BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA

IWHAN WIGIATI

Masalah dan alternatif
penyelesaiannya

Niko Sentera memiliki sebuah penggaris ukuran 20
cm. Ia mengamati bilangan-bilangan pada
penggarisnya ini. Bilangan-bilangan tersebut
berurutan 0, 1, 2, 3, …, 20. Setiap bilangan
berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang
sama, yaitu 1 cm. Jarak antar bilangan berurutan ini
menunjukkan selisih antarbilangan. Jadi, selisih
antara bilangan pertama dan kedua adalah 1-0 = 1,
selisih antara bilangan kedua dan ketiga adalah 2-1
= 1, dan seterusnya hingga selisih antara bilangan
keduapuluh dan keduapuluh satunya juga 1.
Bilangan-bilangan berurutan seperti pada penggaris
ini memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku
berurutannya sehingga membentuk suatu barisan
bilangan. Barisan bilangan seperti ini disebut
barisan aritmetika dengan selisih setiap dua suku
berurutannya disebut beda (b).

Barisan Aritmetika

Adalah suatu barisan bilangan dengan
selisih (beda) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Bentuk umum :

U1, U2, U3, U4, ... , Un
a, (a + b), (a + 2b), ... , (a + (n – 1)b)

Pada barisan aritmetika
berlaku

Un – Un – 1 = b
sehingga

Un = Un – 1 + b

Jika kalian memulai barisan
aritmetika dengan suku
pertama a dan beda b,
maka kalian mendapatkan
barisan berikut.

Mulai Jumlahkan Tulis
dengan dengan b jumlahnya

suku
pertama a

+b +b +b +b

a a + b a + 2b a + 3b ... a + (n – 1) b

U1 U2 U3 U4 Un

Rumus
suku ke-n

Suku ke-n barisan aritmetika
adalah Un = a + (n – 1)b
di mana
Un = Suku ke-n
a = Suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku

Rumus suku tengah barisan
aritmetika jika n ganjil

uk = 1 (u1 + u2k – 1)
2

uk = suku tengah
u2k – 1 = suku terakhir dari
barisan aritmetika dengan n
ganjil

Sisipan pada barisan aritmetika

Jika diantara dua bilangan disisipkan sebanyak
k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan

semula dengan bilangan – bilangan yang

disisipkan membentuk barisan aritmetika, nilai

beda barisan aritmetika yang terbentuk dapat

ditentukan dengan rumus :

′ = 1
+

b = beda pada barisan aritmetika sebelum
disisipi

k = banyaknya bilangan yang disisipkan
b‘ = beda pada barisan aritmetika yang

terbentuk

Contoh soal
dan alternatif
penyelesaian

Tentukan suku pertama, beda,
serta suku kedelapan dari
barisan aritmetika 4, 7, 10,
13....

Suku pertama : a = u1 = 4
Beda : b = 7 – 4 = 3

Suku ke-8 : u8 = a + 7b
= 4 + 7(3)

= 25

Jadi, suku pertama (a) = 4, beda (b)

= 3, dan suku ke-8 (u8) = 25

Diketahui suku ke-3 suatu barisan aritmetika
sama dengan 11 dan suku ke-8 sama dengan
21. Tentukan :
a. suku pertama dan beda barisan aritmetika itu
b. rumus suku ke-n dari barisan aritmetika itu

Alternatif penyelesaian :
u3 = 11 ↔ a + 2b = 11
u8 = 21 ↔ a + 7b = 21 _

- 5b = - 10
b=2

b = 2 ↔ a + 2(2) = 11 ↔ a = 7
Jadi, suku pertama (a) = 7 dan beda (b) = 2
Alternatif penyelesaian :
un = a + (n – 1)b

= 7 + (n – 1)(2)
= 7 + 2n – 2
= 2n + 5
Jadi rumus suku ke-n adalah
un = 2n + 5

Suku tengah suatu barisan aritmetika sama
dengan 20, suku terakhirnya sama dengan 47,
dan skuku ketiganya sama dengan – 1.
hitunglah :
a. Suku pertama dan beda barisan aritmetika itu
b. Banyak suku pada barisan aritmetika itu

Suku tengah : uk = 20
Suku terakhir un = u2k – 1 = 47
Dengan menggunakan rumus

uk = 1 (u1 + u2k – 1) diperoleh :
2

20 = 1 (u1 + 47) ↔ 40 = u1 + 47
2
↔ u1 = - 7

Suku ketiga sama dengan –1 sehingga :

u3 = a + 2b ↔ - 1 = - 7 + 2b
↔ 2b = 6

↔b=3

Jadi, suku pertama (a) = -7 dan beda (b) = 3

Suku terakhirnya sama dengan 47 sehingga :
un = a + (n – 1)b
↔ -7 + (n – 1)(3) = 47
↔ -7 + 3n – 3 = 47
↔ 3n – 10 = 47
↔ 3n = 57
↔ n = 19

Jadi, banyaknya suku pada barisan itu adalah 19

Diantara bilangan 7 dan 61 disisipkan 8
buah bilangan sehingga bilangan –
bilangan semula dengan bilangan –

bilangan yang disisipkan membentuk

barisan aritmetika. Carilah beda dari

barisan aritmetika yang terbentuk

Alternatif jawaban :
Dari soal diperoleh : b = 61 – 7 = 54 dan k
=8

′ = 1 = 54 = 54 = 6
+ 8+1 9

Jadi, beda barisan aritmetika yang

terbentuk adalah b’ = 6

Deret aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan
berurut dari suku – suku suatu barisan
aritmetika.
Bentuk umum :

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un
a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

Rumus jumlah n suku
pertama deret aritmetika

Sn  n a  un 

2

atau

Sn  n 2a  (n  1)b 
2

Sn = jumlah n suku pertama deret
aritmetika

a = suku pertama

n = banyaknya suku

Contoh soal
dan alternatif
penyelesaian

Diketahui deret aritmetika 5 + 9 + 13 + 17 + ...
A. Tentukan rumus suku ke-n pada deret aritmetika
itu!
B. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya!
C. Hitunglah jumlah 20 suku pertemanya

Alternatif penyelesaian :

Suku pertama a = 5
beda b = 9 – 5 = 4

a. Rumus suku ke-n :

un = a + (n – 1)b
↔ un = 5 + (n – 1) (4)
↔ un = 4n + 1

Jadi, rumus suku ke-n adalah

un = 4n + 1

b. Rumus jumlah n suku pertama


= 2 + = 2 5 + 4 + 1 = 2 4 + 6
= 2 + 3 = 2 2 + 3

c. Jumlah 20 suku pertama

S20 = 2(20)2 + 3(20)
= 800 + 60

= 860

Jadi, jumlah 20 suku pertamanya adalah 860.

Tentukan jumlah semua bilangan asli
antara 5 dan 170 yang habis dibagi
3, tetapi tidak habis dibagi 4!

Alternatif peyelesaian :

Jumlah semua bilangan asli antara 5 dan

170 yang habis dibagi 3 merupakan deret

aritmetika yang dapat dituliskan dalam

bentuk : 6 + 9 + 12 + ... + 168

Banyak suku penjumlahannya ditentukan

dengan rumus

un = a + (n – 1)b
↔ 168 = 6 + (n – 1)(3)

↔ 3n = 165 ↔ n = 55

Jumlah bilangan asli antara 5 dan 170 yang

gabis dibagi 4 adalah :

S55 = 55 (6 + 168) = 55 (174) = 4.785
2 2

Jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 170
yang habis dibagi 4 dapat dituliskan dalam
bentuk : 8 + 12 + 16 + ... + 168

Jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 170

yang habis dibagi 3, tetapi habis dibagi 4 dapat

dituliskan dalam bentuk :

12 + 24 + 26 + ... + 168

Banyak suku penjumlahan ditentukan dengan

rumus un = a +(n – 1)b
168 = 12 + (n – 1)(12) = 12 + 12n – 12

12n = 168 ↔ n = 14

Jumlah semua suku bilangan asli antara 5 dan

170 yang habis dibagi 3, tetapi habis dibagi 4

adalah :

S14 = 14 (12 + 168) = 7(180) = 1.260
2

Jadi, jumlah semua bilangan asli antara 5 dan

170 yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis
dibagi 4 adalah 4.785 – 1.260 = 3.525

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun
pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap
tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00.
Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut
selama sepuluh tahun adalah ....

Diketahui:
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) =
500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10
tahun (S₁₂).

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) +
((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 +
4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000

Jadi, Jumlah uang yang
diterima pegawai tersebut
selama sepuluh tahun
adalah Rp52.500.000,00

Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi
dengan baris paling depan terdiri 14 buah,
baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18
buah dan seterusnya selalu bertambah 2.
Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....

Diketahui:
Banyak kursi baris
pertama (U₁) = 14
Banyak kursi baris
kedua (U₂) = 16
Ditanyakan:
Banyak kursi pada baris ke 20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁

= 16 - 14
=2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah
52 buah.

Mari berlatih!
Jawablah

pertanyaan –
pertanyaan berikut

ini dengan jelas
dan tepat!

1.

Keuntungan seorang pedagang
bertambah setiap bulan dengan
jumlah yang sama. Bila keuntungan
sampai bulan keempat 30ribu rupiah,
dan sampai bulan kedelapan 172ribu
rupiah, maka keuntungan sampai
bulan ke-18 adalah .....

A. 1.017 ribu rupiah
B. 1.050 ribu rupiah
C. 1.100 ribu rupiah
D. 1.120 ribu rupiah
E. 1.137 ribu rupiah

2.

Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan
Republik Indonesia, Desa Sooka mengadakan
lomba mengambil kelereng dari wadah dengan
aturan sebagai berikut:
 Setiap tim terdiri dari 5 orang dan setiap

anggota kelompok harus mengambil kelereng
sesuai urutannya
 Pada pengambilan putaran pertama (5 orang
secara bergantian) hanya diperbolehkan
mengambil masing-masing satu kelereng
 Pada putaran kedua, orang pertama setiap
kelompok mengambil 2 kelereng dan selalu
bertambah 3 kelereng untuk peserta pada
urutan berikutnya dalam kelompok tersebut
 Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim
mengambil 3 kelereng lebih banyak dari
anggota sebelumnya.
Tim A beranggotakan Andi, Beny, Cakra, Dani, dan
Eko (Urutan pengambilan kelereng sesuai dengan
urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan
habisnya waktu, ternyata Tim A berhasil
mengumpulkan 265 kelereng. Banyak kelereng
yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir
oleh salah seorang anggota Tim A adalah...kelereng

Alternatif penyelesaian no 1

Diketahui:
Keuntungan sampai bulan ke-4 (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 (S₈) = 172ribu
rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

Keuntungan sampai bulan keempat (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)
Keuntungan sampai bulan kedelapan (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000 -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000

Catatan

Barisan dituliskan sebagai berikut :
a1, a2, a3, a4, ... , an

Barisan dituliakan sebagai berikut :
a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an