Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Dibuat oleh : Kuswandi ,M.Pd
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Pengertian : sistem persamaan yang memuat lebih dari satu persamaan linear tiga variabel dengan himpunan variabel yang sama. Latihan soal : 1.. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. 2x + 5y – 3z = 3 6x + 8y -5z = 7 -3x + 3y + 4y = 15 Pembahasan 2x + 5y – 3z = 3 … (1) 6x + 8y -5z = 7 … (2) -3x + 3y + 4z = 15 … (3) Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2): 2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15 6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21 – -8x + y = -6 … (4) Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3): 2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12 -3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45 + -x + 29y = 57 … (5) Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5): -8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174 -x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57 – -231x = -231 x = 1
Substitusikan x ke (4): -8x + y = -6 -8(1) + y = -6 -8 + y = -6 y = 8 – 6 y = 2 Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1) 2x + 5y – 3z = 3 2(1) + 5(2) – 3z = 3 2 + 10 – 3z = 3 12 – 3z = 3 – 3z = 3 -12 = -9 z = -9/-3 z = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)} 2. Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut x + y + z = -6 x + y – 2z = 3 x – 2y + z = 9 Pembahasan x + y + z = -6 … (1) x + y – 2z = 3 … (2) x – 2y + z = 9 … (3) Tentukan persamaan x melalui (1) x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4) Substitusikan (4) ke (2) x + y – 2z = 3
-6 – y – z + y – 2z = 3 -6 – 3z = 3 3z = -9 z = -3 Substitusikan (4) ke (3) x – 2y + z = 9 -6 – y – z – 2y + z = 9 -6 – 3y = 9 – 3y = 15 y = 15/(-3) y = -5 Substitusikan z dan y ke (1) x + y + z = -6 x – 5 – 3 = -6 x – 8 = -6 x = 8 – 6 x = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)} 3. Toko alat tulis pak rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 jenis paket sebagai berikut. Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp 17.200 Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp19.700 Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp14.000 Hitunglah harga 1 buah masing-masing item ! Pembahasan Misal: b: harga 1 buah buku
s: harga 1 buah spidol t: harga 1 buah tinta Maka, model matematikanya adalah : 3b + s + 2t = 17.200 … (1) 2b + 2s + 3t = 19.700 … (2) b + 2s + 2t = 14.000 … (3) Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (2): 3b + s + 2t = 17.200 |×3| ⇔ 9b + 3s + 6t = 51.600 2b + 2s + 3t = 19.700 |×2| ⇔ 4b + 4s + 6t = 39.400 – 5b – s = 12.200 … (4) Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (3): 3b + s + 2t = 17.200 b + 2s + 2t = 14.000 – 2b – s = 3.200 s = 2b – 3.200 … (5) Substitusikan (5) ke (4): 5b – s = 12.200 5b – (2b – 3.200) = 12.200 5b – 2b + 3.200 = 12.200 3b = 12.200 – 3.200 = 9.000 b = 9.000 ÷ 3 b = 3.000 Substitusikan nilai b ke (5) s = 2b – 3.200 s = 2(3.000) – 3.200 s = 6.000 – 3.200 s = 2.800
Substitusikan nilai b dan s ke (3) b + 2s + 2t = 14.000 3.000 + 2(2.800) + 2t = 14.000 3.000 + 5.600 + 2t = 14.000 8.600 + 2t = 14.000 2t = 14.000 – 8.600 = 5.400 t = 5.400 ÷ 2 t = 2.700 Jadi, harga 1 buah buku adalah Rp3.000, 1 buah spidol adalah Rp2.800, dan 1 buah tinta adalah Rp2.700. 4. 3 bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut: Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000 Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000 Via membelli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000 Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga? Pembahasan Misal: a = Harga 1 buah Apel j = Harga 1 buah Jambu m = Harga 1 buah Mangga Maka, model matematikanya adalah 2a + j + m = 47.000 … (1) a + 2j + m = 43.000 … (2)
3a + 2j + m = 71.000 … (3) Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3): a + 2j + m = 43.000 3a + 2j + m = 71.000 – -2a = -28.000 a = 14.000 Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a: 2a + j + m = 47.000 a + 2j + m = 43.000 – a – j = 4.000 j = a – 4.000 j = 14.000 – 4.000 j = 10.000 Substitusikan nilai a dan j ke (1): 2a + j + m = 47.000 2(14.000) + 10.000 + m = 47.000 28.000 + 10.000 + m = 47.000 38.000 + m = 47.000 m = 47.000 – 38.000 m = 9.000 Jadi, harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000. 5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut. 3x – 6y + 12z = 60 2x -4y + 4z = 46 x – 2y + 4z = 15
Pembahasan Sistem persamaan linear tiga variabel tersebut bisa disederhakan menjadi 3x – 6y + 12z = 60 |÷ 3| ⇔x – 2y + 4z = 20 … (1) 2x -4y + 4z = 46 |÷ 2| ⇔ x – 3y + 6z = 23 … (2) x – 2y + 4z = 15 … (3) Perhatikan bahwa (1) dan (3) mempunyai sisi kiri yang sama (x – 2y + 4z) namun sisi kanan berbeda (20 ≠ 15). Jadi SPLTV tersebut tidak mungkin terselesaikan. Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian. Pertidaksamaan Linear: Pengertian, Sistem, Soal Apakah kalian sudah tahu mengenai pertidaksamaan linear? Jika belum, mari kita belajar bersama mengenai pertidaksamaan linear. Kalian tentu sering mendengar mengenai persamaan. Nah pada artikel kali ini kalian dapat mempelajari materi mengenai pertidaksamaan. Adapun beberapa pertidaksamaan yang akan qdibahas pada artikel ini adalah pertidaksamaan linear, pertidaksamaan linear satu variabel, sistem pertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabel, serta sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Berikut akan dijelaskan mengenai definisi pertidaksamaan linear. Definisi Pertidaksamaan Linear Apa yang kalian ketahui mengenia pertidaksamaan linear?
Jika diartikan per kata, pertidaksamaan linear tersusun dari dua kata yaitu ―pertidaksamaan‖ dan ―linear‖. Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari ― > ―, kurang dari ― < ―, lebih dari atau sama dengan ― ≥ ―, dan kurang dari atau sama dengan ― ≤ ―. Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. Berikut akan dijelaskan mengenai contoh penerapan pertidaksamaan linear. Penerapan Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Pertidaksamaan linear dimanfaatkan untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Penyelesaian permasalahan dengan menggunakan pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan mengubah permasalahan tersebut ke dalam bentuk model matematika. Setelah terbentuk model matematika, kalian dapat menyelesaikan model matematika yang kalian buat untuk menentukan solusi dari permasalahan tersebut. Berikut akan dijelaskan mengenai pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari mengenai pertidaksamaan linear. Pada bagian ini kalian akan mempelajari mengenai pertidaksamaan linear satu variabel. Apakah kalian tahu apa itu pertidaksamaan linear satu variabel? Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan bentuk pertidaksamaan dengan memuat satu peubah (variabel) dengan pangkat tertingginya adalah satu (linear).
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear 1 Variabel ax + b > c ax + b < c ax + b ≥ c ax + b ≤ c Keterangan: a : koefisien variabel x x : variabel b, c : konstanta <, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan Selanjutnya akan dibahas mengenai pertidaksamaan linear dua variabel. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pada bagian sebelumnya kalian sudah belajar mengenai pertidaksamaan linear dua variabel. Bagian ini akan membahas mengenai pertidaksamaan linear dua variabel. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat dua peubah (variabel) dengan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah satu. Bentuk dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu sebagai berikut. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear 2 Variabel ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c Keterangan: x, y : variabel a : koefisien variabel x b : koefisien variabel y c : konstanta <, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan Selanjutnya akan dibahas mengenai sistem pertidaksamaan linear.
Sistem Pertidaksamaan Linear Apakah kalian mengetahui perbedaan dari pertidaksamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear? Perbedaan dari keduanya terletak pada banyaknya pertidaksamaan. Pada sistem pertidaksamaan linear, misalnya pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel, terdapat lebih dari satu pertidaksamaan linear dua variabel agar dapat dibuat model matematika dan ditentukan solusinya. Pembahasan pada bagian berikutnya akan menjelaskan mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Seperti disebutkan sebelumnya, sistem pertidaksamaan linear dua variabel memiliki beberapa pertidaksamaan linear dua variabel agar dapat ditentukan solusi dari pertidaksamaan tersebut. Perhatikan contoh di bawah ini untuk menentukan solusi dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Misalkan terdapat sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagsi berikut. 3x + 2y < 8 x + y < 3 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel tersebut jika x dan y merupakan bilangan bulat positif. Pembahasan Model matematika: 3x + 2y < 8 x + y < 3 Dengan menggunakan grafik, dibuat garis 3x + 2y = 8, kemudian tentukan bagian yang merupakan 3x + 2y < 8.
Dengan menggunakan grafik, dibuat garis x + y = 3, kemudian tentukan bagian yang merupakan x + y < 3. Kemudian tentukan titik potong kedua garis tersebut. 3x + 2y = 8 x + y = 3 Dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh: 3x + 2y = 8 2x + 2y = 6 ————– – x = 2 Substitusikan nilai x = 2 ke persamaan x + y = 3 2 + y = 3 y = 3 – 2 y = 1
Titik potong kedua garis tersebut adalah (2, 1). Daerah berwarna ungu merupakan daerah hasil penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pelajari contoh soal di bawah ini untuk meningkatkan pemahamanmu. Baca juga Fungsi Komposisi. Contoh Soal Pertidaksamaan Linear 1. Tentukan solusi pertidaksamaan linear berikut ini untuk nilai variabel merupakan bilangan bulat positif. 3x < 12 2y > 6 Pembahasan 1. 3x < 12 x < 12/3 x < 4 Solusi: {1, 2, 3} 2. 2y > 6 y > 6/2 y > 3 Solusi : {4, 5, 6, . . .}
2. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut. 4x + 2 y < 12 2x + 3y < 10 Pembahasan Buatlah garis 4x + 2y = 12 dan tentukan daerah yang menunjukkan 4x + 2y < 12. Buatlah garis 2x + 3y = 10 dan tentukan daerah yang menunjukkan 2x + 3y < 10. Tentukan titik potong kedua garis. Daerah hasil penyelesaian merupakan daerah yang berwarna ungu. Mari kita simpulkan bersama.
Kesimpulan Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari ― > ―, kurang dari ― < ―, lebih dari atau sama dengan ― ≥ ―, dan kurang dari atau sama dengan ― ≤ ―. Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan bentuk pertidaksamaan dengan memuat satu peubah (variabel) dengan pangkat tertingginya adalah satu (linear). Pertidaksamaan linear dua variabel adalah bentuk pertidaksamaan yang memuat dua peubah (variabel) dengan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah satu. Pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel, terdapat lebih dari satu pertidaksamaan linear dua variabel agar dapat dibuat model matematika dan ditentukan solusinya.