เวกเตอร์(ใบความรู้)

เวกเตอร์ (Vector)

1) ปริมาณสเกลาร์ (Scalar guantily) หมายถงึ ปรมิ าณท่ีบอกเฉพาะขนาดเพียงอย่างเดยี ว เพอ่ื บอก

ใหร้ วู้ ่ามากหรอื น้อยโดยใช้จา้ นวนกับหน่วยท่ใี ชว้ ัด เช่น พนื้ ที่ ปรมิ าตร เวลา น้าหนกั ส่วนสูง ฯลฯ

2) ปริมาณเวกเตอรห์ รือเวกเตอร์ (Vector guantily) เป็นปริมาณที่มที ง้ั ขนาดและทิศทาง เช่น ความเรว็

ความเรง่ แรง ฯลฯ และรปู แบบของเวกเตอร์จะมี 2 ลกั ษณะ คือ เป็นภาพหรอื รปู และสัญลกั ษณ์

3) การเขยี นเวกเตอร์ ในลกั ษณะทเี่ ปน็ ภาพ จะใชส้ ว่ นของเส้นตรงโดยใชค้ วามยาวแทนขนาดของเวกเตอร์

และมหี วั ลกู ศรก้ากับเพื่อบอกทศิ ของเวกเตอร์

3.1) เวกเตอร์จ้ากัด คือ เวกเตอร์ทมี่ ีการระบุจุดเริ่มต้นและจดุ สิน้ สดุ ไว้ เชน่ A B

เปน็ เวกเตอรท์ ี่มจี ุด A เป็นจดุ เร่ิมต้นและจุด B เป็นจดุ สิน้ สุด เขียนแทนเวกเตอร์ เอบี ดว้ ย AB หรอื AB

3.2) เวกเตอร์อสิ ระ (Free vector) ซง่ึ ไม่ไดร้ ะบุจุดเรม่ิ ต้นและจุดสนิ้ สุดไว้ มักเขียนแทนเวกเตอรเ์ ป็น

อกั ษรภาษาอังกฤษตัวเลก็ เพียงอย่างเดยี ว เชน่ u ,  , u
u u

4) การเขยี นเวกเตอรใ์ นระบบเลขสามตวั เปน็ การใช้ขนาดของมมุ บอกทิศทางโดยวัดมุมจากทิศเหนือไปตาม

เข็มนาฬิกา โดยขนาดของมมุ ระหวา่ ง 0 ้ ถงึ 360 ้ ถ้าขนาดของมุมน้อยกว่า 100 ้ ต้องเขียน 0 น้าหน้าเตมิ ให้ครบ 3

ตัวเลข เช่น 30 ้ ต้องเขยี นเป็น 030 ้ เชน่ PQ เปน็ เวกเตอรแ์ สดงการเดินทางของนาย ก จากบา้ นไปโรงเรยี น

เป็นระยะทาง 3 กโิ ลเมตร ในทิศ 120 ้

N

P 120 ้ E
Q

5) ขนาดของเวกเตอรค์ ือความยาวสว่ นของเส้นตรงท่ีเป็นเวกเตอร์
เช่น ขนาดของ AB , u เขยี นแทนดว้ ย AB , u

6) เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ทมี่ ีจุดเร่ิมตน้ และจุดสิน้ สดุ ที่จดุ เดยี วกันเขียนแทนด้วย 0 หรอื
AA = BB= CC = 0 และ 0 =0

7) การขนานกันของเวกเตอร์มี 2 ลักษณะ คือ

นิยาม กา้ หนด u  0 และ v  0 และ u ขนาน v ก็ตอ่ เมื่อ u และ v
มที ิศเดยี วกนั หรือทศิ ตรงข้าม

7.1) เวกเตอร์ท่ีมที ศิ เดียวกันและขนานกันหรืออยูใ่ นแนวเสน้ ตรงเดียวกนั และลูกศรชไี้ ปทางเดยี วกนั
u // v

u B
D
A

v

C

7.2) เวกเตอร์ท่ีมที ศิ ทางตรงกนั ข้ามและขนานกันอย่ใู นแนวเสน้ ตรงเดยี วกันแต่ลกู ศรชไี้ ปทาง
ตรงขา้ มกัน u // v

u B

A

v D

C

8) เวกเตอร์ทเ่ี ทา่ กัน
นยิ าม u และ v เปน็ เวกเตอร์ทเ่ี ทา่ กนั เขียนแทนด้วย u = v กต็ อ่ เมื่อ

1) u = v
2) u และ v มที ิศทางเดียวกัน

9) นิเสธของเวกเตอร์ คือเวกเตอรท์ ีม่ ีขนาดเท่ากบั เวกเตอรน์ ้นั แต่มที ศิ ทางตรงข้ามกนั และนเิ สธของ
AB เขียนแทนด้วย - AB ซง่ึ BA เปน็ นเิ สธของ AB นนั่ คอื BA = - AB หรือ
- AB = BA

การบวก การลบเวกเตอรแ์ ละสมบตั กิ ารบวกเวกเตอร์

1. การบวกเวกเตอรใ์ ดๆบนระนาบ

ก้าหนดให้ u = AB และ v = BC ผลบวกของ u + v เปน็ เวกเตอร์ทมี่ ีจุดเรม่ิ ตน้ ทีจ่ ดุ A
และมจี ุดสิ้นสดุ ที่จุด C นน่ั คือ u + v = AB + BC = AC

การบวกเวกเตอร์มี 2 แบบ
1.1 สามเหลี่ยมเวกเตอร์ เม่ือ u และ v ว่ิงตามกนั จะได้ u + v เปน็ เวกเตอร์ทเี่ หลือ

ของสามเหล่ยี ม เมือ่ มี u และ v เปน็ ด้านสองด้าน โดยมีจดุ เรมิ่ ต้นทจี่ ดุ เดยี วกนั กับจุดเร่มิ ต้นของเวกเตอร์แรก
และมจี ุดสิ้นสดุ ท่ีเดียวกบั จุดสิน้ สุดของเวกเตอรห์ ลงั ดังรปู

uv u uv
v

uv

1.2 ส่ีเหลย่ี มด้านขนาน เมอ่ื u และ v วิ่งออกจากจุดเดยี วกัน (มจี ดุ เรม่ิ ต้นทจี่ ุดเดยี วกัน) เสน้ ทแยง
มุมของสเี่ หลี่ยมด้านขนานจะแทน u + v ซ่ึงเปน็ เวกเตอรท์ ่ีมีจุดเร่ิมต้นอยู่ท่ีเดียวกนั กับ u และ v

uv
u

v

2. ข้อส้าคัญในการบวกเวกเตอร์
2.1 การบวกเวกเตอรไ์ มใ่ ชก่ ารน้าความยาวของสว่ นของเส้นตรงมาบวกกนั
2.2 เวกเตอร์ บวกกับ เวกเตอร์ ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์
2.3 เวกเตอรก์ ับจา้ นวนจรงิ บวกกนั ไม่ได้
2.4 การบวกเวกเตอร์ต่อๆกันในลักษณะที่เปน็ วงจะได้เวกเตอรศ์ นู ย์ เชน่ AB  BC CA = AA =0
2.5 การบวกเวกเตอร์หลายเวกเตอร์ใหบ้ วกต่อๆกนั ไปโดยนา้ จดุ เรม่ิ ตน้ ของเวกเตอร์ตัวท่สี องต่อกับจดุ สน้ิ สดุ

ของเวกเตอรต์ ัวแรกผลลัพธเ์ ป็นเวกเตอร์ที่มีจดุ เริ่มต้นท่ีเดยี วกบั เวกเตอร์แรกและมจี ดุ ส้นสุดท่จี ดุ สน้ิ สุดของเวกเตอร์
ตวั สุดท้าย เช่น AB  BC  CD  AD

3. การบวกเวกเตอร์ในระนาบ เมื่อ u , v , w เป็นเวกเตอร์ในระนาบ
3.1 ปิดการบวกเวกเตอร์ u + v เป็นเวกเตอร์
3.2 สลับทก่ี ารบวก u + v = v +u
3.3 เปลีย่ นกลุ่มการบวก (u + v ) + w = u + (v + w )
3.4 เอกลักษณ์การบวก คือ 0 ฉะนนั้ 0 +u =u +0 =u
3.5 มีอนิ เวอร์สการบวก คือ นิเสธของเวกเตอรน์ นั้ ๆ u + (-u ) = (-u ) + u = 0
3.6 การเทา่ กันของการบวกดว้ ยสิ่งที่เท่ากนั u = v แล้ว u + w = v + w

การบวกเวกเตอร์

C D
C

A B AB

AB  BC  AC AB  BC  CD  AD

C D
E

AB C
AB
AB  BC  CA  0
AB  BC  CD  DE  EA  0
DC
D wC

v u B v

A A uB

AC  u  v  v  u (u  v)  w  u  (v  w)

4. การลบเวกเตอรใ์ ดๆในระนาบ

การลบเวกเตอร์ใดๆในระนาบเดยี วกัน คือการบวกเวกเตอร์ตวั ตั้งดว้ ยนเิ สธของเวกเตอร์ตัวลบ

กา้ หนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆในระนาบ ผลลบของเวกเตอร์ u กบั v เขยี นแทนดว้ ย u -v โดยท่ี

u - v = u + (-v )

การหา u  v สามารถหาได้โดยการบวก u กบั - v ดังรปู

u v v v
u
ในกรณีที่ u และ v มจี ดุ เริม่ ต้นร่วมกนั
u  (v) หรือ u  v

ผลตา่ ง u  v จะเทา่ กับเวกเตอร์ท่ีมจี ดุ เรมิ่ ต้นทจี่ ุดส้ินสดุ ของ v ( ตัวลบ ) และมจี ดุ สิน้ สุดอยทู่ ่ี
จดุ ส้นิ สุดของ u ( ตวั ต้งั ) ดังรูป

uv

v

u

ผลต่าง v u จะเทา่ กับเวกเตอร์ที่มีจดุ เร่มิ ต้นทีจ่ ดุ สิ้นสุดของ u ( ตัวลบ ) และมจี ุดส้นิ สดุ อยูท่ ี่
จุดสนิ้ สดุ ของ v ( ตวั ตงั้ ) ดงั รปู

vu
v

u

ตัวอยา่ ง ก้าหนดให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลยี่ มด้านขนาน และ AB  u , DA  v , BC  w และ CD  x
จงหา D
xC
1) u  v v
2) u  w O
3) x  w A
4) v  x w

B

วธิ ที ้า 1) u  v  u  (v) u

= AB  AD 2) u  w  u  (w)
= AB  BC = AB  CB
= AC = DC  CB
= DB

3) x  w = ……………………… 4) v  x = ……………………..
= …………………….. = ……………………..
= …………………….. = ……………………..
= …………………….. = ……………………..

ขนาดของผลบวกและผลตา่ งของเวกเตอร์

ให้ u  0 , v  0 ซง่ึ u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ ในระนาบ เป็นเวกเตอร์ทีม่ ีจดุ เรม่ิ ต้นเดียวกัน
มุมระหว่าง u และ v หมายถึงมุมบวก (วัดทวนเขม็ นาฬิกา) ท่เี ลก็ ทส่ี ุด ซ่ึงวดั จากเวกเตอร์หน่งึ ไปยังอกี เวกเตอร์หนึ่ง
ซง่ึ 0 180 ดังรูป

uv v v v

 = 0   90u 180

uv 0u 90  =u90

  180

ทฤษฎบี ทท่ี 1 ขนาดของผลบวกของเวกเตอร์ เม่ือ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ

ซง่ึ u  0 , v  0 ,  เปน็ มุมระหว่าง u และ v จะได้

2  2  2 2 u v cos

uv u v

1.1 ถ้า  = 0 แล้ว u  v  u  v u และ v มที ิศทางเดียวกนั
1.2 ถา้  = 180แลว้ u  v  u  v u และ v มีทศิ ทางตรงข้าม หรือ u  v  v  u

ทฤษฎีบท ถ้า u และ v เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบแล้ว u  v  u  v

ทฤษฎบี ทท่ี 2 ขนาดของผลลบของเวกเตอร์ เมื่อ u และ v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ
ซึ่ง u  0 , v  0 ,  เป็นมุมระหวา่ ง u และ v จะได้

2 22

u - v  u  v - 2 u v cos

2.1 ถา้  = 0 แล้ว u  v  u  v หรือ u  v  v  u

2.2 ถ้า  = 180 แล้ว u  v  u  v
ทฤษฎีบท u และ v เปน็ เวกเตอร์ในระนาบแล้ว u  v  u  v

การคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์และ สมบัติการคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์

การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

นิยาม ให้ a เป็นจา้ นวนจริงและ u เปน็ เวกเตอร์ ผลคณู ระหว่าง a และ u เขียนแทนด้วย au โดยที่
1. ถา้ a = 0 หรอื u = 0 แล้ว au = 0
2. ถ้า a > 0 แล้ว au เป็นเวกเตอรท์ ่ีมีทศิ ทางเดยี วกับ u และ au = a u

3. ถา้ a < 0 แล้ว au เป็นเวกเตอร์ทีม่ ีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั u และ au = a u

ทฤษฎบี ท 1 ก้าหนดให้ u  0 และ v  0 จะไดว้ ่า
u ขนานกับ v กต็ ่อเมอ่ื มีจา้ นวนจรงิ a ≠ 0 ซง่ึ ทา้ ให้ u = a v

ทฤษฎบี ท 2 กา้ หนดให้ u  0 , v  0 และ u ไมข่ นานกบั v
ถา้ a และ b เป็นจา้ นวนจริง ซงึ่ ท้าให้ au + b v = 0
แลว้ จะได้ a = 0 และ b = 0

สมบัตกิ ารคูณเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

ถา้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ และ a,b เป็นจ้านวนจริงแลว้
1. au เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปิด)
2. (ab)u = a(bu ) (สมบัติการเปลีย่ นกลุ่ม)
3. a (u + v ) = au + a v (สมบัตกิ ารแจกแจง)

(a + b) u = au + bu
4. 1u = u , –1(u ) = -u
5. au = a u

6. ถา้ au = 0 จะได้ a = 0 หรือ u = 0

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

1. เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมิติ
1.1 เวกเตอร์ในต้าแหนง่ มาตรฐาน
Y A(a,b) นยิ าม เวกเตอร์ในต้าแหนง่ มาตรฐาน OA คอื เวกเตอรท์ ม่ี ี
จุดเรมิ่ ตน้ ท่จี ดุ O(0,0) และส้ินสดุ ท่ี A(a,b)

O X เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ OA = a 
b 


1.2 เวกเตอรใ์ ดๆในระนาบพิกัดฉาก

Y Q(x2,y2) กา้ หนดให้ P(x1,y1) และ Q(x2,y2) เป็นจุดใดๆในระนาบแกนมุมฉาก

P(x1,y1) แลว้ PQ = x 2  x1 และ QP = x 1  x 2
y 2  y 1  y 
 y 1  2

x  PQ = - QP

 PQ = x 2  x1 = a  เมอื่ a = x2 –x1 , b = y2 – y1
y 2  b 
 y 1  

2. เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ
2.1เวกเตอร์สามมิติในต้าแหน่งมาตรฐาน

Z P (x,y,z) x 
y y 
O นยิ าม ให้ x,y,z เป็นจ้านวนจรงิ เรียก  ว่าเวกเตอรใ์ น
x
z 

ปริภมู ิสามมิติหรือเวกเตอร์ในสามมติ ิ เรยี กสัน้ ๆว่าเวกเตอร์

ซ่งึ มจี ุดเรมิ่ ต้นที่จดุ กา้ เนดิ และจุดสน้ิ สุดที่ (x,y,z)

2.2 เวกเตอรใ์ นระนาบสามมิติ นิยาม ให้ A( x1,y1,z1) และ B(x2,y2,z2)

Z B(x2,y2,z2)  x2  x1 
A(x1,y1,z1)  
แลว้ =  
Oy AB  y2  y1 
x
 z2  z1 

3. ขนาดของเวกเตอรใ์ ดๆ ในระบบพิกดั ฉาก

3.1 กาหนด P(x1,y1) และ Q(x2,y2) แลว้ PQ = x 2  x1 = a 
y 2  b 
 y 1  

แลว้ ขนาดของ PQ คอื PQ = หรอื =(x2  x1)2  ( y2  y1)2
PQ a 2  b 2

x 2  x 1  x 
3.2 กา้ หนด P( x1,y1,z1) และ Q(x2,y2,z2) แลว้ = y 2  = y 
PQ  y 1  

 z 2  z1  z 

แล้วขนาดของ PQ คือ PQ = (x2  x1)2  (y2  y1)2  (z2  z1)2 หรือ

PQ = x 2  y 2  z 2

4. การขนานกันของเวกเตอร์ใดๆในระบบพิกดั ฉาก

4.1 ถา้ u ขนาน v และ v = a  จะได้ u = k a  เมื่อ kR
b  b 
 

4.2 u = a  ความชนั ของ u = b
b  a


x  x 
y  y 
4.3 ถา้ u ขนาน v และ v =  จะได้ u = k  เมือ่ kR

z  z 

5. สรปุ เกย่ี วกับเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมิติและสามมิติ

บทนยิ าม เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ
การเท่ากนั
a  c  a  d 
นิเสธของเวกเตอร์ b  e 
b  = d  กต็ ่อเมอ่ื a=c และ b=d  =  ก็ต่อเม่ือ a=d , b=e และ c=f
การบวกเวกเตอร์  
c  f 
เวกเตอรศ์ ูนย์
a  a   a  a  a   a 
การลบเวกเตอร์ b  b  b   
การคณู เวกเตอร์ นเิ สธของ b  คือ -  หรอื  b  นิเสธของ  คอื -  หรอื b 
ด้วยสเกลาร์  
c  c   c 

a  c  a c  a  d  a  d 
b  d  b d  b  e  b 
+ =  +  =  e 

c  f  c  f 

0 0
0 0
0

a  c  a c  a  d  a  d 
b  d  b  d  b  e  b 
- =  -  =  e 

c  f  c  f 

a   a a   a
b  b   
 b  = เมอื่ R   = b  เมอื่ R

c  c 

เวกเตอร์หนึ่งหนว่ ย (Unit vector)

1. เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ คอื เวกเตอร์ทม่ี ีขนาดหนึง่ หน่วยไมว่ ่าเวกเตอร์นนั้ จะมีทิศทางใดก็ตาม

และจดุ เรมิ่ ตน้ ของเวกเตอร์นนั้ ไม่จ้าเป็นต้องเปน็ จุดกา้ เนิดหรอื จดุ (0,0)

น่ันคอื u = a  เปน็ เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยกต็ อ่ เมื่อ u = 1 ก็ตอ่ เมื่อ a2 b2 = 1
b 


1
 
1  0  2 
ก็ต่อเมื่อ a 2 + b 2 = 1 เช่น 0 , , 
1   1
 2 

1.1. เวกเตอร์หนงึ่ หน่วยท่สี า้ คัญในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ

1.1.1 เวกเตอร์หน่ึงหน่วย i หมายถึงเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยในระบบพิกัดฉากท่ีขนานกบั แกน x

และมที ิศทางบวก (ขวามือ) ซง่ึ i = 1 
0

1.1.2 เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย j หมายถึงเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยในระบบพิกดั ฉากท่ีขนานกับแกน y

และมีทิศทางบวก (ดา้ นบน) ซึง่ j = 0
1 

1.2. ทฤษฎี เวกเตอร์ใดๆในระบบพิกดั ฉากสามารถเขียนในรปู i และ j ไดเ้ สมอ

1.2.1 ถา้ u = a  แลว้ จะได้ u = ai + bj
b 


1.2.2 ถ้า A(x1 , y1 ) และ B(x 2 , y 2 ) แลว้ AB = x 2  x1 = (x 2 - x1 )i + (y 2 - y1 ) j
y 2 
 y 1 

2. เวกเตอร์หนึง่ หน่วยในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

2.1.เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉากสามมิติ คือเวกเตอรท์ ่ีมีขนาดเท่ากับ 1 และเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย

ตามแนวแกน X ,Y,Z ไปทางด้านบวกได้แก่

1

i = 0 คือเวกเตอร์หนึง่ หน่วยบนแกน X

0
0

j = 1 คอื เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยบนแกน Y

0

0

k = 0 คือเวกเตอรห์ นึง่ หน่วยบนแกน Z

1

Z P(x,y,z)

x 
y 
จากรูป OP =  ซึ่งสามารถเขยี นในรูปของเวกเตอร์

k Oj Y z 
i
i , j , k ไดด้ ังนี้ OP = xi + y j +zk
X

3. ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก
3.1 u = ai + b j  u = a 2  b 2 , ถา้ A(x1 ,y1 ) และ B(x 2 ,y 2 )

 AB  (x2  x1)2  ( y2  y1)2

x 
y 
3.2 กา้ หนด OP =  = xi +yj +z k ขนาดของ OP

z 

เขยี นแทนดว้ ย OP = x 2  y 2  z 2

4. การหาเวกเตอร์หนง่ึ หน่วยท่ขี นานกบั เวกเตอร์ที่กา้ หนดให้

4.1 กา้ หนดให้ u  a  ai  b j ซึ่ง u เป็นเวกเตอร์ในระบบแกนมุมฉาก และ u  0
b 

4.1.1 เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วยทีข่ นานกับ u และทิศทางเดยี วกันกับ u คอื 1 u

u

4.1.2 เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยท่ขี นานกบั u แตท่ ิศทางตรงข้ามกัน u คือ  1 u

u

4.1.3 เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยท่ีขนานกบั u คือ 1 u

u

x 
y 
4.2 เวกเตอร์ขนาดหนึ่งหนว่ ยมที ิศเดียวกบั u=  = x i +yj +z k

z 

1 x  x 
y2 y  y 
คือ x 2 z2  เมอื่  = xi +yj +z k 0

z  z 

เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยท่ขี นานกับ u คอื 1u

u

(Scalar Product or Dot Product)

1. ผลคณู ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์มี 2 แบบ 
  u 
1.1 ผลคณู เชิงสเกลาร์ คอื ถ้า u และ v เปน็ เวกเตอร์ใดๆในระบบพิกดั ฉาก ผลคูณของ และ v
   
จะเปน็ สเกลาร์ (จ้านวนจรงิ ) เขียนแทนดว้ ย u  v อา่ นว่า u dot v
ผจะลเคปูณ็นเเชวงิกเเวตกอเรตท์อ่ีเรข์ ยีคนือแถท้านuด ้วยแลuะvvเปอน็ า่เวนกวเ่าตอuรใ์ cดrๆoใsนsรvะบบพกิ ดั ฉาก  
1.2 ผลคูณของ u และ v

ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของเวกเตอรใ์ นสองมติ ิ
ผลคูณเชิงสเกลาร์ คือ ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆในระบบพิกดั ฉาก ผลคณู ของu และ v

จะเป็นสเกลาร์ (จ้านวนจรงิ ) เขยี นแทนดว้ ย u  v อา่ นว่า u dot v

เมื่อ  = a = a  + b  และ  = c  = c  +d 
u b  i j v d  i j
 

ผลคูณของ u และ v เขยี นแทนด้วย u  v = a . c  = ( a  + b  ).(c  + d  )= ac + bd
b  d  i j i j


สมบตั ขิ องผลคณู เชงิ สเกลาร์
+bกiiา้ ..jห(i-นi=ด)=(ใ-ห(iv-้ iu)=.(),c-.viii,=)+w=djjเ.jป(.-น็j เj=ว)(ก=-wเi(ต-=)อ.xj(ร-i)์ใ.ดj+jๆ)y==ใน1-j1ระบบพกิ ดั ฉาก
u  mR
i
=a

1)

2)

3)  .  =  .  =0
i j j i
       
4) u . v = v . u ,  u . v = ac+bd = ca+db = v . u
   u a2+b2 
5) u . u  0, u . =  0
  u 
6) u =0หรือ v =0 แลว้ . v =0
  =(- u     =a2+b2,(-   (-a2)+(-b2)= a2+b2
7) u . u ).(- u )= u 2 , u . u u )(- u )=

8) m(u .  )=(m  ).(  )=  (m  ) 
m(u . v u v u v u 
 v
v )=m(ac+bd)=m(ac)+m(bd)=(ma)c+(mb)d=(m ).
 
 หรอื =a(mc)+b(md)= u .(m v )
    v         
9) u .( v + w )= u . + u . w และ( u + v ). w = u . w + v . w
      
u .( v + w )= =ac+ax=bd+by=(ac+bd)+(ax+by)= u . v + u . w
 v    v 
( u + ). w = =ax+cx+by+dy=(ax+cy)+(cx+dy)= u . w + . w

10) ถา้ u  0 และ v  0 เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก และ  เปน็ มุมระหวา่ ง u และ v

แล้ว u v = u v cos  หรือ cos  = u v

uv

เม่อื 0    180 พิจารณาเป็นกรณีดังน้ี
1. เมือ่  = 0 u v  u v cos 0  u v

2. เมื่อ  = 90 u v  u v cos90  0

3. เมื่อ  เป็นมุมแหลม u v  u v cos > 0

4. เมอ่ื  เป็นมุมป้าน u v  u v cos < 0

5. เม่ือ  = 180 u  v  u v cos180   u v

จาก uv 2  2  2 2u v cos  แลว้ u  v อกี รปู หน่ึง คือ

u v

uv 2  2  v 2  2u.v เน่อื งจาก u v  u v cos

u

และ u  v 2  u 2  v 2  2 u v cos  หรือ uv 2  2  v 2  2u.v

u

ในท้านองเดยี วกัน จะได้วา่

2 22 2

u  v  w  u  v  w  2u v  2u  w  2v  w

ผลคณู เชิงสเกลาร์ของเวกเตอรใ์ นสามมิติ

ผลคณู เชงิ สเกลาร์ หมายถงึ ผลคณู ของเวกเตอรซ์ ่ึงได้ผลลพั ธ์เป็นสเกลาร์

บทนยิ าม u = ai +b j +ck และ v = di +e j +fk ผลคณู เชิงสเกลาร์ u และ v

เขยี นแทนด้วย u v อ่านวา่ เวกเตอร์ยูดอตเวกเตอร์วี หรอื อา่ นสั้นๆว่า ยดู อตวี

โดยที่ u v  ad  be  cf

สมบัติทส่ี ้าคญั ของผลคูณเชงิ สเกลาร์

1. ให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน สองมติ ิ หรอื สามมิติ และ a เป็นสเกลาร์

1.1. u . v = v .u 1.2 u .(v + w ) =u . v +u .w

1.3 a(u . v ) =( au ).v = v . (au ) 1.4 0 .u = 0

1.5 u .u = u 2 1.6 i .i = j . j = k .k = 1

1.7 i . j = j .k = i .k = 0
2.ถ้า  เป็นมุมระหว่าง u และ v ซง่ึ 0    1800 แล้ว u . v = u v cos 

(มมุ ระหวา่ งเวกเตอรห์ มายถึงมุมท่ีไม่ใช่มมุ กลับ ซงึ่ มีแขนของมมุ เป็นรังสซี ง่ึ ขนานและมีทิศทางเดียวกนั กบั เวกเตอร์ทั้ง
สอง )

3. ถา้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ไม่ใช่เวกเตอรศ์ นู ย์ u ต้งั ฉาก v กต็ ่อเมื่อ u . v = 0

ผลคูณเชงิ เวกเตอร์

1. ผลคณู เชิงเวกเตอร์ หมายถึง ผลคูณของเวกเตอร์ซ่ึงไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ เวกเตอร์
บทนยิ าม u = ai +b j +c k และ v = di +e j +f k ผลคูณเชงิ เวกเตอรข์ อง u และ v เขียนแทนด้วย

uv อา่ นวา่ เวกเตอร์ยูครอสเวกเตอรว์ ีหรืออ่านส้ันๆว่า ยูครอสวี หมายถึงเวกเตอรท์ น่ี ยิ ามดงั น้ี

uv = b c - a c j+ a b
i k
ef df de

หมายเหตุ ในทางปฏิบัตินยิ มใช้รปู ของดีเทอรม์ นิ ันต์เพอื่ หาผลลัทธ์ของ uv

i jk a c j+ a
c =b c b
uv = a b i - k
ef df de
de f

2. สมบตั ิทีส่ ้าคัญของผลคณู เชงิ เวกเตอร์
1. ให้ u , v และ w เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในสามมติ ิ และ a เป็นสเกลาร์
1.1. u  v = - (v u )
1.2. u  (v + w ) =u  v + u w
1.3. (u +v ) w = (u w ) + (v w )
1.4. a(u v ) = u  (av )
1.5. (au )v = a(u v )
1.6. u u = 0
1.7. i  j = k , j k = i , i k = j

2. ให้ u , v และ w เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในสามมติ ิ จะได้วา่ u .(v  w ) =(u  v ).w
3. ถ้า u และ v ไม่เท่ากบั เวกเตอร์ศนู ย์ จะได้วา่ u v = u v sin 

เมอื่  เป็นมมุ ระหวา่ ง u และ v ซง่ึ 0    1800
4. ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ในสามมติ ิ ซงึ่ ไมใ่ ชเ่ วกเตอร์ศนู ย์และไมข่ นานกัน จะไดว้ า่

u  v ตงั้ ฉาก u และ v

การหาพ้นื ท่ขี องรปู สี่เหล่ียมและหาปรมิ าตรของรูปทรงสี่เหล่ยี มด้านขนานโดยใชเ้ วกเตอร์

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ทข่ี องรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน ABCD เมื่อ AB  2i  j  k และ AD  i  j  2k

วิธที า พื้นทขี่ องรูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนาน ABCD = AB AD

AB  AD  i jk
2 1 1
1 1 2

= 1 1 2 1 2 1
i- j k
1 2 1 2 1 1

= (1)(2) - (1)(1)i - (2)(2) - (1)(1) j  (2)(1) - (1)(1)k

AB AD = i  3 j  k

AB  AD = 12  32 12 ตอบ

= 191

= 11

ดังนนั้ พื้นทข่ี องรปู ส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ABCD = AB AD = 11 ตารางหน่วย

ตวั อยา่ ง จงหาปริมาตรของรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนานทรงตนั ที่มี u = i + j +3k , v = -i + k และ r = i - j -k
วิธที า ปรมิ าตรของรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนานทรงตนั = u.(v x r )

vr  i jk
1 0 1
1 1 1

=0 1 1 1j 1 0
i- k
1 1 1 1 1 1

= (0)(1) - (1)(1)i - (1)(1) - (1)(1) j  (1)(1) - (0)(1)k

vr = ik

u.(v  r) = (1)(1)  (1)(0)  (3)(1) = 4
ดังน้นั ปริมาตรของรปู ส่ีเหล่ียมด้านขนานทรงตนั = 4 ลกู บาศกห์ น่วย ตอบ