บทที่ 11 เซนทรอยด์ และ จุดศูนย์ถ่วง

หน่วยท่ี 11

เซนทรอยด์

และ

จดุ ศนู ยถ์ ว่ ง

หน่วยที่ 11
เซนทรอยด์ และ จดุ ศูนย์ถว่ ง

11.1 คำนำ
ในบทท่ีผ่านมา แรงทุกแรงถือเป็นแรงร่วมกระท าต่อวัตถุที่จุดใดจุดหน่ึง ด้วยเหตุน้ี จึงสำมารถ เขียน

เวกเตอรห์ น่ึงเวกเตอรแ์ ทนแรงรวม ณ จุดท่ีเสมือนว่าแรงนน้ั กระทำแตใ่ นความเปน็ จริงแล้วแรง ดังกล่าวไมม่ ี เพราะ
แรงทปี่ รากฏในธรรมชาติโดยทั่วไปจะเป็นแรงแบบแผก่ ระจายอยู่บนพ้ืนท่ีจำกดั อนั หน่ึง หรอื ปรมิ าตรของวัตถุ แต่
อย่างไรก็ตาม แรงกระจายเป็นแรงรวมแรงเดียวได้เมื่อพิจารณาใน กรณีแรงกระทำบนพ้ืนท่ีน้อย ๆ เม่ือเทียบกับ
พน้ื ทีท่ ั้งหมดของโครงสรา้ งนนั้ ๆ แรงดึงดดู ของโลก ถือ เป็นแรงกระจายทีส่ ำคัญ ซ่งึ กระจายทัว่ ท้ังปริมาตรของวตั ถุ
สำมารถทำใหท้ ราบถงึ จ ุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) ของวัตถตุ า่ ง ๆ ได้
11.2 จดุ ศูนย์ถ่วง และจุดศูนยก์ ลางมวล (Center of Gravity and Center of Mass)
แรงกระจายทีส่ ำคัญอันหนง่ึ คือ แรงดึงดูดของโลก ซ่ึงแรงน้จี ะกระท าตอ่ ทุกอนุภาคของวัตถุ
และผลของแรงน้ีทำใหว้ ตั ถมุ ีน้ำหนัก W (W= mvg ) เมอ่ื แขวนเชือกทีจ่ ุด A แรงลัพธข์ องแรงดึงดูดของโลกจะอยใู่ น
แนวเสน้ ตรงเดียวกบั เชือก คอื AG รปู ที่ 11.1 (a)

รูปท่ี 11.1

ต่อไปถ้าเลื่อนไปแขวนวัตถุท่ีจุด B และ C จะได้แรงลัพธ์ในแนวเส้นตรง BG และ CG ซึ่งจะ
เหน็ ว่าเสน้ ตรงทง้ั 3 เสน้ ตัดกันทจ่ี ุด G จดุ เดยี ว เรยี กจดุ น้วี ่า จดุ ศูนย์ถ่วง(Center of Gravity) ของวัตถุ
และถ้าหากวัตถุอยใู่ นสภาวะไร้แรงดึงดูดของโลกแล้ว เรยี กจุดน้ีวา่ จุดศนู ย์กลาง (Center of Mass) ซ่ึงมี
ความหมายวา่ จดุ ในวตั ถทุ เี่ สมอื นกบั วา่ มวลท้ังหมดของวัตถุนนั้ รวมอยู่ ณ จุดตรงน้ี

11.3 เซนทรอยด์ (Centroid) หรอื จุดศนู ยก์ ลางของวตั ถุ
หมายถงึ จุดศูนย์กลางทำงเรขาคณิตของวตั ถนุ นั้ แต่ถ้าจะพิจารณาถงึ สมบัติทำงฟสิ ิกสข์ องวัตถุ

แลว้ มกั จะใช้เป็น จุดศูนย์กลางมวล อย่างไรกต็ าม จุดศนู ย์กลาง (Centroid) และจดุ ศูนยก์ ลางมวล (Center
of Mass) จะเปน็ จดุ เดียวกนั เมอ่ื วัตถุน้ันมีความหนาแนน่ สม่ าเสมอและถ้าหากวัตถุมคี วาม หนาแนน่ ไมส่ ม่
าเสมอแล้ว จุดดงั กลา่ วทั้งสองจะไม่ทับกนั การบอกต่ำแหนง่ ของจุดCentroid ของวตั ถุรปู รา่ งใด ๆ มักจะบอก
ในเทอมของระยะค่าเฉล่ีย ของโคออรด์ เิ นตในระบบพกิ ัดฉาก(x , y , z)

การหาจุดเซนทรอยด์ หรอื จุดศนู ยก์ ลางของวตั ถุสำมารถแบ่งแยกตามรปู ร่างของวัตถุได้ 3 ชนดิ
คอื เสน้ พื้นที่ และปริมาตร ดงั นั้น จึงต้องทราบถงึ ปริมาณท่ีสำคัญอกี คอื โมเมนตข์ องพ้ืนที่ (Moment of
Areas) พน้ื ทผี่ ิวท่เี กดิ จากการหมนุ ของเสน้ และปริมาตรที่เกดิ จากการหมนุ ของพนื้ ทร่ี อบแกนใด ๆ ดงั น้ี

11.4 โมเมนตข์ องพน้ื ท่ี (Moment of Areas)
หมายถงึ ผลการหมุนของพนื้ ที่นนั้ รอบแกนใดแกนหนงึ่ มคี า่ เท่ากบั พ้นื ท่ีนั้น คูณดว้ ยระยะทำง

จากจุดเซนทรอยดถ์ งึ แกนหมนุ ดงั แสดงในรปู ท่ี 11.2

y

พ้ืนท่ี A
xC

y x
0

รูปท่ี 11.2

จะได้ว่า โมเมนตข์ องพน้ื ที่ A รอบแกน X คอื

Mx = A . y 11.1
11.2
และโมเมนตข์ องพน้ื ท่ี A รอบแกน Y คอื

My = A . x

3.3.2 ทฤษฎีของ Pappus
วธิ ที ใี่ ชห้ าจดุ เซนทรอยดข์ องวตั ถุรูปรา่ งต่าง ๆ ของเรขาคณติ ไดง้ ่าย ๆ และสะดวกอกี วิธี

หนึ่งกค็ อื โดยอาศยั ทฤษฎีของ Pappus ซงึ่ มี 2 ทฤษฎียอ่ ย ๆ ดงั นี้
(1) พื้นที่ผิวท่ีเกิดจากการหมุนเส้นโคง้ รอบแกนใด ๆ จะเท่ากับ ผลคูณของความยาวของเสน้

โค้งนน้ั กบั ระยะทำงทีเ่ ซนทรอยด์ของเส้นโคง้ นนั้ เคลอ่ื นที่ไปโดยท่ี

(1.1) แกนหมนุ ตอ้ งไมต่ ดั ผ่านเส้นโคง้
(1.2) แกนกบั เส้นโค้งต้องอยู่ในแกนเดยี วกนั
ดังแสดงในรปู ท่ี 11.3 น่ันคอื

y

L
C

y x

0

รูปที่ 11.3

ถา้ หมนุ รอบแกน X ได้

Y = Sx 11.3
2pL 11.4

ถา้ หมุนรอบแกน่ Y ได้

X = Sy
2pL

เมือ่ Sx, Sy = พืน้ ทผี่ วิ เมื่อหมนุ รอบแกน X และ Y ตามล าดับ
L = ความยาวของเส้นโค้งเปน็ m

และ (2) ปริมาตรท่เี กิดจากการหมนุ พน้ื ท่รี อบแกนท่เี ป็นเสน้ ตรง จะเท่ากับ ผลคูณของพ้ืนท่นี ้ันกบั ระยะ
ทำงทีเ่ ซนทรอยดข์ องพื้นทีน่ นั้ เคล่ือนทไี่ ปโดยที่

(2.1) แกนหมุนตอ้ งอยใู่ นระนาบเดยี วกับพน้ื ทีน่ น้ั
(2.2) แกนหมนุ ตอ้ งไม่ตัดผา่ นพน้ื ท่นี น้ั

y

x C x
0 y

รปู ที่ 11.4

ถา้ หมนุ รอบแกน X ได้วา่

Y= V 11.5
ถา้ หมุนรอบแกนX ได้วา่ 2pA 11.6

X= V
2pA

เมอ่ื V = ปริมาตรเปน็ m3
A = พนื้ ที่

จากสมการที่ 11.3 – 11.4 จะสำมารถ
(1) หาเซนทรอยดไ์ ด้ ถา้ ทราบปรมิ าตรหรอื พ้นื ที่ผิวและ (2) หาปรมิ าตรและพนื้ ที่ผวิ ไดถ้ ้า

ทราบเซนทรอยด์

ตวั อยา่ งที่ 11.1 จงหาเซนทรอยด์สำหรับวตั ถุทรงเรขาคณติ ทเ่ี ปน็ เน้อื เดียวกนั และมรี ปู ร่างอย่างเดยี วกัน
ดงั แสดงในรปู ท่ี 11.5

1

รปู ที่ 11.5

วธิ ที ำ จากรปู ที่ 11.5 พน้ื ที่ A ถูกแบ่งออกเป็นพ้ืนที่เล็ก ๆ a1, a2, a3,…, an โดยท่พี ้ืนท่เี ล็ก ๆ เหลา่ นอี้ ยทู่ ่ี
ต่ำแหน่ง (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3),… (Xn, Yn) ดงั นน้ั ผลรวมของโมเมนตข์ องพืน้ ท่ีเล็ก ๆ น้ี รอบแกน X
และ Y จะได้

Y = a1y1 + a2 y2 + a1y3 +...+ an yn (a)
a1 + a2 + a3,ผ+ an (b)

และ X = a1x1 + a2x2 + a2x3 +...+ anxn
a1 + a2 + a3,ผ+ an
หรือจาก (a) และ (b) จะได้

(c)

(d)

ตวั อยา่ งที่ 11.2 จงหาเซนทรอยด์สำหรบั วัตถุที่ไมเ่ ป็นเนอื้ เดียวกนั และมรี ปู ร่างต่างกัน ดงั แสดงใน
รูปท่ี 11.6

y

A1

y2 y1 A2
0 x1
x

x2

รปู ท่ี 11.6

วิธีท า จากรปู ที่ 11.6 เป็นรปู ส่ีเหล่ยี มผืนผา้ ตดิ กนั เปน็ แผน่ เดียว แบง่ พน้ื ท่ีออกเปน็ A1 และ A2 มี
ระยะทำงจากเซนทรอยดถ์ งึ แกน X และแกน Y เป็น x1, x2, y1 และ y2 ตามล าดบั

1) หาระยะ x ได้จากโมเมนตข์ องพื้นที่ที่หมนุ รอบแกน Y คอื

My = A1x1 + A2x2
หรอื x (A1 + A2) = A1x1 + A2x2

X = A1x1 + A2x2
A1 + A2
2) หาระยะ Y ได้จากโมเมนตข์ องพนื้ ทที่ ี่หมนุ รอบแกน X คอื

Mx = A1y1 + A2y2

หรือ y (A1 + A2) = A1y1 + A2y2

X = A1y1 + A2y2
A1 + A2

ตัวอย่างท่ี 11.3 จงหาเซนทรอยดข์ องรปู ท่ี 11.7

y

60 mm

0 A x
A1 2 C2
10 mm

200 mm C1

10 mm

รูปท่ี 11.7

วธิ ที า 1) คดิ พื้นท่ีจากคา่ ท่โี จทยก์ าหนดใหโ้ ดยท่ี

A1 = (200)(10)(mm)2

และ A2 = (2000)(mm)2 2
(60-10)(10)(mm)
= 500 (mm)2
=

2) ระยะหา่ งจากเซนทรอยด1ข์0องแตล่ ะพน้ื ที่ ถึงแกน X, Y คอื
x1 = = 5 mm.
2
200
y1 = 502 + 10 = 100 mm.
x2 = 2 = 35 mm.
y2 = 10 = 5 mm.

2

3) ระยะ x และ y คดิ จากโมเมนตข์ องพ้ืนทที่ ้ังสองรอบแกน x และ y จะได้หมุนรอบแกน x
( )x A1 +A2
= A1x1 + A2x2

x = A1Ax11 ++AA22x2
x (2000)(5) + (500)(35)
=
2000 + 500
= 11 mm.

หมุนรอบแกน y

( )y A1 +A2 = A1y1 +A2y2
A1 +A2

y= A1y1 +A2y2
A1 +A2

= (2000)(100)+(500)(5)

2000 + 500

= 81 mm.

ดังนั้นไดจ้ ดุ เซนทรอยดอ์ ยู่ท่ี (x, y) = (11.81 mm.) #

ตัวอยา่ งท่ี 11.4 จงหาเซนทรอยด์ของรปู แผน่ โลหะเจาะรู ดงั แสดงในรูปท่ี 11.8
y

60 mm A1 100 mm
30 mm A2

A3

r = 10 mm x

0 20 mm 20 mm

รูปท่ี 11.8

วธิ ที า 1) แบ่งพน้ื ทอ่ี อกเปน็ พ้ืนทๆ็ ี่ A11๖๗, A(420แ)ล(1ะ0A03- และแทนค่าจะได้ mm2
A1 = 60) = mm2
่2๘ 800 mm2

A2 = (60)(40) = 2400 mm.

และ A3 = πr2= (3.141)(10)(10) = 314.1

2) คิดระยะห่างจากเซนทรอยดข์ องแตล่ ะพน้ื ท่ี ถงึ แกน X และ Y ได้
ๆ 2๖๗(40)
x1 = ็ = 26.7
y1 = ็ๆ่ 3๗1๘(๖40)+60 = 73.33
่3๘ mm.

x2 = 20 mm.

y2 = ็ๆ่ 630๘๖๗ = 30 mm.

และ x3 = 20 mm.
y3 = 30 mm.

3) หาระยะ X และ Y จากโมเมนตข์ องพนื้ ท่ี จะได้ รอบ

แกน X ได้

=y A1y1 +A2 y2 +A3y3
A1 +A2 +A3
(800)(73.3) +(2400)(30) +(314.1)(30)
y=
800+ 2400 + 314.1

= 39.8 m.

รอบแกน Y ได้

x = A1y1 +A2x2 +A3x3

A1 +A2 +A3

= (800)(26.7)+(2400)(20) +(314.1)(20)
21360 +48800000+ 2+4602802+314.1
x = 3514.1 = 21.5 mm.
\ได้ = 21.5 mm. #