ใบความรู้ความน่าจะเป็นม.5_A4

1

ความนาจะเปน

การทดลองสุมและแซมเปล สเปซ

บทนยิ าม แซมเปลสเปซ คือ เซตทมี่ สี มาชิกเปน ผลลพั ธท ่อี าจจะเปนไปไดท้งั หมดของการทดลองสุม
ใชส ญั ลกั ษณ S แทนแซมเปลสเปซ

ตัวอยางที่ 1 จากการทดลองสุมโดยการทดลองทอดลกู เตา 2 ลูก จงหาแซมเปลสเปซ
ของแตม ของลูกเตาที่หงายขนึ้

วธิ ีทํา เนอ่ื งจากโจทยส นใจแตม ของลกู เตาท่ีหงายขึน้ ดงั นน้ั เราจะตอ งเขยี นแตมของลกู เตา ท่มี ีโอกาส
ทีจ่ ะหงายขนึ้ ทง้ั หมด

 แซมเปลสเปซของการทดลองสุม คอื
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

ตวั อยางที่ 2 โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ และลกู เตา 1 ลกู พรอมกัน จงเขียนแผนภาพตนไมแสดงผลลพั ธ
และแซมเปล สเปซ

วิธที ํา เขียนแผนภาพตน ไมไ ดดงั นี้

เหรียญบาท แตมบนลกู เตา ผลลัพธ
1 (H, 1)
H 2 (H, 2)
3 (H, 3)
4 (H, 4)
5 (H, 5)
6 (H, 6)

1 (T, 1)
2 (T, 2)
3 (T, 3)
T 4 (T, 4)
5 (T, 5)
6 (T, 6)

 S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3),
(T, 4), (T, 5), (T, 6)}

2

เหตุการณ
เหตกุ ารณ คอื สบั เซตของแซมเปลสเปซ ยูเนียนของเหตุการณประกอบดวยสมาชิกของ
เหตกุ ารณ E1 หรือของเหตุการณ E2 หรือทงั้ สองเหตกุ ารณ
1. เหตุการณ (Events)

บทนิยาม เหตกุ ารณ คือ สับเซตของแซมเปลสเปซ

ตัวอยางท่ี 1 โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครัง้ จงหา
1. เหตกุ ารณท เ่ี หรยี ญข้ึนหวั 1 เหรยี ญ และกอย 1 เหรียญ
2. เหตุการณท่เี หรียญขึ้นหัวทั้งสองเหรียญ
3. เหตุการณที่เหรยี ญขึ้นกอยอยา งนอย 1 เหรียญ
4. เหตกุ ารณท ่เี หรยี ญขึ้นกอ ยทัง้ สองเหรียญ

วิธที าํ S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่เหรยี ญข้ึนหัว 1 เหรยี ญ และกอย 1 เหรยี ญ
 E1 = {(H, T), (T, H)}
E2 แทนเหตุการณที่เหรยี ญขนึ้ หวั ท้งั สองเหรียญ
 E2 = {(H, H)}
E3 แทนเหตกุ ารณท่ีเหรียญขน้ึ กอยอยา งนอ ย 1 เหรยี ญ
 E3 = {(H, T), (T, H), (T, T)}
E4 แทนเหตุการณท ่ีเหรยี ญข้ึนกอ ยท้งั สองเหรียญ
 E4 = {(T, T)}

2. ยเู นียนของเหตุการณ

ถา E1 และ E2 เปนเหตุการณสองเหตกุ ารณแลว ยเู นยี นของเหตกุ ารณ E1 และ E2
คอื เหตกุ ารณซึง่ ประกอบดว ยสมาชกิ ของเหตุการณ E1 หรือของเหตุการณ E2 หรือทัง้ สอง
เหตกุ ารณ เขยี นแทนยูเนียนของเหตกุ ารณ E1 และ E2 ดวยสัญลักษณ E1  E2

ตัวอยา งท่ี 2 ในการจบั สลาก 1 ใบ จาก 20 ใบ หมายเลข 1 ถึง 20 เม่อื กาํ หนดให
E1 แทน เหตกุ ารณท ี่ไดส ลากเปน จํานวนท่ี 2 หารลงตัว
E2 แทน เหตกุ ารณทไ่ี ดส ลากเปนจาํ นวนที่ 3 หารลงตัว
E3 แทน เหตุการณท ีไ่ ดสลากเปน จาํ นวนเฉพาะ

จงหา (E1  E2) , (E1  E3) และ (E2  E3)
วธิ ีทํา จากการจบั สลาก 1 ใบ จาก 20 ใบ จะไดแซมเปล สเปซ ดังนี้

 S = {1, 2, 3, . . . , 20}
 E1 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

E2 = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
E3 = {2, 3, 5, 7,11, 13}

3

 (E1  E2) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} ตอบ
(E1  E3) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20}
(E2  E3) = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 18}

ตวั อยางท่ี 3 กําหนด S = {a, b, c, d, e, f, g, h}
วธิ ที ํา E1 = {a, b, c, h}
E2 = {c, d, e, f}
E3 = {a, e, g}

จงหา (E1  E2) และ (E2  E3)
จาก E1 = {a, b, c, h}

E2 = {c, d, e, f}

 (E1  E2) = {a, b, c, d, e, f, h}

(E2  E3) = {a, c, d, e, f, g}

อนิ เตอรเซกชนั ของเหตกุ ารณ (Intersection of events)

บทนิยาม ถา E1 และ E2 เปนเหตกุ ารณสองเหตุการณแลว อนิ เตอรเ ซกชันของเหตกุ ารณ E1
และ E2 คอื เหตกุ ารณทป่ี ระกอบดว ยสมาชิกทีอ่ ยูทง้ั ในเหตุการณ E1 และเหตุการณ E2
เขียนแทนอนิ เตอรเซกชันของเหตกุ ารณ E1 และ E2 ดว ยสญั ลักษณ E1  E2

จากบทนิยาม แสดงเหตุการณ E1 และ E2 ดว ยแผนภาพของเวนนไ ดด ังนี้
S

E1 E2
E1  E2 คอื สว นที่แรเงา

เหตุการณท ไี่ มเกดิ รวมกัน (Mutaully events or disjoint events)

บทนิยาม ถา E1 และ E2 เปนเหตกุ ารณสองเหตุการณ และ E1  E2 = 
แลว จะเรยี กเหตุการณ E1 และ E2 วา เหตกุ ารณทไ่ี มเกดิ รวมกนั

จากบทนยิ าม สามารถแสดงเหตุการณ E1 และ E2 ดวยแผนภาพของเวนนไดดังนี้
S

E1 E2
E1  E2 = 

4

คอมพลเี มนตข องเหตุการณ (Complement of events)

บทนิยาม ถา S เปนแซมเปลสเปซ และ E เปนเหตุการณท่ีเปนสบั เซตของ S แลว คอมพลีเมนตข องเหตุการณ E
คอื เหตกุ ารณที่ประกอบดวยสมาชิกทีอ่ ยใู นแซมเปล สเปซ S แตไ มอยใู นเหตุการณ E
เขยี นแทนคอมพลเี มนตเ หตกุ ารณ E ดว ยสญั ลกั ษณ E/

จากบทนิยาม แสดงเหตุการณ E

S

E
E/ E/ คอื สวนทีแ่ รเงา

ตัวอยางที่ 1 กาํ หนดให S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
วิธที าํ
E1 = {1, 3, 5, 7, 9}
E2 = {2, 4, 6, 8, 10}
E3 = {3, 6, 9}
จงหา E1  E2 , E1  E3 , E2  E3 , E1/ และ E3/

E1  E2 =  ซง่ึ เรียกวาเหตกุ ารณท ่ไี มเกิดรว มกัน

E1  E3 = {3, 9}

E2  E3 = {6} ตอบ
E1/ = {2, 4, 6, 8, 10}
E3/ = {1, 2, 5, 7, 8, 10}

ตัวอยางที่ 2 ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 คร้งั ถาให E1 เปนเหตกุ ารณท ไี่ ดแตม คู ,
E2 เปน เหตกุ ารณไ ดแตม คี่ และ E3 เปนเหตกุ ารณทไี่ ดแ ตมเปน
จํานวนเฉพาะ จงหา E1  E2 , E2  E3 , E2/ และ E3/

วิธที าํ ในการทอดลูกเตา 1 ลกู 1 ครงั้ จะไดแซมเปล สเปซ ดงั น้ี

 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
และ E1 = {2, 4, 6}

E2 = {1, 3, 5}
E3 = {2, 3, 5}
 E1  E2 =  ซ่งึ เรยี กวา เหตุการณท ไ่ี มเ กดิ รว มกัน
E2  E3 = {3, 5}

E2/ = {2, 4, 6}
E3/ = {1, 4, 6}

5

ความนาจะเปน ของเหตุการณ

ความนาจะเปนของเหตุการณหาไดจ ากจํานวนสมาชิกในเหตุการณนั้นหารดวยจาํ นวนสมาชิกในแซมเปล สเปซ
ความนา จะเปน เปน จํานวนท่ีบอกใหท ราบวาเหตุการณที่เราสนใจมีโอกาสเกดิ ขึ้นมากนอยเพยี งใด

บทนยิ าม ถา n (S) เปนจาํ นวนสมาชกิ ของแซมเปลสเปซ S ซง่ึ ประกอบดว ยสมาชกิ ที่มโี อกาส
เกิดขึน้ ไดเทา ๆ กนั และ n(E) เปนจาํ นวนสมาชิกของเหตุการณ E ซึ่งเปนสบั เซตของ S

แลว ความนา จะเปน ของเหตุการณ E เทา กบั n (E) ซึง่ ความนาจะเปน ของเหตุการณ E

n (S)

เขยี นแทนดวย P(E)

 P(E) = n (E)

n (S)

ตวั อยางท่ี 1 โยนลูกเตา 1 ลกู 1 ครง้ั จงหาความนาจะเปน
1.1 ทล่ี ูกเตา หงายแตม เปนจาํ นวนท่ี 3 หารลงตัว
1.2 ท่ลี กู เตาหงายแตมมากกวา 2
1.3 ที่ลกู เตา หงายแตมเปน จาํ นวนเฉพาะ

วธิ ีทํา โยนลูกเตา 1 ลกู 1 ครงั้ จะไดแซมเปล สเปซ ดังนี้

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n (S) = 6

1.1 ให E1 แทน เหตุการณท่ลี ูกเตา หงายแตมเปน จาํ นวนที่ 3 หารลงตวั
 E1 = {3, 6} , n (E1) = 2

จาก P(E) = n (E)

n (S)

แทนคา P(E1) = n (E1 ) = 2=1
n (S)
63

1.2 ให E2 แทน เหตุการณท่ลี ูกเตา หงายแตมมากกวา 2

 E2 = {3, 4, 5, 6} , n (E2) = 4

 P(E2) = n (E2 ) = 4 =2
n (S) 6
3

1.3 ให E3 แทน เหตกุ ารณท่ลี ูกเตาหงายแตมเปน จํานวนเฉพาะ

 E3 = {2, 3, 5} , n (E3) = 3

 P(E3) = n (E3 ) = 3= 1
n (S) 2
6

ตัวอยางท่ี 2 เรียงบัตร 3 ใบ คอื A C T ใหเ ปนคาํ ตา ง ๆ จงหาความนาจะเปน
ทไ่ี ดค ําท่มี คี วามหมาย

วิธที าํ เรยี งบตั ร 3 ใบ ไดด ังนี้ ACT, ATC, TCA, CTA, CAT, TAC

 n(S) = 6
ให A แทน เหตุการณท่ไี ดค าํ ท่ีมีความหมาย

 A = {CAT} , n(A) = 1  P(A) = n(A) = 1

n(S) 6

6

สมบตั ิทีส่ าํ คญั ของความนาจะเปน
1. ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ E ใด ๆ มีคาเทากับ 1

น่ันคือ 0  P(E)  1
2. ความนาจะเปนของแซมเปล สเปซ S มีคาเทากับ 1

น่ันคือ P(S) = 1
3. ความนาจะเปนของเหตุการณทีเ่ ปนเซตวา งมีคาเทากบั 0

น่นั คือ P() = 0

พจิ ารณา คอมพลเี มนตของเหตุการณ E
S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
E = {3, 9}

P(E) = 2

7

ถา ให E/ เปน คอมพลีเมนตของเหตกุ ารณ E
E/ = {1, 5, 7, 11, 13}

 P(E/) = 5 = 7 - 2 = 1 - 2 = 1 – P(E)
7 77 7

E/ เปน คอมพลเี มนตข องเหตกุ ารณ E ซงึ่ เปน สับเซตของแซมเปลสเปซ S แลว

P(E/) = 1 – P(E)
หรอื P(E) + P(E/) = 1

ตวั อยา งที่ 1 กาํ หนด S = {a, b, c, d, e, f} และ E = {a, d, f} จงหา P(E/)

วิธที าํ จาก S = {a, b, c, d, e, f} จาก P(E/) = 1 – P(E)
E = {a, d, f}

P(E) = 3 P(E/) = 1 – 1
2
6 = 1 ตอบ
2
=1

2

ตัวอยางที่ 2 ทอดลูกเตา 1 ลกู 1 ครง้ั และให E แทนเหตุการณท ่ีลูกเตาหงายแตมเปน
วิธที าํ  จํานวนคู จงหา P(E/)
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E เปน เหตุการณท่ลี ูกเตา หงายแตม เปนจาํ นวนคู

 E = {2, 4, 6}

P(E) = 3 = 1

62

จาก P(E/) = 1 – P(E)

= 1– 1 = 1 ตอบ

22

7

การหาความนา จะเปน ของเหตุการณ E1 หรือ E2 หาไดจาก

P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) เม่ือ E1  E2 = 

P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1E2) เมือ่ E1  E2  

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ E1 หรอื E2 เมือ่ E1  E2 = 
พิจารณา การโยนลกู เตา สองลูก 1 คร้งั
ถาให E1 แทน เหตุการณท่ผี ลรวมของแตม บนหนา ลูกเตาที่หงายเทากบั 5

 E1 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2)}
และ E2 แทน เหตุการณท่ีผลรวมของแตม บนหนา ลกู เตา ท่ีหงายเทากับ 10

 E2 = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

E1  E2 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}
ความนาจะเปนของเหตกุ ารณท ่ีผลรวมของแตม บนลกู เตาท่หี งายเทา กับ 5 หรือ 10

 P(E1E2) = 7 = 43 = 43 = P(E1) + P(E2)
36
36 36 36

ถา E1 และ E2 เปน เหตุการณสองเหตุการณท่ีไมเกดิ รว มกัน (E1  E2 = ) แลว
P(E1  E2) = P(E1) + P(E2)

ตัวอยา งท่ี 1 กาํ หนดให S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} , E1 = {3, 9, 15}
และ E2 = {5, 7, 11, 13} จงหา P(E1E2)

วธิ ีทํา จาก S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

E1 = {3, 9, 15} , P(E1) = 3
8

E2 = {5, 7, 11, 13} , P(E2) = 4
8

 P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) = 34 = 7
8
88

ความนาจะเปนของเหตุการณ E1 หรือ E2 เมอื่ E1  E2  

พจิ ารณา การโยนลูกเตา 1 ลกู 1 คร้ัง

ถาให E1 แทน เหตุการณท ีล่ กู เตา ขนึ้ แตม คู  E1 = {2, 4 ,6}
E2 = {2, 3, 5}
และ E2 แทน เหตกุ ารณท ่ีลูกเตา ข้ึนแตมเปน จาํ นวนเฉพาะ 

จะได E1  E2 = {2, 3, 4, 5, 6}
ความนา จะเปนของเหตุการณท ีล่ กู เตา ขน้ึ แตม คูห รือจาํ นวนเฉพาะ

 P(E1  E2) = 5= 33-1 = 3  3 - 1 = P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)

6 6 6 66

ถา E1 และ E2 เปนเหตกุ ารณส องเหตกุ ารณ โดยที่ E1  E2   แลว
P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)

8

ตัวอยา งที่ 2 โยนลูกเตา 2 ลูก 1 ครัง้ ถา E1 เปน เหตกุ ารณทีล่ ูกเตาหงายแตมรวมเปน 5
และ E2 เปน เหตุการณท ล่ี ูกเตาลกู ใดลกู หน่ึงหงายแตม 3 จงหา
ความนา จะเปนที่ผลรวมของแตมเปน 5 หรือลกู เตาลูกใดลกู หนึ่งหงายแตม 3

วิธที ํา E1 แทน เหตุการณทีล่ กู เตา หงายแตมรวมเปน 5
 E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
E2 แทน เหตกุ ารณที่ลูกเตา ลูกใดลูกหน่ึงหงายแตม 3
 E2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 3),
(6, 3)}

จาก P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)

= 4  11 - 2 = 13
36 36 36 36

P(E1) = n(E 1 ) , n(E1) = 4 , n(S) = 36
n(S)

=4

36

P(E2) = n(E 2 ) , n(E2) = 11
n(S)

= 11

36

E1  E2 = {(2, 3), (3, 2)} , n(E1  E2) = 2

P(E1  E2) = 2
36

แผนภาพตน ไมส ามารถชว ยในการหาความนา จะเปนของเหตกุ ารณได และถา เหตุการณสองเหตุการณ
เปนเหตุการณทไี่ มเ กิดรว มกันแลว ความนา จะเปน ของสองเหตกุ ารณน ีเ้ กิดขึ้นดวยกนั เทากับ 0

ตวั อยางที่ 1 ความนา จะเปน ของเหตุการณ E1 และ E2

โยนลูกเตา 2 ลูก 1 ครงั้ จงหาความนา จะเปน
1. ท่ผี ลรวมของแตม เปน 7 และลกู เตาลูกใดลกู หนึ่งหงายแตม 4
2. ทผ่ี ลรวมของแตม เปน 7 และผลรวมเปน 11

วิธีทํา 1. ให E1 แทน เหตกุ ารณที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตา ทหี่ งายเทา กบั 7

 E1 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
และให E2 แทน เหตุการณท่ีลูกเตาลูกใดลกู หนึ่งหงายแตม 4

 E2 = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2), (4 ,3)}

 E1  E2 = {(4, 3), (3, 4)}

จาก P(E1  E2) = n(E1  E2 ) = 2

n(S) 36

=1

18

 ความนาจะเปนท่ผี ลรวมของแตม เปน 7 และลูกเตา ลกู ใดลกู หนงึ่ หงายแตม 4

มีคาเทากับ 1 ตอบ

18

9

2. ถาให E3 แทน เหตุการณที่ผลรวมของแตมเปน 11

 E3 = {(6, 5), (5, 6)}

 E1  E3 =  , n(E1  E3) = 0

P(E1  E3) = n(E1  E3 )
n(S)

=0

36

=0

 ความนา จะเปน ท่ผี ลรวมของแตมเปน 7 และผลรวมเปน 11 มีคา เทากบั 0 ตอบ

สรุป ถา E1 และ E2 เปนเหตุการณสองเหตกุ ารณทไ่ี มเ กิดรวมกันแลว
P(E1  E2) = 0

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณทีเ่ ปนอิสระตอกัน

ในการทอดลกู เตา 2 ลกู 1 ครงั้

ถา E1 แทน เหตกุ ารณท่ลี ูกเตา ลูกแรกออกแตม 1
E2 แทน เหตุการณทลี่ ูกเตา ลกู ท่ี 2 ออกแตม 1

 E1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

 P(E1) = 6 1
36 6

และ E2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}

 P(E2) = 6 1
36 6

E1  E2 = {(1, 1)} P(E1  E2) = 1
36

จะเห็นวา P(E1  E2) = P(E1) . P(E2) = 1 และการเกิดเหตกุ ารณ E1 ไมมี
36

ผลตอ การเกิดเหตุการณ E2 เราเรียกเหตุการณเ ชนนีว้ า เปนเหตกุ ารณท่เี ปนอิสระตอกัน

บทนิยาม เหตกุ ารณ E1 และเหตกุ ารณ E2 เปนอสิ ระตอกนั เมือ่
P(E1  E2) = P(E1) . P(E2)

ตัวอยางที่ 2 โยนเหรียญ 2 เหรยี ญ 1 ครัง้ ให A แทน เหตกุ ารณที่เหรียญแรกออกหวั

B แทนเหตกุ ารณท่ีเหรยี ญที่ 2 ออกหวั จงหา P(A  B)
วิธที ํา S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

 A = {(H, H), (H, T)} P(A) = 2  1

42

B = {(H, H), (T, H)} P(B) = 2  1

42

แตเหตกุ ารณ A และ B เปน อสิ ระตอกนั

 P(A  B) = P(A) . P(B)

= 11 = 1 ตอบ

22 4

10

ตวั อยางที่ 3 ถุงใบหน่ึงมลี ูกบอลสีแดง 2 ลูก สดี าํ 3 ลูก สมุ หยิบลูกบอลครั้งละลกู

2 ครั้ง โดยใสล กู บอลคนื กอ นหยบิ คร้ังที่ 2 จงหาความนา จะเปน ท่ีสุม

หยบิ ไดล ูกบอลสดี ําครง้ั แรก และไดบอลสีแดงในครัง้ ที่ 2

วธิ ที าํ ให E1 แทน เหตกุ ารณท ี่หยิบคร้งั แรกไดบ อลสดี ํา
E1 = {B1, B2, B3}
S = {R1, R2, B1, B2, B3}

 P(E1) = 3
5

และ E2 แทน เหตกุ ารณท่หี ยบิ ครง้ั ที่ 2 ไดบ อลสแี ดง

 E2 = {R1, R2}

 P(E2) = 2
5

แตเหตุการณ E1 และ E2 เปนอิสระตอ กนั ตอบ
P(E1  E2) = P(E1) . P(E2)
= 32

55

=6

25