การวัดและเรขาคณิต

2กลุ่ม

การวัด -
และเรขาคณิต

ピラミッド

คำนำ

หนงั สอื อิเลก็ ทรอนิกส์ เรอ่ื ง การวัดและเรขาคณิต เปน็ สว่ นหนึง่
ของรายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 3 จัดทาขน้ึ เพ่ือศึกษาความรู้ที่
ได้จากเร่ืองการวดั และเรขาคณิตเพื่อเปน็ ประโยชน์แกก่ ารเรยี น ทั้งนี้ใน
หนังสืออิเล็กทรอนกิ สน์ ี้มีเนื้อหาประกอบดว้ ยความรู้เก่ยี วกับ การสร้างทาง
เรขาคณติ รปู เรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิ ทฤษฎบี ทพที าโกรัส ปรซิ มึ และ
ทรงกระบอก พรี ะมดิ กรวยและทรงกลม การแปลงทางเรขาคณิต เสน้
ขนาน การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต ความคลา้ ย อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ และ
วงกลม

ผู้จดั ทาหวงั เป็นอย่างยิง่ ว่าหนงั สอื อิเล็กทรอนกิ ส์นจี้ ะเปน็
ประโยชนก์ ับผ้อู ่าน หรือผูท้ ีก่ าลงั หาขอ้ มลู เรือ่ งนอี้ ยู่ หากมขี ้อแนะนาหรอื
ขอ้ ผดิ พลาดประการใด ผ้จู ัดทาขอน้อมรับไว้และขออภยั มา ณ ท่ีนดี้ ้วย

คณะผจู้ ดั ทำ

ก

สำรบญั หน้ำ
ก
เรื่อง
คำนำ ข

สำรบญั 1
3
กำรสร้ำงทำงเรขำคณิต 6
รปู เรขำคณิตสองมติ ิและสำมมติ ิ 7
ทฤษฎีบทพีทำโกรสั 8
ปริซมึ และทรงกระบอก 9
พีระมิด 10
กรวยและทรงกลม 11
กำรแปลงทำงเรขำคณิต 12
เส้นขนำน 13
กำรใหเ้ หตุผลทำงเรขำคณิต 14
ควำมคล้ำย 16
อตั รำสว่ นตรโี กณมิติ ค
วงกลม
คณะผู้จัดทำ

ข

การสร้างทางเรขาคณิต

การสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า

ขั้นตอนการสร้าง
กำหนดให้ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับเส้นตรง S
1.) เขียนเส้นตรงความยาวเท่ากับเส้นตรง S
2.) ใช้จุดปลายของเส้นตรง S เป็นจุดศูนย์กลางเขียนส่วนโค้งรัศมี R ต่อกันที่จุด O โดยที่
R เท่ากับ S
3.) เขียนเส้นตรงจากจุด O มายังจุดปลายของเส้นตรง S จะได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ตามที่ต้องการ

การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิธีที่ 1 โดยใช้วงเวียน 1

ขั้นตอนการสร้าง

กำหนดให้ AB เป็นความยาวของด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1.) สร้างเส้นตั้งฉากที่จุด A ได้ FA ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมี AB เขียนส่วนโค้งตัดกับเส้นตั้งฉาก FA ที่จุด C
2.) ที่จุด B และจุด C กางวงเวียนรัศมีเท่าเดิม เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด D ลากเส้น CD และ BD จะได้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามต้องการ

วิธีที่ 2 โดยใช้บรรทัดสามเหลี่ยม

ขั้นตอนการสร้าง 2
กำหนดให้ AB เป็นความยาวของด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1.) ใช้บรรทัดสามเหลี่ยม 45 องศา สร้างเส้นตรง AC และ BD ทำมุม 45 องศา

2.) ใช้บรรทัดสามเหลี่ยมสร้างเส้นตรง AD และ BC ตั้งฉากกับเส้นตรง AB โดยเส้นตรง AD ตัดกับเส้นเอียง BD ที่จุด D

และเส้นตรง BC ตัดกับเส้นเอียง AC ที่จุด C

3.) ลากเส้นตรง DC จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามต้องการ

วิธีที่ 3 การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวทแยงมุม 3.1

3.1 ขั้นตอนการสร้าง 3.2
1.) สร้างวงกลมโดยใช้เส้นผ่าศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับความยาวของสี่เหลี่ยม
2.) ใช้บรรทัดสามเหลี่ยม 45 องศา เขียนเส้นสัมผัสวงกลมทั้ง 4 ด้าน

3.2 ขั้นตอนการสร้าง
1.) สร้างวงกลมโดยให้เส้นผ่าศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับความยาวของเส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยม
2.) ลากเส้นตรงต่อถึงกัน โดยใช้จุดตัดระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม เป็นจุดกำหนดระยะ

การสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า

ขั้นตอนการสร้าง

กำหนดให้ เส้นศูนย์กลางและวงกลมรัศมี R
1.) เขียนเส้นผ่าศูนย์กลาง 2 เส้นตัดกันที่จุด O
2.) ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนวงกลม รัศมี R ตัดกับเส้นผ่าศูนย์กลางทั้ง 2
3.) แบ่งครึ่งเส้นตรง OD (R) ซึ่งจะได้จุดแบ่งครึ่งที่จุด C
4.) ใช้จุด C เป็นจุดศูนย์กลางเขียนเส้นโค้งรัศมี R 1 ตัดกับวงกลมและเส้นผ่านศูนย์กลางที่จุด A และ E
5.) ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลางเขียนส่วนโค้งรัศมี R 2 ผ่านจุด E และตัดกับวงกลมที่จุด B
6.) เขียนเส้นตรง AB ซึ่งเป็นด้าน ๆ หนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า
7.) กางวงเวียนออกรัศมี AB แบ่งวงกลมออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆกัน
8.) เขียนเส้นตรงเชื่อมต่อจุดบนเส้นวงกลม จะได้รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าภายในวงกลมตามที่ต้องการ

1

การสร้างรูป- วิธีที่ 1 การสร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าภายในวงกลม
หกเหลี่ยมด้านเท่า
ขั้นตอนการสร้าง
1 กำหนดให้ วงกลมรัศมี R
1.) เขียนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม 2 เส้นตัดกันที่จุด 0
2.) ใช้จุดศูนย์เป็นจุดศูนย์กลางเขียนวงกลมรัศมี R
3.) ใช้จุด A และจุด D เป็นจุดศูนย์กลางเขียนส่วนโค้งรัศมี R ตัดกับวงกลมที่จุด B,F,C และ E
4.) เขียนเส้นตรงเชื่อมต่อจุด A,B,C,D,E และ F จะได้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าภายในวงกลมตามต้องการ

วิธีที่ 2 การสร้างรูปหกเหลี่ยมล้อมรอบวงกลม 2

ขั้นตอนการสร้าง
กำหนดให้ วงกลมรัศมีใด ๆ
1.) วางฉากสามเหลี่ยมมุม 30 และ 60 องศา ทางซีกซ้ายและขวาโดยให้สัมผัสกับวงกลม
2.) ลากเส้นตรงสัมผัสกับวงกลมและตัดกับเส้นผ่านศูนย์ในแนวนอนที่จุด C และ F
3.) ลากเส้นในแนวนอนโดยให้สัมผัสกับวงกลมและขนานกับเส้นผ่านศูนย์กลางไปตัดกับเส้นตรง AF และ BC ที่จุด A และ B ตามลำดับ
4.) ปฏิบัติตามข้อที่ 2 – 3 ในด้านตรงข้ามซึ่งจะได้จุดตัด D และ E
5.) เขียนเส้นตรงเชื่อมต่อจุด A, B, C, D, E และ F ตามต้องการ

การสร้างรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่า การสร้างวงรี

วิธีที่ 1 วิธีที่ 1 การสร้างวงรีด้วยวงแหวน 2 วง

ขั้นตอนการสร้าง ขั้นตอนการสร้าง
กำหนดให้ วงกลมรัศมีใด ๆ กำหนดให้ กำหนด AB และ CD เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม 2 วง
1.) ใช้ฉากสามเหลี่ยมมุม 45 องศา ลากเส้นจากจุดศูนย์กลาง ( O ) เอียงทำมุม 1.) ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี OA เขียนวงกลมใหญ่
2.) ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี OC เขียนวงกลมเล็ก
45 องศาไปตัดกับวงกลมที่จุด B และ F ตามลำดับ 3.) ที่จุด O ลากเส้นทำมุม 30 และ 60 องศา ตัดกับส่วนโค้งวงกลม
2.) ที่จุด B และ F ลากเส้นขนานกับเส้นผ่านศูนย์กลางในแนวนอนไปตัดกับ
จะแบ่งวงกลมออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กัน
วงกลมที่จุด Dและ H 4.) ลากเส้นจากจุดตัดของวงกลมเล็ก และวงกลมใหญ่ ให้ตัดกันดังรูป 3
3.) เขียนเส้นตรงเชื่อมต่อจุด A, B, C, D, E, F, G, และ H จะได้รูปแปด-
ได้จุดตัดที่จะเขียนวงรี ให้ทำแบบนี้ทั้ง 4 ด้าน
เหลี่ยมด้านเท่าตามต้องการ 5.) ใช้บรรทัดส่วนโค้ง (Curve) ต่อเส้นโค้งสร้างวงรีผ่านจุดตัดต่าง ๆ

จะได้วงรีดังรูปที่ 4 การต่อเส้นต้องต่ออย่างน้อย 3 จุด

วิธีที่ 2 วิธีที่ 2 การสร้างวงรีในสี่เหลี่ยมมุมฉากและขนมเปียกปูน
ขั้นตอนการสร้าง
ขั้นตอนการสร้าง กำหนดให้ สี่เหลี่ยม MLKJ มาให้
1.) สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD โดยมีขนาดเท่ากับรูปแปดเหลี่ยมที่ต้องการ 1.) ลากเส้น AB และ CD แบ่งครึ่งด้านยาวและด้านสั้นของสี่เหลี่ยมโดย
2.) ลากเส้นทแยงมุม AC และ BD ให้ตัดกันกึ่งกลางรูปสี่เหลี่ยม (จุด O) AB และ CD ตัดกันที่จุด O
3.) ใช้มุม A, B, C และ D ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในการเขียนส่วนโค้งทั้ง 4 เส้น 2.) แบ่ง OA ออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆกัน และลากเส้นจากจุด D ผ่านจุดแบ่ง-

โดยใช้รัศมีเท่ากับระยะจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมถึงมุมของรูปสี่เหลี่ยม ทั้ง 5 และไปตัดกับเส้นแบ่งด้าน AJ ได้จุดตัดรวม 4 จุด ทำเช่นเดียวกัน
4.) ลากเส้นต่อจุดระหว่างจุดตัดของส่วนโค้งกับเส้นขอบรูปสี่เหลี่ยม นี้ทั้ง 4 ส่วน
3.) ใช้บรรทัดโค้งทาบและลากเส้นโค้งสัมผัสจุดตัดเหล่านั้น จะได้วงรีภายใน
ให้ครบทั้ง 8 จุด สี่เหลี่ยมมุมฉากหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตามต้องการ

2

รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

สูตรพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 2 มิติ สูตร รูปภาพ

รูปเรขาคณิต2มิติ


1/2 × ฐาน × สูง

√3/4 × (ด้าน)²
1.) พื้นที่รูปสามเหลี่ยมใดๆ

ด้าน × ด้าน


กว้าง × ยาว

ฐาน × สูง

ฐาน × สูง หรือ
2.) พื้นที่รูปสามเหลี่ยม- 1/2 × ผลคูณเส้นทแยงมุม
ด้านเท่า










3.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส










4.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า








5.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม-
ด้านขนาน








6.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม-
ขนมเปียกปูน



รูปเรขา- **

1คณิต2มิติ 3

รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

สูตรพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 2 มิติ สูตร รูปภาพ

รูปเรขาคณิต2มิติ

7.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม- 1/2 × ผลบวกด้านคู่ขนาน × สูง
คางหมู

8.) พื้นที่สี่เหลี่ยม- 1/2 × ผลคูณของเส้นทแยงมุม
รูปว่าว

9.) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม- 1/2 × เส้นทแยงมุม × ผลบวกเส้นกิ่ง
ด้านไม่เท่า

10.) พื้นที่รูปหกเหลี่ยม- 3√3/2 × (ด้าน)²
ด้านเท่า

11.) พื้นที่รูปวงกลม πr²

12.) พื้นที่รูปวงแหวน π(R²-r²)

รูปเรขา- **

2คณิต2มิติ 4

รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

สูตรรูปเรขาคณิต 3 มิติ

ปริซึมสามเหลี่ยมด้านเท่า ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู





1.) ปริซึม 2.) ทรงกระบอก

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง ปริมาตรทรงกระบอก = πr²h
พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปฐาน × สูง

พื้นที่ผิวปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัด 2 ด้าน
พื้นที่ผิวข้าง = 2πrh
3.) พี ระมิด

ปริมาตรพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง



พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน

พีระมิดสี่เหลี่ยม พีระมิดหกเหลี่ยม

4.) กรวย 5.) ทรงกระบอกที่มีหน้าตัดรูปวงแหวน

ปริมาตรกรวย = 1/3πr²h ปริมาตร = พื้นที่หน้าตัด × สูง
พื้นที่ผิวข้าง = πrl = π(R²-r2² )h
พื้นที่ผิวกรวย = πrl + πr²
พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวนอก + พื้นที่ผิวใน + พื้นที่วงแหวน

6.) ทรงกลม

ปริมาตรทรงกลม= 4/3πr

3

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4πr²



5

ทฤษฎีบท- ความสัมพั นธ์ของทฤษฎีบทพี ทาโกรัส
พีทาโกรัส
สูตร พีทาโกรัส เป็นสมการความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
สามเหลี่ยมใดๆ ไม่สามารถใช้ความสัมพันธ์นี้ได้ ถ้าต้องการหาความ-
สัมพันธ์ของสามเหลี่ยมใด ๆ จะต้องศึกษาในระดับที่สูงกว่านี้ต่อไป

สมการ ทฤษฎีบทพี ทาโกรัส c² = a² + b²

โดย a แทน ความยาวตรงข้ามมุม A

b แทน ความยาวตรงข้ามมุม B

c แทน ความยาวตรงข้ามมุม C

ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ด้าน AC และ BC เรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก

เลขชุดพ
ี ทาโกรัส

( PYTHAGOREAN NUMBER SERIES )

เลขชุดพีทาโกรัส คือ เลขที่ทำให้เราสามารถหาค่าพีทาโกรัสได้อย่างรวดเร็วในกรณีที่ต้องการความเร็วในการทำโจทย์ ถ้าเราทราบด้านอย่าง-
น้อย 2 ด้าน เราก็จะสามารถหาด้านที่ 3 ได้ทันที

โดยที่ค่าของด้าน a และ b สามารถสลับกันได้ แต่ด้าน c ไม่สามารถสลับกันได้
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราทราบ a = 3 และ c = 5 เราจะตอบได้ทันทีว่า b = 4

แต่ในกรณีที่โจทย์ประยุกต์ขึ้นไปอีกขั้น คือ เราจะไม่สามารถเห็นตัวเลขชุดนี้ได้ทันทีต้องอาศัยไหวพริบเล็กน้อย นั่นก็คือ เลขชุดพีทาโกรัสจะมา
ในรูปแบบของตัวเลขที่เป็นจำนวนเท่าของตัวเลขชุดนั้น
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราทราบ a = 6 และ c = 10
ในข้อนี้เราจะต้องพิจารณาก่อนว่า 6 และ 10 เป็นจำนวนเท่าของเลขชุดพีทาโกรัสหรือไม่
a = 6 และ c = 10 เป็น 2 เท่าของตัวเลขชุด a = 3 , c = 5 ซึ่งปกติแล้ว ตัวเลขชุด a = 3 , c = 5 จะต้องตอบว่า b =4

แต่ในโจทย์ข้อนี้ ตัวเลขเป็น 2 เท่าของตัวเลขชุด ทำให้เราได้ตัวเลขชุดใหม่เป็น a = 6 , b = 8 และ c = 10 จึงทำให้ตอบได้ว่า ถ้า a = 6 และ c =10
จะได้ b = 8 เป็นคำตอบนั่นเอง

บทกลับทฤษฎีบทพี ทาโกรัส

c² = a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
c² > a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
c² < a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

6

ปริซึมและทรงกระบอก

ปริซึม prプリiズsム ปรmิซึม

พื้นที่ผิวของปริซึม

- พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = เส้นรอบฐาน x ความยาว x ความสูง

- พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + (2 x พื้นที่ฐาน)




*ฐานเป็นรูปอะไรใช้สูตรพื้นที่นั้น







ปริมาตรของปริซึม

- ปริมาตรปริซึมใดๆ = พื้นที่ฐาน x สูง




dc円r筒y形iclทรiaงnกรlะบอก


ทรงกระบอก


พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

- พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2πrh (h คือความสูง)

- พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก = 2πr² + 2πrh (2πr² พื้นที่ฐาน 2 ข้าง)


ปริมาตรของทรงกระบอก
- พื้นที่ฐาน x สูง = πr²h

7

pพี รyะมิrด amピラiミッdド*

พื้นที่ผิวของพีระมิด
-พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ฐาน × สูงเอียง ( l สูงเอียง)
-พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด X พื้นที่ฐานของพีระมิด

*ฐานเป็นรูปอะไรใช้สูตรพื้นที่นั้น
ปริมาตรของพีระมิด
-ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง

*ข้อสังเกต
1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน
3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกัับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน เป็นระยะเท่ากัน
4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสัน ทุกเส้นยาวเท่ากัน

8

กรวยและทรงกลม

1.) กรวย พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย = πrl+ πr²
= πr (r + l)

ปริมาตรของทรงกรวย = 1/3 x พื้นที่ฐาน x สูง
= 1/3 x πr2h

con円i錐c形 al

2.) ทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4πr2
ปริมาตรทรงกลม = 4/3 x πr3

球

sphere

9

การแปลงทางเรขาคณิต

คือการเปลี่ยนแปลงรูปเรขาคณิตโดยการจับคู่จุดบนรูปต้นแบบกับจุดบนรูปที่เปลี่ยนแปลง
รูปที่เปลี่ยนไปจะใส่สัญลักษณ์ (’) บนตัวอักษรนั้น A → A’


2.) การสะท้อน

1.) การ


เลื่อนขนาน การสะท้อนข้ามแกนx

(คูณพิกัด y ด้วย -1) จะได้ A(x,y) → A' (x ,-y)
การสะท้อนข้ามแกนy
สูตร (คูณพิกัด x ด้วย -1) จะได้ A(x,y) → A' (-x , y)
A (x,y) เลื่อนขนาน (a,b) พิกัดใหม่ A' (x+a , y+b)
วิธีคิด
วิธีคิด จุด A ( 2 , 1 ) สะท้อนเป็น จุด A′ ( 2 , - 1 )
หาค่าพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใหม่ ดังนี้ จุด B ( 4.5 , 1 ) สะท้อนเป็น จุด B′ ( 4.5 , - 1 )
จุดยอดเดิม ไปทางขวา 4 ขึ้นบน 3 จุดยอดใหม่ จุด C ( 5.5 , 3 ) สะท้อนเป็น จุด C′ ( 5.5 , - 3 )
P(-3, 2) + (4, 3) => P′(1, 5) จุด D ( 4.5 , 5 ) สะท้อนเป็น จุด D′ ( 4.5 , - 5 )
Q(1, 4) + (4, 3) => Q′(5, 7) จุด E ( 2 , 5 ) สะท้อนเป็น จุด E′ ( 2 , - 5 )
R(3, 1) + (4, 3) => R′(7, 4) จุด F ( 0 , 3 ) สะท้อนเป็น จุด F′ ( 0 , - 3 )
ค่าพิกัดของจุดยอดใหม่ คือ P′(1, 5) , Q′(5, 7) , R′(7, 4)

เขียนกราฟของจุด P′, Q′ และ R′แล้ววาดรูป Δ P′ Q′ R′ ดังนี้

วิธีคิด 3.) การหมุน
หมุนรูป Δ PQR ทวนเข็มนาฬิกา 90°
- หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาและหมุน 270° ตามเข็มนาฬิกา
P ( 2 , 2 ) => ( 2 , 2 ) => P′ ( -2 , 2 )
Q ( 5 , 7 ) => ( 7 , 5 ) => Q′ ( -7 , 5 ) →(สลับค่าพิกัดแล้วคูณพิกัดแรกด้วย -1) จะได้ A(x,y) Á(-y,x)
R ( 9 , 4 ) => ( 4 , 9 ) => R′ ( -4 , 9 )
ลงจุด P′ , Q′ และ R′ ตามลำ ดับ เขียนรูป ΔP′Q′R′ - หมุน 270° ทวนเข็มนาฬิกา และหมุน 90° ตามเข็มนาฬิกา

→(สลับค่าพิกัดแล้วคูณพิกัดหลังด้วย -1) จะได้ A(x,y) Á(y,-x)

- หมุน 180° ทวนและตามเข็มนาฬิกา

→(คูณพิกัดทั้งสองด้วย -1) จะได้ A(x,y) Á(-x,-y)

10

เส้นขนาน หลักการพิ จารณาเส้นขนาน *

ความหมาย คือ เส้นตรง 2 เส้น ที่ไม่มีทางตัดกัน และมีเส้นตั้งฉากเดียวกัน
1.2).)ถ้ถา้เาสเ้สน้นตตรงรสงขเอ้สาง้นงเเสห้ดนีนยึ่ขงวนตกััาดนนเขสก้อันนงตแเสรล้งนะ



คมตู่ีัหเดส
น้รึน่งวตมัทดกำัแนใลหเ้้ปวข็ขนนนา1า8ดด0ขขออองงงมศุมมุามภภาายยใในนทีท่ีอ่อยูยู่บ่บนน
สัญลักษณ์ แทนเส้นขนานคือ // (เช่น AB//CD) ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน

1.) มุมภายใน

เกิดจากการที่มีเส้นตรงหนึ่งเส้นมาตัดเส้นขนาน จะทำให้เกิดมุมด้านในระหว่างเส้นตรงAB และเส้นตรงCD มุมที่เกิดเรียกว่า “มุมภายใน”

ดังรูป

2.) มุมภายนอก

เกิดจากการที่มีเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดเส้นขนาน ทำให้เกิดมุม มุมที่เกิดอยู่ด้านนอกของเส้นตรงAB และเส้นตรงCD เรียกว่า “มุมภายนอก”
ซึ่งมุมภายนอกที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะรวมกันได้180องศา

ดังรูป

3.) มุมแย้ง

เกิดจากการที่มีเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดเส้นขนาน แล้วทำให้เกิดมุม มุมที่อยู่เยื้องกัน เรียกว่ามุม “ มุมแย้ง” ซึ่งมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน



ดังรูป

11

ความรู้เบื้องต้น การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

ข้อความคาดการณ์ คือ ข้อสรุปที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลอง ประโยคมีเงื่อนไข
หลายๆครั้ง ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้มากที่สุด

บทกลับของประโยคเงื่อนไข มีรูปแบบเดียว คือ ข้อความที่ประกอบด้วยคำว่า “ถ้า...แล้ว”
เรียกประโยคที่ตามหลัง ถ้า ว่า “เหตุ” และเรียกประโยคที่ตามหลัง แล้ว
ถ้าประโยคมีเงื่อนไขใดเป็นจริงแล้วบทกลับของประโยคเงื่อนไขเป็นจริง ว่า “ผล”
หรือไม่เป็นจริงก็ได้
1.) ประโยคเงื่อนไขที่เป็นจริง
ในทางคณิตศาสตร์ถ้าประโยคมีเงื่อนไขเป็นจริงและมีบทกลับเป็นจริง “เมื่อเหตูเป็นจริง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นจริงเสมอ”
อาจเขียนเป็นประโยคเดียวกันโดยใช้คำว่า ก็ต่อเมื่อ เป็นต​ัวเชื่อมประโยคทั้ง-
สอง 2.) ประโยคเงื่อนไขที่ไม่เป็นจริง
“เมื่อเหตุเป็นจริง แล้วผลที่เกิดขึ้นไม่เป็นจริงด้วย”

ในทางกลับกัน เมื่อมีประโยคที่เชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ ซึ่งเป็นจริง สามารถ
เขียนเป็นประโยคที่มีเงื่อนไข 2ประโยคซึ่งแต่ล่ะประโยคก็จะเป็นจริงด้วย

เช่น รูปสามเหลี่ยมใด เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมมีด้านยาวเท่ากัน 2 ด้าน (เป็นจริง)

สามารถเขียนได้เป็น
ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากัน2ด้าน (เป็นจริงด้วย)
ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดมีด้านยาวเท่ากัน2ด้าน แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (เป็นจริงด้วย)

การ
พิ สูจน์



จะต้องให้เหตุผล เพื่อแสดงว่า การ
ที่เหตุเป็นจริง ผลที่เกิดขึ้นก็จะเป็นจริงเสมอ

โดยเริ่มจากการนำสิ่งที่กำหนดไ
ว้แล้วอย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่าง


มาประกอบรวมกันเพื่อแสดงว่าผลเป็นจริง

12

ความคล้าย

สมบัติการคล้าย

สมบัติการคล้าย มี 3 ประการ บทนิยาม
1.) สมบัติการสะท้อน
2.) สมบัติสมมาตร รูปหลายเหลี่ยม 2 รูป จะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ
3.) สมบัติถ่ายทอด 1.) ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆทุกคู่ตามลำดับ
2.) อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

ความสัมพั นธ์ในสามเหลี่ยมคล้าย

รูปสามเหลี่ยมใดสองรูปคล้ายกัน อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
จะเท่ากัน หรืออาจกล่าวได้ว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากัน

13

Trigono-

metric
Ratio อัตราส่วน


ตรีโกณมิติ



อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัดรูปสามเหลี่ยม
ได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การ
หาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติก็คืออัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม B เป็นมุมฉาก เทคนิคการจำ
พิจารณามุม A จะได้
Sin A = ข้าม
1.) sin A คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA หรือ ac ฉาก
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
Cos A = ชิด
2.) cos A คือ ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ bc ฉาก
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
Tan A = ข้าม
3.) tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A หรือ ab ชิด
ความยาวด้านประชิดมุม A
ข้าม คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ
4.) Cosec A เป็นส่วนกลับของSin A จะได้ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ ca ชิด คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA ฉาก คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

5.) Sec A เป็นส่วนกลับของ Cos A จะได้ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ cb
ความยาวด้านประชิดมุม A

6.) Cot A เป็นส่วนกลับของ Tan A จะได้ ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ ba
ความยาวด้านตรงข้ามมุม A

14

Trigonometric Ratio

เทคนิคการหาค่ามุมจากมือซ้าย - อัตราส่วน
ตรีโกณมิติ



วิธี

1.) อยากรู้มุมไหนให้พับนิ้วนั้น

2.) นับจำนวนนิ้วที่เหลือตามสูตรดังนี้

หาsin = √นิ้วทางซ้าย

2

ส่วนกลับ cosec = 2

√นิ้วทางซ้าย

หาcos = √นิ้วทางขวา

2

ส่วนกลับ sec = 2

√นิ้วทางขวา

หาtan = √นิ้วทางซ้าย

√นิ้วทางขวา

ส่วนกลับ cot = √นิ้วทางขวา

√นิ้วทางซ้าย

วงกลม-
หนึ่งหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วยใช้หาค่า sin และค่า cos
ของมุม 0องศา, 90องศา, 180องศา, 270องศา

ค่า cos ดูจากพิกัด x ค่า sin ดูจากพิกัด y

ที่จุด (1,0) เป็นมุม 0° cos 0°= 1 , sin 0° =0
ที่จุด (0,1) เป็นมุม 90° cos 90°= 0 , sin 90° =1
ที่จุด (-1,0) เป็นมุม 180° cos 180°= -1 , sin 180° = 0
ที่จุด (0,-1) เป็นมุม 270° cos 270°= 0 , sin 270° = -1

15

วงกลม

ส่วนประกอบของวงกลม

จุดศูนย์กลางวงกลม คือ จุดที่อยู่ตรงกลางวงกลมพอดี และห่างจากเส้นรอบวงเท่ากันโดยตลอด
เส้นผ่านศูนย์กลาง คือ เส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมและสัมผัสเส้นรอบวงทั้งสองข้าง
รัศมี คือ ระยะที่เท่ากันของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง
เส้นรอบวง คือ จุดที่อยู่ห่างจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน
คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายทั้งสองข้างอยู่บนวงกลม

โดยแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน
เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดกับวงกลมเพียงจุดเดียว
เส้นตัดผ่านวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดผ่านวงกลม แต่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง

คอร์ด

และตัดกับวงกลม 2 จุด
มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดของมุมอยู่บนเส้นรอบวง
และมีแขนของมุมที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม


มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางวงกลม
โดยมีแขนของมุมเป็นรัศมีของวงกลม

มุมในส่วนโค้งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง โดยมีแขนเป็นมุมทั้งสองข้างตัดวงกลม

เส้นตัดวงกลม- เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด

จุดหนึ่งบน-
และเส้นสัมผัสวงกลม


เส้นรอบวงของวงกลมจะเป็นเส้นสัมผัสวงก

ลมที่จุดนั้น

ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดจุดหนึ่งภายนอก-
วงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกันจะยาวเท่ากัน

และมีได้ 2 เส้น

ถ้าลากเส้นตรงผ่านวงกลมโดยที่ มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุดสัมผัสจะมีขนาดเท่ากับขนาดของ
- เส้นตรงนั้นตัดกับเส้นรอบวงเพียงจุดเดียว เรียกเส้นตรงนั้นว่า มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

เส้นสัมผัสวงกลมและเรียกจุดตัดว่า จุดสัมผัส 16
- เส้นตรงนั้นตัดกับเส้นรอบวง 2 จุดเรียกเส้นตรงนั้นว่าเส้นตัดวงกลม

คอร์ด

ถ้าลากส่วนของเส้นตรงโดยให้จุดปลายทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวงเดียวกัน
จะเรียกส่วนของเส้นตรงนั้นว่า คอร์ด จากรูปคอร์ดของวงกลมคือ DE

เมื่อลากคอร์ด 1 เส้นบนวงกลมวงกลมนั้นจะถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน ทำให้เกิดส่วนโค้ง 2 ส่วนโค้ง
ได้แก่

- ส่วนโค้ง DFE เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ DFE ซึ่งเป็นส่วนโค้งที่ยาวกว่า
เรียกว่าส่วนโค้งใหญ่ความยาวของส่วนโค้ง DFE เขียนแทนด้วย m (DFE)
- ส่วนโค้ง DGE เขียนด้วยสัญลักษณ์ DGE ซึ่งส่วนโค้งนี้เป็นส่วนที่สั้นกว่า
เรียกว่าส่วนโค้งน้อยความยาวของส่วนโค้ง DGE เขียนแทนด้วย m (DGE)

1. ) ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อย
ยาวเท่ากันและส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน

2.) ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้นตัดวงกลมจะทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากันและส่วนโค้งใหญ่
ยาวเท่ากัน แล้วคอร์ด 2 เส้นนั้นจะยาวเท่ากัน

3.) ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจาก-
จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน

4.) ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้นอยู่ห่าง จากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะ-
เท่ากัน แล้วคอร์ด 2 เส้นนั้นจะยาวเท่ากัน

17

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม
โดยที่แขนของมุมทั้ง 2 ข้างตัดกับเส้นรอบวง

มุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมในครึ่งวงกลม

มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่เส้นรอบวง มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่เส้นรอบวง โดยที่แขนของมุมทั้ง 2 ข้างลากผ่าน
โดยที่แขนของมุมทั้ง 2 ข้างตัดกับเส้นรอบวง จุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งจากรูปมุมในครึ่งวงกลมของวงกลม O
ได้แก่มุม RST ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้ง RUT โดยแขนของมุมลากผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง RT
จากรูป มุมในส่วนโค้งของวงกลมได้แก่มุม MQN ซึ่งรองรับด้วย
ส่วนโค้ง MPN

มุมที่จุดศูนย์กลางและ -
3.) ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่า
มุมในส่วนโค้งของวงกลม
ของของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วน-
1.) มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา


โค้งเดียวกัน


2.) ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่

รองรับด้วย-ส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน


12
3

18

คณะผจู้ ดั ทำ

ด.ช.ชนิ ภทั ร สิงห์ลอ เลขท่ี 2

นายรฐั ภมู ิ อยูป่ ระเสรฐิ เลขท่ี 17

ด.ญ.ณปภา สุรภักดี เลขที่ 19

ด.ญ.ณัฐกฤตา คลงั เพชร เลขท่ี 20

ด.ญ.ดษุ ยา สวุ รรณอุ่น เลขท่ี 21

ด.ญ.ทยานันท์ เทียนอาไพ เลขที่ 22

ด.ญ.ธัญวรัตม์ แยม้ กสกิ ร เลขท่ี 23

ด.ญ.นภัสสร ชูประสิทธ์ิ เลขท่ี 24

น.ส.รัตนาภรณ์ เรเรอื ง เลขที่ 27

ด.ญ.ณหทยั คาจนุ เลขที่ 29

ด.ญ.พรนภัทร ใจหา้ ว เลขที่ 33

ด.ญ.พทุ ธิชา ธรรมดกี ลุ เลขท่ี 34

น.ส.อมรรตั น์ สวา่ งผล เลขท่ี 37

ชนั มัธยมศึกษาปที ี่ 3/9

ค