จำนวนเชิงซ้อนA4_2

จำนวนเชิงซ้อน


     
    
  

    




    
    

    
    

  

 
  

 

  


 

 

 
   

  



 

   

  

    

  

     




   

 

      

   


 

 


 
  


  

   
  





เอกลกั ษณ์และตัวผกผนั การบวก

 
  ตัวผกผันการบวกของ
ตัวผกผนั การบวกของ



เอกลกั ษณ์และตวั ผกผนั การคูณ




 

 

ตัวผกผนั การคูณของ  a2 a b2 , −b  
+ a2 + b2 


 a  b 
 +   +
ตัวผกผันการคูณของ a2 b2 − a2 b2 i 






  

โดยใชต้ วั ผกผันการคูณ 


      , −  
 +  + 

       −      
+ +


โดยใช้สังยุค
    

     z  (,) + 
     
  (,)

   + 



      


   



     
  

 

     
  

     









   

       
      








     

 
    

     

 
   +  




  

    

   z  z   

       =  ,  
 

  z   

   



   


     













       



  

   +    
  



  
 
   



    

 

  

    

      

    3    

  (−1)2 + ( 3)2 = 2

  3 = − 3 3   
−1

 

    3

   

 
 
   
   

 


     



ตวั อย่างท่ี จงเขยี นจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรูป a + bi

1)  3  cos 11 + i sin 11    cos 4 + i sin 4 
2  6 6  4  3 3 

วิธที ำ กำหนด z1 = 2 3  cos 11 + i sin 11  , z2 = 4  cos 4 + i sin 4 
 6 6  3 3 

 z1z2 = r1r2[cos(1 +2 ) + i sin(1 +2 )]
=
= (2 3)(4) cos  11 + 4  + i sin  11 + 4 
=  6 3   6 3 
=
8 3  cos 19 + i sin 19 
=  6 6 
z1z2 =
8 3  cos 19 + i sin 19 
 6 6 

8 3  − cos  − i sin  
 6 6 

8  3 − 1 i 
3  − 2 2 

ตอบ −12 − 4 3i

  

  
  
  




ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขยี น  3+ 3 i 12 ให้อยใู่ นรูป a + bi เมอ่ื a,b 
วธิ ีทำ  2 2 

กำหนด z= 3 + 3i = 3 cos  + i sin  
22 4 4 

จะได้ 3 cos  + i sin  12 = 312  cos12    + i sin12    
4 4    4   4  

= 312 (cos3 + i sin 3 )

= 312 (−1) + i(0)

ดงั น้นั  3+ 3 i 12 = −312
 2 2 



ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี น (−2 + 2i)5 ให้อย่ใู นรปู a + bi เมือ่ a,b

วิธที ำ กำหนด z = −2 + 2i = 2 2 (cos135 + i sin135)

จะได้ 2 2 (cos135 + i sin135)5 = (2 2)5 cos5(135) + i sin 5(135)
= 128 2 (cos 675 + i sin 675)
= 128 2 (cos315 + i sin 315)

= 128  2  2 
2 2 + i  − 2 



ดงั นั้น (−2 + 2i)5 = 128 −128i 


การหารากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อน


ทฤษฎบี ท กำหนดจำนวนเชงิ ซอ้ น z = x + yi และให้ r= x2+y2 จะได้ว่ารากที่สองของ z คือ

±  r+x + r-x i  เมอ่ื 
 2 2 
 

 ±  r+x − r -x i  เมื่อ 
 2 2 
 



ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหารากท่ีสองของจำนวนเชิงซอ้ น 3+4i
วธิ ีทำ จากโจทย์ 3+4i เม่อื นำไปเทยี บกบั x+yi จะเหน็ ว่า x = 3 และ y = 4 จะเหน็ วา่ ค่า y>0

ดังนัน้ สตู รทีใ่ ช้ในการหารากท่ีสองสตู รท่ีหน่งึ คือ  r+x r -x i 
± + 2 
 
2

หาค่า r r = x2 + y2 = 32 +42 = 9+16 = 25 = 5

 5+3 5-3   8 2 
 2 2   2 2 
จะได้ว่า รากทสี่ องของ 3+4i คือ ± + i = ±  + i 

= ±  4+ 1i 
 

= ±(2+i)

ดังน้นั รากทส่ี องของ 3+4i คือ 2 + i และ -2 - i



ตวั อย่างที่ 2 จงหารากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน 7−24i

วิธที ำ จากโจทย์ 7−24i เม่ือนำไปเทียบกบั x+yi จะเห็นว่า x= 7 และ y=−24 จะเหน็ วา่ ค่า y<0

ดงั นั้น สตู รที่ใช้ในการหารากท่สี องสตู รทสี่ อง คือ  r+x r-x i 
± 2 
 − 

2

หาค่า r r = x2+y2 = 72 +(-24)2 = 49+576 = 625 = 25

จะได้วา่ รากท่สี องของ 7−24i คือ ±  25+7 − 25-7 i  = ±  32 − 128i 
 2 2   2 
   

= ±( 16− 9i)

= ±(4 - 3i)

ดังน้นั รากทสี่ องของ 7−24i คือ 4-3i และ -4+3i

  การหารากท่ี ของจำนวนเชิงซอ้ น 
   
    
      

   

   


   θ π θ π    
   
 


   

ตวั อย่าง จงหารากท่ี ของ -8+8 3i

วิธที ำ เนื่องจาก -8 + 8 3i = 16 cos 2 +isin 2  
3 3 

ถ้า เปน็ รากที่ ของ 16 cos 2 +isin 2  
3 3 

จะได้  x= 4 16  2 +2k  2 + 2k  เมื่อ k  { 0, 1, 2, 3 }
3 3 
cos 4 +isin 4 

  
   



 2 + 2(0)  2 + 2(0) 
cos  3   3 
ถา้ จะได้ x= 2  4  + isin  4   2  cos  + isin    3+i
  6 6 
 
   

 2 + 2(1)  2 + 2(1) 
cos  3  isin  3 
ถา้ จะได้ x= 2  4  + 4   2  cos 2 + isin 2   −1+ 3i 
  3 3   − 3-i 
  1- 3i
   



 2 + 2(2)  2 + 2(2) 
cos  3   3 
ถ้า จะได้ x= 2  4  + isin  4   2  cos 7 + isin 7 
  6 6 
 
   



 2 + 2(3)  2 + 2(3) 
cos  3   3 
ถา้ จะได้ x= 2  4  + isin  4   2  cos 5 + isin 5  
  3 3 
 
   

ดงั น้นั รากที่ของ -8+8 3iคอื 3+i  −1+ 3i  − 3-i 1- 3iตอบ

สมการพหนุ ามกำลังสอง

สมการกำลังสองทีเ่ ขียนอยู่ในรปู ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a  0

คำตอบของสมการ

คือ x = -b± b2 - 4ac เม่อื b2 – 4ac  0
2a

และคือ x = -b± b2 -4ac i เม่ือ b2 – 4ac < 0
2a

ตัวอย่าง 1 จงแก้สมการ x2 + 4 = 0
วธิ ีทำ x2 + 4 = x2 – 4i2 = x2 – (2i)2 = (x + 2i)(x – 2i) = 0
ดังน้ัน x = -2i และ x = 2i

ตวั อย่าง 2 จงแก้สมการ 2x2 – 2x – 3 = 0

วิธที ำ เน่อื งจาก b2 – 4ac = (-2)2 – 4(2)(-3) = 28  0

ดงั น้นั คำตอบของสมการคือ x = -b± b2 - 4ac
2a
(-2)2 -4(2)(-3)
จะได้ x = -(-2) ± 2(2)

x = 2± 4 28



x = 2 ±2 7
4

x = 1± 7
2

ดังน้นั คำตอบของสมการคือ x = 1+ 7 และ x = 1- 2 7
2

ตวั อยา่ ง 3 จงแกส้ มการ x2 – 2x + 5 = 0
วิธีทำ เนื่องจาก b2 – 4ac = (-2)2 – 4(1)(5) = –16 < 0

ดงั นัน้ คำตอบของสมการคือ x = -b ± b2 -4ac i

2a
-(-2) ± (-2)2 - 4(1)(5) i
จะได้ x = 2(1)

x = 2± -16 i
2

x = 2 ± 16 i
2
2 ±4 i
x = 2

x =1±2i
ดงั นั้น คำตอบของสมการคือ x =1+2i และ x =1-2i

พหนุ ามและสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว

ขอ้ กำหนด

ถา้ P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 โดยท่ี n เป็นจำนวนเตม็ บวก

และ an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น ซง่ึ an  0 แลว้
เราจะเรียก P(X) ว่า “ พหุนามกำลงั n ”

และ P(X) = 0 วา่ “ สมการพหนุ ามกำลัง n ”

ซง่ึ สมการพหนุ ามกำลัง n ทุกสมการจะสามารถหาคำตอบหรอื รากของสมการได้เสมอ ทีเ่ ป็นเชน่ นโ้ี ดยอาศยั ทฤษฎี
บทพีชคณิตเบอ้ื งต้นเป็นทฤษฎบี ทพ้ืนฐาน

ทฤษฎบี ทพีชคณติ เบ้ืองต้น (The Fundamental Theorem of Algebra)
ถา้ P(x) = 0 เปน็ สมการพหุนามกำลัง n เมอ่ื n เป็นจำนวนเต็มบวก

และมสี มั ประสิทธ์จิ ำนวนเชงิ ซอ้ นแล้ว
สมการนีจ้ ะมีรากท่ีเป็นจำนวนเชงิ ซ้อนอยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ราก



ความหมายของความจริงทฤษฎีบทพชี คณติ เบอ้ื งต้น
1. ถ้าเอกภพสมั พัทธเ์ ป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว การแกส้ มการทุกคร้ังจะต้องได้รากทเี่ ป็นจำนวน

เชิงซ้อนอย่างนอ้ ยหนง่ึ รากเสมอ
2. รากที่เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน คือ รากนนั้ อาจเป็นจำนวนจรงิ จำนวนจินตภาพ หรอื

จำนวนจนิ ตภาพแท้ ก็ได้

ในการหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n น้นั ทำไดโ้ ดยการพยายามเขียนพหุนาม
an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 ให้อยูใ่ นรปู ผลคูณของพหนุ ามกำลัง 1 ในทนี่ จ้ี ะแบ่งการหาคำตอบ
ของสมการพหนุ ามกำลัง n เป็น 2 กรณี ดงั นี้

กรณที ี่ 1 สมการพหุนามกำลงั สอง
กรณีท่ี 2 สมการพหุนามกำลงั มากกวา่ สอง

สมการพหุนามกำลงั มากกว่าสอง
ในการเขยี นสมการพหุนาม an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 ให้อยใู่ นรปู ผลคูณของพหุนามกำลัง 1

หรอื กำลงั 2 น้ัน ทฤษฎีบทต่อไปนเี้ ป็นทฤษฎบี ทท่ีชว่ ยในการกระทำดงั กลา่ ว

ทฤษฎบี ทเศษเหลอื (Remainder Theorem)
ถา้ P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0

โดยที่ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็นจำนวนเชิงซอ้ น ซง่ึ
an  0 แลว้

ถา้ หารพหนนุ าม P(X) ด้วยพหุนาม x – c เม่ือ c เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนใด ๆ แล้ว
เศษจะเทา่ กับ P(c)

ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (Factor Theorem)
ถา้ P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0

โดยที่ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เปน็ จำนวนเชิงซ้อน ซง่ึ
an  0 แล้ว

1. x – c เป็นตัวประกอบของ P(x) กต็ อ่ เมือ่ P(c ) = 0
2. ถา้ x – c เปน็ ตวั ประกอบของ P(x) แล้ว

ให้เรยี ก c วา่ “ เป็นรากของสมการพหุนาม P(x) = 0 ”

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
ถา้ P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เปน็ จำนวน

เต็มบวก และan , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น ซง่ึ an  0 แล้ว
ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหนุ าม P(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซง่ึ m 

m

0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กบั 1 แล้ว
m จะเปน็ ตัวประกอบของ an
k จะเป็นตัวประกอบของ a0



ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร x3 – 3x2 + 2x + 1 ดว้ ย x – 1 และ x + 1
วธิ ที ำ ถา้ หาร P(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1 ด้วย x – 1 และ x + 1 แลว้ เศษจะเท่ากับ
P(1) และ P(-1)
จะได้ P(1) = 1 – 3 + 2 + 1
=1
P(-1) = -1 – 3 - 2 + 1
= -5
ดังนน้ั เศษทเ่ี หลือจากการหาร x3 – 3x2 + 2x + 1 ด้วย x – 1 และ x + 1 คือ 1 และ -5 ตามลำดบั

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x4 – x3 – 6x2 + 4x – 8 = 0

วธิ ที ำ ให้ P(x) = 2X4 – X3 - 6X2 + 4X – 8

เนอื่ งจาก P(2) = 32 – 8 – 24 + 8 – 8 = 0

P(-2) = 32 + 8 – 24 – 8 – 8 = 0

จะได้ 2x4 – x3 – 6x2 + 4x – 8 = (x – 2) (x + 2) (2x2 – x + 2)

นนั่ คอื (x – 2) (x + 2) (2x2 – x + 2) = 0

จะได้ x = 2 หรอื x = -2 หรอื 2x2 – x + 2 = 0

จาก 2x2 – x + 2 = 0

จะได้ x = 1+ 15i หรือ x = 1- 15i
4 4

ดังนน้ั เซตคำตอบของสมการคอื { 2, -2, 1+ 4 15i , 1- 15i }
4