หน่วยที่8 ความเค้น

บทที่ 8
ความเคน้

บทท่ี 8
ความเคน้
(Stress)

8.1 ความหมายของความเค้น

ความเค้น หมายถึง แรงต้านทานของวัสดุต่อหน่วยพื้นที่ที่แรงกระทำ หรืออาจกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าเป็น

“กำลังภายในวัสดุ” ที่มีค่าเท่ากับแรงกระทำหารด้วยพื้นที่หน้าตัดของวัสดุที่รับแรง สัญลักษณ์จะใช้แทนด้วย

“” ศัพท์ทางวิชาการมักจะใช้คำว่า “หน่วยแรง” ดังนั้นในบทนี้หากกล่าวว่า “หน่วยแรง” ก็ให้เข้าใจว่าเป็น

“ความเค้น” ด้วยเช่นกันหน่วยของความเค้นจะมีหน่วยเป็น “หน่วยน้ำหนักต่อแรงกระทำ” เช่นในระบบ

องั กฤษ จะใช้ lb หรือ psi ในระบบ SI จะใช้ N/m2 ดังรูปที่ 6.1
in2

รูปท่ี 8.1 มวลวัสดุเม่ือมแี รงภายนอกมากระทำ

พจิ ารณาทอ่ นวัสดุ ในรปู ที่ 6.2 ท่ถี กู กระทำดว้ ยแรงดงึ ตามแนวแกน P ท่ปี ลาย ของวัสดุ
โดยไม่คิดนำ้ หนักของวสั ดุ แรง P จะทำใหท้ ่อนวัสดุยดื ตัว และพยายามทำใหข้ าดออกจากกัน (Rapture)
แตค่ วามพยายามน้จี ะถกู ตา้ นทานดว้ ยแรงภายในของวสั ดุ

รูปท่ี 8.2 ทอ่ นวสั ดถุ ูกกระทำด้วยแรงดงึ

รูปท่ี 6.3 ภาพแสดงหน้าตดั วสั ดุ

เพื่อที่จะมองเห็นภาพแรงภายในนี้ได้ชัดเจนมากยิ่งขึ้น ลองตัดท่อนวัสดุที่หน้าตัดใด ๆ แล้ว
พิจารณา free - body ของส่วนลา่ งของทอ่ นวัสดุ (รูปท่ี 6.3) จะเห็นว่าการทสี่ ว่ นนีจ้ ะอยู่ในสภาวะสมดุล
ได้ ต้องมีแรงภายใน เนื่องจากอนุภาคที่อยู่เหนือหน้าตัดขึ้นไปกระทำกับส่วนล่างของ หน้าตัด เพื่อต้านกับ
แรงภายนอก F ที่ หน้าตัดใด ๆ แรงภายในนี้จะเกิดทุก ๆ จุดบนหน้าตัด และถ้าการกระจายของแรง
เหล่านีส้ ม่ำเสมอทว่ั พ้นื ทหี่ น้าตดั แลว้ แรงภายนอก F = แรงภายใน F =  A

ในทน่ี ้ี A คอื พ้นื ทหี่ นา้ ตัดของทอ่ นวัสดแุ ละ  = F / A เป็นแรงภายในต่อหนึ่งหน่วย
พื้นที่เรียกว่า แรงเค้น (Stress หรือ Unit Stress) มีหน่วยเป็นปอนด์ต่อตารางนิ้วหรือกิโลกรัมต่อตาราง
เซนติเมตร แรงภายใน F นี้บางครั้งเรียกว่า total stress หรือ Stress resultant มีหน่วยเป็นปอนด์
หรือกโิ ลกรัมหรอื นิวตัน

โดยสรุปแล้วความเค้นคือ แรงต้านทานภายในของวัสดุที่พยายามต้านทานแรงภายนอกที่มากระทำ
เพื่อไม่ให้เกิดการเปลี่ยนแปลงขนาดรูปร่างของวัสดุนั้น แรงต้านทานภายในจะกระจายอย่างสม่ำเสมอบน
พื้นที่หน้าตัดของวัสดุที่รับแรงนั้น หรือแรงภายในต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ ที่วัสดุต่อต้าน (Internal Resisting
Force) แรงภายนอกที่มากระทำต่อวัสดุนั้น โดยมีแรงรวมเท่ากับแรงภายนอกแต่มีทิศทางตรงกันข้าม และ

หน่วยของความเค้นนั้นคิดได้จากอัตราส่วนของแรงที่กระทำภายนอกต่อหน่วยพื้นที่หน้าตัดขวางของวัสดุนั้น
นั่นคือ จะมีหน่วยเป็น นิวตันต่อตารางเมตร กิโลกรัมต่อตารางมิลลิเมตร และปอนด์ต่อตารางนิ้วเป็นต้น
ลักษณะของความเคน้ ท่ีเกดิ ขนึ้ นนั้ จะขนึ้ อยกู่ บั ลักษณะของแรงภายนอกที่มากระทำ

8.2 ชนดิ ของความเคน้ และสูตรการหาความเค้น

8.2.1 ความเคน้ ดงึ (Tensile Stress) เกิดขน้ึ เมือ่ วัสดุอยูภ่ ายใตแ้ รงดึงซ่ึงแนวแรงมที ศิ ทางตง้ั
ฉากกับพ้นื ท่หี นา้ ตัด ตอ่ พนื้ ทห่ี น้าตดั น้ัน

ในสภาวะสมดุล พจิ ารณาในทศิ ทางต้งั ฉากกับพ้นื ท่หี น้าตัด

แรงภายใน = แรงภายนอก (8.1)
σt dA = dP

ผลรวมของแรงตลอดพื้นทห่ี นา้ ตดั

A σt dA =  dP (8.2)
t × A =
= P
ดังน้ัน t P
A

รูปที่ 8.4 ทอ่ นวสั ดุรบั แรงดึง

8.2.2 ความเค้นอัด (Compressive Stress) เกิดขึ้นเมื่อวัสดุอยู่ภายใต้แรงอัด ซึ่งแนวแรงมีทิศทางตั้ง

ฉากกับพื้นท่หี น้าตดั ต่อพื้นท่หี น้าตดั น้นั

ในสภาวะสมดลุ ย์ พจิ ารณาในทิศทางตงั้ ฉากกับพ้ืนท่ีหนา้ ตดั

พิจารณาทำนองเดยี วกันกบั ความเค้นดงึ

แรงภายใน = แรงภายนอก

σC dA = dP (8.3)

ผลรวมของแรงตลอดพน้ื ทหี่ นา้ ตัด

A σC dA =  dP (8.4)
c × A =
= P
ดงั นัน้ c P
A

รปู ที่ 8.5 ท่อนวัสดุรับแรงอัด

8.2.3 ความเคน้ เฉอื น (Shear Stress) เกิดขนึ้ เม่อื วสั ดอุ ยู่ภายใต้แรงเฉอื น ซงึ่ มีทิศทางขนานกับ
พื้นที่หน้าตัด ต่อพื้นที่หน้าตัดนั้น พิจารณาเมื่อมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ โดยพยายามทำให้วัตถุขาด
ออกจากกันตามแนวระนาบที่ขนานกับทิศทางของแรง จะเกิดแรงภายในต้านทานแรงภายนอกบนระนาบนั้น
เราเรียกแรงภายในน้ีวา่ แรงเฉือน (Shear Force) เม่ือหารแรงนีด้ ้วยพนื้ ท่ีหนา้ ตัดทร่ี บั แรงหรอื ตา้ นทานแรง
นจ้ี ะไดค้ ่า แรงเค้นเฉือน (Shear Stress)ในสภาวะสมดุลย์ พจิ ารณาในทิศทางตั้งฉากกบั พ้ืนทีห่ นา้ ตดั

พจิ ารณาเดียวกันกบั ความเคน้ ดงึ จะไดค้ วามสมั พันธร์ ะหว่างความเคน้ เฉือนกับแรงเฉอื นดงั น้ี

= V (8.5)
A

ค่าแรงเฉือนที่คำนวณได้นี้เป็นเพียงค่าเฉลี่ยเท่านั้น (โดยสมมุตว่าค่าแรงเฉือนกระจายอย่าง
สม่ำเสมอทั่วหน้าตัดที่รับแรง) แต่ในความเป็นจริงแล้วการกระจายของแรงเฉือนอาจจะอยู่ยากกว่านี้แล้วแต่
กรณี

ในกรณีที่เป็นแรงดึงและแรงอัด พื้นที่หน้าตัดที่รับแรงจะตั้งฉากกับทิศทางของแรง แต่ในกรณีแรง
เฉือนพืน้ ท่หี นา้ ตัดที่รบั แรงจะขนานกับทศิ ทางของแรง

รูปท่ี 8.6 วสั ดรุ ับแรงเฉอื น

8.3 การคำนวณหาความเคน้

ตัวอย่าง 1 ลวดเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 mm. นำมาใช้แขวนวัตถุมวล 80 kg จงหาความเค้นดึงในเส้น
ลวด ?

วิธีทำ

จากสตู ร t = P
A
เมื่อ P = 80 x 9.81 = 784.8 N

พน้ื ที่ A = π D2 = 3.1416 mm2
4

แทนคา่ t = 784.8 / 3.1416

= 249.809 N/mm2 #

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาความเค้นดึงในเส้นลวดขนาดเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง 2 mm. อยูภ่ ายใต้แรงดงึ 150 N มคี า่
เท่ากับเท่าไร

วิธีทำ

จากสูตร t = P
A
เมอ่ื P = 150 N

พน้ื ท่ี A = π D2 = 3.1416 mm2
4

แทนค่า t = 150 / 3.1416

= 47.746 N/mm2 #

ตัวอย่างท่ี 3 สายเบรคของรถยนต์ซึง่ มีขนาดเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง 12 mm. เมอ่ื ทำการเบรคจะต้องใช้แรง
ดงึ 2 kN จงหาความเคน้ ดึงมีค่าเท่ากบั เทา่ ไหร่ ?

วิธีทำ

จากสูตร t = P
เมอ่ื A
P= 2 x 103 N
113.097 mm2
พนื้ ท่ี A =  D2 =
2 x 103 / 113.097
4 17.684 N/mm2

แทนคา่ t =
=
#

ตัวอย่างท่ี 4. แท่งคอนกรีตมพี ื้นทีห่ น้าตัด 0.01 ม2 และมแี รง 10000 N อดั ตามแกน จงหา Compressive
Unit Stress (c ) ที่เกิดขนึ้ ในคอนกรีต

วธิ ที ำ c = P
A
จากสตู ร P = 10000 N

เม่ือ A = 0.01 m2
พื้นท่ี
แทนค่า c = 10000 / 0.01
= 1000 KN /m2
#

ตัวอยา่ งท่5ี ท่อเหล็กกลวงมีขนาดเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางภายนอก 200 มิลลิเมตร มีเส้นผา่ นศนู ย์กลางภายใน 120
มิลลเิ มตร โดยมีแรงอดั กระทำกับทอ่ เหล็กกลวงเท่ากบั 230 กิโลนวิ ตนั จงคำนวณหาคา่ ความเค้นอดั ท่เี กดิ ข้ึน
ในท่อเหล็กกลวงชนิ้ นี้

วธิ ที ำ จากสูตร c = F
A
โจทย์กำหนด F = 230103 N

( )A =   2002 −1202 = 20,106,.193mm2
4

แทนค่า c = 230103 N = 11.44 N
20,106.193mm2 mm2

ตวั อยา่ งท่ี 6 ในการใชห้ มุดยำ้ เด่ยี วขนาดเสน้ ผา่ ศูนย์กลางเทา่ กับ 20 มม. เพอ่ื ต่อใหช้ ิ้นสว่ นนร้ี บั
แรงดึง 25 kN. จงหาคา่ ความเค้นเฉือนท่ีหมุดยำ้

วิธที ำ

คำนวณหาคา่ ความเค้นเฉอื นทีเ่ กิดขนึ้ บนหมดุ ยึด ในการยำ้ หมุดท่สี มบรู ณ์ จะทำใหข้ นาดของเส้นผา่ น

ศนู ย์กลางของหมดุ ยำ้ ขยายตวั ออกเต็มรเู จาะ ซึง่ รเู จาะนจ้ี ะตอ้ งโตกว่าขนาดของหมุดย้ำเลก็ น้อย ในที่นข้ี นาด

ของรเู จาะใหญก่ วา่ ขนาดของหมุดย้ำเทา่ กบั 1.5 มม.

จากสตู ร τ = V
แทนค่าหนว่ ยแรงเฉอื นของหมดุ ย้ำ A
251000N.
τ = π
4 (21.5)2mm.2

τ = 68.86 N./mm. 2

นั่นคือ หนว่ ยแรงเฉือนทีห่ มดุ ย้ำ = 68.86 N./mm. 2 #

ตวั อยา่ งที่7 จากรปู จงหาความเคน้ เฉอื นสูงสดุ มีค่าเทา่ ใด โดยออกแบบให้ขาดออกเพราะแรงเฉอื น กำหนดให้
ขนาดเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง 25 มลิ ลิเมตร แรงกระทำเท่ากับ 120 กโิ ลนวิ ตนั ทำใหเ้ หล็กขาดออก

วธิ ีทำ เน่อื งจากเป้นความเค้นเฉือนแบบระนาบคู่ (Double Shear Stress)

จากสตู ร = F
2A

โจทย์กำหนด F =120103 N

A =   d 2 =   (15mm)2 = 176.714mm2

44

แทนค่า  = 120103 N = 339.531 N #
2 176.714mm2 mm2

ตวั อยา่ งที่8 จงหา Shearing Unit Stress ทีเ่ กิดขนึ้ ตามรูป
800 N

0.1 m.

0.125 m.

800 N

วิธที ำ จากสูตร 3 = P3 / A3
P = 800 N
= .0125 N/m2
= (.10) (.125)

3 = 800 / 0.0125
= 6.4 (10)4 N/m2 #