ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1

ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ

มมุ และการวัด Q
O
P

OP Q

เรยี ก OP วา่ ด้านเริ่มตน้ (initial side) ของมุม , เรยี ก OQ ว่า ดา้ นสนิ้ สุด (terminal side) ของมมุ เรยี กจดุ O

วา่ จุดยอด (Vertex) ของมุม , ถา้ วดั มุมในทิศทวนเขม็ นาฬิกา ขนาดของมมุ เป็นบวก , ถ้าวัดมมุ ในทิศตามเขม็ นาฬิกา

ขนาดของมุมเปน็ ลบ

1. หน่วยของมุม

1.1 หนว่ ยเปน็ องศา แบ่งหน่วยองศาออกเป็นหน่วยย่อย ดังน้ี

1 = 60  (ลปิ ดา)

1 = 60  (ฟลิ ิปดา)

1.2 หน่วยเปน็ เรเดยี น (radian) มมุ ท่จี ุดศนู ย์กลางของวงกลมซงึ่ รองรับด้วยเส้นโค้งของวงกลมท่ียาว

เทา่ กบั รัศมขี องวงกลมน้ัน เป็นมุมทมี่ ีขนาด 1 เรเดยี น

ra



ให้  เป็นมมุ ท่จี ุดศูนยก์ ลาง มหี นว่ ยเปน็ เรเดียน , r เปน็ รัศมีของวงกลม ,

a เป็นความยาวส่วนโคง้ ท่รี องรบั มุม  จะได้   a
r

2. ความสมั พนั ธข์ องมมุ ในหน่วยขององศาและเรเดียน พจิ ารณาวงกลมท่ีมรี ศั มยี าว r หน่วย จะมเี ส้นรอบวง

ยาว 2 r หน่วย ดังนน้ั มุมรอบจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมมีขนาด 2 r  2 เรเดียน
r
360   2 เรเดียน

180    เรเดยี น

1 เรเดยี น  180 องศา  57  18



1 องศา   เรเดียน  0.01745 เรเดียน
180

2

ข้อสังเกต
1. มุมที่มหี น่วยเปน็ เรเดยี น มักจะไมเ่ ขียนหนว่ ยกากบั ไว้
2. ถ้าต้องการเปลย่ี นองศาเป็นเรเดียน ใหค้ ณู จานวนองศาดว้ ย 

180

3. เมอื่ ต้องการเปลยี่ นเรเดียนเป็นองศา ให้คณู จานวนเรเดียนดว้ ย 180



วงกลมหนงึ่ หนว่ ย
วงกลมหน่ึงหนว่ ย (unit circle) หมายถึง วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจดุ กาเนดิ และมีรัศมียาว 1 หน่วย

ซ่ึงมสี มการเปน็ x 2  y 2  1
ขอ้ ตกลง เมือ่ กลา่ วถึงจุดปลายส่วนโคง้ ยาว  หนว่ ย เมือ่  เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ หมายถงึ จดุ ปลายของส่วน

โค้งทเี่ ริม่ วดั จากจดุ 1,0 ไปตามส่วนโคง้ ของวงกลมหนึง่ หนว่ ยไปยาว  หนว่ ย โดยคดิ ทิศทาง
ถ้าวัดส่วนโคง้ จากจุด 1,0 ในทิศทวนเข็มนาฬิกา  เปน็ บวก
ถ้าวดั ส่วนโคง้ จากจุด 1,0 ในทิศตามเข็มนาฬกิ า  เป็นลบ

Y

(x , y) 

0 (0,1) X

จาก a   r เมอ่ื r  1 จะได้ a  
นน่ั คอื คา่ ของความยาวสว่ นโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยจะเท่ากบั ขนาดของมมุ ทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางทมี่ ีหนว่ ยเปน็
เรเดียน

ฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์
นิยาม เมื่อ x , y  เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้งทย่ี าว  หนว่ ย
ฟงั กช์ ันไซน์ sine    , y | y  sin
ฟงั ก์ชนั โคไซน์ cos ine    , x | x  cos

เนื่องจาก x , y  เป็นจดุ บนวงกลมหนง่ึ หนว่ ย ซงึ่ มสี มการเป็น x 2  y 2  1
แทนคา่ x , y จะได้ cos2   sin2   1

และ  1  x  1 จะได้  1  cos  1
 1  y  1 จะได้  1  sin  1

3

ข้อสงั เกต
1. sin2  หมายถึง sin sin  และ sin 2 หมายถงึ sin ของจานวนจริง  2

2. sin อาจหมายถึง sin ของจานวนจรงิ  หรอื sin อาจหมายถึง sin ของมุม  เรเดียน

คา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนบ์ างค่าทส่ี าคญั cos 
1. เม่ือจุดปลายสว่ นโคง้ อยบู่ นแกน x หรือแกน Y 2
sin 
Y 2

 2
(0,1)
2 (0, 1)

sin (-1 , 0) 0 X
cos  

 0 3 (0,- 1) 3 2
2 360 
f   0 2 270 

cos  1  01
sin 0 2 -1 0
90  180 

0 -1
10

2. เม่อื    หรือ 30 
6

Y

  3 , 1  5   3 , 1 
2 2 6 6 2 2

0X

  3 , 1  7 11  3 ,  1 
2 2 6 6 2 2

4

  5 7 11
6 6 6 6
f   30  150  210 
330 
cos  3 3 3
2 2 2 3
sin 1 2
2 1 1 1
2 2 2

3. เมอ่ื    หรือ 45  Y
4
0
  2, 2  3   2, 2 
2 2 4 4 2 2

X

  2 , 2  5 7  2 , 2 
2 2 4 4 2 2

  3 5 7
4 4 4 4
f   45  135  225  315 

cos  2  2  2 2
2 2 2 2
sin 2
2 2 2 2
2 2
2

4. เมอ่ื    หรอื 60  Y

3

  1 , 3  2   1 , 3 
2 2 3 3 2 2

0 X

  1 , 3  4 5  1 , 3 
2 2 3 3 2 2

5

  2 4 5
3 3 3 3
f   60  120  240  300 

cos  1  1  1 1
2 2 2 2
sin 3
2 3 3 3
2 2 2

ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตอิ ืน่ ๆ

นยิ าม สาหรบั จานวนจริง  ใด ๆ

tan gent  หรอื tan   sin เมอื่ cos  0
cos  เม่อื cos  0
เมอ่ื sin  0
secant  หรือ sec  1 เมื่อ sin  0
cos  เม่อื tan   0

cos ecant  หรือ cos ec   1
sin

cot angent  หรือ cot   cos 
sin

cot   1
tan 

ค่าของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องจานวนจริงใด ๆ
ค่าของฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์หาได้จากพิกัดของจดุ ปลายส่วนโค้งยาว  หน่วยบนวงกลมหนง่ึ หนว่ ย

เคร่อื งหมายของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติจงึ เป็นดงั น้ี

ฟงั กช์ ัน จดุ ปลายสว่ นโคง้ อย่ใู นควอดรันตท์ ี่ หมายเหตุ
1234
cos  +- -+ x  cos
sin
tan  ++- - y  sin
cot 
sec +-+- tan   sin
cos ec  cos 
+-+-
cot   cos 
+- -+ sin

++- - sec  1
cos 

cos ec   1
sin

6

ข้อควรจา Y

Q2 Q1

sin , cos ec  ทุกฟังกช์ นั

เป็ นบวก เป็ นบวก

X

Q3 Q4

tan  , cot  cos , sec

เป็ นบวก เป็ นบวก

- เมอื่ จุดปลายของส่วนโค้งอยู่ในควอดรันตท์ ่ี 2      
 2 
Y



P(- x , y ) 0 P1( x , y ) X

- -

B(- 1,0) A(1,0)

จุด P เป็นจุดปลายส่วนโค้งซึง่ ยาว  หนว่ ย , จดุ P และ P1 สมมาตรกันเม่อื เทียบกับแกน Y

ทาใหส้ ่วนโค้ง AP1 = สว่ นโคง้ PB =  -  , ถา้ ให้ P1(x,y) จะได้ P( - x , y)
นั่นคือ cos  x   cos    , sin  y  sin   

ดังนัน้

sin     sin , cos ec      cos ec 

cos      cos , sec      sec

tan      tan  , cot      cot

7

- เม่อื จดุ ปลายสว่ นโค้งอยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 3     3 
 2 

Y



B 0 P1( x , y ) X
-
- A(1,0)
P(- x ,- y )

จุด P เปน็ จดุ ปลายสว่ นโคง้ ยาว  หน่วย , จุด P และ P1 สมมาตรกนั เมื่อเทียบกบั จุดกาเนดิ
ทาให้สว่ นโค้ง AP1 = สว่ นโค้ง BP =  -  , ถา้ ให้ P1(x,y) จะได้ P(- x, - y)

นน่ั คือ cos  x   cos    , sin  y   sin   
ถา้ ให้      จะได้     

ดงั นั้น

sin     sin cos ec      cos ec 

cos     cos  sec     sec

tan    tan  cot    cot 

- เม่ือจุดปลายส่วนโค้งอยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 4  3    2 
 4 

Y

 P1( x , y )
2 - 

0 A(1,0) X
2 - 

P( x , - y )

จดุ P เป็นจุดปลายส่วนโคง้ ยาว  หน่วย , จดุ P และ P1 สมมาตรกนั เมื่อเทียบกับแกน X
ทาใหส้ ่วนโคง้ AP1 = ส่วนโค้ง AP = 2  

นน่ั คอื cos  x  cos(2  ) , sin  y   sin2   

8

ดังนนั้

sin2      sin , cos ec 2      cos ec 
cos2     cos , sec2     sec
tan2      tan  , cot2      cot

- คา่ ของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของจานวนจรงิ   เมอื่   0

Y

P( x , y )



0 A(1,0) X

-

P1( x , - y )

ถา้ ส่วนโคง้ AP =  และ P มีพกิ ัด ( x , y ) จะได้ส่วนโค้ง AP1 =   และ P 1 จะมพี ิกดั (x,-y)
นัน่ คอื cos    x  cos , sin    y   sin
ดงั นัน้

sin     sin , cos ec      cos ec 
cos    cos , sec    sec
tan     tan  , cot     cot

- คา่ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ   2

Y X
P



0 A(1,0)

9

Y X
P



0 A(1,0)

ถา้ ส่วนโคง้  ยาวเปน็ 2 ไม่ว่าจะวดั ทวนเขม็ หรือตามเข็มนาฬิกาก็ตาม เราสามารถเขยี นสว่ นโคง้  ใน

รูป   2n    เม่อื 0    2 ได้เสมอ (จุดปลายสว่ นโค้ง  และ  จะเปน็ จุดเดียวกัน

ดงั นนั้

sin2n     sin , cos ec 2n     cos ec 

cos2n     cos  , sec2n     sec

tan2n     tan  , cot2n     cot 

เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ

ขอ้ สงั เกต สูตรในชดุ นี้ใชส้ าหรบั  ท่ีมีขนาดมากกวา่ 2 โดยคดั จานวนท่คี รบรอบ คือ
2 , 4 , 6 , ... หรือ  2 ,  4 ,  6 , ... ท้งิ ไป

ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตขิ องมุมของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก B

ฉาก ขา้ ม

A C
ชิด
จายอ่ วา่ sin A  ข้าม
ในสามเหลีย่ ม ABC มมี มุ C เป็นมุมฉาก ฉาก
หลักการจา
จายอ่ ว่า cos A  ชิด
sin A  ด้านตรงข้า มมมุ A
ด้านตรงข้า มมุมฉาก ฉาก

cos A  ด้านประชิด มมุ A จายอ่ วา่ tan A  ข้าม
ด้านตรงข้า มมมุ ฉาก ชิด

tan A  ด้านตรงข้า มมมุ A
ด้านประชิด มุม A

10

cot A  ด้านประชิด มมุ A จาย่อวา่ cot A  ชิด
ด้านตรงข้า มมุม A
ข้าม
sec A  ด้านตรงข้า มมุมฉาก
ด้านประชิด มุม A จายอ่ ว่า sec A  ฉาก
ชิด
cos ecA  ด้านตรงข้า มมุมฉาก
ด้านตรงข้า มมมุ A จาย่อวา่ cos ec A  ฉาก

ข้าม

กราฟของฟังก์ชันตรโี กณมิติ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติทุกฟังกช์ นั เปน็ ฟังก์ชนั ท่เี ปน็ คาบ (periodie function)

คาบ (period) หมายถงึ ความยาวช่วงส้นั ท่สี ุดที่ทาใหก้ ราฟซา้ รูปเดมิ

แอมพลิจดู (amplitude) มคี า่ เทา่ กับคร่งึ หนึ่งของคา่ สูงสุดลบด้วยคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ ันท่เี ปน็ คาบ

1. กราฟของ y  sin x Y

1

2  3   0  3 2
2  2
2 1 คาบ
2
-1

โดเมนของฟงั ก์ชัน = R

เรนจข์ องฟงั กช์ นั   1 , 1

1 คาบ  2
แอมปลิจูด  1

2. กราฟของ y  cos x

Y
1

2  3   0  3 2
2  2
2 1 คาบ
2
-1

โดเมนของฟงั ก์ชัน  R

เรนจข์ องฟังกช์ ัน   1 , 1

1 คาบ  2
แอมพลิจดู  1

11

สาหรบั ฟงั ก์ชัน y  a sinbx และ y  a cos bx เมอ่ื a , b เป็นจานวนจรงิ ทไ่ี ม่เปน็ ศูนย์

จะได้ แอมพลิจูด  a , คาบของฟังกช์ ัน  2
b

3. กราฟของ y  tan x Y

 3 0  3 X
2 2 2
 

 
2



 1 คาบ
2
โดเมนของฟังก์ชัน  x R |x  n  , n I 

 

เรนจ์ของฟังกช์ ัน  R

1 คาบ  

แอมพลจิ ดู  ไม่มี

4. กราฟของ y  cot x

Y

02 3   X

  3

22 2 2

 
2

 1 คาบ

โดเมนของฟังกช์ นั  x  R | x  n  , n  I 

เรนจข์ องฟังก์ชนั  R

1 คาบ  

แอมพลิจดู  ไม่มี

สาหรับฟังกช์ นั y  a tan bx และ y  a cot bx มีคาบของฟังกช์ ัน  
b

12

5. กราฟของ y  sec x Y

1

0 3   3 X
2 2 2 2


1

 1 คาบ
2
โดเมนของฟังกช์ นั  x R |x  n  , n I 

 

เรนจข์ องฟงั กช์ ัน   ,1 1, 

1 คาบ = 2

แอมพลิจูด  ไม่มี

6. กราฟของ y  cos ec x

Y

1

- 023    3 X
2 2 2 2 2


1

โดเมนของฟงั กช์ ัน  x  R | x  n  , n  I 

เรนจ์ของฟงั ก์ชนั   ,1 1, 

1 คาบ  2
แอมพลจิ ดู  ไมม่ ี

สาหรบั ฟังก์ชัน y  a secbx และ y  a cos ec bx มคี าบ  2
b

13

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

1. sin cos ec   1 5. cot   cos 
sin

2. cos sec  1 6. cos2   sin2   1

3. tan  cot  1 7. 1  tan2   sec2 

4. tan   sin 8. 1  cot2   cos ec 2
cos 

ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรือมุม

สตู รของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรือมมุ
ถา้ A,B เปน็ จานวนหรอื มุม ทีท่ าให้ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ติ ่อไปนม้ี คี า่ แล้ว

1. sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B
2. sin (A-B) = sin A . cos B - cos A . sin B
3. cos (A+B) = cos A . cos B - sin A. sin B
4. cos (A-B) = cos A . cos B - sin A. sin B

5. tan (A+B) = tan A  tan B

1  tan A.tan B

6. tan (A-B) = tan A  tan B

1  tan A.tan B

7. cot (A+B) = cot B.cot A 1

cot B  cot A

8. cot (A-B) = cot B.cot A 1

cot B  cot A

เอกลักษณข์ องฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ หมายถึง สมการตรีโกณมติ ิท่ีเป็นจริงเสมอ ไมว่ า่ จะแทนท่ีตัวแปลด้วย

จานวนจรงิ ใดๆ ก็ตาม โดยการแทนท่ีตวั แปลด้วยจานวนจรงิ นน้ั จะต้องทาให้แต่ละพจน์มีความหมายดว้ ย
การพสิ จู นเ์ อกลักษณ์ หมายถึง การพิสจู นใ์ ห้เหน็ จรงิ ว่า กลุ่มพจน์ทางดา้ นซา้ ยมอื และขวามือ ของ

เครือ่ งหมายเท่ากับ เท่ากันเสมอ ในทกุ ๆ ค่าตัวแปร
หลกั การในการพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์

1. ควรพสิ ูจนจ์ ากด้านทยี่ ุ่งยากไปหาดา้ นท่ีง่ายกวา่
2. ควรจะเปลีย่ นฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติทีโ่ จทย์กาหนดมาให้เป็นฟงั กช์ นั sine หรอื cosine เพ่ือทีจ่ ะทาให้การพิสูจน์
เอกลกั ษณ์ง่ายข้นึ

14

ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิกบั สามเหล่ียมในระนาบ

1. ขอ้ ตกลงเกี่ยวกบั สญั ลักษณแ์ ละความหมายของรปู สามเหลยี่ ม ABC

CC
C

ba

AB AcB
AB

จากรปู 1. A, B และ C แทนมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม ABC
2. a, b และ c แทนด้านของรูปสามเหลี่ยม ABC โดยที่ดา้ น a ตรงขา้ มมุม A ด้าน b ตรงขา้ มมุม B

และดา้ น c ตรงขา้ มมุม C

2. การแก้สมการโดยตรโี กณมติ ิ

การแกส้ ามเหล่ยี ม หมายถึงกระบวนการคานวณหาค่าทเ่ี ป็นด้านหรือมมุ ท่ยี ังไม่ทราบของรูปสามเหลี่ยมใดๆ
ในการแก้สามเหลย่ี มเราอาจจะตอ้ งอาศยั กฎดงั ต่อไปน้ี

3. กฎของไซนแ์ ละโคไซน์

กฎของไซน์ (The Law of Sine)

ในรปู สามเหล่ยี ม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เปฯ็ ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดับ แลว้ จะได้
ความสาพันธด์ ังน้ี

sin A = sin B = sin C

a bc

หรือ a = b = c
sin A sin B sin C

กฎของโคไซน์ (The Law of Cosine)

1. ในรปู สามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b และ c เปฯ็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลาดบั แลว้ จะ

ไดค้ วามสาพนั ธ์ดงั นี้
a2 = b2+ c2- 2b . c . cosA
b2 = c2 + a2 – 2c .a . cosB

2. เราอาจมองให้อยู่ในรูปแบบใหม่ได้ ดงั น้ี

=cos A b2  c2  a2

2b.a

=cos B c2  a2  c2

2c.a

cos C = a 2  b2  c2

2a.b