หน่วยที่7 แรงในโครงข้อหมุน

หน่วยที่7
แรงในโครงขอ้ หมนุ

หนว่ ยท7ี่

แรงในโครงขอ้ หมุน

7.1 ความหมายของโครงขอ้ หมนุ
โครงข้อหมุน และ โครงถกั (Truss) หมายถึง โครงสรา้ งทปี่ ระกอบขน้ึ จากทอ่ น หรือ แท่ง (bars) ซง่ึ

รบั แรงโดยตรง ต่อยึดติดกนั เปน็ รปู สามเหล่ยี ม และ ประกอบรวมกันเปน็ โครงสร้างท่มี รี ูปร่าง และรบั แรง
หรอื น้ำหนกั ได้ตามต้องการ

โครงข้อหมนุ มีลักษณะทางทฤษฎดี งั นี้
7.1.1 ชิน้ สว่ นแตล่ ะทอ่ นทีน่ ำมาประกอบกนั ตอ้ งเป็นท่อนตรงตลอด (straight)
7.1.2 จดุ ต่อหรอื โครงต่อ (joint) ของชนิ้ ส่วนตา่ ง ๆ ถือวา่ เปน็ แบบยึดหมนุ (pin) ซ่งึ หมนุ ไดแ้ ละ
ไมม่ ีความฝืดนน่ั คือผลรวมของโมเมนต์ดัดทข่ี อ้ ต่อนี้ต้องเป็นศนู ย์
7.1.3 แรงหรือนำ้ หนักบรรทกุ ท่ีกระทำ ตอ้ งกระทำทีจ่ ดุ ต่อเท่านั้น
อยา่ งไรกต็ าม สิ่งตา่ งๆ ทก่ี ลา่ วขา้ งตน้ นั้นเป็นลักษณะเฉพาะในทางทฤษฎีเทา่ นนั้ ท้ังนเี้ พ่ือใหง้ ่ายตอ่
การคำนวณซ่ึงในทางปฏิบตั จิ ริง ๆ ซึง่ ชิ้นสว่ นแตล่ ะท่อนท่ีนำมาประกอบกันเปน็ โครงข้อหมุนอาจไม่เปน็ ทอ่ น
ตรงตลอด อาจคดหรือแอ่นเล็กนอ้ ยตามธรรมชาติ สว่ นรอยตอ่ อาจใชส้ ลักเกลียวยดึ สองตวั หรอื มากกว่ากไ็ ด้
และถ้าเปน็ โครงเหลก็ ก็อาจนำมาเชือ่ มกนั ตรงขอ้ ต่อน้ี ซ่ึงทำใหร้ อยตอ่ ไมเ่ ปน็ แบบยึดหมนุ ดงั กล่าว อีกทงั้
แรงหรอื น้ำหนักบรรทุกกอ็ าจกระทำในรอยตอ่ ทัง้ สอง เช่นการวางแป เปน็ ตน้
ช้นิ สว่ นต่าง ๆ ท่นี ำมาประกอบเปน็ โครงข้อหมนุ มีชือ่ เรยี กตา่ ง ๆ กนั คือ สว่ นที่อย่ดู า้ นบนของ
โครงสรา้ งเรียกว่า จนั ทนั (Top or upper chord) ส่วนท่ีอยูด่ า้ นล่างของโครงเรยี กว่า ข่อื (bottom or
lower chord) ส่วนทยี่ ดึ อยภู่ ายในระหว่างคอร์ดบนกับคอรด์ ลา่ ง เรยี กวา่ เวบ็ (web) ซึ่งอาจอยใู่ น
แนวทแยง (diagonal) หรอื อยู่ในแนวตั้ง (vertical) กไ็ ด้

Top or Upper Chord Vertical
Diagonal
U2 U3 U4 U5 U6 U7

U0 U1 U8

L0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8
Panel length Bottomor lower chord
Length of building

or span length

รูปท7ี่ .1 แสดงส่วนตา่ งๆของโครงขอ้ หมนุ หรือโครงถัก

7.2 จำนวนของชน้ิ สว่ นที่ตอ้ งการ
การที่โครงขอ้ หมนุ ต้องประกอบกนั มาจากรปู สามเหลย่ี มหลายรูปรวมกนั นน้ั เพราะวา่ รูปสามเหลย่ี ม

เปน็ รูปทางเรขาคณติ ทีม่ เี สถยี รภาพมนั่ คง (Stable) ไม่อาจเปลย่ี นไปเปน็ รปู อ่ืนไดภ้ ายใตแ้ รงกระทำท่ี
กำหนด ซ่ึงไมท่ ำให้ความยาวด้านใดด้านหน่ึงของรปู ต้องเปล่ยี นแปลงไป เช่นโครงรูปสามเหล่ียมที่ต่อกันแบบ
ยดึ หมุน (รูปท่ี 7.2 ก.) เม่อื รับแรงกไ็ มเ่ ปลี่ยนรปู แตส่ ำหรับโครงทีม่ ีรูปเป็นอย่างอื่น (รูปที่ 7.2 ข. และ ค.)
เมอื่ รบั แรงกระทำทีม่ ขี นาดเทา่ กนั กจ็ ะเปลย่ี นรูปและเสียรปู ทันที แตถ่ ้าโครงท้ังสองนถี้ กู ค้ำยนั ตามแนว
เส้นประทแ่ี สดง ซง่ึ เป็นการทำให้โครงสร้างดงั กล่าวประกอบกันดว้ ยรปู สามเหล่ยี มสองรูป โดยโครงทั้งสองที่
ถูกคำ้ ยนั น้กี ็จะมเี สถยี รภาพม่นั คงขน้ึ และไมเ่ ปล่ยี นรปู เมอ่ื มนี ้ำหนักหรือแรงมากระทำ

b

ac

(ก) Stable Frame (ข) Unstable Frame (ค) Unstable Frame
รปู ท่ี 7.2

สังเกตจากรปู ท่ี 7.2 ก. จะเห็นวา่ ถ้าให้ชิ้นส่วน ac ยดึ อยกู่ บั ท่ี (Fixed) ตำแหนง่ ของจดุ ตอ่ b ก็
จะอยูก่ บั ทด่ี ว้ ยซ่ึงจะสมั พนั ธ์กับชิ้นสว่ น ac โดยอาศยั ช้นิ ส่วน ab และชิน้ สว่ น bc ทปี่ ระกอบรวมกันเปน็ รปู
สามเหลี่ยม abc ซ่งึ มเี สถยี รภาพและความมน่ั คง ในทำนองเดียวกันเม่อื พิจารณาโครงขอ้ หมนุ ในรปู 7.3 จะ
เห็นวา่ ตำแหนง่ ของจดุ ตอ่ D จะไดจ้ ากการประกอบรวมกันของชน้ิ ส่วน AD และ DB ทั้งนี้ โดยมชี ิน้ ส่วน
AB ยดึ อยู่กบั ท่ี ฉะน้นั จุดตอ่ A, B และ D กจ็ ะยดึ อย่กู บั ท่ี เมอื่ พจิ ารณาจุดต่อ E ต่อไปจะเห็นวา่ เมื่อจุด
ต่อ D และ B ถกู ยึดอยู่กบั ทีแ่ ลว้ ตำแหนง่ ของจุดต่อ E ก็จะไดจ้ ากการประกอบช้ินสว่ น DE และ BE ซึง่ ถา้
พจิ ารณาต่อไป ก็จะพอสรปุ ได้ว่า ตำแหนง่ ของจดุ ต่อตัวใหม่ใด ๆ ต้องการชิ้นส่วนอีกสองชิ้นมาประกอบกนั

DE

AC
B

รูปที่ 7.3

ผลจากพิจารณาดังกลา่ ว จะเห็นความสัมพนั ธ์ของการประกอบรวมกนั เป็นโครงข้อหมนุ ท่สี มบรู ณม์ ี
เสถยี รภาพม่นั คงว่า โครงขอ้ หมุนต้องเร่มิ ต้นจากชนิ้ สว่ นหนึ่งชิน้ ทย่ี ึดอย่กู ับท่ี และทปี่ ลายทง้ั สองของ
ชน้ิ สว่ นนนั้ เปน็ ตำแหนง่ คงท่ี ตำแหน่งของจดุ ตอ่ หน่ึงตัวต้องการช้ินสว่ นเพมิ่ อีกเพยี ง 2 ชน้ิ เท่านั้น
ความสัมพันธน์ ส้ี ามารถอธบิ ายได้ดว้ ยสมการทางพชี คณติ ดังน้ี

ถา้ ให้ n = จำนวนของชิ้นส่วนที่ตอ้ งการ
j = จำนวนของจดุ ตอ่

 n = 1 + 2 (j – 2 )
n = 2j – 3

นั่นคอื โครงข้อหมุน ที่เปน็ แบบดีเทอรม์ เิ นทมีเสถียรภาพมนั่ คง ตอ้ งมีจำนวนชนิ้ สว่ นเป็นสองเท่า
ของจำนวนจุดตอ่ ลบด้วยสาม

ถ้าโครงขอ้ หมนุ จำนวนใดมจี ำนวนของช้ินส่วนนอ้ ยกวา่ (2j – 3) แสดงวา่ โครงสรา้ งนั้นไมม่ ี
เสถียรภาพในการรับน้ำหนกั (unstable) แต่ถา้ โครงข้อหมนุ ใดมจี ำนวนของชิน้ ส่วนมากกว่า (2j – 3)

แสดงวา่ โครงนั้นมีเสถียรภาพเกินความจำเป็น จดั เปน็ โครงขอ้ หมุนแบบอนิ ดีเทอร์มิเนท
7.3 ประเภทของโครงขอ้ หมนุ

โครงข้อหมุนหรอื โครงถักใชก้ ันท่วั ไปทงั้ ในงานกอ่ สร้างสะพาน และ อาคาร สำหรับงานอาคารสว่ น
ใหญม่ ักใชโ้ ครงขอ้ หมุนเปน็ โครงรับหลงั คา ที่มีชว่ งยาวและไมต่ อ้ งการเสาในระหวา่ งช่วงนนั้ ในบางครัง้ อาจ
ใช้เปน็ โครงรบั พ้ืน ส่วนโครงขอ้ หมนุ ท่ใี ชเ้ ป็นโครงสะพานรับน้ำหนัก รถยนต์ รถบรรทุก หรอื รถไฟ ส่วน
ใหญม่ กั มีความยาวของช่วงต้งั แต่ 20 เมตร จนถงึ 40 เมตร หรอื มากกวา่ นั้น

รปู ที่ 7.4 และ 7.5 แสดงโครงหลงั คาและโครงสะพานแบบตา่ ง ๆ ทนี่ ยิ มใช้ ซ่ึงมีชอื่ เรยี ก ตา่ ง ๆ กนั
โครงหลงั คา แบบทน่ี ิยมใชส้ ำหรับชว่ งยาวปานกลาง และ มีความลาดเอียงของหลงั คา

ตามแบบทต่ี อ้ งการคอื แบบแพรตต์ (Pratt) แบบโฮว์ (Howe) และแบบฟงิ ค์ (Fink) โครงขอ้ หมนุ แบบ

โฮว์ใช้กนั ทง้ั ที่ทำดว้ ยไม้และเหลก็ แตป่ ระหยัดน้อยกว่าแบบแพรตตห์ รอื แบบฟงิ ค์ แบบฟิงค์ใชไ้ ดก้ ับระยะช่วง

ยาวมากกวา่ และส้นิ เปลืองวสั ดนุ ้อยกว่าแบบแพรตต์ โครงข้อหมุนท มากขนึ้ แบบตา่ ง ๆ ของโครงขอ้ หมุนน้ี

อาจดัดแปลงได้อีกเชน่ ทำส่วนล่างทางโครง (bottom chord) ใหโ้ ครงขึ้นเพอ่ื ให้ช่วงกลางหรอื เพดาสูงขึ้น

ซ่ึงเรียกว่า แบบแพรตตโ์ ค้ง (Cambered Pratt) เปน็ ต้น

สำหรบั โครงหลงั คาลาด ๆ หรือเกอื บราบกใ็ ช้แบบวอเรน (Warren) แตก่ อ็ าจดัดแปลงแบบแพรตตห์ รือ
แบบโฮว์มาใช้กไ็ ด้ ส่วนแบบฟนั เลอ่ื ย (Saw Tooth) ตอ้ งมเี สาเกะกะอยบู่ ้างแต่ได้แสงสว่างดี โดยหัน
ชอ่ งไปทางทศิ เหนอื จึงมักเรยี กว่าโครงหลังคาแบบแสงเหนือ สว่ นโครงหลงั คาแบบคันธนู (Bow String)
และแบบพระจันทร์เสยี้ ว (Crescent) เหมาะสำหรับทำโครงหลงั คาโรงรถ หรือโรงเคร่อื งบนิ ขนาดยอ่ ม โครง
หลังคาแบบนเี้ หมาะแกก่ ารมงุ หลงั คา เพียงใส่แปไมช้ ิด ๆ กนั ที่โครงส่วนบนตามขนาดของวสั ดุมงุ แลว้ ปูลงไป
ก็ใชไ้ ด้ โครงขอ้ หมนุ แบบโค้งอารค์ (Arch) คอ่ นข้างจะแพงสกั หนอ่ ย จึงใช้เฉพาะชว่ งระยะกว้างมาก ๆ และ
ตรงช่วงกลางยกสูง เช่น ใชเ้ ปน็ โรงรถ โรงยิมเนเซ่ียม โรงอาหาร โรงละคร โรงแสดงนทิ รรศการ เปน็ ต้น
โครงขอ้ หมุนแบบโคง้ อาร์คทแ่ี สดงในรูปเป็นแบบที่มีจุดยดึ หมนุ สามจดุ (three – hinged arch) มจี ดุ ยดึ

หมนุ สองจุดทต่ี อมอหรือฐานรากและมจี ุดยดึ หมนุ อกี จุดหนงึ่ ตรงจุดยอด (crown) จึงเป็นโครงสร้างแบบดี
เทอร์มเิ นท แบบนี้อาจใชท้ อ่ นหรือแทง่ เปน็ ตวั ยึด (tie rod) ของแรงปฏกิ ิริยาในแนวนอนกไ็ ดโ้ ครงโคง้
อาร์คท่เี ปน็ แบบดเี ทอร์มิเนทก็ไดแ้ ก่แบบทม่ี ีจดุ ยดึ หมุนเพยี งสองจุดตรงฐานรอง (two-hinged arch) หรอื
แบบทมี่ ีจุดยึดแนน่ ท่ีฐานรองท้ังสอง (fixed arch)

Praff Howe Warren

Fink Fan Fink Compound Fink

Saw Tooth Bow String Crescent

รปู ที่ 7.4 แบบตา่ งๆของโครงหลงั คา

โครงสะพาน แบบต่าง ๆ ของโครงสะพานที่นิยมใชแ้ สดงในรูปท่ี 7.5 ถา้ สงั เกตให้ดีจะเป็นว่ามีแม่แบบ อยู่ 4

แบบเป็นสำคญั แบบอืน่ ๆ ทางโครงสะพานไดด้ ดั แปลงมาจากแม่แบบทง้ั ส่ีนี้ทง้ั สิน้ โครงสะพานแบบ

แพรตต์ เปน็ ทน่ี ยิ มใช้กนั มากอ่ นแบบอ่ืน ๆ แต่ปัจจุบนั นิยมสะพานแบบวอเรนชนิดท่ีมสี ่วนตั้งดว้ ย ท้ังน้ี

เพราะการต่อต้องใช้หมุดยดึ (pin connection) โครงสะพานแบบโฮว์ ก็เป็นที่นิยมใช้กันมากอ่ นโยทำเป็น

โครงสะพานไม้รว่ มกบั เหล็กแลว้ แต่ความถาวรเปน็ สำคญั แตป่ จั จุบันนิยมทำเป็นคอนกรีตเสริมเหล็ก โครง

สะพานแบบวอเรนแท้ ๆ ใชก้ ันมากในงานสะพานรถไฟ หรอื สะพานถนนช่วงแคบชัว่ คราว โครงสะพานแบบ

วอเรนชนิดทมี่ ีสว่ นตัง้ เปน็ ท่ีนยิ มในปจั จุบันสำหรบั สะพานทีต่ ่อดว้ ยหมดุ ยึด (riveted joint) โครงสะพานแบบ

ต่าง ๆ ทก่ี ลา่ วมาขา้ งต้นนีเ้ ปน็ แบบทีค่ อรด์ บนและคอร์ดล่างขนานกัน ซึง่ เหมาะสำหรบั ช่วงยาวต้ังแต่ 60 ถึง

70 เมตร ถ้าช่วงยาวมากกวา่ นกี้ น็ ิยมใช้โครงสะพานแบบทมี่ คี อร์ดไมข่ นานกนั ซึง่ จะชว่ ยลดน้ำหนักของตวั

โครงสะพานได้ เชน่ โครงสะพานแบบปากเกอร์ (Parker) ซึ่งเป็นแบบแพรตตแ์ ต่มีคอรด์ ของสะพานไม่

ขนานกันใชไ้ ดก้ ับช่วงความยาวถึง 120 เมตร สว่ นทะแยงควรมคี วามลาดเอยี งและทำมุมระหวา่ ง 45 ถงึ 60

องศา กับแนวราบจึงจะช่วยให้ประหยัดในวสั ดกุ อ่ สรา้ ง ส่วนความลึกระหวา่ งคอร์ดของสะพานจะเพิ่มมาก

ขึ้น ตามความยาวของช่วงสะพาน ทำให้ระยะของช่วง (panel) ยาวข้ึนและนำ้ หนกั ของระบบพืน้ มากข้ึน

ฉะนนั้ จงึ หันมานิยมใชโ้ ครงสะพานแบบ แบง่ แยกชน้ิ ส่วน (subdivided) ท้งั น้เี พอ่ื ลดนำ้ หนกั ของระบบพ้ืนให้

น้อยลงและอย่ใู นพิกัดกำหนด โครงสะพานแบบแพรตต์ท่มี ีคอรด์ ขนานกันแต่แบ่งชิน้ ส่วนระหวา่ งช่วงออกไป

เรยี กวา่ โครงสะพานแบบมลั ตมิ อร(์ Baltimore) ซ่ึงนิยมใช้กนั ในช่วงะพานปานกลางมพี ืน้ ตื้นถี่ สำหรบั

โครงสะพานทมี่ คี อร์ดขนานกันแต่ชว่ งสะพานปานกลางจำกัดความลึกของพนื้ และระยะของชว่ งส้ันๆ กใ็ ช้โครง

สะพานแบบวอเรนท่ีแบง่ ชิน้ สว่ น ส่วนโครงสะพานแบบแพรตตท์ ีม่ ีคอร์ดไมข่ นานกนั และแบ่งช้ินสว่ น

เรียกชื่อใหมแ่ บบแพตต้ี (Pettit) หรอื แบบซลิ วาเนีย (Pennsylvania) เหมาะสำหรบั โครงสะพาน
ชว่ งยาวท่มี ีความลึกระหว่างคอร์ดมาก เสน้ ประทางแนวนอนที่แสดงในรูปใช้ยดึ สว่ นต้งั ทย่ี าวมาก เป็นส่วนที่
เพม่ิ เข้ามาเฉยๆ เรียกวา่ ชิน้ สว่ นรอง (Secondary member) โครงสะพานแบบเค (K truss) เป็นโครงสะพาน
แบบแบ่งชน้ิ ส่วนแบบใหม่ มที ั้งชนดิ คอร์ดของสะพานขนานกันและไม่ขนานกนั แต่ยงั ไม่ไดร้ บั ความนยิ มนัก

Pratt Howe K - Truss
Warren Warren with Verticals Sub - Divided Warren

Parker Baltimore Pettit or Pennsylvania

รปู ท่ี 7.5 แบบต่างๆของโครงสะพาน

7.4 สมมตฐิ านและหลักการคำนวณหาแรงภายในโครงข้อหมุน
สมมตุ ิฐานเบ้อื งต้น สมมตุ ฐิ านท่ใี ช้ในการคำนวณหาแรงภายในโครงขอ้ หมุน มดี ังนี้คอื
7.4.1 เส้นทล่ี ากผา่ นศูนย์ถว่ งของหน้าตัดของชิ้นส่วนต่าง ๆ ต้องพบกันท่ีจุดตอ่
7.4.2 จุดต่อโครงขอ้ หมนุ ถือว่าหมุนไดแ้ ละไม่มีความฝืด
7.4.3 แรงหรอื นำ้ หนักบรรทกุ ทก่ี ระทำ ต้องกระทำตอ่ จุดตอ่ เทา่ นน้ั ฉะน้ันจึงไมม่ โี มเมนตด์ ดั ใน

ชน้ิ สว่ นใด ๆ ของโครงขอ้ หมนุ เลย
7.4.4ความยาวของแตล่ ะช้ินสว่ นในโครงข้อหมุนตอ้ งไม่เปล่ียนแปลงท้ังกอ่ นและหลังการรบั น้ำหนัก

7.5 หลกั การและวธิ กี ารคำนวณ
การคำนวณหาแรงภายในโครงสร้างใช้หลกั การดงั ตอ่ ไปน้ี
7.5.1 แรงหรือนำ้ หนกั บรรทุกภายนอก และแรงปฏกิ ริ ยิ าที่กระทำบนโครงสรา้ ง ต้องอยู่ในสภาวะ

สมดลุ
7.5.2 แรงดึงหรือแรงอัดทเ่ี กดิ ขึน้ ภายในชน้ิ ส่วนตา่ ง ๆ ของโครงข้อหมนุ จะตอ้ งพบกันทจ่ี ุดตอ่ ซึ่ง

อาจเปน็ จดุ ท่มี ีแรงหรอื นำ้ หนักภายนอกกระทำอย่ดู ้วย เมอ่ื แรงต่าง ๆ เหลา่ นี้มาพบกนั ท่ีจดุ หนึ่ง ๆ ตอ้ งอยู่
ในสภาวะสมดลุ

7.5.3 ชนิ้ สว่ นใด ๆ สามารถแทนไดด้ ้วยแรงสองแรง ทมี่ ีขนาดเทา่ กัน แต่มที ิศทางตรงกนั ข้าม
และกระทำทีป่ ลายทัง้ สองของชนิ้ สว่ นนนั้

7.5.4 สว่ นหนง่ึ สว่ นใดของโครงข้อหมุนท่ีนำมาพิจารณา จะต้องอยใู่ นสภาวะสมดลุ ดว้ ยแรงหรือ
นำ้ หนกั ภายนอกทีก่ ระทำ ณ. จดุ ต่อ และแรงที่เกดิ ขนึ้ ภายในชนิ้ สว่ นของโครงข้อหมนุ ในส่วนท่ีไมไ่ ดน้ ำมา
พจิ ารณา

วิธีการคำนวณ การคำนวณหาแรงภายนอกในชน้ิ ส่วนของโครงข้อหมนุ แบ่งออกไดเ้ ป็น 3 วธิ ที ี่
สำคญั คอื

1. วิธตี ัดรอบจดุ ต่อ (Method of Joint)
2. วิธีตดั รูปตัด (Method of Section)
3. วิธีการเขยี นรปู (Graphical Method)

7.6 เคร่ืองหมาย
7.6.1 แรงดึง ซง่ึ เป็นแรงที่เกิดขึ้นต้านแรงกระทำภายนอกในทิศทางพงุ่ ออกจากรอยตัดให้ถือวา่ มีค่า

เปน็ บวก
7.6.2 แรงอดั ซึ่งเป็นแรงท่ีเกดิ ขึ้นตา้ นแรงกระทำภายนอกในทศิ ทางพุง่ เข้าหารอยตัดใหถ้ อื วา่ มคี า่

เปน็ ลบ

ก. แรงดึง(บวก) ข. แรงอดั (ลบ)
รูปท่ี 7.6

7.7 วธิ ีการตดั รอบจุดตอ่ (Method of Joint)
การคำนวณหาแรงภายในแตล่ ะชน้ิ สว่ นของโครงขอ้ หมนุ วิธีนี้ ทำเปน็ ขนั้ ตอนดังต่อไปน้ี
7.7.1 คำนวณหาแรงปฏิกิรยิ าทีจ่ ุดรองรับ โดยใช้สมการสมดลุ

7.7.2 พิจารณาตัดรูปตัดรอบจุดต่อแต่ละจดุ และ ใช้สมการสมดุล ( H = 0 และ V= 0)
คำนวณหาแรงต้านภายในทเ่ี กดิ ข้นึ

การพจิ ารณาตดั รอบจดุ ต่อนี้ ควรเรมิ่ ต้นการพิจารณาทีจ่ ดุ ต่อซง่ึ มีแรงภายในไมร่ คู้ า่ ไมเ่ กนิ กว่า 2 ตวั
ทางดา้ นซ้ายมือก่อน แล้วจงึ พิจารณาจดุ ต่อไป จนถึงจดุ ตอ่ ที่อยกู่ ลางชว่ งความยาวจากนนั้ เรมิ่ พิจารณา
จดุ ตอ่ ทางดา้ นขวามอื ไปจนถึงจุดตอ่ ทอี่ ยกู่ ลางชว่ งความยาว ท้ังน้ีจะเปน็ การตรวจสอบความถูกตอ้ งไปในตัว
ดว้ ย

7.7.3 เขยี นขนาดและทศิ ทางของแรงท่ีคำนวณไดก้ ำกับบนช้นิ ส่วนของรูปโครงที่กำหนด ให้ ถ้าแรงท่ี
เกิดขึ้นภายในชน้ิ ส่วน กระทำในทศิ ทางพงุ่ ออกจากจุดตอ่ ก็เปน็ แรงดงึ ใหม้ ีเคร่ืองหมายเปน็ บวก ถา้ กระทำใน
ทศิ ทางพงุ่ เข้าหาจดุ ตอ่ กเ็ ป็นแรงอัดให้มเี ครอ่ื งหมายเป็นลบ

สงั เกตวา่ แรงในชนิ้ ส่วนใด ๆ ทีแ่ ตกออกไปให้อยูใ่ นแนวนอนเหนือแนวตั้ง จะเป็นสัดส่วนกับ
ความยาวของช้ินสว่ นน้นั เชน่ ถา้ แตกแรง F ในชน้ิ ส่วน AC (ดังรปู ) ออกไปเป็น

แรงในแนวนอน Fh = F (cos) = F ( BC )

AC

แรงในแนวตั้ง Fv = F (sin ) = F ( AB )

A DAC

F



BC

รปู ที่ 7.7

7.8 การวิเคราะห์โครงขอ้ หมนุ โดยวิธตี ัดข้อตอ่ ( Methods of Joints )
ขั้นตอนการวเิ คราะห์

1. คำนวณหาแรงปฏกิ ริ ยิ า ( RAx, RAy และ RB ) ทั้งหมดกอ่ นโดยการใชส้ มการสมดุลนนั่ กค็ อื
Fx = 0, Fy = 0 และ M = 0

2. คำนวณหาแรงภายในชิ้นสว่ นท่ีกระทำต่อขอ้ หมุน โดยการใช้สมการสมดุลของอนุภาค Fx = 0,
Fy = 0 โดยทเ่ี ร่ิมพจิ ารณาจากขอ้ ต่อท่มี ี unknown ไมเ่ กนิ 2 ตวั หลงั จากนน้ั จงึ พจิ ารณาขอ้ ต่ออ่นื ๆ ทม่ี ี
unknown ไม่เกิน 2 ตวั ต่อไป

3. ตรวจสอบการคำนวณ

ตวั อยา่ ง 1 จงใช้วิธตี ัดข้อต่อ (Method of Joints) คำนวณหาแรงในทกุ ช้นิ สว่ นของโครงข้อหมนุ ต่อไปน้ี
วิธที ำ Step I :
คำนวณหาแรงปฏิกริ ยิ า MA = 0 + ,
RD(60) – 24(40) – 12(20) = 0
RD = 20 #
MD = 0 + ,
-RA(60) + 24(20) + 12(40) = 0
RA = 16 #
ตรวจสอบ
Fy = 0 + ,
16 + 20 = 12 + 24
0 = 0 O.K.

Step II : พิจารณาจุดต่อ A ( joint A )

Fy = 0 + , 16 + 0.6 FAB = 0

FAB = -26.7

FAB = 26.7 (c)

Fx = 0 + , FAF + 0.8 FAB = 0

FAF = -80(-26.7) = 21.3(T)

พิจารณาจดุ ต่อ F ( joint F ) Fy = 0 + , FFB – 12 = 0
พจิ ารณาจดุ ตอ่ B ( joint B ) FFB = 12 (T)
พจิ ารณาจุดต่อ C ( joint C )
Fx = 0 + , FFE - 21.3 = 0
FFE – 21.3 = 0
FFE = 21.3(T)

Fy = 0 + , 16 – 12 – 0.6 FBE = 0

FBE = 6.67 (T)

Fx = 0 + , 21.3 + 0.8(6.67) + FBC = 0

FBC = -26.7

FBC = 26.7 (C)

Fy = 0 + , 0.8 FCD + 26.7 = 0
FCD = -33.3
FCD = 33.3 (C)

Fx = 0 + , FCE + 0.6(-33.3) = 0
FCE = 20 (T)

พจิ ารณาจดุ ตอ่ D ( joint D ) Fx = 0 + , 26.7 - FDE = 0
FDE = 26.7 (T)
F CD =
33.3

D

F

DE

Step III : Check จดุ ต่อ D ( joint D )

Fy = 0 + , 20 – 20 = 0

Check จดุ ตอ่ E ( joint E )

Fy = 0 + , 4 + 20 - 24 = 0

Fx = 0 + , 26.7 – 21.3 – 5.3 = 0.1 O.K.

20
6.6
7

E
21. 26.
37

24

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงคำนวณหาแรงภายในชิ้นสว่ นต่างๆของโครงข้อหมุน ซง่ึ รับน้ำหนักดังรปู

800 kg MA = 0

800 kg J 800 kg 18RG – 800(3+6+9+12+15) = 0
I K 800 kg 36000
800 kg L RG = 18 = 2000 kg

H 2.41

A BCDEF G V = 0

6 @ 3.00 = 18.00 m RA+ RG – 800(5) =0

RA = 2000 kg

พิจารณาทจ่ี ุด A Tan = 2.41 ;  = 15°
9
AH
A  AB V = 0

RA= 2000 RA – AH sin = 0

AB = 7727 cos15° 2000 – AH sin15° =0
2000 = 7727 kg (Comp)
AH = sin15

H = 0

AB – AH cos = 0

AB – 7727 cos15° = 0

= 7464 kg (Ten)

พจิ ารณาท่จี ดุ B

BH V = 0 = 0 kg
BH
AB = 7464 B BC =0
H = 0 = 7464 kg (Ten)
BC – AB
BC

พิจารณาทีจ่ ุด H

800 kg V = 0

H HI AH sin + CH sin - HI sin - 800 = 0

 7727 sin15° + CH sin15° – HI sin15° –800 = 0

2000 + 0.259CH – 0.259HI – 800 =0
1200 (1)
AH = 7727 CH HI – CH = 0.259 = 4633
BH = 0

H = 0

AH cos - CH cos - HI cos =0

7727 cos15° - CH cos15° - HI cos15° = 0

7464 – 0.966CH – 0.966HI =0
7464 (2)
CH + HI = 0.966 = 7727

กำจดั CH 2HI = 12360 kg (Comp)
นำสมการท่ี (1) + (2) จะได้ HI = 6180 kg (Comp)
CH + HI = 7727
แทนคา่ CH ในสมการท่ี (2) จะได้ CH = 1547

พจิ ารณาทจี่ ุด C

CI V = 0
C
CH = 1547 CI – CH sin =0
BC = 7464 
CI – 1547 sin15° = 0

CD CI = 1547 sin15° = 400 kg (Ten)

H = 0

CD + CHcos - BC =0

CD + 1547 cos15° - 7464 = 0

CD = 7464 - 1547 cos15° = 5970 kg (Ten)

พิจารณาที่จุด I 2.41
9
IC = 6 = 1.61

800 kg Tan = 1.61 ; = 28.22°
3
I IJ
 DI V = 0
HI = 6180
HI sin + DI sin - IJ sin - CI - 800 = 0
CI = 400
6180 sin15°+DIsin28.22° - IJsin15°- 400 -800 =0

1600 + 0.473DI – 0.259IJ – 400 – 800 = 0

0.259IJ – 0.473DI = 400 (1)

H = 0

HI cos - DI cos - IJ cos =0

6180 cos15° - DI cos28.22° - IJ cos15° = 0

5969 – 0.881DI – 0.966IJ =0

0.881DI + 0.966IJ = 5969 (2)

กำจัด DI 0.228IJ – 0.417DI = 352 (3)
(4)
นำสมการท่ี (1)  0.881 จะได้ 0.417DI + 0.457IJ = 2823
0.685IJ = 3175
นำสมการที่ (2)  0.473 จะได้ kg (Comp)
นำสมการท่ี (3) + (4) จะได้ 0.417DI + 0.457(4635) = 2823
1690 kg (Comp)
IJ = 4635
แทนคา่ CH ในสมการที่ (2) จะได้

DI =

พจิ ารณาที่จุด J

H = 0

800 kg IJ cos - JK cos = 0

J 4635 cos15° - JK cos15° = 0
4635 cos15
  JK = cos15 = 4635 kg (Comp)

IJ = 4635 JK V = 0

DJ IJ sin + JK sin - DJ - 800 =0

4635 sin15° + 4635 sin15° - DJ - 800 = 0

DJ = 1200 + 1200 – 800 = 1600 kg (Comp)

ตัวอย่างที่ 3 จงคำนวณหาแรงภายในชิน้ สว่ นโครงข้อหมนุ ดังรูปดว้ ยวิธจี ุดต่อ (Mothod of Joint)

วธิ ีทำ หาแรงปฏกิ ิรยิ าทีจ่ ดุ รองรบั

600 kg MA = 0 +
400 kg C 400 kg (Rey x 8) – (200 x 8) – (400 x 6) – (600 x 4) – (400 x 2) = 0
200 kg 8Rey = 1600 + 2400 + 2400 + 800
200 kg B D
E Rey = 7200 = 900 kg.
A 30 H G F
8
4 @ 2.00 = 8.00 m.
Fy = 0 +
Ray + Rey – 200 – 400 – 600 – 400 – 200 = 0

Ray = 1800 – Rey = 1800 – 900

Ray = 900 kg.

พจิ ารณาทจี่ ดุ A

200 AB พจิ ารณาจดุ ต่อ A
A 30ฐ AH Fy = 0 +
900 – ABsin30 – 200 = 0

RA = 900 AB = 200 − 900

−sin 30

AB = 1400 kg. (แรงอัด)

Fx = 0 +
AH – ABcos30 =0

AH = ABcos30

= 1400cos30

= 1212 . 435 kg. (แรงดึง)

พิจารณาจดุ ตอ่ H HB Fy = 0 + Ans
AH = 1212.435 HB = 0

พิจารณาทจ่ี ุด B H HG Fx = 0 +
GH – AH = 0
GH – 1212.435 = 0

HG = 1212 . 435 kg. (แรงดงึ )

400
BC

30°
30° 60°
AB = 1400

BH = 0 BG

Fy = 0 + =0 (1)
BGsin60 + ABsin30 – BCsin30 – 400 =0
0.866BG + (1400 x 0.5) – 0.5BC – 400 =0
0.866BG – 0.5BC + 300

Fx = 0 +

- BGcos60 + ABcos30 – BCcos30 = 0

- 0.5BG + (1400 x 0.866) - 0.866BC = 0

- 0.5BG - 0.866BC + 1212.4 =0

BG = 0.866BC −1212.4 (2)
−0.5

BG = - 1.732BC + 2424.8

นำสมการที่ ( 2 ) แทนในสมการท่ี ( 1 )

( 0.866)(- 1.732BC + 2424.8) – 0.5BC + 300 = 0

-1.50BC + 2100 – 0.5BC + 300 =0

- 2BC = - 2400

BC = 1200 kg. (แรงอดั ) Ans

นำค่า BC แทนในสมการท่ี ( 2 )

BG = (- 1.732)(1200) + 2424.8

BG = 346.4 kg. (แรงอดั ) Ans.

พิจารณาท่จี ดุ C

600

30° 30°

BC = 1200 CD

CG

Fx = 0 +

- CDcos30 + BCcos30 =0
=0
- CDcos30 + 1200cos30

CD = −1200 cos 30
− cos 30
= 1200 kg. (แรงอัด) Ans.

Fy = 0 + =0
CG + BCsin30 + CDsin30 – 600 =0
CG + 1200sin30 + 1200sin30 – 600 = 600 – 600 – 600

CG

CG = - 600 kg. (แรงดึง) Ans.

ตัวอยา่ งที่ 4 จงคำนวณหาแรงภายในช้นิ ส่วนโครงข้อหมนุ ดังรูปดว้ ยวิธจี ดุ ตอ่ (Mothod of Joint)

หาแรงปฏิกรยิ าที่ฐานรองรับของโครงถัก
RAy = RBy = ( 1000+1000+1000 ) = 1500
2

พิจารณาจดุ C
เลอื กพจิ ารณาแนวทมี่ ีตัวไมทราบคา่ เพยี งตัวเดียวกอ่ น

∑Fy = 0 ; +
-1,000 – ( 3.5 / 4.03 ) CA = 0
-1,000 = ( 3.5 / 4.03 ) CA
-( 1,000 x 4.03 ) / 3.5 = CA
-1,151.43 = CA
∴ CA = 1,151.43 kg ( อดั ) #
∑Fx = 0 ; +
CD – ( 2 / 4.03 ) CA = 0

CD = ( 2 / 4.03 ) ( 1,151.43 )
CD = 571.43 ∴ CD = 571.43 kg (ดึง) #

พิจารณาจดุ A เลอื กพิจารณาแนวที่มตี วั ไมทราบค่าเพียงตวั เดียวก่อน

∑Fy = 0 ; +

1,500 – 1,000 + ( 3.5 / 4.03 ) AD = 0
( 3.5 / 4.03 ) AD = 1,000 – 1,500
AD = - (500 x 4.03 ) / 3.5
∴ AD = 575.71 kg ( อัด ) #
∑Fx = 0 ; +
AB = ( 2 / 4.03 ) ( 575.71 ) – 571.43
AB = -285.72 kg
∴ AB = -285.72 kg ( อัด ) #

พิจารณาจดุ D

∑Fy = 0 ; +

500– 1,000 – ( 3.5 / 4.03 ) DB = 0

-500 = ( 3.5 / 4.03 ) DB
- (575.71 x 4.03 ) / 3.5 = DB
- 575.71 = DB
∴ DB = 575.71 kg (อดั ) #

∑Fx = 0 ; +

285.71 – 571.43 + DE – ( 2 / 4.03 ) DB = 0

DE = 285.72 + ( 2 / 4.03 ) ( 575.71 )

DE = 571.43 kg

∴ DE = 571.43 kg (ดึง)_

.9 วธิ กี ารตัดรูปตดั (Method of Sections)

การคำนวณหาแรงภายในช้ินส่วนโดยวิธนี ้ี ทำโดยการสมมติโครงขอ้ หมนุ นั้นถูกตดั ด้วยระนาบใด
ระนาบหนึ่ง ผ่านชิ้นสว่ นต่าง ๆ ของโครงตลอดท้ังหน้าตดั โครงขอ้ หมนุ จึงถูกแบ่งออกเป็นสองสว่ น โดยแต่ละ
ส่วนของโครงข้อหมนุ อย่ใู นสภาวะสมดุลด้วยแรงหรอื น้ำหนักบรรทุกภายนอก หรอื ภายในช้ินส่วน แรง
ต้านทานภายในชิ้นสว่ นของโครงขอ้ หมุนสามารถคำนวณได้โดยอาศยั สมการสมดุล

ระนาบทีเ่ ลือกใหต้ ดั ผา่ นช้นิ สว่ นตา่ ง ๆ ของโครงข้อหมุนตลอดท้งั หนา้ ตัดน้ี จะตอ้ งเลือกให้ตดั ผา่ น
ช้ินส่วนต่าง ๆ ทยี่ งั ไม่รู้ค่าของแรงต้านทานภายในไมเ่ กนิ กวา่ 3 ชิ้น ทง้ั นีเ้ พราะสมการสมดุลมเี พียง 3 สมการ

เทา่ นั้น (คือ  H = 0,  V = 0 )

การเลือกใช้เง่ือนไข M = 0 ตอ้ งพจิ ารณาว่าจะใช้เง่ือนไขนี้ท่ีจดุ ใด จุดท่ีใชพ้ ิจารณาตอ้ งเปน็
จุดรวมของชิ้นส่วนตา่ ง ๆ ยกเว้นชิ้นส่วนที่ตอ้ งการหา จึงจะสามารถคำนวณหาแรงภายในของช้ินส่วนได้
เชน่ ต้องการหา แรงตา้ นทานภายในของชิน้ สว่ น JH ท่ีแสดงในรูป กต็ อ้ งเลือกระนาบ a – a ดดั ผ่านชิ้นส่วน

ต่าง ๆ ตลอดท้งั หน้าตัดจะได้ free body ของโครงขอ้ หมนุ เมื่อใชเ้ งือ่ นไข M = 0 ทจี่ ดุ C กจ็ ะ
คำนวณหาแรงตา้ นทานภายในชน้ิ สว่ น JH ได้

การหาทศิ ทางของแรงตา้ นทานในช้ินส่วนจะไดจ้ ากการพจิ ารณาว่าสว่ นของโครงขอ้ หมุนทีถ่ กู ตดั
ออกมานัน้ มแี นวโน้มท่จี ะเคลอ่ื นทข่ี ้ึนหรอื เคลือ่ นทล่ี งหรือหมุนตามเข็มนาฬกิ าหรอื ทวนเขม็ นาฬิกา ภายใต้แรง
กระทำหรอื นำ้ หนกั ภายนอก ทศิ ทางของแรงตา้ นทานภายในชนิ้ สว่ นจะอยู่ในทิศทางที่จะทำใหโ้ ครงข้อหมุนท่ี
กำลังพจิ ารณาน้ันอยู่ในสภาวะสมดลุ

ขอ้ ดีของวิธีการตัดรูป คือ ไมจ่ ำเป็นต้องเร่ิมตดั ที่ปลายโครงเสมอไป จะเลือกตัดตรงไหนกไ็ ดท้ ี่ตอ้ งการ
หาแรงภายในชน้ิ ส่วนนนั้ ๆ ซ่งึ ดีกว่าการตดั รปู รอบจุดต่อ เพราะบางครั้งอาจตอ้ งการทราบเฉพาะแรง
ภายในชิ้นส่วนใดช้นิ ส่วนหน่ึงเทา่ น้นั ถา้ ใชว้ ธิ กี ารตดั รอบจุดตอ่ ก็จะตอ้ งเร่ิมพิจารณาทจ่ี ุดต่อปลายโครง
กอ่ นแลว้ จึงพิจารณาจุดต่อถัดไปเขา้ มาจนกวา่ จะถงึ ชิน้ สว่ นท่พี ิจารณา ทำใหเ้ สียเวลามาก

a a
FGH F

A B a กC. D E A ขB. C
a

ตัวอยา่ ง 5 จงใชว้ ิธตี ัดรูปตดั (Method of Section) คำนวณหาแรงในชิ้นส่วน BC, HG และ BG

n D
BC

6 m.

AE

Hn G F

40 40 40
kN
kN kN
60 4 @ 8 m. = 32 m. 60
kN
วิธที ำ พจิ ารณารkูปNซา้ ยมือของเสน้ ตัด

B FBC

4

3 6 m.
A
5 FB
60 H GG
kN
8 FH
m. 8G
m.
40
kN

MG = 0 + , -6FBC - 60(16) + 40(8) = 0
MB = 0 FBC = -106.7
FBC = 106.7 (C)

+ , -60(8) + 6FHG = 0
FBC = 80 (T)

Fy = 0 + , 60 – 40 – 0.6FBG = 0
FBG = 33.3 (T)

Check :

Fx = 0 + , FBC + FHG + 0.8 FBG = 0
-106.7 + 80 + 0.8(33.3) = 0
-0.1 = 0 O.K.

ตัวอย่างท6่ี จงค านวณหาแรงภายในชิ้นสว่ นBC , FC , FG และ GC ของโครงถัก ซ่งึ รบั น้ าหนักดงั
รูป โดยวิธคี านวณสว่ นตดั (Section Method)

150 kg. 300 kg. 150 kg. 1.00
A 300 kg. G 300 kg. E 2.00
FH

BCD
4 @ 2.50 = 10.00 m.

วธิ ที า 300 kg. 150 kg.
หาแรงปฏกิ ริ ิยาทีฐ่ านรองรับ b 300 kg.

300 kg. G
a H

150 kg. F

A BC DE
RAy =600 kg. ab REy =600 kg.

R R 150 + 300 + 300 + 300 + 150
2 = 600 kg.
Ay = Ey =

1c 2c
2.5 2.5

c = (1)2 + (2.5) 2 c = (2)2 + (2.5) 2
c = 7.25 c = 10.25
c = 2.69 c = 3.20

พิจารณาตดั Section ทห่ี น้าตดั a – a

150 kg. 300 kg. 1 G 1.00
A 2.00
2.69 FG 2.5

FG 2.69 FG
F
FC

B BC C

RAy = 600 kg. 2.50
2.50

หาแรง BC ; ให้ F เปน็ จุดหมนุ

MF = 0 ;
(600  2.5) – (150  2.5) – (BC  2) = 0
1,500 – 375 = 2BC

1,125 = BC
2

562.5 kg. = BC
 BC = 562.5 kg. (ดงึ )

แตกแรง FG ใหอ้ ยใู่ นแนวแกนX และแกน Y

หาแรง FG ; ให้ C เปน็ จดุ หมนุ

MC = 0 ; 1 FG  2.5) + ( 2.5 FG  2) =0
(600  5) – (150  5) – (300  2.5) + ( 2.69 2.69

3,000 – 750 – 750 + 0.93FG + 1.86FG = 0

2.79FG = – 3,000 + 750 + 750

FG = − 1,500

2.79

FG = – 537.63 kg.
 FG = 537.63 kg. (อัด)

ใหก้ ลบั หวั ลกู ศรของแรงFG ท้งั หมด

1 (537.63)=199.86

300 kg. 2.69 .

.63 kg

150 kg. F FG=537 G 1.00
A 2.5 2.00
3.20 FC
2 2.5 (537.63)=499.66
FC FC
3.20 2.69

B BC C

RAy = 600 kg. 2.50
2.50

แตกแรง FC ให้อยใู่ นแนวแกนX และแกน Y
หาแรง FC ; ให้ B เปน็ จดุ หมุน

MB = 0 ;
(600  2.5) – (150  2.5) – (499.66  2) + ( 2.5 FC2) = 0

3.2

1,500 – 375 – 999.32 + 1.56FC = 0
1.56FC = – 1,500 + 375 + 999.32
FC = − 125.68

1.56

FC = – 80.56 kg.
FC = 80.56 kg. (อัด)

ใหก้ ลับหวั ลูกศรของแรงFC

พิจารณาตดั Section ทีห่ นา้ ตดั b – b

300 kg.
G 2.5 (537.63)=499.66
150 kg. 300 kg. 2.69 1.00
F GH=537.63
A 2.00
RAy = 600 kg. FC=8 1 H
0 (537.63)=199.86
2.69
.
GC
56

B BC=562.50 C