EGE-2021_Informatika_Лещинер_Крылов

В.Р. Лещинер, С.С. Крылов

ИНФОРМАТИКА

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭКЗАМЕН

ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Москва
Издательство «Интеллект-Центр»

2021

УДК 373.167.1:004
ББК 32.81я721

Л 54

Лещинер, В.Р.

Л 54 Информатика. Единый Государственный Экзамен. Готовимся к итоговой аттестации : [учеб­
ное пособие]. / В.Р. Лещинер, С.С. Крылов. - Москва: Издательство «Интеллект-Центр»,
2021. - 152 с.

ISBN 978-5-907339-22-4

Данное пособие предназначено для подготовки учащихся 11 классов к Единому государст­
венному экзамену (ЕГЭ) по информатике. Издание включает типовые задания по всем со­
держательным линиям экзаменационной работы, а также примерные варианты в формате ЕГЭ
2021 года.

Пособие поможет школьникам проверить свои знания и умения по предмету, а учителям -
оценить степень достижения требований образовательных стандартов отдельными учащимися
и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.

УДК 373.167.1:004
ББК 32.81я721

Генеральный директор
М.Б. Миндюк

Редактор Д.П. Локтионов
Художественный редактор Е.Ю. Воробьёва
Компьютерная вёрстка и макет Е В. Лупенко
Серийное оформление обложки: М.В. Борисов, Е.В. Лупенко

Подписано в печать 25.09.2020. Формат 60x84 1/8.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 19,0.
Тираж 3000 экз. Заказ № 11610.

ООО «Издательство «Интеллект-Центр»
125445, Москва, ул. Смольная, д. 24А, этаж 7, пом. I, ком. 14

Отпечатано в ООО "Типография "Миттель Пресс".
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: [email protected]

ISBN 978-5-907339-22-4 © ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2021
© Лещинер В.Р., Крылов С.С., 2020

ВВЕДЕНИЕ

Единый государственный экзамен - это одновременно выпускной экзамен за курс среднего

(полного) общего образования и вступительный экзамен в учреждения высшего и среднего профес­

сионального образования. Это делает ЕГЭ по информатике экзаменом, ориентированным в первую

очередь на выпускников профильных и специализированных классов, собирающихся продолжить

свое образование в областях, связанных с информационными технологиями.

Единый государственный экзамен поводится с использованием специально подобранных се­

рий заданий стандартизированной формы - контрольных измерительных материалов (КИМ). Про­

ведение экзамена в такой форме позволяет с достаточной степенью точности установить уровень

освоения выпускниками федерального компонента государственного образовательного стандарта

среднего (полного) общего образования и, в то же время, уверенно ранжировать их по этому уров­

ню. В связи с этим, идя на государственный экзамен, выпускник должен четко представлять себе

уровень освоения предусмотренных учебной программой знаний, умений и навыков, который он

стремится показать в зависимости от поставленной цели, а также те типы и модели учебных за­

дач, которые необходимо решать, для того, чтобы показать достижение требуемого уровня. Задача

правильно решить все содержащиеся в варианте задания может быть достигнута небольшим коли­

чеством выпускников, обладающих очень хорошей подготовкой на уровне профильной школы, но

для достижения требуемого для поступления в избранный вуз балла экзаменуемым часто не нужно

справляться со всеми заданиями экзаменационной работы, достаточно только не сделать ошибок в

заданиях, соответствующих требуемому уровню. Поэтому хорошая подготовка к экзамену заключа­

ется в стабильном безошибочном решении заданий, проверяющих содержание, освоенное выпуск­

ником в процессе обучения в школе.

Данная книга должна помочь выпускникам подготовиться к ЕГЭ по информатике и ИКТ. Со­

ставленная специалистами, имеющими большой опыт разработки диагностических тестов, в том

числе заданий контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, она призвана осветить полный объем

содержания, проверяемого на экзамене, и показать основные типы заданий, которые могут встре­

титься на экзамене по каждой теме.

Экзамен по информатике и ИКТ в 2021 году будет проходить в новой, по сравнению с 2020

годом, компьютерной форме. Все участники экзамена будут иметь в своем распоряжении компью­

тер с установленной на нём операционной системой, редакторами электронных таблиц, текстовыми

редакторами, средами программирования на языках: Школьный алгоритмический язык, С#, C++,

Pascal, Java, Python.

Для выполнения любых заданий можно использовать вычислительные возможности компьюте­

ра и установленное программное обеспечение: электронные таблицы и системы программирования.

Авторы КИМ предполагают, что часть заданий будет выполняться участниками экзамена «в

уме», без расчетов на компьютере. Зато другие задания наоборот, требуют обязательно использовать

программное обеспечение и предполагают загрузку файлов данных. Ответ в этом случае будет за­

висеть от того, какие данные были представлены. Такие задания в КИМ помечены специальным

знаком и предупреждением:

ш Задание выполняется с использованием прилагаемых файлов.

Таких заданий в КИМ в общей сложности 6: задания 9, 10, 18, 24, 26 и 27. На экзамене по­
мимо собственно КИМ экзаменуемому будут выданы файлы данных. В данной книге будут ра­
зобраны тренировочные задания, файлы данных к которым размещены на сайте издательства:
www.intellectcentre.ru в разделе «Дополнительные материалы». Код для скачивания fVqTVA.

Экзаменационная работа 2021 года не предполагает экспертной проверки. Все задания имеют
ответ, представляющий собой либо число (серию чисел), либо строку символов. Задания проверя­
ются компьютером в автоматическом режиме путем сравнения ответа с эталонным. Запись ответов
осуществляется в специальной программе для проведения экзамена.

Всего в экзаменационной работе, как и в 2020 году, содержится 27 заданий, правильное выпол­
нение которых принесет экзаменующемуся 30 первичных баллов. Правильное выполнение первых
24 заданий оценивается 1 первичным баллом за каждое задание, задания 25-27 оцениваются мак­
симально 2 первичными баллами (оценка 1 балл за эти задания выставляется в случае неполного

3

решения). Первичные баллы по определенной формуле переводятся в тестовые баллы по 100-балль­
ной шкале, что позволяет сравнивать результаты по разным предметам с разными шкалами первич­
ных баллов.

В данной книге, в отличие от других пособий для подготовки к ЕГЭ, задачи собраны по темам.
По каждой из тем, проверяемых на экзамене, собраны задачи известных типов, как бывшие на экза­
менах прошлых лет, так и в формате заданий 2021 года. Учащимся нет необходимости просматри­
вать множество однотипных вариантов в попытке составить представление о разнообразии встреча­
ющихся на экзамене задач, которые могут стоять в данной позиции - авторы пособия сделали это
за них, собрав задания в тематические блоки.

В работе содержатся задания по 10 разделам курса информатики. На определенные темы зада­
ний больше, на другие темы - меньше. На одну тему в работе могут содержаться несколько заданий
различного уровня сложности. Таблица ниже показывает соответствие тем и разделов курса.

Таблица
Распределение заданий экзаменационной работы
по содержательным разделам курса информатики и ИКТ

№ Содержательные разделы Количество Максимальный Номера заданий
заданий первичный балл и уровни сложности
1 Информация и её кодирование 33
2 Системы счисления 11 4 (Б), 8 (Б), 11 (П)
3 Основы логики 22 14 (П)
4 Моделирование и компьютерный 22
2 (Б), 15 (П)
эксперимент 67 1 (Б), 13 (П)
5 Алгоритмы
16 (П), 19 (П), 20 (П),
6 Элементы теории алгоритмов 5 6 21 (П), 24(B), 26(B)

7 Программирование 3 4 5 (Б), 12 (П),
1 1 22 (П), 23 (П), 25(B)
8 Технология создания и обработки 6 (Б), 17 (П),27 (В)
графической и мультимедийной 2 2
информации 2 2 7 (Б)
27 30
9 Обработка числовой информации 9 (Б), 18 (П)
3 (Б). 10 (Б)
10 Технологии поиска и хранения
информации

Итого

Видно, что наибольшим «весом» в итоговом результате обладают два раздела: «Алгоритмы» и
«Элементы теории алгоритмов». Также важными разделами являются «Программирование» и «Ин­
формация и её кодирование». Хорошее знание этих четырех разделов принесет две трети итоговых
баллов. Все четыре задачи высокого уровня сложности относятся к первым трем перечисленным
разделам.

В демоверсии треть заданий (9 из 27) принципиально новые - это те задания, которые
выполняются на компьютере с использованием специализированного программного обеспе­
чения. Остальные две трети заданий не требуют использования программного обеспечения,
могут быть выполнены вручную, без использования компьютера. Но тем не менее, не сле­
дует ожидать, что в тех КИМ, которые будут использоваться на экзамене, формулировки
заданий будут близки формулировкам демоверсии. Каждый год в КИМ ЕГЭ включается
3-4 задания в принципиально новых формулировках, проверяющие то же самое содержа­
ние. Обычно результат их выполнения бывает хуже, чем в прежние годы. Это означает, что

4

следует готовиться решать задания определенного содержания, а не задания конкретных
типов, встречавшихся ранее. Начиная с 2016 г., в экзаменационной работе совсем нет зада­
ний с выбором ответа. Это исключает возможность случайного угадывания верного ответа.
Следует отметить, что в данной книге собрано довольно много заданий с выбором ответа
прежних лет. Их выполнение поможет подготовиться к экзамену 2021 г., так как те же за­
дания могут быть сформулированы в формате, предполагающем краткий ответ. Естествен­
но, что любое из заданий с кратким ответом имеет единственный верный ответ и прямое
решение, приводящее к нему.

Следует обратить внимание, что в 2021 г. при сохранении неизменным общего количе­
ства заданий в экзаменационной работе, максимальный первичный балл за безошибочное
выполнение всех заданий уменьшился с 35 до 30 баллов. Это означает, в частности, что
вклад каждого первичного балла в окончательный результат по 100-балльной шкале возрос,
выросла и цена возможной ошибки.

Результаты экзаменов всех последних лет показывают важность хорошей подготовки к
экзамену. Абитуриенты, знакомые с открытым банком заданий и с демонстрационной вер­
сией КИМ, уверенно преодолевали минимальную границу баллов и достигали результата,
обеспечивающего поступление на избранную специальность профильного вуза. Высокому
результату способствует знакомство со структурой работы, представление о возможных ти­
пах и форматах заданий на ту или иную тему.

Экзамен не проверяет знание особенностей синтаксиса конкретных языков програм­
мирования или каких-то специфических приемов работы с тем или иным программным
обеспечением. Вместе с тем, компьютерная форма экзамена уже требует от выпускника де­
монстрации умения работать со специализированным программным обеспечением. Задания
построены так, чтобы их мог выполнить любой знающий материал выпускник, независимо
от того, по какому учебнику и с использованием какой среды программирования проходило
обучение. Во всех задачах данной книги, содержащих фрагменты программ, они записаны
на 4-х языках программирования: C++, Python, Паскале и Алгоритмическом языке. В спец­
ификации КИМ ЕГЭ 2021 г. перечислены следующие языки программирования, на которых
можно будет выполнять задания работы: C++, Java, С#, Pascal, Python, Школьный алгорит­
мический язык.

За правильное выполнение всей работы можно получить 30 первичных баллов. При
пересчете в 100-балльную шкалу они превратятся в 100 тестовых баллов. Шкала перевода
первичных баллов в тестовые не линейная, цена первичного балла выше ближе к краям
шкалы.

На выполнение экзаменационной работы отводится 235 минут, это чуть менее 4 часов.
Следует рассчитать свои силы и время, необходимое на выполнение отдельных заданий
и не задерживаться слишком долго, если выполнить задание не удается: есть опасность не
успеть выполнить все запланированные к выполнению задания. При этом надо понимать,
что задания имеют различную сложность и трудоемкость. При планировании тактики вы­
полнения работы следует учитывать, что все задания варианта КИМ выдаются экзаменуе­
мому одновременно (в начале экзамена), поэтому участник экзамена вправе самостоятельно
распределять время, выполнять задания в любом порядке, возвращаться к уже выполнен­
ным заданиям и так далее. Рекомендуется выполнять задания в том порядке, в котором они
идут в экзаменационной работе, так как уровень сложности заданий последовательно воз­
растает.
Если задание ставит вас в тупик - пропустите его, попытайтесь выполнить следующее
по очереди задание. Возвращаться к вызвавшим затруднения заданиям следует только по­
сле того, как будут выполнены все задания, не вызывающие затруднений. Учтите, что
формулировки заданий могут различаться довольно значительно при одном и том же про­
веряемом содержании, поэтому важно в первую очередь вчитаться в формулировку, понять,

5

какое содержание она проверяет и каким из разобранных при подготовке к экзамену зада­
ний соответствует, а затем уже начать выполнение задания.

Единый государственный экзамен - комплексное испытание, его результат зависит не
только от ваших знаний, умений и навыков, но также от аккуратности, собранности, целе­
устремленности. Целенаправленная подготовка и хорошая физическая форма в день экза­
мена - залог успеха.

Лучший способ подготовки к экзамену - изучение информатики. Те, кто хорошо зна­
ют предмет, сдают экзамен легко. Тем не менее, стоит прийти на экзамен, хорошо пред­
ставляя, как будет выглядеть экзаменационная работа. Поэтому посмотрите, пожалуйста,
демонстрационную версию экзаменационной работы, размещенную на сайте ФИПИ (www.
fipi.ru). Также подготовиться к экзамену вам помогут различные издания, содержащие при­
меры заданий, которые использовались на экзаменах в предшествующие годы. Учтите, что
демонстрационная версия КИМ только показывает, какое задание МОЖЕТ стоять на этом
месте в работе, это совсем не означает, что в работе будет задание абсолютно аналогичное
заданию, приведенному в демоверсии. В реальном КИМ задания на каждой позиции будут
соответствовать демонстрационному варианту по тематике, уровню сложности и формату
ответа. Это не исключает того, что может проверяться какой-то иной аспект темы и задания
будут сильно различаться внешне.

Тем не менее, решение заданий прошлых лет может очень помочь вам при подготовке к
экзамену, так как вы увидите, какие бывают задания, какие элементы содержания предмета
проверяются и каким образом это делается. Эта книга призвана помочь вам на основном
этапе подготовки к экзамену - при изучении основного материала и тематическом контроле
в ходе этого изучения. На этом этапе надо стараться решать задачи разных типов, проверя­
ющие знание данной темы, анализировать возможные ошибки и закреплять умение, решая
задачи аналогичного содержания и формата.

Используйте Единый государственный экзамен как возможность проверить свои зна­
ния, умения, свою волю, свой характер. Готовьтесь к экзамену хорошенько - и благопри­
ятный исход вам гарантирован!

6

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ИНФОРМАТИКИ И ИКТ В ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯХ

1. Математические основы информатики

1.1. Кодирование информации
Следует помнить основные положения алфавитного подхода к измерению количества

информации.

1) Пусть А - упорядоченное множество из N элементов, тогда для кодирования каждого
элемента двоичным кодом, например, путем нумерации в двоичной системе счисления, тре­
буется log?N двоичных разрядов (бит). Объем информации I, содержащейся в сообщении
о том, что выбран какой-либо элемент этого множества, равен, соответственно log2N бит.
Если N не является целой степенью 2, то число log?N не является целым, и I = [log2N+l],
т.е. происходит округление в большую сторону. При решении задач, если N не является
целым числом, I можно найти как log2N' , где N' ближайшая к N степень двойки, такая что
N'>N.

2) (Следует из предыдущего.) Если некоторый алфавит содержит М символов, то ин­
формационный объем одного символа этого алфавита в сообщении равен log2M. Для того
чтобы найти информационный объем сообщения, состоящего из символов этого алфавита,
следует log2M умножить на количество символов в сообщении.

3) С помощью п двоичных разрядов (бит) можно закодировать двоичным кодом все эле­
менты множества мощностью 2" (т.е. состоящего из 2" элементов). Информационный объем
одного символа, обозначающего элемент данного множества, будет равен п.

Равномерное кодирование текста
В ЕГЭ 2021 года всего три задания на кодирование текстовой информации. Два из них
базового уровня сложности (задания 4 и 8), одно - повышенного уровня сложности (зада­
ние И). Сначала разберем задание 8, которое решается комбинаторным методом. Но, пре­
жде чем разобрать задание из демоверсии, посмотрим более простые задания, решение ко­
торых подведет нас к решению задания 8 в современном варианте.

Задание 8
Пример 1
Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке длиной в 20 символов, первоначально записанного в 2-байтном коде
Unicode, в 8-битную кодировку КОИ-8. На сколько бит уменьшилась длина сообщения?
В ответе запишите только число.

Решение:
После перекодировки из 2-байтного кода в 8-битный каждый символ сообщения стал
занимать на 8 бит меньше, а всего символов 20, следовательно длина сообщения умень­
шилась на 20x8 = 160 бит.

Ответ: 160

Задачи для самостоятельного решения
8.1

Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке, первоначально записанного в 16-битном коде Unicode, в 8битную
кодировку КОИ-8. При этом информационное сообщение уменьшилось на 440 бит.
Какова длина сообщения в символах?

7

8.2
Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке длиной в 30 символов, первоначально записанного в 8-битной коди­
ровке КОИ-8, в 2-байтный коде Unicode. На сколько бит увеличилась длина сообщения

8.3
Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке длиной в 50 символов, первоначально записанного в 2-байтном коде
Unicode, в 8-битную кодировку КОИ-8. На сколько байт уменьшилась длина сообще­
ния?

8.4
Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке, первоначально записанного в 2-байтном коде Unicode, в 8-битную
кодировку КОИ-8. При этом информационное сообщение уменьшилось на 200 бит. Ка­
кова длина сообщения в символах?

8.5
Автоматическое устройство осуществило перекодировку информационного сообщения
на русском языке, первоначально записанного, первоначально записанного в 8-битной
кодировке КОИ-8, в 2-байтный коде Unicode. При этом информационное сообщение
увеличилось на 320 бит. Какова длина сообщения в символах?

Пример 2
Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению
соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-бук-
венные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно
1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое
количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может ис­
пользовать Игорь?

Решение:
Буква П появляется в слове один раз, поэтому надо определить, сколько всего суще­
ствует слов, составленных из двух символов, длиной 4 буквы, и полученное число ум­
ножить на 5 (так как букву П можно добавить к каждому из этих слов в 5 различных
местах). Из двух символов можно составить 24= 16 различных четырехбуквенных слов,
поэтому всего Игорь может использовать 80 различных кодовых слов.

Ответ: 80

Аналогичное данному примеру 2 задание приведено на 8 позиции в демонстрационном
варианте ЕГЭ 2021 года.

Задание из демоверсии 2021 года
Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению
соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует трёхбук­
венные слова, в которых могут быть только буквы Ш, К, О, Л, А, причём буква К по­
является ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом
слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых
слов может использовать Игорь?

Решение:
Буква К появляется в слове один раз, поэтому надо определить, сколько всего существу­
ет слов, составленных из четырех оставшихся символов, длиной 2 буквы, и полученное
число умножить на 3 (так как букву К можно добавить к каждому из этих слов в 3 раз­

8

личных местах). Из четырех символов можно составить 42=16 различных двухбуквен­
ных слов, поэтому всего Игорь может использовать 48 различных кодовых слов.
Ответ: 48

Следует, однако, учитывать, что на этой позиции в реальном КИМ может стоять задача
той же тематики, но с другими формулировками. Ниже приведены еще несколько примеров
различных вариантов задания на тему равномерного кодирования, аналогичные использо­
вавшимся в КИМ ЕГЭ различных лет.

Пример 3
Все 4-буквенные слова, составленные из букв К, Л, Р, Т, записаны в алфавитном поряд­
ке и пронумерованы.
Вот начало списка:
1. КККК
2. КККЛ
3. КККР
4. КККТ

Запишите слово, которое стоит под номером 67.

Решение (1 способ):
Нужно посчитать, сколько слов всего в этом списке (сколько 4-буквенных слов можно
составить из 4 различных букв). Так как на каждой из 4 позиций может стоять любая
из 4 букв, то количество слов в списке будет равно 44 = 256.

При этом слова под номерами 1-64 будут начинаться на букву К, под номерами 65-128
будут начинаться на букву Л. Под номером 65 стоит слово ЛККК, а под номером 67 -
ЛККР.
Решение (2 способ):
Обозначим К = О, Л = 1, Р = 2, Т = 3. Тогда получается, что список состоит из чисел в
системе счисления с основанием 4, количество значащих цифр в которых не превышает 4.

Таких чисел 44= 256. При этом число 0000 в списке пронумеровано 1, 0001 - 2, а под
номером 67 будет стоять число, равное 66 ю, которое и нужно будет перевести в четве­
ричную систему счисления.
Разложим 66 на степени четверки (43=64, 42=16, 41=4, 4°=1): 66 = Г64 +0-16 + 0-4+2-1

Выписав цифры, получим 66ю= 10024. Вспомнив начальные обозначения, запишем ис­
комое слово: ЛККР.

Ответ: ЛККР

Первый способ более быстрый в некоторых случаях, но второй способ более надежный
и универсальный.

Пример 4
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА

Запишите слово, которое стоит на 240-м месте от начала списка.

9

Решение (1 способ):
Нужно посчитать, сколько слов всего в этом списке (сколько 5-буквенных слов можно
составить из 3 различных букв). Так как на каждой из 5 позиций может стоять любая
из 3 букв, то количество слов в списке будет равно З5 = 243.

Значит последнее слово УУУУУ стоит на 243-м месте. На 242-м месте стоит УУУУО,
на 241-м - УУУУА, а на 240-м - УУУОУ.
Решение (2 способ):
Обозначим А = 0, О = 1, У = 2, тогда получается, что список состоит из чисел в троич­
ной системе счисления, количество значащих цифр в которых не превышает 5.
Таких чисел З5 = 243. При этом число 00000 в списке пронумеровано 1, 00001 - 2, а
под номером 240 будет стоять число, равное 239ю, которое и нужно будет перевести в
троичную систему счисления.
Разложим 239 на степени тройки (34=81, З3=27, 32=9, 31=3, 3°=1): 239 = 2-81+2-27+
+2-9+1-3+2-1

Выписав троичные цифры, получим 239io = 22212з. Вспомнив начальные обозначения,
запишем искомое слово: УУУОУ.
Ответ: УУУОУ

Пример 5
Азбука Морзе позволяет кодировать символы для сообщений по радиосвязи, задавая
комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуа­
ции и т. д.) можно закодировать, используя код азбуки Морзе длиной не менее четырёх
и не более пяти сигналов (точек и тире)?

Решение:
В основе решения лежит известная формула Р=г/, где P-количество слов, которые мож­
но записать с помощью к символов алфавита мощностью а. Так как символы в азбуке
Морзе имеют переменную длину, то для ответа на поставленный вопрос надо сложить
два числа: 24+25= 16+32=48.

Ответ: 48

Задачи для самостоятельного решения
8.6

Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА

Запишите слово, которое стоит на 238-м месте от начала списка.

8.7
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, Я, записаны в алфавитном по­
рядке.

10

Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. ААААЯ
5. АААОА

Запишите слово, которое стоит на 1020-м месте от начала списка.

8.8
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке
и пронумерованы.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА

Запишите слово, которое стоит под номером 61.

8.9
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА

Запишите слово, которое стоит на 83-м месте от начала списка.

8.10
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке.
Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА

Запишите слово, которое стоит на 195-м месте от начала списка.

8.11
Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные
сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет -
один сигнал; в каком порядке идут цвета - существенно. Какое количество различных
сигналов можно передать при помощи запуска ровно четырёх таких сигнальных ракет,
если в запасе имеются ракеты четырёх различных цветов (ракет каждого вида неогра­
ниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?

11

8.12
Световое табло состоит из трёх светящихся элементов, каждый из которых может све­
титься одним из пяти различных цветов. Каждая комбинация из трёх цветов кодирует
определённый сигнал. Сколько различных сигналов можно передать при помощи табло
при условии, что все элементы должны светиться?

8.13
Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные
сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет -
один сигнал; в каком порядке идут цвета - существенно. Какое количество различных
сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти таких сигнальных ракет, если
в запасе имеются ракеты четырёх различных цветов (ракет каждого вида неограничен­
ное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?

8.14
Все 4-буквенные слова, составленные из букв К, Л, Р, Т, записаны в алфавитном поряд­
ке и пронумерованы.
Вот начало списка:
1. КККК
2. КККЛ
3. КККР
4. КККТ

Запишите слово, которое стоит под номером 131.

8.15
Павел составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению
соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 3-буквен­
ные слова, в которых есть только буквы А, И, О, С, причём буква И появляется ровно
1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое
количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может ис­
пользовать Павел?

Следующее задание на равномерное кодирование - повышенного уровня сложности (за­
дание 11). Оно основано на том, что для кодирования каждого символа также используется
одинаковое для всех используемых символов (и минимально возможное) количество бит,
но получившаяся строка записывается в целое количество байт (при этом какие-то биты
остаются не использованными).

Задание И
Пример 1
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, со­
стоящий из 15 символов и содержащий только символы Ш, К, О, Л, А (таким образом,
используется 5 различных символов). Каждый такой пароль в компьютерной системе
записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт (при
этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и
минимально возможным количеством бит).
Укажите объём памяти в байтах, отводимый этой системой для записи 30 паролей. В
ответе запишите только число, слово «байт» писать не нужно.

12

Решение:
Количество различных символов N = 5.

N' = 8 =23.

I = log2N' = 3 - это минимальное количество бит для кодирования одной буквы.
Поскольку всего символов в пароле 15, то объем места, требуемого для хранения одно­
го такого пароля равен 15><3 =45 бит.

5 байт < 45 бит < 6 байт, следовательно минимально возможное количество байт для
хранения одного пароля равно 6.

Поскольку всего паролей 30, то необходимый объем памяти составляет 30x6 = 180 байт.

Ответ: 180

Пример 2
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, со­
стоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12-символьного набора: А,
В, С, D, Е, F, G, Н, К, L, М, N. В базе данных для хранения сведений о каждом поль­
зователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом
используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и
минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого поль­
зователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое чис­
ло байт; это число одно и то же для всех пользователей. Для хранения сведений о 20
пользователях потребовалось 400 байт. Сколько байт выделено для хранения дополни­
тельных сведений об одном пользователе? В ответе запишите только целое число - ко­
личество байт.

Решение:
Количество различных символов N = 12. N' = 16 =24.
I = log2N' = 4 - это минимальное количество бит для кодирования одной буквы.

Поскольку всего символов в пароле 15, то объем места, требуемого для хранения одно­
го такого пароля равен 15Х4 = 60 бит.

7 байт < 60 бит < 8 байт, следовательно минимально возможное количество байт для
хранения одного пароля равно 8.

Для хранения сведений об одном пользователе отводится 400:20 = 20 байт, из которых
8 отводится на пароль и 12 - на дополнительные сведения.

Ответ: 12

Пример 3
Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю требуется придумать пароль.

Длина пароля - ровно 11 символов. В качестве символов используются десятичные
цифры и 12 различных букв местного алфавита, причем все буквы используются в двух

начертаниях: как строчные, так и заглавные (регистр буквы имеет значение!).
Под хранение каждого такого пароля на компьютере отводится минимально возможное
и одинаковое целое количество байтов, при этом используется посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством

битов.
Определите объём памяти, который занимает хранение 60 паролей.

1) 540 байт 2) 600 байт 3) 660 байт 4) 720 байт

13

Решение:
Количество различных символов N = 10+12+12 = 34 (10 цифр, 12 строчных букв и 12
заглавных букв).
N' = 64 =26.

I = log2N' = 6 - это минимальное количество бит для кодирования одной буквы.
Поскольку всего символов в пароле И, то объем места, требуемого для хранения одно­
го такого пароля равен 11x6 = 66 бит.
8 байт < 66 бит < 9 байт, следовательно минимально возможное количество байт для
хранения одного пароля равно 9.
Поскольку всего паролей 60, то необходимый объем памяти составляет 60x9 = 540 байт.
Ответ: 1

Задачи для самостоятельного решения

11.1
В некоторой стране автомобильный номер длиной 6 символов составляют из заглавных
букв (используются только 20 различных букв) и десятичных цифр в любом порядке.
Каждый такой номер в компьютерной программе записывается минимально возможным
и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством
бит).

Определите объем памяти, отводимый этой программой для записи 30 номеров.

1) 90 байт 2) 120 байт 3) 180 байт 4) 150 байт

11.2
Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю требуется придумать пароль.
Длина пароля - ровно 8 символов. В качестве символов используются десятичные циф­
ры и 15 различных букв местного алфавита, причем все буквы используются в двух
начертаниях: как строчные, так и заглавные (регистр буквы имеет значение!).
Под хранение каждого такого пароля на компьютере отводится минимально возможное
и одинаковое целое количество байтов, при этом используется посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством
битов.

Определите объём памяти, который занимает хранение 80 паролей.

1) 320 байт 2) 400 байт 3) 560 байт 4) 480 байт

11.3
В некоторой стране автомобильный номер длиной 10 символов составляют из заглавных
букв (используются только 18 различных букв) и десятичных цифр в любом порядке.
Каждый такой номер в компьютерной программе записывается минимально возможным
и одинаковым целым количеством байт (при этом используют посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством
бит).

Определите объем памяти, отводимый этой программой для записи 100 номеров.

1) 500 байт 2) 600 байт 3) 700 байт 4) 800 байт

14

11.4
Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю требуется придумать пароль.
Длина пароля - ровно 9 символов. В качестве символов используются десятичные циф­
ры и 28 различных букв местного алфавита, причем все буквы используются в двух
начертаниях: как строчные, так и заглавные (регистр буквы имеет значение!).
Под хранение каждого такого пароля на компьютере отводится минимально возможное
и одинаковое целое количество байтов, при этом используется посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством
битов.
Определите объём памяти, который занимает хранение 40 паролей.

1) 200 байт 2) 240 байт 3) 280 байт 4) 320 байт

11.5
Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю требуется придумать пароль.
Длина пароля - ровно 11 символов. В качестве символов используются десятичные
цифры и 10 различных букв местного алфавита, причем все буквы используются в двух
начертаниях: как строчные, так и заглавные (регистр буквы имеет значение!).
Под хранение каждого такого пароля на компьютере отводится минимально возможное
и одинаковое целое количество байтов, при этом используется посимвольное кодиро­
вание и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством
битов.
Определите объём памяти, который занимает хранение 50 паролей.

1) 300 байт 2) 350 байт 3) 400 байт 4) 550 байт

11.6
В велокроссе участвуют 56 спортсменов. Специальное устройство регистрирует про­
хождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с ис­
пользованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спор­
тсмена. Какой объём памяти будет использован устройством, когда все спортсмены
прошли промежуточный финиш?

1) 56 бит 2) 280 бит 3) 42 байт 4) 56 байт

11.7
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, со­
стоящий из 15 символов и содержащий только цифры и буквы У, Ч, И, Т, Е, Л, Ь (таким
образом, используется 17 различных символов). Каждый такой пароль в компьютерной
системе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт
(при этом используют посимвольное кодирование и все символы кодируются одинако­
вым и минимально возможным количеством бит).
Определите объём памяти (в байт), отводимый этой системой для записи 40 паролей.
В ответе запишите только число.

11.8
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, со­
стоящий из 15 символов и содержащий только символы из 8-символьного набора: Q, W,
A, S, Е, D, Z, X. В базе данных для хранения пароля отведено одинаковое и минималь­
но возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование па­
ролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит.
Определите объём памяти (в байтах), необходимый для хранения паролей 20 пользова­
телей. В ответе запишите только целое число - количество байт.

15

Неравномерное кодирование

Неравномерным называется способ кодирования, при котором разные символы алфави­
та кодируются битовой последовательностью различной длины. Этот код может оказаться
более экономным в случае, если определенные символы алфавита встречаются в тексте ча­
сто, а некоторые - достаточно редко. Тогда часто встречающиеся символы следует кодиро­
вать короткими кодовыми последовательностями, а редко встречающиеся - длинными. На
практике чаще используется равномерное кодирование, но для некоторых видов алгоритмов
знание принципов неравномерного кодирования может оказаться полезным.

При решении задач на неравномерное кодирование необходимо знать, когда код являет­
ся однозначно декодируемым. Для этого введем понятие префиксного кода.

Префиксным называется код, не имеющий ни одного кодового слова, которое было бы
префиксом (началом) любого другого кодового слова данного кода. Если код является пре­
фиксным, то любая последовательность кодовых слов всегда только одним образом разде­
ляема на отдельные из них.

Задание 4

Пример 1
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только четыре буквы: П, О, С, Т;
для передачи используется двоичный код, допускающий однозначное декодирование.
Для букв Т, О, П используются такие кодовые слова: Т: 111, О: О, П: 100. Укажите
кратчайшее кодовое слово для буквы С, при котором код будет допускать однозначное
декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым зна­
чением.

Решение:
Код для буквы С должен быть трехзначным и начинаться на 1, так как при коде 01 стро­
ки СОО и ОП будут кодироваться одинаковой последовательностью 0100, при коде 10
будут совпадать СО и П, при коде 11 совпадут последовательности ТП и ССОО. Трех­
значный код 101 обеспечит однозначное декодирование.

Ответ: 4

Пример 2

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­

шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­

вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.

Использовали код: А-1, Б-000, В-001, Г-011.

Укажите, каким кодовым словом должна быть закодирована буква Д. Длина этого ко­

дового слова должна быть наименьшей из всех возможных. Код должен удовлетворять

свойству однозначного декодирования.

1) 00 2) 01 3) 11 4) 010

Решение: •
Вариантов кодового слова, которым может быть закодирована буква Д, много, поэтому
проверим предложенные ответы, начиная с самых коротких:

1)00 - является префиксом слова 000 (буква Б), отсюда, например, входящую последо­
вательность 000000 можно декодировать двумя различными способами 00 00 00 (ДДД)
и 000 000 (ББ). Этот вариант ответа не подходит;
2) 01 - является префиксом слова 011 (буква Г). Входящую последовательность 011
можно декодировать двумя различными способами: 011 (Г) и 01 1 (ДА). Этот вариант
ответа также не подходит;

16

3) 11 - не является префиксом ни одного из слов, но при этом кодовое слово 1 (А) являет­
ся префиксом слова 11 (Д). Входящую последовательность 11 можно декодировать двумя
различными способами: 11 (Д) и 1 1 (АА). Этот вариант ответа не подходит;
4) 010 - не является префиксом ни одного из слов и, при этом, ни одно из слов кода не
является префиксом слова 010.

Ответ: 4

При кодировании часто используются избыточные коды, рассчитанные на возможность
исправления единичных ошибок, которые могут возникать при передаче сообщения.

Пример 3

Для передачи данных по каналу связи используется 5-битовый код. Сообщение содер­
жит только буквы А, Б и В, которые кодируются следующими кодовыми словами:

А-10010, Б-11111, В-00101.

При передаче возможны помехи. Однако некоторые ошибки можно попытаться испра­
вить. Любые два из этих трёх кодовых слов отличаются друг от друга не менее чем
в трёх позициях. Поэтому если при передаче слова произошла ошибка не более чем
в одной позиции, то можно сделать обоснованное предположение о том, какая буква
передавалась. (Говорят, что «код исправляет одну ошибку».) Например, если получено
кодовое слово 01111, считается, что передавалась буква Б. (Отличие от кодового слова
для Б только в одной позиции, для остальных кодовых слов отличий больше.) Если при­
нятое кодовое слово отличается от кодовых слов для букв А, Б, В более чем в одной
позиции, то считается, что произошла ошибка (она обозначается ‘х’).
Получено сообщение 10000 10101 ПОП 10111. Декодируйте это сообщение - выберите
правильный вариант.

1) АВББ 2) АВхБ 3) хххх 4) АхББ

Решение:
Для решения этого задания следует применить описанный алгоритм по отношению к
каждому кодовому слову в сообщении:

1) 10000 отличается от 10010 ровно в одной (четвертой) позиции, поэтому его можно
интерпретировать как букву А;

2) 10101 отличается от 00101 ровно в одной (первой) позиции, поэтому его можно ин­
терпретировать как букву В;
3) ПОП отличается от 11111 ровно в одной (третьей) позиции, поэтому его можно ин­
терпретировать как букву Б;
4) 10111 отличается от 11111 ровно в одной (второй) позиции, поэтому его можно ин­
терпретировать как букву Б.

Ответ: 1

Пример 4
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е,
решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано.
Для буквы А использовали кодовое слово 0; для буквы Б - кодовое слово 10. Какова
наименьшая возможная сумма длин всех шести кодовых слов?

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является нача­
лом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки
закодированных сообщений.

17

Решение:
Требуется построить код, отвечающий условию Фано. Проще всего это делать, рисуя
двоичное дерево возможных кодов. Ясно, что код любой из оставшихся 4 букв будет
начинаться на 11, так как любой код, начинающийся на 0 или на 10, не будет удовлет­
ворять условию Фано. Для кодирования 4 символов можно использовать равномерный
код длины 4: 1100, 1101, 1110, 1111. Можно для одного из символов использовать трех­
битный код, например 110. Тогда длины трех оставшихся кодов будут, соответственно,
4, 5 и 5. (1110, 11110 и 11111). В первом случае сумма длин шести слов равна 19 бит, во
втором случае 1+2+3+4+5+5=20, что на 1 бит больше.

Ответ: 19

Пример 5
По каналу связи передаются сообщения, содержащие только четыре буквы: А, Б, В, Г;
для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв
А, Б, В используются такие кодовые слова: А - 0; Б - 110; В - 111.
Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Г, при котором код будет допускать одно­
значное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим чис­
ловым значением.

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является нача­
лом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки
закодированных сообщений.

Решение:
Требуется построить код, отвечающий условию Фано. Это значит, что код не может на­
чинаться ни на 0 (код буквы А), ни на 11 (так как оба трехбитных кода, начинающихся
на 11, уже использованы для кодирования букв Б и В). Следовательно, код может на­
чинаться на 10. В том случае, если все сообщения представляют собой комбинации из
только 4 букв, код 10 для буквы Г является единственным кратчайшим.
Ответ: 10

Задачи для самостоятельного решения

4.1
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­
шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­
вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.
Использовали код: А—011, Б—11, В-001, Г-010. Укажите, каким кодовым словом должна
быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из
всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 1 2) 10 3) 01 4) 00

4.2
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­
шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­
вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.
Использовали код: А—111, Б-01, В-10, Г-001. Укажите, каким кодовым словом должна
быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из
всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 11 2) 00- 3) 110 4) 010

18

4.3
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­
шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­
вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.
Использовали код: А-100, Б—110, В-111, Г-0. Укажите, каким кодовым словом должна
быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из
всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 101 2) 11 3)001 4) 10

4.4
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­
шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­
вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.
Использовали код: А-00, Б-1, В-010, Г-0111. Укажите, каким кодовым словом должна
быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из
всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 0 2) 001 3) 101 4) ОНО

4.5
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, ре­
шили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодиро­
вать двоичную последовательность, появляющуюся на приёмной стороне канала связи.
Использовали код: А-01, Б-00, В-10, Г-110. Укажите, каким кодовым словом должна
быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из
всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования.

1) 001 2) И 3) 010 4) 111

4.6
Для передачи данных по каналу связи используется 5-битовый код. Сообщение содер­
жит только буквы А, Б и В, которые кодируются следующими кодовыми словами:

А - 11000, Б - 00010, В - 10101.

При передаче возможны помехи. Однако некоторые ошибки можно попытаться испра­

вить. Любые два из этих трёх кодовых слов отличаются друг от друга не менее чем

в трёх позициях. Поэтому если при передаче слова произошла ошибка не более чем

в одной позиции, то можно сделать обоснованное предположение о том, какая буква

передавалась. (Говорят, что «код исправляет одну ошибку».) Например, если получено

кодовое слово 00000, считается, что передавалась буква Б. (Отличие от кодового слова

для Б только в одной позиции, для остальных кодовых слов отличий больше.) Если при­

нятое кодовое слово отличается от кодовых слов для букв А, Б, В более чем в одной

позиции, то считается, что произошла ошибка (она обозначается ‘х’).

Получено сообщение 11110 10111 10010 10000. Декодируйте это сообщение - выберите

правильный вариант.

1) хххх 2) АВБА 3) ххБА 4) хВБА

4.7
Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е,
решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано.
Для буквы А использовали кодовое слово 10; для буквы Б - кодовое слово 11. Какова
наименьшая возможная сумма длин всех шести кодовых слов?

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является нача­
лом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки
закодированных сообщений.

19

1.2. Системы счисления

В ЕГЭ 2021 года осталось только одно задание 14 повышенного уровня по теме «Си­
стемы счисления». Разберем его ниже, а пока вспомним некоторые общие принципы записи
чисел в позиционных системах счисления, в частности в двоичной.

Двоичная система счисления
Для перевода чисел из двоичной системы в десятичную, и обратно, полезно выучить
наизусть таблицу первых десяти степеней двойки:

п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2П 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Переведем число 10101010 из двоичной системы счисления в десятичную. Пронумеру­
ем его цифры справа налево, подпишем под ненулевыми разрядами соответствующие
степени двойки и просуммируем их:

10 1 0 1 0 10

76 5 4 3 2 10

128 32 8 2

101010102 = 2+8+32+128 = 170ю
Для перевода из десятичной в двоичную систему надо разложить данное число на сте­
пени двойки методом вычитания старшей степени.

Например,
170 = 128+42 = Г128+0-64+1-32+10 = 1 • 128+0-64+1 -32+0-16+1 -8+2 =
= 1 • 128+0-64+1 -32+0-16+1 • 8+0-4+1 -2+0-1.
Выписав двоичные цифры, получаем равенство 170ю= ЮЮЮЮз. Обратите внимание,
что очень важно довести выписывание степеней до самого конца, не потеряв ни одной
цифры, так как количество нулей в конце числа имеет большое значение! (Действи­
тельно, каждый понимает, что числа ЮОю(сто) и 10ю (десять) различаются на порядок.
То же самое верно и по отношению к двоичным числам: 100? (четыре) и IO2 (два) раз­
личаются в два раза.)

Примеры заданий на запись чисел в двоичной и кратных системах счисления

Пример 1
Сколько единиц в двоичной записи числа 67?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение:
Разложим 67 на степени двойки, начиная со старшей (64):
67 = 1-64+0-32+0-16+0-8+0-4+1-2+1-1 = ЮОООН2.
Ответ: 3

Пример 2
Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 12F016?

Решение:
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную запись используется алгоритм
«по тетрадам» (четверкам цифр). Каждую цифру шестнадцатеричного числа представ­
ляют в виде четверки двоичных цифр в соответствии со значением цифры. Важно не

20

забывать писать лидирующие нули, так как двоичных цифр всегда должно быть четыре.
В конкретной ситуации заменяем 1 на 0001, 2 на 0010, F на 1111 и 0 на 0000. Получаем
двоичное число 1001011110000, в котором 6 единиц и 7 значащих нулей.
Ответ: 6

Представление числовой информации. Системы счисления
При записи числа в позиционной системе счисления, оно обозначается с помощью ряда
цифр. «Вклад» каждой цифры в число определяется местом, где она находится, и равен
значению цифры, умноженному на основание системы счисления в степени, равной но­
меру цифры (нумерация ведется справа и начинается с нуля). Пусть

ancin-i an-2...ai ао— запись числа A, at- цифры, р - основание системы счисления, тогда
А = апх рп+ ап-1 х рп,+ ап-2* рп~2+...+ ai* р‘+ аох р<}
Так, в числе 1987 ю цифра 1 обозначает одну тысячу (третья степень), 9 - девять со­
тен (вторая степень), 8 - восемь десятков (первая степень) и 7 - семь единиц (нулевая
степень). Т.е. 198710= 1хЮ3+9х102+8х101+7х10° = 1000+900+80+7. Аналогично, число
10102= 1х23+0х22+1х21+0х2°= IOio

Задание 14
Пример 1
В системе счисления с некоторым основанием число 12io записывается в виде НО. Ука­
жите это основание.

Решение:
Обозначим искомое основание п. Исходя из правил записи чисел в позиционных систе­
мах счисления 110» = и2+ и*+ 0. Составим уравнение: п2+ п = 12 и найдем натуральный
корень (3). Второй, отрицательный, корень (—4) квадратного уравнения нам не подходит,
так как основание системы счисления, по определению, натуральное число, большее
единицы. Полученный ответ проверим подстановкой: 9 + 3 + 0=12.

Существует еще другой вариант решения, основанный на простом подборе. Пусть наше
число имеет основание п, тогда оно записывается в виде 110» = п2+ п '+ 0. Будем под­
ставлять в качестве основания различные натуральные числа, начиная с 2. При п =2
получим ПО2 = 5ю, при п = 3 получим ИОз = 12ю, то есть искомое решение. Ясно, что
при п >3 мы будем получать большие числа, например, при п = 4 получим 1104= 201 о.
Ответ: 3

Пример 2
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в кото­
рых запись числа 17ю оканчивается на 2.

Решение:
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на ос­
нование системы счисления. 17 - 2 = 15. Найдем делители числа 15 - это числа 3, 5,
15. Проверим свой ответ тем, что запишем число 17 в указанных системах счисления.

17ю= 122з= 325 = 1215.
Ответ: 3, 5, 15

Пример 3
Сколько единиц в двоичной записи значения выражения 42015 - 22014 + 3?

21

Решение:
Число 2к (4а, 8а и т.д.) всегда записывается в двоичной системе как единица с соответ­
ствующим количеством нулей. Разность 2к-2п при к>п выглядит в двоичной системе как
к-п единиц с последующими п нулями. Этот факт - наглядный результат выполнения в
двоичной системе алгоритма вычитания «в столбик» (с займом единицы в старшем раз­
ряде). Убедиться в справедливости этого правила можно, записав в двоичной системе
значение разности 128-32 (27-25) = 96 = 64+32 = 1100000?

Таким образом, число 42015 записывается в двоичной системе как единица с последу­
ющими 4030 нулями. Разность 42015 - 22014 выглядит как 2016 единиц и последующие
2014 нулей, а прибавление числа 3 (Иг) к этой разности заменяет два последних нуля
единицами (все по алгоритму сложения в столбик). Итак, в двоичной записи этого вы­
ражения 2018 единиц.
Ответ: 2018

Пример 4
Значение арифметического выражения: 98 + З5 - 9 - записали в системе счисления
с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение:
Сначала запишем первое и второе слагаемое в системе счисления с основанием 3.
98 = 3(2х8) = 316= Ю 000 000 000 000 ОООз (единица и 16 нулей).
З5 = 100 ОООз (единица и 5 нулей)

Их сумма в троичной системе счисления записывается с помощью 2 единиц и 15 нулей:
10 000 000 000 000 ОООз + 100 ОООз = 10 000 000 000 100 ОООз
Запишем число 9 в той же системе счисления 9 = З2 = 100з Теперь выполним вычитание
в той же троичной системе: 10 000 000 000 100 ОООз - ЮОз = 10 000 000 000 022 200з
В этой записи 3 цифры «2», одна единица и 13 нулей. Общее количество цифр попреж-
нему 17.
Данное вычитание можно было бы произвести «в столбик» с переносом единицы в
младший разряд. При записи чисел в десятичной системе единица старшего разряда
превращается в 10 единиц соседнего младшего разряда, в троичной системе она пре­
вращается в три единицы (а в двоичной - в две).
Обратите внимание, что для данной задачи совсем неважно, какая разрядность у перво­
го слагаемого. Двойки заменяют нули только в средине записи числа. Общее правило
остается неизменным: число 3” - Зт (п>т) при записи в троичной системе будет содер­
жать п-т двоек и т нулей.
Ответ: 3

Задание 14 из демоверсии 2021 года

Значение арифметического выражения: 497 + 721 - 7 - записали в системе счисления с
основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Решение:
Сначала запишем первое и второе слагаемое в системе счисления с основанием 7.
497 = 7^2х7) = 714 = 100 000 000 000 000? (единица и 14 нулей).
721 - 1 000 000 000 000 000 000 000? (единица и 21 ноль)

Второе слагаемое оказалось больше первого. Их сумма в системе счисления с основа­
нием 7 записывается с помощью 2 единиц и 20 нулей:
1 000 000 000 000 000 000 0007 + 100 000 000 000 000? = 1 000 000 100 000 000 000 000?

22

Запишем число 7 в той же системе счисления: 7ю = 10?
Теперь выполним вычитание в той же системе счисления:
1 000 000 100 000 000 000 0007- 107= 1 000 000 066 666 666 666 66O7
В этой записи 13 цифр «6», одна единица и 8 нулей. Общее количество цифр попреж-
нему 22.
Обратите внимание, что для данной задачи очень важно определить, какое из чисел
больше. Ответ будет зависеть от того, какая разрядность у меньшего слагаемого. Ше­
стерки заменяют нули только в средине записи числа. Общее правило остается неиз­
менным: число 7” - 7т (»>т) при записи в системе счисления с основанием 7 будет
содержать п-т двоек и т нулей.
Ответ: 13

Задачи для самостоятельного решения

14.1
Запись числа 5310 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит
3 цифры. Чему равно основание этой системы счисления?

14.2
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в кото­
рых запись числа 33ю оканчивается на 3.

14.3
В системе счисления с некоторым основанием число 56ю записывается в виде 211. Ука­
жите это основание.

14.4
Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 30, запись
которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110. Числа в ответе указывать
в десятичной системе счисления.

14.5
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в кото­
рых запись числа 261о оканчивается на 1.

14.6
В системе счисления с некоторым основанием число 2110 записывается в виде 111. Ука­
жите это основание.

14.7
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:
42013 + 22012 - 17?

14.8
Значение арифметического выражения: 168 + 46- 16 - записали в системе счисления с
основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

14.9
Значение арифметического выражения: 965 + З195- 9 - записали в системе счисления с
основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

23

1.3. Основы логики

Для решения задач по этой теме необходимо помнить таблицы истинности простейших
функций, а также знать и уметь применять законы алгебры логики.

1) Таблицы истинности: -А АЛВ АV В А —> В
1 0 0 1
АВ 1 0 1 1
00 0 0 1 0
01 0 1 1 1
10
11

2) Законы алгебры логики
Подобно алгебре чисел, алгебра логики имеет свои законы, записываемые формулами.
Эти законы выражают свойства логических операций и используются при вычислении
значений логических выражений.
Переместительный, распределительный и сочетательный законы справедливы для опе­
раций логического сложения и умножения.

Переместительный закон:
А V В = В VAAA В = В ЛА
Сочетательный закон: (А V В) V С = А V (В V С) (А Л В) Л С = А Л (В Л С)

Распределительный закон:
А V (В Л С) = (А V В) Л (А V С)
А Л (В V С) = (А Л В) V (А Л С)

Закон непротиворечия:
А Л -А = О
Этот закон выражает тот факт, что высказывание не может быть одновременно истин­
ным и ложным.

Закон исключенного третьего:
AV -А = 1
Этот закон означает, что либо высказывание, либо его отрицание должно быть истин­
ным.

Закон двойного отрицания:
-(^А)=А

Законы де Моргана:
- (AVB) = -АЛ-В
- (АЛВ) = -AV-B.
В справедливости указанных законов можно убедиться с помощью таблиц истинности.
Полезно знать также формулу для выражения импликации через отрицание и логиче­
ское сложение:
А—>В = -А V В

24

3) Приоритеты логических операций

В алгебре логики, так же как и в алгебре чисел, существует приоритет операций. От
более старшей к младшей: Л V —то есть, если не определено скобками, то сначала
выполняется отрицание, потом умножение и т.д.

В варианте КИМ, которые получает каждый участник ЕГЭ, есть справочная страница
(она идет второй, после страницы с инструкцией по выполнению варианта). На ней
даются обозначения логических операций, содержатся сведения о приоритете операций
и много другой полезной информации. Приведем здесь извлечение с этой страницы,
касающееся рассматриваемого нами раздела:

В экзаменационных заданиях используются следующие соглашения.

1. Обозначения для логических связок (операций):

a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается (например, “А);

b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается Л (например, А Л В)
либо & (например, А & В);

c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается V (например, А V

В);
d) следование (импликация) обозначается —> (например, А —> В);

e) тождество обозначается = (например, А = В). Выражение А = В истинно тогда и
только тогда, когда значения А и В совпадают (либо они оба истинны, либо они оба
ложны);

f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ

О - для обозначения лжи (ложного высказывания).
2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными
(эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях
переменных. Так, выражения А В и (~А) V В равносильны, аАСВиАЛВ- нет
(значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое
умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество.
Таким образом, ^А Л В V С Л D означает то же, что и ((“А) Л В) V (С Л D).

Возможна запись А Л В Л С вместо (А Л В) Л С. То же относится и к дизъюнкции: возмож­
на запись А V В V С вместо (А V В) V С.

Задание 2
Пример 1
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­
ментов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYz F

000 1
001 0
0101

Какое выражение соответствует F?

-1X) A-YAZ 2)-XV-YVZ 3) XVYV-Z 4) XVYVZ

25

Решение:
Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто пере­
проверить предложенные ответы. Для каждого из четырех вариантов нужно подставить
значения X, Y, Z, приведенные в таблице, и сравнить полученные результаты со значе­
нием F, соответствующем данной строке:

1) ^X/vYAZ = 0 при X = О, Y = О, Z = 0, что не соответствует первой строке таблицы, где
F = 1. Следовательно, данная функция нам не подходит;

2) “XV^YVZ = 1 при X = О, Y = О, Z = 1, что не соответствует второй строке таблицы, где
F = 0;

3) выражение XVYV^Z соответствует F, при всех предложенных комбинациях X, Y и Z;
Убедимся, что последний вариант не подходит:
4) XVYVZ = 1 при X = О, Y = О, Z = 1, что не соответствует второй строке таблицы, где
F =0.

Ответ: 3

Пример 2
Логическая функция F задаётся выражением (-^z)/\x V х/\у. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных х, у, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция
??? ??? ??? F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

В ответе напишите буквы х, у, z в том порядке, в котором идут соответствующие им
столбцы (сначала - буква, соответствующая 1-му столбцу; затем - буква, соответству­
ющая 2-му столбцу; затем - буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пи­
шите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение х —> у, зависящее от двух переменных х и у, и табли­
ца истинности:

Перем. 1 Перем. 2 Функция
??? ??? F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Тогда 1-му столбцу соответствует переменная у, а 2-му столбцу соответствует перемен­
ная х. В ответе нужно написать: ух.

26

Решение:
Рассмотрим исходное выражение (^z)Ax V х/\у. Это дизъюнкция двух конъюнкций, в
каждой из которых одним из сомножителей является х. При х = 0 значение выражения
всегда будет 0 (ложно). Поэтому значения переменной х записаны в 3 столбце таблицы
истинности.
Выражение истинно при истинном х в трех случаях: если обе переменные у и z истин­
ны, если обе ложны и если у истинна, a z ложна. Посмотрев на 4 строку таблицы мы
понимаем, что в первом столбце записаны значения переменной z, а во втором у.

Ответ: zyx

Задачи для самостоятельного решения

2.1
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­
ментов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYZ F
00 1 0
01 1 1
1 10 1

Какое выражение соответствует F? 4) XV-YV-Z

X1)VYV~Z 2)-XVYV-Z 3) -XV-YVZ

2.2
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­
ментов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYZ F
0000
101 1
1 1 00

Какое выражение соответствует F? 4) -XV-YVZ
1) -XA-YA-Z 2) XA-YAZ 3) XAYA-Z

23
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­
ментов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYZ F
0101
00 1 1
1111

Какое выражение соответствует F?

1) -XAYA-Z 2) XV-YVZ 3) XVYV-Z 4) -XVYVZ

27

2.4
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­
ментов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYZ F
00 1 0
01 00
1 1 00

Какое выражение соответствует F?

1) XVYV-Z 2) XA-YAZ 3) XAYA-Z 4) -XAYA-Z

2.5

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргу­

ментов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

XYZ F
000 1
001 0
1 100

Какое выражение соответствует F?

1) -XA-YVZ 2) XVYV-Z 3) ~ XA-YA-Z 4) XAYAZ

2.6 F
0
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. 1
0
xl х2 хЗ х4 х5 хб х7 х8
0101 1 1 10 F
10101 101 0
0101 1010 0
1
Каким выражением может быть F?

1) х1 Л -х2 Л хЗ Л -х4 Л х5 Л хб Л -х7 Л х8
2) -xl V х2 V-хЗ Vx4V-x5 V-хб V х7 V-х8
3) ~’xl Л х2 Л -хЗ Л х4 Л х5 Л хб Л х7 Л -х8
4) xl V-х2 V хЗ V-х4 V-х5 V-хб V-х7 V х8
2.7
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

xl х2 хЗ х4 х5 хб х7 х8
000 1 1 1 1 1
10101 101
0101 101 1

Каким выражением может быть F?
1) xl Л -х2 Л хЗ Л -х4 Л х5 Л хб Л -х7 Л х8
2) xl V х2 V хЗ V -х4 V -х5 V -хб V -х7 V -х8
3) xl V -х2 V хЗ V -х4 V -х5 V хб V -х7 V -х8
4) -xl Л х2 Л -хЗ Л х4 Л х5 Л -хб Л х7 Л х8

28

2.8
Логическая функция F задаётся выражением (_,х)Лу V z/\y. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных х, у, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция
??? ??? ??? F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

В ответе напишите буквы х, у, z в том порядке, в котором идут соответствующие им
столбцы (сначала - буква, соответствующая 1-му столбцу; затем - буква, соответству­
ющая 2-му столбцу; затем - буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пи­
шите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

2.9 все
Логическая функция F задаётся выражением у Л ~z Л (_,х V w).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий
наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных w, х, у, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Перем. 4 Функция
F
??? ??? ??? ??? 1
1
1 0 0 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1

В ответе напишите буквы w, х, у, z в том порядке, в котором идут соответствующие им
столбцы (сначала - буква, соответствующая первому столбцу; затем - буква, соответ­
ствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделите­
лей между буквами ставить не нужно.

Истинность логического выражения, содержащего импликацию Задание 15

Пример 1
Какое из приведенных имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная —> вторая буква согласная) Л (предпоследняя буква глас­
ная —* последняя буква гласная)

1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ

29

Решение:
Поскольку логическое умножение истинно только тогда, когда обе его части истинны,
то отсюда следует, что высказывание (первая буква согласная —» вторая буква со­
гласная) истинно, и (предпоследняя буква гласная —* последняя буква гласная) ис­
тинно.
Заметим, что легче найти варианты, в которых импликации ложны и отсеять неправиль­
ные варианты.
Первая импликация ложна, когда высказывание (первая буква согласная) истинно, а
(вторая буква согласная) - ложно. То есть, первая буква - согласная, а вторая - глас­
ная. Следовательно, мы можем отбросить варианты МАКСИМ (2) и МАРИЯ (4).
Вторая импликация ложна, когда высказывание (предпоследняя буква гласная) истин­
но, а (последняя буква гласная) - ложно. То есть, предпоследняя буква имени - глас­
ная, а последняя - согласная. Следовательно, мы может отбросить вариант СТЕПАН

(3).
Остается только имя КРИСТИНА, которое и является верным.

Ответ: 1

Пример 2

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 10] и Q = [6, 14].

Выберите такой отрезок А, что формула ((х g А) —► (х 6 Р) ) V (х е Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

Решение:
Выражение в скобках связывается с условием принадлежности х отрезку Q операцией
«или». Это значит, что импликация должна быть истинна для всех точек х, которые не
принадлежат данному отрезку. Импликация ложна в том случае, когда значение первого
выражения (х g А) истинно, а второго (х е Р) - ложно. Отрезок Р частично перекры­
вается отрезком Q, поэтому значение всей дизъюнкции будет ложно для всех х < 2 и
х > 14. Из всех предложенных в ответах отрезков только отрезок [3,11] лежит целиком
внутри отрезка [2,14]

Ответ: 2

Пример 3
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [1, 39] и Q = [23, 58].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение

((х g Р) —> -■ (х g Q))—► (х е А)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20] 2) [25, 35] 3) [40, 55] 4) [20, 40]

Решение:
Это задание решается достаточно просто: требуется применить преобразование импли­
кации два раза и получить выражение без импликации:

( (х 6 Р) —> (х g Q) )—► (х g А) = (-1 (х g Р) V (х g Q) )—► (х g А) =
^ (^ (х е Р) V - (х е Q) ) V - (х е А) (х е Р) Л (х с Q) V -■ (х g А)

Понятно, что выражение будет тождественно истинно при любом значении переменной
х только в том случае, если отрезок А будет целиком лежать внутри пересечения от­
резков Р и Q. Определив это пересечение: Р Cl Q = [23, 39], находим среди вариантов
ответа отрезок, целиком лежащий внутри него: [25, 35].

Ответ: 2

30

Пример 4
Обозначим через т&п поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел тип.
Так, например, 14&5 = 11 IO2&OIOI2 = 01002= 4.
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

х&25 # 0 (х&17 = 0 -> х&А t 0)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом
значении переменной х)?

Решение:
Для начала требуется применить преобразование импликации два раза и получить вы­
ражение без импликации:

х&25 # 0 -> (х&17 = 0 х&А / 0) = х&25 = 0 V (х& 17 = 0 -> х&А / 0) =
х&25 = 0 V (х&17 # 0 V х&А 0) = х&25 = 0 V х&17 ± 0 V х&А ± 0

Запишем числа 25 и 17 в двоичной системе: 25ю= IIOOI2, 17ю = lOOOh. Различие меж­
ду ними только в одном разряде - четвертом. Поэтому число А = 1ООО2 =8ю
обеспечит тождественную истинность выражения х&25 = 0 V (х&17 0 V х&8 Ф 0)
Ответ: 8

Задание 15 из демоверсии 2021 года

Обозначим через ДЕЛ(и, т) утверждение «натуральное число п делится безостатка на
натуральное число т».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

=ДЕЛ(х, А) (ДЕЛ(х, 6) =ДЕЛ(х, 9))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении
переменной х)?

Решение:
Это задание решается по той же схеме: требуется применить преобразование имплика­
ции два раза и получить выражение без импликации, раскрыв скобки:

=ДЕЛ(х, А) (ДЕЛ(х, 6) -» =ДЕЛ(х, 9)) = ДЕЛ(х, А) V (ДЕЛ(х, 6) -> =ДЕЛ(х, 9)) =

ДЕЛ(х, А) V (=ДЕЛ(х, 6) V ~ДЕЛ(х, 9)) = ДЕЛ(х, А) V =ДЕЛ(х, 6) V ~ДЕЛ(х, 9)

Понятно, что выражение будет тождественно истинно при любом значении переменной
х только в том случае, если число А будет наименьшим общим кратным чисел 6 и 9.
тогда дизъюнкция будет истинна либо в том случае, что число х делится и на 6 и на 9,
или не делится хотя бы на одно из этих двух чисел. Наименьшее общее кратное чисел
6 и 9 - число 18.

Ответ: 18

Задачи для самостоятельного решения

15Л

Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию:

вторая буква согласная Л = (последняя буква гласная —► первая буква согласная)

1) ГАЛИНА 2) СТАНИСЛАВ ’ 3) АРТУР 4) АЛЕНА

31

15.2
Для какого слова истинно высказывание:
(четвертая буква слова гласная V предпоследняя буква слова согласная) —» первая
буква слова гласная

1) АТЛАС 2) БУЛКА 3) ЗАБОТА 4) КОРТ

15.3

Какое из приведенных имён удовлетворяет логическому условию:

(последняя буква согласная —> вторая буква согласная) Л -■ (третья буква гласная)

1) АЛЕКСЕЙ 2) ЕВГЕНИЯ 3) АРИНА 4) ПЕТР

15.4

Какое из приведенных имён удовлетворяет логическому условию:

(предпоследняя буква согласная V вторая буква согласная) Л (последняя буква

гласная —> первая буква гласная)

1) СТЕПАН 2) КСЕНИЯ 3) ФЕДОР 4) НАТАЛЬЯ

15.5
Какое из приведенных имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная V -■(вторая буква согласная)) Л предпоследняя буква со­
гласная

1) ПЕТР 2) БОРИС 3) МАРИЯ 4) ОЛЬГА

15.6
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 42] и Q - [22, 62].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение

( (х е Р) —> -■ (х е Q) )—> -■ (х е А)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]

15.7
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [1, 39] и Q = [23, 58].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение

( (х е Р) —> (х е Q) )—> = (х е А )

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20] 2) [25, 35] 3) [40, 55] 4) [20, 40]

15.8
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наимень­
шую возможную длину такого отрезка А, что формула

(х е Р) —> (((х g Q) Л -■(х е А)) —> -Дх е Р))

истинна при любом значении переменной х, то есть принимает значение 1 при любом
значении переменной х.

15.9
Обозначим через т&п поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел тип.
Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

х&39 = 0 V (х&42 = 0 -> х&А Д 0)
тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом
значении переменной х)?

32

15.10
Обозначим через ДЕЛ(л, т) утверждение «натуральное число п делится безостатка на
натуральное число т».
Для какого наибольшего натурального числа А формула

-ДЕЛ(х, А) -> (ДЕЛ(х, 10) -> -ДЕЛ(х, 25))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значе­
нии переменной х)?

15.11
Обозначим через ДЕЛ(и, т) утверждение «натуральное число п делится безостатка на
натуральное число т».
Для какого наибольшего натурального числа А формула

-ДЕЛ(х, А) -> (ДЕЛ(х, 49) -ДЕЛ(х, 14))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значе­
нии переменной х)?

1.4. Моделирование
В задачах по этому разделу курса обычно требуется установить соответствие между

разными видами представления данных, чаще всего - между таблицей и графом. При ре­
шении задач на эту тему необходимо уметь преобразовывать табличные модели (таблицы)
в эквивалентные сетевые модели, представленные в виде схем. И, наоборот, по заданной
схеме уметь строить эквивалентную табличную модель.

Задание 1

Пример 1
Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВ СDЕ F

А 24

В2 1 7

С4 1 34

D 33

Е 743 ■ 2

F 2 'С '

Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и F (при условии, что передви­
гаться можно только по построенным дорогам).

1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

33

Решение:
Нарисуем схему, соответствующую таблице:

Рассмотрим возможные пути между конечными пунктами и их длины:
А—>В—>Е—»F =11;
А—>С—»Е—>F = 10;
А—>С—>D—>Е—»F = 12;
д_»B—>С—»Е—»F = 9.
Остальные пути можно не рассматривать, т.к. их длина значительно больше, чем 9.
Следовательно кратчайший путь равен 9 и пролегает по вершинам в таком порядке:
А-^В—>С—>Е—>F.
Ответ: 1

Пример 2
На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице со­
держатся сведения о длинах этих дорог (в километрах).

П1 П2 ПЗ П4 П5 П6 П7

ГН 45 10

П2 45 40 55

ПЗ 15 60

П4 10 40 20 35

П5 15 55

П6 55 60 20 55 45

П7 35 45

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых
пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определи­
те, какова длина дороги из пункта В в пункт Е. В ответе запишите целое число - так,
как оно указано в таблице.

Решение:
На рисунке из пункта В выходит 5 дорог, а из пункта Е - 4 дороги. Из других пунктов
выходит либо 3 (пункт Г), либо 2 дороги. Таким образом пункту В на схеме соответсву-
ет П6 в таблице, а пункту Е на схеме П4 в таблице. Длина дороги между ними, согласно
таблице, 20 км.
Ответ: 20

34

Задачи для самостоятельного решения

1.1
Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВСDЕ F

А 54 3

В5 2 4

С4 2 12

D 12 4

Е 42

F3 4 2

Определите длину кратчайшего пути между пунктами С и D (при условии, что пере­
двигаться можно только по построенным дорогам).

1) 10 2) 11 3) 12 4) 13

1.2

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВ СDЕ F

А4 10 1

В4 48 1

С4 5

D 10 8 5

Е1 1

F1 1

Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и D (при условии, что пере­
двигаться можно только по построенным дорогам).

1) 10 2) И 3) 12 4) 9

35

1.3

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВС DЕ F

А5 3
2
В ■■ 2 2
-
С5 2 ■■■ 7
1 1
D2
2
Е7

F3

Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и Е (при условии, что передви­
гаться можно только по построенным дорогам).

1) 10 2) 9 3) 8 4) 7

1.4

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВСDЕ F

А2 6 5

В2 21

С2 5

D6 1 2

Е 52 5

F5 5

Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и Е (при условии, что передви­
гаться можно только по построенным дорогам).

1) 6 2) 5 3) 8 4) 7

1.5

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяженность ко­
торых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги
между пунктами нет.)

АВСDЕ F

А4 3

В4 3 4 4

С3 32

D 3 Ж» 4

Е 424

F3 4

Определите длину кратчайшего пути между пунктами D и F (при условии, что пере­
двигаться можно только по построенным дорогам).

1) 12 2) 10 3) 13 4) 9

36

1.6
На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа; в таблице
слева содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах).

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых
пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определи­
те, какова длина дороги из пункта В в пункт Г. В ответе запишите целое число - так,
как оно указано в таблице.
В таблице содержатся сведения о дорогах между населёнными пунктами (звёздочка
означает, что дорога между соответствующими городами есть).
На рисунке справа та же схема дорог изображена в виде графа.

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых
пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите
номера населённых пунктов Е и В в таблице. В ответе напишите два числа без
разделителей: сначала для пункта Е, затем для пункта В.
Задание 13
Пример
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каж­
дой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько
существует различных путей из города А в город Л?

37

Решение:
Это задача так называемого динамического программирования. Ключевая идея в дина­
мическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить постав­
ленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объе­
динить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одина­
ковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую
подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно
полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач велико. В данном случае нач­
нем решать задачу с конца - от города Л. Видно, что от городов И, Ж и К в Л можно
попасть единственным путем. Напишем единичку возле названий этих городов:

Из города Д в направлении Л выходят две дороги - одна в И, другая в Ж. Из указанных
городов путь в Л, как мы помним, единственный. Аналогично из Е в Л можно про­
ехать тоже двумя путями через Ж и через К. В городе В путник может отправиться в Л
напрямую через Ж (один путь) или через Д (два пути). Таким образом, общее количе­
ство путей из В в Л - три (2+1). Нарисуем это на схеме:

Продолжая этот метод, мы видим, что из Б в Л существуют 5 путей: два через Д и три
через В. Аналогично для Г: 3 пути через В и 2 пути через Е, в сумме 5.

Таким образом, из А в Л можно попасть 13 путями: 5 через Б, 3 через В и 5 через Г.

в

Ответ: 13

38

Задачи для самостоятельного решения
13.1

На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город Ж?

13.2
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге
можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует
различных путей из города А в город Ж?

13.3
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой
дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Л?

39

13.4
На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. По каждой
дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Л?

13.5
На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И,
К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном
стрелкой.
Какова длина самого длинного пути из города А в город М? Длиной пути считать
количество дорог, составляющих этот путь.

13.6
На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И,
К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном
стрелкой.
Какова длина самого длинного пути из города А в город М? Длиной пути считать коли­
чество дорог, составляющих этот путь.

40

2. Алгоритмизация и программирование

2.1. Исполнение алгоритмов

В этом разделе рассматриваются задания ЕГЭ связанные как с непосредственным ис­
полнением, так и с конструированием и анализом алгоритмов для различных испол­
нителей. Во многих заданиях ЕГЭ по этой теме в ходе решения необходимо провести
анализ алгоритма, но вовсе не требуется его пошагового выполнения.

Задание 5

Пример 1

Автомат получает на вход два трехзначных числа. По этим числам строится новое чис­

ло по следующим правилам.

Вычисляются три числа - сумма старших разрядов заданных трехзначных чисел, сумма

средних разрядов этих чисел, сумма младших разрядов.

Полученные три числа записываются друг за другом в порядке убывания (без раздели­

телей).

Пример. Исходные трехзначные числа: 835, 196. Поразрядные суммы: 9, 12, 11.

Результат: 12119

Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата.

1) 151303 2) 161410 3) 191615 4) 121613

Решение:
В задаче не требуется исполнение алгоритма, но необходимо сформулировать свойства
возможного результата его работы, для того, чтобы выделить тот вариант ответа, кото­
рый может являться результатом алгоритма.

В соответствии с условием, свойства допустимого результата следующие:
1. он состоит не менее, чем из трех, и не более, чем из шести цифр

2. его можно разбить ровно на три последовательно записанных числа, каждое из кото­
рых состоит из одной или двух цифр

2.1. каждое из этих трех чисел больше или равно нуля (0+0), и меньше или равно 18
(9+9).

2.2. двузначное число не может иметь ведущего нуля, т.е. запись типа 05 недопустима

2.3. эти три двузначных числа записаны слева направо, в порядке убывания. Рассмотрим
поочередно все варианты ответов:
1) 151303 можно разбить на 3 группы, соблюдая условие 2, единственным образом:
15 13 03. При этом нарушается условие 2.2. Следовательно, этот вариант ответа не под­
ходит.

2) 161410 тоже разбивается единственным образом: 16 14 10 - все условия выполняют­
ся, вариант подходит.

Убедимся, что остальные варианты ответов не подходят

3) 191615 разбивается 19 16 15 - не подходит, т.к. 19 недопустимо (п. 2.1)
4} 121613 разбивается 12 16 13 - не подходит, т.к. числа неупорядочены.

Ответ: 2

41

Задание из демоверсии 2021 года

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое чис­
ло R следующим образом.
1. Строится двоичная запись числа N.
2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:
а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на
2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись
111001;
б) над этой записью производятся те же действия - справа дописывается остаток от
деления суммы её цифр на 2.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходно­
го числа N) является двоичной записью искомого числа R.
Укажите такое наименьшее число N, для которого результат работы данного алгоритма
больше числа 77. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Решение:
Запишем число 77 в двоичной системе: 100 1101. Оно не является результатом рабо­
ты алгоритма, поскольку из двоичного числа 10011 должно было получиться 1001110.
(Сначала была бы дописана единица, так как в исходном числе три единицы, а потом 0,
так как на первом шаге получено число с 4 единицами). Число 100 ШО2 в десятичной
системе записывается как 78. Это число на единицу больше числа 77. Оно получилось
преобразованием по алгоритму двоичного числа 10011, то есть 19. Это и есть решение
задачи.

Ответ: 19

5.1

Предлагается некоторая операция над двумя произвольными трёхзначными десятичны­

ми числами: xs

1. Записывается результат сложения значений старших разрядов заданных чисел.

2. К нему дописывается результат сложения значений средних разрядов этих чисел по

такому правилу: если он меньше первой суммы, то второе полученное число приписы­

вается к первому слева, иначе - справа.

3. Итоговое число получают приписыванием справа к полученному после второго шага

числу суммы значений младших разрядов исходных чисел.

Определите, какое из предложенных чисел может быть результатом такой операции.

1) 131615
2) 151316
3) 151620
4) 131605

5.2
Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему
правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин А, В, С. На первом месте - одна из бу­
син В, D, С, которой нет на третьем месте. В середине - одна из бусин А, С, Е, В, не
стоящая на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?

1С)ВВ 2) ЕАС 3) BCD 4) ВСВ

42

5.3
Саша и Женя играют в такую игру. Саша пишет слово русского языка. Женя заменяет в
нем каждую букву на другую букву так, чтобы были выполнены такие правила.
1) Гласная буква меняется на согласную, согласная - на гласную.
2) Количество букв в слове не изменяется.
3) В получившемся слове буквы следуют в алфавитном порядке.

Пример. Саша написала: ЖЕНЯ. Женя может написать, например, ЕНОТ или ЁЖИК.
Но не может написать МАМА или ИВАН.
Для справки. В алфавите буквы идут в таком порядке:

АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

Саша написала: КОТ.

Укажите, какое из следующих слов может написать Женя

1) АНЯ 2) ЁЛКА 3) ЖИР 4) ЭЛЯ

5.4
В некоторой информационной системе информация кодируется двоичными шестираз­
рядными словами. При передаче данных возможны их искажения, поэтому в конец
каждого слова добавляется седьмой (контрольный) разряд таким образом, чтобы сумма
разрядов нового слова, считая контрольный, была чётной. Например, к слову 110011
справа будет добавлен 0, а к слову 101100 - 1.
После приёма слова производится его обработка. При этом проверяется сумма его раз­
рядов, включая контрольный. Если она нечётна, это означает, что при передаче этого
слова произошёл сбой, и оно автоматически заменяется на зарезервированное слово
0000000. Если она чётна, это означает, что сбоя не было или сбоев было больше одного.
В этом случае принятое слово не изменяется.
Исходное сообщение

1000100 1111101 1101001
было принято в виде 1000101 1111101 1110001.

Как будет выглядеть принятое сообщение после обработки?

1) 0000000 1111101 0000000
2) 0000000 1111101 1110001
3) 1000101 1111101 0000000
4) 1000100 0000000 1101001

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое чис­
ло следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если
N чётное, в конец числа (справа) дописываются два нуля, в противном случае справа
дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразо­
вана в 100111.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходно­
го числа N) является двоичной записью числа - результата работы данного алгоритма.
Укажите максимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет мень­
ше 150. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

43

5.6
На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое чис­
ло следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если
N чётное, в конец числа (справа) дописываются два нуля, в противном случае справа
дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразо­
вана в 100111.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходно­
го числа N) является двоичной записью числа - результата работы данного алгоритма.

Укажите максимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет мень­
ше 142. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Задача анализа алгоритма может предполагать как подсчет различных результатов ис­
полнения алгоритма для различных исходных данных, так и подсчет количества различных
алгоритмов приводящих исполнителя из исходного положения в искомое. Методы решения
этих задач также могут существенно различаться. Решения также могут в некоторых случа­
ях получаться методом устных рассуждений, а в некоторых случаях требуют кропотливых
вычислений.

Задание 23
Пример 1
У исполнителя Кузнечик две команды:
1. прибавь 3,
2. вычти 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая - уменьшает его на 2 (отрица­
тельные числа допускаются).
Программа для Кузнечика - это последовательность команд. Сколько различных чисел
можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 5 команд?

Решение:
В этой задаче также не требуется непосредственное исполнение алгоритма, но нужен
его анализ. Заметим, что результат этого алгоритма зависит только от соотношения
количества команд «прибавь 3» и «вычти 2». Так, например, если в программе три
команды сложения и две команды вычитания, то результат будет один и тот же, не­
зависимо от порядка следования команд в программе. Поскольку количество команд
в программе фиксировано, то можно считать, что результат однозначно определяется
количеством команд одного вида, например, команд сложения (если в программе N\
команд сложения, то команд вычитания не может быть иным, чем N2 = 5 - М). Понят­
но, что в программе из пяти команд может присутствовать только 0, 1, 2, 3, 4 или 5
команд сложения, т.е. возможно всего шесть семейств программ, со своим результатом
для каждого семейства.

Ответ: 6

Пример 2
У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. умножь на 2.
Первая из них увеличивает на 1 число на экране, вторая удваивает его. Программа для
Удвоителя - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 3 преобразуют в число 23?

44

Решение:
Эту задачу можно решить с помощью следующих рассуждений:

Числа 4 и 5 можно получить из числа 3 с помощью Удвоителя единственным образом:
прибавляя 1 к предыдущему числу. Число 6 двумя способами: прибавив 1 к числу 5 и
удвоив число 3. Число 7 получается из числа 6 единственным способом: прибавлением
единицы, а из числа 3 - двумя способами, так как число 6 можно получить также двумя
способами. (Запишем для наглядости программы получения числа 7 из числа 3: 1111 и
21.) Число 8 можно получить уже тремя способами: прибавив 1 к числу 7 или удвоив
число 4, получаемое из 3 единственным образом - прибавлением единицы. Аналогично
число 9 получается тем же числом способов, что и число 8 (тремя способами).

Обобщив эти наблюдения, сделаем вывод: четное число получается, начиная с числа 6,
либо прибавлением единицы к предшествующему числу, либо удвоением числа вдвое
меньшего. При этом количество способов получения этого числа суммируется. Следу­
ющее за ним нечетное число получается из предшествующего прибавлением единицы,
поэтому количество способов получения у нечетного числа и предшествующего ему чет­
ного совпадают.

Построим таблицу, в которой в первом ряду напишем числа, а во втором ряду - количе­
ство способов их получения из числа 3 с помощью Удвоителя.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 1 2 2 3 3 4 4 6 6 8 8 11 11 14 14 18 18 22 22

Видно, что число 23 получается из числа 22 прибавлением единицы, а вот число 22 мо­
жет быть получено 22 способами: прибавлением единицы к числу 21, получаемому 18
способами или удвоением числа 11, получаемого 4 способами. Таким образом, число 23
получается из числа 3 с помощью 22 различных программ для Удвоителя.

Следует обратить внимание, что эта задача никоим образом не предполагает выписыва­
ния всех этих 22 программ (и, тем более, доказывания, что все остальные программы
не приводят к искомому результату).

Ответ: 22

Задачи для самостоятельного решения

23.1
У исполнителя Кузнечик две команды:
1. прибавь 6,
2. вычти 5.
Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая - уменьшает его на 5 (отрица­

тельные числа допускаются).
Программа для Кузнечика - это последовательность команд. Сколько различных чисел

можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд?

23.2
У исполнителя Кузнечик две команды:
1. прибавь 6,
2. вычти 5.
Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая - уменьшает его на 5 (отрица­
тельные числа не допускаются).
Программа для Кузнечика - это последовательность команд. Сколько различных чисел
можно получить из числа 0 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд?

45

23.3
У исполнителя Кузнечик две команды:
1. прибавь 6,
2. вычти 6.
Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая - уменьшает его на 6 (отрица­
тельные числа допускаются).
Программа для Кузнечика - это последовательность команд. Сколько различных чисел
можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 8 команд?

23.4
У исполнителя Кузнечик две команды:
1. прибавь 6,
2. вычти 6.
Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая - уменьшает его на 6 (отрица­
тельные числа не допускаются).
Программа для Кузнечика - это последовательность команд. Сколько различных чисел
можно получить из числа 3 с помощью программы, которая содержит ровно 8 команд?

Одно время подобное задание было во втором разделе экзаменационной работе и тре­
бовало развернутый ответ. Тогда надо было не только вычислить количество программ, но
и обосновать это с помощью рассуждений. Уже давно это задание снова стоит в первой ча­
сти, а в 2021 году заданий с развернутым ответом вообще в работе не будет. Тем не менее,
умение объяснить полученное число программ может оказаться очень полезным. Рассмо­
трим эти объяснения еще на двух примерах.

Пример 3
У исполнителя Утроитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. умножь на 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая - утраивает его. Программа для
Утроителя - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 29? Ответ обоснуйте.

Решение:
Способ 1.
Обозначим 7?(л) - количество программ, которые преобразуют число 1 в число п. Обо­
значим /(«) наибольшее кратное трем, не превосходящее п.

Обе команды исполнителя увеличивают исходное число, поэтому общее количество ко­
манд в программе не может превосходить 28.
Верны следующие соотношения:
Если и не делится на 3, то тогда R(n) = ??(?(«)), так как существует единственный способ
получения п из Z(h) - прибавлением единиц.
Пусть п делится на 3.Тогда R(n) = R(n/3)+R(n-l)= R(n/3)+R(n-3) (если «>3). При п=3
R(n) = 2 (два способа: прибавлением двух единиц или однократным умножением на 3).
Поэтому достаточно последовательно вычислить значения R(n) для всех чисел, кратных
трем и не превосходящих 29. Имеем:
А(2)=1
/?(3) = 2 = Я(4)=Я(5)
Д(6) = А(2)+7?(3) =1+2 = 3 = Я(7)=Я(8)

46

7?(9) = 7?(3)+7?(6) = 2+3 =5 = 7?( 10)=7?( 11)
72(12) = 7?(4)+7?(9) = 2+5 = 7= 7?(13)=7?(14) 72(15) = 72(5)+72(12) =2+7 =9 = 72(16)=72(17)
72(18) = 72(6)+72(15) = 3+9 = 12 =72(19)=72(2О) 72(21) = 72(7)+72(18) = 3+12 = 15 = 72(22)=72(23)
72(24) = 72(8)+72(21) = 3+ 15 = 18 = 72(25)=72(26) 72(27) = 72(9)+72(24) = 5 + 18 = 23 =
7?(28)=7?(29)
Ответ: 23

Способ 2.
Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 2, 3, 29 (то есть
для каждого из чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его
получения). Количество программ, которые преобразуют число 1 в число п, будем обо­
значать через 7?(и). Число 1 у нас уже есть, значит, его можно получить с помощью “пу­
стой” программы. Любая непустая программа увеличит исходное число, т.е. даст число,
больше 1. Значит, 72(1) = 1. Для каждого следующего числа рассмотрим, из какого числа
оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число не делится на три,
то оно может быть получено только из предыдущего с помощью команды прибавь 1.
Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ
для предыдущего числа: 7?(z) = /?(/-!). Если число на 3 делится, то вариантов послед­
ней команды два: прибавь 1 и умножь на 3, тогда 7?(z) = 7?(z-l) + 72(z73). Заполним
соответствующую таблицу по приведенным формулам слева направо:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 12223335557779
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
9 9 12 12 12 15 15 15 18 18 18 23 23 23

При этом ячейки, относящиеся к числам, которые не делятся на 3, можно в решении и
опустить (за исключением первого и последнего чисел):

1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 28 29
1 2 3 5 7 9 12 15 18 23 23 23

Ответ: 23

Эту задачу можно решить, построив дерево (древовидный граф), дуги которого соот­
ветствуют операциям добавления единицы или утроения, а вершины - результатам вы­
числений.
Поскольку дерево для приведенной выше задачи занимает на странице много места, для
иллюстрации этого способа, приведем решение аналогичной задачи с более компактным
деревом.

Пример 4
У исполнителя Утроитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. умножь на 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая - утраивает его. Программа для
Утроителя - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 3 преобразуют в число 16? Ответ обоснуйте.

47

Решение:
Любое целое число большее 3 может быть получено данным исполнителем одним из
двух способов:
1) добавлением единицы (так можно получить любое число)
2) умножением на 3 (так можно получить только число, кратное 3). Построим бинарное
(двоичное) дерево со следующими свойствами:
- в корне дерева поместим искомый результат - 16;
- левый потомок для каждой вершины либо отсутствует, либо вершина получается из
него добавлением единицы;
- правый потомок для каждой вершины либо отсутствует, либо вершина получается из
него умножением на 3;
Другими словами, левая ссылка соответствует вычитанию из значения вершины едини­
цы, а правая - делению на 3 (возможно только для чисел, кратных 3 и больших 6).

16

Каждый путь от вершины со значением 3 к корню дерева соответствует одной програм­
ме Утроителя получения из числа 3 числа 16. Таких путей 4. Следовательно,
Ответ: 4
В качестве упражнения предлагается самостоятельно решить эту задачу двумя приведен­
ными выше способами, а также построить двоичное дерево для задачи из демоверсии.
Задачи для самостоятельного решения
23.5
У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. умножь на 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая удваивает его. Программа для
Удвоителя - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 2 преобразуют в число 22?

48

23.6
У исполнителя Прибавитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1,
2. увеличь старшую цифру числа на 1.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает на 1 старшую (ле­
вую) цифру числа, например число 23 с помощью такой команды превратится в число 33.
Если старшая цифра числа равна 9, то вторая команда оставляет это число неизменным.
Программа для Прибавителя - это последовательность команд. Сколько есть программ,
которые число 15 преобразуют в число 38?

23.7
Исполнитель Май4 преобразует число, записанное на экране. У исполнителя три коман­
ды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 2
3. Прибавь 4
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает это число на 2, а
третья - на 4. Программа для исполнителя Май4 - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 21 преобразуют в число 30?

23.8
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2
2. умножь на 3
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая - утраивает его. Программа для
Калькулятора - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 31?

23.9
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 3
2. умножь на 2
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая - удваивает его. Программа для
Калькулятора - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 31?

23.10
У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:
1. возведи в квадрат,
2. прибавь 1.
Первая из них возводит число на экране в квадрат, вторая - увеличивает его на 1. Про­
грамма для Квадратора - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 2 преобразуют в число 100?

23.11
У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 3
2. умножь на 2
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая - удваивает его. Программа для
Удвоителя - это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 4 преобразуют в число 43?

49