สารบัญ เรื่อง หน้า บทที่ 1 ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล 1.1 สถิติศาสตร์ 1.2 คำสำคัญในสถิติศาสตร์ 1.3 ประเภทของข้อมูล 1.3.1 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามแหล่งที่มาของข้อมูล 1.3.2 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามระยะเวลาที่จัดเก็บ 1.3.3 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามลักษณะของข้อมูล 1.4 สถิติศาสตร์เชิงพรรณนาและสถิติศาสตร์เชิงอนุมาน บทที่ 2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ 2.1 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่ 2.1.1 การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ 2.1.2 การนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่ 2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ บทที่ 3 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ 11111222333357 3.1 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยตารางความถี่ 7 3.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยแผนภาพ 3.3 ค่าวัดทางสถิติ 3.3.1 ค่ากลางของข้อมูล 3.3.2 ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล 3.3.3 แผนภาพกล่อง 3.3.4 ค่าวัดการกระจาย 10 16 16 24 25 27
บทที่ 1 ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล 1.1 สถิติศาสตร์ สถิติศาสตร์ (statistics) หมายถึง การเก็บรวบรวมข้อมูล วิเคราะห์ข้อมูล และสรุปผล จากข้อมูลที่เกี่ยวข้อง เพื่อ นำมาตอบคำถาม อธิบายปรากฏการณ์หรือประเด็นที่สนใจ 1.2 คำสำคัญในสถิติศาสตร์ 1. ประชากร (population) หมายถึง กลุ่มของหน่วยทั้งหมดในเรื่องที่สนใจศึกษา หน่วยในที่นี้อาจเป็นคน สัตว์ หรือสิ่งของ 2. ตัวอย่าง (sample) กลุ่มย่อยของประชาการที่ถูกเลือกมาเป็นตัวแทนของประชากร โดยทั่วไปมีวัตถุประสงค์ เพื่อใช้ตัวอย่างในการสรุปผลเกี่ยวกับลักษณะของประชากรที่สนใจ 3. ตัวแปร (variable) หมายถึง ลักษณะบางอย่างของประชากรหรือตัวอย่างที่สนใจศึกษา 4. ข้อมูล (data) หมายถึง ข้อความจริงเกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่สามารถใช้ในการสรุปผลในเรื่องที่สนใจศึกษา อาจเป็นได้ทั้งตัวเลขหรือไม่ใช่ตัวเลข หรืออาจหมายถึงค่าของตัวแปรที่สนใจศึกษา 5. พารามิเตอร์(parameter) หมายถึง ค่าวัดที่แสดงถึงลักษณะของประชากร ซึ่งเป็นค่าคงตัวที่คำนวณหรือ ประมวลผลจากข้อมูลทั้งหมดของประชากร 6. ค่าสถิติ (statistic) เป็นค่าคงตัวที่พิจารณาจากข้อมูลของตัวอย่าง โดยมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายลักษณะของ ตัวอย่างนั้นหรือเพื่อประมาณค่าของพารามิเตอร์แล้วนำไปใช้ในการอธิบายลักษณะของประชากร ตัวอย่าง จากการสํารวจเกี่ยวกับอาชีพในฝันของนักเรียนในยุคดิจิทัลของจังหวัดหนึ่ง โดยสํารวจจากนักเรียนที่มีอายุ 15 – 18 ปี ที่เลือกมาจากทุกโรงเรียนในจังหวัด รวมทั้งสิ้น 300 คน พบว่า อาชีพในฝันของนักเรียนในยุคดิจิทัล 5 อันดับแรก ได้แก่ อันดับที่ 1 อาชีพธุรกิจส่วนตัว ร้อยละ 35 อันดับที่ 2 อาชีพครู ร้อยละ 22 อันดับที่ 3 อาชีพรับ ราชการ ร้อยละ 17 อันดับที่ 4 อาชีพแพทย์ ร้อยละ 12 และอันดับที่ 5 อาชีพ วิศวกร ร้อยละ 7 จงระบุว่าประชากร ตัวอย่าง ตัวแปร ข้อมูล และค่าสถิติของการสํารวจนี้คืออะไร แนวคิด ประชากร คือ นักเรียนทุกคนในจังหวัดนี้ ตัวอย่าง คือ นักเรียนที่มีอายุ 15 – 18 ปี ที่เลือกมาจากทุกโรงเรียนในจังหวัดนี้ จํานวน 300 คน ตัวแปร คือ อาชีพในฝันของนักเรียนในยุคดิจิทัล ข้อมูล คือ อาชีพในฝันของนักเรียนในยุคดิจิทัลของนักเรียนแต่ละคนที่เก็บรวบรวมมาได้ ค่าสถิติ คือ ร้อยละของนักเรียนที่เลือกอาชีพในฝันในยุคดิจิทัล 5 อันดับแรก ซึ่งคํานวณจาก ตัวอย่างจํานวน 300 คน 1.3 ประเภทของข้อมูล 1.3.1 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามแหล่งที่มาของข้อมูล แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ 1. ข้อมูลปฐมภูมิ (primary data) คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ดำเนินการเก็บรวบรวมจากเจ้าของข้อมูลหรือต้นกำเนิดของ ข้อมูลโดยตรง เช่น ข้อมูลความพึงพอใจในสินค้าที่เจ้าของสินค้าเก็บรวบรวมจากผู้ใช้สินค้าหรือผู้บริโภคเป็นข้อมูลปฐม ภูมิของเจ้าของสินค้า 2. ข้อมูลทุติยภูมิ (secondary data) คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ไม่ได้ดำเนินการเก็บรวบรวมจากเจ้าของข้อมูลหรือต้น กำเนิดของข้อมูลโดยตรง แต่ใช้ข้อมูลที่บุคคลหรือหน่วยงานอื่นเก็บรวบรวมมา ซึ่งส่วนใหญ่ผู้ใช้มักจะใช้ข้อมูลที่เก็บ รวบรวมโดยภาครัฐซึ่งเป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลตามภารกิจของหน่วยงาน เช่น สํานักงานตรวจคนเข้าเมืองจัดเก็บ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 2 ข้อมูลนักท่องเที่ยวที่เดินทางเข้ามาในประเทศไทยในช่วงไตรมาสหนึ่ง ข้อมูลนี้เป็นข้อมูลปฐมภูมิของสํานักงานตรวจคน เข้าเมือง แต่เป็นข้อมูลทุติยภูมิสําหรับผู้วิจัยหรือผู้ศึกษาอื่นที่นําข้อมูลนี้มาวิเคราะห์เพื่อหาคําตอบที่สนใจ 1.3.2 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามระยะเวลาที่จัดเก็บ 1. ข้อมูลอนุกรมเวลา (time series data) คือ ชุดข้อมูลที่เกิดขึ้นและจัดเก็บตามลำดับเวลาต่อเนื่องกันไป ตลอดช่วงๆ หนึ่ง เช่น ยอดขายสินค้ารายเดือนตั้งแต่เดือน มกราคม พ.ศ. 2558 ถึงเดือนธันวาคม พ.ศ. 2561 คือ ยอดขายสินค้าที่เกิดขึ้นและมีการบันทึกในแต่ละเดือนว่าเป็นเท่าใดตลอดช่วงเวลานั้น ซึ่งเมื่อนําข้อมูลรายเดือนมาเรียง ต่อกันตามลําดับเวลา จะแสดงการเคลื่อนไหวขึ้นลงของยอดขายสินค้ารายเดือนในช่วงนั้นว่าเป็นอย่างไร เดือนใดมี ยอดขายสูงสุดและเดือนใดมียอดขายต่ำสุด ลักษณะการเปลี่ยนแปลงหรือเคลื่อนไหว เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงไปเป็น อย่างไร 2. ข้อมูลตัดขวาง (Cross-sectional data) คือ ข้อมูลที่บอกสถานะหรือสภาพของสิ่งที่สนใจ ณ จุดหนึ่งของ เวลา เช่น รายงานผลการศึกษาของนักเรียนเมื่อสิ้นภาคการศึกษา เนื่องจากเป็นการแสดงสถานภาพทางการเรียนของ นักเรียน ณ วันประกาศผลเมื่อสิ้นภาคการศึกษา 1.3.3 การแบ่งประเภทของข้อมูลตามลักษณะของข้อมูล แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ 1. ข้อมูลเชิงปริมาณ (quantitative date) คือ ข้อมูลที่ได้จากการวัดหรือการนับค่า โดยแสดงเป็นตัวเลขหรือ ปริมาณที่สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หรือหาร และเปรียบเทียบกันได้เช่น ยอดขายรถยนต์รายเดือน 2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ (qualitative date) คือ ข้อมูลที่แสดงลักษณะ ประเภท สมบัติในเชิงคุณภาพ และอื่นๆ ที่ไม่สามารถวัดค่าเป็นตัวเลขที่นำมาบวก ลบ คูณ หรือหารกันได้เช่น หมายเลขโทรศัพท์ 1.4 สถิติศาสตร์เชิงพรรณนาและสถิติศาสตร์เชิงอนุมาน การวิเคราะห์ข้อมูลแบ่งได้เป็นสถิติศาสตร์เชิงพรรณนา และสถิติศาสตร์เชิงอนุมาน 1. สถิติศาสตร์เชิงพรรณนา (Descriptive statistics) เป็นการวิเคราะห์ข้อมูลที่สรุปสาระสำคัญของข้อมูลชุด หนึ่ง ซึ่งเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพหรือข้อมูลเชิงปริมาณ เพื่ออธิบายลักษณะหรือสภาพของข้อมูลชุดนั้นว่าเป็นอย่างไร โดยทั่วไปข้อมูลเชิงคุณภาพจะใช้การนำเสนอด้วยตารางความถี่ แผนภูมิแท่ง ฐานนิยม และอื่นๆ ส่วนข้อมูลเชิงปริมาณ จะใช้การนำเสนอด้วยอิสโทแกรม แผนภาพกล่อง ค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าเฉลี่ย และอื่นๆ เช่น คะแนนต่ำสุดในการสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์คือ 7 คะแนน 2. สถิติศาสตร์เชิงอนุมาน (Inferential statistics) เป็นการวิเคราะห์ข้อมูลที่ใช้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับความน่าจะ เป็นในการหาข้อสรุปเกี่ยวกับลักษณะของประชากรโดยใช้ข้อมูลจากตัวอย่างที่ได้มาจากประชากรนั้น เช่น ร้อยละของคนไทยที่มีอายุ 15 ปีขึ้นไป ที่เดินทางท่องเที่ยวจำแนกตามวัตถุประสงค์หลักในการเดินทาง ท่องเที่ยว 5 อันดับแรก ในรอบปี 2559 ได้แก่ อันดับที่ 1 เยี่ยมครอบครัว 33.1% อันดับที่ 2 ท่องเที่ยว 20.2% อันดับ ที่ 3 ไหว้พระ 11.7% ตั้งใจหรือแวะไปรับประทานอาหาร 9.0% อันดับที่ 5 ซื้อของ 8.9%
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 3 บทที่ 2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ 2.1 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่ 2.1.1 การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ ข้อมูลเชิงคุณภาพเป็นข้อมูลที่แสดงลักษณะ ประเภท สมบัติในเชิงคุณภาพ และอื่น ๆ ที่ไม่สามารถวัดค่าเป็นตัว เลขที่นำมาบวก ลบ คูณ หรือหารกันได้ เช่น ถ้าพิจารณาตัวแปรคือเพศของผู้ใช้บริการในร้านอาหารแห่งหนึ่ง ข้อมูลที่ เป็นไปได้คือหญิงหรือชาย โดยทั่วไปการเก็บข้อมูลเชิงคุณภาพที่มีจำนวนมากอาจมีข้อมูลที่ซ้ำกันอยู่ ดังนั้นจึงต้องมีการ จัดระเบียบข้อมูล เพื่อให้สังเกตลักษณะของข้อมูลได้ง่ายขึ้นและสามารถหาข้อสรุปที่มีความหมายและนำไปใช้ประโยชน์ ได้ ในทางสถิติศาสตร์จะวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพโดยพิจารณาจากความถี่และฐานนิยม ดังบทนิยามต่อไปนี้ ความถี่ (frequency) คือ จำนวนครั้งของการเกิดข้อมูลข้อมูลหนึ่งและค่าของตัวแปรค่าหนึ่ง ฐานนิยม(mode) คือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำกันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดที่มากกว่า 1 ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น ในกรณีที่ข้อมูลมีความถี่เป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากนี้ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม มากกว่า 1 ค่า เช่น ในกรณีที่มีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูล ที่มีความถี่สูงสุดเท่ากัน ข้อมูลเชิงคุณภาพควรมีการนำเสนอข้อมูลโดยจัดเป็นหมวดหมู่ให้มีความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันตามสิ่งที่ต้องการ ทราบ โดยอาจนำเสนอในรูปตารางหรือแผนภาพ เพื่อให้สามารถอ่านและแปลความหมายของข้อมูลเหล่านั้นได้ง่ายขึ้น เรียกการนำเสนอข้อมูลโดยการแสดงความถี่ของข้อมูลในรูปตารางหรือแผนภาพว่า การแจกแจงความถี่ (frequency distribution) 2.1.2 การนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่ การนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพในรูปตารางความถี่(frequency table) ที่จะกล่าวถึงในที่นี้ได้แก่ 1. ตารางความถี่จำแนกทางเดียว (one-way frequency table) 2. ตารางความถี่จำแนกสองทาง (two-way frequency table) ตารางความถี่จำแนกทางเดียว ตารางความถี่จำแนกทางเดียวเป็นการนำเสนอข้อมูลในรูปตารางโดยแสดงข้อมูลและความถี่ของข้อมูลของตัว แปรเพียงหนึ่งตัว มักใช้ในการนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพเพื่อสรุปลักษณะที่สนใจหรือเปรียบเทียบความถี่ของแต่ละ ข้อมูล เช่น จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1 สามารถเขียนตารางความถี่จำแนกทางเดียวของข้อมูลหมู่เลือดของชาวบ้าน จำนวน 30 คน ได้ดังตารางที่ 1 หรือ 2 เลือดหมู่ A B AB O รวม ความถี่ 5 8 4 13 30 เลือดหมู่ ความถี่ A 5 B 8 AB 4 O 13 รวม 30 ตารางที่ 1 ตารางที่ 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 4 จะเห็นว่าการนำเสนอข้อมูลด้วยตารางความถี่จำแนกทางเดียวทำให้เห็นความถี่ของข้อมูลตามลักษณะที่สนใจ ได้ชัดเจนกว่าการพิจารณาจากข้อมูลที่เก็บรวบรวมมาโดยตรง นอกจากนี้อาจเปรียบเทียบข้อมูลโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์ ความถี่สัมพัทธ์(relative frequency)คือ สัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูล เทียบกับผลรวมของความถี่ทั้งหมด ❖ ความถี่สัมพัทธ์อาจเขียนในรูปสัดส่วน ได้เป็น ความถี่สัมพัทธ์ (สัดส่วน) = ความถี่ ความถี่รวม ❖ ความถี่สัมพัทธ์ในรูปร้อยละ ได้เป็น ความถี่สัมพัทธ์(ร้อยละ) = ความถี่ ความถี่รวม ×100 ในการนำเสนอข้อมูลด้วยตารางความถี่จำแนกทางเดียวอาจแสดงทั้งความถี่และความถี่สัมพัทธ์ในตาราง เดียวกันได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 4 ครูประจำชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง ได้สำรวจวันเกิดของนักเรียนในห้อง จำนวน 40 คน ว่ามีวันเกิด ตรงกับวันใดในสัปดาห์ ได้ข้อมูลดังนี้ วันอังคาร วันเสาร์ วันพุธ วันอังคาร วันจันทร์ วันอาทิตย์ วันพุธ วันจันทร์ วันศุกร์ วันเสาร์ วันจันทร์ วันเสาร์ วันศุกร์ วันอังคาร วันศุกร์ วันเสาร์ วันอังคาร วันอาทิตย์ วันศุกร์ วันพุธ วันพุธ วันศุกร์ วันจันทร์ วันอาทิตย์ วันอาทิตย์ วันพฤหัสบดี วันเสาร์ วันพุธ วันอังคาร วันพุธ วันศุกร์ วันอังคาร วันเสาร์ วันศุกร์ วันจันทร์ วันอังคาร วันศุกร์ วันอังคาร วันพุธ วันศุกร์ จงเขียนตารางความถี่พร้อมทั้งแสดงความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลชุดนี้ และสรุปข้อมูลที่ได้จากตาราง วิธีทำ จากข้อมูลที่กำหนดให้ สามารถเขียนตารางความถี่พร้อมทั้งแสดงความถี่สัมพัทธ์ได้ดังนี้ วันเกิด ความถี่ ความถี่สัมพัทธ์ สัดส่วน ร้อยละ วันจันทร์ 5 5 0.125 40 = 5 100 12.5 40 = วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์ วันอาทิตย์ รวม จากตารางสรุปได้ว่า นักเรียนเกิดวัน...............................มากที่สุด รองลงมาคือ ......................... และน้อยที่สุดคือ ...............................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 5 ตารางความถี่จำแนกสองทาง ตารางความถี่จำแนกสองทางเป็นการนำเสนอข้อมูลในรูปตารางซึ่งมีตัวแปรที่สนใจศึกษา 2 ตัว โดยแสดง ความถี่ของข้อมูลเชิงคุณภาพของแต่ละตัวแปรที่สนใจศึกษาในรูปตาราง 2.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ ในหัวข้อนี้ จะทบทวนเกี่ยวกับการวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ ซึ่งอยู่ในรูปแผนภูมิ รูปภาพ แผนภูมิรูปวงกลม และแผนภูมิแท่ง ที่ได้ศึกษามาแล้วในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น ❖ แผนภูมิรูปภาพ (pictogram) เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้รูปภาพหรือสัญลักษณ์แสดงความถี่ของแต่ละข้อมูล ซึ่งจะต้องกำหนดในแผนภูมิว่ารูปภาพหรือสัญลักษณ์หนึ่งรูปนั้นแทนความถี่เท่าใด ❖ แผนภูมิรูปวงกลม (pie chart or circular chart) เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้พื้นที่ภายในของรูปวงกลมแทน ความถี่ของข้อมูลทั้งหมด และแสดงสัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูลด้วยพื้นที่แต่ละส่วนภายในรูปวงกลมซึ่งแบ่งด้วย รัศมี โดยสัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูลเท่ากับสัดส่วนของขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางของรูปวงกลม โดยทั่วไปจะ แสดงสัดส่วนของความถี่ของข้อมูลด้วยความถี่ของข้อมูลด้วยความถี่สัมพัทธ์ในรูปร้อยละ สามารถคำนวณขนาดของมุมที่ จุดศูนย์กลางของรูปวงกลมสำหรับความถี่ของแต่ละข้อมูลได้ดังนี้ เลือดหมู่ ความถี่ ขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางของรูปวงกลม A 5 5 360 60 30 = B 8 AB 4 O 13 รวม 30 โดยทั่วไปไม่นิยมเขียนขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางของรูปวงกลมกำกับไว้ในแผนภูมิรูปวงกลมแต่จะเขียนความถี่หรือ ความถี่สัมพัทธ์ในรูปร้อยละของข้อมูลกำกับไว้ในแต่ละส่วน ดังนั้น จากตารางข้างต้นสามารถเขียนแผนภูมิรูปวงกลม แสดงจำนวนชาวบ้านจำแนกตามหมู่เลือดในระบบ ABO ได้ดังรูปที่ 1 และ 2 รูปที่ 1 รูปที่ 2 A 5 B 8 AB 4 O 13 หมู่เลือด A 16.67% B 26.67% AB 13.33% O 43.33% หมู่เลือด
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 6 ❖ แผนภูมิแท่ง(bar chart) เป็นการนำเสนอข้อมูลด้วยแท่งรูปเหลี่ยมมุมฉากในแนวตั้งหรือแนวนอนโดยใช้ความสูง หรือความยาวของแท่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปแสดงความถี่ของข้อมูลของแต่ละตัวแปรที่สนใจศึกษาแผนภูมิแท่งมีได้ หลายแบบ 1. แผนภูมิแท่งเชิงเดี่ยว (simple bar chart) เป็นแผนภูมิแท่งซึ่งมีตัวแปรที่สนใจศึกษาเพียงหนึ่งตัว โดย แสดงข้อมูลและความถี่ของข้อมูล เพื่อแสดงการเปรียบเทียบความถี่ของแต่ละข้อมูล 2. แผนภูมิแท่งพหุคูณ (multiple bar chart) เป็นแผนภูมิแท่งซึ่งมีตัวแปรที่สนใจศึกษาตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป (ใน ที่นี้จะศึกษาเพียง 2 ตัวเท่านั้น) โดยแสดงข้อมูลของแต่ละตัวแปรที่สนใจศึกษาบนแกนเดียวกัน และแสดงความถี่ร่วม ของข้อมูลของตัวแปรที่สนใจศึกษาด้วยแท่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จำนวนผู้ใช้สื่อสังคมออนไลน์หลัก(คน) รูปที่ 3 3. แผนภูมิแท่งส่วนประกอบ (component bar chart) เป็นแผนภูมิแท่งที่แสดงจำนวนรวมและ ส่วนประกอบของจำนวนรวมนั้น โดยการแบ่งเป็นส่วนย่อย ๆ จำนวนผู้ใช้สื่อสังคมออนไลน์หลัก(คน) นอกจากจะนำข้อมูลข้างต้นด้วยแผนภูมิแท่งส่วนประกอบโดยใช้ความถี่ของแต่ละข้อมูลแล้วยังสามารถ นำเสนอแผนภูมิแท่งส่วนประกอบโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์ของแต่ละข้อมูล โดยจะแสดงการหาความถี่สัมพัทธ์ในรูปร้อยละ ของผู้ตอบแบบสำรวจแต่ละเพศที่เลือกใช้สื่อสังคมออนไลน์หลักแต่ละอย่าง และนำเสนอแผนภูมิแท่งส่วนประกอบ 220 150 40 35 240 210 90 15 0 50 100 150 200 250 300 Facebook Instagram Twitter อื่น ๆ ชาย หญิง 220 150 40 35 240 210 90 15 0 100 200 300 400 500 Facebook Instagram Twitter อื่น ๆ หญิง ชาย
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 7 บทที่ 3 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ 3.1 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยตารางความถี่ ตารางความถี่สำหรับข้อมูลเชิงปริมาณมี 2 แบบ ได้แก่ 1. ตารางความถี่แบบไม่ได้แบ่งข้อมูลเป็นช่วง ซึ่งเหมาะสำหรับใช้ในกรณีที่ค่าที่เป็นไปได้ของข้อมูลมีจำนวนน้อย 2. ตารางความถี่แบบแบ่งข้อมูลเป็นช่วง ซึ่งเหมาะสำหรับใช้ในกรณีที่ค่าที่เป็นไปได้ของข้อมูลมีจำนวนมาก ซึ่งยาก ต่อการนำเสนอ จึงต้องแบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็นช่วงๆ แต่ละช่วงเรียกว่า อันตรภาคชั้น ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงเฉพาะตารางความถี่ของข้อมูลเชิงปริมาณที่มีการแบ่งข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้น ขั้นตอนการเขียนตารางความถี่ของข้อมูลเชิงปริมาณที่มีข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม 1. กำหนดจำนวนของอันตรภาคชั้นเป็น k ชั้น 2. กำหนดค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายที่ครอบคลุมทุกค่าของข้อมูล โดยที่ค่าเริ่มต้นคือค่าต่ำสุดหรือค่าที่น้อยกว่าค่า ต่ำสุดของข้อมูล และค่าสุดท้ายคือค่าสูงสุดหรือค่าที่มากกว่าค่าสูงสุดของข้อมูล 3. คำนวณความกว้างของอันตรภาคชั้น จากสูตร ถ้าค่าที่คำนวนได้ไม่เป็นจำนวนเต็มให้ปัดเศษขึ้นเป็นจำนวนเต็มเสมอ 4. กำหนดอัตราภาคชั้นโดยที่ • ชั้นแรกมีค่าเริ่มต้นเป็นค่าต่ำสุดหรือค่าที่น้อยกว่าค่าต่ำสุดของข้อมูล ถึงจำนวนที่ได้จากการนำค่า เริ่มต้นบวกกับความกว้างของอันตรภาคชั้นลบด้วย 1 • ชั้นที่สองมีค่าเริ่มต้นเป็นค่าสุดท้ายของชั้นแรกบวกด้วย 1 ถึงค่าเริ่มต้นของชั้นที่สองบวกกับความ กว้างของอัตราภาคชั้นลบด้วย 1 • ทำเช่นนี้ไปเรื่อยเรื่อยจนถึงชั้นที่ k (ในกรณีค่าสุดท้าย−ค่าเริ่มต้น จำนวนอันตรภาคชั้น เป็นจำนวนเต็ม ค่าสุดท้ายของชั้นที่ k จะไม่เท่ากับค่าสุดท้ายที่กำหนดในข้อ 2 แต่ต้องมากกว่าหรือเท่ากับข้อมูลทุกค่า) 5. หาจำนวนของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ในอันตรภาคชั้น โดยการทำรอยขีดแทนจำนวน 6. นับจำนวนรอยขีด แล้วบันทึกลงในช่องความถี่ของแต่ละอันตรภาคชั้น ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน โดยคะแนนเป็น จำนวนเต็มเท่านั้น แสดงได้ดังนี้ จงเขียนตารางความถี่ของข้อมูลชุดนี้ 85 112 112 123 109 85 87 123 111 112 87 126 94 92 93 91 99 121 122 128 102 118 88 106 111 98 128 94 95 129 ความกว้างอันตรภาคชั้น = ค่าสุดท้าย−ค่าเริ่มต้น จำนวนอันตรภาคชั้น
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 8 วิธีทำ 1. กำหนดให้จำนวนอัตราภาคชั้นเป็น 5 ชั้น 2. กำหนดค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายที่ครอบคลุมทุกค่าของข้อมูล ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. คำนวณความกว้างของอันตรภาคชั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… คะแนน รอยขีด ความถี่ รวม ตัวอย่างที่ 2 จากการสำรวจน้ำหนักของนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 60 คน เก็บข้อมูลได้ดังนี้ 29 40 45 59 56 50 53 58 59 60 60 60 60 60 68 65 63 64 68 69 67 61 62 65 68 65 65 68 70 70 71 75 74 76 78 79 75 76 78 79 70 70 72 73 72 75 76 79 79 70 87 86 85 82 80 80 80 80 150 200 อันตรภาคชั้น (น้ำหนัก) รอยขีด ความถี่(จำนวนคน) น้อยกว่า 40 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 - 79 80 – 89 มากกว่า 90 รวม 1. ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากันหมด ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการใช้ข้อมูล 2. ค่าที่สังเกตได้บางค่าอาจต่างไปจากค่าอื่นมาก เช่น ในการสอบครั้งหนึ่งมีผู้สอบได้2 คะแนน ในขณะที่คนอื่น ได้คะแนน มากกว่า 50 คะแนน ควรกำหนดอันตรภาคชั้นแรกเป็นอันตรภาคชั้นเปิด (Open-Ended Class Interval) 3. การกำหนดจำนวนอันตรภาคชั้นในการสร้างตารางแจกแจงความถี่ไม่มีกฎเกณฑ์แน่นอนตายตัว ขึ้นอยู่กับ ลักษณะการกระจายของข้อมูล รายละเอียดของข้อมูลที่ต้องการทราบด้วย เช่น ถ้าค่าที่สังเกตได้มีความ แตกต่างกันมาก มักจะกำหนดให้มีอันตรภาคชั้นน้อย หากต้องการทราบรายละเอียดของข้อมูลอย่างละเอียด ก็ควรกำหนดให้มีจำนวนอันตรภาคชั้นมาก โดยทั่วไปนิยมใช้อยู่ 7-15 ชั้น
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 9 ค่าสังเกตหรือข้อมูลที่เป็นทศนิยม อาจกำหนดอันตรภาคชั้นให้อยู่ในรูปช่วง เช่น ผลสำรวจระยะทางที่นักเรียน เดินทางจากบ้านมาโรงเรียนจำนวน 50 คน เป็นดังนี้ ระยะทาง (กิโลเมตร) ระยะทาง ( ) x ความถี่ (จำนวนนักเรียน) 0 – 4.9 0 5 x 8 5 – 9.9 5 10 x 19 10 – 14.9 10 15 x 15 15 – 19.9 15 20 x 6 20 – 24.9 20 25 x 2 จากตารางความถี่ในตัวอย่างสามารถหาความถี่สะสมในแต่ละอันตรภาคชั้น ซึ่งคือผลรวมของความถี่ของอันตรภาคชั้น นั้นกับความถี่ของอันตรภาคชั้นก่อนหน้าทั้งหมด นอกจากนี้สามารถหาความถี่สัมพัทธ์และความถี่สะสมสัมพัทธ์ในแต่ละอันตรภาคชั้น ซึ่งความถี่สะสมสัมพัทธ์ในแต่ละ อันตรภาคชั้นคือผลรวมของความถี่สัมพัทธ์ของอัตภาพชั้นนั้นกับความถี่สัมพัทธ์ของอันตรภาคชั้นก่อนหน้าทั้งหมด ขอบล่าง = ค่าน้อยสุดของอันตรภาคชั้นนั้น + ค่ามากสุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าหนึ่งชั้น 2 ขอบบน = ค่ามากสุดของอันตรภาคชั้นนั้น + ค่าน้อยสุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่าหนึ่งชั้น 2 จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น = ขอบล่าง + ขอบบน 2 ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ขอบบน - ขอบล่าง ความถี่สัมพัทธ์ = ความถี่ของอันตรภาคชั้นนั้น ความถี่ทั้งหมด ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์ = ความถี่สัมพัทธ์ X 100 ความถี่สะสมสัมพัทธ์ = ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นนั้น ความถี่ทั้งหมด ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ = ความถี่สะสมสัมพัทธ์ X 100 ตัวอย่างที่ 3 ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียน ชั้น ม.5/1 จำนวน 30 คน ผลสอบเป็นดังนี้ 11 18 15 2 9 7 12 14 10 4 14 9 20 19 14 13 2 4 15 20 9 18 14 18 10 11 6 8 11 12 จากข้อมูลนี้จงเขียนตารางแจกแจงความถี่ แนวคิด 1. กำหนดความกว้างอันตรภาคชั้นเป็น 5 ชั้น 2. กำหนดค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายที่ครอบคลุมทุกค่าของข้อมูล …………………………………………………………………………………………………………………………………..
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 10 3. คำนวนจำนวนอันตรภาคชั้น ………………………………………..……………………………………………………………………………………….. ………………………………………..……………………………………………………………………………………….. 4. สร้างตารางแจกแจงความถี่ได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น ขอบล่าง () ขอบบน () จุดกึ่งกลาง () รอยขีด ความถี่ () ความถี่สะสม () 1 - 5 รวม ตัวอย่างที่ 4 ตารางแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์ของจำนวนเงินที่นำมาใช้จ่ายเพื่อเป็นค่าอาหารกลางวันในแต่ละวัน ของนักเรียน 50 คนได้ดังนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่ สะสม ความถี่สัมพัทธ์ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ สัดส่วน ร้อยละ สัดส่วน ร้อยละ 0 ≤ < 50 2 50 ≤ < 100 22 100 ≤ < 150 17 150 ≤ < 200 8 200 ≤ < 250 1 3.2 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยแผนภาพ ในการวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ นอกจากตารางยังสามารถใช้แผนภาพนำเสนอได้ เช่น ฮิสโทแกรม แผนภาพต้นใบ แผนภาพจุด แผนภาพกล่อง และแผนภาพแสดงการกระจายข้อมูล 3.2.1 ฮิสโทแกรม ฮิสโทแกรม (Histogram) เป็นแผนภูมิแท่งที่บอกถึงความถี่ที่เกิดขึ้นในแต่ละอันตรภาคชั้น โดยแต่ละแท่งจะวาง เรียงติดกัน แกนนอนจะกำกับด้วยค่าขอบบนและขอบล่างของชั้นนั้น หรือใช้ค่ากลาง (Midpoint) แกนตั้งเป็น ค่าความถี่ในอันตรภาคชั้น ดังนั้นความสูงของแต่ละแท่งจะขึ้นอยู่กับความถี่นั่นเอง
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 11 ตัวอย่างที่ 5 ตารางแสดงความสูงของนักเรียนชั้น ม.4 จำนวน 50 คน สร้างฮิสโตแกรมแสดงความสูงของนักเรียน จากฮิสโตแกรมข้างต้น หากเราต้องการจะทำความเข้าใจรูปแบบของการกระจายของข้อมูล เราจะสร้างกราฟอีกอัน เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon) โดยการใช้เส้นตรงลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของแต่ละแท่ง ในฮิสโตแกรมรูปบน โดยจุดเริ่มต้นและจุดปลายจะสมมติให้จบลงที่อันตรภาคชั้นก่อนและหลังอีกฟากละ 1 ชั้น จะได้รูปปิดดังกราฟต่อไปนี้ ส่วนสูง(ซม.) ขอบล่าง – ขอบบน จุดกึ่งกลางชั้น จำนวนนักเรียน 130 – 139 3 140 – 149 8 150 – 159 13 160 – 169 15 170 – 179 7 180 – 189 4 รวม 50 16 14 12 10 8 6 4 2 0 ความถี่ (f) ส่วนสูง (cm.)
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 12 จากนั้นเราจะสร้างเส้นโค้งของความถี่ (Frequency Curve) โดยการปรับให้กราฟเป็นเส้นโค้งเรียบและให้พื้นที่ในรูป ปิดใหม่ใกล้เคียงกับกราฟเดิม ตัวอย่างที่ 6 จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้จงสร้างฮิสโทแกรม รูปหลายเหลี่ยมความถี่ อันตรภาคชั้น ขอบล่าง – ขอบบน ( − ) จุดกึ่งกลาง () ความถี่ () 5-9 2 10-14 7 15-19 10 20-24 8 25-29 3 รวม 30 รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ เส้นโค้งของความถี่ 3.2.2 แผนภาพจุด แผนภาพจุด (dot plot) เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้จุดหรือวงกลมเล็กๆ แทนข้อมูลแต่ละตัว เขียนเรียงเหนือ เส้นในแนวนอนที่มีสเกล แสดงตำแหน่งและค่าของข้อมูลแต่ละตัว ตัวอย่างที่ 7 จากการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก 2018 แสดงข้อมูลจำนวนเหรียญทองของประเทศที่ได้เหรียญทองจำนวน 22 ประเทศ ดังนี้ 14 14 11 9 8 7 5 5 5 5 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 สร้างตารางความถี่ได้ดังนี้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 13 3.2.3 แผนภาพลำต้นใบ (Stem-and-Leaf plot) ใช้เพื่อจัดข้อมูลเป็นกลุ่มๆ และข้อมูลทุกตัวจะถูกแสดงในแผนภาพ ไม่เพียงแค่นับรวมว่าเป็นความถี่ในอันตรภาค ชั้นเดียวกันเหมือนกับฮิสโตแกรม ตัวอย่างที่ 8 ข้อมูลแสดงน้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 42 41 40 50 58 53 52 52 60 63 61 64 จะสามารถนำมาทำแผนภาพลำต้นใบ ได้ดังนี้ คำถามแผนภาพต้นใบบอกอะไรได้บ้าง 1. นักเรียนกลุ่มนี้มีน้ำหนักต่ำสุดคือ………………….…………………………….... 2. นักเรียนกลุ่มนี้มีน้ำหนักสูงสุดคือ…………………………..…………….……….. 3. นักเรียนส่วนใหญ่มีน้ำหนักอยู่ในช่วง……………………………………………. 4. ตำแหน่งที่ 8 คือคนที่มีน้ำหนัก……………………….………………………..….. 5. ครึ่งหนึ่งของน้ำหนักของคนที่ 6 รวมกับ คนที่ 7 เท่ากับ……………………… จำนวนเหรียญทอง (เหรียญ) จำนวน ประเทศ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 เมื่อนำมาจัดเรียงใหม่ ทำให้อ่านข้อมูลได้ง่ายขึ้น จัดเรียงใหม่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 14 สาระสำคัญของการสร้างแผนภาพต้นใบ 1. เลือกเอาตัวเลขหลักที่ซ้ำมาทำเป็น “ต้น” 2. นำเลขที่เหลือ ของข้อมูลแต่ละตัว มาเขียนลงไปในช่อง “ใบ” 3. ควรเรียงลำดับจากน้อยไปมาก เพื่อให้สะดวกต่อการวิเคราะห์ ต้น ใบ 13 1 4 6 6 9 14 0 3 4 5 5 7 9 15 0 7 8 16 0 0 1 3 6 ตัวอย่างที่ 9 น้ำหนัก (คิดเป็นกิโลกรัม) ของนักเรียน 2 กลุ่ม กลุ่มละ 6 คน กลุ่มที่ 1 นักเรียนมีน้ำหนัก 34 38 36 46 48 46 กลุ่มที่ 2 นักเรียนมีน้ำหนัก 50 39 34 44 42 42 จงเขียนเป็นแผนภาพ ลำต้นใบ นักเรียนกลุ่มที่ 1 นักเรียนกลุ่มที่ 2 3 4 5 เปรียบเทียบชุดข้อมูล 2 กลุ่ม 1) นักเรียนกลุ่มที่ 1 ส่วนใหญ่มีน้ำหนักอยู่ในช่วง.................................................................................................... ในขณะที่นักเรียนกลุ่มที่ 2 ส่วนใหญ่มีน้ำหนักอยู่ในช่วง.................................................................................... 2) น้ำหนักน้อยที่สุดของกลุ่มที่ 1 และ นักเรียนกลุ่มที่ 2 เป็นอย่างไร...................................................................... 3) นักเรียนที่มีน้ำหนักมากที่สุดหนักเท่าไร…………………………………………………………………………………………………… 4) น้ำหนักรวมของกลุ่มที่ 1 และ นักเรียนกลุ่มที่ 2 เป็นอย่างไร............................................................................... 5) น้ำหนักที่มีความถี่มากที่สุดของนักเรียนกลุ่มที่ 1 คือ............................................................................................ 6) น้ำหนักที่มีความถี่มากที่สุดของนักเรียนกลุ่มที่ 2 คือ............................................................................................ 7) น้ำหนักรวมของนักเรียนคนที่ 3 และ 4 ในกลุ่มที่ 1 คือ....................................................................................... 8) น้ำหนักรวมของนักเรียนคนที่ 3 และ 4 ในกลุ่มที่ 2 คือ....................................................................................... ถ้ามีข้อมูล 2 ชุดจะเขียนแผนภาพลำต้นใบ อย่างไร
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 15 3.2.4 แผนภาพการกระจาย คือ แผนภาพที่เกิดจากการลงจุดที่แสดงค่าของตัวแปรคู่หนึ่งรูปแบบการกระจายของจุด ต่าง ๆ ที่ปรากฏในแผนภาพจะแสดงถึงรูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรนั้น จากรูปที่ 1 ตัวแปรทั้งสองมีความสัมพันธ์ในทิศทางเดียวกัน เช่น เมื่อเวลาผ่านไปนานขึ้นน้ำตาเทียนก็จะเพิ่มมากขึ้น จากรูปที่ 2 ตัวแปรทั้งสองมีทิศทางตรงกันข้าม เช่น น้ำตาเทียนเพิ่มมากขึ้นแต่เทียนไขกับสั้นลง จากรูปที่ 3 ตัวแปรทั้งสองไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ตัวอย่างที่ 10 ข้อมูลความสูง (เซนติเมตร) และน้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนที่สุ่มมาจำนวน 15 คน แสดงได้ดังนี้ ความสูง 168 152 155 149 145 154 146 160 162 152 163 157 164 141 145 น้ำหนัก 60 40 45 41 34 33 40 42 55 39 60 46 50 30 39 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูลชุดนี้ พร้อมอธิบายความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้ รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 16 3.3 ค่าวัดทางสถิติ 3.3.1 ค่ากลางของข้อมูล การวัดค่ากลางของข้อมูล คือ ตัวเลขที่เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดหนึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อหาตัวเลขตัวหนึ่ง มาเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดสะดวกต่อการจดจำ หรือง่ายต่อการสรุปเรื่องราวที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลนั้น ๆ ตลอดจน นำไปใช้ในการคำนวณหาค่าสถิติอื่น ๆ ต่อไป เนื่องจากข้อมูลมีหลายลักษณะ วิธีการที่จะหาตัวเลขมาเป็นตัวแทนของข้อมูล (หาค่ากลางของข้อมูล) มีหลายแบบ เพื่อที่จะได้ตัวแทนของข้อมูลที่ดีที่สุด และตัวเลขที่จะเป็นกลางของข้อมูลนั้น ควรจะมีลักษณะหรือ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1. เป็นค่าที่อยู่ตรงกลาง และสามารถเป็นตัวแทนของข้อมูลได้อย่างทั่วถึง 2. เข้าใจได้ง่ายและสามารถสื่อความหมายได้ดีและถูกต้องตามความเป็นจริงของข้อมูลมากที่สุด 3. สามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง และเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลที่มี ให้ 1 2 3 , , ,..., N x x x x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร เขียนแทนด้วย (อ่านว่า มิว) หาได้จาก 1 2 3 ... N x x x x N + + + + = ให้ 1 2 3 , , ,..., n x x x x แทนข้อมูล เมื่อ n แทนขนาดตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง เขียนแทนด้วย ̄(อ่านว่า เอ็กซ์บาร์) หาได้จาก 1 2 3 ... n x x x x x n + + + + = หรือ 1 n i x x n = = หมายเหตุ1. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้ได้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น เช่น สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุ รายได้ ความสูง แต่จะไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น ยี่ห้อรถยนต์ เชื้อชาติ เบอร์โทรศัพท์ 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่หาได้อาจไม่ใช่ค่าใดค่าหนึ่งของข้อมูลชุดนั้น ตัวอย่าง 11 ทีมฟุตบอลชายของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 24 คน โดยความสูง (เซนติเมตร) ของ สมาชิกแต่ ละคน แสดงได้ดังนี้ 165 178 170 168 167 167 180 175 181 164 179 158 177 163 165 172 180 191 185 176 175 183 177 179 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ (ใช้สูตรประชากร) ............................................................................................................................. .............................................................. ...........................................................................................................................................................................................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 17 ตัวอย่าง 12 โรงเรียนแห่งหนึ่งกําหนดว่านักเรียนจะได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ก็ต่อเมื่อนักเรียนได้คะแนน เฉลี่ยจาก การสอบย่อย 6 ครั้ง ไม่ต่ำกว่า 80 คะแนน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสอบย่อย 5 ครั้ง ของนักเรียนคนหนึ่งเท่ากับ 77 คะแนน จงหาว่าในการสอบย่อยครั้งที่ 6 นักเรียนคนนี้ จะต้องได้คะแนนอย่างน้อยเท่าใด จึงจะได้เกรด 4 แนวคิด ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ................................................................................................................................................ ........................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ให้ 1 2 3 , , ,..., N x x x x แทนข้อมูล เมื่อ N แทนขนาดประชากร และให้ 1 2 3 , , ,..., w w w wN แทนน้ำหนักของข้อมูล 1 2 3 , , ,..., N x x x x ตามลำดับ จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ... ... N N N x w x w x w x w w w w w + + + + = + + + + หรือเขียนอย่างย่อ ๆ 1 1 N i i i N i i x w w = = = ตัวอย่าง 13 ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้น ม. 4 เป็นดังนี้ รหัสวิชา ค31103 ค31104 ค31201 ค31202 จำนวนหน่วยกิต 1 1.5 1 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2 เกรดเฉลี่ยของวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เท่ากับเท่าใด ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ตัวอย่าง 14 บริษัทชาญยนต์มียอดขายในแต่ละไตรมาสของปี 2563 เป็นตามลำดับดังนี้ 17 21 19 23 (หน่วย : ล้านบาท) การพยากรณ์ยอดขายในไตรมาสถัดไปจะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ถ้าบริษัทถ่วงน้ำหนักข้อมูลด้วย 1, 1, 1 และ 3 ตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด ............................................................................................................................. .............................................................. ..................................................................................................................................... ...................................................... ...........................................................................................................................................................................................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 18 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม เป็นการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากข้อมูลหลายชุดที่มีการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตไว้แล้ว ซึ่งมีวิธีการหา ดังนี้ ให้ 1 2 3 , , ,..., k x x x x เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1,2,3,...,k 1 2 3 , , ,..., k n n n n เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตในข้อมูลชุดที่ 1,2,3,...,k ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (xรวม ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 ... ... n k k k k i n k k i n x n x n x n x n x n n n n n = = + + + + = = + + + + ตัวอย่าง 15 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอายุของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 , 5 และ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น 15 , 17 และ 19 ตามลำดับ และโรงเรียนแห่งนี้มีนักเรียนแต่ละชั้นเป็น 80, 70 และ 50 ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอายุของนักเรียนรวมทั้งสามชั้น ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ตัวอย่าง 16 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของพนักงานของบริษัทหนึ่งเท่ากับ 48.01 กิโลกรัม บริษัทนี้มีพนักงานชาย 43 คน และพนักงานหญิง 57 คน ถ้า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักพนักงานหญิงเท่ากับ 45 กิโลกรัม แล้วน้ำหนักของ พนักงานชายทั้งหมดรวมกันเท่ากับข้อใด ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ...................................................................................................................................................................... ..................... ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ...................................................................................................................................................................................... .....
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 19 ค่ามัธยฐาน (Median) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่ง อยู่กึ่งกลางของข้อมูล เมื่อนำข้อมูลมาจัดเรียงจากน้อยไปหามาก เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์“ Me หรือ Med ” 2.1. การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ การหามัธยฐานของข้อมูล มีลำดับขั้นตอนดังนี้ 1. เรียงข้อมูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก 2. หาตำแหน่งของมัธยฐาน ถ้าข้อมูลมีทั้งหมด n ค่าจะได้ว่า ตำแหน่งของมัธยฐาน = 1 2 n + • ถ้า n เป็นจำนวนคี่ มัธยฐานคือข้อมูลที่อยู่กึ่งกลาง • ถ้า n เป็นจำนวนคู่ มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองตัวที่อยู่กึ่งกลาง ตัวอย่างที่ 17 ยอดขายต่อเดือน (หน่วย : หมื่นบาท) ของบริษัทแห่งหนึ่งในระยะเวลา 10 เดือน เป็นดังนี้ 154 151 148 405 158 157 158 148 148 153 จงหามัธยมฐานของข้อมูลนี้ ............................................................................................................................. .............................................................. ............................................................................................................................. .............................................................. ......................................................................................................................................... .................................................. ตัวอย่างที่ 18 ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมี 40 คน นายแมทธิว สอบได้ 65 คะแนน และได้ลำดับที่ 19 นายมนัส สอบได้ 62 คะแนน และได้ลำดับที่ 20 นายมนูญ สอบได้ 60 คะแนน และได้ลำดับที่ 21 มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้เท่ากับข้อใด ......................................................................................................................................................................... .................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ตัวอย่างที่ 19 ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนหญิงจํานวน 11 คน แสดงได้ดังนี้ 164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ ............................................................................................................................. .............................................................. ........................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .............................................................. ตัวอย่างที่ 20 ระยะเวลา (นาที) ที่ใช้ในการเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนของนักเรียน 6 คน แสดงได้ดังนี้ 32 15 45 12 90 25 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ .................................................................................................................................. ......................................................... ...........................................................................................................................................................................................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 20 ฐานนิยม (Mode : Mo) ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำกันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดที่มากกว่า 1 ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น ในกรณีที่ข้อมูลมีความถี่เป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากนี้ ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยม มากกว่า 1 ค่า เช่น ในกรณีที่มีข้อมูลมากกว่า 1 ข้อมูล ที่มีความถี่สูงสุดเท่ากัน ตัวอย่างที่21 อายุ (ปี) ของนักเรียนที่มาเข้าค่ายคณิตศาสตร์ จํานวน 15 คน แสดงได้ดังนี้ 5 8 7 6 7 8 12 11 10 11 8 6 8 7 8 จงหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ แนวคิด จากข้อมูลที่กําหนดให้ จะได้ อายุ 5 ปี มีความถี่1 อายุ 6 ปี มีความถี่2 อายุ 7 ปี มีความถี่3 อายุ 8 ปี มีความถี่5 อายุ 10 ปี มีความถี่1 อายุ 11 ปี มีความถี่2 อายุ 12 ปี มีความถี่ 1 จะเห็นว่า อายุ 8 ปี มีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ 8 ปี ตัวอย่าง 22 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 2 , 3 , 4 , 8 , 7 , 9 , 1 , 5 , 10 , 6 ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ………………………….เพราะ……………………………………………….…. ตัวอย่าง 23 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 4 , 9, 2, 7 , 6 , 5 , 4, 6 , 3 , 4 ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ ………………………เพราะ……………………………………………….…. ตัวอย่าง 24 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 2 , 3 , 3 , 4 , 8 , 8 , 9 , 3 , 5 , 7 ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ ………………………..เพราะ……………………………………………….…. ตัวอย่าง 25 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 1, 2 , 2 , 4 , 4 , 5 , 5 , 3 , 6 ,7 ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ ………….…………….เพราะ……………………………………………….…. ตัวอย่าง 26 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 ฐานนิยม (Mo) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ ………………………….เพราะ……………………………………………….…. 1. จากแผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่งเป็นดังนี้ จงหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้.....................................................................................................................................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 21 ข้อสังเกตที่สําคัญเกี่ยวกับค่ากลางชนิดต่าง ๆ 1. ฐานนิยมจะมีค่าตรงกับค่าใดค่าหนึ่งของข้อมูลชุดนั้น ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน อาจไม่ใช่ค่าใดค่าหนึ่ง ของข้อมูลชุดนั้น 2. โดยปกติค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักเป็นค่ากลางที่นิยมมากที่สุด แต่ถ้าชุดข้อมูลมีข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลตัวอื่นมากจะมี ผลต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ แต่จะไม่มีผลต่อมัธยฐานและฐานนิยม 3. สําหรับข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธย ฐานได้ 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมไม่จําเป็นต้องมีค่าเท่ากัน ทั้งนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานจะมีค่าที่ไม่สูง หรือต่ำเกินไปเมื่อเทียบกับค่าของข้อมูลทั้งหมด ในขณะที่ ฐานนิยมอาจเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของชุดข้อมูลนั้นได้ สมบัติที่สำคัญของค่ากลางข้อมูล 1. 1 N i i a a N = = เมื่อ a เป็นค่าคงตัวใด ๆ 2. 1 N i x N x = = 3. 1 N i i x N x = = 4. 1 ( ) 0 N i i x x = − = 5. 2 1 ( ) N i i x x = −มีค่าน้อยสุดเมื่อ a x = หรือ 2 2 1 1 ( ) ( ) N N i i i i x x x a = = − − 6. ถ้า a เป็นมัธยฐาน แล้ว 1 N i i x a = −จะมีค่าน้อยสุด หรือ 1 1 N N i i i i x Me x a = = − − เมื่อ a R 7. min max x x x 8. ถ้า , 1,2,3,..., i i y ax b i n = + = 1) y ax b = + 2) Me a Me b y x = + 3) Mo a Mo b y x = + 9. ถ้า , 1,2,3,..., i i y x i n = 1) y x 2) Me Me y x 3) Mo Mo y x 10. ถ้าข้อมูลทุกตัวเป็นจำนวนเต็มบวก (มากกว่า 0) จะได้ว่า x G M H M . . การแบ่งลักษณะการกระจายของข้อมูลโดยใช้ความสัมพันธ์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม สามารถแบ่งได้ 3 แบบ ดังนี้ 1. ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงเป็นเส้นโค้งปกติแล้ว x Me Mo = = 2. ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงเป็นโค้งเบ้ซ้าย (ลาดทางซ้าย) จะได้ x Me Mo 3. ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงเป็นโค้งเบ้ขวา (ลาดทางขวา) จะได้ x Me Mo 4. ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงเป็นเส้นโค้งเบ้เล็กน้อย หรือ x Me Mo , , มีค่าใกล้เคียงกันแล้ว จะได้ว่า x Mo x Me − = − 3( )
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 22 การนำค่ากลางของข้อมูลไปใช้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( ) x 1. ข้อมูลแต่ละตัวมีค่าใกล้เคียงกัน 2. ถ้าข้อมูลชุดนั้นใช้ค่ากลางได้ทุกชนิด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นค่ากลางที่ดีที่สุดในบรรดาค่ากลางทั้งหมด 3. ข้อมูลเป็นแบบอันตรภาคชั้นปิด มัธยฐาน ( ) Me 1. ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่แล้วความกว้างอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน 2. ข้อมูลชุดนั้นมีค่าใดค่าหนึ่งแตกต่างจากข้อมูลตัวอื่น ๆ มาก 3. ข้อมูลนั้นมีการแจกแจงความถี่เป็นแบบอันตรภาคชั้นเปิด ฐานนิยม ( ) Mo 1. ข้อมูลชุดนั้นมีค่าใกล้เคียงกันและมีการซ้ำกันมาก ๆ 2. ข้อมูลชุดนั้นเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ ข้อสังเกตเพิ่มเติม 1. ในการคำนวณหา x จะใช้ข้อมูลทุกตัวมาทำการคำนวณ แต่การหา Me , Mo จะใช้ข้อมูลบางตัวมาใช้ คำนวณ 2. ข้อมูลแบบอันตรภาคชั้นเปิด จะไม่สามารถหาค่า x ได้แต่อาจหา หา Me , Mo ได้ 3. Me และ Mo สามารถหาได้จากกราฟ แต่ x หาจากกราฟไม่ได้ 4. ถ้าความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน อาจทำให้ค่าของ x และ Mo คลาดเคลื่อนไปจากที่ควรจะ เป็น แต่จะไม่กระทบกระเทือน ต่อการหา Me 5. ถ้าค่าสังเกต 1 ค่า ในข้อมูลมีการเปลี่ยนแปลงไป ค่าของ x ก็จะเปลี่ยนตามไปด้วย สำหรับ Me และ Mo นั้น ค่าอาจเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนแปลงก็ได้ 6. ฐานนิยมจะมีค่าตรงกับค่าใดค่าหนึ่งของข้อมูลชุดนั้น ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานอาจไม่ใช่ค่าใด ค่าหนึ่งของข้อมูลชุดนั้น 7. โดยปกติค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักเป็นค่ากลางที่นิยมมากที่สุด แต่ถ้าชุดข้อมูลมีข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลตัวอื่น มากจะมีผลต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ แต่จะไม่มีผลต่อมัธยฐานและฐานนิยม 8. สำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้นไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานได้ 9. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมไม่จำเป็นต้องมีค่าเท่ากัน ทั้งนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานจะมี ค่าที่ไม่สูงหรือต่ำเกินไปเมื่อเทียบกับค่าของข้อมูลทั้งหมดในขณะที่ฐานนิยมอาจเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของชุดข้อมูล นั้นได้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 23 ตัวอย่าง 27 กำหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งเป็น 4, 8, 10, 15, 18 แล้ว 5 2 1 ( ) i i x a = −มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับเท่าใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตัวอย่าง 28 ถ้า x แทนน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของเด็กคนที่ i เมื่อ i =1,2,3,...,150 โดย 150 1 ( 42) 2,100 i i x = − = − และ 150 1 37 i i x = −มีค่าน้อยที่สุด และเด็กที่มีน้ำหนัก 51 กิโลกรัม มีจํานวนมากที่สุด พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. น้ำหนักของเด็กข้างต้นมีการกระจายเบ้ขวา ข. 150 2 1 ( ) i i x M = −มีค่าน้อยสุดเมื่อ M = 28 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 24 3.3.2 ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล การวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล (Measures of Relative Standing) เป็นการพิจารณาตำแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่งเมื่อ เปรียบเทียบกับข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่อยู่ในชุดข้อมูลเดียวกัน 1. ควอร์ไทล์ (Quartile) แบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนเรียกว่า ควอร์ไทล์ ใช้สัญลักษณ์ Qr หมายถึง มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ r ส่วน น้อย มาก ข้อมูล Q1 Q2 Q3 ค่าที่ตรงกับจุด 3 จุด ในรูปเรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 ( Q1 ) ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q2 ) และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q3 ) ตามลำดับดังนั้นข้อมูลที่มีตำแหน่งตรงกับ Q1 คือ ข้อมูลที่มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 1 ส่วน และมีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่ามากกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 3 ส่วน เมื่อแบ่ง ข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน Q2 คือ ข้อมูลที่มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 2 ส่วน และมากกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ 2 ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน Q3 คือ ข้อมูลที่มีตัวข้อมูลอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 3 ส่วน และมากกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ 1ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน 2. เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile) แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนเรียกว่า เปอร์เซ็นไทล์ ใช้สัญลักษณ์ P r หมายถึง มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ r ส่วน น้อย มาก P1 P2 P50 P99 จุดที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนนั้นจะมี 99 จุด เรียกว่า เปอร์เซ็นไทล์ที่ 1 ( P1 ), เปอร์เซ็นไทล์ที่ 2 ( P2 ), เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ( P50 ), ………., เปอร์เซ็นไทล์ที่ 99 ( P99 ) ตามลำดับ เช่น P70 คือ ข้อมูลที่ข้อมูลตัวอื่นๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ 70 ส่วน และมากกว่าหรือเท่ากับมัน อยู่ 30 ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน การหาควอไทล์ และเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ 1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก 2. หาตำแหน่ง Qr , P r ตำแหน่ง ( 1) 4 r r N Q + = ตำแหน่ง ( 1) 100 r r N P + = 3. หา Qr , P r คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่คำนวณได้ในข้อ 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 25 3.3.3 แผนภาพกล่อง (Box-plots หรือ box-and-whisker plots) เป็นการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่แสดงตำแหน่งสำคัญของข้อมูลซึ่งประกอบด้วยค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด และควอร์ไทล์นอกจากนี้แผนภาพกล่องสามารถใช้ในการตรวจสอบว่ามีข้อมูลที่แตกต่างไปจากข้อมูลส่วนใหญ่หรือไม่ โดยจะเรียกข้อมูลดังกล่าวว่า ค่านอกเกณฑ์ นอกจากแผนภาพกล่องจะสามารถใช้ในการตรวจสอบว่าชุดข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ยังสามารถใช้ในการ อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลได้อีกด้วย การกระจายของข้อมูลจะทำให้เห็นว่าโดยภาพรวมแล้ว ข้อมูลมีการ เกาะกลุ่มกันหรือไม่ ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก แสดงว่าข้อมูลมีค่าแตกต่างกันมากหรือข้อมูลไม่เกาะกลุ่มกัน แต่ถ้า ข้อมูลมีการกระจายน้อย แสดงว่าข้อมูลมีค่าใกล้เคียงกันมากหรือข้อมูลเกาะกลุ่มกัน 1. ขั้นตอนในการสร้างแผนภาพกล่อง 1) เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของข้อมูล 2) คำนวณค่าควอไทล์ ควอร์ไทล์ (Quartile) แบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนเรียกว่า ควอร์ไทล์ ใช้สัญลักษณ์ Qr หมายถึง มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ r ส่วน น้อย มาก ข้อมูล Q1 Q2 Q3 ค่าที่ตรงกับจุด 3 จุด ในรูปเรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 ( Q1 ) ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q2 ) และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q3 ) ตามลำดับดังนั้นข้อมูลที่มีตำแหน่งตรงกับ Q1 คือ ข้อมูลที่มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 1 ส่วน และมีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่ามากกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 3 ส่วน เมื่อแบ่ง ข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน Q2 คือ ข้อมูลที่มีข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 2 ส่วน และมากกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ 2 ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน Q3 คือ ข้อมูลที่มีตัวข้อมูลอื่น ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า หรือเท่ากับมันอยู่ 3 ส่วน และมากกว่าหรือเท่ากับมันอยู่ 1ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน • คำนวณค่าควอไทล์ที่ 1 ( Q1 ) โดยกำหนดให้ค่านี้เป็นขอบล่างของกล่อง • คำนวณค่าควอไทล์ที่ 3 ( Q3 ) โดยกำหนดให้ค่านี้เป็นขอบบนของกล่อง • คำนวณค่าควอไทล์ที่ 2 ( Q2 ) แล้วลากเส้น ณ ค่านี้ ในกล่อง การหาตำแหน่ง 4 ( +1) = r N Qr
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 26 3) หาค่า 1 3 1 Q Q Q − − 1.5( ) และ 3 3 1 Q Q Q + − 1.5( ) 4) พิจารณาว่ามีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ โดยค่านอกเกณฑ์คือข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า 1 3 1 Q Q Q − − 1.5( ) หรือ ข้อมูลที่มีค่ามากกว่า 3 3 1 Q Q Q + − 1.5( ) ค่านอกเกณฑ์อาจเป็นค่าจริงที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติหรืออาจเกิดจากความคลาดเคลื่อนจากการวัดหรือการเก็บ ข้อมูล ในทางปฏิบัติอาจไม่สามารถล่วงรู้ได้ว่าค่านอกเกณฑ์ที่ได้เกิดจากการวัดหรือเก็บข้อมูลที่ผิดพลาดหรือไม่ 2. แผนภาพกล่องกับการกระจายข้อมูล 1) ค่าแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลาง พิจารณาได้จากค่า Q2 ของกล่อง 2) การกระจายของข้อมูล พิจารณาได้จากความยาวของกล่อง และความยาวของหนวด 3) ความเบ้ของข้อมูล พิจารณาได้จากตำแหน่งที่อยู่ของ Q2 ภายในกล่อง - ถ้า Q2 อยู่กึ่งกลางของกล่อง แสดงว่า ข้อมูลมีลักษณะสมมาตร - ถ้า Q2 ชิดขอบล่าง ( Q1 ) ของกล่อง แสดงว่า ข้อมูลเบ้ขวา - ถ้า Q2 ชิดขอบบน ( Q3 ) ของกล่อง แสดงว่า ข้อมูลเบ้ซ้าย ตัวอย่าง 1 คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 27 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน โดยเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แสดงได้ดังนี้ 59 60 61 63 65 66 66 66 68 69 69 70 71 72 72 75 75 75 76 79 81 88 88 89 90 92 97 จงเขียนแผนภาพกล่องเพื่อนำเสนอข้อมูลชุดนี้ แนวคิด 1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ค่าต่ำสุดของข้อมูล คือ.................... และค่าสูงสุดของข้อมูลคือ..................
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 27 2. หา Q1 , Q2 และ Q3 ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 3. หาค่า 1 3 1 Q Q Q − − 1.5( )=………………………………………………………………………………………………………. และ 3 3 1 Q Q Q + − 1.5( )=…………………………………………………..…………………………………………………. 4. มีข้อมูลที่เป็นค่านอกเกณฑ์หรือไม่เพราะอะไร………………………………………………………………………………….. 5. เขียนแผนภาพกล่อง ตัวอย่าง 2 ข้อมูลจำนวนครั้งของการทำธุรกิจ แสดงได้ดังนี้ 0 0 0 0 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 9 10 11 12 12 14 จงเขียนแผนภาพกล่องเพื่อนำเสนอข้อมูลชุดนี้ แนวคิด 1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ค่าต่ำสุดของข้อมูล คือ........................ และค่าสูงสุดของข้อมูลคือ................... 2. หา Q1 , Q2 และ Q3 ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. 3. หาค่า 1 3 1 Q Q Q − − 1.5( )=………………………………………………………………………………………………………. และ 3 3 1 Q Q Q + − 1.5( )=…………………………………………………..…………………………………………………. 4. มีข้อมูลที่เป็นค่านอกเกณฑ์หรือไม่ ถ้ามีมีค่าใดบ้าง……………………………………………………………………………….. 5. เขียนแผนภาพกล่อง 3.3.4 ค่าวัดการกระจาย การวัดการกระจายของข้อมูลแบ่งได้เป็น 2 วิธีคือ การวัดการกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์ 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่มี หน่วยเช่นเดียวกับข้อมูลหรือเป็นกำลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกัน มากหรือน้อยเพียงใด ในที่นี้จะศึกษาค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์ คือ พิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน และความแปรปรวน 1.1 พิสัย (Rang) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยคำนวณจากผลต่าง ระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของข้อมูลชุดนั้น เมื่อ max x คือ ค่าสูงสุดของข้อมูลหรือขอบบนของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุด min x คือ ค่าต่ำสุดของข้อมูลหรือขอบล่างของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด พิสัย max min = − x x
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 28 1.2 พิสัยระหว่างควอร์ไทล์คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคำนวณจาก ผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่สามและควอร์ไทล์ที่หนึ่ง เขียนแทนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ด้วย IQR 1.3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( Standard Deviation) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยเป็นค่าที่ บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลี่ยประมาณเท่าใด สูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มี ดังนี้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร 2 2 1 1 2 ( ) ; N N i i i i x x N N = = − = = − ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง 2 2 2 1 1 ( ) ; 1 1 n n i i i i x x x nx S S n n = = − − = = − − 1.4 ความแปรปรวน คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคำนวณจากกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน จะได้สูตรของความแปรปรวน ดังนี้ ความแปรปรวนของประชากร 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ; N N i i i i x x N N = = − = = − ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ; 1 1 n n i i i i x x x nx S S n n = = − − = = − − การวัดการกระจายสัมพัทธ์ คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่ไม่มีหน่วยซึ่งเป็นค่าที่ใช้ในการเปรียบเทียบการกระจาย ระหว่างข้อมูลมากกว่า 1 ชุด ในที่นี้จะศึกษาสัมประสิทธิ์การแปรผัน (coefficient of variation) สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = || เมื่อ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = |̄| เมื่อ ̄≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันอาจเขียนในรูปเปอร์เซ็นต์ได้ดังนี้ สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = || × 100 เมื่อ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = |̄| × 100 เมื่อ ̄≠ 0 3 1 IQR Q Q = −
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนสมเด็จพิทยาคม 29 ตัวอย่าง ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม วิชาละ 100 คะแนน ครูประจำชั้นได้สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องนี้มา 10 คน พบว่าคะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียนแต่ ละคนเป็นดังนี้ นักเรียนคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนสอบวิชา คณิตศาสตร์ 58 62 76 90 78 81 88 79 80 75 คะแนนสอบวิชา ภาษาอังกฤษ 78 74 63 89 76 75 85 90 73 74 ............................................................................................................................. ............................................................. .......................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ............................................................. .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................. .......................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ............................................................. .......................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ............................................................. .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................. ............................................................................................................................. ............................................................. ..........................................................................................................................................................................................