หน่วยที่10 โมดูลัสความยืดหยุ่น.

หน่วยท่ี 10
โมดูลัสยืดหย่นุ

หนว่ ยที่ 10
โมดลู สั ยดื หยุน่
(Modulas of Elasticity)

ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งความเค้น และความเครยี ด
คือความสมั พันธท์ ่เี กดิ ขน้ึ ระหวา่ งความเค้น และความเครยี ด ความสมั พนั ธ์นจี้ ะเกดิ ข้ึนกต็ ่อเมอื่ วัสดุถูก

แรงกระทำจนความเค้นเพมิ่ ข้นึ ความเครียดกจ็ ะเพิ่มขน้ึ ดว้ ย หรือความเครียดเพมิ่ ข้ึนความเคน้ กจ็ ะเพม่ิ ข้นึ ตาม
ไปด้วย

อัตราส่วนความเค้นต่อความเครยี ดจะเปน็ สดั ส่วนแบบเชงิ เสน้ ถงึ ค่าหน่ึงจากนนั้ กจ็ ะไม่เป็นเชิงเส้น (วัสดุ
จะเร่มิ เขา้ สูก่ ารเสียรูปจากรปู ร่างเดมิ จนกระทั่งพงั ) วสั ดทุ เี่ ป็นโลหะจะมคี วามสัมพนั ธค์ วามเคน้ ตอ่ ความเครียด
เปน็ ค่าคงท่ีค่าหนงึ่ โดยวสั ดุแต่ละชนดิ จะมีคา่ นี้ไม่เท่ากัน

โดยทั่วไปในงานวิศวกรรมโยธา วิศวกรนิยมใช้เหล็กเหนียว (Mild Steel) มาทำ หรือประกอบเป็น
ชิ้นส่วนของโครงสร้าง ในการทดสอบโดยการดึงนั้น จะทำให้เกิดความเค้นและความเครียดในชิ้นทดสอบ
จากนั้นเมื่อนำค่าทั้งสองมาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ โดยให้ค่าทางแกนนอนแทนความเครียด แกนต้ัง
แทนความเค้น แผนภาพนี้จึงเป็นแผนภาพความเค้นความเครียด (Stress - Strain Diagram) แต่ในการ
ทดสอบจริงนั้น แผนภาพที่เขียนจากเครื่องนั้นจะเป็นแผนภาพของแรงกับการยืด ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับ
แผนภาพความเคน้ กบั ความเครียด สำหรบั ความสัมพันธ์ระหว่างความเคน้ กับความเครียดของเหลก็ ดงั กลา่ ว ได้
แสดงไวใ้ นรปู ท่ี 10.1

รูปท่ี 10.1 แสดงกราฟความสมั พันธร์ ะหว่างหน่วยความเคน้ กบั ความเครยี ด

จากรปู ที่ 10.1 แผนภาพความเคน้ กับความเครียด จะมสี ่วนต่าง ๆ ทส่ี ำคญั แสดงถงึ คณุ สมบัติทาง
กลของวสั ดเุ ป็นชว่ ง ๆ ดังรูป

1) ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความเค้นกับความเครยี ดเปน็ เส้นตรง
ที่กราฟเปน็ เสน้ ตรง แสดงว่าความเคน้ เป็นภาคโดยตรงกบั ความเครียด หรอื อาจกลา่ วอีกนยั ว่า
แรงดงึ เปน็ ภาคโดยตรงกบั ส่วนที่ยืดออก และวัสดยุ งั คงลกั ษณะตามกฎของฮกุ

2) พกิ ัดความเป็นสดั สว่ น (Proportional Limit)
หมายถึง ค่าความเค้นสูงสดุ ท่วี สั ดรุ บั ไว้ได้ โดยทคี่ วามเค้นยังเป็นสดั สว่ นโดยตรงกับความเครยี ด
เปน็ จุดสดุ ท้ายท่ีความสมั พันธ์ดังกล่าวเป็นเสน้ ตรง หลงั จากจุดนี้แล้ว ความเค้นจะไมเ่ ปน็ ภาคโดยตรงกับ
ความเครียดอกี ตอ่ ไป

3) พกิ ดั ความยดื หยนุ่ (Elastic Limit)
หมายถงึ พฤติกรรมของวสั ดุท่ีไดร้ ับความเคน้ ซึง่ อยูภ่ ายในชว่ งของการคนื รูป ไมเ่ กิดการแปร
รูปอยา่ งถาวร คือเมือ่ ปลอ่ ยแรงดึง วัสดกุ จ็ ะหดสสู่ ภาพเดิม ในการทดสอบบางคร้ังการท่ีจะกำหนดพิกดั ความ
ยืดหยุ่นในกราฟทำได้ยาก เพราะโลหะหรอื วัสดบุ างชนิดจะมีพิกัดความยืดหยุ่นเกือบจะเปน็ จุดเดยี วกนั กับใน
กราฟ แต่โดยสว่ นมากแล้วพกิ ดั ความยดื หยนุ่ จะอยเู่ หนอื พิกดั ความเป็นสัดส่วนเล็กน้อย หรอื เป็นจดุ สดุ ท้ายท่ี
ความยาวของวัสดุ จะกลบั มายาวเท่าเดมิ ได้ เมื่อปล่อยแรงจากจุดน้ี วสั ดุเปน็ แบบยืดหยุน่

4) จดุ คราก (Yield Point)
เม่อื วัสดไุ ด้รับแรงกระทำเกินพกิ ัดความยดื หยนุ่ ก็จะเกดิ การแปรรปู อยา่ งถาวรจนถงึ จดุ ๆ หน่ึง
ที่ทำใหว้ สั ดุแปรรูปงา่ ยคือ อัตราการยืดตวั จะสูงกว่าตอนแรกเมือ่ เปน็ เชน่ น้ีวัสดจุ ะยืดออกทั้ง ๆ ทค่ี วามเคน้
คงท่ี จงึ เรยี กจดุ นวี้ า่ จุดครากบน (Upper Yield Point) สำหรบั เหล็กกล้าแลว้ ในชว่ งนี้จะมอี ตั ราการยืดตวั
สงู มาก เร็วกว่าแรงดงึ ขณะทดสอบจะเพิม่ ขึน้ ได้ทัน จงึ เหมอื นว่าใช้แรงดงึ นอ้ ยกว่าเดิม จึงมจี ดุ ครากลา่ ง
(Lower Yield Point) เป็นจุดทว่ี สั ดยุ ดื ตัวออกโดยไมต่ อ้ งเพิ่มแรง จุดน้สี ังเกตได้ชดั เจน สำหรบั เหล็กเหนยี ว
ส่วนวสั ดอุ นื่ จะไมม่ วี สั ดนุ ี้

5) ความเคน้ คราก (Yield Stress)
หมายถึงความเค้นทจี่ ุดคราก และความเค้นนจ้ี ะทำให้วสั ดแุ ปรรูปอยา่ งถาวรและดำเนินต่อไป
ด้วยความเค้นเกือบคงท่ี สำหรบั เหลก็ กลา้ จะมีทัง้ ความเค้นครากบน (Upper Yield Stress) และความเคน้
ครากล่าง (Lower Yield Stress)
6) ความแขง็ แรงสูงสดุ (Ultimate Strength)
หมายถงึ ความเคน้ สูงสุด (Maximum Stress) ที่วสั ดรุ บั ไวไ้ ด้ก่อนทีจ่ ะขาด แตก หรอื หัก
ในทางวศิ วกรรมบางทกี เ็ รยี กวา่ ความแขง็ แรงดึงสงู สดุ (Ultimate Tensile Strength) ความแขง็ แรงอดั
สงู สุด (Ultimate Compressive Strength) แลว้ แตล่ กั ษณะแรงทมี่ ากระทำกบั วสั ดุน้ัน ถ้าดูในแผนภาพ
ความเคน้ ความเครียดของเหล็กกลา้ จะพบวา่ คา่ ความแขง็ แรงสงู สุด จะอยทู่ จี่ ุดสงู สุดของกราฟ ถดั จากจดุ น้ี
ไปคา่ ความเค้นจะลดลงไปเร่อื ย ๆ และจะเร่มิ สงั เกตเหน็ ว่าจะเกิดการคอคอดของพน้ื ทีห่ นา้ ตัด

7) จดุ ขาด (Breaking Point)
เป็นจดุ ทวี่ ัสดุขาดออกจากกนั และเรยี กความแขง็ แรงทจ่ี ุดแตกหกั นว้ี า่ Breaking Strength
เราสามารถเขียนเปน็ สมการ ตามคำนยิ ามของเซอร์โรเบริ ์ต ฮุค ไดด้ งั น้ี

กฎของฮคุ = แรง ไดเ้ ป็นค่าคงท่คี า่ หนึ่ง
ระยะยืดตวั

และเมอื่ พจิ ารณาในรปู ของ คา่ หนว่ ยแรงกบั คา่ หน่วยการยืดหดตัวจะได้

กฎของฮคุ = หนว่ ยแรง ไดเ้ ปน็ คา่ คงที่คา่ หนงึ่
หนว่ ยการยื ดหดตวั

10.2 กฎของฮุก (Hook’s Law)

เมื่อ ค.ศ. 1678 เซอร์โรเบิร์ต ฮุค (Sir Robert Hook) ชาวอังกฤษได้ค้นพบว่าในช่วงขีดจำกัดของ
สัดสว่ นความยืดหยนุ่ ของวสั ดุ หรือช่วงอลี าสติก คา่ ของความเค้นจะเป็นปฏิภาคกับความเครยี ด หรอื หนว่ ยแรง
ดึงจะเปน็ ส่วนกับระยะยดื ตวั

10.2.1 กฎของฮกุ (Hook’s Law)
จากผลการทดลองครั้งน้ัน Hooke ไดแ้ สดงความสัมพนั ธ์ของคา่ ตา่ ง ๆ ไว้ดังน้ี

แรง = ค่าคงท่ี (Constant)
สว่ นทย่ี ืดออก = คา่ คงท่ี (Constant)

หรอื
ความเค้น
ความเครยี ด

1) สำหรบั การดงึ และการอดั ค่าคงทข่ี องวสั ดุ เรียกว่า โมดูลัสของความยดื หย่นุ
(Modulus of elasticity or Young’s Modulus) , E เป็นค่าตวั คณู คงท่ขี องวัตถุ

ความเค้น = โมดลู ัสของความยืดหยนุ่
ความเครียด

σ =E (10.1)
ε
P/A
δ /L = E

 = PL (10.2)
AE
จากสมการ 8.1 โมดลู สั ของความยืดหยุ่น คอื ค่าความชนั ของรูปที่แสดงถงึ ความสมั พันธร์ ะหวา่ ง

ความเค้นกบั ความเครียด เฉพาะในส่วนทเ่ี ป็นปฏิภาคโดยตรงเท่านนั้ โมดลู สั ของความยดื หยุ่นนนั้ เปน็ คา่ ท่ี

สำคัญอย่างมากในการวิเคราะหโ์ ครงสร้าง และพจิ ารณาถึงสภาพภายหลงั การรบั น้ำหนัก ถ้าพิจารณาจาก

สมการ 8.2 สำหรับวัสดุ 2 ชนดิ ท่ีมคี ่าโมดูลสั ของความยืดหยุน่ ตา่ งกนั ถ้าภายใต้ของแรงภายนอก P เดียวกัน

วัสดทุ มี่ คี า่ โมดูลัสของความยืดหยนุ่ มากกว่า จะมกี ารยืดตวั นอ้ ยกว่าวัสดุที่โมดูลสั ของความยืดหยนุ่ ตำ่ กวา่

2) สำหรบั การเฉอื นคา่ คงทข่ี องวสั ดุ เรยี กว่า โมดูลัสของความแกรง่ (Modulus of rigidity)

, G ซงึ่ มคี วามสัมพันธด์ ังแสดงไดใ้ นสมการตอ่ ไปนี้

ความเค้นเฉอื น = โมดูลัสของความแกรง่
ความเครียดเฉือน

τ =G (10.3)
γ
จากสมการ 10.3 โมดูลัสของความแกร่งมคี วามสัมพันธ์ทำนองเดยี วกนั กับโมดูลสั ของความยดื หยุ่น

และมีความสำคัญในการวเิ คราะห์โครงสร้างทร่ี ับแรงบิดและแรงเฉือนต่อช้นิ สว่ นขอโครงสรา้ งนัน้ ๆ

เชน่ เดียวกัน

10.3 คา่ โมดลู ัสยดื หยุ่น (Modulas of Elasticity)

ค่าโมดูลัสยืดหยุ่นเป็นค่าคงที่ค่าหน่ึงซึงจะเป็นค่าตัวเลขใดๆ ที่ได้จากการหารกันของค่าความเค้นและ
ความเครียดนั้นแล้วมีชื่อเรียกว่า ค่าโมดูลัสยืดหยุ่น (Modulas of Elasticity) หรือค่าโมดูลัสของยังก์
(Young’s Modulas) ใชส้ ญั ลักษณ์ E และเมอ่ื แทนสญั ลักษณ์นล้ี งไปในสมการกฎของฮุคจะได้

แรง =E
ระยะยืดตวั
σ
และ หน่วยแรง = E =
หน่วยการยืดหดตัว ε

เม่ือแทนหน่วยแรงและหน่วยการยืดตัวดว้ ยค่าต่างๆ เม่ือวสั ดุรับแรงตามแนวแกน

จะได้ E = P / e
A l

นัน่ คือ E= Pl
Ae

และ e= Pl
AE

หน่วยของค่าโมดูลัสยดื หยุ่นจะเปน็ แรงต่อพ้ืนท่ี คือ kg./cm.2 ksc.
• ในมาตราเมตรกิ จะมีหนว่ ยเปน็ กโิ ลกรัม/ซม.2 N./mm.2 kN./m.2
• ในมาตราสากล จะมหี น่วยเป็น นวิ ตัน/มม.2 lb./in.2 psi.
• ในมาตราองั กฤษ จะมีหน่วยเป็น ปอนด/์ นิ้ว2

ค่าโมดลู สั ยืดหยนุ่ ใชใ้ นการคำนวณโครงสร้างอาคาร เชน่ หาความแขง็ แรงของเสาเหลก็ และการโก่งตัว

ของคาน ซง่ึ คา่ โมดูลัสยดื หยุน่ ของเหล็กทีใ่ ช้ในงานโครงสร้างจะมีค่าดังน้ี

2000 – 21000 ตนั /ซม.2

2  106 – 2.1  106 กก./ซม.2

195  109 – 210  109 นิวตนั /มม.2

30  109 ปอนด/์ ฟ.2

ค่าโมดูลัสยืดหยุ่นดังที่กล่าวมาแล้วนั้น จะเป็นค่าที่พิจารณาเฉพาะ (ช่วง) ที่กราฟเป็นเส้นตรงเท่านั้น

คือ นับจากจุด 0 ถึงจุด A (จุดขอบเขตของการได้สัดส่วนกัน หรือจุดขีดจำกัดยืดหยุ่น) ดังนั้นค่าโมดูลัส

ยดื หยนุ่ น้ีจึงเปน็ คา่ เฉพาะของวัสดุแตล่ ะชนิดๆ ไป ไม่เท่ากนั

ตวั อยา่ งท1ี่ 0.1

เสาเหลก็ รับโครงสรา้ งอาคารมพี นื้ ท่ีหน้าตัด 270 ตารางมลิ ลเิ มตร มคี วามยาวเสาเท่ากับ 2.8 เมตร

และรบั แรงกระทำ 120 กิโลนวิ ตนั โดยกำหนดให้คา่ โมดลู สั ออฟ อีรสั ติกซิตต้ี (Modulus of Elasticity ; E)

320 จิกะนิวตัน/ตารางเมตร อยากทราบว่าเหลก็ จะหดตัวลงไปเปน็ ระยะเท่าใด

วิธีทำ จากสตู ร L = F  L0

AE

L = (120103 N )(2.8103mm)

( )270mm2   320 109 N 
 mm2 

L = 3.8mm #

ตัวอยา่ งที่10.2

แท่งเหลก็ มพี ้ืนท่ีหนา้ ตัด 350 ตารางมิลลเิ มตร ความยาว 4 เมตร โดยมีแรงกระทำ 47 กิโลนิวตนั และทำ

ใหแ้ ท่งเหลก็ ยดื ออก 4 มลิ ลเิ มตรจงคำนวณหาคา่ โมดูลัส ออฟ อีรัสติกซติ ต้ี (Modulus of Elasticity ; E)

วธิ ที ำ จากสูตร E= F  L0

A L

E= (47103 N )(4m)
( ) ( )3.510−4 m2  410−3 m

E= 1.3431011 N #
m2

ตัวอยา่ งที่ 10.3

จากการทดสอบดึงแท่งเหล็กขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 12 มม. ที่ความยาวระยะเกจ 50 มม. ด้วย

แรง 6000 kN. แทง่ เหล็กยดื ออก 4 มม. จงคำนวณหาคา่ หนว่ ยแรงดึง ค่าหนว่ ยการยดื ตัว และคา่ โมดูลสั

ยดื หยุ่นทเี่ กดิ ข้นึ

6000 kN 6000 kN

6000 kN

วิธีทำ 1. คำนวณหาคา่ หนว่ ยแรงดึง σt = P
แทนคา่ หนว่ ยแรงดึง σt = A
6000 kN.1000
2. คำนวณหาค่าหนว่ ยการยืดตวั = π
แทนคา่ หน่วยการยดื ตัว εt = 4 (12)2mm.2
εt =
3. คำนวณหาคา่ โมดลู ัสยดื หยุน่ 53051.6 N./mm 2
แทนค่าโมดูลัสยืดหยุ่น =
E= e
l
E= 4 mm.
= 50 mm.
0.08

σ
ε
53051.6N./mm.2
0.08

663145.5 N./mm 2 #

ตวั อย่างที่ 10.4
เสาไม้ขนาดหน้าตัด 15  15 ซม. รับน้ำหนักกดจากคานเท่ากับ 3200 kN. ทำให้เสาซึ่งมีความ

ยาว 2.70 ม. ยบุ ตัวลงมา 5 มม. จงคำนวณหาค่าหนว่ ยแรงอดั และ โมดลู สั ยืดหยุ่น

วิธที ำ 1. คำนวณหาค่าหนว่ ยแรงอดั σc = P
แทนค่าหน่วยแรงอดั σc = A
3200kN.1000
= (150150)mm.2
141.3 N./mm 2

2. คำนวณหาคา่ หนว่ ยการหดตัว εc = e
แทนคา่ หนว่ ยการหดตัว εc = l

3. คำนวณหาค่าโมดูลสั ยืดหยนุ่ = 5 mm.
แทนคา่ โมดูลัสยืดหยุ่น E= 2.701000 mm.
E=
0.00185
= σ
ε
141.3 N./mm.2

0.00185
76367.8 N./mm 2

หรอื คำนวณหาค่าโมดูลัสยดื หยนุ่ E = Pl
Ae

แทนค่าโมดูลสั ยืดหยุ่น E = (32001000)(2.70 1000 mm.)
(150 15 0)(5 mm.)

= (32001000N.)(2.71000mm)
(150150 mm2 )(5mm)

นัน่ คือคา่ โมดลู สั ยืดหยนุ่ ทีเ่ กดิ ขึน้ = 76800 N./mm.2 #

ตัวอย่างท่ี 10.5
เหล็กเส้นก่อสร้างขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 19 มม. ยาว 120 ซม. แขวนน้ำหนักขนาด 750 N.

เมื่อกำหนดให้ค่าโมดูลัสยืดหยุ่นของเหล็กเป็น 7600 N./mm 2 จงคำนวณหาค่าหน่วยแรงดึง ค่าหน่วยการ
ยืดตวั และระยะยืดตัวของเหลก็ แขวนนี้

วธิ ที ำ 1. คำนวณหาคา่ หน่วยแรงดงึ σt = P
= A
แทนคา่ หน่วยแรงดึง σt 750 N.
π
4 (19)2mm.2

= 2.6 N./mm 2 ตอ

2. คำนวณหาคา่ หนว่ ยการยืดตัว

จาก E = σ
จะใช้หน่วยการยดื ตวั ε
2.6 N/mm2
ε = σ = 7600 N/mm2

E

น่ันคอื หน่วยการยืดตัว = 0.00034 #

3. คำนวณหาระยะยืดตัวของแท่งเหล็กแขวน PL
จาก e = AE

แทนค่าระยะยดื ตวั e= π (750 N.)(1.201000 mm.)
 4
(19)2 mm.2  7600 N/mm2 


นน่ั คือระยะยดื ตัว = 0.35 mm. #