komposisi fungsi
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 1 Dg Rg = Df Rf Gambar disamping adalah sketsa komposisi dari f o g Daerah hasil dari fungsi g adalah daerah asal dari fungsi f g f KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS B. Komposisi Fungsi Kompoisi dari f dan g didefinisikan : (f o g)(x) = f [ g(x) ] dan (g o f)(x) = g [ f(x) ] Jika digambarkan dalam diagram panah menjadi Adapun penjelasan tentang tata cara menentukan hasil akhir dari komposisi fungsi akan diuraikan pada contoh soal berikut ini 01. Misalkan f = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} dan g = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}, maka tentukanlah : (a) f o g (b) g o f Jawab (a) f o g = f [ g ] = f [ (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) ] = {(1, 2)→(2, 3), (2, 4)→(4, 2), (3, 1)→(1, 4), (4, 3)→(3, 1)} = {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 1)} (b) g o f = g [ f ] = g [(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) ] = {(1, 4)→(4, 3), (2, 3)→(3, 1), (3, 1)→(1, 2), (4, 2)→(2, 4)} = {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)} 02. Diketahui dua fungsi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x2 – 3x + 5. Tentukanlah hasil dari : (a) (f o g)(x) (b) (g o f)(x) Jawab (a) (f o g)(x) = f [ g(x) ] = f [x 2 – 3x + 5] = 2(x 2 – 3x + 5) – 1
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 2 = 2x 2 – 6x + 10 – 1 = 2x 2 – 6x + 9 (b) (g o f)(x) = g [ f(x) ] = g [2x – 1] = (2x – 1) 2 – 3(2x – 1) + 5 = 4x 2 – 4x + 1 – 6x + 3 + 5 = 4x 2 – 10x + 9 03. Diketahui dua fungsi f(x) = 7 3x 2x 3 dan g(x) = 4x + 2. Tentukanlah hasil dari : (a) (f o g)(x) (b) (g o f)(x) Jawab (a) (f o g)(x) = f [ g(x) ] = f [4x + 2] = 7 3(4x 2) 2(4x 2) 3 = 1 12x 8x 1 (b) (g o f)(x) = g [ f(x) ] = g 7 3x 2x 3 = 4 7 3x 2x 3 + 2 = 4 7 3x 2x 3 + 2 7 3x 7 3x = 7 3x 8x 12 + 7 3x 14 6x = 7 3x 8x 12 14 6x = 7 3x 2x 2 04. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukanlah hasil dari (f o f o f)(x) Jawab (f o f o f)(x) = f { f [ f(x) ] } = f { f [ 2x + 3 ] } = f { 2(2x + 3) + 3] }
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 3 = f { 4x + 6 + 3 } = f { 4x + 9 } = 2(4x + 9) + 3 = 8x + 18 + 3 = 8x + 21 05. Diketahui dua fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 dan g(x) = x2 + 3x –6. Tentukanlah nilai (a) (f o g)(2) (b) (g o f)(3) Jawab (a) (f o g)(2) = f [ g(2) ] = f [(2)2 + 3(2) – 6] = f [4 + 6 – 6] = f [4] = (4)2 – 5(4) + 4 = 16 – 20 + 4 = 0 (b) (g o f)(3) = g [ f(3) ] = g [(3)2 – 5(3) + 4] = g [9 – 15 + 4] = g [–2] = (–2)2 + 3(–2) – 6 = 4 – 6 – 6 = –8 Dari uraian di atas dapat ditentukan beberapa sifat komposisi fungsi, yakni (1) Komposisi fungsi tidak komutatif, artinya : g o f ≠ f o g (2) Komposisi fungsi bersifat asosiatif, artinya : f o [ g o h ] = [ f o g ] o h Selanjutnya, kita dapat menentukan komponen fungsi komposisi jika hasil akhir komposisinya diketahui. Untuk penjelasan selengkapnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 4 06. Diketahui f(x) = 2x2 – 4x + 5 maka tentukanlah f(x + 3) Jawab f(x) = 2x2 – 4x + 5 maka f(x + 3) = 2(x + 3)2 – 4(x + 3) + 5 f(x + 3) = 2(x2 + 6x + 9) – 4x – 12 + 5 f(x + 3) = 2x2 + 12x + 18 – 4x – 12 + 5 f(x + 3) = 2x2 + 8x + 11 07. Diketahui f(x – 2) = x2 + 5x – 3 maka tentukanlah f(x) Jawab f(x – 2) = x2 + 5x – 3 Misalkan x – 2 = m maka x = m + 2 sehingga f(m) = (m + 2) 2 + 5(m + 2) – 3 f(m) = m 2 + 4m + 4 + 5m + 10 – 3 f(m) = m 2 + 9m + 11 Jadi f(x) = x2 + 9x + 11 08. Diketahui f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5 maka tentukanlah f(x) Jawab f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5 Misalkan 2x + 3 = m maka x = 2 m 3 sehingga f(m) = 4 2 2 m 3 – 8 2 m 3 + 5 f(m) = 4 4 6 9 2 m m – 8 2 m 3 + 5 f(m) = m 2 – 6m + 9 – 4m + 12 + 5 f(m) = m2 – 10m + 26 Jadi f(x) = x2 – 10x + 26 09. Diketahui (f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3 dan h(x) = x + 3 maka tentukanlah f(x) Jawab (f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3 f [ h(x) ] = 2x2 – 4x – 3 f [x + 3] = 2x2 – 4x – 3
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 5 Karena x + 3 = h maka x = h – 3 sehingga f(h) = 2(h – 3) 2 – 4(h – 3) – 3 f(h) = 2(h2 – 6h + 9) – 4(h – 3) – 3 f(h) = 2h2 – 12h + 18 – 4h + 12 – 3 f(h) = 2h2 – 16h + 27 Jadi f(x) = 2x 2 – 16x + 27 10. Diketahui (f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5 dan f(x) = 2x – 1 maka tentukanlah h(x) Jawab (f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5 f [ h(x) ] = 4x2 + 6x – 5 2.h(x) – 1 = 2x2 – 4x – 3 2.h(x) = 2x2 – 4x – 3 + 1 2.h(x) = 2x2 – 4x – 2 h(x) = x2 – 2x – 1 11. Diketahui (g o f)(x) = x 3 x 4 dan g(x) = 3x – 2 maka tentukanlah f(x) Jawab (g o f)(x) = x 3 x 4 g [ f(x) ] = x 3 x 4 3.g(x) – 2 = x 3 x 4 3.g(x) = x 3 x 4 + 2 3.g(x) = x 3 x 4 + 2 x 3 x 3 3.g(x) = x 3 (x 4) 2(x 3) 3.g(x) = x 3 x 4 2x 6 3.g(x) = x 3 3x 2 g(x) = 3(x 3) 3x 2 g(x) = 3x 9 3x 2
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 6 12. Diketahui (f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7 dan g(x) = x2 – 3x + 4 maka tentukanlah f(x) Jawab (f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7 f [ g(x) ] = 2x2 – 6x + 7 f (x 2 – 3x + 4) = 2x2 – 6x + 7 Misalkan m = x 2 – 3x + 4 maka 2m = 2x 2 – 6x + 8 2m – 1 = 2x 2 – 6x + 8 – 1 2m – 1 = 2x 2 – 6x + 7 sehingga f(m) = 2m – 1 Jadi f(x) = 2x – 1 13. Diketahui (f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18 dan g(x) = x2 + 3x + 5, maka tentukanlah fungsi f(x) Jawab (f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18 f [ g(x) ] = 4x2 – 12x + 18 f (x 2 + 3x + 5) = 4x2 – 12x + 18 Misalkan m = x 2 + 3x + 5 maka 4m = 4x 2 + 12x + 20 4m – 2 = 2x 2 – 6x + 20 – 2 4m – 2 = 2x 2 – 6x + 18 sehingga f(m) = 4m – 2 Jadi f(x) = 4x – 2
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 1 Df Rf Rf -1 f -1 f Df -1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS C. Fungsi Invers Dalam aturan komposisi fungsi. terdapat fungsi identitas, yakni I(x) = x, sehingga berlaku : f o I = I o f = f . Selanjutnya fungsi identitas ini akan berperan banyak dalam menentukan invers suatu fungsi. Jika f adalah suatu fungsi satu-satu, maka 1 f dinamakan fungsi invers dari f jika dan hanya jika [ 1 f o f ](x) = [ f o 1 f ](x) = I, untuk setiap x anggota Df . Dengan kata lain invers suatu fungsi f adalah proses membalik fungsi tersebut, sehingga daerah asalnya menjadi daerah hasil dan daerah hasilnya menjadi daerah asal Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah invers dari fungsi : (a) f(x) = 3x – 5 (b) g(x) = 3 1 x + 4 3 Jawab (a) f(x) = 3x – 5 Misalkan y = 3x – 5 Maka y + 5 = 3x x = 3 y 5 Jadi : 1 f (x) = 3 x 5 (b) g(x) = 3 1 x + 4 3 Misalkan y = 3 1 x + 4 3 Maka y = 12 4 x + 12 9 12y = 4x + 9 4x = 12y – 9 x = 4 12y 9 Jadi : 1 f (x) = 4 12x 9
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 2 02. Tentukanlah invers dari fungsi : (a) f(x) = x 1 2x 3 (b) g(x) = 2x 4 2 3x Jawab (a) f(x) = x 1 2x 3 Misalkan y = x 1 2x 3 Maka y(x – 1) = 2x – 3 xy – y = 2x – 3 xy – 2x = y – 3 (y – 2)x = y – 3 x = y 2 y 3 Jadi : 1 f (x) = x 2 x 3 (b) g(x) = 2x 4 2 3x Misalkan y = 2x 4 2 3x Maka y(2x – 4) = 2 – 3x 2xy – 4y = 2 – 3x 2xy + 3x = 4y + 2 (2y + 3)x = 4y + 2 x = 2y 3 4y 2 Jadi : 1 g (x) = 2x 3 4x 2 Kita dapat menentukan rumus umum invers fungsi pecahan linier dengan langkahlangkah sebagai berikut : Misalkan y = cx d ax b Maka : y(cx + d) = ax + b cxy + dy = ax + b cxy – ax = –dx + b (cy – a)x = –dx + b x = cx a dx b x = cx a dx b
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 3 Jadi Jika f(x) = cx d ax b maka 1 f (x) = cx a dx b 03. Tentukanlah invers dari fungsi : (a) f(x) = x2 – 6x + 5 (b) f(x) = x2 + 10x + 8 (c) f(x) = 2x2 – 8x + 4 Jawab (a) f(x) = x2 – 6x + 5 Misalkan y = x2 – 6x + 5 Maka y – 5 = x 2 – 6x y – 5 + 9 = x 2 – 6x + 9 y + 4 = (x – 3)2 (x – 3) = y 4 x = 3 y 4 Jadi : 1 f (x) = 3 x 4 (b) f(x) = x2 + 10x + 8 Misalkan y = x2 + 10x + 8 Maka y – 8 = x 2 + 10x y – 8 + 25 = x 2 + 10x + 25 y + 17 = (x + 5)2 (x + 5) = y 17 x = –5 y 17 Jadi : 1 f (x) = –5 x 17 (c) f(x) = 2x2 – 8x + 4 Misalkan y = 2x2 – 8x + 4 Maka y = 2(x 2 – 4x + 2) 2 y = x 2 – 4x + 2 2 y – 2 = x 2 – 4x
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 4 2 y – 2 + 4 = x 2 – 4x + 4 2 y + 2 = (x – 2)2 4 2y + 4 8 = (x – 2)2 4 2y 8 = (x – 2)2 (x – 2) = 4 2y 8 x – 2 = 2 2y 8 x = 2 2 2y 8 x = 2 4 2y 8 Jadi : 1 f (x) = 2 4 2x 8 Seperti halnya fungsi pecahan linier, maka invers fungsi kuadrat juga dapat ditentukan dengan rumus tertentu, yakni : Misalkan y = ax 2 + bx + c Maka a y = x 2 + a b x + a c a y – a c = x 2 + a b x a y – a c + 2 2a b = x 2 + a b x + 2 2a b 2 4a 4ay – 2 4a 4ac + 2 2 4a b = 2 2a b x 2 2 4a b 4a(c y) = 2 2a b x 2a b x = 2 2 4a b 4a(c y) 2a b x = 2a b 4a(c y) 2
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 5 x = 2a b 2a b 4a(c y) 2 x = 2a b b 4a(c y) 2 Jadi : Jika f(x) = ax 2 + bx + c maka 1 f (x) = 2a b b 4a(c x) 2 04. Tentukanlah invers dari fungsi : f(x) = 2 1/ 3 (x 5) 4 Jawab Misalkan y = 2 1/ 3 (x 5) 4 Maka y = ( 5) 4 1/ 3 x y + 4 = 1 / 3 (x 5) 3 y 4 = x + 5 x = 3 y 4 – 5 Jadi 1 f (x) = 3 x 4 – 5 05. Jika f(x) = x2 – 7x + 12, tentukan nilai f –1 (2) Jawab Misalkan y = x 2 – 7x + 12, maka mencari nilai f –1 (2) dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai y = 2, sehingga : 2 = x 2 – 7x + 12 0 = x 2 – 7x + 10 0 = (x – 2)(x – 5) x1 = 2 dan x2 = 5 sehingga : f –1 (2) = 2 dan f –1 (2) = 5 06. Jika f(x) = x 1 2x 5 dan f –1 (a) = 2, tentukanlah nilai a Jawab Misalkan y = x 1 2x 5 , hal ini berarti jika nilai x = 2 maka nilai y = a, sehingga : a = 2 1 2(2) 5 a = 9
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 6 Selanjutnya akan diuraikan sifat-sifat komposisi fungsi dalam hubungannya dengan invers fungsi, yakni: Jika f dan g adalah fungsi satu-satu, maka berlaku : (1) Jika f o g = h maka f = h o g -1 (2) Jika f o g = h maka g = f -1 o h (3) [f -1 ] -1 = f Bukti sifat (1) : Jika f o g = h Maka f o g o g -1 = h o g -1 f o I = h o g -1 f = h o g -1 Dengan cara yang sama sifat (2) juga dapat kita buktikan. Untuk pemantapan materi lebih jauh, akan diuraikan berberapa contoh soal berikut ini 07. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 5 dan h(x) = 6x + 3. Jika f o g = h, maka tentukanlah fungsi g(x) Jawab Misalkan y = 2x – 5 maka x = 2 y 5 Sehingga : 1 f (x) = 2 x 5 Akibatnya f o g = h g = f -1 o h g(x) = f -1 [ h(x) ] g(x) = f -1 [ 6x + 3 ] g(x) = 2 (6x 3) 5 g(x) = 2 6x 8 g(x) = 3x + 4 08. Diketahui fungsi g(x) = 2x + 1 dan fungsi h(x) = 4x2 – 2x + 3. Jika f o g = h maka tentukanlah fungsi f(x) Jawab Misalkan y = 2x + 1 maka x = 2 y 1 Sehingga : 1 g (x) = 2 x 1 Akibatnya f o g = h f = h o g -1 f(x) = h [ g -1 (x) ] f(x) = h 2 x 1
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 7 f(x) = 4 2 2 x 1 – 2 2 x 1 + 3 f(x) = 4 4 x 2x 1 2 – 2 2 x 1 + 3 g(x) = x 2 – 2x + 1 – x + 1 + 3 g(x) = x 2 – 3x + 5 Selanjutnya dari sifat komposisi di atas dapat dihasilkan sifat baru yakni : Jika f o g = h Maka f -1 o f o g = f -1 o h I o g = f -1 o h g = f -1 o h g -1 o g = g -1 o f -1 o h I = g -1 o f -1 o h I o h-1 = g -1 o f -1 o h o h-1 h -1 = g -1 o f -1 o I h -1 = g -1 o f -1 Jadi (f o g) -1 = g -1 o f -1 Selengkapnya sifat tersebut berbunyi : Jika f dan g adalah fungsi satu-satu maka berlaku : (a) (f o g) -1 = g -1 o f -1 (b) (g o f)-1 = f -1 o g -1 Untuk pemahaman lebih lanjut, akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 09. Diketahui g(x) = 3x +2 dan f(x) = 2x – 5. Tentukanlah : (a) (f o g)-1 (b) g -1 o f -1 Jawab (a) (f o g)(x) = f [ g(x) ] = f [3x +2] = 2(3x +2) – 5 = 6x + 4 – 5 = 6x – 1 Misalkan y = 6x – 1 maka x = 6 y 1 Jadi : (f o g)-1 = 6 x 1
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 8 (b) Jika g(x) = 3x + 2 maka g -1 (x) = 3 x 2 Jika f(x) = 2x – 5 maka f -1 (x) = 2 x 5 Sehingga : (g -1 o f -1 )(x) = g -1 [ f -1 (x) ] = g -1 2 x 5 = 3 2 2 x 5 = 3 2 4 2 x 5 = 6 x 1 10. Diketahui f(x) = 4x 2 3x 5 dan g(x) = 2x – 1. Tentukanlah : (a) (g o f)-1 (b) f -1 o g -1 Jawab (a) (g o f)(x) = g [ f(x) ] = g 4x 2 3x 5 = 2 4x 2 3x 5 – 1 = 4x 2 6x 10 – 4x 2 4x 2 = 4x 2 (6x 10) (4x 2) = 4x 2 6x 10 4x 2 = 4x 2 2x 12 = 2x 1 x 6 Jadi : (g o f) -1 (x) = 4x 2 2x 12
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 9 (b) Jika f(x) = 4x 2 3x 5 maka f -1 (x) = 4x 3 2x 5 f -1 (x) = 4x 3 2x 5 Jika g(x) = 2x – 1 maka g -1 (x) = 2 x 1 Sehingga : (f -1 o g -1 )(x) = f -1 [ g -1 (x) ] = f -1 2 x 1 = 3 2 1 4 5 2 1 2 x x = 2(x 1) 3 ( 1) 5 x = 2x 1 6 x
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI SOAL LATIHAN 01 A. Komposisi Fungsi 01. Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} serta f:A → A dan g:A → A yang didefinisikan oleh : f = {(1, 4) , (2, 1) , (3, 5) , (4, 5) , (5, 1)} g = {(2, 5) , (4, 1) , (1, 3) , (3, 1) , (5, 2)} maka f o g = …. A. {(1, 5) , (2, 1) , (3, 4) , (4, 4) , (5, 1)} B. {(1, 1) , (2, 5) , (3, 2) , (4, 2) , (5, 3)} C. {(1, 3) , (2, 5) , (3, 1) , (4, 1) , (5, 4)} D. {(1, 5) , (2, 3) , (3, 1) , (4, 2) , (5, 3)} E. {(1, 1) , (2, 4) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2)} 02. Diketahui f(x) = 2x2 – 5x dan g(x) = 4x – 3 . Maka (f o g)(x) = …. A. 32x2 – 68x + 33 B. 8x2 – 20x – 3 C. 16x2 – 28x + 32 D. 12x2 – 8x + 4 E. 8x2 – 32x + 16 03. Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x2 – 3x . Maka (g o f)(x) = …. A. x4 – 6x3 + 9x2 – 4 B. x4 – 11x2 + 28 C. x4 – 5x3 – 6x2 + 3 D. x4 + 3x3 + 4x – 1 E. x4 + 3x3 – 5 04. Diketahui f(x) = 3 2x 4x 2 dan g(x) = 2x – 1 , maka (f o g)(x) = ….. A. 4 3x 2x 8 B. 6x 5 4x 8 C. 5 4x 8x 6 D. 3 2x 10x 7 E. 7 2x 3x 10 05. Diketahui fungsi f(x) = x 2 2x 3 , x ≠ 2 maka hasil dari (f o f)(x) = ….. A. 2x 1 3x 5 B. x C. 2x – 3 D. 3x 4 2x 1 E. 2x 1 3 06. Diketahui fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1 dan fungsi g(x) = x2 – 4x + 2 maka nilai dari (f o g)(1) = .. A. –4 B. –3 C. 2 D. 5 E. 6
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 2 07. Jika diketahui tiga buah fungsi f(x) = 2x + 4, g(x) = 4x2 – 2 dan h(x) = 2x , maka (f o g o h)(x) adalah … A. 23x – 2 B. 3. 22x + 1 C. 23x + 3 D. 24x + 3 E. 23 + 2x 08. Pemetaan g : R → R dan h : R → R ditentukan oleh g(x) = 3 – 2x dan h(x) = x2 + 1. Jika hasil (h o g)(x) = 2 maka nilai x yang memenuhi adalah A. –3 B. –2 C. –1 D. 1 E. 3 09. Jika diketahui tiga buah fungsi f(x) = 2x – 1 , g(x) = x + 1 dan h(x) = 10x – 5 . Apabila (f o g)(x) = (h o g)(x) maka nilai x = … A. –2 B. – 1/2 C. 1/2 D. 2 E. 3 x 2 + 2 untuk x ≤ 1 10. Diketahui f : R → R ditentukan dengan rumus f(x) = –4x untuk x > 1 maka nilai dari (f o f o f)(0) = ….. A. –20 B. –16 C. –12 D. 16 E. 66 11. Jika f(x) = 2x2 – 4x maka f(3x+1) = ….. A. 18x2 – 2 B. 2x2 – 4x + 1 C. 3x2 – 16 D. 12x2 – 3x E. 4x2 + 3x + 10 12. Jika f(2x+1) = 4x2 – 8x + 5, maka f(x) = …. A. x2 + 10x – 6 B. x2 – 6x + 10 C. x2 – 3x + 4 D. x2 + 2x – 3 E. x2 + 4x + 4 13. Jika diketahui (f o g)(x) = 4x2 – 6x + 5 dan fungsi g(x) = 2x – 3 maka f(x) = …. A. x2 + 3x + 5 B. x2 – 3x + 6 C. x2 + 3x – 4 D. x2 – 2x + 5 E. x2 – 5x + 6 14. Diketahui (f o g)(x) = 4x + 2 dan f(x) = 2x + 8, maka g(x) = ….. A. 2x + 6 B. 2x – 6 C. 2x – 3 D. 2x + 3 E. 2x – 4 15. Diketahui (g o h)(x) = x 4 x 2 dan f(x) = 2x – 3 maka fungsi f(x) adalah … A. 2x 8 2x 3 B. 2x 8 4x 6 C. x 4 2x 4 D. x 3 2x 4 E. x 3 2x 4 16. Diketahui (f o g)(x) = 2x2 + 8x – 5 dan fungsi g(x) = x2 + 4x – 3, maka fungsi f(x) = ... A. 2x + 1 B. 2x – 1 C. 3x + 1 D. 3x – 1 E. 2x – 3
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 3 17. Diketahui (f o g)(x) = 2x2 – 4x + 1 dan fungsi f(x) = 2x – 5, maka fungsi f(x) adalah … A. x2 – 2x + 3 B. x2 – 6x + 3 C. x2 – 6x + 5 D. x2 + 4x – 3 E. x2 + 7x + 2 18. Jika diketahui (f o g)(3x + 2) = 9x2 – 8 dan fungsi g(x) = 2x + 6, maka f(x) = …. A. 4 1 x 2 – 5x + 17 B. 2x2 – 4x + 17 C. 2x2 + 5x – 3 D. 2 1 x 2 – 5x + 17 E. x2 + 3x – 2 19. Diketahui f(x) = 2x dan g(x) = x – 1. Jika komposisi (f o g o h)(x) = 2x2 + 4x + 10, maka h(x) = … A. x2 – 3x + 4 B. x2 + 2x + 6 C. x2 + 5x – 2 D. x2 – 4 E. x2 + 2x – 4 20. Diketahui g(x) = 2 + x, h(x) = x + 4 dan (f o g o h)(x) = x2 + 10x – 2, maka f(x) = A. x2 + 5x – 20 B. x2 + 3x – 6 C. x2 + 12x – 4 D. x2 – 12x + 16 E. x 2 – 2x – 26 21. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan sebagai f(x) = ax – 1 dan g(x) = 2x + 1. Jika berlaku (f o g)(3) = 13, maka nilai a = …. A. –3 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 22. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x , maka hasil dari 2 f(x 1) f(x 2) = …. A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 E. 612 23. Diketahui fungsi f(x) = x + 1. Jika (f o g)(1) = 16 dan (g o f)(1) = 24 serta g(x) adalah fungsi linier maka g(x) = … A. 6x – 6 B. 6x + 9 C. 9x + 6 D. 9x – 6 E. 3x – 6 24. Jika diketahui fungsi g(x) = 3x 1 1 dan fungsi (g o f)(x) = x 6 2 , maka f(x) = …. A. 2 1 x + 2 B. 2x – 3 C. 2 1 x – 5 D. 2x – 5 E. 6 1 x + 3 2 25. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan fungsi g(x) = 2x + 1 Jika (f o g)(a) = 12, maka nilai a adalah … A. 1/2 B. 3/2 C. 2 D. 3 E. 5
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 4 f(x) = 26. Jika f(x) = 1 – x dan g(x) = x 3 x 3 , maka hasil dari f [ g ( x 1 ) ] = …. A. 3x 1 3x B. 1 3x 6x C. 3x 1 6x D. 1 3x 3x E. 3 x 1 3x 27. Jika fungsi f memenuhi persamaan F(x) + 2f(8 – x ) = x untuk setiap x bilangan real, maka nilai f(7) adalah … A. –3 B. –2 C. –5/3 D. 1/2 E. 1/4 28. Diketahui suatu fungsi sedemikian sehingga F(n + 2) = 3 F(n) + 2 F(n + 1). Apabila F(0) = 3 dan F(1) = 5, maka F(3) = …. A. 53 B. 48 C. 33 D. 28 E. Tidak ditemukan 29. Suatu fungsi f(x) dengan daerah asal bilangan bulat didefinisikan sebagai : x + 3 untuk x ganjil 2 x untuk x genap Jika k ganjil dan memenuhi f[ f[ f(k)]]] = 2005 maka nilai k = ….. A. 3153 B. 4282 C. 6312 D. 8017 E. 8529 30. Jika x 1 F + x 1 F(–x) = 2x dan x ≠ 0 maka nilai F(2) = ... A. –5/3 B. –2 C. 5/3 D. 9/2 E. 5 31. Jika F(x + 1 x ) = 3 x + 3 x maka fungsi F(x) = ... A. 2 3 x + 3x B. 3 x – 3x C. 3 3 x – 2x D. 3 x + 2x E. 2 x – 2x
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 1 KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI SOAL LATIHAN 02 B. Invers Fungsi 01. Invers dari f;ungsi f(x) = 2x – 3 adalah f –1 = … A. 3 x 2 B. 2 x 3 C. 2 x 3 D. 3 x 2 E. 3x + 2 02. Invers fungsi y = 2 1 x – 3 1 adalah y–1 = …. A. 3 6x 2 B. 2 6x 3 C. 6 3x 2 D. 2 3x 6 E. 6 2x 3 03. Invers fungsi f(x) = 3x 5 2x 4 adalah f –1 = ….. A. 5x 2 3x 4 B. 5 3x 2x 4 C. 3x 2 5x 4 D. 3x 2 5x 4 E. 2x 4 3x 5 04. Invers fungsi f(x) = 6x 2 5 3x adalah f –1 = ….. A. 2x 5 6x 3 B. 6x 3 2x 5 C. 5x 3 2x 6 D. 6x 5 2x 3 E. 5x 6 2x 3 05. Invers fungsi f(x) = x2 + 8x – 2 adalah f –1 = A. –4 x 18 B. 4 x 12 C. 2 x 8 D. –2 x 8 E. 3 x 5
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 2 06. Invers fungsi f(x) = 2x2 – 12x + 10 adalah f –1 adalah … A. 3 2 x 8 B. –3 6 x 2 C. 2 2 x 6 D. –2 2 x 5 E. 3 6 x 5 07. Jika f(x) = [ (1 – x)3 + 5 ]1/5 + 2 maka f –1 (4) sama dengan …. A. –3 B. –2 C. 1 D. 2 E. 3 08. Diketahui f(x) = 4x 1 2x 3 , Nilai f –1 (–2) = … A. 3 2 B. 4 3 C. 2 1 D. 5 2 E. 10 1 09. Diketahui f(x) = x2 – 6x + 10. Nilai dari f –1 (2) sama dengan … A. –4 B. –2 C. 2 D. 3 E. 5 10. Diketahui f(x) = x 4 3x 2 , x ≠ 4. Jika nilai f –1 (a) = 10 maka a = … A. 5 B. 16/3 C. 9/2 D. 6 E. 5/2 11. Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g(x) = 4 1 x + 3, maka (f o g)–1 (x) = …. A. 2x + 4 B. 3x – 6 C. 2x – 5 D. 5x + 3 E. 2x – 10 12. Diketahui fungsi g(x) = 3x – 2 dan f : R → R sehingga (f o g)(x) = 9x2 – 6x + 10, maka f(x) adalah … A. x2 – 3x + 5 B. x2 + 5x + 10 C. 2x + 3 D. x2 + 2x + 10 E. 2x – 5 13. Jika diketahui fungsi f(x) = 4x + 5 dan fungsi (f o g)(x) = 8x2 – 12x – 11 maka g(x) = A. x2 – 6x – 4 B. 2x2 – 3x + 10 C. 2x2 – 3x – 4 D. x2 – 8x + 3 E. 2x2 – x + 6
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 3 14. Diketahui g(x) = 3x + 2 dan (f o g)(x) = 6x, maka (g o f) –1 (x) = …. A. 6 x 10 B. 6x – 2 C. 10 3x 2 D. 2 x 3 E. 10 2x 6 15. Diketahui f (x+2) = x 1 x 3 , x ≠ 1, maka f –1 (x) adalah … A. x 1 2x 1 B x 1 3x 1 C. x 1 x 2 D. 2x 1 2x 4 E. x 1 2x 3 16. Jika f(x) = ax 1 3x 4 dan f –1 (2) = 6, maka nilai a adalah ... A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. –2 17. Diketahui f(x) = 9 2 x x , maka f –1 (x) = …. A. 1 2 x 2 x B. 1 2 x 2x C. 1 2 x 3x D. x 1 2x E. 2x 1 3x 18. Diketahui f(x) = 1 x 2x 3 dan g(x) = x – 2 , maka fungsi (f o g)–1 (x) = … A. x 2 3x 1 B. 3x 1 2x 1 C. 2x 1 x 3 D. 3x 1 x 2 E. x 1 2x 3 19. Diketahui fungsi f(x) = 2 + x, g(x) = 5x dan h(x) = 3x + 2, maka (f o g o h) –1 (x) = … A. 2x – 12 B. 3 x + 6 C. 9 x 2 D. 4x – 6 E. 15 x 12
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 4 20. Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g(x) = 3 – 2x, maka (g–1 o f –1 )( –5) = A. –3 B. –2 C. 3 2 D. 2 3 E. 2 5 21. Diketahui f –1 (x) = 2 x 1 dan g–1 (x) = 3 2 x , maka (f o g)(x) = A. 5 – 3x B. 3x + 5 C. 3x – 5 D. 2x – 4 E. 3 – 6x 22. Jika (f o g)–1 (x) = x – 4 dan g–1 (x) = 3x – 2 , maka f(x) = … A. 2x + 3 B. 3x + 2 C. 2x – 3 D. 3x – 2 E. 2x + 2 23. Jika f o g = {(2, 1), (4, 2), (3, 4), (1, 3)} g = {(2, 4), (4, 3), (1, 2), (3, 1)} maka f = …. A. {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1)} B. {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} C. {(1,4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} D. {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} E. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 24. Jika f o g = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} f = {(3, 4), (2, 1), (4, 3), (1, 2)} maka g = ….. A. {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} B. {(3, 2), 4, 1), (2, 4), (1, 3)} C. {(1, 3), (3, 1), (4, 2), (2, 4)} D. {(2, 3), (4, 4), (3, 1), (1, 2)} E. {(3, 4), (1, 3), (4, 2), (2, 1)} 25. Diketahui f o (g o f)–1 (x) = 3 x 4 x dan fungsi f(x) terdefinisi di real, maka nilai g(1) =…. A. –7/2 B. 2 C. 7/2 D. 1/2 E. –1/2 26. Diketahui fungsi f(x) = x – 4 dan g(x) = 2x – 5. Jika (f o g o h)(x) = 2x2 maka h(x) = A. 2x 2 + 20 B. 3 2x 8 2 C. 4 21 2 x D. 3x 2 + 6 E. x 2 + 2 9
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 5 27. Invers fungsi f(x) = (4x – 2)2 + 5 adalah f –1 = A. 4 5 x 2 B. 4 2 x 5 C. 2 4 x 5 D. 5 4 x 2 E. 4 5 x 3 28. Invers dari fungsi f(x) = (2x2 + 3)2 adalah f –1 = A. 2 3 2 x B. 3 x 2 C. 2 x 3 D. 3 x 2 E. 2 x 3 29. Diketahui f(x) = 2 x ax 1 . Jika f –1 (3) = 1, maka nilai f(3) = … A. –7 B. –9/2 C. 2 D. 7/2 E. 11/2 30. Diketahui f(x) = 1 – 2 1 x dan g(x) = 2x – 4. Jika (g o f)–1 (x) = 1, maka nilai x = … A. –3 B. –2 C. –1 D. 0 E. 1 31. Diketahui f(x) = x 1 x dan g(x) = x 1 2x . Nilai dari (g o f)–1 (x) adalah… A. 2x B. –2x C. ½ x D. – ½ x E. 3x 32. Jika diketahui (f o g)(x) = x4 – 10x2 + 19. dan g(x) = x2 – 3. Maka fungsi f(x) = … A. x2 – 4x – 2 B. x2 + 2x – 4 C. x2 – 2x + 4 D. x2 + 5x + 6 E. x2 – 4x + 3 33. Diketahui fungsi f(x) = x2 – x dan komposisi fungsi (g o f)(x) = 2x4 – 4x3 – x 2 + 3x + 3 , maka fungsi g(x) adalah … A. 3x2 – 2x + 3 B. 2x2 – 3x + 3 C. 3x2 + 3x – 2 D. 2x2 + 2x – 3 E. 2x2 – 3x + 2 34. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 2x2 – 6x + 4 dan f(x) = x2 – 3x + 5, maka fungsi g(x) = … A. 2x – 5 B. 3x + 2 C. 2x – 6 D. 3x – 5 E. x + 2 35. Diketahui fungsi (g o f)(x) = 4x2 + 4x – 9 dan g(x) = x2 – 4x – 6, maka fungsi f(x) = … A. 2x – 3 B. 3x – 2 C. 3x + 2 D. 2x + 3 E. 2x – 3
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 6 36. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 2x 1 4x 3 , maka fungsi f –1 (x – 1) = … A. 2 2x x 2 B. 4x 7 3x 2 C. 4 7x 2x 3 D. 4 7x 2x 3 E. 2x 4 x 1 37. Jika f(x) = 4 log (x2 – x + 4) maka nilai f –1 (2) adalah … A. –3 dan 2 B. 2 dan 4 C. –3 dan 4 D. 4 dan –2 E. –3 dan –2 38. Diketahui fungsi f(x) = 2 1 2 1 log log x x , maka nilai f –1 (–3) = …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 39.Invers dari fungsi f(x) = 32x – 1 adalah ... . A. 2 1 3 log x – 2 B. 2 1 3 log x – 1 C. 2 1 3 log x + 1 D. 2 1 ( 3 log x + 2 1 ) E. 2 1 ( 3 log x + 1) 40. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan f(x) = x x 1 , x ≠ 0. dan g(x) = x + 3 maka [g(f(x)] –1 adalah … A. x 1 2 3x B. x 1 2 3x C. x x 2 D. x 4x 1 E. 4 x 1 41. Jika f -1 (x) = 2 x 1 dan g -1 (x) = 3 2 x maka (f o g)(x) = … A. 5 – 3x B. 3x + 5 C. 3x – 5 D. 3 – 6x E. 4 – 2x 42. Diketahui f : R → R dengan f(x) = x 1 2 – 1. Jika f -1 (k) = 5/3 maka nilai k = … A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 43. Jika f(x) = 2x 3 4x 6 maka f ’(x) = …. A. 2x 3 2 B. 2x 3 4 C. 2 2x 3 1 D. 8 x 12 2 E. 4 x 12 2
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 7 44. Fungsi invers 2 7 1 ( ) 3 5 x g x adalah …. A. 5 3 7 x 2 1 B. 5 3 7 x 2 1 C. 5 3 7 x 2 1 D. 5 3 7 x 2 1 E. 5 3 7 x 2 1 45. Diketahui (f o g)(x) = 4x2 + 8x – 3 dan g(x) = 2x + 4. Jika 1 f (x) adalah invers fungsi f(x) maka 1 f (x) = .... A. 2 + x 7 B. 2 + x 1 C. x2 – 4 x – 3 D. 2 + x E. x + 9 46. Jika f(x) = 5x dan g(x) = x2 + 3 untuk x ≠ 0 maka [ ( ) 3] 1 2 f g x = ... A. log( 3) 5 2 x B. log( 3) 5 4 x C. log( 3) 5 4 x D. 4. log x 5 E. 2. log x 5