P b.Sudut R c. Panjang sisi QR. 5. Sebuah kapal sedang berlabuh dalam kedudukan menghadap ke sebuah menara. Dari puncak menara itu, seorang pengamat melihat bagian depan kapal dengan sudut deviasi 300 dan bagian belakang kapal dengan sudut deviasi 600 . Jika tinggi orang yang mengamati 1,7meter , tinggi menara 72 meter, dan menara berada 1,3 meter di atas permukaan laut. Tentukan panjang kapal tersebut !

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 22 M. Aturan Kosinus C Pada sebarang segitiga ABC, berlaku aturan sbb: b a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A t a b 2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B c 2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C D A c B Bukti : Pada segitiga ADC , berlaku cos A = AC AD AD = AC. Cos A = b.cos A CD2 = AC2 – AD2 = b2 – ( b.cos A )2 = b2 – b 2 .cos 2A Pada segitiga BCD, berlaku BC2 = CD2 + BD2 a 2 = b2 – b 2 .cos 2A + ( c – b.cos A )2 a 2 = b2 – b 2 .cos 2A + c2 –2.b.c.cos A + b2 .cos 2A a 2 = b2 + c2 – 2.b.c cos A ( terbukti ) Dengan cara yang sama dapat pula dibuktikan bahwa : b 2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B dan c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C Bentuk lain aturan kosinus : a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A atau cos A = b c b c a 2. . 2 2 2 b 2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B atau cos B = a c a c b 2. . 2 2 2 c 2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C atau cos C = 2. . . 2 2 2 a b a b c Contoh : Pada segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, AC = 6 cm dan A = 600 . Tentukan : a. Panjang sisi BC b. Besar B Jawab : Diketahui : AB = c = 8 cm AC = b = 6 cm dan A = 600 . a. BC = a = 2 1 2. . .cos 6 8 2.6.8.cos60 36 64 96. 2 2 2 2 0 b c b c A a = 100 48 52 2 13 Jadi panjang sisi BC = a = 2 13 cm. b. cos B = 0,355 230,755 82 64. 13 52 64 36 2.4 13.8 2 13 8 6 2. . 2 2 2 2 2 2 a c a c b B = anti cos 0,355 = …….. Jadi besar sudut B adalah ……..

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 23 Latihan 12 1. Diketahui segitiga ABC, dengan sisi AB = 5 cm , BC = 8 cm , dan sudut B = 600 . Tentukan : a. Panjang sisi AC b. Besar sudut C. 2. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 7 cm , QR = 4 cm dan sudut Q = 1200 . Tentukan : a. Panjang sisi PR b. Besar sudut P. 3. Diketahui segitiga ABC , dengan sisi AB = 83 cm, BC = 8 cm dan AC = 82 cm. Tentukan : a. Besar sudut A b. Besar sudut B c. Besar sudut C 4. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 4 cm , PR = 5 cm dan QR = 6 cm. Tentukan : a. Besar sudut terbesar b. Besar sudut terkecil. 5. Sebuah pesawat udara lepas landas dengan arah 0400 sejauh 300 km, kemudian dengan arah 2800 sejauh 400 km dan akhirnya kembali ke landasan. Panjang lintasan dari landasan sampai kembali ke landasan lagi adalah ……..km. 6. Pada waktu yang bersamaan , dua buah kapal meninggalkan pelabuhan .Kapal A berlayar dengan arah 0720 dan kecepatannya 15 km/jam.Kapal B dengan arah 1320 dan kecepatannya 10 km/jam. Tentukan jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam. 7. Koordinat kutub titik P(10,370 ) dan titik Q(15,1570 ). Tentukan jarak PQ.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 24 N. Luas Segitiga 1. Rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit. C Pada segitiga ADC, sin A = t /b atau t = b sin A Pada segitiga BDC , sin B = t /a atau t = a sin B Luas segitiga ABC = ½ x alas x tinggi = ½ .c.t b t a = ½. c.b.sin A = ½ .b.c.sin A = ½ .c.a.sin B = ½ .a.c sin B = ½ .a.b.sin C A D B c Luas segitiga ABC = ½ a b sin C = ½ a c sin B = ½ b c sin A 2. Rumus luas segitiga jika diketahui satu sisi dan tiga sudutnya. Dari aturan sinus di dapat bahwa : A a C atau c C c B atau b B b A a sin .sin ... ... sin .sin ... .... sin .sin Maka jika disubstitusikan pada rumus di atas diperoleh rumus luas segitiga sbb: Luas segitiga ABC = A a B C 2.sin .sin .sin 2 = B b A C 2.sin .sin .sin 2 = C c A B 2.sin .sin .sin 2 3. Rumus luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Luas segitiga ABC = s.(s a).(s b).(s c) dengan s = ½.(a+b+c) Contoh 1 : Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 8 cm dan sudut A = 600 Jawab : AB = c = 6 cm AC = b = 8 cm sudut A = 600 Luas = ½.b.c.sin A = ½.8.6.sin 600 =24.1 /23 = 123 cm2 . Contoh 2 : Tentukan luas segitiga ABC , jika diketahui sisi AB = 5 cm , AC = 7 cm dan BC = 8 cm. Jawab : AB = c = 5 cm. AC = b = 7 cm BC = a = 8 cm. S = ½.(a+b+c) = ½.(8 + 7 + 5) = ½.20 = 10 cm. Luas = s.(s a).(s b).(s c) 10.(10 8).(10 7).(10 5) 300 10 3

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 25 Latihan 13 1. Diketahui segitiga ABC, sisi AB = 10 cm, sisi BC = 6 cm dan sudut B = 600 . Tentukan luas segitiga tsb. 2. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 12 cm , QR = 9 cm dan sudut Q = 1200 . Tentukan luas segitiga tsb. 3. Diketahui segitiga ABC,dengan sisi AB = 6 cm , sudut A = 300 , sudut B = 600 Tentukan luas segitiga tsb . 4. Diketahui segitiga PQR , dengan sisi PQ = 10 cm, sudut P = 450 , sudut Q = 600 . Tentukan luas segitiga tsb. 5. Diketahui segitiga ABC, dengan sisi AB = 8 cm, BC = 10 cm dan AC = 12 cm. Tentukan luas segitiga tsb. 6. Diketahui segitiga KLM, dengan KL = 15 cm, LM = 25 cm dan KM = 30 cm. Tentukan luas segitiga tsb. 7. Diketahui segienam beraturan yang dibuat dalam lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 4 cm, dengan titik –titik sudut ABCDEF. a. Gambarlah segienam beraturan tsb. b. Tentukan luas segitiga OAB. c. Tentukan luas segienam beraturan ABCDEF. 8. Diketahui segi dua belas beraturan yang dibuat dalam lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 cm, dengan titik-titik sudut ABCDEFGHIJKL. a. Gambarlah segi dua belas beraturan tsb. b. Tentukan luas segitiga OAB. c. Tentukan luas segiduabelas tsb. 9. Diketahui segi delapan beraturan dengan sisi 6 cm. Jika O titik pusat dan ABCDEFGH sebagai titik-titik sudutnya. a. Gambarlah segidelapan tsb. b. Tentukan luas segitiga OAB. c. Tentukan luas segi delapan tsb. 10. Diketahui segi dua belas beraturan dengan sisi 4 cm . Jika pusatnya O dan titik sudutnya ABCDEFGHIJKL. a. Gambarlah segi dua belas beraturan tsb. b. Tentukan luas segitiga OAB. c. Tentukan luas segi dua belas tsb.

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 26 Latihan Ulangan Harian Trigonometri I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar dan berikan alasannya ! 1. Diketahui sin A = 5/13 dan A sudut di kuadran II, maka tan A = … a. 12/5 b. 5/12 c. 12/13 d. –5/12 e. –12/5 2. Jika tan x = -V3 , x sudut tumpul, maka cos x = … a. -1 b. – 1 /2 V3 c. – 1 /2 d. 1 /2 e. 1 /2V3 3. Nilai dari ... cos225 .sin150 cos135 .tan135 0 0 0 0 a. -2 b. -1 c. 1 /2 d. 1 e. 2 4.Nilai dari sin 7500 = … a. 1 /2 b. 1 /2V3 c. – 1 /2 d. – 1 /2V3 e. -1 5. Bentuk tan A.csc A identik dengan … a. cos A b. sin A c. sec A d. sin2A e. cos 2A 6. Koordinat Kartesius dari titik ( 6, 2400 ) adalah … a. ( - 3, 3V3) b. ( - 3V3, - 3) c. ( - 3 , - 3V3) d. ( 3V3, - 3) e. ( 3 , -3V3) 7. Koordinat kutub dari titik ( - 5,5V3) adalah … a. ( 10, 120 0 ) b. ( 10, 1500 ) c. (10, 2400 ) d. (10, 3000 ) e. (10, 3300 ) 8. Diketahui f(x) = sin x + cos x + tan x , maka nilai dari f() = … a. - 1 b. 0 c. 1 /2 d. 1 e. 2 1 9. 0 180 360 X -1 Gambar di atas adalah grafik fungsi f(x) = … a. sin x b. cos x c. – sin x d. – cos x e. tan x 10. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin 2x0 + V3 = 0 untuk 0< x< 360 adalah … a. 30 dan 60 b. 30, 60, 210 dan 240 c. 15 dan 75 d. 15 , 75 , 195 dan 255 e. 120, 150 , 300 dan 330

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 27 11. Himpunan penyelesaian persamaan tan 2x + V3 = 0 untuk 0 < x < adalah … a. { 6 5 , 3 2 } b. { 6 5 , 3 1 } c. { 3 5 , 3 2 } d.{ 3 5 , 3 2 } e. { 6 5 , 3 4 } 12. Pada segitiga ABC, sudut B = 300 , panjang sisi AB = 6V2 cm dan panjang sisi AC = 6 cm , maka besar sudut A = … derajat. a. 30 b. 45 c. 60 d. 105 e. 120 13. Pada segitiga ABC, sudut B = 600 , sudut C = 750 dan sisi AC = 20V6 cm, maka panjang sisi BC = … cm. a. 15 b. 20 c. 15V2 d. 20V2 e. 40 14. Pada segitiga ABC , panjang sisi AB = 10 cm , BC = 16 cm dan sudut B = 600 , maka panjang sisi AC = …cm. a. 10 b. 12 c. 14 d. 16 e. 18 15. Perhatikan gambar berikut : Besar sudut x adalah ….derajat. a. 30 x b. 45 16 10 c. 60 d. 90 e. 120 14 16. Luas segitiga yang gambarnya di samping adalah …. satuan luas a. 15V2 10 1200 6 b. 15V3 c. 30V2 d. 30V3 e. 30 17. Luas segitiga yang gambarnya di samping adalah …. satuan luas. a. 8V3 4V3 4 b. 9V3 c. 12V3 d. 18 e. 24 8 18. Luas segitiga yang gambarnya di samping adalah …. satuan luas. ( sin 750 = p ) a. 16pV3 750 b. 16pV6 8 c. 32pV2 450 d. 32pV3 e. 32pV6 19. Luas suatu persegi yang dibuat dalam lingkaran yang berjari-jari 10 cm adalah … cm2 . a. 50V2 b. 100 c. 100V2 d. 200 e. 200V2 20. Luas jajaran genjang ABCD dengan panjang sisi AB = 10 cm , AD = 8 cm dan besar sudut ABC = 1200 adalah … cm2 .

#untuk kalangan sendiri#sma bopkri 2#wuryanto 28 a. 20 b. 20V3 c. 40 d. 40V3 e. 80