MODUL LINGKARAN-HAYATI

MODUL MATEMATIKA

PERSAMAAN LINGKARAN
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

KELAS/ SEMESTER : XI IPA/ GENAP
TAHUN AJARAN : 2019/2020

OLEH : HAYATI, M.Pd
NIP : 196809021994122004

SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 1
BALIKPAPAN

PENDAHULUAN

Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli matematika Bangsa Yunani
biasa memandang garis singgung sebuah lingkaran sebagai sebuah garis
yang menyentuh lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan
mempunyai argument bahwa pasti ada dua titik potong ketika sebuah
garis memotong lingkaran. Jika hanya ada satu titik potong, maka garis
itu pastilah garis singgung lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan
lingkaran sebagai bangun yang stagnan.

Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang menemukan
Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung.
Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang
melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik tadi. Dengan demikian,
lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung tertutup sederhana yang
membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun yang dinamis.

STANDAR KOMPETENSI
3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya.
KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR

3.1 Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi • Merumuskan persamaan lingkaran berpusat di (0,0)
persyaratan yang ditentukan dan (a,b).

3.2 Menentukan persamaan garis singgung pada • Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang
lingkaran dalam berbagai situasi persamaannya diketahui.

• Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi
kriteria tertentu.

• Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap
lingkaran

• Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan
menentukan sifat-sifatnya

• Merumuskan persamaan garis singgung yang
melalui suatu titik pada lingkaran.

• Menentukan persamaan garis singgung yang melalui
titik di luar lingkaran.

• Merumuskan persamaan garis singgung yang
gradiennya diketahui.

2

RANGKUMAN LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak
titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

A. Persamaan lingkaran
I. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ= y.
Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x² + y² = r²

II. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari
persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan
teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y
+ b).
Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2Jadi

3

persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r
adalah (x - a)² + (y – b)² = r²

III. Bentuk umum persamaan lingkaran b² + C= 0

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r

adalah
(x- a)² + (y – b)² = r²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x²+ y² – 2ax – 2by + a²+ b² – r² = 0 atau x² + y² + Ax + By + a²+

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

B. PGSL

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

• Jika persamaan lingkaran , maka
persamaan garis singgungnya:

• Jika persamaan lingkaran berbentuk maka
singgungnya: persamaan
garis

Persamaan lingkaran

dapat juga diubah menjadi dengan kuadrat sempurna,

sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

4

Rumus:

atau Jika

diketahui titik ( x1, y1) dan Jika diketahui gradien m

C. Kedudukan titik dan garis pada lingkaran

Kedudukan Titik Pada Lingkaran
Letak K (m,n) terhadap X2+Y2 +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut
terhadap lingkaran

nilai kuasa K = m2+n2 +Am + Bn +C,

Jika k<0,didalam lingkaran
Jika k>0,diluar lingkaran
Jika k=0,pada lingkaran

Kedudukan garis pada lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran,substitusikan
garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:

Jika

• D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
• D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
• D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

5

Contoh Soal

A. Persamaan Lingkaran

I. Pilihan Ganda
1. Persamaan umum lingkaran dengan pusat (-2,3) berjari –jari 1 cm adalah….

A. x² + y² - 4x + 6y = -6

B. x² + y² + 4x + 6y = 6

C. x² + y² - 4x - 6y = -12

D. x² + y² + 4x - 6y = 7

E. x² + y² - 4x + 6y = 7

Jawaban :

persamaan umum lingkaran = (x - a)² + (y-b)²= r²

diket : a = -2, b = 3, r= 1cm. Maka = (x+2)² + (y-3)²= 12

= x² + y² + 4x - 6y -6 = 1 x² + y² + 4x - 6y = 7

2. Tentukan dan jari – jari lingkaran x² + y² = 169….
A. 13
B. 12
C. 14
D. 10
E. 11

Jawaban :
Persamaan umum lingkaran dengan pusat (0,0) = x² + y² = r²
Diket : persamaan lingkaran x² + y² = 169.
Maka x² + y² = 169 sama saja x² + y² =√169Berarti r = 13

3. Tentukan jari – jari lingkaran dengan persaman (x + 3)² + (y + 2)² = 45….
A. 15
B. 3√5
C. 4√5
D. 3√2
E. 7
Jawaban :
Persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) = (x-a)2 + (y-b)2= r2
Diket : (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45. Berarti r2 = 45
R = √45 sama saja r = 3√5

6

4. Dari soal nomor 3 tentukan pusat lingkarannya….
A. (-3, 2)
B. (-5, -2)
C. (-3, -2)
D. (-2, -3)
E. (3, 2)

Jawaban :
Diket : persamaan lingkarannya (x + 3)2 + (y + 2)2 = 45
Padahal persamaan umum lingkaran dengan pusat (a,b) (x-a)2 + (y-b)2= r2
Berarti a = -3, b = -2

5. Tentukan jari – jari lingkaran x² + y² – 6x + 8y = 0….
A. 6
B. 7
C. 4
D. 5
E. 3

Jawaban :

menentukan jari – jari dengan rumus = √(− 1 2 + (− 1 )2 −

)
22

Diketahui : A = -6, B = 8, C = 0, maka r = √(− 1 2 + (− 1 8)2 − 0

(−6))
22

r = √32 + (−4)2 = √9 + 16

r = √25 maka r = 5

6. Pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0 adalah ....
A. - 3/2 dan ( -1, -3/8)
B. - 1 dan ( -1, -3/8)
C. 3/2 dan (1, 3/8)
D. 5/2 dan (1, -3/8)
E. - 5/2 dan ( -1, 3/8)

Jawaban :
2x² + 2y² – 4x + 3y = 0

a = -2, b =3/2, c = 0

P (- ½ A, - ½B) = (-½ (-2), - ½ (3/4))

= (1, - 3/8 )
r = √a² + b² = √(-2)² + (3/2)

7

=√ 4 + 9/4 = √25/4
= 5/2

7. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,2) dan diameter 2√12 adalah...
A. x² + y² - 6x + 4y – 7 = 0
B. x² + y² - 6x + 4y - 6 = 0

C. x² + y² + 6x - 4y + 7 = 0

D. x² + y² + 6x - 4y + 1 = 0

E. x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0

Jawaban :
d =2√12 r = √12
(x + 3)² + (y – 2)² = (√12 )²
x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 = 12
x² + y² + 6x – 4y + 13 – 12 = 0
x² + y² + 6x – 4y + 1 = 0

8. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik pangkal dan melalui titik (6,8)
adalah....

A. x² + y² = 36
B. x² + y² = 64
C. x² + y² = 100
D. x² + y² = 144
E. x² + y² = 48

Jawaban : = 100
r² = 62 + 82 = 36 + 64
Persamaan lingkaran:
x² + y² = r²
x² + y² = 100

9. Koordinat titik pusat lingkaran x² + y² – 4y + 6y + 8 = 0 adalah...
A. (2,3)
B. (-3,2)
C. (-2,3)
D. (2, -3)
E. (-2,1)

Jawaban :
P (- ½A, - ½B) = (-½ (-4), - ½ (6))

= (2, -3)

10. Pusat lingkaran (x + 1)² + y² = 1 adalah....
A. (-2, 0)

8

B. (-1, 0)
C. (0, 1)
D. (0, -1)
E. (0, 2)

Jawaban :
(x + 1)² + y² = 1
x² + 2x + 1+ y² = 1
x² + y² + 2x = 0
P (-½ A, -½ B) = (- ½ (2), - ½ (0))

II. Essay

1. Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.

Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Jawaban :
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)

b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan
bentuk :
x2 + y2 = r2

9

sehingga
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25

2. Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

Jawaban :
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144

= 12 cm.

Diameter lingkaran:
D=2r

= 24 cm

3. Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!

Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Jawaban :
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

10

b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2

dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9

4. Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

Jawaban :
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0

akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4A2 + 1/4 B2 −C] .

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5

11

5. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4x² + 4y² + 4x - 12y + 1 = 0 !
Jawaban :

12

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

I. Pilihan Ganda

1. Persamaan garis singgung di titik ( 3,2) pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
adalah…
A. 4x – 21 = 0
B. 4x – 5y – 21 = 0
C. 2x – 2y – 25 = 0
D. 4y – 30 = 0
E. 2x – 2y – 14 = 0

Jawaban :

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) adalah (x-a)(x1-a) + (y-b)(y1-

b) = r2
Diket: x1 = 3, y1 = 2, dan persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
Berarti kita harus mencari pusat lingkarannya dan jari – jari terlebih dahulu!

Pusat = (-1 ), (-1 ) maka ( -1 2), ( -1 (−4)) Pusat = ( -1,2), r=√(− 1 2 + (− 1 2 −

22 ) )
22 22

r=√(−1)2 + (2)2 − (−20) → r = √25 berarti r = 5
(x - a) (x 1- a) + (y - b) (y1 - b) = r2 → (x+1) (3+1) + (y-2) (2-2) = 52
(x+1) 4 + (y-2) 0 = 25 → 4x+4 = 25. Jadi persamaan lingkarannya 4x-21 = 0

2. 11. Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dana menyinggung garis 3x + 4y +7

= 0....
A. x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 - 6x - 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x - 2y -9 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0

Jawaban :

Persamaan dengan pusat (3,1)

(x-a)2 + (y-b)2 = r2, a = 3, b = 1

Menyinggung garis 3x + 4y +7 = 0 garis ini identik dengan Ax + By + C = 0

A = 3, B = 4, C = 7. r = + + → r = 3.3 + 4.1 +7 →r= 20
√ 2 + 2 √32 + 42 √25

r = 20 maka r = 4, sehingga persamaan lingkarannya (x-3)2 + (y-1)2 = 42.

5

X2 + y2 – 6x – 2y + 9 + 1 = 16 jadi persamaannya adalah x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0

13

3. Persamaa garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-

9.1) .... B. 4x – 5y + 41 = 0 C. 4x – 5y - 31 = 0
A. 4x – 5y + 31 = 0

D. 4x + 5y + 31 = 0 E. 4x + 5y + 42 = 0

Jawaban :

diket : x1 = -9, y1 = 1, A = 10, B = -12, C = 20

x1x + y1y + 1 A (x + x1) + 1 B (y + y1) + C = 0 → -9x + y + 1 10 (x + -9) + 1 - 12
2 2 2
2

(y + 1) + 20 = 0

-9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0
-4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0

4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 dititik

berabsis -1.... D. 3x + 2y + 9 = 0
A. 3x – 2y – 3 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0
B. 3x – 2y – 5 = 0
C. 3x + 2y – 9 = 0

Jawaban :
titik berabis -1, berarti x = -1. Lalu substitusikanlah

(x – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13 → (-1 – 2 )2 + (y + 1 )2 = 13

(y + 1)2 = 4 → (y + 1) = 2 maka y = 1

→ (y + 1) = -2 atau y = -3

Maka titik – titiknya ( -1, 3) atau (-1, 1)

(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2 → (x – 2)(-1 – 2) + (y + 1)(-3 + 1) = 13

-3x + 6 – 2y – 2 = 13 → - 3x – 2y – 9

Dikalikan -1 semua → 3x + 2y + 9

5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis
3x – y =0....
A. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 √10
B. y – 3 = -3 (x-1) ±√10
C. y – 3 = -1/3 (x-1) ±√10
D. y – 3 = -1/3 (x-1) ± 3√10
E. y – 3 = -1/3 (x-1) ± 9 √10

14

Jawaban : m1 = 3, m2 = -1
tegak lurus dengan 3x – y = 0 berarti y = -3x
3

tegak lurus berarti kita gunakan m2 y – b = m (x – a ) ± r √1 + 2
pusat lingkaran (1, 3), r = 3

y – 3 = − 1 ( − 1) ± 3 √1 + (− 1)2 → y – 3 = − 1 + 1 ± 3 √10
33 9
33

y – 3 = − 1 + 1± √10

3 3

6. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,4) pada lingkaran x2 + y2

= 4....

A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -2x + 4

B. y = 2x + 4 D. y = -3x + 4

Jawaban :
titik (0,4) berada di luar lingkaran :
karena 02 + 42 > 4
persamaan garis singgung melalui titik (0,4):
y = mx +c
x1 = 0; y1 = 4
y – y1 = m (x – x1) ;
y – 4 = m(x-0)
y = mx+4 maka c = 4
cari nilai m

y1 - b = m (x1 - a) + c; dimana c = r √1 + 2
c = r √1 + 2 ⇔ c2 = r2 (1 + m2)
16 = 4 (1+ m2)
16 = 4 + 4m2
12 = 4m2
M2 = 3
m=±3

masukkan ke dalam persamaan y = mx+4.
jika m= 3 y = 3x +4
jika m = - 3 y = -3x + 4

7. Persamaan garis singgung melalui titik (-2, -1) pada lingkaran x² + y² + 12x – 6y + 13
= 0 adalah....
A. 2x – y – 5 = 0
B. x – y + 1 = 0

15

C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x – 2y + 4 = 0
E. 2x – y + 3 = 0

Jawaban :
x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
(x + 6)² + (y – 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
(x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
(x + 6)(x1 + 6) + (y – 3)(y1 – 3) = 32
(x + 6)(-2 + 6) + (y – 3)(-1 – 3 ) = 32
(x + 6)(4) + (y – 3)(-4) = 32
4x + 24 – 4y + 12 = 32
4x – 4y + 4 = 0
x–y+1=0

8. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x – 6y – 10 = 0 yang

tegak lurus garis terhadap garis x + 2y +1 = 0 adalah....

A. y = 2x – 14 B. y = 2x – 11 C. y = 2x + 5

D. y = 2x + 9 E. y = 2x + 15

Jawaban :
x² + y² + 2x – 6y – 10 = 0

r=2

x + 2y + 1 = 0

m1 = m2 , sehingga m2 = 2

P ( - A , - B ) = ( -½ (2) , -½ (-6) )

= (-1 , 3 )
y - 3 = m ( x + 1 ) ± r√ m² + 1
y = 2x + 5 ± 2 . √25

y = 2x + 5 ± 2 . 5 y = 2x + 15 atau y = 2x – 5
y = 2x+ 5 ± 10

16

9. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (3, −2)

adalah.... B. 2x − 3y = 13 C. 3x − 2y = − 14
A. 2x − 3y = −13 E. 3x + 2y = 13
D. 3x − 2y = 13

Jawaban :
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran,

apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x2 + y2
= 32 + (−2)2 = 9 + 4

= 13
Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung.

10. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 − 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar
dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah...
A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 193 = 0
B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 193 = 0
C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 193 = 0
D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 193 = 0
E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 193 = 0

Jawaban :
Lingkaran x2 + y2 − 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat:

dan jari-jari

17

Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah
−12/5.
Persamaannya:

Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah
11. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3)

adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0
B. 3x + 4y − 27 = 0
C. 3x - 4y − 27 = 0
D. 7x+ 4y − 17 = 0
E. 7x + 4y − 17 = 0

18

Jawaban :
Titik singgung : (x1, y1)
pada lingkaran : L ≡ x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Rumus garis singgungnya:

Data:
x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)
A = −4
B=2
C = − 20
x1 = 5
y1 = 3
Garis singgungnya:

12. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1)

adalah….

A. 3x − 4y − 41 = 0 B. 4x + 3y − 55 = 0 C. 4x − 5y − 53 = 0

D. 4x + 3y − 31 = 0 E. 4x − 3y − 40 = 0

Jawaban :
Data soal:
L ≡ x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0
A = −6
B=4

19

C = − 12
(7, 1)
x1 = 7
y1 = 1
Rumus sebelumnya, diperoleh garis singgung lingkaran:

13. Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x.

Nilai A yang memenuhi adalah...

A. − 2 dan 2 B. − 4 dan 4 C. − 5 dan 5

D. − 6 dan 6 E. − 9 dan 9

Jawaban :
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan
nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau

Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
20

Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:

14. Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0
adalah.....
A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0

Jawaban :
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui
dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya
menyinggung lingkaran.
Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah

21

Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.
Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan r = 4

15. Lingkaran memotong garis y = 1. Persamaan garis singgung di

titik potong lingkaran dan garis y = 1 adalah ...

A. x = 2 dan x = 4

B. x = 3 dan x = 1

C. x = 1 dan x = 5

D. x = 2 dan x = 3

E. x = 3 dan x = 4

Jawaban : memotong garis y = 1 di titik:
Lingkaran

x = 2 dan x = 4
jadi, titik potongnya (2, 1) dan (4, 1)
persamaan lingkarannya menjadi:

22

persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (2, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0
2.x + 1.y – 3 (2 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
2x + y – 6 – 3x – 1 – y + 9 = 0
-x + 2 = 0
x=2
persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (4, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0
4.x + 1.y – 3 (4 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
4x + y – 12 – 3x – 1 – y + 9 = 0
x-4=0
x=4
II. Essay

1. Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)

Jawaban :
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada
lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13

23

b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, -3) dan menyinggung garis

3x - 4y + 7 = 0!
Jawaban :

3. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran x² + y² - 6x - 2y + 2 = 0!
jawaban :

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang melalui titik (7,1)!
Jawaban :

24

5. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x² + y² = 25 maka tentukan c!
Jawaban :

C. Kedudukan titik dan garis pada lingkaran

1. Tentukan kedudukan garis g: x + y = 3 terhadap lingkaran L: x2 + y2 = 36....
A. Ada
B. Garis g memotong lingkaran L di satu titik
C. Garis g di luar lingkaran L
D. Tidak ada
E. Garis g memotong lingkaran L di dua titik

2. Tentukanlah kedudukan garis y = x – 2 terhadap lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9
A. Garis Tidak ada
B. Garis Ada
C. Garis Pada lingkaran
D. Garis Di luar lingkaran
E. Garis Di dalam lingkaran

Jawaban :

3. Posisi titik (1,2) terhadap lingkaran x²+y²=5x²+y²=5 berada…
A. Di luar lingkaran

25

B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan
Jawaban :
Titik (1,2) (1,2) ke lingkaran x²+y²=5x²+y²=5
(1,2) →1²+2²=5=5(1,2) →1 + 4=5=5
Titik (a,b)(a,b) terletak pada lingkaran, jika a²+b²=r²a²+b²=r²
Jadi titik (1,2) (1,2) berada pada lingkaran.

5. Posisi titik (−4, −3) terhadap lingkaran 3x²+3y²=9 berada…
A. Di luar lingkaran
B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

Jawaban :
3x²+3y²=9 →x²+y²=3
Substitusikan titik (−4, −3) ke pers lingkaran x²+y²=3
(−4)²+(−3)²=16+9=25>3
Titik (a,b) terletak diluar lingkaran, jika a²+b²>r²
Jadi titik (−4, −3) terhadap lingkaran 3x²+3y²=9 berada diluar lingkaran.

6. Titik (3, m) berada pada luar lingkaran x²+y²=45, untuk nilai m yang memenuhi….

A. m > 9 B. -5 < m < 5 C. -6 < m < 6

D. m > 6 E. m < -6 atau m > 6

Jawaban :

Titik (a,b) terletak diluar lingkaran, jika a²+b²>r²

Substitusikan nilai (3, m) ke pers lingkaran x²+y²=45

3²+m²>45
9+m²−45>0

26

m²−36>0

(m−6) (m+6)>0

m<−6 atau m>6

Jadi titik (3, m) berada pada luar lingkaran x²+y²=45, untuk nilai m yang memenuhi
m<−6 atau m>6.

7. Titik (a,3) berada didalam lingkaran: x²+y²=13 untuk nilai a….

A. 2 B. a > 2 C. a < -2 atau a > 2

D. -2 < a < 2 E. -4 < a < 4

Jawaban :

Titik (a,b) terletak didalam lingkaran, jika a²+b²<r²

Substitusikan nilai (a,3) ke pers lingkaran: x²+y²=13

a²+3²<13
a²+9−13<0

a²−4<0

(a−2) (a+2) < 0

−2 < a < 2

8. Titik (−2,3) terhadap lingkaran (x−1)² + (y+4)²=144 berada…
A. Di luar lingkaran
B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

Jawaban :
Titik (−2,3) substitusikan ke persamaan lingkaran (x−1)²+(y+4)²=144
(−2,3) → (−2−1)²+(3+4)²=9+49=58<144

Titik (h,k) terletak di dalam Lingkaran jika (h−a)²+(k−b)²<r²
Jadi titik (−2,3) terhadap lingkaran (x−1)²+(y+4)²=144 berada di dalam lingkaran.

9. Titik (2, a) terletak diluar lingkaran: (x+1)²+(y−3)²=10 untuk nilai a yang memenuhi…

A. 2 < a < 4 B. a < 2 atau a > 4 C.a < -4 atau a > 2

D. -4 < a < 2 E. a > 4

27

Jawaban :
Titik (h,k) terletak diluar Lingkaran jika (h−a)²+(k−b)²>r²
Substitusikan nilai (2, a) ke pers lingkaran (x+1)²+(y−3)²=10
(2+1)²+(a−3)²>10
9+a²−6a+9−10>0
a²−6a+8>0
(a−4) (a−2)>0

a<2 atau a>4
Jadi nilai titik (2, a) terletak diluar lingkaran (x+1)²+(y−3)²=10 untuk a<2 atau a>4

10. jika titik (2, -1) terletak diluar lingkaran x² + y²+ kx + 8y + 13 = 0, maka nilai k....

A. K > -3 B. K > 3 C. K > -5

D. K < 5 E. K < -4

Jawaban :

Titik (2, -1) terletak diluar lingkaran x² + y² + kx + 8y + 13 = 0, berarti (x - a)² + (y - b)²
> r². Disubstitusikan 2²+ (-1)² + 2k + 8(-1) + 13 > 0 → 2k + 10 > 0 2k > -10 berarti k > -5

11. Posisi titik A (4, −4) terhadap x²+y²−6x+2y+5=0 berada…
A. Di luar lingkaran
B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

Jawaban :
Lingkaran x²+y²−6x+2y+5=0 pusat dan jari masing-masing:
Pusat = (− 1(-6), − 1(2)) = (3, -1)

22

Jari-jari = √32 + (−1)2 − 5 = √9 + 1 − 5 = √5
Jadi lingkaran x²+y²−6x+2y+5=0 ekuivalen dengan lingkaran (x−3)²+(y+1)²=5
Substitusikan (4, −4) ke lingkaran (x−3)²+(y+1)²=5
(4, −4) → (4−3)²+(−4+1)²=1+9=10>5
Titik (h,k) terletak diluar Lingkaran jika (h−a)²+(k−b)2>r²
Jadi titik A (4, −4) terhadap x²+y²−6x+2y+5=0 berada diluar lingkaran.

28

12. Posisi titik (−5, −3) terhadap lingkaran x²+y²=49 berada…
A. Di luar lingkaran
B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

Jawaban :
x²+y²=49
Substitusikan titik (−5, −1) ke pers lingkaran x²+y²=49
(−5)²+(−3)² = 25+9 = 34 < 49
Titik (a,b) terletak diluar lingkaran, jika a²+b²<r²
Jadi titik (−5, −3) terhadap lingkaran x²+y²=49 berada di dalam lingkaran

I. Essay

1. Jika garis y = x + 9 menyinggung lingkaran x2 + y2 + 8x – 10y + 21 – p = 0 di satu
titik maka tentukanlah nilai p!

Jawaban :

2. Buktikan bahwa garis y = 2x + 1 memotong lingkaran x2 + y2 + 4x + 6y + 8 = 0 dan
tentukanlah titik potongnya!

Jawaban :

29

3. Tentukanlah kedudukan garis y = x – 2 terhadap lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9!
Jawaban :

4. Selidiki kedudukan garis pada lingkaran dengan ,
persamaan pada lingkaran

Jawaban :
Substitusi persamaan garis

30

Berdasarkan persamaan kuadrat di atas diperoleh

Nilai diskriminan (D) dari persamaan kuadrat adalah

Karena nilai < 0, maka garis tersebut tidak memotong lingkaran (saling
lepas).

5. Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0.

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam
lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Jawaban :
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x=2
y=1

x2 + y2 −4x + 2y − 4

31

= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
=4+1−8+2−4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0, titik di dalam lingkaran
Hasil > 0, titik akan berada di luar lingkaran.
Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

B. EVALUASI

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar dan jelas !

1. Titik (7,9) terhadap lingkaran x²+y²−8x−10y+16=0 berada….
A. Di luar lingkaran
B. Di dalam lingkaran
C. Pada lingkaran
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

2. Diketahui titik (m,1) berada didalam lingkaran x²+y²−2x+6y−15=0, batas nilai m
yang memenuhi adalah…

A. m > 4 B. -4 < m < 2 C. -2 < m < 4

D. 2 < m < 4 E. 2 < m < 6

3. Lingkaran L1:x²+y²−10x+2y+17=0 dan L2:x²+y²+8x−22y−7=0, maka kedua
lingkaran…

A. Tidak berpotongan
B. Berpusat sama
C. Bersinggungan luar
D. Berpotongan di dua titik
E. Mempunyai jari-jari yang sama

4. Dua buah lingkaran dangan persamaan L1:x²+y²+6x−8y+25=0 dan
L2:x²+y²+10x−8y+25=0, maka kedua lingakaran…

A. Sepusat
B. Bersinggungan luar
C. Bersinggungan di dalam

32

D. Berpotongan di dua titik
E. Tidak bersinggungan atau berpotongan

5. Diketahui L1:x²+y²−10x−8y+32=0 dan L2:x²+y²−2x−2y−4=0, hubungan yang
berlaku adalah…

A. Bersinggungan
B. Tidak bersinggungan
C. Berpotongan
D. Tidak berpotongan
E. Tidak memiliki hubungan

6. Dua lingkaran x²+y²+6x−8y+21=0 dan x²+y²+10x−8y+21=0 akan…
A. Sepusat
B. Bersinggungan dalam
C. Bersinggungan luar
D. Berpotongan
E. Tidak berpotongan

7. Diketahui L1:x²+y²=8 dan L2:x²+y²−10x−10y+32=0, hubungan kedua lingkaran itu
adalah…

A. Bersinggungan luar
B. Bersinggungan dalam
C. Tidak berpotongan
D. Tidak bersinggungan
E. Berpotongan

8. Diketahui titik (m,1) berada didalam lingkaran x²+y²−2x+6y−15=0, batas nilai m yang
memenuhi adalah…

B. m > 4 B. -4 < m < 2 C. -2 < m < 4
E. 2 < m < 4 E. 2 < m < 6

9. Titik (7,9) terhadap lingkaran x²+y²−8x−10y+16=0 berada….
F. Di luar lingkaran
G. Di dalam lingkaran
H. Pada lingkaran
I. Berpotongan
J. Tidak berpotongan

33