รายงาน เรื่อง ดอกเบี้ย

รายงาน เรื่อง ดอกเบี้ย จัดทำ โดย นางสาวธิตยา พลไทยสงค์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5/1 เลขที่ 25 เสนอ คุณครูศศิธร ทองหล่อ รายงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2566

คำ นำ รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค32102 ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 5 โดยมีจุดประสงค์เพื่อศึกษาความรู้ที่ได้จากเรื่อง ดอกเบี้ย ซึ่งรายงานนี้มี เนื้อหาเกี่ยวกับความรู้จากการหาดอกเบี้ยคงต้น และดอกเบี้ยทบต้น ผู้จัดทำ ได้เลือกหัวข้อนี้ในการทำ รายงาน เนื่องมาจากเป็นเรื่องที่น่าสนใจและ ต้องขอขอบคุณ คุณครูศศิธร ทองหล่อ ผู้ให้ความรู้และแนวทางการศึกษา เพื่อน ๆ ทุกคนที่ ให้ ความช่วยเหลือมาโดยตลอดผู้จัดทำ หวังว่ารายงานฉบับนี้จะให้ความรู้ และเป็นประโยชน์ แก่ผู้อ่านทุก ๆ คน ธิตยา พลไทยสงค์ ผู้จัดทำ

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับดอกเบี้ย 1 ดอกเบี้ยทบต้น 2 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยทบต้น 3-4 ดอกเบี้ยคงต้น 5 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยคงต้น 6-7 ค่างวด 8-9 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของค่างวด 10-11 อ้างอิง 12 สารบัญ

ดอกเบี้ยคือ การประยุกต์ของลำ ดับและอนุกรม หมายถึง ผลตอบแทนที่เจ้าหนี้ได้รับตอบแทนจากการกู้ยืมหรือ ผลตอบแทนที่ได้รับจากการนำ ไปลงทุน โดยมีเงินต้น (principle) คือจำ นวนเงินที่ฝากหรือกู้ยืมไป และอัตราดอกเบี้ย (Interest rate) คือดอกเบี้ยที่เกิดจากเงินต้น หนึ่งหน่วยต่อเวลาของการกู้ยืม โดยปกติมีหน่วยเป็นบาทและ มีระยะเวลาของ การคิดดอกเบี้ย (time) เป็นปีดอกเบี้ย แบ่งออกได้เป็น 2 ประเภทที่สำ คัญในทางคณิตศาสตร์คือ ดอกเบี้ยคงต้น และ ดอกเบี้ยทบต้น ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับดอกเบี้ย เพื่อนๆควรมีความรู้ ความเข้าใจ เรื่อง ร้อยละ เปอร์เซ็นต์(%)ก่อน เพราะการคำ นวณดอกเบี้ย คำ นวณจากร้อยละของเงินต้น 1

ในกรณีที่มีการคิดดอกเบี้ยทบต้นมากกว่าปีละครั้ง เช่น ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้น สำ หรับเงินฝากในบัญชีออมทรัพย์ทุก 6 เดือนจะสามารถคำ นวณเงินรวมได้จาก P(1+r) ยกกำ ลัง n เมื่อ P แทนเงินต้น n แทนจำ นวนงวด และ r แทนอัตรา ดอกเบี้ยที่คิดแบบทบต้นต่องวด ในทางปฏิบัติ อัตราดอกเบี้ยที่ระบุจะเป็นอัตราดอกเบี้ยต่อปี ดังนั้น ในการคำ นวณจะ ต้องแปลงให้เป็นอัตราอกเบี้ยต่องวดก่อน เช่น อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี โดยคิดทบ ต้นทุก 3 เดือน แสดงว่าใน 1 ปี จะคิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง จะได้ อัตราดอกเบี้ย ต่องวดคือ 6% / 4 = 1.5% หรือ 0.015 ดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบี้ยทบต้น คือ ผลตอบแทนหรือดอกเบี้ยที่คิดจาก“เงินต้น” บวกกับดอกเบี้ยที่ได้รับจากงวดก่อนหน้า เช่น ถ้าเรามีเงินต้น 100,000 บาท และนำ ไปลงทุนได้ดอกเบี้ย (ผลตอบแทน) ปีละ 5% ปีแรกเราจะได้ดอกเบี้ย 5,000 บาท จากนั้นดอกเบี้ย ในปีแรกจะนำ ไปรวมกับเงินต้น และถูกนำ ไปคิดดอกเบี้ยในปีถัด ไปตามระยะเวลาที่ฝากเงิน 2

Ex : 1 จอยเป็นหนี้บัตรเครดิต 20,000 บาท ธนาคารคิดดอกเบี้ย 24% ต่อปี ธนาคารทวงหนี้จ๋อยทุกเดือน เป็นเวลา 3 เดือน เมื่อสิ้นเดือนที่ 3 จ๋อยนำ เงินไปชำ ระหนี้ เขาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยทบต้น 3 วิธีทำ ใช้สูตรคำ นวณดอกเบี้ยทบต้น เนื่องจากจอยไม่ชำ ระดอกเบี้ย ธนาคารจึงนำ ดอกเบี้ยที่ค้างชำ ระไปทบเป็นเงินต้นใน เดือนถัดไป การคิดดอกเบี้ยจึงต้องใช้สูตรคำ นวณดอกเบี้ยทบต้น เงินต้น 20,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 24% ต่อปี เนื่องจากธนาคารคิดดอกเบี้ยทุกเดือน การแทนค่าในสูตรจึงต้องใช้อัตราดอกเบี้ยต่อเดือน ปรับอัตราดอกเบี้ยให้เป็นต่อเดือน โดยหารด้วย 12อัตราดอกเบี้ย 24% ต่อ 12 เดือน = อัตราดอกเบี้ย 24% ÷ 12 ต่อ 12 ÷ 12 เดือน = อัตราดอกเบี้ย 2% ต่อ 1 เดือน ค้างชำ ระหนี้ 3 เดือน จึงมีการคิดดอกเบี้ย 3 ครั้ง เงินต้น 20,000 บาท คิดดอกเบี้ย 3 ครั้ง ครั้งละ 2% ต่อเดือน เงินรวม =เงินต้น P (1 + i)n เมื่อ i = อัตราดอกเบี้ย, n = จำ นวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย =20,000 x (1 + 0.02)3 =20,000 x (1.02)3 =20,000 x 1.061208 =21,224.16 บาท จอยต้องจ่ายเงินทั้งหมด 21,224.16 บาท A=P(1+i) ยกกำ ลัง n A = เงินรวมทั้งหมด P = เงินต้น i= อัตราดอกเบี้ยต่องวด n = จำ นวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น

2.2 วิธีทำ หาเงินรวมทั้งหมด โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน คิดทุก 3 เดือน ใน 1 ปี 4 ครั้ง และ 7 ปี ได้ 28 ครั้ง จะได้ n=28 , i=0.02/4 =0.005 A=P(1+i) ^ n A=50,000 (1+0.005)^28 A= 57,493 .63 ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยทบต้น Ex : 2 เมษาฝากเงินกับธนาคารแห่งหน่งเป็นจำ นวน 50,000 บาท ในระยะเวลา 7 ปี ธนาคารให้ ดอกเบี้ย 2% ต่อปี 2.1 หาเงินรวมทั้งหมด โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อปี 2.2 หาเงินรวมทั้งหมด โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน 2.1 วิธีทำ หาเงินรวมทั้งหมด โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อปี A=P(1+i) ^ n A=50,000 (1+0.02)^5 A=55,204 .04 ดังนั้น ใน 7 ปี คิดแบบทบต้นได้ทั้งหมด 55,204 .04 บาท ใน 7 ปี ทุกๆเดือนได้เงินทั้งหมด 57,493 .63 บาท 4

ดอกเบี้ยคงต้น (Simple Interest) หรืออาจจะเรียกอีกอย่างว่า ดอกเบี้ยเชิงเดียว ก็ได้ ความหมายของดอกเบี้ยคงต้นคือ ดอกเบี้ยที่กำ หนดให้เงินต้น มีค่าคงที่ตลอดระยะเวลาของการฝากเงินหรือการกู้ยืมเงิน ซึ่งดอกเบี้ยดังกล่าวจะมีค่า เท่ากันทุกปี โดยสามารถคำ นวณได้ตามสูตร A=P(1+rt) ดอกเบี้ยคงต้น 5 A= เงินรวมทั้งหมด P=เงินต้น r=อัตราดอกเบี้ยต่อปี t=จำ นวนระยะเวลาเป็นปี

Ex: 1 ฝากเงินไว้กับธนาคารแห่งหนึ่งจำ นวน 10000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น เมื่อสิ้นปีที่ 4 จะได้เงินรวมเป็นเท่าใด วิธีทำ จากโจทย์ P=10000, r=0.015, t=4 เราสามารถหาเงินรวมได้จากสูตร A=P(1+rt) จะได้ A=10,000[1+0.015(4)] = 10,600 ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดปีที่ 4 มีเงินรวมเท่ากับ 10,600 บาท ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยคงต้น 6

7 วิธีทำ จากโจทย์ ถามว่าถ้าต้องการผลตอบแทน 1,000,000 บาท ต้องเริ่มต้นลงทุนเท่าใด นั่นคือ A=1,000,000 , t=10 , r=10/100=0.1 ซึ่งโจทย์ถามหาค่า P จากสูตร A=P(1+rt) แทนค่าลงไป 1,000,000=P(1+(0.1)(10)) 1,000,000=P(1+1) P=1,000,000/2 P=500,000 ดังนั้นจำ นวนเงินที่จะต้องซื้อหุ้นกู้ในครั้งแรกคือ 500,000 บาท ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของดอกเบี้ยคงต้น Ex: 2 นักลงทุนรายหนึ่งซื้อหุ้นกู้อายุ 10 ปี โดยที่นักลงทุนต้องการผลตอบแทนคืนทั้งหมดเมื่อครบ กำ หนด 10 ปี เป็นจำ นวน 1,000,000 บาท ถ้าผู้ออกหุ้นกู้ให้ผลตอบแทน 10% ต่อปี โดย คิดดอกเบี้ยแบบเชิงเดียว(ดอกเบี้ยคงต้น) นักลงทุนควรจะลงทุนซื้อหุ้นกู้เป็นจำ นวนเท่าใด

1. รับหรือจ่ายเท่ากันทุกงวด 2. รับหรือจ่ายติดต่อกันทุกงวด 3. รับหรือจ่ายตอนต้นงวดหรือสิ้นงวด ในชีวิตประจำ วัน นักเรียนคงได้พบเห็นการรับหรือจ่ายเงินเป็นงวดๆ เช่น การฝากเงิน ในธนาคารเป็นประจำ ทุกเดือน การซื้อของแบบผ่อนส่ง การจ่ายค่าเช่าบ้านรายเดือน การ จ่ายเบี้ยประกันรายปี การรับเงินเดือนทุกเดือน ซึ่งจะเรียกการับหรือจ่ายเงินลักษณะนี้ว่า การรับหรือจ่ายค่างวด การรับหรือจ่ายค่างวดมีลักษณะ 3 ประการ ดังนี้ 1. 2. 3. ตัวอย่างการรับหรือจ่ายค่างวด เช่น การนำ เงินไปฝากธนาคารทุกต้นปี ปีละ 20,000 บาท เป็นเวลา 6 ปี หรือการซื้อรถยนต์แบบผ่อนส่ง โดยทำ สัญญากับผู้จำ หน่ายรถยนต์ ว่าจะผ่อนชำ ระทุกสิ้เดือนเดือนละ 9,000 บาท เป็นเวลา 4 ปี ค่างวด 8

ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็น R บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่าย เงินตอนต้นงวดรวมทั้งหมด n งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i% ค่างวด การหาเงินรวมของค่างวดทั้งหมด เมื่อมีการรับหรือจ่ายค่างวดติดต่อกันเป็นระยะเวลาหนึ่ง โดยกำ หนดอัตราดอกเบี้ยคงที่ ตลอดระยะเวลาดังกล่าว เมื่อสิ้นสุดระยะเวลาที่กำ หนด เงินรวมของค่างวดทั้งหมดจะ เท่ากับผลบวกของมูลค่าอนาคตของค่างวดแต่ละงวด การคำ นวณหาเงินรวมทั้งหมดจะแบ่ง เป็น 2 กรณี คือ ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด และค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็น R บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงิน ตอนสิ้นงวดรวมทั้งหมด n งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i% 9

วิธีทำ สายฟ้าฝากเงินหรือจ่ายค่างวดตอนสิ้นงวดทุกเดือนเป็นเวลา 2 ปี ในที่นี้ R = 100 , n = 24 , i = 6/12 = 0.5 และ r = 0.5 / 100 = 0.005 ดังนั้นเมื่อสิ้นปีที่ 2 เงินรวมของสายฟ้าคือ 100 + 100 ( 1.00 5 ) + 100(1.005 )^ 2 + .... + (1.005) ^ 23 ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 24 พจน์ พจน์แรกคือ 100 และอัตราส่วนร่วมคือ 1.00 5 จะได้เงินรวมคือ 100 ( 1-( 1.005 )^ 24) / 1 - 1.005 = 100((1.005)^24-1) / 1.005- 1 หรือประมาณ 2,543.20 บาท ดังนั้นเมื่อสิ้นปีที่ 2 สายฟ้าจะได้รับเงินรวมประมาณ 2,543.20 บาท ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของค่างวด Ex:1 สายฟ้าฝากเงิน 100 บาทเข้าบัญชีธนาคารทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 2 ปีและได้ รับอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีโดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือนเมื่อสิ้นปีที่ 2 สายฟ้าจะได้เงินรวมเท่าใด 10

จากตัวอย่างจะได้ว่าการฝากเงินทุกต้นงวดและสิ้นงวดมีผลทำ ให้เงินเมื่อสิ้นงวดที่ nมี จำ นวนแตกต่างกัน โดยการฝากต้นงวดจะได้รับเงินรวมมากกว่าการฝากสิ้นงวด อีกตัวอย่างหนึ่งของค่างวดที่พบเห็นได้ทั่วไปคือในการซื้อสินค้าแบบผ่อนส่งโดยประกอบ ด้วย 2 ส่วนคือเงินดาวน์ซึ่งจ่ายทันทีเมื่อมีการตกลงซื้อขายกันและเงินผ่อนซึ่งจ่ายเป็นราย งวดโดยจ่ายเท่ากันทุกงวดติดต่อกันจนครบกำ หนดซึ่งเมื่อเงินดาวน์บวกกับผลรวมของ มูลค่าปัจจุบันของเงินผ่อนแต่ละงวดจะต้องเท่ากับราคาสินค้าเมื่อซื้อด้วยเงินสด วิธีทำ แพรวาฝากเงินหรือจ่ายค่างวดตอนต้นงวดทุกเดือนเป็นเวลา 2 ปี ในที่นี้ R = 100 , n = 24 , i = 6/12 = 0.5 และ r = 0.5 / 100 = 0.005 ดังนั้นเมื่อสิ้นปีที่ 2 เงินรวมของแพรวาคือ 100 + 100 ( 1.00 5 ) + 100(1.005 )^ 2 + .... + (1.005) ^ 24 ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 24 พจน์ พจน์แรกคือ 100(1.005) และอัตราส่วนร่วมคือ 1.005 จะได้เงินรวมคือ 100 ( 1-( 1.005 )^ 24) / 1 - 1.005 = 100((1.005)^24-1) / 1.005- 1 หรือประมาณ 2,555.91 บาท ดังนั้นเมื่อสิ้นปีที่ 2 สายฟ้าจะได้รับเงินรวมประมาณ 2,555.91 บาท ตัวอย่างโจทย์ปัญหาและวิธีทำ ของค่างวด 11 Ex:2 แพรวาฝากเงิน 100 บาทเข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือนเป็นเวลา 2 ปีและได้ รับอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปีโดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือนเมื่อสิ้นปีที่ 2่ แพรวาจะได้เงินรวมเท่าใด

หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน https://www.basicfinancialcalc.com/AboutInterest# http://www.mathsmethod.com/m-p6-exercise/rule-ofthree/interest-s.php?width=1366&height=768 https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/1232-2020-02- 04-03-42-38#:~:text 12 อ้างอิง