HUBUNGAN DUA LINGKARAN

IWHAN WIGIATI
MATEMATIKA (PEMINATAN)

Setelah kegiatan pembelajaran ini
diharapkan kalian dapat
 menentukan kedudukan dua

lingkaran
 menentukan persamaan berkas

lingkaran
 menyelesaikan masalah terkait

kedudukan dua lingkaran.



Jika terdapat dua lingkaran
masing-masing lingkaran L1
berpusat di P dengan jari-jari R
dan lingkaran L2 berpusat di Q
dengan jari-jari r di mana R > r
maka terdapat beberapa
kedudukan lingkaran sebagai
berikut.





Alternatif Penyelesaian

Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran
2 + 2 + 4 − 10 − 7 = 0 dan melalui titik (-5,1)!

Alternatif penyelesaian :

2 + 2 + 4 − 10 − 7 = 0

⟺ 2 + 2 + 4 − 10 − 7 = 0
⟺ 2 + 4 + 4 + 2 − 10 + 25 = 7 + 4 + 25
⟺ + 2 2 + − 5 2 = 36

Diperoleh koordinat titik pusat (-2,5)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2,5) dan melaui titik
(-5,1) adalah :
+ 2 2 + − 5 2 = 2

Melalui titik (-5,1)
−5 + 2 2 + 1 − 5 2 = 2
⇔ −3 2 + −4 2 = 2
⇔ 9 + 16 = 2
⇔ 2 = 25

Persamaan lingkaran :
+ 2 2 + − 5 2 = 25
⟺ 2 + 4 + 4 + 2 − 10 + 25 = 25
⟺ 2 + 2 + 4 − 10 + 4 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah 2 + 2 + 4 −
10 + 4 = 0

Tentukan kedudukan lingkaran K ∶
2 + 2 = 36 terhadap lingkaran L ∶
2 + 2 − 6 + 8 + 16 = 0!
Altenatif penyelesaian :
Lingkaran K berpusat di O(0,0) dan
berjari – jari R = 6
L ∶ 2 + 2 − 6 + 8 + 16 = 0
⇔ 2 −6 + 9 + 2 + 8 + 16 = 9
⇔ ( − 3)2 + + 4 2 = 9
Lingkaran L berpusat di (3, -4) dan
berjari – jari r = 3
Jarak kedua pusat lingkaran :

= (3 − 0)2+ −4 − 0 2

= 9 + 16

= 25

=5
R+r=6+3=9
Karena OP < R + r, maka lingkaran K
dan lingkaran L berpotongan

1. Kuasa Lingkaran
2. Garis Kuasa
3. Berkas Kuasa

Kuasa pada semuah lingkaran (K) menggambarkan

posisi sebuah titik pada lingkaran

1) Posisi titik terhadap lingkaran

( − )2+( − )2= 2 . Titik ( 1, 1) memiliki
kuasa K = ( 1 − )2+( 1 − )2= 2
 Jika titik K < r2, titik ( 1, 1) terletak di

dalam lingkaran

 Jika titik K = r2, titik ( 1, 1) terletak pada
lingkaran

 Jika titik K < r2, titik ( 1, 1) terletak di
luar lingkaran

2) Posisi titik terhadap lingkaran x12 + y12 + Ax1 +
By1 + C = 0. Titik ( 1, 1) memiliki kuasa x12 +
y12 + Ax1 + By1 + C = 0
 Jika K < 0, titik ( 1, 1) terletak di dalam
lingkaran

 Jika K = 0, titik ( 1, 1) terletak pada
lingkaran

 Jika K > 0, titik ( 1, 1) terletak di luar
lingkaran

Garis kuasa adalah himpunan
tempat kedudukan titi – titik yang
memepunyai kuasa yang sama
terhadap dua lingkaran terten.

untuk :

L1 : x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
dan

L2 :x22 + y22 + Ax2 + By2 + C = 0

Persamaan garis kuasa adalah :

L1(x,y) – L2(x,y) = 0
atau

(A1 – A2)x + (B1 + B2)y + C1 – C2 = 0

Berkas lingkaran adalah sejumlah
lingkaran yang dibuat dari garis
kuasa. Secara umum, persamaan
berkas lingkaran yang dibuat dari
perpotongan lingkaran L1 dan L2
dirumuskan sebagai berikut

L1 + λL2 = 0



Alternatif Penyelesaian

Tentukan posisi titik (4,-3)
terhadap lingkaran
(x-1)2 + (y-2)2 = 16!
Alternatif penyelesaian :
(4,-3)  (4-1)2 + (-3-2)2

= 9 + 25
= 34
Karena K > 16, titik (4,-3) berada
di luar lingkaran

Tentukan posisi titik (-3,2)
terhadap lingkaran
x2 + y2 – 2x + 4y – 27 = 0!
Alternatif penyelesaian :
(-3,2)
K = (-3)2 +22 –2(-3)+4(2)–27 = 0

= 9 + 4 + 6 + 8 – 27
=0
Karena K = 0, titik (-3,2) terletak
pada lingkaran

Diketahui persamaan lingkaran
x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 dan
x2 + y2 + 2x - 10y + 1 = 0.
Tentukan persamaan garis kuasa dari
lingkaran!
Alternatif penyelesaian :
Persamaan garis kuasa :
L1(x,y) – L2(x,y) = 0
<-> (-6-2)x + (2+10)y - 6 – 1 = 0
<-> -8x + 12y - 7 = 0
<-> 8x – 12y + 7 = 0
Jadi persamaan garis kuasanya adalah
8x – 12y + 7 = 0

Diketahui dua buah lingkaran
L1 : x2 + y2 + 4x - 6y + 3 = 0 dan
L2 : x2 + y2 + 6x - 2y – 17 = 0
1) Tentukan titik pada sumbu Y yang

mempunyai kuasa sama terhadap
lingkaran!
2) Tentukan kuasa dari titik
tersebut!
Alternatif penyelesaian (1) :
Untuk menentukan titik yang
mempunyai kuasa sama terhadap
kedua lingkaran harus ditentukan
dahulu persamaan garis kuasanya.
L1(x,y) – L2(x,y) = 0
<-> (4-6)x + (-6+2)y + 3 + 17 = 0
<-> -2x – 4y + 20 = 0
<-> x + 2y – 10 = 0

Titik yang memiliki kuasa yang sama
terhadap kedua lingkaran pasti terletak
pada garis kuasa
x + 2y – 10 = 0. Karena titik ini terletak
pada sumbu Y (berarti berabsis x=0),
ordinat y yang dapat ditentukan dengan
mensubtitusikan x=0 ke persamaan garis
kuasa.
0 + 2y – 10 = 0
<-> 2y = 10
<-> y = 5
Jadi, titik dimaksud adalah (0,5)

Alternatif penyelesaian (2) :
Kuasa titik (0,5) terhadap kedua
lingkaran adalah sama. Karea itu cukup
menghitung kuasa titik terhadap salah
satu lingkaran. Misal dipilih L1
K = x2 + y2 + 4x - 6y + 3

= 02 + 52 + 4(0) – 6(5) + 3
= 0 + 25 + 0 – 30 + 3
= -2
Jadi, kuasa titik (0,5) terhadap masing-
masing lingkaran adalah -2

Diketahui dua buah lingkaran
L1 : x2 + y2 – 2x – 4y – 6 = 0 dan
L2 : x2 + y2 + 4x – 6y – 4 = 0 saling berpotongan.
Tentukan persamaan berkas lingkaran yang
melalui titik potong lingkaran tersebut dan
melalui titik (2,1)!
Alternatif penyelesaian :
L1 + λL2 = 0
<-> x2+y2–2x–4y–6 + λ(x2+y2+4x–6y–4) ...(1)
Persamaan (1) melalui titik (2,1), maka :
22+12 –2(2)–4(1)–6+λ(22 +12 +4(1)–6(2)–4)=0
<-> 4+1–4–4-6+λ(4+1+4-12-4)=0
<-> -9 + 3λ = 0
<-> 3λ = 9
<-> λ = 3
Subtitusikan kembali λ = 3 ke persamaan (1)
untuk memperoleh persamaan berkas lingkaran
x2+y2–2x–4y–6 + λ(x2+y2+4x–6y–4)=0
<-> x2+y2–2x–4y–6 + 3(x2+y2+4x–6y–4)=0
<-> x2+y2–2x–4y–6 + 3x2+3y2+12x–18y–12=0
<-> 4x2+4y2+10x–22y–18=0
<-> 2x2+2y2+5x–11y–9=0
Jadi, persamaan berkas lingkarannya adalah
2x2+2y2+5x–11y–9=0

 Tentukan kedudukan lingkaran K
: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan L :
x2 + y2 + 4x – 2y + 4 = 0!

 Diketahui dua buah lingkaran L1 :
x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 dan L2 :
x2 + y2 + 10x – 4y + 8 = 0.

 Tentukan titik pada sumbu Y yang
mempunyai kuasa sama terhadap
kedua lingkaran!

 Tentukan kuasa dari titik tersebut!

 Tentukan persamaan berkas
lingkaran yang melalui titik
potong lingkaran L1 : x2 + y2 – 2x
– 8y = 0 dan L2 : x2 + y2 + 4x – 2y –
4 = 0 serta melalui titik (1,3)!