ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน2562

ใบความรทู้ ี่ 1
เรื่อง ความสมั พนั ธ์ คอู่ นั ดับและผลคณู คาร์ท่เี ซียน
คอู่ ันดับ (Ordered Pairs) คือสัญลกั ษณ์ทีแ่ สดงการจบั คู่กันระหว่างส่งิ สองสง่ิ
ตัวอยา่ งของคู่อันดบั (a, b) อ่านวา่ คู่อันดับ เอบี
a เปน็ สมาชิกตัวหน้าหรอื สมาชิกตวั ที่หนงึ่ ของคู่อนั ดบั (a, b)
b เปน็ สมาชิกตัวหลงั หรอื สมาชกิ ตัวที่สองของคูอ่ ันดับ (a, b)

บทนยิ าม คอู่ นั ดับ (a, b) = (c, d) กต็ ่อเม่ือ
a = c และb = d เมือ่ a, b, c, d เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคา่ x และy ท่ีทาให(้ x + 2, y + 10) = (6, 12)
วิธีทา จากความหมายการเท่ากนั ของคู่อันดับ จะได้ว่า x + 2 = 6 และ y + 10 = 12

ดังนนั้ x = 4 และ y = 2

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ x และy ทีท่ าให้(2x + y, 24) = (6, 3x - y) วิธที า จากความหมายการเท่ากัน
ของคอู่ นั ดบั จะได้วา่ 2x + y = 6 ....... (1)

3x - y = 24 ....... (2)
(1) + (2) ; 5x = 30 x = 6 แทนคา่ x ใน
(1) จะได้ y = -6

ถ้ากาหนดให้A = {3, 4} และB = {3, 4, 5} จะได้วา่ A × B = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4,
3), (4, 4), (4, 5)} เรียกเซตนว้ี ่า "ผลคูณคาร์ทเ่ี ซียน" (Cartesian product) ของเซต A และB เขยี นแทน
ด้วย A× B อ่านว่า ""เอคณู บี""

เนอ่ื งจากสามารถใช้คู่อันดับแสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลงั ได้ จึงอาจ
กลา่ วได้วา่ ความสัมพันธ์ คอื เซตของคู่อันดับและเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเ่ ซียนระหว่างเซตสองเซต ถา้
r แทนความสมั พนั ธ์ที่ r A × B เรากล่าวว่า r เปน็ ความสัมพันธ์จาก A ไป B

ถ้า r  A × A เรากล่าววา่ r เปน็ ความสมั พันธ์ใน A
และถ้าให้ r เป็นเซตของคู่อันดบั ท่ีเก่ียวข้องกันแบบ “ น้อยกว่า ”
จะได้ r = {(3, 4), (3, 5), (4, 5)}
เราเรยี ก r ว่าเป็นความสมั พันธ์แบบ “ นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B
ลักษณะของความสัมพันธ์ r น้ัน ตอ้ งเปน็ เซตของคู่อันดับท่ีไดม้ าจากสมาชกิ ใน A × B และมี
ความสมั พนั ธ์ เง่ือนไขทก่ี าหนด ซงึ่ สามารถนิยามความสัมพันธไ์ ดด้ ังน้ี

บทนยิ าม ให้ A และ B เปน็ เซต r เปน็ ความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B ก็ต่อเม่ือ r เปน็ สบั เซตของ A × B

ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = {2, 3} , B = {4, 6, 9}
และให้ r1 แทนความสัมพันธ์ “ สองเท่า ” จาก A ไป B
r2 แทนความสัมพันธ์ “ หารลงตัว ” จาก A ไป B
r3 แทนความสัมพนั ธ์ “ รากที่สอง ” จาก A ไป B

วิธที า A × B = {(2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (3, 9)}

 r1 = { }
r2 = {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3, 9)}
r3 = {(2, 4), (3, 9)}

ตวั อย่างที่ 3 กาหนด A เป็นเซตของจานวนเตม็ บวก และB เปน็ เซตของจานวนจริง
r1 = {(x, y)  A × B | y = x + 2}
r2 = {(x, y)  A × B | y = 2x}

จงเขยี น r1 และr2 แบบแจกแจงสมาชิก
วิธที า จาก r1 = {(x, y)  A × B | y = x + 2}

ถ้า x = 1 จะได้ y = 1 + 2 = 3 คู่อันดับคือ (1, 3)
x = 2 จะได้ y = 2 + 2 = 4 คูอ่ ันดับคือ (2, 4)

ทาเช่นนีเ้ รอื่ ย ๆ ไป จะได้ r1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }
จาก r2 = {(x, y)  A × B | y = 2x}
ความสมั พันธ์ของ r2 อยภู่ ายใต้กฎเกณฑ์ คือ สมาชกิ ตัวหลงั เทา่ กับ 2 เท่าของสมาชิกตัวหน้า

 r2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . }

แบบฝึกเสรมิ ประสบการณ์
เรอ่ื ง ความสัมพนั ธ์ ค่อู นั ดับและผลคูณคาร์ที่เซียน
คาช้ีแจง จงตอบคาถามต่อไปนี้ ให้ถกู ต้องสมบรู ณ์
1. จงหาผลคูณคารท์ ีเ่ ซยี นของเซต A และB ตอ่ ไปนี้
(1) A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}
(2) A = {3, 4}, B = {a, b, c}
(3) A = {a, b}, B = {3, 4, 5, 6}
(4) A = {a, b, c}, B = {2, 4}
(5) A = {m, n}, B = {x, y}
2. จงหาคา่ ของตัวแปรในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
(1) (x, y) = (6, 9)
(2) (x - 2, 4) = (8, y + 2)
(3) (-3, a) = (b - 4, 6)
(4) (x + y, x - y) = (6, 4)
(5) (2x, y) = (16, 2)
3.กาหนด A = {1, 3} และB = {5, 7, 9} แลว้ จงหา
(1) A × B
(2) B × A
(3) A × A
(4) B × B
4. จงเขยี นความสมั พันธแ์ ต่ละข้อต่อไปนี้ในรปู แจกแจงสมาชิก
(1) r1 = {(x, y)  I × I+ | y2 = x}
(2) r3 = {(x, y)  I × I | y2 = 1 - x2}
(3) r2 = {(x, y)  A × A | y = x - 4 } เมอ่ื A = {2, 5, 6, 10}
5. จงเขยี นความสมั พนั ธข์ อง r ในแต่ละข้อต่อไปน้ี เมื่อ A = {1, 2, 3, 4} และ r เป็นความสมั พนั ธใ์ น A
(1) r = {(4, 2), (1, 1)}
(2) r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
(3) r = {(3, 1)}
6. กาหนดเซต A มีสมาชิก 3 ตัวเซต B มีสมาชิก 4 ตัว จงหา
(1) จานวนความสัมพันธจ์ าก A ไป A
(2) จานวนความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B
(3) จานวนความสัมพันธ์จาก B ไป B

กราฟของความสัมพันธ์
ลักษณะของกราฟของความสัมพันธ์ต่างๆ
(1) กราฟของความสัมพันธ์ทเี่ ป็นจดุ
ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟของความสมั พันธ์ r = {(1,0), (2,1), (3,2)}

(2) กราฟของความสัมพันธท์ เี่ ป็นเสน้ ตรง สมการท่วั ไปคือ ax + by + c = 0 โดยท่ี a,b,c เป็น จานวนจรงิ
ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ r = {(x,y) | 2x + 3y = 6 }
วธิ ที า หาจดุ ตัดแกน x (แทน y = 0)

จะได้ 2x + 3(0) = 6
x =3

หาจุดตัดแกน y (แทน x = 0)
จะได้ 2(0) + 3y = 6
y =2

ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r = {(x,y) | x - 2y - 6 = 0 }
วธิ ีทา หาจดุ ตัดแกน x (แทน y = 0)

จะได้ x - 2(0) - 6 = 0
x =6

หาจดุ ตัดแกน y (แทน x = 0)
จะได้ (0) - 2y - 6 = 0

y = -3

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงเขยี นกราฟของความสัมพันธ์ r = {(x,y) | y = x2 }
วิธที า

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y9410149

(3) กราฟของความสัมพนั ธ์ท่ีมีกราฟเปน็ รูปพาลาโบลาสมการทั่วไปมี 2 แบบดงั นี้
แบบท่ี 1 y = a(x - h)2 + k โดยท่ีa ≠ 0 มจี ุดยอด อย่ทู ่(ี h,k)
ถ้า a > 0 กราฟหงาย
ถา้ a < 0 กราฟควา่

ตัวอย่างที่ 5 จงเขยี นกราฟของความสมั พันธ์ r = {(x,y) | y = x2 – 2x + 3}
วิธที า หาจุดยอดจาก y = x2 – 2x + 3

y = (x2 – 2x(1) + 12) + 3 - 12
y = (x – 1)2 + 3 - 12
y = (x – 1)2 + 2 เปน็ กราฟท่ีมจี ดุ ยอด (1,2)

แบบที่ 2 x = a(y – k)2 + h โดยท่ี a ≠ 0 จุด ยอดคือ (k , h)
ถ้า a > 0 กราฟตะแคงขวา
ถ้า a < 0 กราฟตะแคงซ้าย

ตัวอย่างท่ี 6 จงเขยี นกราฟของความสัมพันธ์ r = {(x,y) | x = (y – 2)2 +1}
วธิ ีทา จากกราฟจะได้ จุดยอด คือ (2,1)

ตัวอยา่ งที่ 7 จงเขยี นกราฟของความสัมพนั ธ์ r = { (-2,4) , (-1,2) , (0,0) , (1,2) , (2,4) }

จากกราฟ จะเห็นว่า กราฟของความสมั พันธ์ เปล่ียนแปลงไปในลักษณะเป็นตวั วี
แบบฝกึ เสริมประสบการณ์
เรอ่ื ง กราฟของความสัมพันธ์

1. จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3)}
2. จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r = { (x,y)| x + 2y = 4 }
3. จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ r = {(x,y) | 5x – y = 10}
4. จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ r = { (x,y) | y = (-x)2 }
5. จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ r = { (x,y) | y = x2+2x+3 }
6. จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r = {(x,y) | y = x2 – 4x + 5}
7. จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ r = { (-3,3), (-2,2), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3) }

ใบความรทู้ ี่ 2
เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์
พิจารณาเซตของสมาชกิ ตวั หน้า และเซตของสมาชิกตวั หลังในคอู่ นั ดบั ของความสัมพันธ์
เชน่ r = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)} จากเซตข้างตน้
- เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของ r คือ {1, 2, 3, 4, 5} เรยี กเซตของสมาชิกตวั หน้าในคู่ อนั ดบั
ของความสมั พันธ์ r ว่า "โดเมน" ของ r เขียนแทนด้วย Dr
- เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดบั ของ r คอื {2, 4, 6, 8, 10} เรียกเซตของสมาชกิ ตัวหลังในคู่ อนั ดบั
ของความสัมพนั ธ์ r ว่า "เรนจ"์ ของ r เขียนแทนดว้ ย Rr
เขยี น Dr และ R r ในรูปแบบเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกได้ดงั น้ี
Dr = { x | (x,y)  r}
Rr = { y | (x,y) r}
ตัวอย่างท่ี 1 จงหาโดเมนและเรนจข์ อง r = {(2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}
วิธที า โดเมนของความสมั พนั ธ์ r คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ในคู่อนั ดบั ของความสัมพนั ธ์ r
เขยี นแทนดว้ ย Dr

 Dr = {2, 3, 4, 5}
เรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r คือ เซตของสมาชกิ ตัวหลงั ในคู่อันดบั ของความสมั พันธ์ r
เขียนแทนด้วย Rr

 Rr = {5, 6, 7, 8}
ตัวอยา่ งที่ 2 ให้ r = {(x, y)  R × R | y = 2x + 1} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
วธิ ีทา จากความสมั พันธ์ r ที่กาหนดให้ y = 2x + 1 เราสามารถหาคา่ y ทีเ่ ปน็ จรงิ และสอดคล้องกับ
ความสมั พันธท์ ่ีไดเ้ สมอ

หาเรนจ์ จาก y = 2x + 1 จะตอ้ งทาให้อยู่ในรูป x = เทอมของ y
จะได้ 2x = y - 1

x=

จากความสมั พันธ์ x =
เราสามารถหาคา่ x ทีเ่ ป็นจรงิ และสอดคล้องกบั ความสัมพนั ธน์ ี้ได้เสมอ

 Rr = {y | y  R}

การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
สามารถทาไดด้ งั นี้

1. กรณคี วามสมั พันธส์ ามารถเขยี นในรูปแจกแจงสมาชิกได้
โดเมน คอื สมาชิกตัวหนา้ ในคอู่ ันดับของความสัมพันธ์
เรนจ์ คือ สมาชิกตัวหลงั ในคอู่ นั ดับของความสัมพนั ธ์

2. กรณีความสมั พนั ธไ์ มส่ ามารถเขียนในรปู แจกแจงสมาชิกได้
2.1 การหาโดเมน ควรเขียนความสัมพนั ธใ์ ห้อยใู่ นรปู ของ y = เทอมของ x

แลว้ พิจารณาว่า ภายในเซตที่กาหนดให้x มีคา่ อะไรบ้างที่ทาใหห้ าค่า y ได้ โดยท่ีy นนั้ ต้องอยู่
ภายในเซตทีก่ าหนดให้ ค่า x เหล่านน้ั จะเป็นสมาชิกในโดเมน

2.2 การหาเรนจ์ ควรเขยี นความสมั พันธใ์ ห้อยู่ในรูปของ x = เทอมของ y
แล้วพิจารณาวา่ y มีค่าเป็นอะไรบ้างท่ีทาให้หาคา่ x ได้ โดยท่ีx น้ัน ต้องอยู่ภายในเซตท่ี
กาหนดให้ คา่ y เหล่าน้ัน จะเปน็ สมาชกิ ในเรนจ์
ตัวอยา่ งท่ี 1. จงหาโดเมน และเรนจข์ องความสัมพันธ์ r ต่อไปน้ี

1) r = {(x,y) ∈ R x R | y = 3x + 1}
วิธีทา หา Dr ( จัดรูป y = เทอมของ x )
จากเง่ือนไข y = 3x + 1 พิจารณาคา่ x จะไดว้ า่ เมื่อแทนค่า x ด้วยจานวนจริงใด ๆ แล้ว
จะสามารถหาค่า y ที่เป็นจานวนจรงิ ทุกจานวนได้

ดงั นนั้ Dr = {x | x ∈ R } = R
หา Rr (จัดรูป x = เทอมของ y)

จากเง่อื นไข y = 3x + 1 จะได้ x = พิจารณาค่า yจะได้วา่ เมอ่ื แทนคา่ y ดว้ ยจานวนจริงใด ๆ
แล้วจะสามารถหาคา่ x ท่ีเป็นจานวนจริงทกุ จานวนได้

ดงั นั้น Rr = {y | y ∈ R } = R
2) r = {(x,y) ∈ R x R | x = 5y - 4}
วธิ ีทา
หา Dr (จัดรปู y = เทอมของ x)

จากเง่ือนไข x = 5y - 4 จะได้ y = พิจารณาค่า x จะได้วา่ เมื่อแทนค่า x ดว้ ยจานวนจรงิ ใด ๆ
แล้วจะสามารถหาคา่ y ท่เี ป็นจานวนจริงทุกจานวนได้

ดงั น้ัน Dr = {x | x ∈ R } = R
หา Rr (จดั รปู x = เทอมของ y)

จากเงื่อนไข x = 5y - 4 พิจารณาคา่ y จะไดว้ ่าเม่ือแทนค่า y ด้วยจานวนจรงิ ใด ๆ
แลว้ จะสามารถหาค่า x ท่ีเป็นจานวนจรงิ ทุกจานวนได้

ดังนน้ั Rr = {y | y ∈ R } = R

แบบฝึกประสบการณ์
เร่อื ง การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์
จงหาโดเมน และ เรนจ์ของความสมั พันธ์ r ตอ่ ไปนี้
1) r = {(x,y) ∈ R x R | 2y = x + 3}
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) r = {(x,y) ∈ R x R | 4x = 7y - 9}
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

หมายเหตุ
จากแบบฝกึ เสริมประสบการณข์ อ้ ที่ 1 และ 2 สรปุ เป็นสตู รได้วา่

ถา้ r = {(x,y) ∈ R x R | ax + by + c = 0} ซึ่งเป็นสมการเสน้ ตรง
Dr = ......................

และ Rr = ...................... เสมอๆ เมื่อ a, b, c เปน็ จานวนจริงใดๆ

การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์ กรณีทเี่ ง่ือนไขของความสัมพนั ธเ์ ป็นเศษสว่ น
ตัวอยา่ งท่ี 1. จงหาโดเมน และ เรนจข์ องความสัมพันธ์ r ต่อไปน้ี

1) r = {(x,y) ∈ R x R | y = }

วธิ ีทา หา Dr (จัดรูป y = เทอมของ x) จากเงอ่ื นไข y =
พิจารณา ถา้ x – 1 = 0 นัน่ คือ x = 1

จะได้วา่ y = = ซงึ่ ไมส่ ามารถหาค่าได้ y =
ดังนั้น Dr = {x | x ≠ 1 } = R – {1} y(x – 1) =2
xy – y =2
หา Rr (จัดรปู x = เทอมของ y) จากเงือ่ นไข

x=

พจิ ารณา ถา้ y = 0 จะได้ว่า x = = ซ่ึงไมส่ ามารถหาค่าได้

ดังนั้น Rr = {y | y ≠ 0 } = R – {0}

2) r = {(x,y) ∈ R x R | y = 2x 3 }
5x-7

วธิ ีทา หา Dr (จัด y = เทอมของ x )

จากเงอ่ื นไข y = 2x 3 พิจารณา ถ้า 5x – 7 = 0 นน่ั คือ x =
5x-7

จะได้วา่ y =2 3 =2 3 =2 3 ซึง่ ไม่สามารถหาค่าได้
7 7 0
5

ดงั นั้น Dr = {x | x ≠ } = R – { }

หา Rr (จดั รปู x = เทอมของ y)

จากเงื่อนไข y = 2x 3
5x-7

y(5x – 7) = 2x + 3

5xy – 7y = 2x + 3

5xy – 2x = 7y + 3

x(5y – 2) = 7y + 3

x = 7y 3
5y-2

พิจารณา ถ้า 5y – 2=0 นนั่ คือ y= 2 จะได้ว่า y = 7(2 ) 3 = 7(2 ) 3 = 7(2 ) 3 ซ่งึ ไม่สามารถหาค่าได้
5(2 )-2 2-2 0

ดงั นน้ั Rr = {y | y ≠ 2 } = R – {2 }

แบบฝึกประสบการณ์
เรือ่ ง การหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์ (2)
จงหาโดเมน และ เรนจ์ของความสมั พนั ธ์ r ต่อไปนี้

1) r = {(x,y) ∈ R x R | y = 2 -3 3 }
-

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) r = {(x,y) ∈ R x R | y = }

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………….

หมายเหตุ

จากแบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์ข้อท่ี 1 และ 2 สรุปเปน็ สูตรไดว้ า่

เมอื่ กาหนด a, b, c และ d เปน็ จานวนจริงใดๆ

ถ้า r = {(x,y) ∈ R x R | y = }

Dr = .................... ...... และ Rr = ............................

ถา้ r = {(x,y) ∈ R x R | y = }

Dr = ............................ และ Rr = ............................

กรณที เี่ งอื่ นไขของความสัมพันธ์เป็นรากที่สอง

ตวั อยา่ งท่ี 1. จงหาโดเมน และ เรนจข์ องความสมั พันธ์ r ต่อไปนี้

1) r = {(x,y) ∈ R x R | y = √ }

วธิ ที า หา Dr (จัด y = เทอมของ x )

จากเงื่อนไข y = √ จะได้ว่า √ ≥ 0 น่นั คือ x 1 ≥ 0 ดังน้ัน x ≥ -1
ดงั นนั้ y ≥ 0 ..........(1)
ดังนั้น Dr = [-1,∞) ดงั นนั้ y ∈ R ..............(2)

หา Rr (จัด x = เทอมของ y )

จากเง่อื นไข y = √

พจิ ารณา y=√
y2 = x + 1

จะไดว้ า่ x = y2 + 1

(1)  (2) จะได้ y ≥ 0

ดงั นน้ั Rr = [0,∞)

2) r = {(x,y) ∈ R x R | y = √ }

วธิ ที า หา Dr (จดั y = เทอมของ x )
จากเงื่อนไข y = √

จะได้วา่ √ ≥0
นน่ั คอื x2 − 4 ≥0

(x – 2)(x + 2) ≥ 0 จดุ วกิ ฤติคอื 2 , -2

ดงั นน้ั Dr = (−∞,-2]∪[2,∞) ดงั นั้น y ≥ 0 ..........(1)
หา Rr (จดั x = เทอมของ y ) ดงั น้ัน y ∈ R ..............(2)
จากเงอ่ื นไข y = √
พจิ ารณา y = √

y2 = x2 - 4 x2 = y2 + 4

x = ±√
(1) ∩ (2) จะได้ y ≥ 0
ดังน้ัน Rr = [0,∞)

3) r = {(x,y) ∈ R x R | y = √ }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ สามารถสรุปสตู รได้วา่

เม่อื กาหนด a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ

ถ้า r = { (x ,y) | y =√ }

จะได้ Dr = ......................... Rr = .........................

ถ้า r = { (x ,y) | y = √ }

จะได้ Dr = ......................... Rr = .........................

ถ้า r = { (x ,y) | y = √ }

จะได้ Dr = ......................... Rr = .........................

ถ้า r = { (x ,y) | y = √ }

จะได้ Dr = ......................... Rr = .........................

แบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์
เร่อื ง โดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์

1. จงเขยี นโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี

1.1) r1 = { (-2,5 ), (3,8), (7,7), (6,2), (4,9) }
1.2) r2 = { (2,5), (2,6), (3,5), (3,6) }
1.3) r3={ (2,4), (3,9), (4,16), (5,25), (6,36) }
1.4) r4 = { (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) }
1.5) r5 = { (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) }
1.6) r6 = { (2, 10), (3, 20), (4, 30), (5, 40) }
1.7) r7 = { (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7) }
1.8) r8 = { (a, 1), (a, 2), (c, 3), (d, 4) }
2. จงเขียนโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ต่อไปนี้

2.1) r1 = { ( x,y ) ∈ A x A | y = x + 2 } เม่อื A = { 0, 1, 2, 3 }

2.2) r2 = { ( x,y ) ∈A x A | 2x - y > 4 } เม่ือ A = { x | -1  x  4 }
3. จงเขยี นโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี

3.1) r1 = { (x,y) ∈R x R | y = 8 - x }
3.2) r2 = { (x,y) ∈I x I | y = |x| + 2 }

3.3) r3 = { (x,y) | y = }}

3.4) r4 = { (x,y ) | y = }
3.5) r5 = { (x,y) | y = √ }
3.6) r6 = { (x,y) | y =√
}

อนิ เวอร์สของความสัมพันธ์

ให้นักเรยี นพจิ ารณาตวั อยา่ งดังน้ี

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้ r = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)}

จะได้วา่ Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 4, 6, 8}

ถา้ เปล่ยี นความสัมพันธ์ใหม่โดยการสลบั ท่กี ันระหวา่ ง สมาชิกตวั หน้าและสมาชกิ ตัวหลัง

ของแต่ละคู่อนั ดับ ใน r เขียนแทนด้วย
r-1 = {(2,1), (4,3), (6,5), (8,7)}
จะไดว้ า่ Dr-1 = {2, 4, 6, 8} , Rr-1 = {1, 3, 5, 7}
เราจะเรียก r-1 วา่ เปน็ อินเวอร์สของ r

บทนยิ าม ให้ r แทนความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B
อินเวอรส์ ของความสัมพนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย r-1
โดยท่ี r-1 = { (y,x) | (x,y) ∈ r }
โดยท่ี r-1 แทนความสัมพนั ธจ์ าก B ไป A
ดังนัน้ Dr-1 = Rr , Rr-1 = Dr

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา r-1 ของความสัมพนั ธ์ r = { (2,3), (4,2), (-1,1), (0,5) }

วธิ ที า เนื่องจาก r-1 เกิดจากการสลับทกี่ ันระหวา่ ง สมาชิกตัวหน้าและ สมาชกิ ตวั หลงั ของแต่ละคู่อนั ดบั ใน r

∴ r-1 = {(3,2), (4,2), (1,-1), (5,0)}
ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พันธ์ r = { (-2,4), (-3,9), (-4,16), (-5,25), (-6,36)}
วธิ ีทา r-1 = {(4,-2), (9,-3), (16,-4), (25,-5), (36,-6)}

Dr-1 = {4, 9, 16, 25, 36} และ Rr-1 = {-2, -3, -4, -5, -6}

ตวั อยา่ งท่ี 4 กาหนดให้ r เปน็ ความสัมพันธ์ใน A เมือ่ A = {0, 1, 2, 3}

โดยที่ r = {(x,y) ∈ AxA | y = x + 1} จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1

วธิ ที า เขยี น r แบบแจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(0,1), (1,2), (2,3)}
จะได้ r-1 = {(1,0), (2,1), (3,2)}

ดงั นน้ั Dr-1 = {1, 2, 3} และ Rr-1 = {0, 1, 2}
ตวั อย่างท่ี 5 กาหนดให้ r = {(x,y) ∈ A x A| x y ≥ } เม่ือ A = { x ∈ N | 1≤x≤ 3} จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1

วธิ ีทา A = {1, 2, 3}

A x A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}

เขยี น r แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ้ ปน็

r = {(1,4), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
จะได้ r-1 = {(4,1), (3,2), (4,2), (2,3), (3,3), (4,3), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4)}

ดังนน้ั Dr-1 = {1, 2, 3, 4} Rr-1 = {1, 2, 3, 4}

การหาอนิ เวอร์สของความสัมพนั ธ์ r แบบบอกเง่อื นไข

หาได้ 2 วิธดี งั น้ี
1) เปลีย่ นคอู่ ันดับ (x,y) ใหเ้ ปน็ (y,x) โดยทปี่ ระโยคเงื่อนไขยังคงเดิม
2) ค่อู นั ดับ (x,y) คงเดมิ แตเ่ ปล่ยี นเงอ่ื นไขโดยการใหแ้ ทนที่ y ด้วย x และแทนที่ x ด้วย y
แล้วเขยี นเง่ือนไขใหม่ในรูป y = เทอมของ x

ตวั อย่างท่ี 6 จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พันธ์ r = {(x,y) ∈ R x R | y = 2x + 1}
วธิ ีทา จากเงอ่ื นไข จะได้ Dr = R = Rr-1 , Rr = R = Dr-1

 หา r-1 (เปลย่ี นเงือ่ นไขแทนท่ี y ดว้ ย x) จะได้ r-1 = {(x,y) ∈ R x R | x = 2y + 1}

จดั รปู เงอ่ื นไข จาก x = 2y + 1 จะได้ y =

ดงั น้ัน r-1 = {(x,y) ∈ R x R | y = }

ตวั อยา่ งที่ 7 จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสัมพันธ์ r = {(x,y) ∈ R x R | y = }
วธิ ีท า จากเง่ือนไข จะได้ Dr = R = Rr-1 , Rr = R = Dr-1

 หา r-1 (เปล่ียนเง่ือนไขแทนท่ี y ดว้ ย x) จะได้ r-1 = {(x,y) ∈ R x R | x = }

จัดรูปเงอื่ นไข จาก x =

จะได้ x(y – 1) =1
xy – x =1
xy = x+1

y=

ดงั นน้ั r-1 = {(x,y) ∈ R x R | y = }
ตัวอยา่ งที่ 8 จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พนั ธ์ r = {(x,y) ∈ R x R | 3 y = 2x - 5 }
วธิ ที า จากเงือ่ นไข จะได้ Dr = R – { } = Rr-1 ,Rr = R – {0} = Dr-1

หา r-1 (เปล่ียนเง่ือนไขแทนท่ี y ดว้ ย x)

จะได้ r-1 = {(x,y) ∈ R x R | x = }

จดั รปู เงื่อนไข จาก x =

จะได้ x(2y – 5) =3
2xy – 5x =3
2xy = 3 + 5x

y=

ดังนนั้ r-1 = {(x,y) ∈ R x R | y = }
แบบฝึกประสบการณ์

เร่อื ง อินเวอร์สของความสัมพนั ธ์
1) สัญลกั ษณ์ท่ีใช้แทนอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ................
2) จงหา r-1ของความสัมพนั ธ์ r = { (3,8), (-2,7), (1,3), (6,2) }
3) จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พนั ธ์ r = { ( 2,3 ), ( 4,2 ), ( -1,1 ), ( 0,5 ) }
4) กาหนดให้ r เป็นความสัมพันธใ์ น A เมื่อ A = {0,1,2} , B = {8, 9}

โดยที่ r = {(x,y) ∈ AxB | y = 2x - 1} จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1
5) กาหนดให้ r = {(x,y) ∈ A x A | 2x - y < 1} เมอื่ A = { x ∈ I | 0 ≤ x ≤ 1 }

จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1
6) จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสัมพันธ์ r = {(x,y) | xy = 1}
7) จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พนั ธ์ r = { ( x,y ) | y = }
8) จงหา r-1, Dr-1 และ Rr-1 ของความสมั พนั ธ์ r = {(x,y) ∈ R x R | y = x2 – 1 }

ใบความรูท้ ่ี 3

เรื่อง ฟังก์ชันและรปู แบบการเขียนฟงั กช์ นั
ฟังก์ชัน คือ ความสมั พันธ์ทีส่ มาชกิ ในโดเมนแต่ละตวั จับคู่กับสมาชกิ ในเรนจข์ องความสัมพนั ธ์
เพียงตวั เดียวเทา่ นน้ั
พจิ ารณาความสัมพนั ธต์ ่อไปนี้
r1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
r2 = {(-1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}
r3 = {(0, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4)}
เมอื่ เขียนลูกศรเชื่อมโยงสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ในแต่ละความสัมพันธ์ จะไดแ้ ผนภาพดังนี้

จะเหน็ วา่ สมาชิกแต่ละตวั ในโดเมนของ r1 จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r1 เพยี งตวั เดียว

จะเหน็ ว่า สมาชกิ แตล่ ะตัวในโดเมนของ r2 จับคกู่ บั สมาชิกในเรนจ์ของ r2 เพียงตวั เดยี ว

พบว่า 0 ซึง่ อยู่ในโดเมนของ r3 จบั คกู่ ับ 1 และ 2 ซงึ่ เป็นสมาชิกในเรนจ์ของ r3
สรุปไดว้ ่า มสี มาชกิ ในโดเมนของ r1 และ r2 ทจ่ี ับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ 1 ตวั

เรยี กความสัมพนั ธ์ทม่ี ีลกั ษณะเดียวกับ r1 และ r2 วา่ "ฟังกช์ นั "
แตส่ มาชิกในโดเมนของ r3 ทจี่ บั คกู่ บั สมาชิกในเรนจ์มากกว่า 1 ตวั

ดังนน้ั ความสมั พนั ธ์ r3 ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน
รปู แบบการเขยี นฟังก์ชนั

การเขยี นฟังก์ชนั มีหลายรูปแบบ แต่รูปแบบท่ีพบบอ่ ย ๆ มี 5 รูปแบบ ดงั น้ี
รปู แบบท่ี 1 การเขยี นฟงั ก์ชันโดยใชแ้ ผนภาพ รูปแบบน้ีเปน็ การน าฟังก์ชนั ในรูปการแจกแจงสมาชกิ
มาเขยี นใหเ้ ห็นชัดเจนว่าคู่อันดับซึ่งเป็นสมาชิกของ f แตล่ ะสมาชกิ เกิดจากการจับคกู่ นั อยา่ งไร

รปู แบบท่ี 2 การเขยี นฟงั กช์ ันโดยการแจกแจงสมาชิก รูปแบบนเี้ ปน็ การเขียนฟงั กนั f ในรปู เซต และ
เขยี นสมาชิกแต่ละตัวของ f ซง่ึ เปน็ คู่อันดับลงในเซต

เช่น f = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), (4, 10)}
รปู แบบที่ 3 การเขียนฟงั ก์ชนั แบบบอกเงือ่ นไขของสมาชิกในเซต รูปแบบนเ้ี กิดจากการเขียนฟงั กช์ นั
ในรูปเซตแบบบอกเงอ่ื นไข โดยใชค้ ู่อันดบั (x , y) แทนสมาชิกใด ๆ ในเซต f แล้วมเี ง่อื นไขบอก
ใหท้ ราบ วา่ x กบั y จบั คกู่ ันดว้ ยกฎเกณฑ์ใด

เชน่ f = {(x, y) ∈ R x R | y = 3x}
จะเหน็ วา่ ในตวั อยา่ งนี้ f เป็นเซต มีสมาชกิ เป็นคู่อนั ดับ (x, y) ใด ๆ โดยท่ี x กับ y จับคู่กนั
โดยใชก้ ฎเกณฑ์ (หรือเง่ือนไข) ว่า y = 3x
การเขียนฟงั กช์ ันแบบน้ี นยิ มเขียนเฉพาะกฎเกณฑ์ (เงื่อนไข) ที่ x กับ y จับคกู่ ัน แทนการ
เขยี น เซต f เช่น
เซต f = {(x, y) ∈ R x R | y = 3x} นิยมเขยี นเป็น y = 3x
เซต f = {(x, y) ∈ R x R | y = x2 - 4x - 6} นยิ มเขียนเป็น y = x2 - 4x - 6
รปู แบบที่ 4 การเขียนฟงั ก์ชนั โดยการใชต้ าราง รปู แบบนเี้ ป็นการนาคู่อนั ดับ ซง่ึ เป็นสมาชกิ ของ f
แตล่ ะสมาชกิ เขียนไว้ในตาราง เชน่

x1 2 3 4
f(x) 6 12 18 24

รปู แบบที่ 5 การเขียนฟงั ก์ชนั โดยใช้กราฟ รปู แบบนเี้ กิดจากการนาคอู่ นั ดับ (x, y) ท่ีอยใู่ น f ไป
เขียนเปน็ จุดบนระนาบ ซึ่งจะไดเ้ ซตของจดุ มากมายทเี่ ห็นเปน็ รูปกราฟแบบตา่ ง ๆ เชน่

แบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์

เร่ือง ฟังก์ชนั และรปู แบบการเขยี นฟงั ก์ชัน
คาชแ้ี จง จงตอบคาถามต่อไปนี้ ใหถ้ ูกต้องสมบรู ณ์
1. จงหาวา่ แผนภาพที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แผนภาพใดแสดงความสมั พนั ธ์ท่ีเปน็ ฟงั กช์ นั

2. จากความสัมพันธท์ กี่ าหนดใหใ้ นรปู ตารางต่อนี้ ความสมั พันธใ์ ดเปน็ ฟังกช์ นั

ใบความรู้ที่ 4

เรอื่ ง การตรวจสอบความสมั พันธ์ว่าเปน็ ฟงั กช์ ันหรือไม่

ฟงั ก์ชนั คือ ความสัมพันธท์ สี่ มาชกิ ในโดเมนแต่ละตัวจบั คู่กับสมาชิกในเรนจข์ อง
ความสัมพนั ธเ์ พยี ง ตัวเดียวเท่าน้นั
วธิ กี ารตรวจสอบว่าความสมั พันธ์เป็นฟงั ก์ชันหรอื ไม่
1. ความสมั พนั ธ์ท่ีกาหนดใหเ้ ขียนเป็นแบบแจกแจงสมาชิก วธิ ีการตรวจสอบสามารถทาได้โดยดูท่ี สมาชิกตัว
หนา้ วา่ มีการใช้ซ้ากนั หรอื ไม่
1.1 ถา้ ไม่มีการใช้ซ้า ความสัมพนั ธน์ ้นั จะเป็นฟังกช์ ัน
1.2 ถ้ามกี ารใช้ซา้ ใหพ้ ิจารณาสมาชิกตวั หลงั ของคู่อันดบั ดังกล่าว ซงึ่ ถ้ามีคา่ เท่ากัน
กจ็ ะเปน็ ฟังก์ชัน แต่ถ้ามีค่าไม่เทา่ กนั ก็จะไม่เป็นฟงั ก์ชนั
ตวั อย่างท่ี 1 จงพิจารณาวา่ ความสัมพันธต์ ่อไปนเ้ี ป็นฟังก์ชันหรือไม่ พร้อมทง้ั หาโดเมนและเรนจข์ อง
ความสมั พนั ธ์
1) ให้ r1 = {(-2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, -2)}
2) ให้ r2 = {(-5, 3), (0, 3), (6, 3)}
วธิ ที า
1) พจิ ารณาการจบั คู่ของสมาชกิ ตวั หน้าและสมาชิกตวั หลงั ของคู่อันดับใน r1 ดังนี้

พบวา่ r1 เปน็ ฟงั ก์ชัน เนอ่ื งจากไม่มสี มาชกิ ตัวหนา้ ของค่อู ันดับตัวใดท่ีจบั คู่กบั สมาชกิ ตวั หลงั
ของคู่ อันดับมากกว่า 1 ตวั ดงั นน้ั Dr1 = {-2, 5, 0, 4} และ Rr1 = {-2, 5, 0, 4}
2) พิจารณาการจบั คูข่ องสมาชกิ ตัวหนา้ และสมาชกิ ตัวหลังของคู่อันดับใน r2 ดงั น้ี

พบว่า r2 เปน็ ฟังกช์ นั เน่อื งจากไม่มสี มาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ท่ีจับคกู่ บั สมาชิกตวั หลงั
ของคอู่ นั ดบั มากกว่า 1 ตวั ดงั นั้น Dr2 = {-5, 0, 6} และ Rr1 = {3}
ตวั อย่างที่ 2 จงพจิ ารณาความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนเี้ ป็นฟังก์ชนั หรอื ไม่

1. r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90 ), (2, 1)}
2. r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}
3. r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)}

วธิ ที า

1) r1 เป็นฟังกช์ นั เพราะว่ามีคูอ่ ันดับอยู่ 2 คู่ทมี่ ีสมาชิกตัวหน้าเหมอื นกัน แต่สมาชิก
ตวั หลงั เทา่ กันดว้ ย sin 90 = 1 จงึ ทาให้ r1 เป็นฟงั ก์ชัน

2) เป็นฟงั กช์ นั เพราะวา่ ไม่มีค่อู นั ดบั ตั้งแต่ 2 คขู่ ึน้ ไป ทม่ี ีสมาชิกตัวหน้าเหมอื นกันเลย
3) ไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน เพราะว่า มคี ่อู ันดับ 2 คู่ ท่ีมีสมาชิกตวั หนา้ เหมือนกนั คอื (-3, 1)และ(-3,-1)
ซึ่งสมาชกิ ตัวหลังตา่ งกัน 1 ≠ -1 ทาให้ r3 ไมเ่ ป็นฟังก์ชนั
2. ความสมั พันธ์ทกี่ าหนดใหเ้ ขียนเปน็ แบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ การตรวจสอบทาได้ 2 วธิ ี ดงั นี้
2.1 ตรวจสอบโดยลองแทนค่าแตล่ ะตวั ของ x ใด ๆ ท่เี ปน็ สมาชกิ ตัวหนา้ ของความสมั พันธล์ งใน
ความสมั พนั ธ์ แล้วพจิ ารณา
2.1.1 ถา้ ในแต่ละตวั ของ x ได้คา่ y เพียงค่าเดียวสรปุ ไดว้ ่าความสมั พันธน์ ้ันเป็นฟังกช์ นั
2.1.2 ถ้ามี xบางตัวท่ีทาให้ได้ค่า y มากกว่า 1 ค่าสรุปได้วา่ ความสมั พันธ์นัน้ จะไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน
ตวั อยา่ งท่ี 3 จงพจิ ารณาความสัมพันธต์ อ่ ไปนวี้ า่ เปน็ ฟังกช์ ันหรือไม่
1) r1 = {(x, y) ∈ R x R | y = 2 + 3x - x2}
2) r2 = {(x, y) ∈ R x R | x2 + y2 - 8x + 7 = 0}
วธิ ีทา 1) r1 เป็นฟงั กช์ นั เพราะวา่ เงอื่ นไขของ r1 (y = 2 + 3x - x2)
เมื่อลองแทนคา่ x ใด ๆ ลงไปกจ็ ะไดค้ ่า y เพยี งคา่ เดียว
สาหรบั ค่า x เชน่ x = 0 จะได้ y = 2 + 3(0) - 02 = 2 x = 2
จะได้ y = 2 + 3(2) - 22 = 4
2) r2 ไม่เป็นฟังกช์ นั เพราะวา่ ถ้าลองแทนค่า x หนงึ่ ค่าลงในเงอ่ื นไขของ r2 (x2 + y2 + 8x + 7 = 0)
กจ็ ะได้คา่ y ถงึ สองค่า เช่น แทนค่า x = 1 ลงในสมการ

x2 + y2 + 8x + 7 = 0
- y2 + 16 = 0
(-y)2 = 16
y =±4

นั่นคือ เราสามารถยกตัวอยา่ งค่อู นั ดับทีม่ ีสมาชกิ ตวั หนา้ เหมือนกันแต่สมาชิกตัวหลงั ต่างกันได้
เชน่ (1, 4), (1, -4) ดังน้ัน r2 จึงไม่เปน็ ฟังก์ชนั
2.2 ถ้าเงือ่ นไขของความสมั พันธ์เราทราบรปู แบบของกราฟหรอื โจทย์กาหนดกราฟมาให้
วธิ ีการตรวจสอบ สามารถทาได้โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ใด ๆ ตัดกราฟของความสมั พันธ์
แลว้ พจิ ารณาดังนี้
1. ถ้าเสน้ ตรงขนานแกน Y ใดๆ ตัดกราฟเพยี งจุดเดยี วเสมอ ความสมั พนั ธด์ ังกลา่ วก็จะเป็นฟังกช์ ัน
2. ถา้ เสน้ ตรงขนานแกน Y ใด ๆ ตัดกราฟมากกวา่ 1 จดุ ความสัมพนั ธ์ดงั กลา่ วก็จะไมเ่ ป็นฟังกช์ นั

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนเ้ี ปน็ ฟงั ก์ชันหรือไม่

r1 = {(x, y ) | y = 3}
r2 = {(x, y ) | y = 2x2}
r3 = {(x, y ) | y = ± √ และ x  0}
วธิ ที า 1) จาก r1 = {(x, y ) | y = 3} เขียนกราฟได้ดังน้ี

2) จาก r2 = {(x, y ) | y = 2x2}

จากรปู พบวา่ ไมม่ ีเส้นขนานกับแกน Y เสน้ ใดตดั กราฟของ r2 มากกว่า 1 จุด
 r2 เปน็ ฟงั กช์ ัน
3) r3 = {(x, y ) | y = ± √ และ x  0}

จากรปู พบว่ามเี ส้นขนานกับแกน Y เส้นใดตัดกราฟของ r3 สองจุด
แสดงวา่ มี x ทีท่ าใหเ้ กดิ คา่ y ท่เี ทา่ กัน
 r3 ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน เพราะวา่ มี x ทท่ี าใหไ้ ด้ y ทเ่ี ท่ากนั สองค่า

แบบฝึกเสรมิ ประสบการณ์

เรื่อง วิธีการตรวจสอบความสมั พันธว์ ่าเป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่
คาช้แี จง จงพิจารณาความสมั พนั ธท์ ีก่ าหนดให้วา่ เป็นฟงั กช์ ันหรือไม่
1) r1 = {(3, 2), (-1, 4), (0, 2), (5, -3)}
ตอบ ...............................................................................................................
2) r2 = {(1, -1), (-1, -1), (0, 1), (3, 1)} อบ
ตอบ ...............................................................................................................
3) r3 = {(4, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 6)} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
4) r4 = {(6, 1), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
5) r5 = {(2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
6) r6 = {(x, y) | y = 3x – 1} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
7) r7 = {(x, y) | y = 3x2– x + 3} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
8) r8 = {(x, y) | y = 2x2 + 1} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
9) r9 = {(x, y) | y = 4x2} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................
10) r10 = {(x, y) | x2 + y2 = 4 , x  0} ตอบ
ตอบ ...............................................................................................................

ใบความรู้ท่ี 5

เร่ือง โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชัน

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั สามารถหาไดโ้ ดยนิยามของโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน
และ การพิจารณาค่าของตวั แปร x กบั ตัวแปร y ในฟังก์ชนั

บทนยิ าม โดเมนของฟังก์ชันคอื เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของฟังกช์ นั f เขยี นแทนด้วย Df
เรนจ์ของฟังกช์ นั คือ เซตของสมาชิกตัวหลังในคูอ่ นั ดับของฟังกช์ นั f เขียนแทนดว้ ย Rf

ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนด f = {(2, 7), (4, 9), (6, 11), (8, 13)} จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน f
วิธีทา จาก f = {(2, 7), (4, 9), (6, 11), (8, 13)}

จะได้ Df = {2, 4, 6, 8} , Rf = {7, 9, 11, 13}

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั

1. การหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน เมื่อกาหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก การหาโดเมน

และเรนจ์ของฟังก์ชนั จะอาศัยบทนิยามดงั ตัวอย่างที่ 1

2. การหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชัน เม่ือก าหนดฟงั ก์ชันแบบบอกเงือ่ นไข สามารถหาได้ดงั นี้

2.1 การหาโดเมน การหาโดเมนเพ่ือความสะดวกเราควรเขียนฟงั ก์ชนั ให้อยูใ่ นรูปของ

y = เทอมของ x

เชน่ y = x2 + 1 , y = เป็นต้น

หลงั จากน้ันใหพ้ จิ ารณาดูว่าภายในเซตที่กาหนดให้ x มคี า่ อะไรไดบ้ ้างท่ีทาใหห้ าค่า y ได้
โดยที่ y นน้ั ต้องอยู่ภายในเซตท่กี าหนดให้ คา่ x ของ x เหลา่ นนั้ จะเป็นสมาชกิ ของโดเมน

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให้ f = {(x, y) ∈ R x R | y = 2x + 1} จงหาโดเมนของ f
วิธที า จาก y = 2x + 1 พบวา่ ทกุ ๆ คา่ ของ x ท่เี ป็นจานวนจรงิ

เราสามารถหาคา่ ของ y ทีเ่ ป็นจานวนจริง และสอดคล้องกับ f ได้เสมอ

 Df = {x | x ∈ R} = R

2.2 การหาเรนจ์ การหาเรนจ์มีหลักการเชน่ เดียวกบั การหาโดเมน ตา่ งกันท่วี า่ แทนที่เราจะ
หาคา่ x กเ็ ปลีย่ นมาเปน็ ค่า y และพจิ ารณาวา่ y มคี า่ เป็นอะไรไดบ้ า้ งทีส่ อดคล้องกบั เง่ือนไขที่
กาหนดให้

ดงั น้ัน เราจึงควรเขยี น เง่ือนไขดงั กล่าวให้อยูใ่ นรูป x = เทอมของ y แลว้ พจิ ารณาค่า y
โดยใช้หลักการเช่นเดยี วกบั การหาโดเมน

ตัวอยา่ งที่ 3 กาหนดให้ f = {(x, y) ∈ R x R | y = 2x + 1}
วธิ ีทา จากเง่อื นไขท่ีกาหนดให้ ตอ้ งทาให้อยู่ในรปู x = เทอมของ y

จาก y = 2x + 1
2x = y – 1

x = แลว้ พิจารณาคา่ y จะพบวา่ ทุกๆ คา่ ของ y ทเ่ี ปน็ จริง
สามารถหาค่า x ที่เป็นจานวนจรงิ และ สอดคลอ้ งกับสมการดงั กลา่ วไดเ้ สมอ
นัน่ คือ Rf = {y | y ∈ R} = R
ตัวอย่างที่ 4 กาหนด f = {(x, y) ∈ R x R | y = 4 – x2} จงหาโดเมนและเรนจข์ อง f วิธี
ทา โดเมน ; จาก y = 4 – x2 พบว่า ทกุ ๆ ค่าของ x ที่เปน็ จานวนจริง
เราสามารถหาค่าของ y ทเ่ี ป็นจานวนจรงิ และ สอดคลอ้ งกับ f ได้เสมอ

 Df = {x | x ∈ R} = R เรนจ์ ;
จาก y = 4 – x2 เขียนให้อยใู่ นรปู x = เทอมของ y ได้ดงั น้ี
จาก y = 4 – x2

x2 = 4 – y
x= ±√

 Rf = {y | y ∈ R และ y < 5}

แบบฝึกเสรมิ ประสบการณ์
เรือ่ ง โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชัน
คาชแ้ี จง จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชันที่กาหนดให้
1. f1 = {(2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

2. f2 = {(3, 10), (5, 20), (5, 30), (7, 40)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

3. f3 = {(m, 2), (n, 4), (p, 6)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

4. y = x2 – 1
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

5. y = 4x
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

6. y =

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………….

ใบความรู้ที่ 6
เรอื่ ง สัญลักษณ์และการหาค่าของฟังก์ชัน

ขอ้ ตกลงเก่ยี วกับสญั ลักษณ์ของฟังก์ชนั
ถา้ f เปน็ ฟังก์ชนั และ (x, y) ∈ f แลว้ เรากล่าวว่า y เป็นคา่ ของฟังก์ชนั f ท่ี x

ค่าของฟังก์ชนั f ท่ี x เขียนแทนดว้ ย f(x) อา่ นวา่ เอฟของเอกซ์
ดงั นั้น y = f(x) หมายถึง y เปน็ คา่ ฟังก์ชนั ของ x ภายใตฟ้ งั ก์ชนั f
เช่น f(2) หมายถงึ คา่ y ของฟังก์ชนั f เมอ่ื x มีคา่ เท่ากับ 2
f(-1) หมายถงึ คา่ y ของฟงั ก์ชนั f เม่อื x มีคา่ เทา่ กับ -1
f(8) หมายถึง ค่า y ของฟังกช์ นั f เม่อื x มคี ่าเทา่ กับ 8

การเขยี นแทนฟงั กช์ นั ท่เี ขียนในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ ในเซต ยังสามารถเขยี น
เฉพาะ เง่ือนไขของฟังชัน ซงึ่ อยู่ในรปู ของสมการ โดยกาหนด ค่า y ในรูป x หรือกาหนด f(x) แทน y

เชน่ ฟังก์ชนั f ทเี่ ขียนด้วย {(x, y) | y = 2x}
ยงั สามารถเขียนแทนดว้ ย y = 2x หรือ f(x) = 2x

การหาค่าของฟังก์ชนั เม่อื กาหนดฟังกช์ ันแลว้ สามารถหาคา่ ของฟังก์ชนั เม่ือกาหนดคา่ ของ x

ในโดเมนได้ ดังตัวอย่าง ต่อไปนี้

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้ f(x) = 2x + 2 จงหาคา่ ของฟังกช์ นั f ที่ x = 1, 3, 6

วธิ ีทา จาก f(x) = 2x + 2

จะได้ f(1) = 2(1) + 2 = 4

f(3) = 2(3) + 2 = 8

f(6) = 2(6) + 2 = 14 ตอบ

ตวั อยา่ งที่2 ให้ f(x) = 2x2 - x + 3 จงหาค่าของ f(x) ท่ี x ∈ {-1, 0, 1}
วธิ ที า จาก f(x) = 2x2 - x + 3 ตอบ
จะได้ f(-1) = 2(-1)2 - (-1) + 3 = 6

f(0) = 2(0)2 - (0) + 3 = 3
f(1) = 2(1)2 - (1) + 3 = 4

ตัวอยา่ งที่ 3 กาหนดให้ f(a – 2) = 5a + 8 จงหา f(x), f(3), f(5)

วธิ ที า จาก f(a – 2) = 5a + 8 ……….. (1)

ให้ a – 2 = x ………...(2)

จาก (2) จะได้ a = x + 2 ………...(3)

แทนค่า a = x + 2 ลงใน (1) จะได้

f(x) = 5(x + 2) + 8

= 5x + 10 + 8

= 5x + 18 ตอบ
ตอบ
หา f(3) ; จาก f(x) = 5x + 18 ตอบ

f(3) = 5(3) + 18

= 15 + 18

= 33

หา f(5) ; จาก f(x) = 5x + 18

f(5) = 5(5) + 18

= 25 + 18

= 43

แบบฝกึ เสรมิ ประสบการณ์
เร่ือง สัญลักษณแ์ ละการหาค่าของฟังกช์ นั

คาช้แี จง จงหาค่าของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

1. g(x) = x2 – 2x

(1.1) g(2) (1.2) g(-3)
(1.4) g(-2)
(1.3) g(0) (1.6) g(-1)

(1.5) g(5) (2.2) f (0)
(2.4) g(-2)
2. f(x) = 1 (2.6) g(-3)
1
(2.1) f (4)

(2.3) g(1)

(2.5) g(3)

ใบความร้ทู ี่ 7
เรื่อง ฟงั ก์ชันเชงิ เส้น
ฟงั ก์ชันเชิงเสน้ n ตัวแปร มรี ปู ท่ัวไป คอื y = a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+ anxn ซึ่งในระดบั นี้ เราจะ
พิจารณาฟงั กช์ ันท่ีอย่ใู นรูป y = ax + b เมือ่ a, b เป็นจานวนจริง และ a ≠ 0 ซ่งึ มกี ราฟเป็น เสน้ ตรง
ตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงเสน้ เช่น
1. y = 2x
2. y = 2x + 1
3. y = -3x
ฟังกช์ ัน y = ax + b เม่อื a = 0 จะได้ฟงั ก์ชนั ท่ีอยู่ในรปู y = b ซ่งึ มชี ือ่ เรียกวา่ ฟังกช์ นั
คงตัว กราฟของฟังก์ชนั คงตัวจะเปน็ เส้นตรงท่ีขนานกบั แกน X

กราฟของฟังก์ชันเชงิ เสน้

ฟงั กช์ ันเชิงเส้น จะมีกราฟเป็นเสน้ ตรง และมีลักษณะดงั ต่อไปน้ี

1. กราฟของฟังก์ชันเชิงเสน้ ท่ีกาหนดด้วย y = ax + b เมื่อ b = 0

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชันเชิงเสน้ ต่อไปนี้บนระนาบเดียวกัน

1) y1 = 2x , y2 = 3x , y3 = 6x

2) y1 = x , y2 = x , y3 = x

วิธีทา 1) 2)

ขอ้ สังเกต ลักษณะกราฟของ y = ax + b เม่ือ b = 0 มดี งั นี้
1. กราฟจะผา่ นจดุ (0, 0)
2. ถ้า a มีค่ามากขน้ึ กราฟจะเบนเขา้ หาแกน Y ถ้า a มีค่าน้อยลง กราฟจะเบนเขา้ หาแกน X

กราฟของฟงั ก์ชนั เชงิ เส้นที่กาหนดดว้ ย y = ax + b เมื่อ b ≠ 0 (ดังตัวอย่างท่ี 2)

ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั เชงิ เส้นต่อไปน้บี นระนาบเดยี วกัน

1) y1 = x + 1 , y2 = x + 2 , y3 = x + 4

2) y1 = x - 1 , y2 = x - 2 , y3 = x - 4

วธิ ที า 1) 2)

ลักษณะกราฟของ y = ax + b เมอื่ b ≠ 0 กราฟจะตดั แกน Y ท่ีจุด (0, b) และ ตัดแกน X ทจ่ี ดุ (b, 0)
แบบฝกึ เสริมประสบการณ์ เรอ่ื ง ฟังก์ชนั เชงิ เส้น

คาชแ้ี จง ให้นักเรยี นตอบคาถามใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์
1. จงเขยี นกราฟของฟังกช์ ันต่อไปน้ีบนระนาบเดียวกัน

1) 1 = 5 +3 , 2 = 5 −3 , 3 = − +3 , 4 = − −3 , 5 = − และ 6 = 5+
y

x

2. ยอดขายสนิ คา้ ชนดิ ใหม่ของบริษัทอยทู่ ่ี 12,000 ชิ้น/ ปี ถา้ บรษิ ทั ต้องการให้ยอดขายสินค้าเพม่ิ ข้นึ ปี ละ
10% ของยอดขายปัจจุบัน

1) จงเขียนสมการแสดงยอดขายสินคา้ ของแต่ละปี
2) อกี 5 ปี ถัดไป บริษัทนค้ี วรจะมียอดขายสนิ ค้าเทา่ ใด

ใบความรู้ที่ 8

เร่ือง ฟังก์ชันกาลังสอง
ฟังก์ชนั กาลงั สอง คือ ฟังกช์ ันท่ีอยูใ่ นรูป y = ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

และ a ≠ 0 ลักษณะของกราฟขนึ้ อยู่กบั ค่าของ a, b,c เม่ือ a เปน็ จานวนบวกหรือจานวนลบ จะทาให้ ได้

กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรอื ควา่ ดังรูป

y = ax2 + bx + c, a > 0 y = ax2 + bx + c, a < 0

จากรูป จะเห็นว่า ถ้า a > 0 กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึน้ a < 0 กราฟเปน็ เส้นโคง้ ควา่ ลง

กราฟของฟังกช์ ันกาลงั สองในรปู นี้ มชี อื่ เรยี กวา่ พาราโบลา

จดุ วกกลับ คือ จดุ ยอดของพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชนั กาลังสอง (Quadratic function)
1. กราฟของฟังกช์ ันกาลังสอง ที่กาหนดด้วยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0

กราฟของฟังก์ชนั กาลงั สอง มีชื่อเรียกวา่ พาราโบลา ซงึ่ ลกั ษณะของกราฟของฟังก์ชนั ขึ้นอยู่กบั

คา่ ของ a , b และ c และเม่ือ a เป็นบวกหรือลบ จะทาให้ไดก้ ราฟเป็นเส้นโคง้ หงายหรือคว่า และกราฟ
ของ ฟังก์ชนั กาลงั สองทกี่ าหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่อื a ≠ 0 ดังตวั อย่างต่อไปนี้
ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟจากสมการต่อไปน้ี 1) y1 = x2 2) y2 = x2 3) y3 = x2
วธิ ีทา 1) จาก y1 = x2 จะได้

2) จาก y2 = x2 จะได้

3) จาก y2 = x2 จะได้

ลกั ษณะของกราฟเป็นดังน้ี

ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขียนกราฟของสมการ y = -2x2
วิธที า จาก y = -2x2 จะได้

ลกั ษณะของกราฟเป็นดังน้ี

สรปุ ลกั ษณะของกราฟ
กาหนดสมการ y = ax2 และ a ≠ 0

(1) เม่ือ a>0 ได้พาราโบลาหงายจดุ ต่าสดุ อย่ทู ่ี (0, 0) เมื่อa < 0 ไดพ้ าราโบลาควา่ จุดสูงสุดอยทู่ ่ี (0,0)
(2) แกนสมมาตรคือ แกน Y หรือเสน้ ตรง X = 0 , สมการแกนสมมาตรคือ X = 0
(3) เม่ือ a > 0 ค่าต่าสดุ คอื 0 และ เม่ือ a < 0 ค่าสูงสดุ คือ 0
(4) | a | ยง่ิ มากกราฟย่งิ แคบ
2. กราฟของฟังกช์ ันกาลังสองที่กาหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 และ k ≠ 0
2.1 กราฟของ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0 และ k > 0
ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขียนกราฟจากสมการต่อไปน้ี

1) y = 2x2 + 1
2) y = -2x2 + 1

วิธีทา 1) จาก y = 2x2 + 1 จะได้ ลกั ษณะของกราฟเป็นดังนี้

2) จาก y = -2x2 + 1 จะได้ ลกั ษณะของกราฟเปน็ ดังน้ี

2.2 กราฟของ y = ax2 + k เมอ่ื a ≠ 0 และ k < 0

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปนี้

1) y = 2x2 - 1 2) y = -2x2 - 1

วิธที า 1) จาก y = 2x2 - 1 จะได้ ลกั ษณะของกราฟเปน็ ดังน้ี

2) จาก y = -2x2 - 1 จะได้ ลักษณะของกราฟเปน็ ดังนี้

สรุปลกั ษณะของกราฟ
กาหนดด้วยสมการ y = ax2 + k

(1) ถา้ a>0 ได้พาราโบลาหงาย จดุ ต่าสดุ อยู่ท่ี (0,k) ค่าต่าสุด = k
ถา้ a<0 ได้พาราโบลาควา่ จดุ สูงสุดอยู่ที่ (0,k) คา่ สงู สดุ = k

(2) แกนสมมาตรคือ แกน y หรอื เส้นตรง x = 0 สมการแกนสมมาตรคอื x = 0
(3) ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยู่เหนอื แกน X ถ้า k < 0 จุดวกกลบั อยู่ใต้แกน X
(4) ถ้า a,k มเี คร่ืองหมายเหมือนกนั กราฟไมต่ ดั แกน X

ถา้ a,k มีเคร่ืองหมายต่างกนั กราฟจะตัดแกน X

3. กราฟของฟังก์ชันกาลังสองทก่ี าหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0 และ h ≠ 0

3.1 กราฟของ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ h > 0

ตวั อย่างที่ 5 จงเขยี นกราฟของสมการ y = (x – 1)2

วิธีทา y = (x – 1)2 จะได้ ลักษณะของกราฟเปน็ ดังน้ี

3.2 กราฟของ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0 และ h < 0

ถา้ h < 0 จะได้สมการใหม่เปน็ y = a(x – (-h))2 = a(x + h)2

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงเขียนกราฟของสมการ y = (x +1)2

วิธที า y = (x +1)2 จะได้ ลกั ษณะของกราฟเปน็ ดังน้ี

ตัวอย่างท่ี 7 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้
1) y1 = -(x + 1)2
2) y2 = -(x + 2)2
3) y3 = -(x + 3)2

วิธที า จะได้
1) y1 = -(x + 1)2

2) y2 = -(x + 2)2 จะได้

3) y3 = -(x + 3)2 จะได้

ลกั ษณะของกราฟเป็นดังน้ี

สรปุ ลักษณะของกราฟ

กาหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2

(1) ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จดุ ตา่ สดุ อยทู่ ่ี (h, 0) คา่ ตา่ สดุ = 0

ถ้า a < 0 ไดพ้ าราโบลาคว่ า จุดสงู สุดอยทู่ ี่ (h, 0) ค่าสูงสดุ = 0

(2) แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคอื x = h

(3) h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน Y

h < 0 แกนสมมาตรอยทู่ างขวาของแกน Y

3.3 กราฟของฟงั กช์ นั กาลังสองทีก่ าหนดดว้ ยสมการ y= a(x –h)2+k เม่อื a ≠ 0,h ≠ 0และk ≠ 0

ตวั อย่างที่ 8 จงเขียนกราฟจากสมการต่อไปนี้

1) y = (x - 1)2 – 1 2) y = (x + 1)2 + 1

วธิ ที า 1) y = (x - 1)2 – 1 จะได้ ลักษณะของกราฟเปน็ ดังน้ี

2) y = (x + 1)2 + 1 จะได้ ลกั ษณะของกราฟเป็นดังน้ี

สรุปลักษณะของกราฟ
กาหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k

(1) เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จดุ ตา่ สดุ อยทู่ ี่ (h, k) ค่าต่าสดุ = k

เมอ่ื a < 0 ได้พาราโบลาคว่ า จุดสูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) ค่าสงู สดุ = k

(2) ถา้ k > 0 จดุ วกกลบั อย่เู หนอื แกน X,

ถา้ k < 0 จดุ วกกลบั อยใู่ ตแ้ กน X

(3) แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h

(4) ถา้ h > 0 แกนสมมาตรอยทู่ างซา้ ยมือของแกน Y

ถ้า h<0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน Y

(5) ถ้า a และ k มีเคร่ืองหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน X

ถ้า a และ k มเี ครื่องหมายตา่ งกนั กราฟตัดแกน X
4. กราฟของฟังก์ชนั ทก่ี าหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0
จากสมการ y = ax2 + bx + c สามารถเปลี่ยนให้อยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k ได้

โดยใชค้ วามร้เู ร่อื งกาลงั สองสมบรู ณ์ ดงั นี้

จาก y = a ( x – h )2 + k

ตัวอย่างที่ 9 จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟงั กช์ ัน y = 2x2 + 4x – 16 พรอ้ มท้งั เขียนกราฟ
วธิ ีทา จาก y = 2x2 + 4x – 16

= 2(x2 + 2x – 8)
= 2{(x2 + 2x + 1) – 8 – 1}
= 2{(x + 1)2 – 9} = 2(x + 1)2 – 18

จะได้ h = -1 , k = -18

 จุดวกกลับคือ จุด (-1, -18)

ลักษณะกราฟดงั นี้

จากสมการท่ีอย่ใู นรปู y = a(x – h)2+ k จะพบวา่ กราฟของ y = ax2+ bx + c, a ≠ 0

จะมจี ุดวกกลับที่จุด (- - ) แตเ่ นื่องจาก f(h) = k

ดงั นัน้ จงึ อาจเขยี นจุดวกกลับของ f ในรปู (- (- )) ได้

แบบฝึกเสรมิ ประสบการณ์ เรือ่ ง ฟังก์ชนั กาลงั สอง

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธที าเพ่ือตอบคาถามให้ถกู ต้องสมบูรณ์

1.จงรา่ งกราฟอย่างครา่ ว ๆ ของฟังก์ชันที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี โดยใชร้ ะนาบเดยี วกัน

1) y1 = 2x2 , y2 = −2x2
2) y1 = 0.5x2 , y2 = −0.5x2
3) y1 = (x− 3)2 , y2 = (x−4)2, y3 = (x−5)2
2. จงรา่ งกราฟของฟังก์ชัน y = x2−2x−3 พรอ้ มทง้ั บอกจดุ วกกลับ

3. จงร่างกราฟของฟงั กช์ นั y = −3x2 +6x +3 พร้อมทัง้ บอกจดุ ตา่ สดุ หรือสงู สุดของกราฟ