E-book

ชนิด ของ เมท ริก ซ์

•

12 . เมท รำ ซ์ เอกฐาน 1หา อัน วอร์ล์การ คูณไม่ได้ /

13 เมทริก ซ์ ไม่ เอกฐาน ( หา อิน วอร์ การ คูณได้ )
.

การ เท่า กัน ของ เมท รำ ซ์

เมท ริก ซ์ A จะ เท่า กับ เมท รำ ซ์ B ก็ต่อเมื่อ A และ 13 มี มิติ เดียว กัน

และ aij = loij สำหรับ ทุก ๆ คุณค่า ของ ji และ 1สมาชิก ที่อยู่ ใน ตำแหน่ง เดียว

กัน ทุก ๆ ตำแหน่ง 1 µµA = ,Bะ I|

A = B ก็ต่อเมื่อ hfa-_ e.

g.c-_ dih

ซ์การ บวก และ ลบ เมท ริก

ถ้า เมท รื่กซ์ A = [ aij / mm ซ์และ เมท ริก B = [ loij ]
mxn

ดังนั้น At B = [ aijtbij ] mxn

A. B = [ aijloij ] mxn

สมบัติ การ บอก เมท รำช์

ปัด1) สมบัติ ของการบอก

2) สมบัติ ล่ลับ ที่ ของ การ บวก

-11 ]}A- . 13 = |

A +13 = | "" |" |Bt A- 2" |1- t 2
1t0 -
3 tl µ
0t 1
i] |'
1 ะ= --1 :
4

การคูณ เมท รำ ซ่ด้วย จำนวนจริง

]ถ้า A = [ aij และ C เป็น จำนวน จริง ใด ๆ แล้ว

CA ะ [ caijlmm ไม่ มี สมบัติ

:)[A- [3A = 3✗ | | [ 5)3✗2 6 การสลับ ที่
_
=3✗ 5 าเ ของ การคูณ

3

[5 × t 2 l 2 | f | [ |' >" 2 -4

=+

5- 1 og lo -2

| if [ |5× 2 -4

ะ > -

0 -3 lo -2

| |5 ✗ =5 -5

. . 5.

.

1 ะ× =

การ คูณ เมท ริก ซ์ด้วย เมท รำ ซ์

1 บท รัก ซ์ ใด ๆ จะ ทำ การ คูณ กันได้ ก็ต่อเมื่อจำนวน หลัก ของ เมท ริกซ์แรก

กับ จำนวน แถว ของ เมท รำ ซ่ หลัง เท่า กัน

Amxn × Bmxn = Cmxn lzx Dtlixi )

[ }- ii t-

32 _
10 23 [ วุ่ | × µ | ะ
ญุ①
00 ะ ✗ 4
[ว่า | [ |2✗ 2 ต่ @ →hxoH.int
32- - ""

_ 2×z 2×2 ②

3 06 9 2×4

31 32_

_ 1)/)12 ✗ง + 2✗

เมท รำ ซ์ สลับเปลี่ยน หรือ โพสทรงนส ของ เมทรำ ซ์

สลับเปลี่ยนเมทริก ซ์ คือ เมท รำ ซ์ ใหม่ ที่ เกิด จาก เมทรำซ์ A โดยการ เปลี่ยน แถว ของ เมท รำซ่ A

ให้ เป็น หลัก ของ เมทรักซ่ ใหม่ ตาม ลำดับ เขียนได้ว่า เมท รำซ์ สลับเปลี่ยน ของ A คือ AT

]aij[A = mxn ][AI 9 ij mxn

| ]A = 243 | |กํ๋= น
50 1 81

13 = [ รู้ } ] BI f รุ๋รุ |

สมบัติ ของ ทรง นส โพส

A B เป็น เมท รำซ์ c เป็นจำนวนจริง
,

1) CA ฑุ๋= A

2) (A + B) IAIBT
3) ( A B) T = BTAT

4) I.( " (กิ๋ ) " เงา เป็น จำนวน เต็ม บอก
ก.
,

5) ( (A) T = CAT

อิน เวอร์ลั ของ เมท รำ ซ์

ศูนย์1) อิน เวอร์ล่ การ บวก คือ น่า เมท รำซ์ที่ น่า มา รวม เมท รำ ช์ A แล้วได้ มทรำซ่
""
1:# 11 | +1 |% d" =0

_

c- _

[ ]a-$ เป็นวัน เวอร์ส การ บวก ของ A เขียน ว่า A

-

c_ d

_

ซึ่ง2) วัน เวอร์ลัการคูณ เมท รำซ่ B มี มิติ nxn จะ เป็น อิน เวอร์ลั การคูณ ของ เมทรำซ์ A มีมิติ nxn

ก็ต่อเมื่อ AB = 13A I= เมื่อ I คือ เมทรำซ์เอกลักษณ์ มีต๋ nxn

เขียน B ซึ่ง เป็น วิน เวอร์ส การคูณ A ด้วย A "

"

-
[ วุ่ | fd |ญื่ก๋A-
-
i=

.ca

A--1 า :] [÷÷^- itl |

.

กั่× A = I

[ii ] ✗ [ i.ะ ] = แงุ ]

Detenminant

ให้ A เป็น บทรำซ์ จตุรัส จะใช้สัญลักษณ์ det (A)

1) ถ้า A เป็น เมท รำช์จัตุรัสมิติ 1 ✗ 1

A = [8] ][B = 3
det (A)= 8
,

det (B) =-3

2) ถ้า A เป็น เมทรำ ซ์จัตุรัสมิติ 2×2

µA--1:# นุ /%"" = ad.de

det (A) = ada

A--14

| |det (A) = 4 3 = 4-6=-2
21

3) ถ้า A เป็น เมท รำ ซ์ จตุรัส 3 ✗ 3

det (A) = an 9 2 ฝี๋93 " " 9<

94 azz 923 921 G

afa <<
32
"3 3 93 1 9
ม 32
ม

คุณ ลง - คูน ขึ้น 6- 10 24

กก 9
µ fdetlB) =
|B. 1 -3 2 1 -3 2 }1 - = (248+40)%6 + น . µ
_ ✗/
\4 1' = 40
4 -1 2 ✓✗

3 52 3 52 3 5
มม ม

2- 81- 40

Minor & Cofacton

Minor คือ ดี เทอร์ปินน ต์ ที่ของ เมท ริก ซ์ที่ ได้จาก การตัด แถว i

และ หลัก ที่ j ของ เมท รำซ์ออก เขียน แทน Minor ของ aij กับ Mij (A)

A =L " " ำ< |ำ 3

az.az < ำ}
93 }
G G
},
32

min or ของ |ay M= 922 |923 a 9,2 93
<
932 ,,
933
= 921 922 923

,,

931 932 933

min or ของ |My9,2 = ะ h 21 |9 a 9,2 93
23
,,

<

93 , 933 921 922 9

93 , 9 23
}2 9 33

|tn Inor ของa, , = M= h |9 < aii an a. }
,3 22
21
932 921 9 92 }
931 22
93 , 9 33
9
}2

Cofactor
Cofacten คือ Mijaij = ( - เ ) น .

| [าA = i 04 |m ะ " |" = -4 t 12 = 8 2 tl

y y Czz = (- 1) -8 = 8

| |งุ์ภํ๊A = 13m = |" 3t2
4 25 . 5 = 15 t 8 = 23 f- 1)C =
}2
4 . 23 ะ -2 }

Adjont matrix

Adjont สัญลักษณ์matrix A คือ adj A สบสเป็น การ หา กราน ของ มทรำซ์ ที่เกิด จาก การ แทน แต่ละ สมาชิก

ของ A ด้วย cofacton ของ สมาชิก ตัว นั้น

ไ(A) = - 2)(= -11 |3)M
MA =2 ( A =5
M (A) = , ,
µ ?A = ?| MlA. , 1 = -6
12 M 1A2 2) = 0 MHz 3)= -2
3 MlA3,1 = 3
21 3)M 1A
_ }
= -10 M 1A = เ
3

3✗ }

CYAI G-1- 1) " . แ. 1- 1) ำ |" % 3. -2
= "
" 1) อ. . C- เ 1 C- 1) 5.แ
G)3 tl f 1)ำ ๐ G) 3% |_
3.

Transpose |3
f-Adj (A) แ
2- 6 - 10
0
-1
52

Row operations

หาAว.ันAเว"อ=ร์สI ←กา=รน่คาAูจณ"ะAเโปด็นยตใัวช้เชื่อRม oระwหว-่าง
การ A กับ A" ได้

Operationจาก

พิจารณา AIIA "

แนว คิด คือ [ AII ]

[ }เมื่อEx
"

จง หา A
0perations.li?.I:;] " ะ 1 1 31 % }
A= % โดย ใช้ Row

หู เป้าหมาย " " !ำ }
าาไe[งำ ! % t.kl.it }นุ
±ก๋= รู้คำ ตอบจาก ความ เดิม

1 :|

= 1 หุ % ]

การหา อิน เวอร์สไบใช้ Rowopenation

วิธีหา อินเวอร์ลัการคูณโดยใช้ Rowoperation

1. ทำ ระบบ สมการ เชิง เส้น ให้อยู่ รูปใน สมการเมท รำ ช์

รูป2. เขียนให้อยู่ ใน เมทรำ ซ์ แต่งเติม

3. แก้ลมการ เมท รำซ์ ( ใช้ Row opetation )

4. แก้ให้อยู่ ใน รูป [ IIA " ]

5. หา คำ det

A"

=.
จาก A- A I A"
=
แนวคิด [ AII ] - Rowoperation → [ IIA "]

แ :|Ex จง หา A " เมื่อ A = โดยใช้ Row operation
.

[ ฏุ่ นำ | " " " / าหุนุ่ :| [4+ แะ 1 o#
ะ o
ข ii. ะะ>

เป้าหมาย | I |Rr 2k 01 |" }- |_วุ
1 -2
I.งุ 1 07 1 2÷ A. { }

Rzf |{ 11 2- 01 / :|i. ก๋÷ วุ ^

0 1 เรุ้}

กฎ ของ คาร์รมวร์

กำหนด lo+102a ✗, tazy = a }

, × Y = 10

}

ฏฺ

#แ:} 1 µ = 1 ฅุ๊}
L ftbshr=Anse
1m ]
หา จน เวอร์

สรมทรำซ์แต่งเติม

นะ ! หุ๋า } →

| |× = a } az ::#| |y = 9,93
10,102
$ 01 2
3

19 /a <lo 1oz
,

i. หาก ต้องการ หา ตัว แปร ตัว ไหนให้เอา แถว ของ คำ ตอบ

เข้า ไป แทน แถว ของ ตัว แปรที่เราจะ หา

ภูริพันธ์ โชครุ่งคูณทรัพย์
ม.4/1 เลขที่39