หน่วยที่ 12 โมเมนต์ความเฉื่อย.docx

หน่วยท่ี 12
โมเมนต์ความเฉือ่ ยของพน้ื ที่
(AREA MOMENT OF INERTIA)

หนว่ ยท่ี 12

โมเมนต์ความเฉ่อื ยของพนื้ ที่ (AREA MOMENT OF INERTIA)

การพิจารณาถึงความแข็งแรงของชิ้นส่วนที่ประกอบเป็นโครงสร้าง จะเห็นได้ชดั เจน เมื่อพิจารณาถงึ
รูปลักษณะพื้นที่หน้าตัดของคาน ถ้ากรณีพื้นที่หน้าตัดมีขนาดต่างกัน ย่อมทำให้ ความแข็งแรงหรือ
ความสามารถในการรบั นำ้ หนักแตกตา่ งกัน และเมอื่ มีการกระจายอย่างต่อเน่อื ง กระทำต่อพนื้ ท่ีหนา้ ตดั จะทำ
ให้ความเค้นของแรงเปน็ สัดส่วนกับระยะทางจากแนวแรงถึงแกนของ โมเมนต์ สมบัติของพื้นที่หนา้ ตัดที่มีผล
ต่อการกระจายของแรงดังกล่าวนี้ เรียกว่า โมเมนต์ความ เฉื่อยของพื้นที่ (Area Moment of Inertia) ซึ่ง
สามารถนิยามได้ว่า โมเมนต์ความเฉือ่ ยของพืน้ ทีร่ อบ แกนใด ๆ ก็คอื โมเมนต์ที่สองของพ้ืนทนี่ ั้น

12.1 การหาค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ใด ๆ และรอบแกนใด
แกนหน่ึง จะมีค่าเท่ากบั ผลรวมของ ผลคูณของพื้นทเี่ ลก็ ๆ ที่แบ่งออกจากพืน้ ทใ่ี หญ่ กบั ระยะทางจากแกนน้ัน
ๆ ยกกำลังสอง ซ่งึ การหา ค่าของโมเมนตค์ วามเฉือ่ ยของพืน้ ทีส่ ามารถพจิ ารณาไดจ้ ากรปู ท่ี 12.1

รูป12.1 แสดงพนื้ ท่ี ทีห่ มุนรอบแกน X และ แกน Y

โมเมนตเ์ มนตค์ วามเฉือ่ ยหมุนรอบแกน y

Iy = a1x 2 +a 2x 2 +a 3x 2 …….a n x 2
1 2 3
n

 Iy = a x 2 1
2
โมเมนต์เมนต์ความเฉ่ือยหมนุ รอบแกน x

Iy = a1y 2 +a2y 2 +a3y 2 …….a n y 2
1 2 3
n

 Iy = a y 2

จากรูปแสดงพื้นท่ที ี่หมนุ รอบแกน X และ แกน Y พน้ื ท่ี A ถกู แบง่ ออกเป็นชิน้ ส่วนเลก็ ๆ
พื้นทีเ่ หลา่ นัน้ หมนุ รอบแกน y หรือ แกน x ถา้ เอาระยะทาง x1 x2 ยกกำลงั สองคุณกบั พื้นท่ี a1 a2 ผลคุณ
เหลา่ น้ีเรยี กวา่ โมเมนต์ความเฉื่อย ของพน้ื ที่ A รอบแกน Y ในทำนอเดียวกนั กส็ ามารถหาค่าโมเมนตค์ วาม
เฉ่ือยของแกน X

12.3 แสดงสตู รการหาโมเมนต์ความเฉือ่ ยของพ้ืนรปู ทรงเรขาคณิตอย่างงา่ ย โดยที่ ox I และ oy I
เป็นโมเมนต์ความเฉ่อื ยของพื้นท่ีรอบแกน X และ Y ท่ีผ่านจดุ Centroid



ตัวอย่าง 12.1 วัสดุสี่เหลี่ยมผืนผา้ ขนาดความยาว 300mm จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของพื้นที่รอบแกน XO
ซงึ่ ผ่านจดุ เซนทรอยด์ และรอบแกน X1

Y1
YO

300 mm. XO
300 mm.

150 mm.

Sol” หาโมเมนตค์ วามเฉือ่ ยรอบแกน XO
IXO = bh3 / 12
= (150)(3002) / 12
= 3.375 (10)8 mm4
= 3.375 (10)-4 mm4

หาโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของพน้ื ที่รอบแกน X
IX = IXO + Ah2

= 3.375 (10)-4 + (0.15)(0.30)(0.32)
= 0.0003375 + 0.00405
= 4.387 (10)-3 mm4

ตวั อย่าง 12.2 จงหาโมเมนตข์ องความเฉอ่ื ยรอบแกนทผ่ี า่ นจดุ เซนทรอยดข์ องพื้นทรี่ ปู สามเหลย่ี ม

Y

90 mm. XO

200 mm.

Sol”
Ix0 = bh3 / 36
= (200) (903) / 36
= 4050000 mm4.
= 4.05(10)6 mm4.

ตวั อย่างที่ 12.3 ส่ีเหลย่ี มผืนผ้าขนาดความยาว 300 มลิ ลิเมตร กว้าง 150 มิลลเิ มตร จงหาโมเมนตค์ วาม เฉ่อื ย
ของพน้ื ทร่ี อบแกน X0 ซ่งึ ผา่ นจดุ Centroid และรอบแกน X ดงั แสดงในรปู ที่ 12.4

#