ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน เรื่อง ความคล้าย ม.3

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน เรื่อง ความคล้าย


รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

การนำรูปสามเหลี่ยมคล้ายไปใช้ในชีวิตประจำวัน

นางกรรณิกา คำป๊อก

ตำแหน่งครู วิทยฐานะครูชำนาญการ

โรงเรียนวัฒโนทัยพายัพ

สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเชียงใหม่

สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐานกระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบ Active Leaning โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน เรื่อง ความคล้าย

รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จัดทำขึ้นอย่างเป็นระบบตามตัวชี้วัด และครอบคลุมเนื้อหา

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 โดยใช้รูปแบบการใช้ปัญหาเป็นฐาน มี 6 ขั้นตอน ดังนี้


ขั้นที่ 1 กำหนดปัญหา

ขั้นที่ 2 ทำความเข้าใจปัญหา

ขั้นที่ 3 ดำเนินการศึกษาค้นคว้า

ขั้นที่ 4 สังเคราะห์ความรู้

ขั้นที่ 5 สรุปและประเมินค่าของคำตอบ

ขั้นที่ 6 นำเสนอและประเมินผลงาน

ขอขอบคุณเจ้าของตำราที่นำมาอ้างอิงไว้ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้นี้ และทุกท่าน ที่ได้ให้คำปรึกษา

และแนะนำในการจัดทำชุดกิจกรรมการเรียนรู้นี้หวังเป็นอย่างยิ่งว่า โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน เรื่อง ความคล้าย

นี้จะเป็น ประโยชน์สำหรับผู้เรียน ครูผู้สอนและผู้สนใจต่อไปจะมีผลต่อการพัฒนาทักษะการแก้โจทย์ปัญหาทาง

คณิตศาสตร์ ของนักเรียนเพิ่มมากขึ้น เป็นประโยชน์ต่อครูและนักเรียน เพิ่มผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนให้สูงขึ้น

และสามารถนำไปปรับใช้ในชีวิตประจำวันต่อไป

กรรณิกา คำป๊อก

ข

ขั้นตอนการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบ Active Leaning โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน

ความคล้ายเจ้าปัญหา

ศึกษาคำชี้แจงของชุดกิจกรรมการเรียนรู้

ศึกษาจุดประสงค์การเรียน

ทดสอบก่อนเรียน

ดำเนินการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ Math Clinic

ทดสอบหลังเรียน ไม่ผ่าน

ผ่าน

นำไปประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์

โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน

ค

คำแนะนำการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน

คำแนะนำสำหรับผู้สอน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่นักเรียนได้ศึกษาต่อไปนี้ คือ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบ Active Leaning

โดยใช้ปัญหาเป็นฐานสามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหาเป็นชุดกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติกิจกรรมตาม

ที่กำหนดได้ด้วยตนเอง โดยให้นักเรียนได้ศึกษาสำรวจ สังเกต ทำการทดลองรวมข้อมูลและรวบรวมแล้วสรุป

เป็นองค์ความรู้ นักเรียนควรปฏิบัติตามคำชี้แจงดังต่อไปนี้

1. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยปัญหาเป็นฐานสามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหาประกอบด้วย

กิจกรรมย่อย 3 กิจกรรม ใช้เวลาทำกิจกรรม 15 ชั่วโมง


2. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน จำนวน 10 ข้อ

3. นักเรียนศึกษาตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ และวิธีการด้าเนินกิจกรรม
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมในชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน มีขั้นตอน ดังนี้

ขั้นที่ 1 กำหนดปัญหา

ขั้นที่ 2 ทำความเข้าใจปัญหา

ขั้นที่ 3 ดำเนินการศึกษาค้นคว้า

ขั้นที่ 4 สังเคราะห์ความรู้

ขั้นที่ 5 สรุปและประเมินค่าของคำตอบ

ขั้นที่ 6 นำเสนอและประเมินผลงาน

5. นักเรียนทำใบกิจกรรมในชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้ครบทุกกิจกรรมโดยสามารถศึกษาได้จากใบ

ความรู้ที่มีในชุดกิจกรรมเรียนรู้นี้หรือแหล่งเรียนรู้อื่นเพิ่มเติม

6. นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน จำนวน 10 ข้อ

7. หากนักเรียนไม่ผ่านกรอบฝึกหัดใดให้นักเรียนศึกษากรอบตั้งต้น และทำกิจกรรมตามกรอบ

ฝึกหัดอีกครั้งแล้วท้าการประเมินใหม่

8. ครูให้คำปรึกษา คำแนะนำ และเป็นผู้อำนวยความสะดวกในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

ง

คำแนะนำการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน

คำแนะนำสำหรับนักเรียน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่นักเรียนได้ศึกษาต่อไปนี้ คือ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบ Active Leaning
โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน ชุดกิจกรรม สามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหา เป็นชุดกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติ
กิจกรรมตามที่กำหนดได้ด้วยตนเอง โดยให้นักเรียนได้ศึกษาสำรวจ สังเกต ทำการทดลองรวมข้อมูลและรวบรวม
แล้วสรุปเป็นองค์ความรู้ นักเรียนควรปฏิบัติตามคำชี้แจงดังต่อไปนี้

1. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยปัญหาเป็นฐาน สามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหา ประกอบด้วย
กิจกรรมย่อย 3 กิจกรรม ใช้เวลาทำกิจกรรม 5 ชั่วโมง

2. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน จำนวน 10 ข้อ
3. นักเรียนศึกษาตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ และวิธีการดำเนินกิจกรรม
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมในชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ปัญหาเป็นฐาน มีขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 กำหนดปัญหา
ขั้นที่ 2 ทำความเข้าใจปัญหา
ขั้นที่ 3 ดำเนินการศึกษาค้นคว้า
ขั้นที่ 4 สังเคราะห์ความรู้
ขั้นที่ 5 สรุปและประเมินค่าของคำตอบ
ขั้นที่ 6 นำเสนอและประเมินผลงาน
5. นักเรียนทำใบกิจกรรมในชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้ครบทุกกิจกรรมโดยสามารถศึกษาได้จากใบ
ความรู้ที่มีในชุดกิจกรรมเรียนรู้นี้หรือแหล่งเรียนรู้อื่นเพิ่มเติม
6. นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน จำนวน 10 ข้อ
7. หากนักเรียนไม่ผ่านกรอบฝึกหัดให้นักเรียนศึกษากรอบตั้งต้น และทำกิจกรรมตามกรอบ
ฝึกหัดอีกครั้ง
8. หากมีปัญหาปรึกษาและขอคำแนะนำจากครู

จ

มาตรฐานตัวชี้วัด

สาระที่ การวัด 2
มาตรฐาน

ค 2.2 เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาใน

ชีวิตจริง

ตัวชี้วัด

ค 2.2 ม.3/1 ใช้ความรู้เกี่ยวสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
และปัญหาในชีวิตจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. บอกนิยามและสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายได้

2. บอกได้ว่ารูปสามเหลี่ยมคู่ใดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

3. หาอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่กำหนดให้ได้

4. บอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมคล้ายได้

5. นำสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายไปใช้แก้โจทย์ปัญหาได้

สารบัญ ฉ

คำนำ หน้า
ขั้นตอนการใช้ชุดกิจกรรม
คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรม ก
คำแนะนำสำหรับนักเรียน ข
มาตรฐานตัวชี้วัด ค
จุดประสงค์การเรียนรู้ ง
สารบัญ จ
แบบทดสอบก่อนเรียน จ
ฉ
ขั้นที่ 1 กำหนดปัญหา 1
ขั้นที่ 2 ทำความเข้าใจปัญหา 5
ขั้นที่ 3 ดำเนินการศึกษาค้นคว้า 6
ขั้นที่ 4 สังเคราะห์ความรู้ 10
ขั้นที่ 5 สรุปและประเมินค่าของคำตอบ 17
ขั้นที่ 6 นำเสนอและประเมินผลงาน 22
แบบทดสอบหลังเรียน 24
แบบบันทึกคะแนน 25
บรรณานุกรม 29
30

1

แบบทดสอบก่อนเรียน สามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหา

คำชี้แจง

1. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก 1, 2, 3 หรือ 4
แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคำตอบ

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือกจำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายกันมีลักษณะอย่างไร

1. มีพื้นที่เท่ากัน
2. มีมุมเท่ากันสามคู่
3. มีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากัน
4. มีความยาวของฐานและเส้นรอบรูปเท่ากัน

2. ถ้า ∆MNO ~ ∆PQO แล้วข้อใดถูกต้อง

1.

2.

3.
4.

3. จากรูปจะต้องกำหนดสิ่งใดจึงจะทำให้ ∆ABC ~ ∆APR

1.
2. กำหนดขนาดของมุม C
3. ความยาวของด้าน AB และ PB
4. ให้มุม A เป็นมุมฉาก

2

4. จากรูปกำหนดให้ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1.
2.
3.
4.

5. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1.

2.
3.
4.
6. จากรูป ∆ ACB คล้ายกับ ∆ EDF จงหาความยาวด้าน e

1.
2.

3. 1

4. 12

3

7. กำหนดให้ ABC เป็น ∆ รูปหนึ่งมี BC // PR ดังรูป AB = 2 , PB = 4 และ AC = 3
แล้ว CR จะยาวเท่ากับ

1. 2
2. 4
3. 6
4. 12

8. กำหนดให้ BC // LM ความยาว BC มีค่าเท่ากับกี่หน่วย
1. 10.5 หน่วย
2. 10 หน่วย
3. 9.5 หน่วย

C 4. 9 หน่วย

9. ถ้า ∆ JKH คล้ายกับ ∆ WTR จงหาความยาว TR
1. 1 หน่วย

2. 3 หน่วย

3. 7 หน่วย

4. 9 หน่วย

10. สมคิดหาวิธีการหาความสูงของเสาธงโดยใช้กระจกเงา สมคิดวางกระจกหงายในแนวระนาบ บนสนามหญ้า
แล้วเดินไปยืนที่จุดๆ หนึ่ง ซึ่งมองเห็นยอดเสาธงในกระจกเงาถ้าสมคิดสูงจากเท้าดังรูป ถึงระดับสายตา 1.6 เมตร
กระจกเงาวางห่างจากโคนเสาธง 7 เมตร และสมคิดยืนห่างจากกระจกเงา 1.4 เมตร เสาธงจะสูงเท่าไร

1. 10 หน่วย 2. 6 หน่วย

3. 8 หน่วย 4. 4 หน่วย

4

กระดาษคำตอบ

ชื่อ-สกุล...................................................................................ชั้น....................เลขที่.................
วิชา...............................................................................รหัสวิชา.................................................

คำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก 1, 2, 3 หรือ 4
แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคำตอบ

สรุปคะแนนก่อนเรียน

คะแ
นน ก่อนเ
รียน
เต็
ม 10


ได
้ ......
.....

5

ขขัั้้นนททีี่่ 11 กกำำหหนนดดปปััญญหหาา

ภาพที่ได้จากการถ่ายเอกสารซึ่งมีขนาดเท่ากับรูปต้นแบบ
ภาพที่เกิดจากการย่อหรือภาพที่เกิดการขยายเป็นรูปที่คล้ายกัน

ภาพต้นแบบ ภาพที่มีขนาดเท่ากับต้นแบบ ภาพย่อ ภาพขยาย

รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สามเหลี่ยมคล้ายต้องมีลักษณะเป็นอย่างไร.
อย่างไรถึงจะเรียกว่าสามเหลี่ยมคล้าย...
สามเหลี่ยมสองจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ..
แวะมาทำกิจกรรมที่ 1.1 ก่อนครับ
เดี๋ยวจะอธิบายในขั้นตอนถัดไปครับ !?

6

ขขัั้้นนททีี่่ 22 ททำำคคววาามมเเขข้้าาใใจจปปััญญหหาา

กกิิจจกกรรรรมมททีี่่ 11..11 คคลล้้าายยกกัันนหหรรืืออไไมม่่

กลุ่มที่..............ชื่อกลุ่ม.............................................................

รายชื่อสมาชิกกลุ่ม

1) ชื่อ-สกุล.....................................................................................ชั้น ม.3/........เลขที่...........

2) ชื่อ-สกุล.....................................................................................ชั้น ม.3/........เลขที่...........

3) ชื่อ-สกุล.....................................................................................ชั้น ม.3/........เลขที่...........

4) ชื่อ-สกุล.....................................................................................ชั้น ม.3/........เลขที่...........

5) ชื่อ-สกุล.....................................................................................ชั้น ม.3/........เลขที่...........

จุดประสงค์ของการเรียนรู้
1. บอกนิยามและสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายได้
2. บอกได้ว่ารูปสามเหลี่ยมคู่ใดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
3. หาอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่กำหนดให้ได้

คำชี้แจง

1. ขั้นตอนการปฎิบัติกิจกรรม

1.1 ประธานรับแบบบันทึกกิจกรรมพร้อมซองอุปกรณ์ที่ใช้ในการทำ

กิจกรรมโดยแต่ละซองประกอบด้วย

- รูปสามเหลี่ยม 2ชุดแต่ละชุดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม 2รูป

- ไม้โปรแทรกเตอร์ครึ่งวงกลม

- ไม้บรรทัด

1.2 สมาชิกในกลุ่มช่วยกันวัดความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยมแล้วบันทึกผลการทดลอง


ลงในแบบบันทึกกิจกรรม

1.3 สมาชิกในกลุ่มร่วมกันอภิปรายและแลกเปลี่ยนความคิดเห็นพร้อมสรุปความรู้ที่ได้รับ


2. เวลาที่ใช้ในการทำกิจกรรม 30 นาที

7

ขขัั้้นนททีี่่ 22 ททำำคคววาามมเเขข้้าาใใจจปปััญญหหาา

รรููปปสสาามมเเหหลลีี่่ยยมม 22 ชชุุดด

รูปสามเหลี่ยมชุดที่ 1

รูปสามเหลี่ยมชุดที่ 2

8

แแบบบบบบัันนททึึกกกกิิจจกกรรรรมม 11..11 คคลล้้าายยกกัันนหหรรืืออไไมม่่

ชชุุดดททีี่่ 11

คคววาามมยยาาววดด้้าานนขขอองงรรููปปสสาามมเเหหลลีี่่ยยมม ((ซซ..มม..))

AB = ................................. DF = .................................
AC = ................................. DF = .................................
BC = ................................. EF = .................................

ขขนนาาดดขขอองงมมุุมมขขอองงรรููปปสสาามมเเหหลลีี่่ยยมม ((อองงศศาา))

ABC = ................................. DEF = .................................
BCA = ................................. EFD = .................................

BAC = ................................. EDF = .................................

ออััตตรราาสส่่ววนนขขอองงคคววาามมยยาาววขขอองงดด้้าานนคคูู่่ททีี่่สสมมนนััยยกกัันน

PQ = ................................. BC = .................................

EF

AC = .................................

DF

คำถาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกันหรือไม่
ตอบ = .....................................................................................................................
เหตุผล = .....................................................................................................................

9

แแบบบบบบัันนททึึกกกกิิจจกกรรรรมม 11..11 คคลล้้าายยกกัันนหหรรืืออไไมม่่

ชชุุดดททีี่่ 22

คคววาามมยยาาววดด้้าานนขขอองงรรููปปสสาามมเเหหลลีี่่ยยมม ((ซซ..มม..))

MN = ................................. NO = .................................
MO = ................................. PR = .................................
RQ = ................................. PQ = .................................

ขขนนาาดดขขอองงมมุุมมขขอองงรรููปปสสาามมเเหหลลีี่่ยยมม ((อองงศศาา))
MNO = ................................. PRQ = .................................
NMO = ................................. RPQ = .................................
MON = ................................. PQR = .................................

ออััตตรราาสส่่ววนนขขอองงคคววาามมยยาาววขขอองงดด้้าานนคคูู่่ททีี่่สสมมนนััยยกกัันน
MN = ................................. NO = .................................

PR RQ

MO = .................................

PQ

คำถาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกันหรือไม่
ตอบ = .....................................................................................................................
เหตุผล = .....................................................................................................................

10

ขขัั้้นนททีี่่ 33 ดดำำเเนนิินนกกาารรศศึึกกษษาาคค้้นนคควว้้าา

สามเหลี่ยมคล้าย

ในการหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆจะหาได้โดยอาศัยความสัมพันธ์
ระหว่างด้าน ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปในอัตราส่วนระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยม
เป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

บทนิยาม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

∆ABC ~ DFE เพราะว่า A = D , B = E = และ C = F

ดังนั้น AB = AC = BC
DE DF EF

นั่นคือ C = B = A
F E D

11

EEXX.. 11 กกำำหหนนดดใใหห้้ AABBCC แแลละะ DDEEFF เเปป็็นนสสาามมเเหหลลีี่่ยยมมททีี่่คคลล้้าายยกกัันนมมีี BBAACC == EEAAFF == 9900°°

แแลละะดด้้าานนออืื่่นนมมีีคคววาามมยยาาวว ดดัังงรรููปป จจงงหหาาดด้้าานน AA แแลละะ ดด้้าานน DD

∆วิธีทำ จาก มุมฉาก ABC จะได้

a² = 15²+ 8²
= 225 + 64
= 289

a = 17

∆ ∆ABC ~ DEF จะได้ว่า

a = 8
4
d

a = 2
d

2d = a

d = 17

2

ดังนั้น

ด้าน a คือ 2

ด้าน d คือ 17 #

2

12

∆ ∆EEXX..22 จงแสดงว่า ABC ~ PQR และหาค่า P

วิธีทำ ∆ ∆ขั้นที่ 1 โจทย์กำหนดอะไร ABC ~ PQR

สิ่งที่โจทย์ต้องการ หาค่าของ P
B = 180°-65°-42° = 73°
Q = 180°-65°-42° = 73°

ดังนั้น A = P , B = Q , C = R

∆ ∆จะได้ ABC ~ DEF

จากสมบัติสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะได้ว่า

a = b วิธีที่ 2 เขียน Number line (เส้นจำนวน)
p q +5 +5 +5

แทนค่า 16 =1125 5 10 15 20
p

วิธีที่ 1 การคูณไขว้ p = 16 x 15

12 4 8 12 16

p = 20 +4 +4 +4

ดังนั้น ค่า P เท่ากับ 20 #

13

EEXX..33 กำหนดให้ ∆ABC และ ∆PQC ให้ AB // PQ
ดังรูป สามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมคล้ายหรือไม่ เพราะเหตุใด
พร้อมทั้งบอกอัตราส่วนด้านคู่ที่สมนัยกัน

ขั้นที่ 1 อ่านทำความเข้าใจวิเคราะห์โจทย์ปัญหา
โจทย์กำหนดอะไรไว้บ้าง ??

∆ ∆1. กำหนดให้ ABC และ PQC

2. AB // PQ

สิ่งที่โจทย์ถาม !?

∆ ∆ABC คล้ายกับ PQC หรือไม่เพราะเหตุใด

และหาอัตราส่วนด้านคู่ที่สมนัยกัน

ขั้นที่ 2 เลือกวิธีการที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา

พิจารณาโจทย์และรูปประกอบได้ดังนี้

∆ ∆วิธีคิด 1. ABC และ PQC มีมุมภายในเท่ากันทั้ง 3 คู่ หรือไม่

2. หาอัตราส่วนความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่

14

EEXX..33 กำหนดให้ ∆ABC และ ∆PQC ให้ AB // PQ
ดังรูป สามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมคล้ายหรือไม่ เพราะเหตุใด
พร้อมทั้งบอกอัตราส่วนด้านคู่ที่สมนัยกัน

ขั้นที่ 3 ดำเนินการแก้โจทย์ปัญหา

∆ ∆วิธีทำ จาก ABC และ DEF จะได้

1. ^A = Q^ (มุมแย้ง)
2. B^ = ^P (มุมแย้ง)
3. AC^B = PC^Q (มุมตรงข้ามเส้นตรงตัดกัน)

∆ ∆จะเห็นว่า ABC และ PQC มีมุมภายในที่เท่ากัน 3 คู่
∆ ∆ดังนั้น ABC คล้ายกับ PQC เพราะมีมุมภายในที่เท่ากัน 3 คู่

เขียนอัตราส่วนความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันได้ 3 คู่ ดังนี้

PQ = CQ = CP
AB AC CB

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ

ตรวจคำตอบ ∆ ∆ABC และ PQC มีมุมภายในที่เท่ากัน 3 คู่ คือ

1. A^ = ^Q
2. ^B = P^
3. A^CB = PC^Q

เขียนอัตราส่วนความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันได้ 3 คู่ ดังนี้

PQ = CQ = CP

AB AC CB

∆ ∆ดังนั้น ABC คล้ายกับ PQC เพราะมีมุมภายในที่เท่ากัน 3 คู่

EEXX..44 ตึกหลังหนึ่งสูง 20 เมตร มีเงาทอดยาว 9 เมตร
ต้นไม้ซึ่งสูง 15 เมตร จะมีเงาทอดยาวเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ วาดรูปได้ดังนี้

ขั้นที่ 1 อ่านทำความเข้าใจวิเคราะห์โจทย์ปัญหา
โจทย์กำหนดอะไรไว้บ้าง ??

∆ ∆ABC ~ DEF

AC = 20 , AB = 9 , DF = 15

สิ่งที่โจทย์ถาม !?
ต้นไม้มีเงาทอดยาวเท่าไหร่

ขั้นที่ 2 เลือกวิธีการที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา
พิจารณาโจทย์และรูปประกอบได้ดังนี้

∆ ∆ABC~ DEF เพราะว่า A = D , B = E , C = F

การใช้สมบัติด้านคู่สมนัยเขียนให้อยู่ในรูปอัตราส่วน

ดังนั้น AB = AC = BC
DE DF EF

16

EEXX..44 ตึกหลังหนึ่งสูง 20 เมตร มีเงาทอดยาว 9 เมตร
ต้นไม้ซึ่งสูง 15 เมตร จะมีเงาทอดยาวเท่าไร

ขั้นที่ 3 ดำเนินการแก้โจทย์ปัญหา ขั้นที่ 4 ตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ

9 = 20 ∆ ∆ABC~ DEF เพราะว่า A = D , B = E , C = F
X 15
AB AC BC
9 x 15 ดังนั้นจะได้ DE = DF = DE

X = 20

X = 6.75 นั่นคือ AB = AC
DE DF

แทนค่า 9 = 20
6.75 15

9×15 = 20×6.75
135 = 135 เป็นจริง

Answer จะมีเงาทอดยาว 6.75 เมตร #

สสรรุุปป ไม่ว่ารูปสามเลี่ยมจะมีขนาดใหญ่หรือเล็กถ้ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีมุมเท่ากันมุมต่อ
มุมทั้ง 3 คู่ แสดงว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แล้วอัตราส่วนความยาวของด้าน
สองด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนของด้านสองด้านของรูป
สามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งที่สมนัยกันเสมอ

17

ขขัั้้นนททีี่่ 44 สสัังงเเคครราาะะหห์์คคววาามมรรูู้้

จุดประสงค์ของการเรียนรู้ หาอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่กำหนดให้ได้

บอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมคล้ายได้
นำสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายไปใช้แก้โจทย์ปัญหาได้

1. จากรูปกำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ รูปสามเหลี่ยม DEF รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านยาว 2 นิ้ว 3 นิ้ว
และ 4 นิ้วตามล้าดับและรูปสามเหลี่ยม DEF มีความยาวรอบรูป 36 นิ้ว

✓จงทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ถูกต้อง และทำเครื่องหมาย x หน้าข้อความที่ผิด (ข้อละ 1 คะแนน)

…………………………. A. ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยมABC ยาว 9 นิ้ว
…………………………. B. รูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านยาวที่สุด 16 นิ้ว
…………………………. C. รูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านสั้นที่สุด 6 นิ้ว
…………………………. D. รูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านสองด้านความยาวต่างกัน
…………………………. E. รูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านสองด้านที่มีความยาวรวมกัน 21 นิ้ว

2. จากรูป AB ยาว 9 หน่วย BG ยาว 12 หน่วย

และ AG ยาว 15 หน่วย รูปสามเหลี่ยม EFG

✓มีความยาวรอบรูป 12 หน่วย

จงทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ถูกต้อง
และทำเครื่องหมาย x หน้าข้อความที่ผิด (ข้อละ 1 คะแนน)

…………………………... A. EF ยาว 5 หน่วย
…………………………... B. EG ยาว 4 หน่วย
..…………………………. C. รูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาวรอบรูป36 หน่วย
..…………………………. D. ถ้า DC ยาว 6 หน่วย แล้ว CG ยาว 8 หน่วย
..…………………………. E. ถ้า CG ยาว 8 หน่วย แล้ว DG ยาว 9 หน่วย
..……………………….... F. ถ้า CG ยาว 8 หน่วย แล้วรูปสามเหลี่ยม DCGมีความยาวรอบรูป 22 หน่วย

18

3.

จากรูป ถ้า BG = 12 , BD = 26 , AC = 15 และ GH = 5 จงเติมคำตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

BE ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
BH ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
BA ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
FE ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
DE ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
GD ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
DA ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย

จากรูป ถ้า GH = 7 , AC = 12 , DE = 14 และ AB = 75 จงเติมคำตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)
BE ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
BH ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
BG ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
FE ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
BD ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
EC ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย
HC ยาวเท่ากับ …………………………………… หน่วย

19

4. กำหนดให้ CR BC // PR ถ้า AC = 4 , BC = 8 แล้ว PR จะยาวเท่าใด (3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…..………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………........................................……………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20

5. ชายคนหนึ่งยืนบนพื้นราบที่จุด C มองเสาไฟฟ้าและยอดตึกหลังหนึ่งอยู่ในแนวเส้นตรง
เดียวกัน ดังรูปถ้าชายคนนี้ยืนห่างจากเสาไฟฟ้า 30 เมตร เสาไฟฟ้าสูง 16.2 เมตร
ตึกจะสูงกี่เมตร (3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…..………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………........................................……………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

21

6. ตึกหลังหนึ่งสูง 20 เมตร มีเงาทอดยาว 9 เมตร ขณะเดียวกันต้นไม้ซึ่งสูง 15 เมตร
จะมีเงาทอดยาวเท่าไหร่ (3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………....……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…..………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………........................................……………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22

ขขัั้้นนททีี่่ 55 สสรรุุปปแแลละะปปรระะเเมมิินนคค่่าาขขอองงคคำำตตออบบ

แนวตั้ง

1. มีรถคันหนึ่งจอดอยู่ห่างจากภูเขา 2 ลูก ซึ่งภูเขา 2 ลูกห่างกัน 2,200 ซ.ม
โดยภูเขาแต่ละลูกสูง 2,200 ซ.ม 2,000 ซ.ม. และ 1,450 ซ.ม ตามลำดับ จงหาว่ารถ
คันนี้จอดอยู่ห่างจากภูเขาเป็นระยะทางเท่าใด

2. ต้นซากุระซึ่งสูง 1,500 หน่วย มีเงาทอดยาว 675 หน่วย ขณะเดียวกันมีตึกหลัง
หนึ่งมีเงาทอดยาว 900 หน่วย จงหาว่าตึกหลังนี้สูงเท่าไร

3. จากรูป BC ขนานกับ DE ถ้า AB=60 BC=72 และ AD = 90
จงหาความยาวของ DE

แนวนอน

1. ชายคนหนึ่งยืนบนพื้นราบมองเห็นเสาไฟฟ้าและยอดตึกหลังหนึ่งอยู่ในแนวเส้น
ตรเดียวกัน ถ้าชายคนนี้ยืนห่างจากเสาไฟฟ้า 3,000 ซ.ม. และเสาไฟฟ้าห่างจากตึก
1,800 ซ.ม. ถ้าเสาไฟฟ้าสูง 1,620 ซ.ม. ตึกสูงเท่าไหร่

2. กอนต้องการประมาณความสูงของต้นไม้โดยใช้เงา เขาวัดเงาของต้นไม้ได้ยาว
600 ซม. ยาวเงาของตนเองได้ยาว 120 ซม. ถ้าสมศักดิ์สูง 160 ซม. ต้นไม้จะสูงเท่าไหร่

3. จากรูปกำหนดให้ AB=80 DE=120 และ CB=100 จงหาความยาว CE

23

ขขัั้้นนททีี่่ 55 สสรรุุปปแแลละะปปรระะเเมมิินนคค่่าาขขอองงคคำำตตออบบ

คคำำชชีี้้แแจจงง ใใหห้้นนัักกเเรรีียยนนเเตติิมมคคำำลลงงชช่่อองงวว่่าางงททัั้้งงแแนนววตตัั้้งงแแลละะแแนนววนนออนนใใหห้้ถถููกกตต้้อองงสสมมบบููรรณณ์์

((11)) ((11)) ((22))

((33))
((22))

24

ขขัั้้นนททีี่่ 66 นนำำเเสสนนออแแลละะปปรระะเเมมิินนผผลลงงาานน

คคำำชชีี้้แแจจงง ใใหห้้นนัักกเเรรีียยนนเเตติิมมคคำำลลงงใในนชช่่อองงวว่่าางงขขอองงแแผผนนผผัังงใใหห้้สสมมบบููรรณณ์์

ความคล้าย
(Similarity)

รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
(Similar triangles)

นิยาม
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................

ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูปคล้ายกันแล้ว
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................

25

แบบทดสอบหลังเรียน สามเหลี่ยมคล้ายเจ้าปัญหา

คำชี้แจง

1. ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก 1, 2, 3 หรือ 4
แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคำตอบ

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือกจำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายกันมีลักษณะอย่างไร

1. มีมุมเท่ากันสามคู่
2. มีพื้นที่เท่ากัน
3. มีความยาวของฐานและเส้นรอบรูปเท่ากัน
4. มีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากัน

2. จากรูปจะต้องกำหนดสิ่งใดจึงจะทำให้ ∆ABC ~ ∆APR
1. กำหนดขนาดของมุม C
2.

3. ให้มุม A เป็นมุมฉาก

4. ความยาวของด้าน AB และ PB

3. ถ้า ∆MNO ~ ∆PQO แล้วข้อใดถูกต้อง

1.
2.
3.
4.

26

4. จากรูป ∆ ACB คล้ายกับ ∆ EDF จงหาความยาวด้าน e

1.

2. 12

3.

4. 1

5. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1.

6. จากรูปกำหนดให้ 2.
3.
4.

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
2.
3.
4.

27

7. กำหนดให้ ABC เป็น ∆ รูปหนึ่งมี BC // PR ดังรูป AB = 2 , PB = 4 และ AC = 3
แล้ว CR จะยาวเท่ากับ

1. 2
2. 4
3. 6
4. 12

8. กำหนดให้ BC // LM ความยาว BC มีค่าเท่ากับกี่หน่วย
1. 10.5 หน่วย
2. 10 หน่วย
3. 9.5 หน่วย

C 4. 9 หน่วย

9. ถ้า ∆ JKH คล้ายกับ ∆ WTR จงหาความยาว TR
1. 1 หน่วย

2. 3 หน่วย

3. 7 หน่วย

4. 9 หน่วย

10. สมพรหาวิธีการหาความสูงของเสาธงโดยใช้กระจกเงา สมพรวางกระจกหงายในแนวระนาบ บนสนามหญ้า
แล้วเดินไปยืนที่จุดๆ หนึ่ง ซึ่งมองเห็นยอดเสาธงในกระจกเงาถ้าสมคิดสูงจากเท้าดังรูป ถึงระดับสายตา 1.6 เมตร
กระจกเงาวางห่างจากโคนเสาธง 7 เมตร และสมพรยืนห่างจากกระจกเงา 1.4 เมตร เสาธงจะสูงเท่าไร

1. 10 หน่วย 2. 6 หน่วย

3. 8 หน่วย 4. 4 หน่วย

28

กระดาษคำตอบ

ชื่อ-สกุล...................................................................................ชั้น....................เลขที่.................
วิชา...............................................................................รหัสวิชา.................................................

คำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก 1, 2, 3 หรือ 4
แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงในกระดาษคำตอบ

สรุปคะแนนหลังเรียน 10 คะแนน

คะแ
นน ก่อนเ
รียน
เต็
ม 10


ได
้ ......
.....

29

แบบบันทึกคะแนน

ชื่อ-สกุล...................................................................................ชั้น...ม.3...ห้อง.......เลขที่.................

คำชี้แจง
1. ให้บันทึกคะแนนแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน คะแนนกิจกรรม พร้อมทั้งหาร้อยละ

✓และระดับคุณภาพตามเกณฑ์การประเมิน

2. ให้ทำเครื่องหมาย ที่ช่องสรุปผลเมื่อนักเรียนได้คะแนนผ่านหรือไม่ผ่านการประเมิน

คะแนนก่อนเรียนและหลังเรียน

คะแนนกิจกรรม

เกณฑ์การประเมิน

ร้อยละ 90 – 100 ระดับคุณภาพ ดีมาก
ร้อยละ 70 – 89 ระดับคุณภาพ ดี
ร้อยละ 50 – 69 ระดับคุณภาพ พอใช้
ต่ำกว่าร้อยละ 50 ระดับคุณภาพ ควรปรับปรุง

การผ่านการประเมิน เมื่อได้คะแนนตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไป

30

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริฐทรัพย์. (2553) แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้.
คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่–6 เล่ม 2.กรุงเทพมหานคร: เดอะบุคส์.

จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคิดลัด คู่มือประกอบการเรียนรายวิชา
พื้นฐานคณิตศาสตร์ –ม.4-6 เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : เรืองแสงการพิมพ์ (2002).

โชคชัย สิริหาญอุดม. (2550) แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้พื้นฐาน.
กรุงเทพมหานคร: เดอะบุคส์.

ฝ่ายวิชาการไฮเอ็ดพับลิชซิ่ง. (ม.ป.ป.). เฉลยข้อสอบแข่งขันสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย
คณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย ฉบับรวม 12 พ.ศ. ปี พ.ศ. –25422553. กรุงเทพมหานคร:
อมรการพิมพ์.

สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐานและคณะครุศาสตร์.(.ป.ป.).การจัดการเรียนรู้ที่เน้น
ผู้เรียนเป็นสำคัญ: การจัดการเรียนรู้แบบใช้ปัญหาเป็นฐาน.[ออนไลน์]. แหล่งที่มา
http://www.krukird.com/02129.pdf [7 เมษายน 2559].

สำนักงานเลขาธิการสภาการศึกษา กระทรวงศึกษาธิการ. (2550) แนวทางการจัดการเรียนรู้ที่เน้น.
ผู้เรียนเป็นสำคัญ การจัดการเรียนรู้แบบใช้ปัญหาเป็นฐานกรุงเทพมหานคร.: ชุมนุมสหกรณ์
การเกษตรแห่งประเทศไทย

แบบฝึกทักษะการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ โดยใช้รูปแบบ STAR เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ. (2563).
[ออนไลน์]. ได้จาก: https://www.kroobannok.com › ...PDF [30 เมษายน].