JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUD

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

@2020, Iwhan Wigiati 0

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

TRIGONOMETRI
JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

PENYUSUN
Iwhan Wigiati, S.Pd

@2020

@2020, Iwhan Wigiati 1

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dapat
terselesaikannya Modul Pembelajaran Matematika Trigonometri – Jumlah dan Selisih Dua Sudut.
Modul ini bertujuan untuk membantu siswa SMA/MA dalam memahami penggunaan dan
pengembangan konsep – konsep baru agar lebih terarah. Saya berharap bahwa modul ini juga
dapat membentuk sikap siswa yang mandiri, terdidik, dan kreatif.

Dalam modul pembelajaran ini berisikan berbagai perlengkapan belajar, antara lain
pemahaman materi, contoh soal , latihan soal, evaluasi dan penilaian diri. Dengan berbagai
perlengkapan tersebut diharapkan dapat mendampingi siswa dalam proses belajar mandiri,
sehingga siswa dapat menguasai materi dan meraih prestasi di sekolah.

Modul ini saya susun sebagai salah satu referensi bagaimana pembelajaran pada masa
pandemi Covid-19 dapat dilakukan di rumah secara mandiri. Dari Covid-19 kita belajar. Dari
wabah itu pula masih ada hikmah yang dapat dipetik bagi kita.

Akhirnya, saya mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penyusunan modul ini. Mudah – mudahan modul pembelajaran ini memberikan manfaat
dalam segala bentuk kegiatan belajar, khususnya kegiatan belajar mandiri siswa sehingga
tercapai tujuan pendidikan yang telah ditetapkan.

Saya menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan modul ini. Untuk
itu, saya mengharapkan kritik dan saran bagi kesempurnaan modul ini.

Hormat saya,
Penulis

Iwhan Wigiati, S.Pd.

@2020, Iwhan Wigiati 2

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

DAFTAR ISI

PENYUSUN............................................................................................................................................................................ 1
KATA PENGANTAR ........................................................................................................................................................... 2
DAFTAR ISI........................................................................................................................................................................... 3
GLOSARIUM.......................................................................................................................................................................... 4
PETA KONSEP ..................................................................................................................................................................... 5
PENDAHULUAN
A. Identitas Modul........................................................................................................................................................... 6
B. Kompetensi Dasar...................................................................................................................................................... 6
C. Deskripsi Singkat Materi......................................................................................................................................... 6
D. Petunjuk Penggunaan Modul ................................................................................................................................ 7
E. Materi Pembelajaran ................................................................................................................................................ 7
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
A. Tujuan Pembelajaran ............................................................................................................................................... 8
B. Uraian Materi............................................................................................................................................................... 8
C. Rangkuman................................................................................................................................................................ 10
D. Latihan Soal............................................................................................................................................................... 11
E. Penilaian Diri ............................................................................................................................................................ 14
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP
A. Tujuan Pembelajaran ............................................................................................................................................ 15
B. Uraian Materi............................................................................................................................................................ 15
C. Rangkuman................................................................................................................................................................ 17
D. Latihan Soal............................................................................................................................................................... 17
E. Penilaian Diri ............................................................................................................................................................ 19
KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
RUMUS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN BENTUK TRIGONOMETRI
A. Tujuan Pembelajaran ............................................................................................................................................ 20
B. Uraian Materi............................................................................................................................................................ 20
C. Rangkuman................................................................................................................................................................ 22
D. Latihan Soal............................................................................................................................................................... 22
E. Penilaian Diri ............................................................................................................................................................ 24
EVALUASI........................................................................................................................................................................... 25
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................................................... 29

@2020, Iwhan Wigiati 3

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

GLOSARIUM

Kosinus : perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan

catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga

itu 90o)

Sinus : perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan

catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga

itu 90o)

Tangen : perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang

terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku

atau salah satu sudut segitiga itu 90o)

@2020, Iwhan Wigiati 4

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

PETA KONSEP

JUMLAH DAN SELISIH SINUS
DAN KOSINUS

Rumus Trigonometri Rumus Trigonometri Rumus Perkalian dan
Jumlah dan selisih Sudut Rangkap Penjumlahan Bentuk
dua sudut
Trigonometri

cos (a + b) sin 2α Rumus Rumus
cos (a - b) cos 2α Perkalian Penjumlahan
sin (a + b) tan 2α Sinus dan
sin (a - b) Kosinus Sinus dan
tan (a + b) Kosinus
tan (a - b)
sin a cos b sin a + sin b
cos a sin b sin a - sin b
cos a cos b cos a + cos b
sin a sin b cos a - cos b

@2020, Iwhan Wigiati 5

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas : XI
Alokasi Waktu : 36 jp
Judul Modul : Trigonometri – Jumlah dan Selisih Dua Sudut

B. Kompetensi Dasar

3.1 Membedakan penggunaan jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus jumlah dan selisih sinus dan

kosinus.

C. Deskripsi Singkat Materi

Sumber : https://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Merdeka_Square_Monas_02.jpg

Pernahkah kamu berpikir untuk mencocokkan apakah betul tinggi monument nasional
(Monas) ±130 meter? Untuk membuktikannya, kamu dapat menerapkan konsep trigonometri
yaitu menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingan trigonometri. Caranya dengan
mengukur besarnya sudut yang terbentuk oleh garis pandang pengamat ke puncak Monas
melalui garis horizontal. Misalnya jika pengamat berada pada sudut 30°, maka pengamat
harus berjalan mendekati Monas sampai terbentuk sudut 45°. Apabila jarak dari tempat
pengamatan pertama sejauh 1 km, maka dengan aturan sudut ganda pengamat dapat

@2020, Iwhan Wigiati 6

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

menentukan tinggi Monas. Nah, pada modul ini kamu akan mempelajari rumus trigonometri
dan penggunaannya.

D. Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan belajar secara
mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul
berikut.
1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara

berurutan.
3. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau

memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.
4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan

kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.
5. Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat

kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.
6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari

penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.
7. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi

tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini.
Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.
8. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan
kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

E. Materi Pembelajaran

Modul ini terbagi menjadi 3 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi,
contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.
Pertama : Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Kedua : Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Ketiga : Rumus Perkalian dan Penjumlahan Bentuk Trigonometri

@2020, Iwhan Wigiati 7

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
Rumus Trigonometri Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan kamu dapat menentukan menentukan rumus
trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam sinus, kosinus dan tangen; menyelesaikan
persamaan trigonometri dengan menggunakan cara yang digunakan dalam aljabar; serta
menyelesaikan masalah kontekstual yang berhubungan dengan jumlah dan selisih sinus,
cosinus dan tangen.

B. Uraian Materi

Apabila diketahui dua buah sudut yaitu A dan B maka identitas trigonometri dari jumlah dan
selisih sudut A dan sudut B dapat dicari dengan rumus berikut :

1. Diketahui cos 600  1 dan cos 450  1 2 . Dengan penjumlahan atau selisih dua sudut,
22

hitunglah cos150 !

 cos150  cos 600  450  cos 600 cos 450  sin 600 sin 450

@2020, Iwhan Wigiati  11 21 31 2
22 2 2

1 21 6
44

8

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

 1 2  6
4

2. Tunjukkan bahwa sin900  A  cos A !

sin 900  A  sin 900 cos A  cos900 sin A

 1 cos A  0  sin A
 cos A
3. Tanpa memakai tabel matematik ataupun kalkulator, hitunglah setip bentuk berikut!
a. sin 650 cos 200  cos 650 sin 200
b. cos x  cos(x  600 )  cos(x 1200 )

a. sin 650 cos 200  cos 650 sin 200  sin 650  200  Ingat kembali nilai
trigonometri untuk
 sin 450
1 2 sudut istimewa

2
b. cos x  cos(x  600 )  cos(x 1200 )

 cos x  cos x cos 600  sin xsin 600  cos xcos1200  sin xsin1200

 cos x  1 cos x  1 3 sin x  1 cos x  1 3 sin x
22 22

0

4. Diketahui cos A  3 untuk A sudut lancip dan tan B   24 untuk B sudut tumpul.
57

Tentukan :

a. sin (A + B)
b. cos (A – B)
c. tan (A – B)

untuk menyelesaikan
permasalahan ini ingat kembali

identitas fungsi trigonometri
pada koordinat kartesius dan

aturan pythagoras

@2020, Iwhan Wigiati 9

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

a. sin  A  B  sin Acos B  cos Asin B

 4    7   3  24   28  72  44
5  25  5 25 125 125 123

b. cos A  B  cos Acos B  sin Asin B

 3    7   4  24   21  96  75  3
5  25  5 25 25 25 125 5

c. tan  A  B  tan A  tan B

1 tan Atan B

4    24  100 100  25  4
3  7  21  7  3
  21     
4  24   25
1  3    7 
7

C. Rangkuman

cos( + ) = cos cos − sin sin
cos( − ) = cos cos + sin sin
sin( + ) = sin cos + cos sin
sin( − ) = sin cos − cos sin

tan( + ) = tan +tan

1−tan tan

tan( − ) = tan −tan

1+tan tan

@2020, Iwhan Wigiati 10

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

D. Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar!

1. Diketahui cos A  8 dan sin B  12
17 13

a. sin A c. cos B

b. tan A d. tan B

2. Berdasarkan informasi dari soal nomor 1, tentukan nilai dari

a. sin (A + B) c. cos (A + B) e. tan (A + B)

b. sin (A – B) d. cos (A – B) f. tan (A – B)

3. Tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator tentukan nilai dari :

a. cos 105° + cos 15°

b. sin 105° − sin 15°

c. tan 105° + tan 15°

@2020, Iwhan Wigiati 11

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 1

1. cos A  8  x  8 dan r  17
17

y  r2  x2  172  82  289  64  225 15

sin B  12  x  12 dan r  13
13

x  r2  y2  132  (12)2  169 144  25  5

a. sin A  15 b. tan A  15 c. cos B  5 d. tan B  12
17 8 13 5

2. a. sin( A  B)  sin Acos B  cos Asin B e. tan( A  B)  tan A  tan B
1 tan Atan B
15 5 8   12 
 17  13  17   13  15  12 
8  5 
 

 75  96   15  12  
221 221  8  5  
1  
  21
221 75  120
40 40
b. sin( A  B)  sin Acos B  cos Asin B  1 180

 15  5   8    12   40
17 13  17  13  
    45  40   45   9
40 220 220 44
 75  96
221 221 f. tan( A  B)  tan A  tan B
1 tan A tan B
 171
221 15    12 
8  5 
c. cos( A  B)  cos Acos B  sin Asin B 

 8  5   15    12   1   15   12  
17 13  17  13    8  5  

 40  180 75  120
221 221  40 40

 220 1 180
221 40

d. cos( A  B)  cos Acos B  sin Asin B  195    40    195   39
40  120  120 24

 8  5  15    12 
17 13 17  13 

 40  180
221 221

  140
221

@2020, Iwhan Wigiati 12

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

3. a. cos 105° + cos 15° = cos(60 + 45)° + cos(60 − 15)°

= (cos 60° cos 45° − sin 60° sin 45°) + (cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°)

= 2 cos 60° cos 45°

= 2 ∙ 1 ∙ 1 √2 = 1 √2
2 2 2

b. sin 105° − sin 15° = sin(60 + 45)° − sin(60 − 45)°

= (sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°) − (sin 60° cos 45° − cos 60° sin 45°)

= 2 cos 60° sin 45°

= 2 ∙ 1 ∙ 1 √2 = 1 √2
2 2 2

c. tan 105° + tan 15° = tan(60 + 45)° + tan(60 − 45)°

tan 60° + tan 45° tan 60° − tan 45°
= 1 − tan 60° tan 45° + 1 + tan 60° tan 45°

= √3 + 1 + √3 − 1
1 − √3 ∙ 1 1 + √3 ∙ 1

√3 + 1 √3 − 1
=+

1 − √3 1 + √3
(√3 + 1)2 + (√3 − 1)2
= 1−3

3 + 2√3 + 1 + 3 − 2√3 + 1
= −2

8
= −2 = −4

@2020, Iwhan Wigiati 13

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

E. Penilaian Diri

Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian

secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.

No Pertanyaan Ya Tidak
Apakah kamu sudah memahami aturan penjumlahan dan

1 selisih kosinus untuk menghitung nilai kosinus suatu sudut?

Apakah kamu sudah memahami aturan penjumlahan dan
2 selisih sinus untuk menghitung nilai sinus suatu sudut?

Apakah kamu sudah memahami aturan penjumlahan dan
3 selisih tangen untuk menghitung nilai tangen suatu sudut?

Apakah kamu dapat menghitung nilai kosinus sebuah sudut
4 jika diketahui unsur trigonometri lainnya?

Apakah kamu dapat menghitung nilai sinus sebuah sudut jika
5 diketahui unsur trigonometri lainnya?

Apakah kamu dapat menghitung nilai tangen sebuah sudut
6 jika diketahui unsur trigonometri lainnya?

Apakah dalam mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri

7 dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan
atau bertanya kepada orang lain?

Jumlah
Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

@2020, Iwhan Wigiati 14

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan kamu dapat menentukan menentukan rumus
trigonometri sudut rangkap dalam sinus, kosinus dan tangen; menyelesaikan persamaan
trigonometri dengan menggunakan cara yang digunakan dalam aljabar; serta menyelesaikan
masalah kontekstual yang berhubungan dengan jumlah dan selisih sinus, cosinus dan tangen.

B. Uraian Materi

Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut pada pembelajaran 1
cos( + ) = cos cos − sin sin

Jika kita ambil = , maka rumus itu menjadi
cos( + ) = cos cos − sin sin
cos 2 = cos2 − sin2

Karena cos2 + sin2 = 1 maka rumus di atas dapat dituliskan menjadi :
cos 2 = 2 cos2 − 1
cos 2 = 1 − 2sin2

Dengan cara yang sama maka dapat kita peroleh :

sin 2 = 2 sin cos
2 tan

tan 2 = 1 − tan2

Karena kita dapat menuliskan a  1 a  1 a , maka dengan analogi rumus – rumus di atas kita
22

mempunyai :

@2020, Iwhan Wigiati 15

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

cos = cos2 1 − sin2 1 11
2 2 sin = 2 sin 2 cos 2

= 2 cos2 1 − 1 tan = 2 tan 1
2 2
1
sin2 1 1 − tan2 2
2
= 1 − 2

Diketahui sin A  3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!
5

a. sin 2A b. cos 2A c. tan 2A

4
cos = 5

3
sin = 5

3
tan = 4

a. sin 2A  2sin Acos A  2  3  4  24
5 5 25

b. cos 2A 1 sin2 A 1 2 3 2  25 18  7
5  25 25

tan 2A  2 tan A 2 3 6 6  16 24
1 tan2 A 4 47 7
c. 2  4  
 16  9
1   3
 4 16

Apabila sin − cos = , tentukan sin 2

sin − cos = (kedua ruas dikuadratkan)

 (sin A  cos A)2  p2
 (sin2 A  cos2 A)  2sin Acos A  p2
 1 2sin Acos A p2
 1  sin 2A  p2

sin 2A  1  p2

@2020, Iwhan Wigiati 16

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

C. Rangkuman

1. sin 2A  2sin Acos A
2. cos 2 A  cos2 A  sin2 A

 2cos2 A 1
1 2sin2 A
3. tan 2A  2 tan A

1  tan2 A

D. Latihan Soal

1. Jika sin A  8 dan A di kuadran II hitunglah :
17

a. sin 2A b. cos 2A c. tan 2A

2. Tuliskan dalam bentuk tunggal :

a. 4sin 2Acos 2A

b. 4sin2 x cos2 x

3. Buktikan bahwa 1 cos 2 A  tan A
sin 2A

@2020, Iwhan Wigiati 17

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 2

1. Karena berada di kuadran II maka cos A   15
sin A  8 17
17
tan A   8
15

a. sin 2 A  2 sin Acos A  2  8    15    240
17  17  289

b. cos 2A  2 cos2 A 1  2  15 2 1  450  289  161
17  289 289

c. tan 2A  2 tan A  2 8    16  16  225   240
2. a. 1 tan2 A 15  15 15 289 289

1    8 2 225  64
 15 
225

4sin 2 Acos 2 A  2(2sin 2 Acos 2 A)

b. 4sin2 x cos2 x  2sin 2(2A)
 2sin 4A

 2sin xcos x2

 sin 2A2  sin2 2A

3. 1 cos 2A  1 (1 2sin2 A)
sin 2A 2sin Acos A

 2sin2 A
2sin Acos A

 sin A
cos A

 tan A (terbukti)

@2020, Iwhan Wigiati 18

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

E. Penilaian Diri

Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian

secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.

No Pertanyaan Ya Tidak
Apakah kamu dapat memahami penghitungan trigonometri

1 sudut rangkap?

Apakah kamu dapat memahami penghitungan trigonometri

2 sudut rangkap jika diketahui salah satu sudut di berbagai
kuadran?

Apakah kamu dapat memahami penemuan formula
3 trigonometri sudut rangkap?

Apakah dalam mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri

4 dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan
atau bertanya kepada orang lain?

Jumlah
Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

@2020, Iwhan Wigiati 19

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
Rumus Perkalian Dan Penjumlahan Bentuk Trigonometri

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini, diharapkan kamu dapat menentukan menentukan rumus
perkalian dan penjumlahan bentuk trigonometri; menyelesaikan persamaan trigonometri
dengan menggunakan cara yang digunakan dalam aljabar; serta menyelesaikan masalah
kontekstual yang berhubungan dengan jumlah dan selisih sinus, cosinus dan tangen.

B. Uraian Materi

Dengan operasi ajabar dari rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut diperoleh hubungan
bentuk perkalian dan bentuk penjumlahan trigonometri seperti berikut.

sin(a  b)  sin(a  b)  2sin a cosb
sin(a  b)  sin(a  b)  2cos asin b
cos(a  b)  cos(a  b)  2cos a cosb
cos(a  b)  cos(a  b)  2sin asin b

Rumus tersebut digunakan untuk mengubah bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan
dan sebaliknya. Untuk lebih jelasnya perhatikan hubungan berikut!
1. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus berikut digunakan untuk mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan
dengan membagi persamaan di atas dengan bilangan 2.

sin a cosb  1 sin(a  b)  1 sin(a  b)
22

cos a sin b  1 sin(a  b)  1 sin(a  b)
22

cos a cosb  1 cos(a  b)  1 cos(a  b)
22

sin a sin b   1 cos(a  b)  1 cos(a  b)
22

@2020, Iwhan Wigiati 20

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

2. Rumus Penjumlahan Sinus dan Kosinus
Rumus berikut digunakan untuk mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk
perkalian dan diperoleh dengan subtitusi a  1 ( p  q) dan b  1 ( p  q) ke persamaan di
22
depan.

sin p  sin q  2sin 1 ( p  q)cos 1 ( p  q)
22

sin p  sin q  2cos 1 ( p  q)sin 1 ( p  q)
22

cos p  cos q  2cos 1 ( p  q)cos 1 ( p  q)
22

cos p  cos q  2sin 1 ( p  q)sin 1 ( p  q)
22

1. Nyatakan sebagai jumlah sinus dan kosinus dan sederhanakan jika mungkin!
a. sin 75sin15
b. cos5x sin 3x

a. sin 75sin15   1 cos(75 15)  1 cos(75 15)
22

  1 cos90  1 cos 60   1  0  1  1  1
22 2 22 4

b. cos5xsin 3x  1 sin(5x  3x)  1 sin(5x  2x)  1 sin 8x  1 sin 3x
22 22

2. Hitunglah sin105  sin15 !

sin105  sin15  2sin 1 (105  15)cos 1 (105 15)
22

 2sin 60cos 45
21 31 2

22
1 6

2

@2020, Iwhan Wigiati 21

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

C. Rangkuman

sin(a  b)  sin(a  b)  2sin a cosb
sin(a  b)  sin(a  b)  2cos asin b
cos(a  b)  cos(a  b)  2cos a cosb
cos(a  b)  cos(a  b)  2sin asin b

sin a cosb  1 sin(a  b)  1 sin(a  b)
22

cos a sin b  1 sin(a  b)  1 sin(a  b)
22

cos a cosb  1 cos(a  b)  1 cos(a  b)
22

sin a sin b   1 cos(a  b)  1 cos(a  b)
22

sin p  sin q  2sin 1 ( p  q)cos 1 ( p  q)
22

sin p  sin q  2cos 1 ( p  q)sin 1 ( p  q)
22

cos p  cos q  2cos 1 ( p  q)cos 1 ( p  q)
22

cos p  cos q  2sin 1 ( p  q)sin 1 ( p  q)
22

D. Latihan Soal

1. Nyatakan sebagai jumlah sinus atau kosinus
a. 2sin105cos 75
b. cos(x  y) cos(x  y)

2. Sederhanakan!
a. 2cos135cos15  2sin 75sin15
b. sin105cos15  cos165sin15

3. Tentukan nilai dari :
a. cos 225  cos195
b. sin 75  sin15

@2020, Iwhan Wigiati 22

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Pembahasan Soal Latihan Pembelajaran 3

1. a. 2sin105cos 75  sin(105  75)  sin(105  75)

 sin180  sin 30
01  1

22

b. cos(x  y)cos(x  y)  1 (cos 2x  cos 2 y)
2

2. a. 2cos135cos15  2sin 75sin15

 sin 90  sin 60  sin150  sin 45
1 1 3  1  1 2

2 22
11 31 2

22 2
b. sin105cos15  cos165sin15

 1 sin120  1 sin 90  1 sin180  1 sin150
2 22 2

 1  1 3  1 1 1 0  1  1
22 2 2 22

1 3
4

3. a. cos 225  cos195

 2sin 1 (225 195)sin 1 (225 195)
22

 2sin 225sin 30

 2   1 2   1
2  2

1 2
2

b. sin 75  sin15

 2sin 1 (75 15) cos 1 (75 15)
22

 2sin 45cos30

21 21 3
22

1 6
2

@2020, Iwhan Wigiati 23

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

E. Penilaian Diri

Isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian

secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.

No Pertanyaan Ya Tidak
Dapatkah kamu menyederhanakan rumus perkalian ke

1 penjumlahan bentuk trigonometri?

Dapatkan kamu menyederhanakan rumun penjumlahan ke
2 perkalian bentuk trigonometri?

3 Dapatkah kamu menghitung nilai hasil kali trigonometri?

Apakah dalam mengerjakan soal-soal bekerja secara mandiri
4 dan jujur tanpa melihat dulu kunci jawaban dan pembahasan

atau bertanya kepada orang lain?

Jumlah
Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

@2020, Iwhan Wigiati 24

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

EVALUASI

1. Nilai dari cos165  ...

 A.  1 6  2 D. 1  2  6 
4 4

 B.  1 3  2 E. 1  3  2 
4 4

 C.  1 2  6
4

2. Diketahui sin  3 dan tan   12 dengan α dan β sudut lancip. Nilai cos(   )  ...
55

A. 63 D.  16
65 65

B. 56 E.  33
65 65

C. 33
65

3. sin(45   )  cos(45   )  ...

A. 2 2 cos D. cos
B. 2 cos E. sin

C. 2 sin
4. Nilai sin 255  ...

 A.  1 2  6 D. 1  2  6 
4 4

 B.  1 2  6 E. 1  2  6 
4 4

 C.  1 6  2
4

5. Diketahui sin  4 dan cos   7 dengan α dan β sudut lancip. Nilai sin(   )  ...
5 25

A.  3 D. 4
5 5

B.  44 E. 117
125 125

C. 3
5

6. Diketahui cos  5 dan tan   7 dengan α dan β sudut lancip. Nilai sin(   )  ...
13 24

A. 63 D.  16
65 65

B. 56 E.  33
65 65

C. 33
65

@2020, Iwhan Wigiati 25

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

7. Pada segitiga siku – siku ABC berlaku sin sin   0,5 . Maka cos(   )  ...

A. 1 D. – 0,5
B. 0,5 E. – 1
C. 0
8. Nilai cos345  ...

A. 1  6  2   D.  1 2  6
4 4

B. 1  2  6   E.  1 3  2
4 4

C. 1  3  2 
4
9. Diketahui tan x  m maka sin 2x  ...

A. 1  m2 D. 1  m2
2 1 m2

B. 2m E. 1  m2
1 m2 1 m2

C. 1
1 m2

10. Diketahui sin x  1 maka cos 2x  ...
3

A. 2 D. 7
9 9

B. 4 E. 8
9 9

C. 5
9

11. Nilai 1 cos 2A  ... D. tan A
sin 2A E. 1 + sin A

A. sin A
B. cos A
C. cotan A

12. Diketahui cos x  12 maka tan 1 x  ...
13 2

A. 1 D. 5
25 26

B. 1 E. 5
5 13

C. 1
26

13. 6sin165cos15  ...

 A.  3 3 1 D. 1  3 1
2 2

B.  3 E. 3
2 2

@2020, Iwhan Wigiati 26

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

C. 1  3 1
2

14. Nilai dari 2 cos  1  x  sin  1  x   ...
 4  4 

A. 1 – sin 2x D. 1 + cos 2x
E. sin 2x
B. 1 – cos 2x
D. 1
C. 1 + sin 2x 2

15. nilai dari cos 75  cos15 adalah... E. 0
sin 75  sin15

A. 1

B. 1 3
2

C. 1 2
2

@2020, Iwhan Wigiati 27

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

KUNCI JAWABAN EVALUASI

1. C
2. D
3. B
4. A
5. B
6. A
7. C
8. B
9. B
10. D
11. C
12. C
13. B
14. E
15. A

@2020, Iwhan Wigiati 28

TRIGONOMETRI – JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

DAFTAR PUSTAKA

Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017, Buku guru : Matematika untuk
SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Edisi Revisi, Jakarta, Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan

___________ , 2017, Buku siswa : Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Edisi Revisi,
Jakarta, Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan

Sutrima, Budi Usodo , 2009, Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu
Pengetahuan Alam, Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

Sumadi, Darno, Agus Suharjana, 2008, Matematika: Sekolah Menengah Kejuruan
(SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) Kelas XI Kelompok Teknologi, Kesehatan,
dan Pertanian , Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

Karyanto , 2017, Siap UN 2017 Program IPS
Karyanto , 2017, Siap UN 2017 Program IPA
Karyanto , 2017, Siap UN 2017 Program Bahasa

@2020, Iwhan Wigiati 29