Matematik Tingkata 3 bab 1 indeks

RM11.80
ISBN 978-967-490-042-7

Dengan ini SAYA BERJANJI akan menjaga buku ini
RUKUN NEGARA dengan baiknya dan bertanggungjawab atas kehilangannya
serta mengembalikannya kepada pihak sekolah pada
Bahawasanya Negara Kita Malaysia tarikh yang ditetapkan
mendukung cita-cita hendak;


Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan SKIM PINJAMAN BUKU TEKS
seluruh masyarakatnya;
Sekolah ____________________________________________

Memelihara satu cara hidup demokrasi;
Tahun Tingkatan Nama Penerima Tarikh
Terima
Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;


Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;


Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;


MAKA KAMI, rakyat Malaysia, Nombor Perolehan: ________________________________

berikrar akan menumpukan Tarikh Penerimaan: ________________________________
seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tesebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut: BUKU INI TIDAK BOLEH DIJUAL


KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN DAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG

KESOPANAN DAN KESUSILAAN


(Sumber : Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH









MATEMATIK




TINGKATAN 3





Penulis
Chiu Kam Choon
Vincent De Selva A/L Santhanasamy
Punithah Krishnan
Raja Devi Raja Gopal





Editor
Premah A/P Rasamanie




Pereka Bentuk
Lim Fay Lee
Nur Syahidah Mohd Sharif



Ilustrator
Asparizal Mohamed Sudin
Mohammad Kamal B Ahmad












Pustaka Yakin Pelajar Sdn. Bhd. (10146 M)

2018

KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA





No. Siri Buku: FT083001 PENGHARGAAN

KPM2018 ISBN 978-967-490-042-7
Cetakan Pertama 2018 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
© Kementerian Pendidikan Malaysia banyak pihak. Sekalung penghargaan dan
terima kasih ditujukan kepada semua pihak
Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan yang terlibat:
dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan
semula, disimpan dalam cara yang boleh • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf Muka
dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam Surat, Bahagian Buku Teks, Kementerian
sebarang bentuk atau cara, baik dengan cara Pendidikan Malaysia.
elektronik, mekanik, penggambaran semula
mahupun dengan cara perakaman tanpa • Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan
kebenaran terlebih dahulu daripada Ketua Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
Pengarah Pelajaran Malaysia, Kementerian Kementerian Pendidikan Malaysia.
Pendidikan Malaysia. Perundingan tertakluk
kepada perkiraan royalti atau honorarium. • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Sedia

Kamera, Bahagian Buku Teks, Kementerian
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan Pendidikan Malaysia.
Malaysia oleh:
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD. • Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks
Lot 4, Lorong CJ 1/1B, dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Kawasan Perindustrian Cheras, Kementerian Pendidikan Malaysia.
43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan,
Malaysia. • Ahli panel penilaian dan peningkatan mutu.

Reka Letak dan Atur Huruf: • Bahagian Editorial dan Bahagian Produksi,
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD. terutamanya pereka bentuk dan ilustrator.
Muka taip teks: Times New Roman
Saiz taip teks: 11 poin • Semua pihak yang terlibat secara langsung
atau tidak langsung dalam menjayakan
Dicetak oleh: penerbitan buku ini.
BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)
Lot 4, Lorong CJ 1/1B, Kawasan Perindustrian
Cheras, 43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan,
Malaysia.






ii

Kandungan









Pendahuluan v



Simbol dan Rumus vii



BAB Indeks 1
1 1.1 Tatatanda Indeks 2


1.2 Hukum Indeks 6



BAB Bentuk Piawai 30

2 2.1 Angka Bererti 32
2.2 Bentuk Piawai 37



BAB Matematik Pengguna: Simpanan dan Pelaburan, Kredit dan Hutang 50
3 3.1 Simpanan dan Pelaburan 52


3.2 Pengurusan Kredit dan Hutang 73



BAB Lukisan Berskala 86

4 4.1 Lukisan Berskala 88



BAB Nisbah Trigonometri 106

5 5.1 Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga
Bersudut Tegak 108











Saiz sebenar


iii

BAB Sudut dan Tangen bagi Bulatan 128
6 6.1 Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat yang Dicangkum


oleh Suatu Lengkok 130
6.2 Sisi Empat Kitaran 144

6.3 Tangen kepada Bulatan 150

6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan 160



BAB Pelan dan Dongakan 168
7 7.1 Unjuran Ortogon 170

7.2 Pelan dan Dongakan 182



BAB Lokus dalam Dua Dimensi 198
8 8.1 Lokus 200


8.2 Lokus dalam Dua Dimensi 204



BAB Garis Lurus 224
9 9.1 Garis Lurus 226





Jawapan 252
Glosari 262

Senarai Rujukan 263
Indeks 264










Saiz sebenar


iv

Pendahuluan






Buku teks Matematik Tingkatan 3 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah
Menengah (KSSM). Buku ini terdiri daripada 9 bab yang disusun dan dirancang secara
sistematik berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik
Tingkatan 3.
Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada bahan rangsangan yang berkaitan
dengan kehidupan harian untuk merangsang pemikiran murid tentang konsep sesuatu topik.
Di samping itu, Standard Kandungan dan daftar kata turut disertakan untuk memberikan
gambaran ringkas tentang kandungan bab.


Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa seperti berikut:
Penerangan
Mengandungi standard kandungan yang akan
Apakah yang akan anda pelajari?
dipelajari dalam setiap bab.
Kegunaan ilmu bab ini termasuk bidang
Kenapa Belajar Bab Ini?
pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini.
Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul
Eksplorasi Zaman
Eksplorasi Zaman
penerokaan bab ini dalam mata pelajaran Matematik.
GERBANG KA T A Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.

Cetusan Minda Membantu murid memahami konsep asas
matematik melalui aktiviti individu, berpasangan

Kendiri Berpasangan Berkumpulan atau kumpulan.
Belajar di Luar Bilik Darjah
BULETIN Memberi maklumat tambahan yang menambahkan
info berkaitan dengan bab yang dipelajari.


Soalan untuk menguji sejauh mana kemampuan
K U I Z murid dalam memahami kemahiran tertentu dalam
setiap bab.

Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan
PERINGATAN yang perlu diketahui, kesilapan yang sering
dilakukan murid dan mengelakkan kecuaian murid.


TIP Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui.


BIJAK MINDA Mengemukakan soalan yang merangsang minda
murid untuk berfikir secara kritis dan kreatif.
Saiz sebenar

v

Penerangan
BIJAK Mendedahkan murid terhadap penggunaan alat
teknologi dalam pembelajaran matematik.

SUDUT DISKUSI Membina kemahiran berkomunikasi secara
matematik.
Membantu murid untuk mengingat kembali perkara
IMBAS KEMBALI yang telah dipelajari.


Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik
PINTAR JARI 7 4 1,234567.89 9 ÷ 6 x
8
5
AC 1 2 0 3 . - + dalam pengiraan.
Membolehkan murid menjalankan tugasan dan
P R O J E K
membentangkan hasil semasa pembelajaran.
Menguji pemahaman murid terhadap konsep yang
UJI MINDA
telah dipelajari.

Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT)
untuk menguji kemahiran murid.


Memberi kepelbagaian soalan latihan yang
Cabaran Dinamis
berunsurkan KBAR, KBAT, TIMSS dan PISA.



QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan
aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.


Merangkumi konsep penggunaan aplikasi digital,
kalkulator, hands on dan permainan yang bertujuan
JELAJAH MATEMATIK untuk memberi aktiviti tambahan kepada murid
untuk mempertingkat pemahaman murid dengan
lebih berkesan.



PETA KONSEP Rumusan keseluruhan bab yang telah dipelajari.


IMBAS KENDIRI Melihat kembali standard pembelajaran yang telah
dipelajari sama ada tercapai atau tidak.



Semak Jawapan Menyemak jawapan dengan kaedah alternatif.


S T E M Aktiviti dengan elemen Science, Technology,
Engineering and Mathemathics.

Saiz sebenar


vi

Simbol dan Rumus





SIMBOL

√ punca lebih besar daripada atau sama dengan
π pi kurang daripada
a : b nisbah a kepada b kurang daripada atau sama dengan
A × 10 bentuk piawai dengan keadaan ∆ segi tiga
n
1 A 10 dan n ialah integer ∠ sudut
= sama dengan ° darjah
≈ hampir sama dengan ' minit
≠ tidak sama dengan '' saat
lebih besar daripada


RUMUS

sin θ
a × a = a m + n tan θ = ——–
n
m
a ÷ a = a m – n kos θ
n
m
(a ) = a mn Teorem Pythagoras:
m n
a = 1
0
2
2
–n 1 c = a + b 2
a
a = — n c b b = c – a 2
2
2
1
a = a a a = c – b 2
—
√
n

n
2
2
1
1
—
a = (a ) = (a ) 2 2
m
m n
— m
—
n
n
m
a = a = ( a) Jarak dua titik = √(x – x ) + (y – y )
1
m
n
2
m
—
n
1
2
√
√


n
(
y + y
x + x
I = Prt Titik tengah = ———, ——— )
1
2
1
2
r
MV = P(1 + —) 2 2
nt
n
Jarak mencancang
A = P + Prt Kecerunan, m = ————————
sin θ = ———————– Jarak mengufuk
sisi bertentangan
y – y
hipotenus hipotenus m = ———
2
1
sisi bersebelahan sisi bertentangan x – x
kos θ = ———————– 2 1
hipotenus θ pintasan-y

sisi bertentangan m = – —————
tan θ = ———————– sisi pintasan-x
sisi bersebelahan bersebelahan
Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code ke peranti mudah alih pintar anda.
Imbas QR Code atau layari laman sesawang http://yakin-pelajar.com untuk memuat
turun fail cetusan minda. Kemudian simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan
luar talian.
Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra dan Geometer’s Sketchpad
http://yakin-pelajar.com (GSP) yang percuma untuk membuka fail yang berkenaan. Saiz sebenar
vii

BAB Indeks
BAB
1
1
















Apakah yang akan anda pelajari?



1.1 Tatatanda Indeks

1.2 Hukum Indeks




Kenapa Belajar Bab Ini?

• Penulisan suatu nombor dalam bentuk indeks
membolehkan nombor tersebut dinyatakan
dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.
Pelbagai operasi matematik yang melibatkan
nombor dalam bentuk indeks dapat dijalankan
dengan menggunakan hukum-hukum indeks.
• Konsep indeks digunakan dalam bidang sains,
kejuruteraan, perakaunan, kewangan, astronomi,
perkomputeraan dan sebagainya.


asik Kenyir yang terletak di daerah Hulu Terengganu,
TTerengganu, merupakan tasik buatan manusia yang
terbesar di Asia Tenggara. Tasik Kenyir terkenal sebagai
satu destinasi pelancongan dunia kerana keindahan alam
semula jadi yang unik. Tasik Kenyir juga merupakan
kawasan tadahan air yang penting. Empangan Kenyir
yang dibina pada tahun 1985, membekalkan air
kepada Stesen Jana Kuasa Sultan Mahmud. Anggaran
keluasan kawasan tadahan air di empangan utama
ialah 2 600 km² dengan isi padu takungan sebanyak
13 600 juta meter padu. Pada musim tengkujuh, isi padu
tadahan air akan meningkat secara mendadak. Apakah
tindakan yang harus diambil dalam situasi sebegini?

Indeks Eksplorasi Zaman
Eksplorasi Zaman

Tatatanda indeks merupakan elemen penting dalam
perkembangan dunia matematik dan pengaturcaraan
komputer. Penggunaan tatatanda bagi indeks integer
positif telah diperkenalkan oleh Rene Descartes,
seorang tokoh matematik berbangsa Perancis (1637).
Sir Issac Newton, seorang lagi tokoh matematik
berbangsa Inggeris telah memperkembangkan lagi
bidang penggunaan tatatanda indeks serta
memperkenalkan indeks negatif dan indeks pecahan.











http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%201/















GERBANG KA T A



• asas • base
• faktor • factor
• indeks • index

• indeks pecahan • fractional index
• kuasa • power
• punca kuasa • root

• tatatanda indeks • index notation



Saiz sebenar


1

1.1 Tatatanda Indeks


1
BAB Apakah itu pendaraban berulang dalam bentuk indeks? STANDARD
PEMBELAJARAN
Perkembangan bidang teknologi bukan sahaja memudahkan kebanyakan
tugas harian kita, malah turut menjimatkan kos perbelanjaan dalam Mewakilkan pendaraban
berulang dalam bentuk indeks
pelbagai bidang. Misalnya, penggunaan kad memori di dalam kamera dan menghuraikan maksudnya.
digital membolehkan pengguna menyimpan gambar dalam bilangan
yang banyak serta memadam atau mengubah suai gambar yang kurang
sesuai sebelum dicetak. SUDUT DISKUSI
Bincang nilai kapasiti
pemacu pena yang
anda tahu.

BULETIN

Penguraian nuklear bagi
uranium U–320 adalah
2
mengikut pola 3 , 3 , 3 ,…
1
0
Pada peringkat awal, kad memori dikeluarkan dengan kapasiti 4MB. Nilai kapasiti ini ditambah
mengikut peredaran zaman dan kehendak pengguna. Tahukah anda, nilai kapasiti kad memori
dihitung dalam satu bentuk khas iaitu 2 ?
n
3
3
Di Tingkatan 1, anda telah mempelajari bahawa 4 = 4 × 4 × 4. Nombor 4 ditulis dalam tatatanda
indeks iaitu 4 ialah asas dan 3 ialah indeks atau eksponen. Nombor ini dibaca sebagai ‘4 kuasa 3’.
Maka, nombor dalam tatatanda indeks atau bentuk indeks boleh ditulis sebagai;
a n Indeks
Asas

2
Anda sedia tahu bahawa 4 = 4 × 4 dan 4 = 4 × 4 × 4. Misalnya;
3
2
4 × 4 = 4 Nilai indeks ialah 2
Berulang dua kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

4 × 4 × 4 = 4 3 Nilai indeks ialah 3
Berulang tiga kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.


Contoh 1
Tulis pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks a . PERINGATAN
n
(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 2 ≠ 2 × 5 4 ≠ 4 × 3
5
3
n
1 1 1 1 1 a ≠ a × n
(c) (–2) × (–2) × (–2) (d) — × — × — × — × —
4
4
4
4
4
Saiz sebenar
(e) m × m × m × m × m × m × m (f) n × n × n × n × n × n × n × n

2

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Penyelesaian:
(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = (0.3) 4
6
1
berulang enam kali berulang empat kali
( )
1
1
1
1
1
1
3
(c) (–2) × (–2) × (–2) = (–2) (d) — × — × — × — × — = — 5 BAB
4 4 4 4 4 4
berulang tiga kali
berulang lima kali
(e) m × m × m × m × m × m × m = m 7 (f) n × n × n × n × n × n × n × n = n 8
berulang tujuh kali berulang lapan kali
Daripada penyelesaian Contoh 1, didapati bahawa nilai indeks dalam suatu bentuk indeks adalah
sama dengan bilangan kali asas didarab secara berulang. Secara generalisasi,
a = a × a × a × … × a ; a ≠ 0
n
n faktor
UJI MINDA 1.1a

1. Lengkapkan jadual di bawah dengan asas atau indeks bagi nombor atau sebutan algebra yang
diberi.

5 (– 4) 7 Asas Indeks
3
5
( )
( ) 10 m 6 3 4 — 7
1
– —
—
1
7
2
n 0 (0.2) 9 2 6
n 9
1
x 20 ( ) 2 x 4
2 —
3
2
8 8
n
2. Nyatakan pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks a .
(a) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 (b) 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5
1 1 1 1
(c) — × — × — × — (d) (–m) × (–m) × (–m) × (–m) × (–m)
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1
1
1
2
2
1
1
(e) 1— × 1— × 1— (f) – – × – – × – – × – – × – – × – –
3 3 3 n n n n n n
3. Tukarkan nombor atau sebutan algebra dalam bentuk indeks kepada pendaraban berulang.
( )
(
2
1 3
3
(a) (–3) (b) (2.5) 4 (c) — 5 (d) – 2 — )
4
3
( ) 8
1
(e) k 6 (f) (–p) 7 (g) — (h) (3n) 5
m

Saiz sebenar
3

Bagaimanakah anda boleh menukar suatu nombor kepada STANDARD
nombor dalam bentuk indeks? PEMBELAJARAN

1 Menukar suatu nombor
Suatu nombor boleh ditulis dalam bentuk indeks jika suatu asas yang kepada nombor
BAB sesuai dipilih. Anda boleh menggunakan kaedah pembahagian berulang dalam bentuk indeks
atau kaedah pendaraban berulang untuk menukar suatu nombor kepada dan sebaliknya.
nombor dalam bentuk indeks.

Contoh 2 IMBAS KEMBALI
Tuliskan 64 dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas 2, asas 4 4 × 4 × 4 = 4 3
dan asas 8.
Penyelesaian:

Kaedah Pembahagian Berulang



(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
• 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara
berulang dengan 2. berulang dengan 4. berulang dengan 8.
2 ) 64 4 ) 64
2 ) 32 n = 3 4 ) 16 n = 2 8 ) 64
2 ) 16 4 ) 4 8 ) 8
n = 6 2 ) 8 1 1

2 ) 4 Maka, 64 = 8
2
2 ) 2 Maka, 64 = 4 3
1
Pembahagian
diteruskan sehingga
mendapat nilai 1.
Maka, 64 = 2 6


Kaedah Pendaraban Berulang



(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 4 × 4 × 4 8 × 8 = 64

4 16 Maka, 64 = 8
2
8 64
16 SUDUT DISKUSI
Maka, 64 = 4 3
32 Antara kaedah
pembahagian berulang
64 dengan kaedah pendaraban
berulang, kaedah manakah
yang lebih mudah untuk
Maka, 64 = 2 6 menukar suatu nombor
Saiz sebenar kepada nombor dalam
bentuk indeks? Bincangkan.

4

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Contoh 3
32
2
Tuliskan ——– dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas —.
3 125 5 1
Penyelesaian: BAB
Kaedah Pembahagian Berulang Kaedah Pendaraban Berulang
2 2 2 2 2
2 ) 32 5 ) 3 125 — × — × — × — × —
5
5
5
5
5
2 ) 16 5 ) 625
4
n = 5 2 ) 8 n = 5 5 ) 125 —–
2 ) 4 5 ) 25 25
8
2 ) 2 5 ) 5 —–
1 1 125
16
32 ( ) 5 —–
2
625
Maka, ——– = —
5
3 125
32
——–
3 125
2
32 ( ) 5
Maka, ——– = —
3 125 5
UJI MINDA 1.1b
1. Tuliskan setiap nombor berikut dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas yang
dinyatakan dalam kurungan.
64 [ 4 ]
(a) 81 [asas 3] (b) 15 625 [asas 5] (c) —– asas —
125 5
(d) 0.00032 [asas 0.2] (e) – 16 384 [asas (– 4)] 1 [ ( )]


1
(f) — asas – —
16 4
n
Bagaimanakah anda boleh menentukan nilai bagi nombor dalam bentuk indeks, a ?
n
Nilai a boleh ditentukan dengan kaedah pendaraban berulang atau dengan menggunakan kalkulator
saintifik.
Contoh 4
Hitung nilai bagi nombor dalam bentuk indeks yang diberi. K U I Z
3
5
(a) 2 (b) (0.6) (m) = 16
4
2 × 2 × 2 × 2 × 2 0.6 × 0.6 × 0.6 Apakah nilai-nilai yang
mungkin bagi m?
4 × 2 0.36 × 0.6
8 × 2 0.216
3
16 × 2 0.6 = 0.216
32
5
Maka, 2 = 32 Maka, 0.6 = 0.216
3
Saiz sebenar
5

Contoh 5 PINTAR JARI 1,234567.89 9 ÷ PERINGATAN
7
8
AC 4 1 5 2 0 6 3 . x - +
4
(a) 5 = 625 ^ Asas bernilai negatif dan
1 5 4 =
pecahan mesti ditekan
3
BAB (b) (–7) = –343 ( (–) 7 ) ^ 3 = bersama tanda kurung
semasa menggunakan

( )

16
2
4
81
3
(c) — = —– ( 2 ab/c 3 ) ^ 4 = kalkulator untuk menentukan
nilai nombor tersebut.
( )
3
(d) 1— = —– ^
64
2
5 25 ( 1 ab/c 3 ab/c 5 ) 2 = SUDUT DISKUSI
(e) (– 0.5) = 0.015625 ( (–) 0 . 5 ) ^ 6 = Hitung soalan (c), (d)
6
dan (e) contoh 5 tanpa
menggunakan tanda
UJI MINDA 1.1c kurung. Adakah jawapan
sama? Bincangkan.
1. Hitung nilai bagi setiap nombor dalam bentuk indeks di bawah.
4
(a) 9 (b) (– 4) 5 (c) (2.5) 3 (d) (– 3.2) 3
( ) 5 ( ) 4 ( ) 2 ( 1 ) 3
1
3
2
(e) — (f) – — (g) 1 — (h) – 2 —
3
3
6
8
1.2 Hukum Indeks
Apakah kaitan antara pendaraban nombor dalam STANDARD
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan PEMBELAJARAN
pendaraban berulang? Menghubung kait
Cetusan Minda 1 pendaraban nombor
dalam bentuk indeks yang
Berpasangan mempunyai asas yang
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pendaraban nombor dalam sama dengan pendaraban
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan berulang, dan seterusnya
pendaraban berulang. membuat generalisasi.
Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
2. Bincang bersama rakan anda dan nyatakan tiga contoh lain.
3. Tampal tiga contoh tersebut di sudut matematik supaya kumpulan lain dapat memberi ulasan.
Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks
3 faktor 4 faktor 7 faktor (keseluruhan)
3
(a) 2 × 2 4
(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 7
3
2 × 2 = 2 7 7 = 3 + 4
4
2 × 2 = 2 3 + 4
3
4
2 faktor 3 faktor 5 faktor (keseluruhan)
(b) 3 × 3 3
2
(3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 5
3 × 3 = 3
3
2
Saiz sebenar 3 × 3 = 3
3
2
6

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks
(c) 5 × 5 2 4 faktor 2 faktor 6 faktor (keseluruhan) 1
4
(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 6 BAB
5 × 5 = 5
2
4
2
4
5 × 5 = 5
Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara pendaraban nombor dalam bentuk indeks
dengan pendaraban berulang?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;
4
3
2 × 2 = 2 3 + 4 SUDUT DISKUSI
2
3
3 × 3 = 3 2 + 3 Diberi,
2
4
5 × 5 = 5 4 + 2 a × a = b × b .
m
n
m
n
Adakah a = b? Bincangkan.
m
n
Secara generalisasi, a × a = a m + n
Contoh 6
Ringkaskan setiap yang berikut.
1
4
2
5
4
2
2
(a) 7 × 7 3 (b) (0.2) × (0.2) × (0.2) 5 (c) 2k × 4k 3 (d) 3m × —m × 12m
6
Penyelesaian:
2
2
(a) 7 × 7 3 (b) (0.2) × (0.2) × (0.2) 5 PERINGATAN
4
= 7 2 + 3 = (0.2) 2 + 4 + 5 1
= 7 5 = (0.2) 11 a = a
1
2
5
3
4
(c) 2k × 4k (d) 3m × —m × 12m
6
2
3
= (2 × 4)(k × k ) 1 4 5 1
Operasi = (3 × — × 12) (m × m × m )
6
= 8k 2 + 3 untuk pekali. = 6m 4 + 5 + 1 BIJAK MINDA
= 8k 5 = 6m 10 Jika m × m = m ,
b
a
8
dengan keadaan a > 0
UJI MINDA 1.2a dan b > 0, apakah
nilai-nilai yang mungkin
1. Permudahkan setiap yang berikut. bagi a dan b?
3
4
4
2

(a) 3 × 3 × 3 (b) (– 0.4) × (– 0.4) × (– 0.4)
( ) ( ) ( ) 5 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 5
4
4
2
3
4
3
(c) — × — × — (d) – 1— × – 1— × – 1—
5
5
5
7
7
7
5
4
1
(e) 4m × — m × (– 3)m 4 (f) n × — n × — n × n
3
6

2

2
3
2 25 4
12
1
25
1
4
3
5
(g) –x × — x × — x 2 (h) – — y × (– 6)y × — y 4
4 5 2 3 Saiz sebenar
7

Bagaimanakah anda boleh permudahkan nombor atau sebutan TIP
algebra dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang Kumpulkan nombor
1 berlainan? atau sebutan algebra
dengan asas yang sama
BAB Contoh 7 terlebih dahulu. Kemudian,
tambahkan indeks bagi
asas yang sama.
Ringkaskan setiap yang berikut.
2
3
3
4
2
5
5
2
(a) m × n × m × n (b) (0.3) × (0.2) × 0.3 × (0.2) × (0.3)
1
5
3
2
4
3
2
4
4
(c) p × m × p × n × m × n (d) –m × 2n × 3m × — n 2
4
Penyelesaian:
2
4
2
2
(a) m × n × m × n 5 (b) (0.3) × (0.2) × 0.3 × (0.2) × (0.3) 3
3
5
2
= m × m × n × n Kumpulkan = (0.3) × (0.3) × (0.3) × (0.2) × (0.2)
2
4
5
3
2
3
5
1
asas yang sama.
= m 3 + 4 × n 2 + 5 = (0.3) (2 + 1 + 3) × (0.2) (2 + 5)
7
7
6
7
= m × n Tambahkan indeks = (0.3) × (0.2)
bagi asas yang sama.
7 7
= m n
1
3
(c) p × m × p × n × m × n (d) –m × 2n × 3m × —n 2
4
2
5
4
4
3
2
4
4
1

2
2
3
4
3
= m × m × n × n × p × p = (–1 × 2 × 3 × —) m × m × n × n 2
4
1 5
= m 3 + 4 × n 3 + 2 × p 2 + 4 4
3
n
7 5 6
= m n p = – —m 4 + 1 5 + 2
2 PERINGATAN
3 –a ≠ (–a) n
n
5 7
= – —m n
2 Contoh:
2
–3 ≠ (–3) 2
UJI MINDA 1.2b –9 ≠ 9
1. Nyatakan dalam bentuk indeks paling ringkas.
4
3
5
2
2
3
(a) 5 × 9 × 5 × 9 (b) (0.4) × (1.2) × (0.4) × (1.2) × (1.2)
1
1
2
5
6
5 3
5
4
(c) 12x × y × — x × — y (d) –2k × p × — p × 3k
2 3 4
Apakah kaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk STANDARD
indeks yang mempunyai asas yang sama dengan pendaraban PEMBELAJARAN
berulang? Menghubung kait
Cetusan Minda 2 pembahagian nombor
dalam bentuk indeks
Berpasangan yang mempunyai asas
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembahagian nombor yang sama dengan
dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama pendaraban berulang,
dan seterusnya
dengan pendaraban berulang. membuat generalisasi.
Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
Saiz sebenar
2. Beri tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.
8

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1


Pembahagian nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks
5 faktor 1
5
(a) 4 ÷ 4 2
4 5 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 × 4 × 4 = 4 3 BAB
— = —————––––
4 2 4 × 4 3 faktor (Baki)
2 faktor
2
5
4 ÷ 4 = 4 3 3 = 5 – 2
5
2
4 ÷ 4 = 4 5–2
6 faktor
6
(b) 2 ÷ 2 2
2 6 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 4
— = —————––––—–
2
2 2 × 2 4 faktor (Baki)
2 faktor
6
2
2 ÷ 2 = 2
2 ÷ 2 = 2
2
6
5 faktor
5
(c) (–3) ÷ (–3) 3
(–3) 5 (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = (–3) × (–3) = (–3) 2
—— = —————––––—–––——––
(–3) × (–3)× (–3)
3


(–3)
3 faktor 2 faktor (Baki)
3
5
(–3) ÷ (–3) = (–3)
3
5
(–3) ÷ (–3) = (–3)
Perbincangan:
Apakah perkaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk indeks dengan pendaraban
berulang?
Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; BIJAK MINDA
5
4 ÷ 4 = 4 5 – 2 Diberi m a – b = m dan
2
7
2
2 ÷ 2 = 2 6 – 2 0 < a < 10. Jika a > b,
6
3
5
(–3) ÷ (–3) = (–3) 5 – 3 nyatakan nilai-nilai yang
mungkin bagi a dan b.
Secara generalisasi, a ÷ a = a m – n
n
m
Contoh 8
Ringkaskan setiap yang berikut.
4
2
4 3
2
(a) 5 ÷ 5 2 (b) (–3) ÷ (–3) ÷ (–3) (c) m n ÷ m n
4

5
5
(d) 25x y ÷ 5xy (e) 12m ÷ 4m ÷ m 2 (f) –16p ÷ 2p ÷ 4p 2
8
10
2 3
Penyelesaian:
(a) 5 ÷ 5 2 (b) (–3) ÷ (–3) ÷ (–3) (c) m n ÷ m n
4 3
4
2
4
2
2 1
= 5 4 – 2 = (–3) ÷ (–3) ÷ (–3) 1 = m n ÷ m n
2
4

4 3
2
= 5 = (–3) 4 – 2 – 1 = m 4 – 2 3 – 1
n
= (–3) 1 = m n
2 2
= –3 Saiz sebenar
9

10
5
2 3
2
5
8
(d) 25x y ÷ 5xy (e) 12m ÷ 4m ÷ m (f) –16p ÷ 2p ÷ 4p 2
–16
12
2 3
1 1
8


5
2
5
10
= 25x y ÷ 5x y = — (m ÷ m ÷ m ) = —– (p ÷ p ) ÷ 4p 2
1 4 2
25 2 – 1 3 – 1 10–5 2 8–5 2
y
= — x
BAB 5 1 2 Operasi untuk pekali. = 3(m 5 – 2 ) ÷ m = –8p 3 ÷ 4p

= 3m
2


= –8p ÷ 4p
= 5x y = 3m 3 8


2
3
= 5xy 2 = – — (p ÷ p )
4
3 – 2
= –2p
= –2p 1
= –2p
UJI MINDA 1.2c
1. Permudahkan setiap yang berikut.
m n
8 6
10
4
6
5
(a) 4 ÷ 4 (b) 7 ÷ 7 ÷ 7 2 (c) ——
4
m n
4 5
27x y
2
7
4
2
(d) ——–– (e) m ÷ m ÷ m 4 (f) –25h ÷ 5h ÷ h
9x y
3 2
2. Salin dan lengkapkan setiap persamaan di bawah.
4
4
3
(a) 8 ÷ 8 ÷ 8 = 8 (b) m n ÷ m 5 2
n = m n
4

3 6
10
n
m n × m 2 5 27x y × xy
y
(c) —————— = m n (d) —————– = 3x 5
2 3
7
m n x y
2 × 3 y
x
3. Jika ——— = 6, tentukan nilai x + y.
4
2 × 3 2
Apakah kaitan antara nombor dalam bentuk indeks yang STANDARD
dikuasakan dengan pendaraban berulang? PEMBELAJARAN
Menghubung kait
Cetusan Minda 3 nombor dalam bentuk
Berpasangan indeks yang dikuasakan
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara nombor dalam bentuk dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya
indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang. membuat generalisasi.
Langkah:
1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
2. Nyatakan tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.
Bentuk indeks
yang dikuasakan Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
2 4
(a) (3 ) 4 faktor
2
3 × 3 × 3 × 3 2 (3 ) = 3 2(4)
2
2
2 4
= 3 2 + 2 + 2 + 2 = 3 8
4 kali 2 ditambah 4 kali
Saiz sebenar = 3 2(4)
10

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1


Bentuk indeks
yang dikuasakan Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
1
4 3
(b) (5 ) 3 faktor BAB
4
4
5 × 5 × 5 4 (5 ) = 5
4 3
= 5 4 + 4 + 4
3 kali 4 ditambah 3 kali = 5
= 5 4(3)
6 faktor
3 6
(c) (4 )
3
4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 3 (4 ) = 4
3
3
3
3
3 6
= 4 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
6 kali 3 ditambah 6 kali = 4
= 4 3(6)
Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda tentang bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang
dalam bentuk indeks?



Kesimpulan daripada Cetusan Minda 3, boleh disemak dengan kaedah berikut.
Contoh (a) Contoh (b) Contoh (c)
3 6
3
4 3
3
3
(3 ) = 3 × 3 × 3 × 3 2 (5 ) = 5 × 5 × 5 4 (4 ) = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 3
2
2
2
4
3
2 4
4
3
= 3 2 + 2 + 2 + 2 = 5 4 + 4 + 4 = 4 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
8
= 3 = 5 12 = 4 18
3 2(4) = 3 2 × 4 5 4(3) = 5 4 × 3 4 3(6) = 4 3 × 6
= 3 8 = 5 12 = 4 18
Daripada bahagian kesimpulan Cetusan Minda 3, kita dapati bahawa;
BIJAK MINDA
2 4
(3 ) = 3 2(4)
(5 ) = 5 4(3) Diberi, m = 3 12
4 3
rt
(4 ) = 4 3(6) Apakah nilai-nilai yang
3 6
mungkin bagi m, r dan t
Secara generalisasi, (a ) = a mn jika r > t ?
m n
Contoh 9
1. Permudahkan setiap yang berikut.
4 2
3 10
(a) (3 ) (b) (h ) (c) ((–y) )
6 3
2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.
(a) (4 ) = (4 ) (b) (2 ) = (2 ) (c) (3 ) = (27 ) Saiz sebenar
2 3
3 2
3 4
2 4
2 6
2 6
11

Penyelesaian:
6 3
4 2
3 10
1. (a) (3 ) (b) (h ) (c) ((–y) )
1 = (–y) 6(3)
= 3 4(2) = h 3(10) = (–y) 18
BAB = 3 8 = h 30
3 4
2 6
2 4
3 2
2 6
2. (a) (4 ) = (4 ) (b) (2 ) = (2 ) (c) (3 ) = (27 )
2 3
kiri kanan kiri kanan kiri kanan
Kiri: Kiri: Kiri:
2 3
3 4
2 6
(4 ) = 4 2(3) = 4 6 (2 ) = 2 3(4) 12 (3 ) = 3 2(6) = 3 12
= 2
Sama Sama
Kanan: Kanan: Kanan:
2 6
2 4
3 2
(4 ) = 4 3(2) = 4 6 (2 ) = 2 2(6) 12 (27 ) = (3 3(2) 4
= 2
) Tidak
sama
3 4
3 2
2 3
2 6
Maka, (4 ) = (4 ) Maka, (2 ) = (2 ) = 3 6(4)
adalah benar. adalah benar. = 3 24
2 6
2 4
Maka, (3 ) = (27 )
adalah palsu.
UJI MINDA 1.2d
1. Gunakan hukum indeks untuk meringkaskan setiap pernyataan berikut.
3 7
5 2
2 3
10 2
(a) (12 ) (b) (3 ) (c) (7 ) (d) ((– 4) )
7 3
8 3
4 3
2 13
(e) (k ) (f) (g ) (g) ((–m) ) (h) ((–c) )
2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.
2 4
2 5
3 7
2 4
(a) (2 ) = (2 ) (b) (3 ) = (27 ) (c) (5 ) = (125 ) (d) – (7 ) = (– 49 )
4 5
2 10
2 3
2 3
Bagaimanakah anda menggunakan hukum indeks untuk operasi pendaraban dan
pembahagian?
m
(a × b )
n q
m n q
mq
m q
= (a ) × (b ) (a b ) = a b nq
n q
mq
= a × b nq
(a ÷ b ) ( ) mq
m
n q
a a
m q
—– = —–
m q
= (a ) ÷ (b ) b n b nq
n q
mq
= a ÷ b nq
Contoh 10
1. Permudahkan setiap yang berikut.
3
3
2 3
(a) (7 × 5 ) (b) (2 × 5 × 11 ) (c) (p q r) 4 (d) (5m n )
4 3 2
4 3
2 5
4
( )
2 3
2 3 3
3 4 4
2
3 4
2x
(2x y ) × (3xy )
(3m n )
(e) — 5 4 (f) ( ) (g) ———– (h) ———————
—–
10 12
7
3
2
Saiz sebenar 3 3y 6m n 36x y
12

Bab 1
Bab 1 IndeksIndeks

Penyelesaian: IMBAS KEMBALI
3
4
2 5
3
4 3
(a) (7 × 5 ) (b) (2 × 5 × 11 )
m
a × a = a m + n 1
n
= 7 3(3) × 5 4(3) = 2 4(5) × 5 3(5) × 11 2(5) a ÷ a = a m – n
n
m
m n
(a ) = a mn BAB
12
20
9
= 7 × 5 = 2 × 5 × 11 10
15
4 3 2
2 3
4
(c) (p q r) (d) (5m n ) K U I Z
n
r
2
= p 2(4) q 3(4) 1(4) = 5 m 4(2) 3(2)
m
m = 256.
= p q r = 25m n Berapakah nilai m?
8 6
8 12 4
( ) ( )
2
2x

3 4
5 4
(e) — (f) —– 7
2
3
3y
4 3(4)
5(4)
2
2 x
= —– = —––– SUDUT DISKUSI
n
3 2(4) 4 7(4) Mengapakah 1 = 1
3 y
bagi semua nilai n?
2 20 16x 12
= —– = —––– Bincangkan.
3 8 81y 28
3 4 4
2 3
2 3 3
(3m n ) (2x y ) × (3xy )
(g) ———– (h) ———————
10 12
6m n 36x y
3
4 3(4) 4(4)
3 1(3) 2(3)
2(3) 3(3)
3
3 m
n
= ———— = 2 x y × 3 x y
————————–––
10 12
3 1
6m n 36x y
3 6
6 9
12 16
27m n 16x y × 27x y
= ——— = ———————
6m n 36x y
10 12
3 1

(
9 6 – 3 n 9 – 1 16 × 27 ) 12 + 3 – 10 16 + 6 – 12
= ———– x
y

= — m
2 36
5 10
9 = 12x y
3
= — m n 8
2
UJI MINDA 1.2e
1. Ringkaskan setiap yang berikut.
6 2
4 5
5 3
3
4 2
3
3
(a) (2 × 3 ) (b) (11 × 9 ) (c) (13 ÷ 7 ) (d) (5 × 3 )
( )
)
5
2a
–3a
5 3
6
(e) (m n p ) (f) (2w x ) (g) ( ——– (h) —––
3 4 2 5
2 3 4

4

3b
4
b
2. Permudahkan setiap yang berikut.
(
)
3 × (6 )
11 × 4
6 2
((– 4) ) × (–5 )
2 3
2 3
3
(a) ——–— (b) ———— (c) ( ) 4 3 2 (d) ———————
4
3
2 2
2 3
—– ÷ —–
2
4
3
2
6
6
6
11
(– 4) × (–5)

6
2 6 3 (h k ) (m n ) (b d )
x y × x
5 7 3
2 4 3
3 2 4
(e) ———— (f) ——— (g) ———– (h) ———
2 3 2
xy 2 (hk) 2 (m n ) (b d )
2 3 2
3. Permudahkan setiap yang berikut.
3 5
(2m n ) × (3mn ) (5xy ) × 6x y 24d e × (3d e )
4 2
4 2
10
2 4 3
3 4 2
(a) ———————– (b) —————— (c) ——————––
7 12
12m n 15x y (d e ) × (6de ) Saiz sebenar
2 3
4 6
5 6


13

1
Bagaimanakah anda menentusahkan a = 1 dan a = — ; a ≠ 0? STANDARD
0
–n
a n PEMBELAJARAN
1 0
Cetusan Minda 4 Menentusahkan a = 1
BAB Berkumpulan dan a = –– ; a ≠ 0.
1
–n
n
a
Tujuan: Menentukan nilai bagi nombor atau sebutan algebra yang
mempunyai indeks sifar.
Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di bawah.
2. Bincang dalam kumpulan berkaitan hasil dapatan anda.
Pembahagian dalam Penyelesaian Kesimpulan
daripada
bentuk indeks Hukum indeks Pendaraban berulang penyelesaian

0
3
(a) 2 ÷ 2 3 2 3 – 3 = 2 0 2 × 2 × 2 2 = 1
———–– = 1
2 × 2 × 2
m × m × m × m × m
5
0
(d) m ÷ m 5 m 5 – 5 = m 0 ———————––– = 1 m = 1
m × m × m × m × m
4
(c) 5 ÷ 5 4
2
(d) (–7) ÷ (–7) 2
6
(e) n ÷ n 6

Perbincangan:
1. Adakah dapatan kumpulan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda berkaitan indeks sifar?

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;
0
2 = 1
0
m = 1
Iaitu suatu nombor atau sebutan algebra yang mempunyai indeks sifar akan memberi nilai 1.
0
Secara generalisasi, a = 1 ; a ≠ 0

–n 1
Bagaimanakah anda menentusahkan a = ––– ?
a n
Cetusan Minda 5
Berkumpulan
–n 1 .
Tujuan: Menentusahkan a = —
a n
Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di sebelah.
Saiz sebenar


14

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1


Pembahagian Penyelesaian Kesimpulan
dalam bentuk daripada 1
indeks Hukum indeks Pendaraban berulang penyelesaian
1
–2
—————–––– = –––– = ––
3
(a) 2 ÷ 2 5 2 3 – 5 = 2 –2 2 × 2 × 2 1 1 2 2 = –– BAB
2
2
2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 × 2 2
1
–3
–––——————— = ——––––– = ––
2
(b) m ÷ m 5 m 2 – 5 = m –3 m × m 1 1 3 m = –––
3
m
m × m × m × m × m m × m × m m


2 6
(c) 3 ÷ 3
(d) (– 4) ÷ (– 4) 7
3
(e) p ÷ p
4 8
Perbincangan:
1. Adakah dapatan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda?
Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa; Imbas QR Code atau layari
http://youto.be/or-mJ85J2i8
2 = — untuk menonton video
1
–2
2 2 yang memerihal kaedah
alternatif untuk
1
1
m = — menentusahkan a = —.
–1
–3
a
n
m 3
1 BULETIN
–n
Secara generalisasi, a = –– ; a ≠ 0 Indeks negatif ialah suatu
n
a

nombor atau sebutan
Contoh 11 algebra yang mempunyai
indeks bernilai negatif.
1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.
1
(a) a –2 (b) x – 4 (c) ––– TIP
8 –5 –n = ––
1
♦ a
1 3 a n
(d) ––– (e) 2m –3 (f) — n – 8 1
n
y –9 5 ♦ a = –––
a
–n


( ) ( )
( ) –10 ( ) –7 a –n b n
2
x
(g) –– (h) –– ♦ –– = ––
y
3
a
b
2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.
1 1 PERINGATAN
(a) — (b) — (c) 7 5 1
3 4 m 5 2a ≠ —–
–n
n
2a
( ) 8 ( ) 15
m
4
(d) n 20 (e) –– (f) –– BIJAK MINDA
n
5
3. Permudahkan setiap yang berikut. ( ) – 6 = x y
4
– —
4 2
(2 ) × (3 )


(4xy ) × x y
2 2
5
9
5 3
2
(a) 3 × 3 ÷ 3 (b) ————— (c) ————— Berapakah nilai x dan
8
4
8
6 2
3
(2 × 3 ) (2x y) 5 nilai y? Saiz sebenar
15

Penyelesaian:

1
1. (a) a = –– – 4 = –– (c) ––– = 8 5 1 9
1
1


–2
–9


x
8
y
1 a 2 (b) x 4 –5 (d) ––– = y

( ) ( )
( ) ( )
BAB (e) 2m = — (f) — n = —– (g) –– –10 = –– 10 (h) –– –7 = –– 7
2


2
x

y
3
3
3
– 8
–3
y
3
m 5 5n 8 3 2 x
1 1 1 1
– 4
2. (a) — = 3 (b) — = m –5 (c) 7 = — (d) n = —–
5
20
7
3 4 m 5 –5 –20
n
( ) ( ) – 8 ( ) ( ) –15
n
m
5
4
15
8
(e) –– = –– (f) –– = ––
n
m
4
5
TIP
5
(4xy ) × x y
(2 ) × (3 )
2 2
4 2
5 3
2
4
3. (a) 3 × 3 ÷ 3 (b) ————— (c) ————— y = 1
8
0
(2 × 3 )
8
3
(2x y)
6 2
5
= 3 2 + 4 – 8 8 15 2 2 4 5 1 1
4 x y × x y
2 × 3
= 3 –2 = ———– = ————— y = y
5 15 5
16
1 2 × 3 12 2 x y
= —
16
3 2 = 2 8 – 16 × 3 15 – 12 = — x 2 + 5 – 15 4 + 1 – 5
y
– 8
= 2 × 3 3 32
1
3
– 8 0
= — 3 = — x y
2 8 2
1
= —–
2x 8
UJI MINDA 1.2f
1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.
1
(a) 5 –3 (b) 8 – 4 (c) x (d) y –16 (e) —–
– 8
a – 4
1
2
(f) —–– (g) 3n – 4 (h) –5n – 6 (i) — m –5 (j) ( ) – 4


3 m
– —
20 –2 7 8
( )
( )
( )
( )
2x
1
2
3
x
(k) — –12 (l) ( ) –14 (m) — –10 (n) —– – 4 (o) — –5
– —
5 7 y 3y 2x
2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.
1
1
(a) — 1 (b) — (c) — (d) — 1 (e) 10 2
5 4 8 3 m 7 n 9
( )
4
x
(f) (– 4) 3 (g) m 12 (h) n 16 (i) — 9 (j) ( ) 10
—
7

y
3. Permudahkan setiap yang berikut.
(4 ) × 4 5 (2 × 3 ) (5 )
3
2 5
2 3
2 3
(a) ———– (b) ———–– (c) ———–––
4 5
(4 ) (2 × 3 ) (2 ) × (5 )
3 –2
6 2
4 2
3 –2
2 2 –3
(2m n ) × (3mn )
2 4 2
2 4
2 4
(4m n )
3m n × (mn )
(d) ——————– (e) ——————–––– (f) ——————–––
3
–2
3 5
5
4
9m n (9m n) 2 (2m n) × (3m n) 2
Saiz sebenaraiz sebenar
S
16
16

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Bagaimanakah anda menentu dan menyatakan hubungan STANDARD
antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa? PEMBELAJARAN

1
n
hubungan antara indeks
Hubungan antara √a dengan a — Menentu dan menyatakan 1
n
pecahan dengan punca BAB
Di Tingkatan 1, anda telah belajar tentang kuasa dua dan punca kuasa dua kuasa dan kuasa.
serta kuasa tiga dan punca kuasa tiga. Tentukan nilai x bagi
(a) x = 9 (b) x = 64 TIP
3
2
Penyelesaian: ♦ 9 = 3 2 ♦ 64 = 4 3
(a) x = 9 Punca kuasa dua (b) x = 64
2
3
digunakan untuk
3
√ x = √3 2 penghapusan kuasa dua. 3 √x = √4 3 Punca kuasa tiga
2
3
digunakan untuk
x = 3 x = 4 penghapusan kuasa tiga.
Tahukah anda, nilai bagi x dalam contoh (a) dan (b) di atas boleh ditentukan dengan indeks yang
dikuasakan dengan nilai salingannya?
3
2
(a) x = 9 Salingan bagi 2 (b) x = 64 BULETIN
1
2( —)
( —)
1
1
1
1
1
x = 9 — ialah — . Salingan bagi x 3 ( —) — merupakan salingan

2
2
= 64 3
3
2
a
1
1
x = 3 2 ( —) 3 ialah — . x = 4 3( —) untuk a.
1
1
1
3
2
3
x = 3 x = 4
Daripada dua kaedah penyelesaian bagi menentukan nilai x pada BIJAK MINDA
contoh di atas didapati bahawa;
Apakah penyelesaian
2 √ x = x 1 – 2 untuk √– 4 ? Bincangkan.
3 √ x = x 1 – 3
1
Secara generalisasi, n √ a = a ; a ≠ 0
– n
Contoh 12
1
—
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a .
n
5
2
7
3
(a) √36 (b) √–27 (c) √m (d) √n
2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a .
n
√
1
1
1
—
(a) 125 — (b) 256 — 1 8 (c) (–1 000) — (d) n 12
5
3
3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.
1
1
5
(a) √–32 (b) √729 (c) 512 — (d) (–243) —
6
3
5
Penyelesaian:
1
1
1
7
2
5
3
1. (a) √36 = 36 — 1 2 (b) √–27 = (– 27) — (c) √m = m — (d) √n = n —
3
7
5
1
1
1
1
–
—
—
—
12
8
5
3
8
2. (a) 125 = √125 (b) 256 = √256 (c) (–1 000) = √(–1 000) (d) n = √n Saiz sebenaraiz sebenar
5
3
12
S
17
17

1
1
1
1
1
1
–
—
6
5
6
3. (a) √–32 = (–32) — (b) √729 = 729 — (c) 512 = 8 3 ( –) (d) (–243) = (–3) 5 ( —)
5
3
5
3
5
1
1
1
= (–2) 5 = 3 6 = –3
1 5( —) 6 ( —) = 8 1 = (–3)
BAB = (–2) 1 = 3 1 = 8
= –2 = 3 TIP
Anda boleh
menggunakan
UJI MINDA 1.2g kalkulator saintifik untuk
menyemak jawapan.
1
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a .
– n
10
3
(a) √125 (b) √2 187 (c) √–1 024 (d) √n
5
7
n
2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk √a.
1
1
1
––
—
(a) 4 (b) 32 — (c) (–729) — (d) n 15 1
2
5
3
3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.
1
1
—
5
3
(a) √343 (b) √–7 776 (c) 262 144 (d) (–32 768) —
6
5
1
1
m
Apakah hubungan antara a — m — — m n √ m n √ m
n dengan (a ) , (a ) , a dan ( a) ?
n
n
Anda telah pelajari bahawa;
1
m n
n
1
mn
a = (a ) dan √a = a —
n
1
1
m

m —
—
— m n
m
m
n
Daripada dua hukum di atas, kita boleh menukarkan a kepada (a ) , (a ) , √a dan ( √a) .
n
n
n
Hitung nilai setiap yang berikut. Lengkapkan jadual seperti contoh (a).
1
m —
—
n
— m
√
n
a n m (a ) n 1 (a ) n √ a m ( a) m
1
1
3
3
2 —
2
— 2
3
3
(a) 64 — (64 ) ( —) (64 ) √64 2 ( √64) 2
3
1
( —)
1
3
= 4 096 3 = 4 3 (2) = √4 096 = 4 2
3
1
= 16 3( —) = 4 2 = 16 = 16
3
= 16 = 16
3
(b) 16 —
4
2
(c) 243 —
5
Adakah jawapan anda untuk contoh (b) dan (c) sama dengan menggunakan kaedah yang berlainan?
Bincangkan.
Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa;
1
m
1
m —
— m
—
a = (a ) = (a )
n
n
n
m
—
n
a = √a = ( √a) m
n
m
n
S
Saiz sebenaraiz sebenar
18
18

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Contoh 13

1
–
1
m
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk (a ) dan (a ) . 1
– n
m n
3
3
—
—
2
(a) 81 (b) 27 — (c) h BAB
5
2
3
n
n
m
2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a dan ( a) .
m
√
√
5
2
(a) 343 (b) 4 096 — (c) m 5 2
—

—
6
3
Penyelesaian:
2
3
1
1
1
3
—
=

—
—
1. (a) 81 — (81 ) (b) 27 = (27 ) — (c) h = (h ) —
3
2
2
3 2
3
5
3
5
3
1
1
3
1
2
—
—
—

—
—
81 — = (81 ) 3 27 = (27 ) 2 h = (h ) 3
5
2
3
3
2
5
2
5
2
—
—
—
3

5
6
2
2. (a) 343 = √343 (b) 4 096 = √4 096 5 (c) m = √m 2
3
6
5
5
2
2
—
—
6
3

5
343 = ( √343) 2 4 096 = ( √ 4 096) 5 m = ( √m) 2
—
6
3
5
UJI MINDA 1.2h
1. Lengkapkan jadual di bawah.
3
2
h
16
m
—
—
—
—
—
a — 729 6 5 121 2 3 w 7 3 x 5 2 ( ) — ( ) —
—
4
3
n
81
k
1
(a ) —
m n
1
—
(a ) m
n
n √ a m
m
n
( a )
√
Contoh 14
1. Hitung nilai setiap sebutan berikut.
5
5
—
—
(a) 9 (b) 16
4
2
Penyelesaian:
5
5
—
—
1. (a) 9 (b) 16
2
4
5
5
—
—
5
5

4
5
5
4
Kaedah 1 9 = (√9) = (3) = 243 Kaedah 1 16 = ( √16) = 2 = 32
2
5
5
—
—
5

4

4
5
4
Kaedah 2 9 = √9 = √59 049 = 243 Kaedah 2 16 = √16 = √1 048 576 = 32
2
S
Saiz sebenaraiz sebenar
19
19

UJI MINDA 1.2i

1
1. Hitung nilai setiap yang berikut.
BAB (a) 27 (b) 32 — (c) 128 (d) 256
2
2
3
2
—
—
—
8
5
7
3
2
4
3
—
—
(e) 64 (f) 1 024 — (g) 1 296 (h) 49 — 3 2
4
5
3
2
1
3
3
—
—
(i) 2 401 (j) 121 — (k) 2 197 (l) 10 000 —
3
2
4
4
2. Lengkapkan rajah berikut dengan nilai yang betul.
(a) (b) 3
� √6 561� 25 �
—
� 3 � 5 � 125 �
27 —
3
81 3 125 �
4
—
—
4
243 � 9 � 3 125 � 625 —
81 � � √15 625 �
Bagaimanakah anda melaksanakan operasi yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN
Hukum Indeks Melaksanakan operasi yang
1
––
m
a × a = a m + n a = 1 a = √a melibatkan hukum indeks.
0
n
n
n
m
1
1
––
— m
a ÷ a = a m – n a = — a = a m(—) = (a )
n
m
1
n
n
n
–n
m
––
n
(a ) = a mn a n a = a = ( a) m
n
m n
m
√
√
n
Contoh 15
1. Permudahkan setiap yang berikut. — — 1
3
1

—
3
3
3 – 4 2
(–3x) × (2x y )
√m n × (mn )
(2h) × (16h )
2
8
3
4
4
(a) ——————––– (b) ——————–– (c) ——————–
1
4 3
3 —
–1
108x y (m √n ) 6 1 (8 — –2
3 h)
Penyelesaian:
3
1
—

—
1
3 – 4 2
(–3x) × (2x y )
—
3
3
√m n × (mn )
2
8
3
(2h) × (16h )
4
4
(a) ——————––– (b) ——————–– (c) ——————–
4 3
3 —
–1
108x y (m √n ) 6 1 (8 — –2
1
3 h)

— 3 — ( )
1
1
1
3

— —
3 3
(–3) x × 2 x y = ——————–– 2 h × 16 — 8(—)
m n × m n
2 3(2) – 4(2)
1
1
2 2
2
4 h
3
3
4
——————–—––
=
4
— ( –)
–1( –)
3 1
1
4 3
108x y m n 2 6 = ——————–
—(–2) (–2)
1
8
h
6
3
1
—
—
3
—
1
1
1
3
6 –8
2 2
4 h
–27x × 4x y

3
4
2
= —————— m n × m n 1 2 h × 2 4(—) 8(—)
4
= ——————–
= ——————–
( –)
1
1
1
4 3
6 n
108x y m – — — 2 3 (–2) (–2)
h
4
3
(
1
1 2

1
3
1
2 2
— + — – – –
–27 × 4 ) 3 + 6 – 4 – 8 – 3 = m 1 3 ( ) — + 1 – — 2 h × 2 h
n
4

2
4
6
= ——— x y = m n — 3 2 = ————–
108
–2 –2
2 h
1
= –1 x y = mn — = 2 2 + 1 – (–2) h 2 + 2 – (–2)
3
5 –11
2
5
S x 5 = 2 h 6
Saiz sebenaraiz sebenar= – —–
y 11 = 32 h 6
20
20

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Contoh 16

1. Hitung nilai setiap yang berikut. 1
4
1
3
3
—
– —
—
—
1
1
2 2
2 × 125
49 — – — 16 × 81 (243 × 5 )
4
5
4
3
(a) ———————– (b) —————– (c) —————– BAB
1
4 √2 401 × √3 125 (2 × 3 4 — 4 √81 × √25 4
5
2 )
6
Penyelesaian:
3
1
—
– —
—
3
—
4
1
2 2
1
49 — – — 16 × 81 (243 × 5 )
2 × 125
4
4
5
3
(a) ——————— (b) —————– (c) —————
1
4 √2 401 × √3 125 (2 × 3 4 — 4 √81 × √25 4
6
5
2 )
1
1
3(– —)
1
3
—
4
3
–
7
2(—)
× 5
4 —
2
= ——————– 2 4 ( ) × 3 ( ) 243 — (2) × 5 — (2)
3
2
5
4
4
= ————––––––
= —————––
1
5 —
(7 ) × (5 ) 5 1 2 6 3 ( ) 4 — 81 × 25 —
4 —
( )
2
1
1
1 —
4
—
2 × 3
4
4
2
2
1
7 × 5 –1 2 × 3 5 — ( )

–1
3
8
= ———– = ———– 3 5 × 5 3
7 × 5 1 2 × 3 2 = ————––
1
3
2 — ( )
4 — ( )
1
4

= 7 1–1 × 5 –1 –1 = 2 3 – 3 × 3 –1 – 2 3 4 × 5 2
8
0
= 7 × 5 –2 0 –3 3 × 5 3
= ———
1
1
= 1 × — = 2 × 3 3 × 5 4
1
5 2 = 1 × — = 3 8 – 1 × 5 3 – 4
3
3
1
= — 1 = 3 × 5 –1
7
25 = —
27
3 7
= —
5
2 187
= ——–
5
2
= 437 —
5
UJI MINDA 1.2j
1. Permudahkan setiap yang berikut.
1
3 2 3 — 2 — 2 (mn ) × (√mn) 4 √25x yz × 4x z
2 3
2
2
3
√c d e × c d e 3
3
(a) ———————– (b) ——————– (c) ——————–
–3 2
2
2
5
6 3 —
(c d e) (m n ) 3 √36x yz 8

2. Hitung nilai setiap yang berikut. 1 3
—
2 —
6

4
– 4

√7
× 11
6
4
–3

(5 × 3 ) × √16
3
(2 × 3 × 5 ) 2
(a) ———— 4 (b) ———————–– (c) —————————
1
3


49 × 121 ( 125 × 729 × 64) – — 4 √256 × √729 × √125
3
1
1
—
2
6
3
9
√512 × √343 × √121
— –3
(d) ————————–––––– (e) ———————–—– (f) —————————–
4
3 × √125 × (2 × )
3
— 3
64
(2 × 3 ) × √8 × √81
2
5
1
3
4 × 27
1
3
1
4 × √625
(64) — — — 16 — — 2 4
3 × (81) × (14 641)
3
4
4
n
1
m
—
3. Diberi bahawa m = 2 dan n = –3. Hitung nilai bagi 64 × 512 (– —) ÷ 81 — .
n
3
2m
2
1
a

b
4. Diberi bahawa a = — dan b = —. Hitung nilai bagi 144 ÷ 64 × 256 — . Saiz sebenaraiz sebenar
a
S
b
2 3
21
21

Bagaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN
1 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan hukum indeks.
BAB

IMBAS KEMBALI
Contoh 17 Faktor perdana sepunya


3
—
Hitung nilai bagi √3 × 12 ÷ 6 tanpa menggunakan kalkulator. 6 dan 12 ialah 2 dan 3.
2
Memahami masalah Merancang strategi Melaksanakan strategi

3
Menghitung nilai bagi Tukar setiap asas kepada √3 × 12 ÷ 6
—
2
nombor dalam bentuk faktor perdana dan hitung = 3 × (2 × 2 × 3) ÷ (2 × 3)
3
1
—
—
2
2
indeks yang diberi dalam nilai dengan mengaplikasi — — — —
1
3
3
3
1
1
2
2
2
2
asas yang berlainan. hukum indeks. = 3 × 2 × 2 × 3 ÷ (2 × 3 )
3
1
3
3
— + — – 1
— + — – 1
= 3 × 2
2
2
2
2
= 3 × 2 2
1
Membuat kesimpulan = 12
3
2
—
√3 × 12 ÷ 6 = 12
PERINGATAN
Contoh 18 ♦ Jika a = a
n
m
maka, m = n
x
Hitung nilai x bagi persamaan 3 × 9 x + 5 ÷ 3 = 1. ♦ Jika a = b m
4
m
maka, a = b
Memahami masalah Merancang strategi
Semak Jawapan
Menghitung nilai Soalan ini merupakan satu
bagi pemboleh ubah persamaan. Maka, nilai di kiri Anda boleh semak
x yang merupakan persamaan akan sama dengan jawapan dengan
sebahagian daripada nilai di kanan persamaan. menggantikan nilai x ke
indeks. Tukarkan semua sebutan dalam persamaan asal.
x
4
kepada bentuk indeks dengan 3 × 9 x + 5 ÷ 3 = 1
asas 3. Kiri Kanan
Gantikan x = –2
pada bahagian kiri
persamaan
Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan 3 × 9 –2 + 5 ÷ 3 4
–2
x
4
3 × 9 x + 5 ÷ 3 = 1 3x + 6 = 0 Jika 3 × 9 x + 5 ÷ 3 = 1, = 3 × 9 ÷ 3
4
x
–2 3 4
x
4
3 × 3 2(x + 5) ÷ 3 = 3 0 3x = – 6 maka, x = –2 = 3 × 3 2(3) ÷ 3 4
–2
– 6
3 = 3 0 x = —– = 3 –2 + 6 – 4
x + 2(x + 5) – 4
3 x + 2x + 10 – 4 = 3 0 3 = 3 0 Nilai yang
3 3x + 6 = 3 0 x = –2 = 1 sama dengan
S
Saiz sebenaraiz sebenar a = a n bahagian kanan
m
persamaan.
m = n
22
22

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

Contoh 19 Semak Jawapan

x 2
15
Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi persamaan 3 × 3 = 3 . Gantikan nilai-nilai x ke 1
2x
dalam persamaan asal.
Memahami Merancang Melaksanakan strategi 3 × 3 = 3 15 BAB
x 2
2x
masalah strategi Kiri Kanan
m
n
x 2
3 × 3 = 3 15 Jika a = a ,
2x
Menghitung Semua asas 3 x 2 + 2x = 3 15 maka, m = n. Gantikan x = 3
nilai x yang yang terlibat 2 Selesaikan Kiri: Kanan:
merupakan dalam x + 2x = 15 persamaan 3 (3) 2 × 3 2(3) 3 15
kuadratik
2
sebahagian persamaan x + 2x – 15 = 0 dengan kaedah = 3 × 3 6
9
daripada adalah sama. (x – 3)(x + 5) = 0 pemfaktoran. = 3 9 + 6
indeks. x – 3 = 0 atau x + 5 = 0 = 3 15 Sama
x = 0 + 3 x = 0 – 5 Gantikan x = –5
Membuat kesimpulan x = 3 x = –5 Kiri: Kanan:
Nilai-nilai x yang mungkin 3 (–5) 2 × 3 2(–5) 3 15
25
2
x
2x
bagi persamaan 3 × 3 = 3 15 = 3 × 3 –10
ialah 3 dan –5. = 3 25 + (–10)
= 3 15 Sama
IMBAS KEMBALI
Contoh 20
Selesaikan persamaan serentak berikut. Persamaan linear
serentak dalam dua
1
m
m
n
25 × 5 = 5 dan 2 × — = 2 pemboleh ubah boleh
8
diselesaikan dengan
2 n kaedah peggantian atau
Penyelesaian: 1 kaedah penghapusan.
m
m
n
25 × 5 = 5 8 2 × — = 2
n
2

n
5 2(m) × 5 = 5 8 Semak Jawapan
–n
m
5 2m + n = 5 8 2 × 2 = 2 1 Gantikan m = 3 dan n = 2
m + (–n)
2m + n = 8 1 2 = 2 1 ke dalam persamaan
serentak yang asal.
m – n = 1 2
25 × 5 = 5 8
n
m
Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian. Kiri Kanan
Daripada : Kiri: n Kanan:
1
8
m
2m + n = 8 25 × 5 × 5 n 5
2(m)
= 5
2(3)
n = 8 – 2m 3 = 5 × 5 2
= 5 6 + 2
Gantikan 3 ke dalam 2 Gantikan m = 3 ke dalam 1 = 5 8 Sama
1
m – n = 1 2m + n = 8 2 × — = 2
m
n
2

m – (8 – 2m) = 1 2(3) + n = 8 Anda juga Kiri Kanan
boleh gantikan
m – 8 + 2m = 1 6 + n = 8 m = 3 ke dalam Kiri: Kanan:
m + 2m = 1 + 8 n = 8 – 6 persamaan 2 1 2
m
2 × —
atau 3 .
3m = 9 n = 2 2 n
1
3
9 = 2 × — 2
2
m = — Maka, m = 3 dan n = 2.
3 = 2 × 2 –2
3
= 2
3 + (–2)
m = 3 = 2 1 Saiz sebenaraiz sebenar
S
= 2 Sama
23
23

Contoh 21


1
BAB Persamaan
saya ialah
y
x
3(9 ) = 27 .
Saya dapat persamaan
16(4 ) = 16 .
x
y
Nilai pemboleh ubah x dan
y boleh ditentukan jika anda
dapat menyelesaikan kedua-dua
persamaan tersebut.

Chong dan Navin menjalankan dua uji kaji untuk menentukan hubungan antara pemboleh ubah
y
x
x dan y. Persamaan yang diperoleh oleh Chong ialah 16(4 ) = 16 , sementara Navin mendapat
x
y
3(9 ) = 27 sebagai dapatan uji kaji yang dijalankan. Hitung nilai x dan nilai y yang dapat memuaskan
kedua-dua uji kaji yang telah dijalankan oleh Chong dan Navin.
Penyelesaian:
x
16(4 ) = 16 y 3(9 ) = 27 y
x
4 (4 ) = 4 2(y) 3(3 ) = 3 3(y) Anda juga boleh
2x
x
2
gantikan y = 3
2 + x
4 = 4 2y 3 1 + 2x = 3 3y dalam persamaan 2
2 + x = 2y 1 1 + 2x = 3y 2 atau 3 .
Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan dengan Gantikan y = 3 dalam persamaan 1
kaedah penghapusan.
Darabkan persamaan 1 1 : 2 + x = 2y
dengan 2 untuk 2 + x = 2(3)
1 × 2 : 4 + 2x = 4y 3 menyamakan nilai pekali x = 6 – 2
2 : 1 + 2x = 3y pemboleh ubah x. x = 4
3 – 2 :
3 + 0 = y Maka, x = 4, y = 3
y = 3

Cabaran Dinamis

Uji Diri
1. Nyatakan sama ada operasi yang melibatkan hukum indeks berikut benar atau palsu. Jika
palsu, nyatakan jawapan yang betul.
2
0
(a) a = a × a × a × a × a (b) 5 = 10 (c) 3 = 0
5
1
0 0
– 4
3 5
(d) (2x ) = 2x 15 (e) m n = 1 (f) 2a = —–
2a
4
( ) ( )
— – 4 625
Saiz sebenaraiz sebenar — 2 5 (h) — – 4 = — 4 (i) (5m ) = —–
m
n
S
1
2
(g) 32 = ( √32)

5
4
m
n
m
24
24

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

2. Salin dan lengkapkan rajah di bawah dengan nilai yang sesuai.


1
□
5 × 5 5 5 3(□)
BAB
( ) 3 5 ÷ 5 □
1
—
12
□
5
1
— 5 9 □
5 □ (√25)





1
6
5 × 5 □ ( ) □
——––
—
5 2 5
□ —
□
(5 ) 2 3 ( √125) □

3. Salin dan lengkapkan rajah di bawah.

3
Operasi yang 1 ( ) –2
melibatkan –— — –1 3
2 –3
hukum indeks 2 0 as 3 – 4 as 5 as 7 × 5 as (5 × √25)
Nilai
Mahir Diri

1. Ringkaskan setiap yang berikut.
1
2
3
4
4 5
6
4 3
(a) (mn ) ÷ m n (b) 3x × — y × (xy) 3 (c) √xy × √xy × √xy 5
6
2. Hitung nilai setiap yang berikut.
1
3
—
— –3
—
–1
–3
(a) 64 × 5 (b) 7 × 125 3 2 (c) (256) × 2
3
8
1
3
2
3
÷(625)
—
4
–2
(d) 2 × 16 – — (e) √49 × 3 ÷ (√81) (f) (125) ×(25) – — – —
–1
2
3
4
4
3. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.
x 8
6
x
– 4
(a) 2 ÷ 2 = 8 (b) 3 × 81 = 3 x (c) a a = 1
10
2
5
x 2
x
(d) 4 × 8 x + 1 = 2 2x (e) (a ) × a = a 3x (f) 2 = —–
16 x
1
2 x
x
6
(g) 3 ÷ 3 = 81 (x – 1) (h) (m ) × m (x + 1) = m –2 (i) 25 ÷ 125 = —
x
5 x
S
Saiz sebenaraiz sebenar
25
25

Masteri Kendiri


1. Hitung nilai setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.
1
1
—
—
—
3
5
—
—
1
2
5
—
BAB (a) 4 × 50 × 10 — (b) 5 × 20 ÷ 10 –2 (c) 60 × 125 ÷ √15
2
2
3
3
2
2
3
3
2. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.

1
2
2
1
—
5
5 —
27 – —
—
(a) 64x = 27x – — (b) 3x = — x 4 3 (c) 25x – — – — x = 0
3
3
3
2
2
4 3
3. Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi setiap persamaan berikut.
2
2
2
x
3x
6x
x
7
5x
x
(a) a ÷ a = a (b) 2 × 2 = 2 (c) 5 ÷ 5 = 625
6
4. Selesaikan persamaan serentak berikut.
(a) 81 (x + 1) × 9 = 3 dan 8 × 4(2 ) = 128 (b) 4(4 ) = 8 y + 2 dan 9 × 27 = 1
x
x
5
y
2y
x
2x
5. Dalam satu eksperimen yang dijalankan oleh Susan,
didapati suhu sejenis logam meningkat daripada 25˚C
m
kepada T˚C mengikut persamaan T = 25(1.2) apabila
logam tersebut dipanaskan selama m saat. Hitung beza
suhu di antara saat kelima dengan saat keenam, dalam
darjah Celsius terdekat.
6. Encik Azmi membeli sebuah kereta buatan tempatan
dengan harga RM55 000. Selepas 6 tahun Encik Azmi
ingin menjual kereta tersebut. Berdasarkan penerangan RM55 000
pihak pembeli kereta terpakai, harga kereta Encik Azmi
( )
8
n
akan dihitung dengan formula RM55 000 — . Dalam

9
situasi ini, n ialah bilangan tahun yang dihitung selepas
sebuah kereta dibeli. Berapakah nilai pasaran kereta Encik
Azmi? Nyatakan jawapan anda dalam RM yang terdekat.
7. Puan Kiran Kaur menyimpan RM50 000 pada 1 Mac
2019 di sebuah bank tempatan dengan faedah 3.5%
setahun. Selepas t tahun, jumlah simpanan Puan Kiran
t
Kaur dalam RM ialah 50 000 (1.035) . Hitung jumlah
simpanan pada 1 Mac 2025, jika Puan Kiran Kaur tidak
pernah mengeluarkan wang simpanannya.
S
Saiz sebenaraiz sebenar
26
26

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1


P R O J E K

Bahan: Kertas A4, gunting, pembaris panjang, pensel. 1
Arahan: (a) Lakukan projek ini dalam kumpulan kecil. BAB
(b) Gunting kertas A4 untuk menghasilkan kertas berbentuk segi empat sama.
(Sebesar yang mungkin)
Langkah:

1. Lukis paksi simetri (menegak dan mengufuk sahaja) seperti Rajah 1.
2. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
ruangan yang disediakan pada Lembaran A.
3. Lukis paksi simetri menegak dan mengufuk bagi setiap segi empat sama seperti Rajah 2.
4. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
Lembaran A.
5. Ulangi langkah 3 dan langkah 4 sebanyak yang mungkin.

1 1 8


2 7

2

3 6


4 5
Rajah 1 Rajah 2

6. Bandingkan dapatan anda dengan kumpulan lain.

7. Apakah yang anda boleh nyatakan tentang pola pada ruangan
‘bentuk indeks’ dari Lembaran A? Imbas QR Code atau
layari http://yakin-pelajar.
8. Bincang pola yang anda kenal pasti. com/Bab%201/lemba-
ran%20A/Bab%201%20
lembaran%20A.pdf
untuk memuat turun
Lembaran A Lembaran A.


Bilangan paksi Bilangan segi
simetri Bentuk indeks empat sama Bentuk indeks
0 – 1 2 0
2 2 1 4 2 2
8 16

Saiz sebenaraiz sebenar
S

27
27

PETA KONSEP


1
Indeks
BAB a n Indeks a = a × a × a × … × a 5 = 5 × 5 × 5 × 5
n
4
Asas n faktor m × m × m × m × m = m 5





Pendaraban Pembahagian Kuasa
m n
m
n
n p
n
mp
a × a = a m + n a ÷ a = a m – n (a ) = a mn (a × a ) = a × a np
m
m
2 × 2 = 2 3 + 5 3 ÷ 3 = 3 6 – 4 (3 ) = 3 8 (3a ) = 27a 12
5
6
3
4 3
4 2
4
Indeks pecahan Indeks negatif Indeks sifar
1
1
1
–
0
n
3
a = √a 8 = √8 a = — ; a ≠ 0 a = 1 ; a ≠ 0
—
–n
3
n
n
1
1
1
m
2
1
–
–
–
— m
—
m —
a = (a ) = (a ) 8 = (8 ) = (8 ) 2 a 1 2 = 1
0
3
2 3
3
n
n
n
–3
2
m
–
a = √a = ( √a) m 8 = √8 = ( √8) 5 = — m = 1
2
3
2
n
3
—
m
n
3
0
3
n

5
IMBAS KENDIRI
Pada akhir bab ini, saya dapat:
1. Mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks dan menghuraikan maksudnya.
2. Menukar suatu nombor kepada nombor dalam bentuk indeks dan sebaliknya.
3. Menghubung kait pendaraban nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.
4. Menghubung kait pembahagian nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.
Menghubung kait nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban
5.
berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.
1
6. Menentusahkan a = 1 dan a = — ; a ≠ 0.
0
–n
a n
7. Menentu dan menyatakan hubungan antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa.
8. Melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks.
9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks.
S
Saiz sebenaraiz sebenar
28
28

Bab 1 IndeksIndeks
Bab 1

JELAJAH MATEMATIK


1
Adakah anda masih ingat tentang Segi Tiga Pascal yang dipelajari dalam bab Pola dan Jujukan
di Tingkatan 2? BAB
Segi Tiga Pascal yang dicipta oleh Blaise Pascal, seorang ahli matematik Perancis mempunyai
banyak keunikan. Mari kita jelajah dua keunikan yang terdapat dalam Segi Tiga Pascal.
Hasil
Aktiviti 1 tambah Bentuk
indeks
1 1 2 0
1 1 2 2 1
1 2 1 4 2 2
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Arahan: Lembaran 1 Lembaran 1(a)
1. Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.
2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 1.
3. Hitung hasil tambah nombor-nombor pada setiap baris. Tuliskan hasil tambah tersebut
dalam tatatanda indeks dengan asas 2.
4. Lengkapkan Lembaran 1(a). Bincang dengan rakan anda tentang pola jawapan yang wujud.
5. Kemukakan ulasan anda.
TIP
Aktiviti 2 11 = 161 051
5
11 n Nilai 1 5 10 10 5 1
11 0 1 1 +1 +1
—
11
11 1 11 1 1 1 6 1 0 5 1
11 2 121 1 2 1
11 3 1 331 1 3 3 1
11 4 1 4 6 4 1
11 5 1 5 10 10 5 1
11 6 1 6 15 20 15 6 1
11 7 1 7 21 35 35 21 7 1
11 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
11 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
11 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Lembaran 2(a) Lembaran 2
Arahan:
1. Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan kecil.

2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 2.
3. Perhatikan nombor pada setiap baris. Ia merupakan nilai indeks asas 11.
4. Lengkapkan lembaran 2(a) dengan nilai indeks asas 11 tanpa menggunakan kalkulator.
5. Bentang hasil dapatan kumpulan anda. Saiz sebenaraiz sebenar
S
6. Adakah jawapan anda sama dengan kumpulan lain?
29
29

BAB Bentuk Piawai
BAB
2
2
















Apakah yang akan anda pelajari?
Apakah yang akan anda pelajari?

2.1 Angka Bererti


2.2 Bentuk Piawai





Kenapa Belajar Bab Ini?

• Dalam maklumat saintifik, nombor yang sangat
besar atau sangat kecil nilainya sering digunakan.
Misalnya, dalam astronomi, jarak di antara dua
bintang biasanya berjuta-juta kilometer manakala
dalam kajian jirim, jarak di antara atom amat kecil.
• Penulisan nombor dalam bentuk piawai
digunakan secara meluas dalam bidang kajian
saintifik, kejuruteraan, astronomi dan sebagainya.




arak di angkasa lepas, misalnya jarak di antara
Jdua bintang di cakerawala, diukur dengan unit
tahun cahaya. Tahun cahaya ialah jarak yang dilalui
cahaya dalam satu tahun. Satu tahun cahaya
adalah sama dengan 9 500 000 000 000 km
iaitu 9.5 juta kilometer. Unit kecil seperti nano
meter digunakan untuk jarak yang menghampiri
9.5 juta kilometer. Tahukah anda, 1 nano meter
bersamaan dengan 0.000 000 001 meter?

Saiz sebenar


30