หน่วยที่6 แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด.

หนว่ ยท6่ี
แรงเฉอื นและโมเมนตด์ ดั

หนว่ ยท่6ี
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

เม่ือคานถกู กระทำดว้ ยแรงหรอื นำ้ หนกั และโมเมนตด์ ดั ภายนอก จะทำให้เกิดความเคน้ ข้ึนภายในคาน ใน
การทีจ่ ะหาขนาดของความเคน้ ทีห่ นา้ ตัดใดๆ ของคาน จงึ จำเปน็ ทีจ่ ะตอ้ งสามารถคำนวณหาแรงและโมเมนต์ท่ี
เกิดขน้ึ ท่ีหน้าตดั นัน้ ใหไ้ ด้เสียก่อนโดยการใช้สมการของการสมดลุ ทางสถิตศาสตร์

แรงเฉอื น (Shearing force) คือคานที่จะทำใหแ้ รงนี้ถกู เฉอื นขาดในแนวดิ่งปกตแิ รงเฉือนน้ีจะมีผลตอ่ การ
เฉอื นขาดของวสั ดทุ ่ใี ชท้ ำคานในงานโครงสร้างต่างๆ มาก

โมเมนต์ (bending moment) คอื โมเมนต์ดัดทเ่ี กิดขน้ึ อนั เนอ่ื งมาจากแรงเฉือนทกี่ ระทำต่อคาน โมเมนต์
ดัดน้ีเองที่จะพยายามใหค้ านทีร่ บั แรงเฉอื นนั้นโค้งงอจนไมส่ ามารถท่จี ะใชง้ านต่อไปได้

ไดอะแกรมของแรงเฉือน (shear force diagram) เขียนย่อว่า SFD. คือแผนภาพท่แี สดงความสัมพันธ์
ระหวา่ งแรงเฉือนกับความยาวของคานโดยทจ่ี ดุ ทางด้านซา้ ยมอื ของคานเปน็ จุดเรมิ่ ต้นค่าทางแกน x จะเป็น
ระยะทางทว่ี ัดไปตามความยาวของคานนนั้ ตั้งแต่ทางด้านซา้ ยมอื สดุ ของคานนน้ั ต้ังแต่ทางด้านซา้ ยมือถงึ
ทางด้านขวามือสุดของคานน้นั และค่าแกน y จะเป็นคา่ ของแรงเฉือนในแนวดิ่งท่หี นา้ ตัดใดๆ ของคานนั้น

ไดอะแกรมโมเมนตด์ ัด (bending moment diagram) เขยี นย่อวา่ BMD. คือแผนภาพที่แสดง
ความสมั พนั ธร์ ะหว่างโมเมนต์ดดั กับความยาวของคานนน้ั โดยทีจ่ ดุ ทางดา้ นซา้ ยมอื สดุ ของคานเปน็ จุดเริ่มตน้
ค่าทางแกน x จะเปน็ ระยะทางทีว่ ดั ไปตามความยาวของคานนัน้ ตั้งแต่ทางดา้ นซ้ายมือสดุ ของคานนน้ั ต้งั แต่
ทางดา้ นซ้ายมอื ถงึ ทางด้านขวามอื สดุ ของคานนั้น และคา่ แกน y จะเป็นค่าโมเมนต์ดดั ทหี่ น้าตดั ใดๆ ของคาน
นน้ั

การพจิ ารณาเคร่ืองหมาย
กรณแี รงเฉอื น ในการพจิ ารณาให้พจิ ารณาคานทางด้านซา้ ยมอื สุดเป็นจุดเร่มิ ตน้ แล้วคิดในดา้ นซ้ายมือ
ของคาน แรงใดที่มที ิศทางขนึ้ เชน่ แรงปฏิกริ ยิ าของคานชว่ งเดียวนนั้ ให้มีเครอื่ งมือเป็นบวก ( + ) และแรงใดท่ี
มีทศิ ทางลงล่าง เชน่ น้ำหนักท่ีกระทำกบั คานใหม้ เี คร่ืองหมายเปน็ ลบ ( - ) เครื่องหมายเหลา่ นีจ้ ะกลับกนั ถา้
หากการพิจารณาเร่ิมจากทางขวามอื ไปทางซา้ ยมอื

V V

V V

แรงเฉือนเปน็ บวก แรงเฉือนเปน็ บวก

กรณขี องโมเมนต์ดดั ในการพิจารณาความหมายของโมเมนต์ดัดน้นั เราจะพจิ ารณาได้โดยให้โมเมนต์ดดั ใดก็
ตามทที่ ำให้คานเกิดการแอน่ ตวั หรอื โกง่ งอลงดา้ นล่าง หรือเกดิ อาการถูกดึงไปทางด้านล่างของอาคาร หรือเกิด
อาการถกู อดั ทางด้านบนของคาน ใหโ้ มเมนตด์ ัดเป็นบวก ( + ) ได้แก่ โมเมนตด์ ดั ของคานชว่ งเดยี ว

F M+
อัด MM

Ry ดึง Ry โมเมนต์ดัดเปน็ บวก

และถ้าโมเมนต์ดัดใดๆ ก็ตามทท่ี ำให้คานนนั้ เกิดการโกง่ งอข้ึนด้านบน คอื เกิดอาการถูกดึงทางด้านบนของ
คาน หรือเกิดอาการถกู อัดทางดา้ นล่างของคานให้โมเมนต์ดัดเป็นลบ ( - ) ได้แกโ่ มเมนต์ของคานยน่ื เปน็ ตน้

ดึง MM
F M-

อัด โมเมนต์ดัดเปน็ ลบ

การเขยี นไดอะแกรมของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ดั
หลักการเขยี นไดอะแกรมของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ัดโดยทั่วไปจะแบ่งหนา้ กระดานออกเปน็ 2 สว่ น ตาม
ความยาวของหนา้ กระดาษ จดุ ประสงคเ์ พ่ือใหท้ างซา้ ยมอื เขียนรูปแสดงนำ้ หนัก (Loading Diagram ; LD.)
รูปทางอิสระ (Free Body Diagram ; FBD) รูปแสดงแรงปฏกิ ริ ยิ า (Reaction Diagram ; RD.) รปู แสดงแรง
เฉือน (Shear Force Diagram ; SFD.) และรปู โมเมนต์ดดั (Bending Moment Diagram ; BMD.)
ส่วนทางดา้ นซ้ายมอื เขียนรายการคำนวณ แรงปฏิกิรยิ า คา่ แรงเฉอื น และคา่ โมเมนต์ดัด
ขน้ั ตอนในการเขียนไดอะแกรมแรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั
1. เขียนรูปแสดงน้ำหนกั (Loading Diagram ; LD.) แสดงลักษณะของคานและนำ้ หนกั ท่กี ระทำตามโจทย์
2. เขียนรูปแสดงแรงปฏิกริ ยิ า (Reaction Diagram ; RD.) แสดงแรงปฏกิ ริ ยิ าทจี ุดรองรับเน่ืองจากน้ำหนัก

กระทำตามโจทย์

3. คำนวณหาแรงปฏิกิริยาโดยใช้สมการสมดุล ( Fx = 0 , Fy = 0 , M = 0)
4. เขียนรปู ทางอสิ ระ (Free Body Diagram ; FBD) และสมการหาแรงเฉือนและโมเมนตด์ ัด
5. นำค่าแรงเฉอื นทไี่ ด้มาเขยี นรปู แรงเฉอื น (Shear Force Diagram ; SFD.) โดยเรม่ิ จากทางดา้ นซ้ายมือ

และค่าแรงเฉอื นที่จุดสดุ ทา้ ยจะมีค่าเป็นศนู ย์เสมอ

6. นำค่าโมเมนตท์ ไี่ ดม้ าเขยี นรปู โมเมนตด์ ดั (Bending Moment Diagram ; BMD.) โดยเรม่ิ จากทางดา้ น
ซา้ ยมือ และคา่ โมเมนต์ดดั จุดสุดท้าย จะมคี า่ เป็นศนู ยเ์ สมอ แตใ่ นบางกรณี เช่น คานปลายยน่ื จะตอ้ ง
เขยี นรปู โมเมนตด์ ดั (Bending Moment Diagram ; BMD.) จากปลายคานมายังจดุ รองรับเสมอ

ขอ้ สังเกต ในการเขียนรูปแรงเฉือน (Shear Force Diagram ; SFD.) และเขยี นรปู โมเมนต์ดดั (Bending
Moment Diagram ; BMD.)
1. กรณที แ่ี รงกระทำเป็นจุด (Point Load)

F

AB

FL FL/4
2 BMD.

0

F
SFD. 2

ลักษณะ Shear Force Diagram (SFD) จะเปน็ เสน้ ตรงตามแนวดง่ิ
ลักษณะ Bending Moment Diagram (BMD) จะเปน็ เสน้ ตรงเอียงซ้ายหรอื เอยี งขวา
2. กรณไี มม่ ีแรงกระทำ (No Load)
ลกั ษณะ Shear Force Diagram (SFD) จะเป็นเสน้ ตรงในแนวราบ
ลกั ษณะ Bending Moment Diagram (BMD) จะเปน็ เสน้ ตรงเอียง

3. กรณีทมี่ ีแรงแผก่ ระจายสมำ่ เสมอ (Uniformly Distributed Load)

w
AB

wL L
2
wL2/8

0

wL 0

ลักษณะ Shear Force DiaSFgDra. m (SFD) จะเป็นเ2สน้ ตรงท่มี คี วามลาดเอยี ง BMD.
ลักษณะ Bending Moment Diagram (BMD) จะเปน็ เสน้ โคง้ พาราโพลาแบบราบเรียบ

4. กรณีที่นำ้ หนกั แผก่ ระจายในทางเพิม่ ขนึ้ หรอื ลดลง (Uniformly Vartying Distributed Load)

w

A B

L wL2
L 9ึ 3
ึ3

SFD. BMD.

ลกั ษณะ Shear Force Diagram (SFD) จะเป็นเสน้ โค้งพาราโพลาทม่ี คี วามราบเรยี บ
ลักษณะ Bending Moment Diagram (BMD) จะเป็นเสน้ โคง้ ท่ีมคี วามราบเรยี บ

5. แรงเฉือนมคี ่าเป็นศูนย์ โมเมนต์ดดั จะมีคา่ สงู สุดและตำ่ สดุ

รปู ภาพ6.1 แรงเฉือนและโมเมนตด์ ดั ในคาน

ตวั อยา่ งท่ี 1 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดดั พรอ้ มท้ังเขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั

50 kN

AC B หาแรงปฏิกริ ิยา
3 m. 3 m.
50 kN [ Ma = 0 + ]
(Rby  6) − (503) = 0

Rby =  50  3 
 6 

Rby = 25 kN

[ Fy = 0 + ]

Ray = 25 Rby = 25 Ray + Rby − 50 =0

Ray = 50 - 25

25 Ray = 25 kN
+0
พิจารณาแรงเฉือน ( SFD )
−
VA = Ray = 25 kN.
25 VC = 25 – 50 = - 25 kN.

SFD.

75 VB = - 25 + 25 = 0

+0 พจิ ารณาโมเมนต์ดดั ( BMD )
BMD. MA = 0
MC = 25 x 3 = 75 kN – m.
MB = (25 x 6) – (50 x 3) = 0

ตวั อยา่ งที่ 2 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ัด พรอ้ มท้ังเขยี นแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั

หาแรงปฏกิ ริ ยิ า

20 kN 40 kN 80 kN [ Ma = 0 + ]

AC D EB (Rby  6) − (201) − (40 3) − (80 5) = 0
1 m. 2 m. 2 m. 1 m.
Rby = (20 1) + (40  3) + (80  5)
6

Rby = 90 kN.
Fy = 0 +

20 kN 40 kN 80 kN =Ray + Rby − 20 − 40 − 80 0
Ray = 20 + 40 + 80 - 90

Rax Ray = 50 kN.

Ray = 50 FBD Rby = 90 พจิ ารณาแรงเฉอื น ( SFD)
VA = Ray = 50 kN
50 VC = 50 – 20 = 30 kN.
30 VD = 30 – 40 = - 10 kN.

+ 0 VE = - 10 – 80 = - 90 kN.
VB = - 90 + 90 = 0
10
-

SFD. พจิ ารณาโมเมนตด์ ดั (BMD)
MA = 0 = kN - m.
110 90 MC = 50 x 1 = 50 kN - m.
50 + 90 MD = (50 x3) – (20 x2) = 110 kN - m.
ME = (50 x5) – (20 x4) – (40 x2)
0
= 90 kN - m.
BMD. MB = (50 x6) – (20 x5) – (40 x3) – (80 x1)

= 0 kN - m.

ตัวอย่างที่ 3 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ดั พรอ้ มทงั้ เขียนแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั

300 kN/m 150 kN หาแรงปฏิกิรยิ า
CD [ Ma = 0 + ]
(Rby 8) − (150 6) − (300 4 2) = 0

4.00 m 2.00 m 2.00 m Rby = (300  4  2) + (150  6)
8.00 m 8

300 kN/m 150 kN Rby = 412.5 kN.

Rax = 0 Fy = 0 +

= 0Ray + Rby −150 − (3004)

Ray = 150 + 1200 – 412.5

Ray = 937.5 kN.
Ray = 937.5 FBD Rby = 412.5 พจิ ารณาแรงเฉือน (SFD)

937.5 VA = Ray = 937.5 kN
VC = 937.5 – (300 x4) = -262.5 kN.

VD = - 262.5 - 150 = -412.5 kN.

+ 262.5 0 VB = - 412.5 + Rby = - 412.5 + 412.5
SFD =0
X = 3.125 -
พจิ ารณาโมเมนตด์ ัด (BMD)
412.5 MA = 0 = kN - m.
MC = (937.5 x 4) – (300 x 4 x 2)

1464.844 = 1350 kN - m.
1350 MD = (937.5 x 6) – (300 x 4 x 4)

825 = 825 kN - m.
MB = (937.5 x 8) – (300 x 4 x 6) – (150 x

2) +

0 = 0 kN - m.
Mmax = (937.5 x 3.125)–(300 x3.125 x
BMD
3.125 )
2

= 1464 . 844 kN - m.

ตัวอยา่ งท่ี 4 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดดั พรอ้ มท้งั เขยี นแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ดุ ต่าง ๆ

80 kN/m 40 kN/m หาแรงปฏกิ ิรยิ า
40 kN/m D [ Ma = 0 + ]
B (Rby 10) − (40 21) − (80 4 4) − (4048) =
AC

0

2m 4m 4 m. Rby = (40  2 1) − (80  4  4) − (4048)
40 kN/m 10
80 kN/m
40 kN/m Rby = 264 kN.

[ Fy = 0 + ]

Rax = 0 Ray + Rby − (402) − (804) − (404) = 0

Ray = 296 Rby = 264 Ray = 80 + 320 + 160 – 264
Free body diagram Ray = 296 kN.

296 216 พิจารณาแรงเฉอื น (SFD)

x = 4.7 104 VA = Ray = 296 kN
SFD 0 VC = 296 – (40 x 2) = 216 kN.
803.6 736
264 VD = 216 – (80 x 4) = -104 kN.
512 VB = - 104 – (40 x4) + Rby = -104 – 160 - 264

=0

พิจารณาโมเมนต์ดัด (BMD)

MA = 0 = kN - m.

MC = (296x2) – (40 x2 x1)

0 = 512 kN - m.
MD = (296x6) – (40x2x5) – (80x4x2)
BMD = 736 kN - m.

MB = (296x10) – (40x2x9) – (80x4x6) – (40x4x2)

= 0 kN - m.

Mmax = (296 x 4.7) – (40 x2 x 3.7) – (80 x 2.7 x 2.7 )
2
= 803.6 kN - m.

ตวั อยา่ งท่ี 5 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ัด พร้อมท้งั เขียนแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ุดตา่ ง ๆ

240 kN/m. หาแรงปฏิกิรยิ า

120 kN/m. 200 kN/m. [ Ma = 0 + ]
B (Rby  6) − (120 31.5) − (240 3) − (20034.5) =
0 A

3.00 m. 3.00 m. Rby = (120  31.5) + (240  3) + (20034.5)
6

Rby = 660 kN.

240 kN/m. [ Fy = 0 +]
=Ray + Rby − (1203) − 240 − (2003)
120 kN/m. 200 kN/m. Ray = 360 + 240 + 600 - 660 0

Rax = 0

Ray = 540 Rby = 660 Ray = 540 kN.

พจิ ารณาแรงเฉือน (FSD)

540 VA = Ray = 540 kN
VCL = 540 – (120x3) = 180 kN.
+ 180 0 VCR = 180 – 240 = - 60 kN.

60 - VB = - 60 - (200 x 3) + Rby = - 60 – 600 + 660

SFD =0
660 พจิ ารณาโมเมนต์ดดั (BMD)

1080 MA = 0 = kN - m.
MC = (540 x 3) – (120 x 3 x 1.5)

= 1080 kN - m.

+ MB = (540x6) – (120x3x4.5) – (240x3) –
0 = 0 kN - m.
(200x3x1.5)

BMD

ตวั อย่างที่ 6 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ดั พรอ้ มท้ังเขียนแรงเฉือนและและโมเมนต์ดดั ทจ่ี ดุ ต่าง ๆ

300 kg 150 kg หาแรงปฏิกริ ิยา
[ Ma = 0 + ]
100 kg/m. (Rby 8) − (300 3) − (150 6) − (10046) = 0
A C DB
Rby = (300  3) + (150  6) + (10046)
3 m. 1 m. 2 m. 2 m. 8
300 kg 150 kg
100 kg/m. Rby = 525 kN.
[ Fy = 0 + ]
Rax = 0 =Ray + Rby − 300 −150 − (1004) 0
Ray = 300 + 150 + 400 – 525
Ray = 325 Free body diagram Rby = 525 Ray = 325 kN.

325 พจิ ารณาแรงเฉือน (SFD)
VA = Ray = 325 kN
+ 25 175 - 0 VC = 325 - 300 = 25 kN.
325 525 VDL = 25 – (100 x 2) = - 175 kN.
- VDR = -175 – 150 = - 325 kN
VB = - 325 - (100 x2) + 525 = 0
x = 4.25 m. พิจารณาโมเมนตด์ ดั (BMD)
MA = 0 kN - m.
SFD MC = (325 x 3) = 975 kN - m.
MD = (325 x 6) – (300 x 3) - (100 x 2 x 1)
975 1003.125
850 = 825 kN - m.
MB = (325 x 8) – (300 x 5) - (100 x 4 x 2)
+
– (150 x 2) = 0 kN - m.
0

BMD

Mmax = (325 x4.25) – ( 300 x 1.25) - (100 x 0.25 x 0.25 )
2
= 1003.125 kN - m.

ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาคา่ ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด พรอ้ มทง้ั เขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ัด

1.) 90 kN/m3. 00 kN/m. หาแรงปฏกิ ริ ยิ า
100 kN/m. 150 [ Ma = 0 + ]
kN/m. (6.0 x Rby)-(100 x 3.0 x 1.5)-(150 x 3.0 x 4.5)

A CD B

1.50 m. 1.50 m. 3.00 m. - (90 x 1.5) - (300 x 3.0) = 0

300 kN/m. Rby = 450 + 2025 +135 + 900 = 585 kN
90 kN/m.
100 kN/m. 150 kN/m. 6.00

Rax = 0 [ Fy = 0+ ]
Ray + Rby -(100 x 3.0)-(150 x 3.0) - 300 - 90 = 0

Ray + 585 -300 - 450 -300 - 90 = 0

Ray = 555 kN FBD Rby = 585 kN Ray = 555 kN
พจิ ารณาแรงเฉอื น (SFD)
555 kN 405 kN 0 VA = Ray = 555 kN
315 kN VC = 555 - (100 x 1.5) - 90 = 315 kN
+ - VD = 315 - (100 x 1.5) - 300 = -135 kN
165 kN VB = -135 - (150 x 3.0) + 585 = 0
0 135 kN พิจารณาโมเมนต์ดดั (BMD)

SFD 585 kN MA = 0 kN - m

1080 kN-m MC = (555 x 1.5) = 720 kN-m
720 kN-m MD = (555x 3.0) - (100 x 3.0 x 1.5) - (90 x 1.5)

= 1080 kN-m

+ MB = (555 x 6.0) - (100 x 3.0 x 4.5)
- (90 x 4.5) - (300 x 3.0) - (150 x 3.0 x 1.5)

0 =0

BMD

ตัวอย่างท8ี่ . จงหาค่าของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด พร้อมเขียนแรงเฉอื นและและโมเมนต์ดัดทจี่ ุดต่าง ๆ

40 kN 80 kN หาแรงปฏิกริ ิยา
40 kN Ma = 0 +

AC DE (Rby 10) − (40 2) − (80 6) − (4012) = 0
B
Rby = (40  2) + (80  6) + (4012)
2m 4m 4 m. 2 m 10

Rby = 104 kN.

Fy = 0 +

40 kN 80 kN 40 kN =Ray + Rby − 40 − 80 − 40 0
Rax = 0 C D Ray = 40 + 80 + 40 - 104

E Ray = 56 kN.

Ray = 56 Free body diagram Rby = 104 พิจารณาแรงเฉอื น (FSD)
VA = Ray = 56 kN

56 VC = 56 – 40 = 16 kN.
+ 16 40 VD = 16 – 80 = - 64 kN.

+ 0 VB = - 64 + Rby = - 64 + 104 = 40 kN.
VE = 40 – 40 = 0

-

พิจารณาโมเมนต์ดัด (BMD)

64 MA = 0 = kN - m.

112 SFD MC = (56 x 2) = 112 kN – m
176 MD = (56 x 6) - (40 x 4) = 176 kN - m.
MB = (56 x 10) – (40 x 8) – (80 x 4) = -80 kN -
+
m. ME = (56 x 12) – (40 x 10) – (80 x 6) +
(104 x 2) 0

-

80 = 0 kN - m

BMD

ตวั อย่างท่ี 9 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ดั พร้อมท้ังเขียนแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ดุ ต่าง ๆ

หาแรงปฏิกริ ิยา

40 kg/m 150 kg [ Ma = 0 + ]
A C
(Rby  4) − (150 2) + (401 0.5) = 0
1m 2 m 2 m. B Rby = (150  2) − (40 1 0.5)

4

Rby = 70 kg.

40 kg/m 150 kg [ Fy = 0 + ]
Ray + Rby −150 − (401) = 0
Rax = 0 Ray = 150 + 40 - Rby = 150 + 40 – 70

Ray = 120 Rby = 70 Ray = 120 kg.

Free body diagram พจิ ารณาแรงเฉอื น (SFD)

80 VAL = -(40 x 1) = - 40 kg

VAR = - 40 + Ray = - 40 + 120 = 80 kg

+ VC = 80 – 150 = - 70 kg.

0 VB = - 70 + Rby = - 70 + 70 = 0 kg.
- พจิ ารณาโมเมนต์ดัด (BMD)
20 - MA = (40 x 1 x 0.5) = - 20 kg - m.

70 MC = - (40 x 1 x 2.5)+(120 x 2) = 140 kg – m

SFD MB = - (40 x 1 x 4.5)+(120 x 4) – (150 x 2)

140 = 0 kg - m.

+ 0

-

40 BMD

ตัวอยา่ งที่ 10 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ัด พรอ้ มเขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั ท่ีจุดตา่ ง ๆ

หาแรงปฏกิ ริ ิยา
80 kN [ Ma = 0 + ]
40 kN/m

A C (Rby  4) − (40 4 2) − (80 6) = 0
B Rby = (40  4  2) + (80  6)
4

4 m 2 m Rby = 200 kN.

40 kN/m [ Fy = 0 + ]
80 kN Ray + Rby − (404) − 80 = 0

Rax = 0 Rby = 200 Ray = 160 + 80 - Rby = 160 + 80 – 200
Ray = 40 Ray = 40 kN.
พจิ ารณาแรงเฉอื น (FSD)

Free body diagram VA = Ray = 40 kN.
40 kN 80 kN VBL = 40 – (40 x 4) = - 120 kN.

VBR = -120 + Rby = - 120 + 200 = 80 kN.
0 VC = 80 – 80 = 0 kN.

x = 1 m พจิ ารณาโมเมนตด์ ัด (BMD)

120 kN MA = 0 = kN - m.
SFD MB = (40x4) – (40x4x2) = - 160 kN - m.
20 MC = (40x6) – (40x4x4) + (200x2) = 0 kN - m.
+ 0 Mmax = (40 x1x 0.5) = 20 kN - m

-

160
BMD

ตวั อยา่ งท่ี 11 จงหาคา่ ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด พร้อมท้งั เขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั

1.) 600 kN/m หาแรงปฏิกริ ยิ า
A B
C [ Ma = 0 + ]
(5.00 x Rby)-(600 x 7.00 x 3.50) = 0

5.00 m 2.00 m (5.00 x Rby) - (14700) = 0
4200 kN Rby = 14700 = 2940 kN

5.00

[ Fy = 0+ ]

Rax = 0 Rby = 2940 kN Ray + Rby - (600 x 7.00) = 0
Ray = 1260 kN Ray + 2940 - 4200 = 0
Ray = 1260 kN

FBD พิจารณาแรงเฉือน (SFD)

1260 kN 1200 kN VA = Ray = 1260 kN
0+ VBL= 1260 - (600 x 5.00) = -1740 kN
0 VBR= -1740 + 2940 = 1200 kN

x = 2.10 m - VC = 1200 - 1200 = 0
พจิ ารณาโมเมนตด์ ดั (BMD)
1740 kN

SFD MA = 0 = kN - m
MB = (1260 x 5.00) - (600 x 5.00 x 2.50)

Mmax=1323 kN-m = -1200 kN-m

MC = (1260 x 7.00) - (600 x 7.00 x 3.50)

+ + (2940 x 2.00) = 0

0 0 Mmax = (1260 x 2.10) - (600 x 2.102 )

-2

= 1323 kN-m

1200 kN-

BMD

ตวั อย่างที่ 12 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดัด พร้อมทั้งเขยี นแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั ท่ีจดุ ตา่ ง

ๆ

หาแรงปฏิกิริยา
200 kg 100 kg [ Ma = 0 + ]

A B C Ma − (200 2) − (100 4) = 0
2 m. 2 m. Ma = 400 + 400

Ma = 800 kN.

[ Fy = 0 + ]

Rax = 0 Ma = 800 200 kg 100 kg =Ray − 200 −100 0
A BC Ray = 300

Ray = 300 Free body diagram พิจารณาแรงเฉอื น (FSD)
VA = Ray = 300 kN.
VB = 300 – 200 = 100 kN.
VC = 100 – 100 = 0 kN.
พิจารณาโมเมนต์ดัด (BMD)

300 100 MA = - 800 kN - m.
MB = - 800 + (300 x 2) = - 200 kN – m
+ 0 MC = - 800 + (300 x 4) - (200 x 2) = 0 kN - m.

SFD

0

- 200
800 BMD

.

ตัวอย่างท่ี 13 . จงหาคา่ ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดดั พรอ้ มเขยี นแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั ทจี่ ดุ ต่าง ๆ

หาแรงปฏกิ ริ ิยา

150 kg/m. [ Ma = 0 + ]
A B Ma − (150 4 2) = 0

4 m. Ma = (150 4 2)
Ma = 1200 kg.

Ma = 1200 150 kg/m. [ Fy = 0+ ]
Rax = 0 A B Ray - (150 x 4) = 0

Ray = 600 kg.

Ray = 600 Free body diagram พิจารณาแรงเฉอื น (FSD)
VA = Ray = 600 kg.

600 VB = 600 – (150 x 4) = 0 kg..
พิจารณาโมเมนต์ดัด. (BMD)

0 MA = - 1200 kg - m.

SFD MB = - 1200 - (150 x 4 x2) + (600 x 4)

= 0 kg - m.

0

1200
BMD

ตัวอย่างท่ี 14 . จงหาค่าของแรงเฉือนและโมเมนตด์ ัด พร้อมเขียนแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ัดทจ่ี ุดต่าง ๆ

200 kg. หาแรงปฏิกิริยา
150 kg/m. [ Ma = 0 + ]
A B Ma − (150 4 2) − (200 2) = 0

2 m. 2 m. Ma = (150 4 2) + (200 2)
4 m. Rby = 1600 kN.
[ Fy = 0 + ]

200 kg. Ray − (1504) − 200 = 0
Ma = 1600 150 kg/m. Ray = (1504) + 200
A B Ray = 800 kN.
Rax = 0 พิจารณาแรงเฉอื น (FSD)

Ray = 800 VA = Ray = 800 kN.
Free body diagram VCL = 800 – (150 x 2) = 500 kN.
VCR = 500 – 200 = 300 kN.

800 500 VB = 300 – (150 x 3) = 0 kN.
300 พจิ ารณาโมเมนตด์ ัด (BMD)

0 MA = - 1600 kN - m.

SFD MC = - 1600 - (150 x 2 x 1) + (800 x 2)
= - 300 kN - m.
0 MB = - 1600 - (150 x 4 x 2) - (200 x 2) + (800 x 4)

300 = 0 kN - m

1600 BMD

ตัวอย่างที่ 15 . จงหาคา่ ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดดั พรอ้ มเขยี นแรงเฉือนและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ุดตา่ ง ๆ

100 kg 200 kg หาแรงปฏิกริ ิยา

A B C 150 kg - m.[ Ma = 0 + ]
Ma − (1001.5) − (200 3) −150 = 0

1.5 m. 1.5 m. =Ma 150 + 600 +150

Ma = 900 kN.

100 kg 200 kg [Fy = 0 + ]
B 150 kg - mR. ay − 200 −100 = 0
Ma = 900 Ray = 300
A C
Rax = 0

Ray = 300 พิจารณาแรงเฉอื น
Free body diagram
VA = Ray = 300 kN.
300 200 VBL = 300 kN.
VBR = 300 – 100 = 200 kN.
+ 0 VCL = 200 kN
VCR = 200 – 200 = 0 kN.
SFD พิจารณาโมเมนตด์ ัด

0 MA = - 800 kN - m.
- 150 MB = - 800 + (300 x 2) = - 200 kN – m
MC = - 800 + (300 x 4) - (200 x 2) = 0 kN – m
450

900 BMD

ตัวอย่างท่ี 16 . จงหาคา่ ของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดัด พรอ้ มเขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนต์ดดั ทจ่ี ุดต่าง ๆ

200 kg - m. หาแรงปฏิกิรยิ า
B
100 kg/m. [ Ma = 0 + ]
A 200 kg - m.
B ( ) = 0Ma −  3.5
3.5 m. 100 3.5 2 − 200

( )=Ma   3.5
100 3.5 2 + 200

Ma = 812.5 100 kg/m. Ma = 812.5 kg.

Rax = 0 A [ Fy = 0 + ]

Ray - (100 x 3.5) = 0

Ray = 350 Free body diagram Ray = 350 kg.

พิจารณาแรงเฉอื น (FSD)

350 0 VA = Ray = 350 kg.
SFD VB = 350 – (100 x 3.5) = 0 kg..
พจิ ารณาโมเมนต์ดดั .(BMD)
MA = - 812.5 kg - m.

MB = - 812.5 + (100 x 3.5 x 3.5 ) + 200
02
200 = 0 kg - m.

812.5
BMD

ตวั อย่างท่ี 17 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดัด พร้อมเขียนแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ดุ ต่าง ๆ

250 kg. หาแรงปฏิกิรยิ า
150 kg - m. [ Ma = 0 + ]
A B Ma − (250 4) −150 = 0

2 m. 2 m. Ma = (250  4 ) + 150
4 m. Rby = 1150 kN.
[ Fy = 0 + ]

Ma = 1150 150 kg - 250 kg. Ray − 250 = 0
B Ray = 250
Rax = 0 A Ray = 250 kN.

Ray = 250 พิจารณาแรงเฉอื น ( SFD)
Free body diagram
VA = Ray = 250 kN.
250
VBL = 250 kN.
+ VBR = 250 – 250 = 0 kN.
พจิ ารณาโมเมนตด์ ัด (BMD)
SFD
0 MA = - 1150 kN - m.
- 500 MCL = - 1150 + (250 x 2) = - 650 kN - m.
650
0 MCR = - 1150 + (250 x 2) + 150 = - 500 kN - m.
1150 MB = -1150+ (250 x 4) + 150 = 0 kN - m
BMD

ตัวอย่างที่ 18 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ัด พรอ้ มเขียนแรงเฉือนและและโมเมนต์ดัดทีจ่ ดุ ตา่ ง ๆ

150 kN 150 kN หาแรงปฏกิ ริ ยิ า

200 kN/m [ Ma = 0 + ]
CD
( 8) (150 2)  2004 4   (150 6)
Rby  −  −  2 +2   − 
 

2.00 m 4.00 m 2.00 m =0
8.00 m
Rby = (150  2) + (200  4  4) + (1506)
150 kN 150 kN 8

Rax = 0 200 kN/m Rby = 550 kN.

[ Fy = 0 + ]

Ray + Rby −150 − (2004) −150 = 0

Ray = 550 FBD Rby = 550 Ray = 550 kN.
พจิ ารณาแรงเฉอื น (FSD)

VA = Ray = 550 kN

550 400 VCL = 550 kN.
VCR = 550-100 = 400 kN.
+ 0 VDL = 400 - (200x4) = -400 kN.
VDR = -400 - 150 = -550 kN.
X=4 - VBL = -550 kN.
400 550 VBR = -550 + Rby = -550+550 = 0

SFD พจิ ารณาโมเมนต์ดัด (BMD)

MA = 0 kN - m.

MC = (550x2) = 1100 kN - m.

1500 MD = (550x6) - (150x4) - (200x4x 4 )
1100 1100 2

+ = 1100 kN-m.

0 MB = (550x8) - (150x6) - (200x4x  4 + 2  )
 2 

BMD - (150x2) = 0 kN - m.
Mmax = (550x4) – (150x2) – ( 200 2 2 ) = 1500 kN - m.
2

ตัวอย่างที่ 19 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนตด์ ัด พร้อมเขียนแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั ทจ่ี ดุ ตา่ ง ๆ

10 kN 10 kN 10 kN หาแรงปฏิกริ ยิ า
CA D 20 kN/m BE [ Ma = 0 + ]
1m 1m (Rby  4) − (20 4 2) − (10 2) − (105) + (101) = 0
2m 2m
Rby = (20  4  2) + (10  5) − (101)
4

Rby = 50 kN.

10 kN 10 kN [ Fy = 0 + ]
Rax = 0 20 kN/m 10 kN Ray + Rby − (204) −10 −10 = 0

Ray = 80 + 10 + 10 - Rby = 100 - 50
Ray = 50 kN.

Ray = 55 Rby = 55 พิจารณาแรงเฉอื น (SFD)

Free body diagram VC = -10 kN.
45 VAL = -10 kN.
VAR = -10 + Ray = -10 + 55 = 45 kN.
10 +5 10 VDL = 45 - (20x2) = 5 kN.
5 0 VDR = 5 - 10 = - 5 kN.
VBL = - 5 - (20 x 2) = - 45 kN.
- VBR = -45 + Rby = - 45 + 55 = 10 kN.
VEL = 10 kN.
x = 2 m 45 VER = 10 - 10 = 0 kN.
พิจารณาโมเมนต์ดดั (BMD)
SFD MC = 0 kN - m.
40 MA = -(10x1) = - 10 kN - m.

+ MD = -(10x3)+(55x2)–(20x2x 2 ) = 40 kN - m.
2
0

--

10 10

BMD

MB = -(10x5)+(55x4)–(20x4x 4 )–(10x2) = -10 kN - m.
2

ME = - (10x6)+(55x5)–(20x4x  4 + 1 )–(10x3)+(55x1) = 0 kN - m.
 2

ตัวอย่างท่ี 20 . จงหาค่าของแรงเฉอื นและโมเมนต์ดัด พรอ้ มเขยี นแรงเฉอื นและและโมเมนตด์ ดั ทจี่ ดุ ต่าง ๆ

100 kg. 100 kg หาแรงปฏิกริ ิยา
200 kg/m. C B [ Ma = 0 + ]
A Ma − (1001.5) − (100 3) − (20031.5) = 0

=Ma 150 + 300 + 900

1.5 m. 1.5 m. Ma = 1350 kN.

3 m. [ Fy = 0 + ]

100 kg. 100 kg Ray −100 −100 − (2003) = 0
B Ray = 800
Ma = 1350 200kg/m. C พิจารณาแรงเฉอื น (SFD)
A VA = Ray = 800 kN.
Rax = 0

Ray = 800 VCL = 800 – (200x1.5) = 500 kN.
Free body diagram VCR = 500 –100 = 400 kN.
VBL = 400 – (200x1.5) = 100 kN.
800 500 400 VBR = 100 – 100 = 0 kN.
พจิ ารณาโมเมนต์ดัด (BMD)
100 0 MA = - 1350 kN - m.

SFD MC = - 1350 +(8001.5) - (200x1.5x 1.5 )
2
0 = - 375 kN – m
375
MB = - 1350 + (800 x 3) -(100 x 1.5) -(200 x 3 x 3 )
2
= 0 kN - m.

1350
BMD