คณิตศาสตร์ Math เสนอ คุณครู ไพรัช วงศรีตระกูล ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2565 รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัส ค32202
จัดทำ โดย น.ศุภกร ทองเชื้อ เลขที่ 10 น.ส.ณัฐณิชา ประสานมิตร์ เลขที่ 16 น.ส.นัณภัชสรณ์ ฤกษ์เจริญ ชัย เลขที่ 17 น.ส.สุภาวิตา ทองมี เลขที่ 18 ม.5/5
ในชีวิตประจำ วันของทุกคนต้องได้ยินคำ ว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดด จะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะ ได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูก หวย มากน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัย ก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ใน การตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความ เห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่า จะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับ เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น ความน่าจะเป็น Probability
การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะ คาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่ง ผลลัพธ์โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่ สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นราย ครั้ง ว่า แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์ อะไร เช่นเราทดลองทอยลูกเต๋า 6 หน้า และ สามารถคาดคะเนได้ว่าเมื่อทอยเป็นพันเป็นหมื่น ครั้งแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 1 เป็น 1/6 แต่ว่าเราไม่สามารถที่จะทำ นายได้เลยว่า การ ทอยลูกเต๋าครั้งต่อไป จะขึ้นเลขอะไร การทดลองสุ่ม Random Experiment
นิยามของความน่าจะเป็น ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็น จำ นวนเท่ากับ N และจำ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มี ค่าเท่ากับ n โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิด ขึ้นได้เท่าๆกันความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทน ด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำ นวนที่แสดงให้ทราบว่า เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อย เพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วน ของจำ นวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น ก็ได้) ต่อจำ นวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตร ในการคิดคำ นวณดังนี้
สูตรความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลอง สุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน กำ หนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ n แทน จำ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ N แทน จำ นวนสมาชิกของผลลัพธ์ ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1 3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น เท่ากับ 0
ชีวิตประจำ วันของมนุษย์เรา มักจะเกี่ยวข้องกับการทํานาย อนาคตเสมอ เช่น การทำ นายลมฟ้าอากาศ เป็นต้น การศึกษา ความน่าจะเป็นนี้ เกิดขึ้นประมาณ ศตวรรษที่ 17 เมื่อนักพนัน ชื่อ Cnevaalie de Mereได้ถามปัญหา ปาสคาล (Blaise Pascal) และปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไปให้ แฟร์มาสต์ (Pierre de Fermat) และทั้งสองได้ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎี ต่าง ๆ ขึ้น การศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียน สามารถเดาเหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการ ตัดสินใจได้ถูกต้องมากยิ่งขึ้นกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการ นับ ( Fundamental Principles of Counting ) กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ Fundamental Principles of Counting
เป็นเครื่องมือที่ใช้สำ หรับแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของ ผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดในลักษณะของรูปภาพแทนการเขียนเซต ของปริภูมิ การเขียนแผนภาพต้นไม้จะเริ่มจากจุดทางด้านซ้ายมือ เสมอ และแตกกิ่งออกไปตามความเป็นไปได้ที่สามารถ เกิดขึ้นได้ใน แต่ละทางเลือก การนับจำ นวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำ นวนวิธีใน การจัดชุดของสิ่งต่าง ๆ มักจะแก้ปัญหาโดยใช้ แผนภาพต้นไม้ ซึ่งแผนภาพต้นไม้เป็นแผนภาพที่แสดงการหาจํานว นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการกระทำ มี 2 แบบ คือ 1) แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างเป็นระเบียบ 2) แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างไม่เป็นระเบียบ การนับจำ นวน วิธี จากการสร้างแผนภาพต้นไม้ โดยนับกิ่งสุดท้าย 1 กิ่ง คือ " 1 จำ นวนวิธี" แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)
โจทย์ตัวอย่าง : สถานการณ์ จริยามีเสื้อและกางเกงสำ หรับสวมใส่ไปแสดงละคร 3 ตัว และ 2 ตัวตามลำ ดับ จำ นวนวิธีที่ จริยาจะสวมเสื้อและกางเกงใส่ไป แสดงละครชุดต่าง ๆ ที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี จากแผนภาพจะได้ว่าจริยาสามารถ เลือกสวมใส่เสื้อได้ 3 วิธี และใน แต่ละวิธีที่สวมเสื้อ สามารถเลือก สวมกางเกงได้ 2 วิธี ดังนั้น จำ นวน วิธีที่จริยาจะเลือกสวมเสื้อและ กางเกงเป็นชุดต่างๆแตกต่างกัน เท่ากับ 3×2 = 6 วิธี
โจทย์ตัวอย่าง แผนภาพต้นไม้ที่วางอย่างเป็นระเบียบ ตัวอย่างที่ 1 ร้านแสดงสินค้าแห่งหนึ่ง ต้องการให้ผู้เรียนจัดโชว์ชุดแต่งกายพักผ่อนชายหาด โดยมีเสื้อ 3 ขนาด แต่ละขนาดมี 3 สี คือ สีเหลือง สีขาวและสีฟ้าจะต้องจัดอย่างไร วิธีทำ ใช้วิธีการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้แผนภาพต้นไม้.... ให้ ล แทนเสื้อสีเหลือง ข แทนเสื้อสีเขียว ฟ แทนเสื้อสีฟ้า M แทนเสื้อขนาดเล็ก L แทนเสื้อขนาดกลาง XL แทนเสื้อขนาดใหญ่ หาวิธีการจัดเสื้อให้ครบทุกขนาดและทุกสีโดยใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้ คำ ตอบ นับจำ นวนวิธีจัด ชุดโชว์ทั้งหมด เท่ากับ 9 วิธี
โจทย์ตัวอย่าง แผนภาพต้นไม้ที่วางอย่างอย่างไม่เป็นระเบียบ ตัวอย่างที่1 ในการเล่นเกมส์อย่างหนึ่ง เล่นได้ไม่เกิน 5 ครั้ง นาย ก มีเงิน เพียง 1 บาท เมื่อเริ่มเล่น เขาจะเลิกเล่นเมื่อมีกำ ไร 2 บาท หรือหมดเงิน จะมี วิธีเล่นกี่วิธี ถ้าชนะเขาจะได้ครั้งละ 1 บาท และถ้าแพ้เสีย 1 บาท เขียนแสดง ด้วยแผนภาพต้นไม้ ดังนี้ อธิบาย เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท วิธีที่ 1 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่นชนะ และชนะ ได้ กำ ไร 2 บาท หยุดเล่น วิธีที่ 2 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่นชนะ แพ้ ขนะ และ ชนะ ได้กำ ไร 2 บาท หยุดเล่น วิธีที่ 3 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่นชนะ แพ้ ขนะ แพ้ และชนะ หยุดเล่น เพราะครบ 5 ครั้ง วิธีที่ 4 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่นชนะ แพ้ ขนะ แพ้ และแพ้ หยุดเล่นเพราะ เงินหมด วิธีที่ 5 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่นชนะ แพ้ และแพ้ หยุดเล่นเพราะเงินหมด วิธีที่ 6 เริ่มเล่นมีเงิน 1 บาท เล่น แพ้ และแพ้ หยุด เล่น เพราะเงินหมด คำ ตอบ นักเรียนคนนี้สามารถแต่งกายได้ 12 วิธี
กฎการนับเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( การคูณ ) กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำ งานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำ ได้n 1 วิธีและใน แต่ละวิธี ที่เลือกทำ งานอย่างแรกนี้ มีวิธีเลือกทำ งานอย่างที่สองได้ n 2 วิธี จะทำ งานทั้งสองอย่างนี้ได้ n 1 n 2 วิธี ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 4อย่างและขนม 3 อย่าง ให้นักเรียนเลือกรับประทานชนิดละ 1 อย่าง อยากทราบว่านักเรียนจะมีวิธี เลือก อาหารคาวและขนมได้ทั้งหมดกี่วิธี แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการให้เลือกอาหารคาว 1 อย่าง และขนม 1อย่าง ดังนั้น การ ทำ งานในข้อนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกอาหารคาวได้4 วิธี (มีอาหารคาว 4 อย่าง) ขั้นตอนที่ 2 เลือกขนมได้ 3 วิธี (มีขนม 3 อย่าง) ดังนั้น จะมีวิธีเลือกอาหาร คาวและขนมได้ทั้งหมด 4×3 = 12 วิธี
กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำ งานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำ ได้ n 1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำ ขั้นตอนที่สองได้ n 2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ ทำ งานของขั้นตอน ที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำ ขั้นตอนที่สามได้ n 3 วิธี เช่น นี้เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนสุดท้าย คือ ขั้นตอนที่ k จะทำ ได้ n k วิธี จะทำ งาน k ขั้นตอนนี้ ได้ n 1 n 2… n k วิธี ตัวอย่างที่ 1 ชมรมถ่ายภาพมีสมาชิก 10 คน ถ้าต้องการเลือกประธานชมรม รอง ประธานชมรม เลขานุการชมรมและเหรัญญิกของชมรม ตำ แหน่งละ 1 คน จำ นวนวิธีที่ จะเลือก ตำ แหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้ทั้งหมดกี่วิธี แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการเลือกตำ แหน่งประธาน รองประธาน เลขานุการและ เหรัญญิก ดังนั้น การทำ งานในข้อนี้มี 4 ขั้นตอน วิธีทำ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตำ แหน่งประธานได้ 10 วิธี (มีสมาชิก 10 คน) ขั้นตอนที่ 2 เลือกตำ แหน่งรองประธานได้ 9วิธี เป็นประธานแล้ว 1 คนเหลือ 9 คน ขั้นตอนที่ 3 เลือกตำ แหน่งเลขานุการได้ 8 วิธี ( เป็นประธานกับรองแล้วเหลือ 8 คน ) ขั้นตอนที่ 4 เลือกตำ แหน่งเหรัญญิกได้ 7 วิธี ( เป็นประธาน , รองและเลขาแล้ว 3 คน เหลือ 7 คน) ดังนั้น จำ นวนวิธีที่จะเลือกตำ แหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้เท่ากับ 10×9×8×7 = 5,040 วิธี
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การบวก) หลักการบวก ในการทำ งานอย่างหนึ่งมี วิธีการทํา kวิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การทํางานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n 1 วิธีการ ทำ งานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n 2 วิธี การทํางาน วิธีที่ k มีวิธีทำ n k วิธี และวิธีการทํางาน แต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำ นวนวิธีทำ งาน นี้เท่ากับ n 1+n 2+…+n k วิธี
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (ภายใต้เงื่อนไข) ตัวอย่างที่ 1 ห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ของ โรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการสร้างรหัสทะเบียนอุปกรณ์ เครื่องมือสื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ตัวอย่างเช่น A 01 อยากทราบว่ารหัสทะเบียน อุปกรณ์เครื่องมือ สื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ของ โรงเรียนแห่งนี้มีได้ทั้งหมดกี่รหัส ถ้า 1. รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำ กัน 2. รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำ กันได้
ตัวอย่างที่ 1 ห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการสร้าง รหัสทะเบียนอุปกรณ์ เครื่องมือสื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัว อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ตัวอย่างเช่น A 01 อยากทราบว่า รหัสทะเบียนอุปกรณ์เครื่องมือ สื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งนี้มีได้ ทั้งหมดกี่รหัส ถ้า 1. รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำ กัน 2. รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำ กันได้ แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการสร้างรหัสทะเบียน 3 ตัว ได้แก่ ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ดังนั้นการทำ งานมี 3 ขั้นตอนโดยตัวอักษรภาษาอังกฤษ คือ A-Z มีทั้งหมด 26 ตัว และเลขโดดที่ใช้ในแสดงจำ นวนที่ต้องการ คือ 0-9 วิธีทำ 1) รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำ กัน ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี (ตัวอักษร A-Z ) ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี (เลขโดด 0-9) ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 9 วิธี (ไม่ซ้ำ กับเลขโดดตัว แรก) ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่ไม่มีเลขโดดซ้ำ กันได้ทั้งหมด 26×10×9 = 2,340 รหัส 2) รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำ กัน ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่มีเลขโดดซ้ำ กันได้ทั้งหมด 26×10×10 = 2,600 รหัส
แฟกทอเรียล (Factorial) เป็นตัวดำ เนินการที่สำ คัญมากในการศึกษาคอมบินาทอ ริกซ์ โดยแฟกทอเรียลมีนิยามดังนี้ บทนิยาม ถ้า n เป็นจำ นวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n คือ ผลคูณของจำ นวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n และ เขียน แทนด้วย n! นั่นคือ n! = n! = 1.2.3.4.….(n-1).n ตัวอย่าง เช่น 5! = 1 X 2 X 3 X 4 X 5 หรือ 5 X 4 X 3 X 2 X 1 (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1) . . . 3 X 2 X 1 (n-r)! = (n-r)(n-r-1)(n-r-2) . . . 3 X 2 X 1 จากนิยามของ n! กล่าวถึงเฉพาะ n ที่เป็นจำ นวนเต็มบวก แต่บางครั้งจำ เป็น ต้องใช้ 0! จึงต้องกำ หนดค่าไว้ โดยให้ 0! = 1
ตัวอย่างเช่น 1! = 1 2! = 2•1 = 2 3! = 3•2•1 = 6 4! = 4•3•2•1 = 24 5! = 5•4•3•2•1 = 120 6! = 6•5•4•3•2•1 = 720 7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5,040
ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีเรียงสับเปลี่ยน (PERMUTATION) คือการเรียงสิ่งของโดยคำ นึงถึงตำ เเหน่งของสิ่ง ของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำ คัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า “ถ้า n เป็นจำ นวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียน เเทนด้วย n!”
1.วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด กำ หนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียง คราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ 2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด กำ หนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัด เรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็น ของเหมือนกัน *จำ เเนกเป็นกลุ่มๆ* จำ นวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้น กับของ n สิ่งนั่นคือ วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง =
วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม จำ นวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่ เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ (n-1)! วิธี
คือ วิธีการจัดสิ่งของที่แตกต่างกันออกเป็นกลุ่ม หรือ หมู่โดย ไม่คำ นึงถึงอันดับ เช่น ในการเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คนจากผู้สมัคร 5 คน จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี ปัญหาเช่นนี้เราจะไม่สนใจอันดับที่ของคนที่เราเลือก แต่สนใจว่าจะจัดเป็นหมู่ 3 คน ได้ทั้งหมดกี่หมู่ วิธีทำ ถ้าเรียกผู้สมัคร 5 คนนั้นว่า ก,ข,ค,ง,จ การจัดหมู่ทีละ 3 คนเหมือนกับการหา สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัวของเซต {ก,ข,ค,ง,จ} ซึ่งมีทั้งหมด 10 สับเซต ดังนี้ {ก,ข,ค}, {ก,ข,ง}, {ก,ข,จ}, {ข,ค,ง}, {ข,ค,จ}, {ข,ง,จ}, {ค,ง,จ}, {ก,ค,ง}, {ก,ค,จ}, {ก,ง,จ} ดังนั้นในการเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คน จากผู้สมัคร 5 =10 วิธี วิธีจัดหมู่ ( COMBINATION ) กฎการจัดหมู่ - จำ นวนวิธีจัดหมู่ของ n สิ่งที่แตก ต่างกัน โดยนำ มาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง ( r < n ) เท่ากับ
แบบที่1 มีสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่งแบ่งออก เป็น k กลุ่ม กลุ่มละn1,n2,…,n kสิ่งซึ่งn1+n2+…+nk =n และ n1≠ n2≠…≠nkแล้ว แบบที่2 มีสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่งแบ่งออกเป็น k กลุ่มโดยแต่ละ กลุ่มมีจำ นวนสิ่งของที่เท่ากัน กลุ่มละ r สิ่งแล้ว วิธีการแบ่งสิ่งของออกเป็นกลุ่มจะมีวิธีการแบ่ง สิ่งของ 2 แบบคือ
ความน่าจะเป็น Probability ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนัก พนันชาวฝรั่งเศสชื่อ Chevalier de Mire ซึ่งนิยมเล่นพนันมาก เมเร มี ปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกัน ระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำ แนะนำ จากนักคณิตศาสตร์ที่ปราด เปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือ Pascal และ Fermat จนเป็นที่มาของ ทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน นิยามของความน่าจะเป็น ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำ นวนเท่ากับ N และจำ นวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)
เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ n(E) แทนด้วย จำ นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ n(S) แทนด้วย จำ นนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสูตรของการกระจาย ( x + y )2 เมื่อ x, y เป็นจำ นวนจริงใดๆ และ n เป็นจำ นวนเต็มบวก พิจารณาการกระจายต่อไปนี้ ( x + y )1 = x + y (x + y )2 = x2 + 2xy + y2 ( x + y )3 = x3 +3x2 y + 3xy2 y3 ( x + y )4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 (x + y )5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 +5xy4 + y5 พิจารณา (x + y )n = (x + y)(x + y)… ( x + y ) = n วงเล็บ ในการกระจายเลือก x และ y อย่างใดอย่างหนึ่งของแต่ละวงเล็บนำ มาคูณกันแล้วนำ ผลคูณ ที่ได้มาบวกกัน เช่นเลือก y จาก 2 วงเล็บ และเลือก x จาก n – 2 วงเล็บที่เหลือจะได้พจน์ xn – 2 y2 ดังนั้น แต่ละพจน์ของการกระจาย ( x + y )n อยู่ในรูป xn – r yr เมื่อ r {0,1,2,…, n} เนื่องจาก xn – r yr ประกอบด้วย x จำ นวน n – r ตัว และ y จำ นวน r ตัว ดังนั้น พจน์ xn – r yr มีทั้งหมด ทฤษฎีบทวินาม
พจน์ นั่นคือ สัมประสิทธิ์ของ xn – r yr เท่ากับ การกระจาย ( x + y )n สรุปเป็นทฤษฏีบทได้ดังนี้
ในการกระจาย ( x + y )n เมื่อ n {0,1,2,…} สัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์แสดงได้ดังนี้
ดังนั้น การกระจาย (x + y)4 สามารถหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ ต่าง ๆ ได้ โดยกูจาก แถวที่ 5 ของรูปสามเหลี่ยมปาสกาล ซึ่งจะได้ว่า ( x + y )4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
จำ นวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) จำ นวนเชิงซ้อน ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของ จำ นวนจริงโดยเพิ่มจำ นวน ซึ่งทำ ให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้น เพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้ การบวกและการคูณ จำ นวนเชิงซ้อน ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำ นวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำ ดับ
จำ นวนจริงยังไม่สามารถตอบคำ ถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม x2+1=0x2+1=0 x2=−1x2=−1 ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำ นวนจริงใดเลยที่ยกกำ ลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำ นวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบ จำ นวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้ สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำ นวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำ นวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกัน เลย นิยาม จำ นวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำ นวนจริงซึ่ง การบวก การคูณและการเท่ากันของจำ นวนเชิงซ้อนนั้นกำ หนดดังนี้ กำ หนดให้ a,b,c,d เป็นจำ นวนจริงใดๆ 1)(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d 2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) 3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc) นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำ นวนเชิงซ้อน และข้อกำ หนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากัน ของจำ นวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำ เป็นต้องจำ ให้ได้
ตัวอย่าง กำ หนดจำ นวนเชิงซ้อน z1=(4,3) และ z2=(2,5)z1= (4,3) และ z2=(2,5) จงหา z1+z2,z1⋅z2z1+z2,z1⋅z2 วิธีทำ การทำ ข้อนี้ก็ทำ ตามข้อกำ หนดในนิยามเลยคับ z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)z1+z2=(4,3)+(2,5)= (4+2,3+5)=(6,8) z1⋅z2z1⋅z2 คูณกันตามนิยาม z1⋅z2=(4,3)⋅(2,5)((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))(−7,26)z1⋅z2= (4,3)⋅(2,5)=((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))=(−7,26)
นิยาม กำ หนดจำ นวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำ นวนจริง เรียน a ว่าส่วนจริง เขียนแทนด้วย re เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ เขียนแทนด้วย im 1. จำ นวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำ นวนจริงซึ่งการ บวก การคูณและการเท่ากันของจำ นวนเชิงซ้อนนั้นกำ หนดดังนี้ กำ หนดให้ a,b,c,d เป็นจำ นวนจริงใดๆ 1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d 2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) 3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc) 2. กำ หนดจำ นวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำ นวนจริง เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย re(z) เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย im(z) หมายเหตุ : เนื่องจากจำ นวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้น จึงนิยมเขียนจำ นวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะ สะดวกในการนำ ไปใช้มากกว่า โดย เรียก aa ว่า ส่วนจริง (real part) เรียก bb ว่า ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ส่วนการบวก การลบ การคูณ ของจำ นวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็จะเหมือนกับ การบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป นิยามของจำ นวนเชิงซ้อน
ตัวอย่าง กำ หนดจำ นวนเชิงซ้อน z1=(2,−4) จงหาz1=(2,−4) จงหา Re(z1)Re(z1) และ Im(z1)Im(z1) วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบน Re(z1)=2Re(z1)=2 Im(z1)=−4Im(z1)=−4 เนื่องจาก จำ นวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำ นวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะสะดวกในการนำ ไปใช้มากกว่า ตัวอย่างเช่น (2,4)(2,4) มันก็คือ 2+4i2+4i (−3,9)(−3,9) มันก็คือ −3+9i−3+9i (−8,−2)(−8,−2) มันก็คือ −8−2i−8−2i นั่นเองครับ ต่ออีกนิดหนึ่งจำ นวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป a+bia+bi จะเรียก aa ว่าส่วนจริง (Real part) จะเรียก bb ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part) ตัวอย่าง กำ หนดจำ นวนเชิงซ้อน z=7+9iz=7+9i จงหา 1. Re(z)Re(z) [หมายถึงส่วนจริงของจำ นวนเชิงซ้อน z] 2. Im(z)Im(z) [หมายถึงส่วนจินตภาพของจำ นวนเชิงซ้อน z] วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆเลย จาก z=7+9iz=7+9i จะได้ Re(z)=7Re(z)=7 Im(z)=9Im(z)=9
ส่วนการบวก การลบการคูณของจำ นวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็ทำ เหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป เช่น ตัวอย่าง กำ หนด z1=2−4i,z2=4+6iz1=2−4i,z2=4+6i จงหา 1.1) จงหาค่า z1+z2 =2−4i+4+6i2+4−4i+6i6+2iz1+z2=2−4i+4+6i=2+4−4i+6i=6+2i 1.2) จงหาค่า z1⋅z2 =(2−4i)(4+6i)(2)(4)+(6i) (−4i)+4(−4i)+2(6i)8−24i2−16i+12i8+24−2i32−2iz1⋅z2 =(2−4i)(4+6i) =(2)(4)+(6i)(−4i)+4(−4i)+2(6i) =8−24i2−16i+12i =8+24−2i =32−2i อย่าลืมนะ i2=−1i2=−1 1.3) จงหาค่า z1−z2 z1−z2=(2−4i)−(4+6i)2−4i−4−6i2−4−4i−6i−2−10i =(2−4i)−(4+6i) =2−4i−4−6i =2−4−4i−6 =−2−10i
นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ ของจำ นวนเชิงซ้อน จำ นวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำ ไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus)ของ จำ นวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำ นวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของ จำ นวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และ ค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ 3 เช่นกัน กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์
ทฤษฎีกราฟ บทนิยาม “กราฟ” ประกอบด้วย เซตจำ กัด 2 เซต คือ 1. เซตทีไม่เป็นเซตว่างของจุดยอด (vertex) แทนด้วย สัญลักษณ์ V (G) 2. เซตของเส้นเชื่อม (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอด แทนด้วย สัญลักษณ์ E (G) จากกราฟที่กำ หนด จะได้ว่า V (G) = {A,B,C,D} E (G) = {C1,C2,C3,C4}, {<A,B>, <B,C>,<A,C>,<C,D>}
บทนิยาม จุดยอด u และ v ของกราฟเป็นจุดยอดประชิด(Adjacent Vertices) ก็ต่อ เมื่อ มีเส้นเชื่อมระหว่างจุดทั้งสอง และเราเรียกจุดยอด u และ v ว่าจุด ปลาย(End Point) ของเส้นเชื่อมนั้น เส้นเชื่อม e ของกราฟเกิด กับ(Incident) จุดยอด v ถ้าจุดยอด v เป็นจุดปลายจุดหนึ่งของเส้นเชื่อม e ตัวอย่างจงแสดงว่าจุดยอดใดเป็นจุดยอดประชิด และเส้นเชื่อมแต่ละเส้นเชื่อม เกิดกับจุดยอดใด •จุดยอด A และจุดยอด B เป็นจุดยอดประชิด •จุดยอด A และจุดยอด C เป็นจุดยอดประชิด •จุดยอด A และจุดยอด D ไม่เป็นจุดยอดประชิด •จุดยอด B และจุดยอด C เป็นจุดยอดประชิด •จุดยอด B และจุดยอด D ไม่เป็นจุดยอดประชิด •จุดยอด C และจุดยอด D เป็นจุดยอดประชิด •เส้นเชื่อม e1เกิดกับ จุดยอด A และ จุดยอด B •เส้นเชื่อม e2เกิดกับ จุดยอด B และ จุดยอด C •เส้นเชื่อม e3เกิดกับ จุดยอด A และ จุดยอด C •เส้นเชื่อม e4เกิดกับ จุดยอด C และ จุดยอด D
บทนิยาม เส้นเชื่อมตั้งแต่ 2 เส้นเชื่อมที่เชื่อมระหว่างจุดยอดคู่ เดียวกัน เรียกว่าเส้นเชื่อมขนาน(Parallel Edges) เส้นเชื่อมที่เชื่อมจุดยอดเพียงจุดเดียว เรียกว่าวงวน(Loop) จากภาพพบว่า เส้นเชื่อม e1และ e2เชื่อมระหว่างจุด ยอดคู่เดียวกัน คือ จุดยอด A และ C ดังนั้นจะได้ว่า e1และ e2เป็นเส้นเชื่อมขนานที่เกิดกับจุดยอด A และ C นอกจากนี้จะพบอีกว่า e5เป็นเส้นเชื่อมที่เชื่อมจุดยอด B เพียงจุดเดียว จึงเรียก e5ว่า วงวน
Ü เส้นเชื่อมสองเส้นของกราฟ อาจลากตัดกันได้ โดยที่จุดตัดของเส้นเชื่อมทั้งสองไม่ถือว่าเป็น จุดยอดของกราฟ เช่น กราฟ G3และ G4ถือว่าเป็นกราฟเดียวกัน หมายเหตุ Ü ในการเขียนแผนภาพของกราฟนั้น จะกำ หนดตำ แหน่งของจุดยอด ณ ตำ แหน่งใดก็ได้ และจะลากเส้นเชื่อมของกราฟเป็นเส้นตรง หรือเส้นโค้ง มีความยาวเป็นเท่าใดก็ได้ โดยที่เส้น เชื่อมที่ลากจะไม่ตัดกับตัวมันเอง และไม่ลากผ่านจุดยอดที่ไม่ใช่จุดปลายของเส้นเชื่อมนั้น เช่น กราฟ G1และ G2ถือว่าเป็นกราฟเดียวกัน
จำ นวนเชิงซ้อนในรูปขั้ว ถ้า Z= x+yi ≠ 0 เป็นจำ นวนเชิงซ้อน จะสามารถเขียนแทน z ด้วย เวกเตอร์ระนาบได้ดังนี้ เมื่อกำ หนด เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้าน บวกไปยัง และ แทนระยะทางระหว่างจุดกำ เนิด o กับ z จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์ที่ทำ ให้ค่า r และ จาก x และ y ดังนี้ ดังนั้นจึงอาจเขียนจำ นวนเชิงซ้อน z ได้ในรูปใหม่เป็น เรียกรูปแบบการเขียนจำ นวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูป ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว (polar from) ของ z และเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z สังเกตว่าเมื่อ n เป็นจำ นวนเต็มใดๆ
รากที่ n ของจำ นวนจริง รากที่ n ของจำ นวนจริง คือจำ นวนจริงตัวหนึ่งยกกำ ลัง n แล้วเท่ากับ x เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้ นิยาม ให้ x, y เป็นจำ นวนจริง และ n เป็นจำ นวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอก ว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่ จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบคือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น นั่นเอง ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า = 0 แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้
สำ หรับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ ตัวแปรสุ่ม (อังกฤษ: random variable) หมายถึง ตัวแปรที่ค่าของมันวัดได้จาก กระบวนการสุ่มหรือกระบวนการที่มีความไม่แน่นอนอยู่ ตัวแปรสุ่มจะเป็นฟังก์ชันที่แปลงเหตุการณ์หรือผล (เช่น ผลลัพธ์ ของการทอยลูกเต๋า)ไปเป็นจำ นวนจริง (เช่น 1, 2, 3, ..., 6) ค่าที่เป็นไป ได้ของตัวแปรสุ่มจะแทนผลที่เป็นไปได้ของการทดลองที่ยังไม่ได้ทำ หรือค่าของปริมาณที่ค่าจริงนั้นไม่แน่นอน (เช่น ผลของข้อมูลที่ไม่ สมบูรณ์ หรือการวัดที่ไม่เที่ยงตรง) หรืออาจมองได้ว่า ตัวแปรสุ่มก็คือปริมาณที่ค่าของมันไม่ถูกเจาะจง ไว้ หรือไม่ได้รู้แน่ๆ แต่อาจเป็นได้หลายๆค่า โดยที่การแจกแจงความ น่าจะเป็นจะใช้ในการอธิบายถึงโอกาสที่ค่าต่างๆของตัวแปรสุ่มจะ เป็นไปได้ ตัวเเปรสุ่ม