เอกสารประกอบการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ ม.3

ห เอกสารประกอบการสอนที่

รายวิ ชาคณิ ตศาสตร์ พื้ นฐาน 5 ค.23103

ชั้ นมั ธยมศึ กษาปี ที่ 3

น่ ว ย ก า ร เ รี ย น รู้

1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

นางกรรณิกา คำป๊อก
ตำแหน่งครู วิทยฐานะครูชำนาญการ

โรงเรียนวัฒโนทัยพายัพ
สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเชียงใหม่
สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐานกระทรวงศึกษาธิการ

แบบทดสอบก่อนเรียน
เรื่อง ตรีโกณมิติ

คำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 1

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 2

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 3

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 4

ความหมายของตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติิ หมายถึง วิทยาศาสตร์วิเคราะห์ (Analytic Science) จุดเริ่มต้นของวิชานี้เริ่มในศตวรรษที่ 17

หลังจากได้พัฒนาสัญลักษณ์ของพีชคณิต

ตรีโกณมิติิ หมายถึง เรขาคณิตที่เกี่ยวกับดาราศาสตร์ ซึ่งเกี่ยวกับการวัดมุม

ต้นกำเนิดวิชานี้อาจจะขึ้นอยู่ที่ผลงานของ ฮิปพาร์คัส (Hipparchus)

อัตราส่วนรู ปสามเหลี่ยม
ชาวอียิปต์โบราณทำการวัดฐานของพีระมิดโดยการแบ่งเส้นเชือกออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆกัน แล้วทำเชือกให้เป็น
ปมตรงส่วนที่แบ่งนั้น แล้วดึงให้ตึงเป็นรูปสามเหลี่ยม ด้วยอัตราส่วนของด้าน 3 : 4 : 5 และมุมที่อยู่ ตรงข้าม
กับด้านที่ยาวที่สุดจะเป็นมุมฉากเสมอจึงเป็นที่น่าเชื่อได้ว่าทฤษฎีพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันมาแพร่หลายแล้ว
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองมีค่าเท่ากับผลบวกของ
กำลังสองของอีกสองด้าน

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านชุดที่พบบ่อย

3,4,5 11,60,61 28,45,53
5,12,13 12,35,37 33,56,65
7,24,25 13,84,85 36,77,85
8,15,17 16,63,65 39,80,89
9,40,41 20,21,29 48,55

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 5

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากโดยวิธีการเรียกด้านทั้งสามในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยจะอิงกับ “มุมที่สนใจ”

เช่น ถ้าสนใจมุม A จะเรียก ด้านตรงข้ามมุม A ว่า “ข้าม”
ด้านประชิดมุม A ว่า “ชิด”

เช่น ถ้าสนใจมุม B จะเรียก ด้านตรงข้ามมุม B ว่า “..............”
ด้านประชิดมุม B ว่า “..............”

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 6

ตัวอย่างที่ 1 จงเรียกด้านแต่ละด้านต่อไปนี้เทียบกับมุมที่กำหนดให้พร้อมกับความยาวด้าน

1) AC ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว ……………. หน่วย
BC ว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว ……………. หน่วย
AB ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
BC ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
AB ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย

2) PR ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
PQ ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
RQ ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
PQ ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
RQ ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย

3) D EF ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย

DF ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
DE ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
DF ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย
DE ว่า .............................. ยาว ……………. หน่วย

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 7

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวด้านที่เหลือ (x) ของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

1) 2)
3) 4)

5) 6)

7) 8)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 8

บทนิยาม อัตราส่วนตรีโกณมิติ

sine A (ไซน์ของมุม A) เขียนย่อว่า sin A เขียนแทนด้วย

ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A sin = .........
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
นั่นคือ sin A =

cosine A (โคไซน์ของมุม A) เขียนย่อว่า cosA เขียนแทนด้วย cos = .........
tan = .........
นั่นคือ cos A = ความยาวของด้านประชิดมุม A
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

tangent A (แทนเจนต์ของมุม A) เขียนย่อว่า tan A เขียนแทนด้วย

นั่นคือ tan A = ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
ความยาวของด้านประชิดมุม A

อัตราส่วนตรีโกณมิติ sin,cos และ tan ที่เป็นอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
นอกจากอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 3 ยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติ 3 อัตราส่วนที่สำคัญเช่นกัน ดังนี้

cosecant A (โคเซแคนต์ของมุม A) เขียนย่อว่า cosec A หรือ csc A เป็นส่วนกลับของ sin A

1 ≠เมื่อ sin A 0 cosec A = .........
นั่นคือ cosec A =

secant A (เซกแคนต์ของมุม A) เขียนย่อว่า sec A เป็นส่วนกลับของ cos A

นั่นคือ sec A = 1 ≠เมื่อ cos A 0 sec A = .........

cotangent A (โคแทนเจนต์ของมุม A) เขียนย่อว่า cot A เป็นส่วนกลับของ tan A

นั่นคือ cot A = 1 ≠เมื่อ tan A 0 cot A = .........

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 9

ตัวอย่างที่ 3 สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก ดังรูป

วิธีทำ A จงหา 1) sin A = ............ cos A = ............
tan A = ............ cosec A = ............
sec A = ............ cot A = ............

2) sin B = ............ cos B = ............
tan B = ............ cosec B = ............
sec B = ............ cot B = ............

ตัวอย่างที่ 4 รูปสามเหลี่ยม XYZ มีมุม X เป็นมุมฉาก ดังรูป cos Y = ............
วิธีทำ Z จงหา 1) sin Y = ............ cosec Y = ............
cot Y = ............
tan Y = ............
sec Y = ............ cos Z = ............
cosec Z = ............
2) sin Z = ............ cot Z = ............
tan Z = ............
sec Z = ............

ตัวอย่างที่ 5 รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก ถ้า AB 5 , AC 13 cos A = ............
cosec A = ............
วิธีทำ จงหา 1) sin A = ............ cot A = ............
tan A = ............
sec A = ............ cos C = ............
cosec C = ............
2) sin C = ............ cot C = ............
tan C = ............
sec C = ............

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 10

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ sin A = 4 จงหา cosec A , cos A และ tan A
5

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้า cos A = 2 จงหา sin B + cos A

วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 11

ความสัมพันธ์ในรูปเศษส่วน

sin A = a
c
con A = b
tan A = c
a
b

sin a =
cos a

cos a =
sin a

นั่นคือ tan A = และ cot A =

1.2 กำลังสองของของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ สู้ๆ คิดว่าพวกเรา
ทำได้แน่นอน
(sin A)2 เขียนแทนด้วย sin2 A
(cos A)2 เขียนแทนด้วย cos2 A
(tan A)2 เขียนแทนด้วย tan2 A

*หมายเหตุ*

≠(sin A)2 sin(A2)
≠(cos A)2 cos(A2)
≠(tan A)2 tan(A2)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 12

ตัวอย่างที่ 8 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหา sin 2A , cos 2A และ tan 2 A
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 9 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาค่าของ sin2 A + cos2 A + tan2 C
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 10 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จงหาค่าของ x จากสมการ x sin2 A cos 2 B = 9 tan2 B
13

วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 13

1.3 การหาค่าฟังก์ชั่นตรีโกณโดยกำหนดค่าฟังก์ชั่นของมุมอื่น

วิธีการแก้ปัญหา ทำโดยนำค่าฟังก์ชั่นของมุมนั้นๆมาเขียนสามเหลี่ยมมุมฉากพร้อมกับใส่มุมใส่ด้านลงไป
ตามนิยามของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหาด้านที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 11 สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ใดๆ จงหาค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่เหลือ

1) sin A = 3
5

วิธีทำ

cosec A = ......................

cos A = ...................... sec A = ......................

tan A = ...................... cot A = ......................
cosec B = ......................
2) tan B = 1
3
วิธีทำ

cot B = ......................

sin B = ......................

cos B = ...................... sec B = ......................

3) cot C = 24
7

วิธีทำ

tan C = ......................

sin C = ...................... cosec C = ......................

cos C = ...................... sec C = ......................

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 14

ตัวอย่างที่ 11 สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง sin A 0.6 จงหาค่าของ 2tan A + 3secA
ตัวอย่างที่ 12 สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง tan A = 3 จงหาค่าของ 3sin2 A + 4cos 2A

√ตัวอย่างที่ 13 สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง sec A = 2 จงหาค่าของ cot2 A + 3cosec A

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 15

Worksheet 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

1. กำหนดให้ 8sec A =17 จงหา sin A , cosA และ tan A

2. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้า cosec A = 2 จงหา
1) sin B + cos A
2) cos A - cos B

√3. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม A เป็นมุมฉาก ถ้า sec C = 3 จงหา

1) cot B tan C 2) sec2 B 3) csc C
csc B

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 16

Worksheet 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

4. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง cot A = 2.4 จงหาค่าของ 2sin A cos A
5. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง 5cos A = 3 จงหาค่าของ 3tan A cosec A

6. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่ง 24cosec A = 25 จงหาค่าของ 5cot A sec A

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 17

2. ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมุมที่ควรทราบ

ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุมที่น่าสนใจ มี 30° , 45°และ 60°ซึ่งในสมัยโบราณได้สร้างตารางแสดง
อัตราส่วนของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากของมุม 30° , 45° และ 60° ไว้ดังนี้

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 18

หาค่าฟังก์ชั่นตรีโกณด้วยหลักมือซ้าย 30° 45° 60°
90°

0° cos

sin

ตารางแสดงค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุม 30° , 45° และ 60°


0° 30° 45° 60° 90°
Sin A






Cos A






tan A






อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 19

ตัวอย่างที่ 14 จงหาค่า cos30° • tan 60° + sin30° • tan 45°
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 15 จงหาค่า (sin 60° )(tan30° )(sec60° ) + (cot 45° )(cosec30° )
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 16 จงหาค่า sin² 45°+ cos² 60° + cot² 60° sin² 30°
วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 20

ตัวอย่างที่ 17 จงหาค่า 2sin30° • cos30° • cot 60°
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 18 จงหาค่า tan² 60° + 4cos² 45° + 3sec² 30°
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 19 จงหาค่า tan² 30° cos² 60° + tan² 60° sin² 30°
6sin 45° cos 45°
วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 21

Worksheet 2 : ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมุมที่ควรทราบ

1. จงหาค่า 3 sin²60° - 1 sec²60° tan²30° + 4 sin²45° tan²60°
4 2 3

2. จงหาค่า tan² 45° • sin² 60° tan 30° • tan² 60°

3. จงหาค่า cot² 45°+ cos60°- sin² 60° - 3 cot² 60°
4

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 22

Worksheet 2 : ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมุมที่ควรทราบ

4. จงหาค่า 3tan²30° + 4 cos²30° - 1 cos²45° - 1 sin²60°
3 2 3

5. จงหาค่า sin²60° - 1 sec² 60° • tan² 30°+ 4 sin²45° • tan² 60°
2 3

6. จงหาค่า 3tan 60° + 4 cos² 30°- 1 cot³ 45°- 2 sin² 60° • 2 sec⁴ 60°
3 3 3
2

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 23

Worksheet 2 : ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมุมที่ควรทราบ

7. จงหาค่า cot²30° - 2cos² 60° - 3 sec²45° - 4sin²30°
4

√8. จงหาค่า
10 7cot²45° + 4cos 60°

3cos 30° 4sec 60°

9. จงหาค่า tan² 30° + 2sin 60°- tan 60°+ tan² 45° + cos² 30°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 24

3. ค่าฟังก์ชั่นตรีโกณของมุมใดๆ
ตารางแสดงค่าฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุมระหว่าง 0 องศา ถึง 90 องศา

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 25

ตัวอย่างที่ 20 จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้ โดยการเปิดตารางตรีโกณมิติ
1) sin 22° = ………………. 2) tan 42° = ………………. 3) cos 34° = ……………….
4) tan 56° = ………………. 5) sin 10° = ………………. 6) sin 77° = ……………….
7) cos 44° = ………………. 8) tan 86° = ………………. 9) cos 15° = ……………….
10) cos 82° = ………………. 11) tan 5° = ………………. 12) tan 72° = ……………….
13) sin 3° = ………………. 14) sin 88° = ………………. 15) cos 25° = ……………….

จากตารางที่ให้มามีเฉพาะฟังก์ชั่น sin,cos และ tan เท่านั้น ถ้าต้องการหา cosec,sec และ cot
จึงจะใช้คุณสมบัติการเป็นส่วนกลับกับ ฟังก์ชั่น sin,cos และ tan เข้ามาช่วยหา

ตัวอย่างที่ 21 จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้ โดยการเปิดตารางตรีโกณมิติ

1) cosec 22° = ………………....................... 2) sec 43° = ………………..........................
3) cot 22° = ………………....................... 4) sec 65° = ………………..........................
5) cot 12° = ………………....................... 6) cosec 83° = ……………….......................
7) sec 37° = ………………....................... 8) cot 16° = ……………….......................

ตัวอย่างที่ 22 จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้ โดยการเปิดตารางตรีโกณมิติ

1) sin 22.5° 2) tan 56.2°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 26

ตัวอย่างที่ 23 จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้ โดยการเปิดตารางตรีโกณมิติ

3) cos 43.5° 4) sec 63.4°

5) cot 33.7° 6) cosec 82.8°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 27

4. การหามุมเมื่อทราบค่าอัตราส่วนของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

กรณีที่ 1 มุมที่ไม่ต้องเปิดตารางฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 24 กำหนด 0°< x < 90 จงหาค่าของมุม x

1) sin x = 1 x = ......................... 2) cos x = 1 x = .........................
2 x = ......................... 2 x = .........................
x = ......................... x = .........................
√3) tan x = 3 x = ......................... 4) sec x = 2 x = .........................
√5) cos x =
3 x = ......................... 6) cosec x = √23 x = .........................
2 8) sec x = √23
√7) sin x = 23 10) cos x = √22

9) cosec x = √22

ตัวอย่างที่ 25 จงหาค่าของมุม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้

1)

2)
C

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 28

ตัวอย่างที่ 25 จงหาค่าของมุม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้
3)

4)

5)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 29

4. การหามุมเมื่อทราบค่าอัตราส่วนของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

กรณีที่ 2 มุมที่ต้องเปิดตารางฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 26 กำหนด 0°< x < 90 จงหาค่าของมุม x 2) cos x = 0.934
1) sin x = 0.407

3) tan x = 2.050 4) sin x = 0.616
5) cos x = 0.208 6) tan x = 0.105

7) sin x = 0.430

8) tan x = 2.655

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 30

Worksheet 3 : การหามุมเมื่อทราบค่าอัตราส่วนของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

1. กำหนด 0°< x < 90 จงหาค่าของมุม x

√1) sin x =2 x = ......................... 2) csc x = 2 x = .........................
2 x = .........................
√4) sec x = x = .........................
3) cot x = 1 x = ......................... 2 x = .........................
2

5) cos x = √13 x = ......................... 6) tan x = 1
x = .........................
√7) sin x = 3 8) sec x = √13

2. จงหาค่าของมุม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้

1)

2)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 31

2. จงหาค่าของมุม A ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ต่อไปนี้
3)

4)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 32

5. การหาด้านของของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในกรณีนี้โจทย์จะกำหนดความยาวของด้านมาหนึ่งด้าน พร้อมกับมุมหนึ่งมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ตัวอย่างที่ 27 จงหาค่าของ x, y หรือ z ของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

1)

A

2)

3)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 33

5. การหาด้านของของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในกรณีนี้โจทย์จะกำหนดความยาวของด้านมาหนึ่งด้าน พร้อมกับมุมหนึ่งมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ตัวอย่างที่ 27 จงหาค่าของ x, y หรือ z ของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

4)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 34

5. การหาด้านของของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในกรณีนี้โจทย์จะกำหนดความยาวของด้านมาหนึ่งด้าน พร้อมกับมุมหนึ่งมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ตัวอย่างที่ 28 ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มี C เป็นมุมฉาก ลากเส้นจาก C มาตั้งฉากกับ AB ที่จุด D ด้าน AC และ BC
ยาว 10 และ 12 หน่วยตามลำดับ จงหาค่าของ

1) sin A 2) cos A 3) tan A 4) sin B 5) cos B

6) tan B 7) ความยาวของด้าน CD 8) ความยาวของด้าน DB

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 35

ตัวอย่างที่ 29 ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีฐาน AB ยาว 6 หน่วย มุม CBA เท่ากับ 30 องศา และพื้นที่ของสามเหลี่ยม
ABC เท่ากับ 6 ตารางหน่วย แล้วด้าน BC ยาวเท่าใด
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 30 กำหนดให้รูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุม ABD = 30° , มุม ADB = 60° แล้วด้าน AC ตั้งฉากกับด้าน BD
โดยที่ BC ยาว 12 หน่วย จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABD
วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 36

Worksheet 4 : การหาด้านของของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในกรณีนี้โจทย์จะกำหนดความยาวของด้านมาหนึ่งด้าน พร้อมกับมุมหนึ่งมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก
1) จงหาค่าของ x, y หรือ z ของสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

1)

A

2)

3)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 37

2. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุม ABC เป็นมุมฉาก และมุม CAB กาง 60°องศา ถ้าผลบวกของความ
ยาวด้าน AB กับ AC เท่ากับ 6 หน่วย แล้วด้าน CB จะยาวเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ

3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ A มีขนาด 70° มุม C มีขนาด 50° ด้าน AB ยาว 5 เซนติเมตร จาก B ลาก
เส้นตรงลงมาตั้งฉากกับด้าน AC ที่จุด P จงหาความยาวของด้าน BP,BC,AP,PC และ AC
วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 38

6. โคฟังก์ชั่น (Co - function)

บทนิยาม Co - function

sine และ cosine เป็น cofunction ซึ่งกันและกัน
tangent และ cotangent เป็น cofunction ซึ่งกันและกัน
secant และ cosecant เป็น cofunction ซึ่งกันและกัน

*Tip จำง่ายๆ ดังนี้* cos
cot
sin cof. cosec
tan cof.
sec cof.

พิจารณาจากสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

A + B = 90° A และ B เรียกว่า
A = 90°- B เป็นมุมประกอบมุมฉากซึ่งกันและกัน
B = 90°- A

และจะได้ว่า ว้าววว ทำดีมากเลย
ใกล้จะจบละ อดทนไว้นะ
sin A = cos B = cos(90°- A)
cos A = sin B = sin(90°- A)
tan A = cot B = cot(90°- A)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 39

สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เป็น cofunction กัน A + B = 90°

ถ้า A + B = 90° แล้ว

sin A = cos B และ sin A = cos B
tan A = cot B และ cot A = tan B
sec A = cosec B และ cosec A = sec B

ตัวอย่างที่ 31 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

..............1) sin 32° = cos 58° ..............2) cos 25° = cosec 65°
..............3) sin 18° = sec 72° ..............4) sin 52° = cosec 38°
..............5) cos 63° = sin 27° ..............6) cosec 24° = sec 66°

ตัวอย่างที่ 32 จงหามุม x ที่ 0° < x < 90° โดยที่ 2) tan 17° = cot x --> x = ......................
1) sin 26° = cos x --> x = ...................... 4) cot 75° = tan x --> x = ......................
3) cos 34° = sin x --> x = ...................... 4) cosec 61° = sec x --> x = ......................
5) tan 29° = cot x --> x = ......................

ตัวอย่างที่ 33 จงเติมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติให้ถูกต้อง

1) sin 31° = .............59° 2) cosec 25° = .............65°
3) cos 18° = .............72° 4) sin 53° = .............37°
5) cos 69° = .............21° 6) cosec 26° = .............64°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 40

ตัวอย่างที่ 34 จงหาค่าของ 2) 3(sin 19°)(sec 71°)
1) sin 22° - cos 68°

3) sin 2° + sec 10° + tan 45° - cosec 80° - cos 88°

4) sin 60° • sec 30° • tan 20° • tan 70°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 41

5) tan 1° • tan 2° • tan 3° • ........ • tan 87° • tan 88° • tan 89°

ตัวอย่างที่ 35 ถ้า sin(x - 40°) = cos 20° จงหาค่า x
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 36 ถ้า 0° < < 90° หาค่าของ sin • sec (90° - ) - cot • cot(90°- )
วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 42

Worksheet 5 : โคฟังก์ชั่น
(Co - function)

1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด ..............2) cot 2° = tan 88°
..............4) tan 12° = tan 78°
..............1) tan 22° = cot 68° ..............6) cos 61° = sin 19°
..............3) cosec 18° = sec 48°
..............5) cot 11° = tan 79°

2. จงหามุม x ที่ 0° < x < 90° โดยที่

1) cosec 28° = sec x --> x = ......................
2) sec 48° = cosec x --> x = ......................
3) sin 62° = cos x --> x = ......................
4) cot 57° = tan x --> x = ......................

3. จงเติมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติให้ถูกต้อง 2) cot 88° = .............65°
1) sin 28° = .............62° 4) tan 12° = .............78°
3) sec 41° = .............49° 6) cos 69° = .............21°
5) cot 14° = .............21°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 43

4. จงหาค่าของ

1) 5(cos 21°)(cosec 69°)(cos 69°)

2) cos 5° + sec 15° + cot 30° - cosec 75° - sin 85°

√3)6(sin 2°)(tan 22°)(cot 60°)

3 (cot 68°)(cos 88°)

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 44

4) cot 1° • cot 2° • cot 3° • ........ • cot 87° • cot 88° • cot 89°

5) ถ้า 0° < x < 90° จงหาค่าของ sin(90°- A) • tan(90°- A) เท่ากับเท่าใด
sec(90°- A) cos A

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 45

7. เอกลักษณ์ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

บทนิยาม เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ หมายถึง สมการตรีโกณมิติที่เป็นจริงทุกมุมใดๆ ทั้งนี้ต้องมีการยกเว้น
มุมบางมุมภายในสมการอยู่แล้ว

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ควรต้องทราบ
จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังรูป พิจารณาค่า sin² A + cos²A โดย
sin² A + cos² A =

เอกลักษณ์ทั้ง 3 ข้อ สรุปได้ดังนี้ Page 46

sin² A + cos² B = 1
tan² A + 1 = sec² A
1 + cot² A = cosec² A

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio)

ตัวอย่างที่ 37 จงหาค่าของ 2) 3 - sin² 70° - cos² 70°
1) sin 10° + cos 10°

3) sin² 20° + sin² 70° 4) 1 - cos² 47° - cos² 43°

5) sin² 1° + sin² 2° + sin² 3° + ........... + sin² 87° + sin² 88° + sin² 89°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 47

ตัวอย่างที่ 38 จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก ถ้า sin A = 4 จงหาค่าของ cos A , tan A
5

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 39 ถ้า เป็นมุมแหลม และ 3cot = 4 จงหาค่าของ 10sin - 6cos
4sin + 3cos

วิธีทำ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 48

Worksheet 6 : เอกลักษณ์ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

จงหาค่าของ 2) 3 - cot² 35° - sec² 55°
1) sec² 56° - tan² 56°

3) cosec² 73° + cot² 73° 4) 1 - sec² 31° - cot² 59°

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry Ratio) Page 49