คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

คณิณิต ณิณิ ศาสตร์ร์ค ร์ร์ อมพิพิว พิพิ เตอร์ร์ ร์ร์ (Computer Mathematics) รหัสวิชวิา 20204-2003

สารบัญ หน่วน่ ยการเรียรี นรู้ที่รู้ที่1 ระบบจำ นวน วิวัวิ ฒวั นาการของระบบจำ นวนและตัวตั เลข โครงสร้าร้ งของระบบจำ นวน จำ นวนจริงริจำ นวนเต็มต็จำ นวนธรรมชาติจำ นวนตรรกยะจำ นวนอตรรกยะหน่วน่ยการเรียรีนรู้ที่รู้ที่2 ระบบเซตความหมายของเซตวิธีวิเธีขียขีนเซตประเภทของเซตสับสัเซตเอกภพสัมสัพัทพัธ์แธ์ละแผนภาพของเวนต์-ต์ ออยเลอร์ ความสัมสั พันพั ธ์รธ์ ะหว่าว่งเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบสิ หก หน่วน่ ยการเรียรี นรู้ที่รู้ที่3 ระบบเลขฐาน นิยนิ ามของระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานต่าต่ง ๆการแปลงเลขฐานต่าต่ง ๆ เป็นป็ เลชฐานสิบสิ การแปลงเลขฐานสิบสิ ไปยังยั เลขฐานต่าต่ง ๆ การคูณคู ในระบบเลขฐานต่าต่ง ๆ หน่วน่ ยการเรียรี นรู้ที่รู้ที่4 การคำ นวณเลขฐาน การบวกในระบบเลขฐานต่าต่ง ๆการลบในระบบเลขฐานต่าต่ง ๆการปฏิบัฏิติบักติารของเซตการหารในระบบเลขฐานต่าต่ง ๆหน่วน่ยการเรียรีนรู้ที่รู้ที่5 ตรรกศาสตร์เร์ บื้อบื้ งต้นต้ นิยนิ ามของประพจน์ ประพจน์ผน์ สม ประพจน์ผน์ สมแบบสัจสั นิรันิ นรั ดร์ และแบบขัดขั แย้งย้ ประพจน์สน์ มมูลมู 2223455889 1011121414151617202321 2225262627

สารบัญ (ต่อ) หน่วน่ ยการเรียรี นรู้ที่รู้ที่6 พีชพี คณิตณิ บูลีบู น ลี และวงจรตรรกะ วงจรตรรกะและประตูตตู รรกะ พีชพี คณิตณิ บูลีบู น ลี สมบัติบั ต่ ติ าต่ง ๆ ของพีชพี คณิตณิ บูลีบู น ลี 323738

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่1 ระบบจำจำจำจำนวน

ระบบจำ นวน 2 โครงสร้างของระบบจำ นวน มนุษนุย์รู้ย์จัรู้กจัการใช้สัช้ญสัลักลัษณ์บณ์งบอกปริมริาณตั้งตั้แต่ยุต่คยุหินหิชาวสุเสุมเรียรีน ปั้นปั้ดินดิเหนียนีวให้เห้ป็นป็ รูปรูต่าต่ง ๆ ใช้แช้ทนตัวตัเลข และการปั้นปั้เป็นป็ภาษาที่เ ที่ รียรีกว่าว่อักอัษรรูปรูลิ่มลิ่หรือรืคูนิคูฟนิอร์มร์ระบบตัวตัเลขที่ ใช้ใช้นปัจปัจุบัจุนบัเรียรีกว่าว่ระบบตัวตัเลขฮินฮิดู-ดูอารบิกบิความหมายของตัวตัเลขฮินฮิดู-ดูอารบิกบินั้นนั้เป็นป็วิธีวิเธีรียรีบ เรียรีงสัญสัลักลัษณ์จณ์ากสัญสัลักลัษณ์ทั้ณ์งทั้ 10 ตัวตัเพื่อพื่แทนปริมริาณหนึ่งนึ่ วิวัฒนาการของระบบจำ นวนและตัวเลข ระบบจำ นวนเป็นป็แนวคิดที่เป็นป็นามธรรมเกี่ยวกับการบอกปริมริาณ จำ นวน ตัวเลขจึงจึเป็นป็ เพียพีงสัญสัลักษณ์ที่ณ์ ที่ใช้สื่ช้ สื่อสื่ความหมายของระบบจำ นวน นักนัคณิตณิศาสตร์ไร์ด้จัด้ดจัหมวดหมู่ขมู่องจำ นวนในระบบจำ นวนเพื่อพื่ ให้ง่ห้ ง่าย เช่นช่จำ นวนเฉพาะ หรือรืจำ นวนไพร์มร์ (prime numbers) จำ นวนตรรกยะ อตรรกยะ ไปจนกระทั่งทั่ถึงจำ นวนที่ซับซั ซ้อซ้นขึ้นขึ้ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 1 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 1

ระบบจำ นวน 3 สมบัติของจำ นวนจริง สมบัติบั ติปิดปิ (Closure Law) ถ้าถ้ a, b เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ และ c = a + b แล้วล้ c จะเป็นป็จำ นวนจริงริและ d = a•b แล้วล้ d จะ เป็นป็จำ นวนจริงริ สมบัติบั ติการจัดจัหมู่ (Assocative Law) ถ้าถ้ a, b, c เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ แล้วล้ (a + b)+ c = a +(b + c) และ (a•b)•c = a•(b•c) สมบัติบั ติการสลับที่ (Commutative Law) ถ้า a, b เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ แล้ว a + b = b + a และ a•b = b•a สมบัติของจำ นวนจริง สมบัติบั ติปิดปิ (Closure Law) ถ้าถ้ a, b เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ และ c = a + b แล้วล้ c จะเป็นป็จำ นวนจริงริและ d = a•b แล้วล้ d จะเป็นป็จำ นวนจริงริ สมบัติบั ติการจัดจัหมู่ (Assocative Law) ถ้าถ้ a, b, c เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ แล้วล้ (a + b)+ c = a +(b + c) และ (a•b)•c = a•(b•c) สมบัติบั ติการสลับที่ (Commutative Law) ถ้าถ้ a, b เป็นป็จำ นวนจริงริใดๆ แล้วล้ a + b = b + a และ a•b = b•a จำ นวนเต็ม ระบบจำ นวนที่ประกอบด้วด้ยจำ นวนธรรมชาติ 0 และจำ นวนเต็มลบจะเรียรีกรวมกันว่าว่ ระบบจำ นวนเต็ม ซึ่งซึ่มักมัจะใช้สัช้ญสัลักษณ์ i แทนเซตของจำ นวนเต็ม สมบัติของจำ นวนเต็ม ผลการกระทำ ทางคณิตณิศาสตร์บร์างอย่าย่งอาจจะได้ผด้ลที่ไม่ใม่ช่จำช่จำนวนเต็มการกระทำ ทาง คณิตณิศาสตร์ที่ร์ ที่ สำ คัญและเป็นป็พื้นพื้ฐานคือการบวกและการคูณคูซึ่งซึ่การกระทำ ทั้งทั้สองจะมีสมีมบัติบั ติ ที่สำ คัญ จำ นวนจริง จำ นวนจริงริจะเป็นป็เซตใหญ่ที่ญ่ ปที่ ระกอบไปด้วด้ยจำ นวนตรรกยะ และจำ นวนอตรรกยะ เซตย่อย่ย ของระบบจำ นวนจริงริจำ นวนธรรมชาติ หรือรืจำ นวนเต็มต็บวก ศูนศูย์ จำ นวนเต็มต็ลบ จำ นวนตรรกยะ และจำ นวนอตรรกยะ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 1 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 1

ระบบจำ นวน 4 สมบัติของจำ นวนเต็ม สมบัติของจำ นวนเต็ม จำ นวนธรรมชาติ จำ นวนธรรมชาติ เป็นป็จำ นวนที่เ ที่ กิดกิขึ้นขึ้ ในทางธรรมชาติโติดยธรรมดา ชัดชัเจน ไม่ซัม่บซัซ้อซ้น เช่นช่ จำ นวนไม่เม่ ป็นป็ลบทั้งทั้หมด อาจเขียขีนเซต ของ จำ นวนธรรมชาติ โดยใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ N ซึ่งซึ่สามารถกำ หนดได้สด้องรูปรูแบบ คือคืN = {0, 1, 2, 3, ...} และ N = (1, 2, 3, 4, ...} สมบัติบั ปิติดปิ สมบัติบั ปิติดปิของการบวก ถ้าถ้ให้ a, b เป็นป็จำ นวนเต็มต็ (a, b I) และให้ c = a+b แล้วล้ c จะเป็นป็จำ นวนเต็มต็ (c I) สมบัติบั ปิติดปิของการคูณคู ถ้าถ้ให้ a, b เป็นป็จำ นวนเต็มต็ (a, b I) และให้ d = a•b แล้วล้ d จะเป็นป็จำ นวนเต็มต็นั่นนั่คือคื ผลลัพลัธ์จธ์ากการบวกและการคูณคูกันกัของจำ นวนเต็มต็จะได้ผด้ลลัพลัธ์เธ์ป็นป็จำ นวนเต็มต็ สมบัติบักติารจัดจัหมู่ ให้ a, b, c เป็นป็จำ นวนเต็มต็ (a, b, c I) สมบัติบักติารจัดจัหมู่กมู่ารบวก (a + b) + c = a + (b + c) สมบัติบักติารจัดจัหมู่กมู่ารคูณคู (a•b)•c = a•(b•c) สมบัติบักติารสลับลัที่ ให้ a, b เป็นป็จำ นวนเต็มต็ (a, b ← I) สมบัติบักติารสลับลัที่ก ที่ ารบวก a + b = b + a สมบัติบักติารสลับลัที่ก ที่ ารคูณคู a.b = b.a สมบัติบั ติการแจกแจงหรือรืการกระจาย ให้ a, b, c เป็นป็จำ นวนเต็ม แล้ว (a, b, c ← I) a•(b + c) = a•b + a•c เอกลักษณ์ขณ์องการบวก เอกลักษณ์กณ์ารบวก คือ ศูนย์ เพราะ a + 0 = a เมื่อมื่ 4 เป็นป็จำ นวนเต็มใด ๆ (a 1) เอกลักษณ์กณ์ารคูณคูคือ หนึ่งนึ่เพราะ a 1 = a เมื่อมื่ 4 เป็นป็จำ นวนเต็มใด ๆ (a I) สมบัติบั ติการผูกผูผันผั ผกผันผัของการบวกของจำ นวนเต็ม คือ จำ นวนเต็มที่บวกกับจำ นวนเต็มใด ๆ แล้วได้ 0 (เอกลักษณ์ขณ์องการบวก) ดังดันั้นนั้ถ้าให้ a, b เป็นป็จำ นวนเต็ม b เป็นป็ผูกผูผันผัของ 2 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 1 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 1

สมบัติของการบวกและการคูณของจำ นวนธรรมชาติ ระบบจำ นวน 5 จำ นวนตรรกยะ สมบัติของจำ นวนตรรกยะ เนื่อนื่งจากจำ นวนเต็มเป็นป็เซตย่อย่ยของจำ นวนตรรกยะ ดังดันั้นนั้สมบัติบั ติของจำ นวนตรรกยะ จึงจึครอบคลุมลุสมบัติบั ติของจำ นวนเต็ม และมีสมีมบัติบั ติเพิ่มพิ่เติมดังดันี้ สมบัติบักติารมีผมีกผันผัของการคูณคู จากที่ไที่ ด้กด้ล่าล่วไปแล้วล้ในสมบัติบักติารผูกผูผันผัของจำ นวนเต็มต็ซึ่งซึ่จะมีแมีต่สต่มบัติบักติารผูกผูผันผัของ การ บวก แต่สำต่สำหรับรัจำ นวนตรรกยะจะมีสมีมบัติบักติารผูกผูผันผัของการคูณคูด้วด้ย นั่นนั่คือคืถ้าถ้ให้ a เป็นป็ จำ นวนตรรกยะใด ๆ ที่ไที่ ม่เม่ ป็นป็ศูนศูย์ แล้วล้จะมuจำ นวนตรรกยะ 6 ที่ทำ ที่ ทำ ให้ สมบัติบักติารมีผมีกผันผัของการคูณคู a•b =1 โดยที่ b=1 เพียพีงอย่าย่งเดียดีว จำ นวนอตรรกยะ มีตัมีวตัเลขบางประเภทที่ไที่ ม่สม่ามารถเขียขีน ให้อห้ยู่ใยู่นรูปรูของจำ นวนตรรกยะได้ เช่นช่ √2 เนื่อนื่งจากไม่สม่ามารถเขียขีนให้อห้ยู่ใยู่นรูปรูเศษส่วส่นระหว่าว่ง จำ นวนเต็มต็สองจำ นวนได้ นักนัคณิตณิศาสตร์จึร์งจึได้สด้ร้าร้งจำ นวน อีกอีประเภทขึ้นขึ้มาเพื่อพื่ใช้แช้ทนจำ นวนที่ไที่ ม่สม่ามารถเขียขีน ให้อห้ยู่ใยู่นรูปรูจำ นวนตรรกยะได้ โดยเรียรีกว่าว่จำ นวนอตรรกยะ จำ นวนธรรมชาติจะมีสมีมบัติบั ติปิดปิการจัดจัหมู่ การสลับที่ และการแจกแจงเหมือมืนกับ สมบัติบั ติของจำ นวนเต็ม แต่สำ หรับรัสมบัติบั ติการมีเมีอกลักษณ์จำณ์จำนวนธรรมชาติจะมีเมีอกลักษณ์ ของการคูณคูคือ 1 นั่นนั่คือ ถ้า a เป็นป็จำ นวนธรรมชาติ 2.1 = a และ 1 คือ จำ นวนธรรมชาติ แต่จำ นวนธรรมชาติจะไม่มีม่เมีอกลักษณ์ขณ์องการบวก และไม่มีม่สมีมบัติบั ติการผูกผูผันผั จำ นวนตรรกยะ คือ จำ นวนที่สามารถเขียขีนให้อห้ยู่ใยู่นรูปรูของเศษส่วส่นของจำ นวนเต็ม สอง จำ นวน โดยจำ นวนเต็มที่เป็นป็ส่วส่นจะต้องไม่เม่ท่ากับศูนย์ หรือรืนั่นนั่คือ ถ้าให้ p, q เป็นป็ p จําจํนวนเต็มใด ๆ จําจํนวนตรรกยะก็คือจำ นวนใด ๆ ที่สามารถเขียขีนแทนได้ด้ด้วด้ย p โดย q≠0 q _ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 1 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 1

ระบบจำ นวน 6 การคำ นวณทางคณิตศาสตร์ของจํานวนจริง หลักการบวกและการลบในระบบจํานวนจริง การบวกลบเลข เช่นช่ 3 + 5 = 8 ซึ่งซึ่ผลลัพธ์ จะชัดชัเจนตามที่ได้เด้รียรีนมา ตัวเลขสอง จำ นวนที่นำ มาบวกหรือรืลบ ตัวเลขตัวแรกเรียรีกว่าว่ตัวตั้งตั้และอีกตัวเรียรีกว่าว่ตัวบวกหรือรืตัว ลบ ผลที่ได้จด้ะเรียรีกว่าว่ผลลัพธ์ และเนื่อนื่งจากระบบจำ นวนจริงริมีสมีมบัติบั ติการสลับที่ของการ บวก ดังดันั้นนั้ตัวตั้งตั้กับตัวบวกหรือรืตัวลบจึงจึสามารถสลับที่ได้ ชื่อชื่ที่ใช้เช้รียรีก ตัวตั้งตั้กับตัวบวก หรือรืตัวลบดูจดูะไม่ค่ม่ ค่อยสำ คัญมากนักนัเพราะสามารถสลับที่กันได้นั่ด้นนั่เอง หลักการคูณและการหารในระบบจํานวนจริง เช่นช่ 20 ÷ 5 จำ นวนจริงริใดในการคูณคูตัวเลขจำ นวนจริงริสองจำ นวนเราจะเรียรีก ตัวเลขจำ นวนแรกว่าว่ตัวตั้งตั้และอีก จำ นวนว่าว่ตัวคูณคูและผลลัพธ์ที่ธ์ ที่ได้เรียรีกว่าว่ผลคูณคู และเนื่องจากจำ นวนจริงริมีสมีมบัติบั ติการสลับที่ ของการคูณคูตัวตั้งตั้และตัวคูณคูจึงจึสามารถ สลับที่กันได้ ทำ ให้ชื่ห้ ชื่อชื่ที่ใช้เช้รียรีกตัวตั้งตั้กับตัวคูณคูดูไดูม่ค่ม่ ค่อย จะมีคมีวามสำ คัญมากนัก ใช้รช้ะบบจำ นวนจริงริในการบอกหรือรืวัดวั ปริมริาณของอะไรบางอย่าย่ง เช่นช่การวัดวัส่วส่นสูงสูและ น้ำ หนักนัของทารกแรกเกิดกิเพื่อพื่ที่จ ที่ ะบอกข้อข้มูลมูที่เ ที่ ป็นป็ ประโยชน์แน์ละง่าง่ยในการเข้าข้ใจหรือรืทำ การ คำ นวณ เช่นช่การหาค่าค่เฉลี่ย ลี่ ของส่วส่นสูงสูและน้ำ หนักนัของทารกแรกเกิดกิเพื่อพื่เป็นป็ ประโยชน์ใน์น การวิเวิคราะห์ว่ห์าว่ทารกแรกเกิดกิอื่นอื่ๆ เป็นป็ ไปตามเกณฑ์มฑ์าตรฐานหรือรืไม่ ดังดันั้นนั้จึงจึต้อต้งเรียรีนรู้ การคำ นวณทาง คณิตณิศาสตร์พื้ร์พื้นพื้ฐานของระบบจำ นวนจริงริเส้นส้จำ นวนจริงริ ระบบจำ นวนจริงริใช้สัช้ญสัลักษณ์ตัณ์ ตัวเลขต่าง ๆ ในการแทนข้อข้มูล เพื่อพื่ที่จะเห็นห็ภาพเป็นป็ รูปรูธรรมมากขึ้นขึ้จะใช้เช้ส้นส้จำ นวนจริงริเพื่อพื่สื่อสื่ความหมายและแสดงความสัมสัพันพัธ์ต่ธ์ ต่าง ๆ ของระบบ จำ นวนจริงริ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 1 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 1

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่2 ระบบเซต

ระบบเซต ระบบเซต 8 วิธีวิเธีขียขีนเซต การเขียขีนเซตแบบแจกแจงสมาชิกชิของเซต คือคืการเขียขีนสมาชิกชิทุกทุ ๆ ตัวตัลงในเครื่อรื่งหมายวงเล็บล็ ปีกปีกา “{... }” และคั่นคั่ระหว่าว่งสมาชิกชิแต่ลต่ะตัวตั ด้วด้ยเครื่อรื่งหมาย จุลภาค " " สำ หรับรัสมาชิกชิที่ซ้ำ ที่ ซ้ำกันกั ให้เห้ขียขีนเพียพีงตัวตัเดียดีว และในกรณีที่ณีจำ ที่ จำนวน สมาชิกชิมาก ๆ ให้ เขียขีนสมาชิกชิอย่าย่งน้อน้ย 3 ตัวตัแรก แล้วล้ ใช้จุช้จุด 3 จุด (Triple dot) แล้วล้จึงจึเขียขีน สมาชิกชิตัวตัสุดสุท้าท้ย เช่นช่ A = {2, 3, 6, 8, 10} สำ หรับรักรณีที่ณีท ที่ ราบสมาชิกชิตัวตัสุดสุท้าท้ยของเซตสามารถเขียขีนสมาชิกชิตัวตัสุดสุท้าท้ยไว้ใว้นเซตด้วด้ย เช่นช่ ให้เห้ซต R แทนเขตของตัวตัเลขที่ห ที่ าร 3 ลงตัวตัและไม่เม่กินกิ 30 แล้วล้ R = {3, 6, 9, ..., 30) ทำ ให้ทห้ราบได้ว่ด้าว่ตัวตัเลขสมาชิกชิที่เ ที่ ว้นว้ ไว้คืว้อคื 12, 15, 18, 21, 24 และ 27 การเขียขีนเซตแบบกำ หนดเงื่องื่นไขของสมาชิกชิ จะใช้วิช้ธีวิบธีอก เป็นป็เงื่องื่นไข หรือรืจะบรรยายลักลัษณะของสมาชิกชิหลังลัตัวตัอักอัษรภาษาอังอักฤษตัวตัพิมพิพ์เพ์ล็กล็ แทน สมาชิกชิของเซตด้วด้ยเครื่อรื่งหมาย “1” (อ่าอ่นว่าว่ โดยที่)ที่ ไว้ภว้ายในเครื่อรื่งหมายวงเล็บล็ ปีกปีกา เช่นช่ A= {x | x เป็นป็วันวัต่าต่ง ๆ ในหนึ่งนึ่สัปสัดาห์}ห์ ในการเขียขีนเซตแบบบอกเงื่องื่นไขของสมาชิกชิจะต้อต้งกำ หนดเซตขึ้นขึ้มาหนึ่งนึ่เซตเรียรีกว่าว่เอกภพสัมสัพัทพัธ์ เซต (set) เป็นป็การรวมกลุ่มลุ่กันของข้อข้มูลหรือรืสิ่งสิ่ใดสิ่งสิ่หนึ่งนึ่เป็นป็ชุดๆ และบอกได้ชัด้ดชัเจนว่าว่สิ่งสิ่ นั้นนั้อยู่ใยู่นเซตหรือรืไม่โม่ดยเซตนั้นนั้เป็นป็แนวคิดที่เป็นป็รากฐานสำ คัญที่สุดสุอย่าย่งหนึ่งนึ่ของคณิตณิศาสตร์ สมัยมั ใหม่ ความหมายของระบบเซต สัญสัลักษณ์ที่ณ์ ที่ใช้แช้ทนเซต ชื่อชื่และสมาชิกชิของเซต สามารถใช้ วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้ ชื่อชื่เซตนิยนิมใช้ตัช้ ตัวใหญ่ทั้ญ่ ทั้งทั้หมด เช่นช่ A, B, C, ... สัญสัลักษณ์ แทนคำ ว่าว่ “เป็นป็สมาชิกชิของ” แทนคำ ว่าว่ “ไม่เม่ ป็นป็สมาชิกชิของ” คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 2 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 2

1 ประเภทของเซต 2 3 4 5 เซตจำ กัด เซตอนันต์ เซตว่าว่ง เซตที่เท่ากัน เซตที่เทียบเท่ากัน เซตที่ส ที่ ามารถนับนัจำ นวนสมาชิกชิของเซตได้หด้รือรืสามารถ บอกสมาชิกชิตัวตัสุดสุท้าท้ย ของเซตนั้นนั้ ได้ (นับนั ได้ตั้ด้งตั้แต่สต่มาชิกชิ 0 ตัวตั, 1 ตัวตั, 2 ตัวตั, ..., 1 ตัวตั) เช่นช่ A = {x | x เป็นป็จำ นวนเต็มต็บวกที่ห ที่ าร 2 ได้ลด้งตัวตัแต่ไต่ม่เม่กินกิ 100} •• A = {100, 98, 96, 94, 92, ..., 2} เซตที่ไที่ ม่สม่ามารถนับนัจำ นวนสมาชิกชิของเซตได้หด้รือรืไม่ สามารถบอกสมาชิกชิตัวตัสุดสุท้าท้ยของเซตนั้นนั้ ได้ ซึ่งซึ่สมาชิกชิ ในเซตนั้นนั้อาจจะมี จำ นวนมากมายจนนับนั ไม่ไม่ด้ เช่นช่ A = {x x เป็นป็จำ นวนเต็มต็บวก X} …. A = {1, 2, 3, 4, ...} เซตที่ไที่ ม่มีม่สมีมาชิกชิเลย จะเขียขีนแทนด้วด้ย สัญสัลักลัษณ์ {} หรือรื Ø และเราถือถืว่าว่เป็นป็ “เซตจำ กัดกั ” เพราะนับนัจำ นวนสมาชิกชิ ได้ 0 ตัวตัเช่นช่ A = {x | x เป็นป็จำ นวนเต็มต็ ระหว่าว่ง 1 กับกั 2) …. A = { } หรือรื Ø เซตตั้งตั้แต่ 2 เซตขึ้นขึ้ ไป มีสมีมาชิกชิเหมือมืนกันกัทุกทุตัวตัละการเขียขีนสมาชิกชิของเซต ซ้ำ กันกัหลาย ๆ ครั้งรั้ ไม่ไม่ด้มีด้คมีวามแตกต่าต่งกันกักับกัการเขียขีนเพียพีง ครั้งรั้เดียดีว นั่นนั่ คือคืถ้าถ้สมาชิกชิทุกทุตัวตัของเซต A เป็นป็สมาชิกชิของเซต B และสมาชิกชิทุกทุตัวตัของ เซต B เป็นป็สมาชิกชิของเซต A กล่าล่วได้ว่ด้าว่เซต A เท่าท่กับกัเซต B เขียขีนแทนด้วด้ย A = B เช่นช่ A = {1, 2, 3} B = {1, 1, 1, 2, 2, 3}… A = B เซตตั้งตั้แต่ 2 เซต ที่มี ที่ จำมีจำนวนสมาชิกชิเท่าท่กันกัพอดี และเป็นป็การจับจัคู่หคู่นึ่งนึ่ต่อต่หนึ่งนึ่ เขียขีนแทนสัญสัลักลัษณ์ด้ณ์วด้ยเครื่อรื่งหมาย <> เช่นช่ A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {ก, ค, จ, ซ, ฑ} … A < > B ระบบเซต 9

สับสัเซต เซตย่อย่ย หรือรืเซตที่เ ที่ ล็กล็กว่าว่หรือรืเท่าท่กับกัเซตที่กำ ที่ กำหนด จะเขียขีน แทนด้วด้ย สัญสัลักลัษณ์ “C” กล่าล่วคือคืเซต A จะเป็นป็สับสัเซตของเซต B ก็ต่ก็อต่เมื่อมื่สมาชิกชิทุกทุตัวตั ของเซต A นั้นนั้เป็นป็สมาชิกชิของเซต B ด้วด้ย โดยที่ส ที่ มาชิกชิ ในเซต B มีจำมีจำนวนมากกว่าว่หรือรื เท่าท่กับกัเซต A เขียขีน แทนด้วด้ย A C B และจะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ “C” แทน “ไม่เม่ ป็นป็สับสัเซต” เช่นช่ A = เซตของเลขจำ นวนนับนั B = {1, 2, 3, 4} เซตทุกทุเซตจะเป็นป็สับสัเซตของตัวตัเองเสมอเป็นป็สับสัเซตของทุกทุเซต A C B และ B C C แล้วล้ A CC AC B และ B C A ก็ต่ก็อต่เมื่อมื่ A = B สับสัเซตแท้ คือคืเซตใด ๆ ที่ไที่ ม่ใม่ช่ตัช่วตัมันมัเอง กล่าล่วคือคืถ้าถ้ A C B และ A + B จะเรียรีก A ว่าว่ “สับสัเซตแท้”ท้ของ B เพาเวอร์เร์ซต (Power set) เซตซึ่งซึ่ประกอบด้วด้ยสมาชิกชิที่เ ที่ ป็นป็สับสัเซตทั้งทั้หมดของเซตนั้นนั้และ สามารถเขียขีนแทนได้ ด้วด้ยสัญสัลักลัษณ์ P (ชื่อชื่เซต) วิธีวิหธีาเพาเวอร์เร์ซต ต้อต้งหาสับสัเซตทั้งทั้หมดให้ไห้ด้ก่ด้อก่น จากนั้นนั้ จึงจึใส่เส่ซตครอบลงไป เช่นช่ A = {2, 4, 6, 8} จะได้เด้พาเวอร์เร์ซต P(A) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {8}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8}, {2, 4, 6}, {2, 6, 8}, {2, 4, 8}, {4, 6, 8}, {2, 4, 6, 8}} P(A) = Ø กล่าล่วคือคื P(A) จะต้อต้งมีสมีมาชิกชิอย่าย่งน้อน้ย 1 ตัวตัเสมอ สมมติฐติานให้ชื่ห้ชื่อชื่เซต A ØEP(A) และ OCP(A) สำ หรับรัทุกทุ ๆ เซต A A E P(A) เสมอ ถ้าถ้ A เป็นป็เซตใด ๆ จำ นวนสมาชิกชิของ P(A) = 2 เซต (n คือคืจำ นวนสมาชิกชิ ในเซต) สมบัติบัขติองเพาเวอร์เร์ซต A CB ก็ต่ก็อต่เมื่อมื่ P(A) C P(B) P(A) ^^\P(B) = P(A ( B) P(A) UP(B) C P(AUB) ถ้าถ้ A เป็นป็เซตอนันนัต์แต์ล้วล้ P(A) ก็จก็ะเป็นป็เซตอนันนัต์เต์ช่นช่กันกั วิธีวิธีเขียนเซต สมบัติของสับเซต สมบัติของเพาเวอร์เซต ระบบเซต 10 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 2 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 2

เอกภพสัมพัทธ์และแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ ระบบเซต 11 เอกภพสัมสัพัทพัธ์ (Relative Universe) เป็นป็เซตที่กำ ที่ กำหนดขึ้นขึ้มาเพื่อพื่จะจำ กัดกัขอบเขตและครอบคลุมลุเซตทุกทุเซตที่ส ที่ นใจและจะ ไม่กม่ล่าล่วถึงถึสิ่งสิ่อื่นอื่ ใดที่น ที่ อกเหนือนืจากเซตที่กำ ที่ กำหนดขึ้นขึ้ซึ่งซึ่ถือถืว่าว่เป็นป็เซตที่ใที่ หญ่ที่ญ่สุ ที่ ดสุโดยจะ นิยนิมใช้ สัญสัลักลัษณ์ U แทนเอกภพสัมสัพัทพัธ์ เอกภพสัมสัพัทพัธ์จธ์ะเป็นป็เซตจำ กัดกัหรือรืเซต อนันนัต์ก็ต์ ไก็ด้ ขึ้นขึ้อยู่กัยู่บกั โจทย์กํย์ากํหนดมาให้ ถ้าถ้โจทย์ไย์ม่กำม่ กำหนดมาให้ถืห้อถืว่าว่เอกภพสัมสัพัทพัธ์ คือคืเซตของจำ นวนจริงริเมื่อมื่กำ หนดเซตของเอกภพแล้วล้จะไม่มีม่สมีมาชิกชิของเซตใด ๆ ที่ อยู่นยู่อกเซตเอกภพนั้นนั้ แผนภาพของเวนน์-น์ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) การเขียขีนแผนภาพแทนเซตจะช่วช่ยให้เห้ข้าข้ใจเกี่ย กี่ วกับกัความสัมสัพันพัธ์รธ์ะหว่าว่งเซตชัดชัเจน มากยิ่งยิ่ขึ้นขึ้เราเรียรีกแผนภาพแทนเซตว่าว่แผนภาพของเวนน์-น์ออยเลอร์ เพื่อพื่เป็นป็เกียกีรติ ให้แห้ก่ นักนัคณิตณิศาสตร์ชร์าวอังอักฤษที่ชื่ ที่ ชื่อชื่จอห์นห์เวนน์ (John Venn) พ.ศ. 2377- 2466) และนักนัคณิตณิศาสตร์ ชาวสวิตวิเซอร์แร์ลนด์ที่ด์ชื่ ที่ ชื่อชื่เลโอนาร์ดร์ออยเลอร์ (Leonhard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซึ่งซึ่เป็นป็ผู้คิผู้ ดคิแผน ภาพเพื่อพื่แสดงความสัมสัพันพัธ์รธ์ะหว่าว่งเซต โดยมีหมีลักลัการเขียขีน Diagram ใช้รูช้ปสี่เ สี่ หลี่ย ลี่ มผืนผืผ้าผ้หรือรืสี่เ สี่ หลี่ย ลี่ มมุมมุฉากแทนเอกภพสัมสัพัทพัธ์ U ใช้วช้งกลมหรือรืวงรีหรีรือรืรูปรูปิดปิ ใด ๆ แทนเซตต่าต่ง ๆ ที่เ ที่ ป็นป็สมาชิกชิของ U และเขียขีนภายใน สี่เ สี่ หลี่ย ลี่ มผืนผืผ้าผ้ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 2 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 2

การปฏิบัติการของเซต อินอิเตอร์เร์ซกชันชั (Intersection) เซตสองเซตที่มี ที่ สมีมาชิกชิร่วร่มกันกัและใช้สัช้ญสัลักลัษณ์แณ์ทนอินอิเตอร์เร์ซกชันชัเครื่อรื่งหมาย กล่าล่วคือคืถ้าถ้กำ หนดให้เห้ซต A และ A และเซต B เป็นป็เซตใด ๆ อินอิเตอร์เร์ซกชันชัของเซต Aด้วด้ย และเซต B เขียขีนแทนสัญสัลักลัษณ์ด้ณ์วด้ย A / B (อ่าอ่นว่าว่เซต A อินอิเตอร์เร์ซกชันชั เซต B) ซึ่งซึ่ประกอบด้วด้ยสมาชิกชิที่เ ที่ ป็นป็สมาชิกชิของเซต A และเป็นป็สมาชิกชิของเซต B ด้วด้ยเช่นช่กันกั การปฏิบัฏิติบักติารของเซตจะเป็นป็วิธีวิกธีารสร้าร้งเซตใหม่โม่ดยการใช้เช้ครื่อรื่งหมายกำ กับกัเซต ที่กำ ที่ กำหนดให้ 2 เซต ซึ่งซึ่เครื่อรื่งหมายกำ กับกัเซตมี 4 แบบ คือคื ยูเยูนียนีน (Union) เซตมีส่มีวส่นร่วร่ม (Overlapping Set) เซตไม่มีม่ส่มีวส่นร่วร่ม (Disjoint Set) สับสัเซต (Subset) ยูเยูนียนีน (Union) คือคืเซตสองเซตที่ปที่ ระกอบด้วด้ยสมาชิกชิทั้งทั้หมดของสองเซตนั้นนั้กล่าล่วคือคื ในกรณีที่ณี ที่ เป็นป็เซต A และเซต B กำ หนดให้ A และ B เป็นป็เซตใด ๆ การยูเยูนียนีนกันกัของ A และ B จะเขียขีนแทนด้วด้ยสัญสัลักลัษณ์ “A UB” (อ่าอ่นว่าว่เซต A ยูเยูนียนีน เซต B) หมายถึงถึเซตที่ ประกอบด้วด้ย สมาชิกชิทั้งทั้หมดของเซตนั้นนั้ คอมพลีเลีมนต์ (Complement) กรณีที่ณีกำ ที่ กำหนดให้ เซต A เป็นป็สับสัเซตของเอกภพสัมสัพัทพัธ์ U คอมพลีเลีมนต์ขต์อง A คือคืเซตที่ปที่ ระกอบด้วด้ยสมาชิกชิของเอกภพสัมสัพัทพัธ์ U แต่ไต่ม่เม่ ป็นป็สมาชิกชิของ A เขียขีน แทนด้วด้ย A' (อ่าอ่นว่าว่เอไพร์มร์หรือรืคอมพลีเลีมนต์ A) ผลต่าต่ง (Difference หรือรื Relative Complement) ผลต่าต่งของเซตสองเซตที่นำ ที่ นำมาลบกันกักล่าล่วคือคืเซตที่ ประกอบด้วด้ยสมาชิกชิของเซต A ซึ่งซึ่ไม่เม่ ป็นป็สมาชิกชิของเซต B ผลต่าต่งระหว่าว่งเซต A และ B เขียขีนแทนด้วด้ย A - B ระบบเซต 12 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 2 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 2

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่3 ระบบเลขฐาน

ระบบเลขฐาน 8 ระบบเลขฐาน 10 เลขฐานสิบสิคือคืตัวตัเลขที่มี ที่ ค่มีาค่ ไม่ซ้ำม่ ซ้ำกันกัสิบสิหลักลั (0,1,2,…,9) เป็นป็เลขฐานที่ม ที่ นุษนุย์คุ้ย์นคุ้เคย และใช้ใช้นชีวิชีตวิ ประจำ วันวัมากที่สุ ที่ ดสุตัวตัเลขที่มี ที่ จำมีจำนวนมากกว่าว่ 9 ให้ให้ช้ 10 ซึ่งซึ่เป็นป็การกลับลั ไปใช้ เลข 1 และ 0 อีกอีเพียพีงแต่ค่ต่าค่ของ 1 เปลี่ย ลี่ นไปเป็นป็ 10 เท่าท่ของตัวตัมันมัเอง เช่นช่ 333 (สามร้อร้ย สามสิบสิสาม) แม้จม้ะใช้ตัช้วตัเลข 3 ทั้งทั้หมด แต่ตำต่ ตำแหน่งน่ของตัวตัเลขย่อย่มมีคมีวามหมายตาตำ แหน่งน่ ของแต่ลต่ะหลักลันั้นนั้กล่าล่วคือคืหลักลัหน่วน่ยน้อน้ยกว่าว่หลักลัสิบสิ 10 เท่าท่หลักลัสิบสิน้อน้ยกว่าว่หลักลัร้อร้ย 10 เท่าท่ตามลำ ดับดั ระบบเลขฐาน 16 ระบบเลขฐาน 14 ระบบเลขฐาน เลขฐาน หมายถึงถึกลุ่มลุ่ข้อข้มูลมูที่มี ที่ จำมีจำนวนหลักลั (Digit) ตามชื่อชื่ของเลขฐานนั้นนั้ๆ เช่นช่เลข ฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบสิและเลขฐานสิบสิหก เป็นป็ต้นต้ ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 2 ตัวตัคือคื 0 และ 1 ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 8 ตัวตัคือคื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ระบบเลขฐานสิบสิ (Decimal Number System) ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 10 ตัวตัคือคื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ระบบเลขฐานสิบสิหก (Hexadecimal Number System) ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 10 ตัวตัคือคื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตัวตัอักอัษร 6 ตัวตัคือคื A, B, C, D, E, F (เมื่อมื่ A = 10, B = 11, C=12, D = 13, E=14, F=15 ในฐานสิบสิ ) ระบบเลขฐาน 2 เลขฐานสอง คือคืตัวตัเลขที่มี ที่ ค่มีาค่ ไม่ซ้ำม่ ซ้ำกันกัสองหลักลั ( 0 และ 1) เป็นป็เลขฐานเดียดีวที่เ ที่ ข้าข้กันกั ได้ กับกั Hardware ของเครื่อรื่งคอมพิวพิเตอร์ไร์ด้โด้ดยตรง เพราะการใช้เช้ลขฐานอื่นอื่จะสร้าร้งความ ยุ่งยุ่ยากให้กัห้บกัเครื่อรื่งคอมพิวพิเตอร์อร์ย่าย่งมาก เช่นช่เลขฐานสิบสิมีตัมีวตัเลขที่เ ที่ ป็นป็สถานะที่ต่ ที่ าต่งกันกัถึงถึ 10 ตัวตั ในขณะที่ร ที่ ะบบไฟฟ้าฟ้มีเมีพียพีง 2 สถานะ ซึ่งซึ่ ในช่วช่งเวลาหนึ่งนึ่ๆมีเมีพียพีงสถานะเดียดีวเท่าท่นั้นนั้ แต่ลต่ะหลักลัของเลขฐานสอง เรียรีกว่าว่ Binary Digit (BIT) เลขฐานแปด มีคมีวามสัมสัพันพัธ์กัธ์บกัเลขฐานสอง คือคืเลขฐานสองจำ นวน 3 หลักลัแทนด้วด้ย เลขฐานแปด 1 หลักลัดังดันั้นนั้เราจึงจึสามารถเขียขีนเลขฐานสอง 6 บิทบิแทนด้วด้ยเลขฐานแปด 2 บิทบิการใช้เช้ลขฐานแปดแทนเลขฐานสองทำ ให้จำห้จำนวนบิทบิสั้นสั้ลง เลขฐานสิบสิหก มีคมีวามสัมสัพันพัธ์กัธ์บกัเลขฐานสอง คือคืเลขฐานสองจำ นวน 4 หลักลัแทนด้วด้ย เลขฐานสิบสิหก 1 หลักลัดังดันั้นนั้เราจึงจึสามารถเขียขีนเลขฐานสอง 8 บิทบิแทนด้วด้ยเลขฐานสิบสิหก 2 บิทบิการใช้เช้ลขฐานสิบสิหกแทนเลขฐานสองทำ ให้จำห้จำนวนบิทบิสั้นสั้ลง คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 3 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 3

การแปลงเลขฐานอื่นอื่ๆ เป็นป็เลขฐานสิบสิ ระบบเลขฐาน 15 การแปลงเลขฐานอื่นอื่ๆ เป็นป็เลขฐานสิบสิ 1. การแปลงเลขฐานสองเป็นป็เลขฐานสิบสิ สามารถทำ ได้โด้ดยวิธีวิกธีารคูณคูค่าค่ ประจำ หลักลัคือคื 2 กับกัค่าค่สัมสั ประสิทสิธิ์แธิ์ละนำ ผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้จด้ากการ คูณคูในแต่ลต่ะหลักลัมารวมกันกัจะได้เด้ป็นป็ค่าค่ของเลขฐานสิบสิ ตัวตัอย่าย่ง การแปลง(1101) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสิบสิ วิธีวิทำธี ทำ N = (1*2 + 1*2 + 0*2 + 1*2 ) = 8+4+0+1 = 13 (1101) = (13) (13) 10 10 2 2 3 2 1 0 2. การแปลงเลขฐานแปดเป็นป็เลขฐานสิบสิ สามารถท าได้โด้ดยวิธีวิกธีารคูณคูค่าค่ ประจ าหลักลัคือคื 8 กับกัค่าค่สัมสั ประสิทสิธิ์แธิ์ละนำ ผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้จด้าก การ คูณคูในแต่ลต่ะหลักลัมารวมกันกัจะได้เด้ป็นป็ค่าค่ของเลขฐานสิบสิ ตัวตัอย่าย่ง การแปลง(5736) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสิบสิ วิธีวิทำธี ทำ N = (5*8 +7*8 +3*8 +6*8 ) = (5*512)+(7*64)+(3*8)+(6*1) = (2560+448+24+6) = (3080) (5736)= (3080) (3080) 10 10 10 8 8 3 2 1 0 3. การแปลงเลขฐานสิบสิหกเป็นป็เลขฐานสิบสิ สามารถท าได้โด้ดยวิธีวิกธีารคูณคูค่าค่ ประจ าหลักลัคือคื 16 กับกัค่าค่สัมสั ประสิทสิธิ์แธิ์ละนำ ผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้จด้าก การคูณคูในแต่ลต่ะหลักลัมารวมกันกัจะได้เด้ป็นป็ค่าค่ของเลขฐานสิบสิ ตัวตัอย่าย่ง การแปลง(1A3D) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสิบสิ วิธีวิทำธี ทำ N = (1*16 +4*16 +3*16 +D*16 ) = (1*4096)+(10*256)+(3*16)+(13*1) = (4096+2560+48+13) = (6717) (1A3D)= (6717) (6717) 3 16 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 3 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 3

การเปลี่ย ลี่ นเลขฐานสิบสิ ไปเป็นป็เลขฐานต่าต่ง ๆ ตัวตัอย่าย่ง การแปลง (2520) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสิบสิหก วิธีวิทำธี ทำ (2520) = (.........) 2520 / 16 = 157 เศษ 8 157 / 16 = 9 เศษ 13 หรือรื D 9 / 16 = 0 เศษ 9 (2520) = (9D8) ตอบ (9D8) 10 10 10 16 16 ระบบเลขฐาน 16 การเปลี่ย ลี่ นเลขฐานสิบสิ ไปเป็นป็เลขฐานต่าต่ง ๆ มีขั้มีนขั้ตอนดังดันี้ คือคื 1. แบ่งบ่เลขฐานสิบสิจำ นวนเต็มต็แยกออกจากเลขฐานสิบสิที่เ ที่ ป็นป็ทศนิยนิม 2. ส่วส่นของเลขฐานสิบสิที่เ ที่ ป็นป็จำ นวนเต็มต็ - หลักลัการคือคืนำ เลขฐาน 10 ตัวตันั้นนั้มาตั้งตั้หาร ด้วด้ยเลขฐานที่ต้ ที่ อต้งการไปเรื่อรื่ย ๆ จน กว่าว่ผลลัพลัธ์จธ์ะเป็นป็ 0 - ในการหารแต่ลต่ะครั้งรั้ให้ เก็บก็เศษไว้ เมื่อมื่การหารสิ้นสิ้สุดสุแล้วล้ ให้นำห้นำเศษมาเรียรีงกันกัจาก ล่าล่งขึ้นขึ้บนก็จก็ะได้เด้ลขฐานที่ แปลงไป - โดยเศษตัวตัสุดสุท้าท้ยคือคื MSB : Most Significant Bit เป็นป็บิตบิที่อ ที่ ยู่ทยู่าง ด้าด้นซ้าซ้ยสุดสุและมีค่มีาค่มากที่สุ ที่ ดสุและ LSB : Least Significant Bit เป็นป็บิตบิที่อ ที่ ยู่ทยู่าง ด้าด้นขวาสุดสุและมีค่มีาค่น้อน้ยที่สุ ที่ ดสุ 3. ส่วส่นของเลขฐานสิบสิที่เ ที่ ป็นป็ทศนิยนิม จะถูกถูคูณคูด้วด้ยเลขฐานที่ต้ ที่ อต้งการหลาย ๆ ครั้งรั้เท่าท่ จำ นวน ทศนิยนิมที่ต้ ที่ อต้งการหรือรืจนกว่าว่จะคูณคูต่อต่ ไปไม่ไม่ด้ ผลลัพลัธ์คืธ์อคืเลขจำ นวนเต็มต็หน้าน้ ทศนิยนิมของการคูณคูแต่ ละครั้งรั้เลขจำ นวนเต็มต็ของการคูณคูครั้งรั้แรกมีค่มีาค่เป็นป็ MSD เลขจำ นวนเต็มต็ของการคูณคูครั้งรั้สุดสุท้าท้ยมีค่มีาค่เป็นป็ LSD การแปลงเลขฐานสิบสิเป็นป็เลขฐานแปด ทำ ได้โด้ดยเอาเลขฐานสิบสิตั้งตั้แล้วล้หารด้วด้ยเลข 8 ไปเรื่อรื่ย ๆ จนกระทั่งทั่ผลลัพลัธ์เธ์ป็นป็ 0 ในการหาร นั้นนั้จะต้อต้งเขียขีนเศษไว้ทุว้กทุครั้งรั้จากนั้นนั้ ให้เห้ขียขีนเศษที่ไที่ ด้จด้ากการหารโดยเรียรีงลำ ดับดัจากด้าด้นล่าล่ง ขึ้นขึ้ด้าด้นบน ตัวตัอย่าย่ง การแปลง 980 ให้เห้ป็นป็เลขฐานแปด วิธีวิทำธี ทำ 980 = 8) 980 8) 122 เศษ = 4 8) 15 เศษ = 2 8) 1 เศษ = 7 0 เศษ = 1 ตอบ 980 = 1724 10 10 8 การแปลงเลขฐานสิบสิเป็นป็เลขฐานสิบสิหก ทำ ได้โด้ดยเอาเลขฐานสิบสิตั้งตั้แล้วล้หารด้วด้ยเลข 16 ไปเรื่อรื่ย ๆ จนกระทั่งทั่ผลลัพลัธ์เธ์ป็นป็ 0 ในการ หาร นั้นนั้จะต้อต้งเขียขีนเศษไว้ทุว้กทุครั้งรั้จากนั้นนั้ ให้เห้ขียขีนเศษที่ไที่ ด้จด้ากการหารโดยเรียรีงลำ ดับดัจาก ด้าด้นล่าล่งขึ้นขึ้ด้าด้นบน คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 3 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 3

ความสัมสัพันพัธ์พิธ์เพิศษของระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานสอง แปด และสิบสิหก จะมีคมีวามสัมสัพันพัธ์พิธ์เพิศษ เนื่อนื่งจากเป็นป็เลขฐานที่มี ที่ ค่มีาค่ เป็นป็กำ ลังลัของสอง (8 = 2, 16 = 2) การแปลงค่าค่ระหว่าว่งเลขเหล่าล่นี้จ นี้ ะทำ ได้ง่ด้าง่ย และมี ประโยชน์ สําสํหรับรัผู้พัผู้ ฒพันาโปรแกรมคอมพิวพิเตอร์ โดยเฉพาะระหว่าว่งเลขฐานสองและสิบสิหก เนื่อนื่งจาก คอมพิวพิเตอร์ใร์ช้เช้ลขฐานสองในการค้าค้นวณ และการแทนสัญสัลักลัษณ์ต่ณ์าต่ง ๆ ด้วด้ยเลข ฐานสอง ไม่ใม่ช่ ปัญปัหาใหญ่สำญ่สำหรับรัคอมพิวพิเตอร์ ถึงถึแม้ว่ม้าว่เลขฐานสองจะมีหมีลักลัหลาย ๆ หลักลั ก็ตก็าม แต่กต่ารแทน เลขฐานสองด้วด้ยเลขฐานสิบสิหกจะกระชับชักว่าว่ โดยจำ นวนหลักลัลดลงอย่าย่ง มาก ทำ ให้ผู้ห้พัผู้ ฒพันาโปรแกรม สามารถอ่าอ่นตัวตัเลขและเข้าข้ใจคอมพิวพิเตอร์ไร์ด้ง่ด้าง่ยขึ้นขึ้ การแปลงเลขฐาน 8 เป็นป็เลขฐาน 2 แปลงเลขฐานแปดให้เห้ป็นป็เลขฐานสอง โดยเขียขีนเลข ฐานสอง 3 บิตบิถ้าถ้ไม่คม่รบให้เห้พิ่มพิ่เลข 0 เข้าข้ไป เขียขีนเรียรีงไปเป็นป็ลำ ดับดัตามค่าค่เดิมดิก็จก็ะได้เด้ลข ฐานใหม่อม่อกมา ตัวตัอย่าย่ง การแปลง(7531) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสอง (7) = (111) (5) = (101) (3) = (011) (1) = (001) วิธีวิทำธี ทำ ( 7 5 3 1) (7531) = (111101011001) ตอบ (111101011001) 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 8 8 การแปลงเลขฐาน 16 เป็นป็เลขฐาน 2 แปลงเลขฐานสิบสิหกให้เห้ป็นป็เลขฐานสอง โดยเขียขีน เลขฐานสอง 4 บิตบิถ้าถ้ไม่คม่รบให้เห้พิ่มพิ่เลข 0 เข้าข้ไป เขียขีนเรียรีงไปเป็นป็ลำ ดับดัตามค่าค่เดิมดิก็จก็ะได้ เลขฐานใหม่อม่อกมา ตัวตัอย่าย่ง การแปลง(7A3B) ให้เห้ป็นป็เลขฐานสอง (7) = (0111) (A) = (1010) (9) = (1001) (B) = (1101) วิธีวิทำธี ทำ ( 7 A 9 B) 0111 1010 1001 1101 (7531) = (0111101010011101) ตอบ (0111101010011101) 16 16 16 16 16 2 2 2 2 16 16 2 2 ระบบเลขฐาน 17 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 3 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 3

ระบบเลขฐาน 18 บทสรุปรุ ระบบเลขฐานเป็นป็พื้นพื้ฐานในการเรียรีนคณิตณิศาสตร์ซึ่ร์งซึ่เป็นป็สัญสัลักลัษณ์ทณ์างคณิตณิศาสตร์ที่ร์ ที่ แสดง ถึงถึจำ นวนต่าต่ง ๆ โดยระบบเลขฐานแต่ลต่ะระบบมีจำมีจำนวนตัวตัเลขที่ใที่ ช้เช้หมือมืนกับกัชื่อชื่ของ ระบบตัวตัเลข นั้นนั้ๆ และมีฐมีานของจำ นวนเลขตามชื่อชื่ โดยระบบเลขฐานที่นิ ที่ ยนิมใช้โช้ดยส่วส่นใหญ่ คือคืเลขฐานสอง ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 2 ตัวตัเลขฐานแปด ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 8 ตัวตัเลขฐาน สิบสิ ประกอบด้วด้ยตัวตัเลข 10 ตัวตัและเลขฐานสิบสิหก ประกอบด้วด้ยเลข 10 ตัวตัและตัวตัอักอัษร 6 ตัวตัซึ่งซึ่เราสามารถนำ -เลขฐานต่าต่ง ๆ มาแปลงเป็นป็เลขฐานของระบบตัวตัเลขได้ คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 3 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 3

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่4 การคำคำ คำคำ นวณเลขฐาน

หลักการบวก การคำ นวณเลขฐาน 20 ตัวตัอย่าย่ง (A9D2) + (0F57) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ A9D2 + 0F57 ตอบ (B929) อธิบธิาย 1. 2+7 = (9) 10 = (9)16 ใส่ 9 2. 13+5 = (18) 10 = (18 – 16 = 2) = (12) 16 ใส่ 2 ทดไป 1 3. 9+15+1(ตัวตัทด) = (25) 10 = (25 – 16 = 9) = (19) 16 ใส่ 9 ทดไป 1 4. 10+0+1(ตัวตัทด) = (11) 10 = (B) 16 ใส่ B 1.ให้บห้วกตามปกติเติหมือมืนเลขฐานสิบสิ 2.ถ้าถ้ผลบวกที่ไที่ ด้มีด้ค่มีาค่ ไม่เม่กินกิค่าค่เลขฐานนั้นนั้ๆ ให้ให้ส่ผส่ลลัพลัธ์ไธ์ด้เด้ลย ถ้าถ้ผลบวกที่ไที่ ด้มีด้ค่มีาค่เกินกิค่าค่เลขฐานนั้นนั้ๆ ให้เห้ปลี่ย ลี่ นผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้เด้ป็นป็เลขฐานนั้นนั้ๆ แล้วล้ ใส่ LSB หรือรื LSD เป็นป็ผลลัพลัธ์ ส่วส่นที่เ ที่ หลือลืจะเป็นป็ตัวตัทด 3. 4.กรณีที่ณีมี ที่ ตัมีวตัทดให้เห้ปลี่ย ลี่ นตัวตัทดเป็นป็เลขฐานสิบสิแล้วล้จึงจึเริ่มริ่ทำ ข้อข้ 1 และทำ ไปเรื่อรื่ย ๆ จนหมดทุกทุหลักลั ตัวตัอย่าย่ง (1101) + (1011) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 1101 + 1011 ตอบ (11000) อธิบธิาย 1. 1+1 = (2) 10 = (10) 2 ใส่ 0 ทดไป 1 2. 0+1+1(ตัวตัทด) = (2) 10 = (10) 2 ใส่ 0 ทดไป 1 3. 1+0+1(ตัวตัทด). = (2) 10 = (10) 2 ใส่ 0 ทดไป 1 4. 1+1+1(ตัวตัทด) = (3) 10 = (11) 2 ใส่ 11 2 2 2 2 ตัวตัอย่าย่ง (4257) + (5650) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 4257 + 5650 ตอบ (12127) อธิบธิาย 1. 7+0 = (7) 10 = (7) 8 ใส่ 7 2. 5+5 = (10) 10 = (10 – 8 = 2) = (12) 8 ใส่ 2 ทดไป 1 3. 2+6+1(ตัวตัทด) = (9) 10 = (9 – 8 = 1) = (11) 8 ใส่ 1 ทดไป 1 4. 4+5+1(ตัวตัทด) = (10) 10 = (10 – 8 = 2) = (12) 8 ใส่ 12 8 8 8 8 16 16 16 16 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 4 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 4

ตัวตัอย่าย่ง (4257) – (650) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 4257 – 650 ตอบ (3407) อธิบธิาย 1. 7 – 0 = (7) 8 ใส่ 7 2. 5 – 5 = (0) 8 ใส่ 0 3. 2 – 6 ยืมยืหลักลัถัดถั ไปมา 8 = (2+8) – 6 = (4) 8 ใส่ 4 4. ถูกถูยืมยื ไปเหลือลื 3 – 0 = (3) 8 ใส่ 3 ตัวตัอย่าย่ง (A9D2) – (0F57) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ A9D2 – 0F57 ตอบ (9A7B) อธิบธิาย 1. 2 – 7 ยืมยืหลักลัถัดถั ไปมา 16 =(2+16) – 7 = (11) 10 = (B)16 ใส่ B 2. ถูกถูยืมยื ไปเหลือลื (C) 16 = 12 – 5 = (7) 10 = (7) 16 ใส่ 7 3. 9 – (F) 16 = 9 – 15 ยืมยืหลักลัถัดถั ไปเป็นป็ (9+16) – 15 = (10) 10 = (A) 16 ใส่ A 4. ถูกถูยืมยื ไปเหลือลื 9 – 0 = (9) 16 ใส่ 9 หลักการลบ การคำ นวณเลขฐาน 21 1. กรณีหณีลักลัตัวตัตั้งตั้เท่าท่กันกัหรือรืมากกว่าว่ตัวตัลบให้ลห้บตามปกติเติหมือมืนเลขฐานสิบสิ 2. กรณีที่ณีล ที่ บไม่ไม่ด้ต้ด้อต้งยืมยืจากหลังลัถัดถั ไปมาเท่าท่กับกัเลขฐานนั้นนั้ๆ แล้วล้บวกกับกัตัวตัตั้งตั้ในหลักลัที่จ ที่ ะลบ เช่นช่ เลขฐานสองก็ต้ก็อต้งยืมยืมา 2 เลขฐานแปดยืมยืมา 8 และเลขฐานสิบสิหกก็ยืก็มยืมา 16 3. ผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้ต้ด้อต้งเป็นป็จำ นวนเลขที่ไที่ ม่เม่กินกิเลขฐานนั้นนั้ๆ 4. หลักลัที่ถู ที่ กถูยืมยืมาจะต้อต้งลดลง 1 เสมอ ตัวตัอย่าย่ง (1101) – (1011) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 1101 – 1011 ตอบ (0010) อธิบธิาย 1. 1 – 1 = (0) 2 ใส่ 0 2. 0 – 1 ยืมยืบิตบิถัดถั ไปมา 2 = (0 + 2) – 1 = (1) 2 ใส่ 1 3. ถูกถูยืมยื ไปเหลือลื 0 – 0 = (0) 2. 1 – 1 = (0) 2 ใส่ 0 2 2 2 2 8 8 8 8 16 16 16 16 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 4 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 4

หลักการคูณ การคำ นวณเลขฐาน 22 1. ตั้งตั้คูณคูตามปกติเติหมือมืนเลขฐานสิบสิ 2. ถ้าถ้ผลคูณคูมีค่มีาค่ ไม่มม่ากกว่าว่เลขฐานนั้นนั้ๆ ให้ให้ส่ผส่ลลัพลัธ์ไธ์ด้เด้ลย 3. กรณีผณีลคูณคูของคู่ใคู่ดมีค่มีาค่มากกว่าว่เลขฐานนั้นนั้ๆ ผลคูณคูที่ไที่ ด้นั้ด้นนั้จะเป็นป็เลขฐานสิบสิ ให้เห้ปลี่ย ลี่ นเป็นป็เลข ฐานนั้นนั้ๆ แล้วล้ ใส่ผส่ลลัพลัธ์ และมีตัมีวตัทด 4. กรณีมีณีตัมีวตัทด ให้นำห้นำผลคูณคูของหลักลัถัดถั ไปรวมกับกัตัวตัทดผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้ แล้วล้จึงจึเริ่มริ่ทำ ข้อข้ 2 และทำ ไป เรื่อรื่ยๆ จนครบทุกทุคู่ 5. นำ ผลคูณคูของตัวตัคูณคูแต่ลต่ะหลักลัมารวมกันกั ตัวตัอย่าย่ง (1101) x (101) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 1101 x 101 1101 0000 + 1101 1000001 ตอบ (1000001) ตัวตัอย่าย่ง (427) x (45) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 427 x 45 2563 + 2134 24123 ตอบ (24123) ตัวตัอย่าย่ง (2A9) x (45) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 2A9 x 45 D4D + AA4 B78D ตอบ (B78D) 16 16 16 16 8 8 8 8 2 2 2 2 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 4 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 4

ตัวตัอย่าย่ง (B78D) 16 /(2A9)16 = (……..)16 วิธีวิทำธี ทำ 2A9)B78D(45 AA4 D4D D4D ตอบ (45) 16 อธิบธิาย 1.ได้ผด้ลลัพลัธ์ 4 x ตัวตัหาร 2A9 = AA4 – 4 x 9 = 36 = (24) 16 ใส่ 4 ทด 2 – 4 x A = 40 + 2 = 42 = (2A)16 ใส่ A ทด 2 – 4 x 2 = 8 + 2 = 10 = (A) 16 ใส่ A 1.B78 – AA4 = D4D 2.ได้ผด้ลลัพลัธ์ 5 x ตัวตัหาร 2A9 = D4D 3.ได้ผด้ลลัพลัธ์ 5 x ตัวตัหาร 2A9 = D4D หลักการหาร การคำ นวณเลขฐาน 23 1. ใช้หช้ลักลัของการคูณคูเข้าข้มาช่วช่ย โดยการเดาผลหารก่อก่นแล้วล้นำ ผลที่ไที่ ด้มด้าคูณคูกับกัตัวตัหาร 2. นำ ผลคูณคูที่ไที่ ด้จด้ากข้อข้ 1 มาลบกับกัตัวตัตั้งตั้ โดยใช้หช้ลักลัการลบของเลขฐานนั้นนั้ๆ 3. ทำ เช่นช่นี้ไนี้ปเรื่อรื่ย ๆ จนครบเหมือมืนการหารเลขฐานสิบสิ ตัวตัอย่าย่ง (100001) /(1101) = (……..) วิธีวิทำธี ทำ 1101 )1000001(101 01101 001101 1101 0000 ตอบ (101) 2 ตัวตัอย่าย่ง (2134) 8 /(427)8 = (……..)8 วิธีวิทำธี ทำ 427)24123 2134 2563 2563 ตอบ (45) 8 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 4 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 4

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่5 ตรรกศาสตร์ร์เ ร์ เ ร์ บื้บื้ บื้ อ บื้บื้ อ บื้ งต้ต้ ต้ น ต้ น

2. การเชื่อชื่มประพจน์ ถ้าถ้ให้ p และ q เป็นป็ ประพจน์ เมื่อมื่นำ ประพจน์มน์าเชื่อชื่มกันกัด้วด้ยตัวตัเชื่อชื่มแล้วล้เราเรuยกประพจน์ใน์หม่ ว่าว่ ประพจน์เน์ชิงชิประกอบ ซึ่งซึ่ตัวตัเชื่อชื่มที่ใที่ ช้จช้ะมี 5 ตัวตัคือคื 1) ตัวตัเชื่อชื่ม และ ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ คือคื " ∧ " 2) ตัวตัเชื่อชื่ม หรือรื ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ คือคื " ∨ " 3) ตัวตัเชื่อชื่ม ถ้าถ้... แล้วล้ ... ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ คือคื " → " 4) ตัวตัเชื่อชื่ม ก็ต่ก็อต่เมื่อมื่ ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ คือคื " ↔ " 5) ตัวตัเชื่อชื่ม นิเนิสธ ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์แณ์ทนด้วด้ย " ~ " ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 25 ประพจน์ ประพจน์ คือคื ประโยคบอกเล่าล่หรือรืปฏิเฏิสธที่มี ที่ ค่มีาค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรืเท็จท็ อย่าย่งใดอย่าย่งหนึ่งนึ่เท่าท่นั้นนั้ ตัวตัอย่าย่ง ประโยคที่เ ที่ ป็นป็ ประพจน์ ดาวอังอัคารเป็นป็ดาวเคราะห์ (จริงริ) จังจัหวัดวัลพบุรีบุไรีม่อม่ยู่ทยู่างภาคใต้ขต้องประเทศไทย (จริงริ) 5 ≠ 8 (จริงริ) 19 + 4 ≠ 23 (เท็จท็) π เป็นป็จำ นวนตรรกยะ (เท็จท็) ประโยคที่ไที่ ม่เม่ ป็นป็ ประพจน์ ได้แด้ก่ ข้อข้ความที่อ ที่ ยู่ใยู่นรูปรูของ คำ ถาม คำ สั่งสั่คำ ขอร้อร้ง คำ อุทาน คำ อ้ออ้นวอน คำ แสดงความ ปรารถนา สุภสุาษิตษิคำ พังพัเพย ประโยคเปิดปิเพราะข้อข้ความดังดักล่าล่วไม่สม่ามารถบอกค่าค่ความจริงริได้ ตัวตัอย่าย่งประโยคที่ไที่ ม่เม่ ป็นป็ ประพจน์ คำ ถาม เช่นช่ 3 หารด้วด้ย 2 มีค่มีาค่เท่าท่ ไร คำ สั่งสั่เช่นช่จงยืนยืขึ้นขึ้ คำ ขอร้อร้ง เช่นช่ช่วช่ยกันกัรักรัษาความสะอาด คำ อ้ออ้นวอน เช่นช่ โปรดเมตตาด้วด้ยเถิดถิ คำ แสดงความปรารถนา เช่นช่อยากเห็นห็หน้าน้เธออีกอีสักสัครั้งรั้ คำ อุทาน เช่นช่ โอ้ยอ้ สุภสุาษิตษิคำ พังพัเพย เช่นช่วัววัหายล้อล้มคอก ประโยคเปิดปิเช่นช่เขาเป็นป็นักนักีฬกีา คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5 ตารางค่าค่ความจริงริของตัวตัเชื่อชื่ม

ประพจน์ที่น์ส ที่ มมูลมูกันกั ประพจน์สน์องประพจน์ใน์ด จะสมมูลมูกันกัก็ต่ก็อต่เมื่อมื่ประพจน์ทั้น์งทั้สองมีค่มีาค่ความจริงริเหมือมืนกันกัทุกทุกรณี ใช้ สัญสัลักลัษณ์ ≡ แทนคำ ว่าว่สมมูลมูประพจน์ที่น์ส ที่ มมูลมูกันกัจะสามารถใช้แช้ทนกันกั ได้ เนื่อนื่งจากมีค่มีาค่ความจริงริ เหมือมืนกันกัทุกทุกรณี การตรวจสอบว่าว่ ประพจน์สน์มมูลมูกันกัหรือรืไม่ ทำ ได้ 2 วิธีวิ ธีดังดันี้ 4.1 ใช้ตช้ารางแสดงค่าค่ความจริงริ ตัวตัอย่าย่ง จงตรวจสอบว่าว่ ประพจน์ต่น์อต่ ไปนี้ส นี้ มมูลมูกันกัหรือรืไม่ 1. p → q กับกั ~p ∨ q ข้อข้สังสัเกต 1) การเชื่อชื่มประพจน์ด้น์วด้ยตัวตัเชื่อชื่ม และ " ∧ " จะเป็นป็ T เมื่อมื่ p และ q เป็นป็ T ทั้งทั้คู่ 2) การเชื่อชื่มประพจน์ด้น์วด้ยตัวตัเชื่อชื่ม หรือรื " ∨ " จะเป็นป็ F เมื่อมื่ p และ q เป็นป็ F ทั้งทั้คู่ 3) การเชื่อชื่มประพจน์ด้น์วด้ยตัวตัเชื่อชื่ม ถ้าถ้... แล้วล้ ... " → " จะเป็นป็ F เมื่อมื่ p เป็นป็ T และ q เป็นป็ F 4) การเชื่อชื่มประพจน์ด้น์วด้ยตัวตัเชื่อชื่ม ก็ต่ก็อต่เมื่อมื่ " ↔ " จะเป็นป็ T เมื่อมื่ p และ q มีค่มีาค่ความจริงริตรงกันกั การสร้าร้งตารางค่าค่ความจริงริ กำ หนด p , q , r เป็นป็ ประพจน์ที่น์ ไที่ ม่ไม่ด้กำด้ กำหนดค่าค่ความจริงริมาให้ จะเรียรีกประพจน์ที่น์มี ที่ ตัมีวตัเชื่อชื่มว่าว่รูปรู แบบประพจน์ เช่นช่ ~p , p ∧ q , p → q , ( p ∨ q ) ↔ r เป้นป้ต้นต้ ในการหาค่าค่ความจริงริของรูปรูแบบประพจน์ จะต้อต้งพิจพิารณาค่าค่ความจริงริที่เ ที่ ป็นป็ ไปได้ขด้องประพจน์ย่น์อย่ย ทุกทุกรณี โดยการสร้าร้งตารางค่าค่ความจริงริ จำ นวนกรณีที่ณีพิ ที่ จพิารณา = 2n กรณี เมื่อมื่ n คือคืจำ นวนประพจน์ย่น์อย่ยของรูปรูแบบประพจน์นั้น์นนั้ จะเห็นห็ว่าว่ค่าค่ความจริงริของ p → q กับกั ~p ∨ q ตรงกันกักรณีต่ณีอต่กรณี ดังดันั้นนั้ p → q สมมูลมูกับกั ~p ∨ q ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 26 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5

จะเห็นห็ว่าว่รูปรูแบบของประพจน์ [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีค่มีาค่จริงริเป็นป็จริงริทุกทุกรณี ดังดันั้นนั้ [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ ใช้รูช้ปแบบของประพจน์ที่น์ส ที่ มมูลมูกันกั รูปรูแบบของประพจน์ที่น์ส ที่ มมูลมูกันกัที่สำ ที่ สำคัญคั 1. p ∧ ~p ≡ F 2. p ∨ ~p ≡ T 3. p ∧ T ≡ p 4. p ∨ F ≡ p 5. ~(~p) ≡ p 6. p ∨ q ≡ q ∨ p 7. p ∧ q ≡ q ∧ p 8. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p ∨ q ∨ r 9. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ p ∧ q ∧ r 10. p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 11. p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 12. ~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q 13. ~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q 14. p → q ≡ ~q → ~p 15. p → q ≡ ~p ∨ q 16. ~( p → q ) ≡ p ∧ ~q 17. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) สัจสันิรันินรัดร์ ประพจน์ที่น์เ ที่ ป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ คือคืรูปรูแบบของประพจน์ที่น์มี ที่ มีค่าค่ความจริงริเป็นป็จริงริเสมอ ไม่ว่ม่าว่ ประพจน์ย่น์อย่ย จะมีค่มีาค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรืเท็จท็ก็ตก็าม เช่นช่ p ∨ ~p , p → p , ~( p ∧ ~p ) , p ↔ p เป็นป็ต้นต้ การตรวจสอบว่าว่ ประพจน์ใน์ดเป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ ทำ ได้ดัด้งดันี้ 1. ใช้ตช้ารางแสดงค่าค่ความจริงริ ตัวตัอย่าย่ง จงตรวจสอบว่าว่ ประพจน์ต่น์อต่ ไปนี้ เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์หร์รือรืไม่ 1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 27 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5

ใช้วิช้ธีวิกธีารหาข้อข้ขัดขัแย้งย้ ตัวตัอย่าย่ง จงตรวจสอบว่าว่ ประพจน์ต่น์อต่ ไปนี้ เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์หร์รือรืไม่ 1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) วิธีวิทำธี ทำสมมุติมุว่ติาว่ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นป็เท็จท็ จากแผนภาพ จะเห็นห็ว่าว่ค่าค่ความจริงริของ p และ q เป็นป็ ได้ทั้ด้งทั้จริงริและเท็จท็ แสดงว่าว่ ไม่มีม่กมีรณีที่ณีทำ ที่ ทำ ให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นป็เท็จท็ ดังดันั้นนั้รูปรูแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ การอ้าอ้งเหตุผตุล การอ้าอ้งเหตุผตุลจะประกอบด้วด้ยส่วส่นสำ คัญคั 2 ส่วส่นคือคื 1. ส่วส่นที่เ ที่ ป็นป็เหตุ หรือรืสิ่งสิ่ที่กำ ที่ กำหนดให้ ซึ่งซึ่ได้แด้ก่ P1 , P2 , P3 , … , Pn 2. ส่วส่นที่เ ที่ ป็นป็ผล ซึ่งซึ่ได้แด้ก่ Q ในการอ้าอ้งเหตุผตุลอาจจะสมเหตุสตุมผล (valid) หรือรืไม่สม่มเหตุสตุมผล (invalid) ก็ไก็ด้ ซึ่งซึ่มีวิมีธีวิกธีาร ตรวจสอบ คือคื ใช้ สัจสันิรันินรัดร์ โดยเชื่อชื่มเหตุทุตุกทุเหตุด้ตุวด้ยตัวตัเชื่อชื่ม ∧ แล้วล้นำ เหตุกัตุบกัผลมาเชื่อชื่มด้วด้ยตัวตัเชื่อชื่ม → ดังดันี้ ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 28 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5

จากแผนภาพ แสดงว่าว่รูปรูแบบของประพจน์ [( p → q ) ∧ p] → q เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ดัร์งดันั้นนั้ การอ้าอ้งเหตุผตุลนี้ส นี้ มเหตุสตุมผล ประโยคเปิดปิ ประโยคเปิดปิหมายถึงถึ ประโยคบอกเล่าล่หรือรื ประโยคปฏิเฏิสธที่มี ที่ ตัมีวตัแปร ประโยคเปิดปิจะไม่เม่ ป็นป็ ประพจน์ แต่เต่มื่อมื่แทนค่าค่ตัวตัแปรด้วด้ยสมาชิกชิ ในเอกภพสัมสัพัทพัธ์แธ์ล้วล้ ประโยคเปิดปินั้นนั้จะเป็นป็ ประพจน์ เช่นช่เขาเป็นป็นักนัดนตรี เป็นป็ ประโยคเปิดปิมีคำมี คำว่าว่ "เขา" เป็นป็ตัวตัแปร x + 5 < 0 เป็นป็ ประโยคเปิดปิมี x เป็นป็ตัวตัแปร 7x-2 ไม่เม่ ป็นป็ ประโยคเปิดปิเพราะเมื่อมื่แทนค่าค่ x แล้วล้ ไม่เม่ ป็นป็ ประพจน์ สัญสัลักลัษณ์แณ์ทนประโยคเปิดปิ ใดๆ ที่มี ที่ มีx เป็นป็ตัวตัแปร เขียขีนแทนด้วด้ย P(x) ถ้าถ้รูปรูแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ แสดงว่าว่การอ้าอ้งเหตุผตุล นี้ สมเหตุสตุมผล ถ้าถ้รูปรูแบบ ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → Q ไม่เม่ ป็นป็สัจสันิรันินรัดร์ แสดงว่าว่การอ้าอ้ง เหตุผตุลนี้ ไม่สม่มเหตุสตุมผล ตัวตัอย่าย่ง จงตรวจสอบว่าว่การอ้าอ้งเหตุผตุลต่อต่ ไปนี้ส นี้ มเหตุสตุมผลหรือรืไม่ เหตุ 1. p → q 2. p ผล q วิธีวิทำธี ทำขั้นขั้ที่ 1 ใช้ ∧ เชื่อชื่มเหตุเตุข้าข้ด้วด้ยกันกัและใช้ → เชื่อชื่มส่วส่นที่เ ที่ ป็นป็เหตุกัตุบกัผล จะได้รูด้ปรูแบบของประพจน์คืน์อคื [( p → q ) ∧ p] → q ขั้นขั้ที่ 2 ตรวจสอบรูปรูแบบของประพจน์ที่น์ ไที่ ด้ว่ด้าว่เป็นป็สัจสันิรันินรัดร์หร์รือรืไม่ ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 29 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5

การหาค่าค่ความจริงริของประโยคที่มี ที่ ตัมีวตับ่งบ่ ปริมริาณสองตัวตัมีหมีลักลัการดังดันี้ กำ หนดให้ U แทนเอกภพสัมสัพัทพัธ์ และ P(x,y) แทนประโยคเปิดปิที่มี ที่ มีx , y เป็นป็ตัวตัแปร ค่าค่ความจริงริของประโยคที่มี ที่ ตัมีวตับ่งบ่ ปริมริาณตัวตัแปรเดียดีว ประโยคที่มี ที่ ตัมีวตับ่งบ่ ปริมริาณนั้นนั้ โดยทั่วทั่ไปจะมีอมีงค์ปค์ระกอบ 3 ส่วส่น คือคื 1. ส่วส่นที่้เป็นป็ตัวตับ่งบ่ ปริมริาณ 2. ส่วส่นที่เ ที่ ป็นป็ ประโยคเปิดปิ 3. ส่วส่นที่เ ที่ ป็นป็เอกภพสัมสัพัทพัธ์ 10. ค่าค่ความจริงริของประโยคที่มี ที่ ตัมีวตับ่งบ่ ปริมริาณสองตัวตั ตัวตับ่งบ่ ปริมริาณ คือคืวลีที่ลี ใที่ ช้บช้อกจำ นวนของตัวตัแปรในประโยคเปิดปิว่าว่มีมมีากน้อน้ยเพียพีงใด ตัวตั บ่งบ่ ปริมริาณในทางตรรกศาสตร์ มี 2 ประเภท ดังดันี้ 1. ตัวตับ่งบ่ ปริมริาณที่ห ที่ มายถึงถึทั้งทั้หมด , แต่ลต่ะ. ,สำ หรับรั...ทุกทุตัวตั จะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์แณ์ทนด้วด้ย อ่าอ่นว่าว่ " for all" เช่นช่ สำ หรับรั x ทุกทุตัวตัซึ่งซึ่ x+ 5=4 เขียขีนแทนด้วด้ย Vx[x + 5 = 4] 2. ตัวตับ่งบ่ ปริมริาณที่ห ที่ มายถึงถึมีอมีย่าย่งน้อน้ยหนึ่งนึ่,บาง ,สำ หรับรั. ..บางตัวตั จะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์แณ์ทนด้วด้ย อ่าอ่นว่าว่ " for some " เช่นช่ มี < อย่าย่งน้อน้ยหนึ่งนึ่ตัวตัซึ่งซึ่ 2x - 3 < - 1 เขียขีนแทนด้วด้ย 3x[2x - 3 < -1] ตรรกศาสตร์เร์บื้อบื้งต้นต้ 30 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 5 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 5

หน่ น่วยการเรีรีย รี ย รี นรู้รู้ รู้ ที่ รู้ รู้ ที่ รู้ ที่ที่6 พีพีข พี ข พี คณิณิต ณิ ต ณิ บูบู บู ลี บู ลี ลี น ลี นและ วงจรตรรกะ

พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 32 ในการคำ นวณของคอมพิวพิเตอร์นั้ร์นนั้จะใช้สัช้ญสัญาณทางไฟฟ้าฟ้สองลักลัษณะในการคำ นวณดังดั นั้นนั้การคำ นวณจึงจึอยู่บยู่นพื้นพื้ฐานของระบบเลขฐานสอง ในการออกแบบวงจรทางไฟฟ้าฟ้ (ส่วส่น ที่เ ที่ รียรีกว่าว่ฮาร์ดร์แวร์ เพื่อพื่ที่จ ที่ ะให้คห้อมพิวพิเตอร์สร์ามารถ คำ นวณ หรือรื ประมวลผลสัญสัญาณที่ แทนเลขฐานสองนั้นนั้จะตั้งตั้อยู่บยู่นพื้นพื้ฐานของหลักลัการตรรกศาสตร์ ซึ่งซึ่มีสมีถานะสอง ลักลัษณะ คือคืค่าค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรืเป็นป็เท็จท็ โดยเฉพาะเมื่อมื่ต้อต้งการให้คห้อมพิวพิเตอร์ ตัดตัสินสิ ใจ กระทำ หรือรืไม่กม่ระทำ สิ่งสิ่ใดสิ่งสิ่หนึ่งนึ่นั้นนั้ต้อต้งมีเมีหตุ ปัจปัจัยจัตามที่กำ ที่ กำหนด ในการนำ เอาหลักลัการตรรกศาสตร์ ที่ไที่ ด้เด้รียรีนในหน่วน่ยการเรียรีนที่ผ่ ที่ าผ่นมา มาสร้าร้งเป็นป็วงจร ทางไฟฟ้าฟ้ของคอมพิวพิเตอร์นั้ร์นนั้เราจะเริ่มริ่จากแนวคิดคิของประตูตตูรรกะ (Logic gate) ต่าต่งๆ แล้วล้ ประกอบกันกัเป็นป็วงจรตรรกะ (Logic circuit) ที่มี ที่ คมีวามชับชัซ้อซ้นขึ้นขึ้เพื่อพื่ที่จ ที่ ะคำ นวณ พีชพีคณิตของเลขฐานสองได้ ก่อก่นจะศึกศึษาแนวคิดคิของประตูตตูรรกะในเชิงชิวงจรไฟฟ้าฟ้ ให้พิห้จพิารณาแนวคิดคิของประตู ตรรกะที่แ ที่ สดงได้ด้ด้วด้ยระบบส่งส่น้ำ ตามท่อท่ ไปยังยัผู้ใผู้ช้ จากรูปรูถ้าถ้กำ หนดให้ สถานะของประตูน้ำตูน้ำ (Valve) เปิดปิแทนด้วด้ยค่าค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรื V = T และให้สห้ถานะของ ประตูน้ำตูน้ำปิดปิแทนด้วด้ยค่าค่ความจริงริเป็นป็เท็จท็หรือรื v = F จะ เห็นห็ว่าว่ เมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำเปิดปิหรือรื v = T บ้าบ้นจะได้รัด้บรัน้ำ จากแทงค์ ส่งส่น้ำ โดยอาจแทนสถานะของบ้าบ้นที่ไที่ ด้รัด้บรัน้ำ ด้วด้ยค่าค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรืให้ = T ในทาง กลับลักันกัถ้าถ้สถานะของประตูน้ำตูน้ำปิดปิหรือรื v = F บ้าบ้นก็จก็ะไม่ไม่ด้รัด้บรัน้ำ ซึ่งซึ่เราแทนด้วด้ยค่คค่วาม จริงริเป็นป็เท็จท็หรือรืให้ h = F จากแนวคิดคิดังดักล่าล่วข้าข้งต้นต้จะพิจพิารณาเหตุกตุารณ์ ในกรณีต่ณีาต่งๆ ดังดัต่อต่ ไปนี้ ก) ถ้าถ้มีปมีระตูน้ำตูน้ำสองประตู ต่อต่กันกัแบบอนุกนุรม (series) ซึ่งซึ่จะเห็นห็ว่าว่บ้าบ้นจะได้รัด้บรัน้ำ ก็ ต่อต่เมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำทั้งทั้สองประตูต้ตูอต้งเปิดปิถ้าถ้ประตูใตูดประตูหตูนึ่งนึ่ปิดปิบ้าบ้นก็จก็ะไม่ไม่ด้รัด้บรัน้ำ ซึ่งซึ่สามารถ เขียขีนสรุปรุเป็นป็ตารางค่าค่ความจริงริได้ดัด้งดันี้ รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

ตารางค่าค่ความจริงริเมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำสองประตูต่ตูอต่แบบอนุกนุรม เมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำสองประตูต่ตูอต่แบบอนุกนุรม สังสัเกตจากตารางค่าค่ความจริข้ริาข้งต้นต้จะเห็ว่ห็าว่เนตารางค่าค่ความจริงริของประพจน์ ผสมที่เ ที่ ชื่อชื่มด้วด้ย และ นั่นนั่เอง (h = V1 ㆍV2) โดยทั่วทั่ไปในวงจรไฟฟ้าฟ้เราจะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ แทนตัวตัเชื่อชื่ม และ ซึ่งซึ่จะเรียรีกว่าว่ AND gate และเนื่อนื่งจากนำ เลขฐานสองมาใช้ใช้นการคำ นวณ จะให้ 0 แทนค่าค่ความจริงริเป็นป็เท็จท็หรือรื F = 0 และ ให้ 1 แทนค่าค่ความจริงริเป็นป็จริงริหรือรื T= 1 ดังดันั้นนั้จากตารางค่คค่วามจริงริของประพจน์ ผสมที่เ ที่ ชื่อชื่มด้วด้ย และ จะสามารถแทนด้วด้ยสัญสัลักลัษณ์ดัณ์งดัในรูปรู สัญสัลักลัณ์ขณ์องตัวตัเชื่อชื่มประพจน์แน์ละในกรณีอิณีนอิพุตต่าต่ง ๆ พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 33 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

ข) ในกรณีที่ณี ปที่ ระตูน้ำตูน้ำสองประตูต่ตูอต่กันกัแบบขนาน ซึ่งซึ่แสดงกรณีต่ณีาต่งๆ ของการปิดปิเปิดปิ ประตูน้ำตูน้ำที่ส ที่ ามารถเป็นป็ ไปได้แด้ละผลลัพลัธ์ที่ธ์บ้ ที่ าบ้นจะได้รัด้บรัน้ำ ซึ่งซึ่จะเห็นห็ว่าว่ ในทุกทุกรณีนี้ณีจ นี้ ะได้รัด้บรัน้ำ ยกเว้นว้เมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำทั้งทั้สองถูกถูปิดปิหรือรืมีค่มีาค่ความจริงริเป็นป็เท็จท็ซึ่งซึ่สามารถสรุปรุเป็นป็ตารางค่าค่ ความจริงริได้ดัด้งดันี้ ตารางค่าค่ความจริงริเมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำสองประตูต่ตูอต่กันกัแบบขนาด จากตารางสังสัเกตได้ว่ด้าว่เป็นป็ตารางค่าค่ความจริงริของประพจน์ผน์สมที่เ ที่ ชื่อชื่มด้วด้ย หรือรืนั่นนั่เอง (h = V + V ) ในทางไฟฟ้าฟ้จะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ - แทนตัวตัเชื่อชื่ม หรือรืซึ่งซึ่จะเรียรีกว่าว่ OR gate ดังดันั้นนั้ ในกรณี ต่าต่งๆ ของสถานะของ ประตูน้ำตูน้ำผลลัพลัธ์ที่ธ์ ไที่ ด้จด้ากการเชื่อชื่มด้วด้ย หรือรืสามารถเขียขีนแทนด้วด้ย สัญสัลักลัษณ์ดัณ์งดันี้ ประตูรตูะบายน้ำ ทิ้งทิ้ พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 34 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

จากรูปรูเมื่อมื่สถานะของประตูน้ำตูน้ำเปิดปิหรือรืเป็นป็จริงริบ้าบ้นจะไม่ไม่ด้รัด้บรัน้ำ หรือรืมีสมีถานะเป็นป็เท็จท็และ เมื่อมื่ประตูน้ำตูน้ำปิดปิหรือรืเป็นป็เท็จท็บ้าบ้นจึงจึได้รัด้บรัน้ำ หรือรืมีสมีถานะเป็นป็จริงริสรุปรุค่าค่ความจริงริเป็นป็ ตารางได้ดัด้งดันี้ ซึ่งซึ่จะเห็นห็ ได้ว่ด้าว่เป็นป็ตารางค่าค่ความจริงริของนิเนิสธของงประพจน์นั่น์นนั่เอง ( h = v) และในทางไฟฟ้าฟ้จะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ ตารางค่าค่ความจริงริของสถานะประตู สัญสัลักลัษณ์ขณ์องนิเนิสธในกรณีต่ณีาต่ง ๆ จากกรณีเณีปรียรีบเทียทีบทั้งทั้สามกรณีกัณีบกัระบบสงน้ำ ทำ ให้ไห้ด้แด้นวคิดคิของประตูตตูรรกะทั้งทั้สาม แบบดังดักล่าล่วข้าข้งต้นต้ (ประตู = Gate) และประตูทั้ตูงทั้สามแบบดังดักล่าล่วเป็นป็พื้นพื้ฐานหลักลัของการ ออกแบบวงจรตรรกะที่ซั ที่ บซัซ้อซ้นอื่นอื่ๆ ที่เ ที่ กิดกิจากการผสมประพจน์แน์บบต่าต่งๆ เพราะประพจน์ผน์สม ที่ซั ที่ บซัซ้อซ้นเหล่าล่นั้นนั้จริงริๆ แล้วล้สามารถแทนได้ด้ด้วด้ยการเชื่อชื่มด้วด้ย และ หรือรืนิเนิสธ แม้กม้ระทั่งทั่การ เชื่อชื่มประพจน์ด้น์วด้ยเงื่องื่นไข ก็สก็ามารถแทนด้วด้ยประพจน์สน์มมูลมูประกอบไปด้วด้ยปรพจน์พื้น์พื้นพื้ฐานทั้งทั้ สามดังดักล่าล่วช้าช้งต้นต้ (ให้ดูห้ตัดูวตัอย่าย่งในหน่วน่ยการเรียรีนที่ผ่ ที่ าผ่นมา) พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 35 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

แสดงประตูตตูรรกะ สัญสัลักลัษณ์ และตารางค่าค่ความจริงริ ตัวตัอย่าย่ง จากวงจรตรรกะที่ปที่ ระกอบไปด้วด้ยประตูตตูรรกะแบบต่าต่งๆ ให้หห้าค่าค่ของ สัญสัญาณออก ร เมื่อมื่กำ หนดให้สัห้ญสัญาณเข้าข้ p =1 , 9 = 0 และ r = 1 วิธีวิทำธี ทำ สัญสัญาณออกจาก ประตู OR จะมีค่มีาค่เป็นป็ 1 เพราะสัญสัญาณเข้าข้ p = 1 แล้วล้ถูกถูกลับลั สัญสัญาณไปเป็นป็ 0 เมื่อมื่ผ่าผ่น ประตู NOT ซึ่งซึ่เมื่อมื่นำ ไปเชื่อชื่มกับกัสัญสัญาณเข้าข้ r = 1 ด้วด้ย ประตู AND ทำ ให้ไห้ด้สัด้ญสัญาณออก s=0 ดังดัแสดงในรูปรูข้าข้งล่าล่งนี้ วงจรตรรกะของตัวตัอย่าย่ง สัญสัญาณออกที่ไที่ ด้ตด้ามค่าค่ของสัญสัญาณเข้าข้จากโจทย์ พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 36 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

เมื่อมื่การเชื่อชื่มต่อต่ของประพจน์ผน์สมมีคมีวามซับซัซ้อซ้นขึ้นขึ้ ในการออกแบบวงจรทางตรรกะก็จก็ะมี ความซับซัซ้อซ้นขึ้นขึ้เป็นป็เงาตามตัวตันักนัคณิตณิศาสตร์ชร์าวอังอักฤษ ชื่อชื่จอร์จร์บูลบู (George Boole) ได้เด้ป็นป็ผู้เผู้ริ่มริ่ ใช้หช้ลักลัตรรกศาสตร์ ที่ปที่ ระกอบด้วด้ยสัญสัลักลัษณ์สณ์องลักลัษณะ (T กับกั F หรือรื 1 กับกั 0) ซึ่งซึ่เป็นป็ที่ม ที่ าของพีชพีคณิตณิบูลีบูนลีซึ่งซึ่จะเกี่ย กี่ วข้อข้งกับกัการคำ นวณทางตรรกะ เราจะเรียรีกตัวตัแปร ใดๆ ก็ตก็ามที่มี ที่ ค่มีาค่เป็นป็สองสถานะ ว่าว่เป็นป็ตัวตัแปรแบบบูลีบูนลีและประพจน์ผน์สมที่ปที่ ระกอบด้วด้ยตัวตั แปรแบบบูลีบูนลีเชื่อชื่มต่อต่ด้วด้ย นิเนิสธและ หรือรื ( ~ ㆍ + ) ว่าว่เป็นป็ ประพจน์แน์บบบูลีบูนลี ในการคำ นวณ ของเครื่อรื่งคอมพิวพิเตอร์ ซึ่งซึ่อาศัยศัหลักลัการพีชพีคณิตณิบูลีบูนลีนั้นนั้มักมัจะใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ 0 และ 1 แทน F และ T ดังดันั้นนั้ ในเรื่อรื่งการคำ นวณแบบบูลีบูนลีต่อต่ ไปนี้ เราจะใช้ 0 และ 1 และตัวตักระทำ ทาง คณิตณิศาสตร์ขร์องบูลีบูนลีซึ่งซึ่จะประกอบไปด้วด้ย ~ ㆍ และ + ข้อข้สังสัเกต ตำ ราบางเล่มล่ ใช้สัช้ญสัลักลัษณ์ เป็นป็ ~ แทน "นิเนิสธ" ^ แทน"และ" V แทน "หรือรื" เพื่อพื่ ไม่ใม่ห้เห้กิดกิความสับสัสนกับกัการคำ นวณใน ระบบตัวตัเลขฐานสอง ดังดันั้นนั้ ในกรณีที่ณีเ ที่ ป็นป็พิชพิคณิตณิบูลีบูนลีผู้เผู้รียรีนต้อต้งไม่สัม่บสัสนกับกักาคำ นวณของ พีชพีคณิตณิ ในระบบเลขฐานสอง เมื่อมื่ ใช้เช้ครื่อรื่งหมาย ㆍ และ + (โดยเฉพาะเครื่อรื่งหมาย +) พีชพีคณิตณิบูลีบูนลี ในการคำ นวณแบบพืชพืคณิตณิบูลิบูนลิจริงริๆ แล้วล้สามารถใช้ตช้ารางค่าค่ความจริงริในการหา คำ ตอบได้ โดยเปลี่ย ลี่ นจากค่าค่ความจริงริเป็นป็ตั๋วตั๋เลขแทน ดังดันี้ 1. ตัวตักระทำ หรือรืตัวตัเชื่อชื่ม หรือรื ประตูตตูรรกะแบบ AND (และ) 1ㆍ 1 = 1 (ได้จด้าก TㆍT= T) 1ㆍ0 = 0 (ได้จด้าก TㆍF = F) 0ㆍ1 = 0 (ได้จด้าก F ㆍT = F) 0ㆍ0 = 0 (ได้จด้าก F ㆍF = F) 2. ตัวตักระทำ า หรือรืตัวตัเชื่อชื่ม หรือรื ประตูตตูรรกะแบบ OR (หรือรื) 1+1=1 1+0=1 0 +1= 1 0+0=0 3. ตัวตักระทำ หรือรื ประตูตตูรรกะแบบ NOT (นิเนิสธ) 1= 0 0 = 1 ตัวตัอย่าย่ง จากประพจน์แน์บบบูลีบูนลี s = p (q + r) ให้หห้าค่าค่ s เมื่อมื่กำ หนดให้ p = 0 q=0 r=1 วิธีวิทำธี ทำ จากประพจน์บูน์ลีบูนลีเมื่อมื่เราแทนค่าค่ตัวตัแปรตามโจทย์กำย์ กำหนด แล้วล้ทาการหาค่าค่ทีลทีะ ขั้นขั้ตอนโดยทำ ในวงเล็บล็ก่อก่น จะได้ผด้ลลัพลัธ์ดัธ์งดันี้ S =0.(0+1) =1.(0+0) = 1.0 =0 พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 37 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

การเขียขีนประพจน์บูน์ลีบูนลีจา ตัวตัอย่าย่ง จากวงจรตรรกะในรูปรูจงเขียขีนประพจน์บูน์ลีบูนลีที่เ ที่ ป็นป็สัญสัญาณออกจากวงจรตรรกะ วิธีวิทำธี ทำ จากรูปรูเขียขีนประพจน์ไน์ส่ไส่ ปจากทางซ้าซ้ยมีอมี ไปจนถึงถึสัญสัญาณออก r ซึ่งซึ่จะได้ดัด้งดัรูปรูต่อต่ ไปนี้ จากรูปรูสรุปรุได้ว่ด้าว่สัญสัญาณออก r = (p + q) ㆍ(p*q) เมื่อมื่ประพจน์บูน์ลีบูนลีมีคมีวามซับซัซ้อซ้นขึ้นขึ้ โดยอาจประกอบไปด้วด้ยตัวตัแปรบูลีบูนลีหลายๆ ตัวตัแปร และตัวตักระทำ หรือรืประตูตตูรรกะหลายๆ แบบผสมกันกัการหาค่าค่ของประพจน์บูน์ลีบูนลีก็จก็ะยากขึ้นขึ้ นอกจากนี้ในี้ นการออกแบบวงจรตรรกะ อาจต้อต้งเปลี่ย ลี่ นรูปรูประพจน์บูน์ลีบูนลี ไปเป็นป็รูปรูสมมูลมูอื่นอื่ๆ ที่เ ที่ หมาะสมในการสร้าร้งวงจรตรรกะ ซึ่งซึ่อาจมีข้มีอข้จำ กัดกั ในทางวงจรไฟฟ้าฟ้ดังดันั้นนั้ ในหัวหัข้อข้นี้จ นี้ ะ เรียรีนรู้วิรู้ธีวิกธีารเปลี่ย ลี่ นรูปรูแบบของประพจน์บูน์ลีบูนลี ไปเป็นป็ ประพจน์สน์มมูลมูในแบบต่าต่งๆ โดยใช้กช้ฎ ต่าต่งๆของพีชพีคณิตณิบูลีบูนลี กฎพื้นพื้ฐานของพีชพีคณิตณิบูลีบูนลี 1. กฎของการสลับลัที่ (Commutative laws) -p+q =q+p - pㆍq = qㆍp 2. กฎของการกระจาย (Distributive laws) -p+(q.r) =(p+q)・(p+r) -p・(q+r)=(p・q)+(por) 3. กฎของเอกลักลัษณ์ (Identity laws) - p+0 = p - pㆍ1 = p สมบัติบัต่ติาต่งๆของพีชพีคณิตณิบูนบูลี พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 38 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6

9. กฎของการซึมซึซับซั (Absorption laws) - p +(pㆍq) = p - pㆍ(p +q) = p 10. กฎของการจัดจัหมู่ (Associative laws) -(p+q)+r=p+(q+r) - (pㆍq)・r =pㆍ(q·r) 11. กฎของเดอมอร์แร์กน (DeMorgan's laws) -(p+q)=pㆍ可 -(pㆍq)=p+ กฏทั้งทั้หมดดังดักล่าล่ว สามารถพิสูพิจสูน์ไน์ด้ด้ด้วด้ยการสร้าร้งตารางค่าค่ความจริงริเพื่อพื่แสดงให้เห้ห็นห็ว่าว่ ประพจน์ทน์างด้าด้นซ้าซ้ยของกฎสมมูลมูกับกั ประพจน์ทน์างด้าด้นขวาของกฎ (ค่าค่ความจริงริเหมือมืนกันกั ทุกทุกรณี)ณีกฏของพิชพิคณิตณิบูลีบูนลีดังดักล่าล่ว มีปมีระโยชน์ใน์นการนำ ไปหาประพจน์สน์มมูลมูที่อ ที่ ยู่ใยู่นรูปรูที่ เหมาะกับกัการนำ ไปออกแบบวงจรตรรกะ ซึ่งซึ่จะได้ศึด้กศึษาในหัวหัข้อข้ต่อต่ ไป ตัวตัอย่าย่ง จงพิสูพิจสูน์กน์ฎของการซึมซึซับซั p +(p ㆍ ฯ = p โดยใช้กช้ฎข้อข้อื่นอื่ๆ (ไม่ใม่ช้ตช้ารางค่าค่ความจริงริ) วิธีวิทำธี ทำ ขั้นขั้ตอนที่ 1 จากกฎของเอกลักลัษณ' p = p ㆍ 1 ดังดันั้นนั้ p+(p・q)=(p.1)+(p.q) ขั้นขั้ตอนที่ 2 จากกฎการกระจาย p ㆍ (1+ q) = (pㆍ 1)+(pㆍ c) ดังดันั้นนั้ p +(pㆍq)=pㆍ(1t q) ขั้นขั้ตอนที่ 3 จากกฎการมีขมีอบเขต 1+ 9 = 1 ดังดันั้นนั้ p +(p.q)=p・1 ขั้นขั้ตอนที่ 4 จากกฎของเอกลักลัษณ' p ㆍ 1= p ดังดันั้นนั้ p +(p.q)=p พีขพีคณิตณิบูลีนลีและวงจรตรรกะ 39 4. กฎของสวนเติมติเต็มต็ (Complement laws) -p+p= 1 -p・p=0 5. กฎของนิเนิสธ (Negation laws) -p+p=1 -p・p=0 6. กฎของนิเนิสธซ้อซ้น (Double negation laws) -p = p 7. กฎของการไม่เม่ ปลี่ย ลี่ นแปลง (Idempotent) - p + p = p -p・p=p 8. กฎของการมีขมีอบเขต (Bound laws) - p+ 1= 1 -p.0=0 รวมแบบฝึกหัดหั บทที่ 6 คลิปลิสื่อสื่การเรียรีน การสอนบทที่ 6